एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का अनुमान। गणितीय अपेक्षा के बिंदु अनुमान

एक यादृच्छिक चर होने दें एक्सगणितीय अपेक्षा के साथ एमऔर फैलाव डी, जबकि ये दोनों पैरामीटर अज्ञात हैं। परिमाण से अधिक एक्सप्रस्तुत एनस्वतंत्र प्रयोग, जिसके परिणामस्वरूप एक सेट हुआ एनसंख्यात्मक परिणाम एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन. गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में, देखे गए मानों के अंकगणितीय माध्य का प्रस्ताव करना स्वाभाविक है

(1)

यहाँ के रूप में एक्स मैंके परिणामस्वरूप प्राप्त विशिष्ट मूल्य (संख्या)। एनप्रयोग। अगर हम दूसरों को लेते हैं (पिछले वाले से स्वतंत्र) एनप्रयोग, तो जाहिर है, हमें एक अलग मूल्य मिलेगा। यदि आप अधिक लेते हैं एनप्रयोग, हमें एक और नया मूल्य मिलेगा। द्वारा निरूपित करें एक्स मैंसे उत्पन्न यादृच्छिक चर मैंचौथा प्रयोग, फिर अहसास एक्स मैंइन प्रयोगों के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्याएँ होंगी। यह स्पष्ट है कि यादृच्छिक चर एक्स मैंमूल यादृच्छिक चर के समान संभाव्यता वितरण घनत्व होगा एक्स. हम यह भी मानते हैं कि यादृच्छिक चर एक्स मैंतथा Xjपर स्वतंत्र हैं मैं, बराबर नहीं जे(एक दूसरे के प्रयोगों के सापेक्ष विभिन्न स्वतंत्र)। इसलिए, हम सूत्र (1) को एक अलग (सांख्यिकीय) रूप में फिर से लिखते हैं:

(2)

आइए दिखाते हैं कि अनुमान निष्पक्ष है:

इस प्रकार, नमूना माध्य की गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक चर की वास्तविक गणितीय अपेक्षा के बराबर है एम. यह काफी अनुमानित और समझने योग्य तथ्य है। इसलिए, नमूना माध्य (2) को एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में लिया जा सकता है। अब सवाल उठता है: जैसे-जैसे प्रयोगों की संख्या बढ़ती है, वैसे-वैसे अनुमान के विचलन का क्या होता है? विश्लेषणात्मक गणना यह दर्शाती है

जहाँ गणितीय अपेक्षा (2) के अनुमान का विचरण है, और डी- यादृच्छिक चर का सही विचरण एक्स.

ऊपर से, यह इस प्रकार है कि वृद्धि के साथ एन(प्रयोगों की संख्या) अनुमान का विचरण घटता है, अर्थात जितना अधिक हम स्वतंत्र कार्यान्वयन को सारांशित करते हैं, उतना ही अनुमानित मूल्य के करीब हम अनुमान प्राप्त करते हैं।

गणितीय विचरण अनुमान

पहली नज़र में, सबसे स्वाभाविक अनुमान लगता है

(3)

जहां सूत्र (2) द्वारा गणना की जाती है। आइए देखें कि क्या अनुमान निष्पक्ष है। सूत्र (3) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

हम अभिव्यक्ति (2) को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

आइए विचरण अनुमान की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं:

(4)

चूँकि एक यादृच्छिक चर का प्रसरण इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा क्या है, हम गणितीय अपेक्षा को 0 के बराबर लेंगे, अर्थात एम = 0.

	(5)
पर ।	(6)

बता दें कि एक यादृच्छिक चर X है, और इसके पैरामीटर गणितीय अपेक्षा हैं एकऔर विचरण अज्ञात हैं। X के मान पर, स्वतंत्र प्रयोग किए गए, जिससे x 1, x 2, x n परिणाम प्राप्त हुए।

तर्क की व्यापकता को कम किए बिना, हम यादृच्छिक चर के इन मूल्यों को भिन्न मानेंगे। हम मान x 1, x 2, x n को स्वतंत्र, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर X 1, X 2, X n के रूप में मानेंगे।

सांख्यिकीय आकलन की सबसे सरल विधि - प्रतिस्थापन और सादृश्य की विधि - इस तथ्य में शामिल है कि सामान्य आबादी के एक या दूसरे संख्यात्मक विशेषता (औसत, विचरण, आदि) के अनुमान के रूप में, वे नमूना वितरण की इसी विशेषता को लेते हैं। - नमूना विशेषता।

गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में प्रतिस्थापन विधि द्वारा एकनमूने के वितरण की गणितीय अपेक्षा - नमूना माध्य लेना आवश्यक है। इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं

अनुमान के रूप में नमूना माध्य की निष्पक्षता और निरंतरता का परीक्षण करना एक, इस आंकड़े को चुने हुए सदिश (X 1, X 2, X n) के फलन के रूप में लें। इस बात को ध्यान में रखते हुए कि प्रत्येक राशि X 1, X 2, X n का समान वितरण नियम है, जो कि मात्रा X है, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि इन मात्राओं और मात्रा X की संख्यात्मक विशेषताएँ समान हैं: M(X मैं) = एम (एक्स) = एक, डी (एक्स मैं) = डी (एक्स) = , मैं = 1, 2, एन , जहाँ X सामूहिक रूप से स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं।

फलस्वरूप,

इसलिए, परिभाषा के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं कि यह निष्पक्ष अनुमान है एक, और चूंकि D()®0 के रूप में n®¥, तो पिछले पैराग्राफ के प्रमेय के आधार पर अपेक्षा का एक सुसंगत अनुमान है एकसामान्य जनसंख्या।

अनुमान की दक्षता या अक्षमता यादृच्छिक चर X के वितरण कानून के रूप पर निर्भर करती है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि मान X को सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, तो अनुमान कुशल होता है। अन्य वितरण कानूनों के मामले में ऐसा नहीं हो सकता है।

सामान्य विचरण का निष्पक्ष अनुमानसही नमूना विचरण है

,

इसलिये , जहां सामान्य विचरण है। सचमुच,

सामान्य विचरण के लिए अनुमान s-2 भी संगत है, लेकिन कुशल नहीं है। हालांकि, एक सामान्य वितरण के मामले में, यह "असामयिक रूप से कुशल" है, अर्थात, जैसे-जैसे n बढ़ता है, इसके विचरण का न्यूनतम संभव अनुपात अनिश्चित काल तक पहुंचता है।

इसलिए, बंटन F( से एक नमूना दिया गया है। एक्स) अज्ञात गणितीय अपेक्षा के साथ यादृच्छिक चर X एकतथा फैलाव , फिर इन मापदंडों के मूल्यों की गणना करने के लिए, हमें निम्नलिखित अनुमानित सूत्रों का उपयोग करने का अधिकार है:

एक ,

.

यहाँ x-i- - सैम्पलिंग विकल्प, n- i - - आवृत्ति विकल्प x i, - - नमूने का आकार।
संशोधित नमूना विचरण की गणना करने के लिए, सूत्र अधिक सुविधाजनक है

.

गणना को सरल बनाने के लिए, सशर्त विकल्पों पर स्विच करना उचित है (अंतराल भिन्नता श्रृंखला के मध्य में स्थित प्रारंभिक संस्करण को c के रूप में लेना लाभप्रद है)। फिर

, .

अंतराल अनुमान

ऊपर, हमने अज्ञात पैरामीटर का आकलन करने के प्रश्न पर विचार किया एकएक संख्या। ऐसे अनुमानों को हम बिंदु अनुमान कहते हैं। उनका नुकसान यह है कि, एक छोटे से नमूने के आकार के साथ, वे अनुमानित मापदंडों से काफी भिन्न हो सकते हैं। इसलिए, एक पैरामीटर और उसके अनुमान के बीच निकटता का अंदाजा लगाने के लिए, तथाकथित अंतराल अनुमानों को गणितीय आँकड़ों में पेश किया जाता है।

पैरामीटर q के लिए नमूने में एक बिंदु अनुमान q * पाए जाने दें। आमतौर पर, शोधकर्ताओं को कुछ पर्याप्त रूप से बड़ी प्रायिकता g (उदाहरण के लिए, 0.95; 0.99 या 0.999) द्वारा अग्रिम रूप से दिया जाता है, जैसे कि प्रायिकता g वाली घटना को व्यावहारिक रूप से निश्चित माना जा सकता है, और वे इस तरह के मान e > 0 को खोजने का प्रश्न उठाते हैं कौन सा

.

इस समानता को संशोधित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

और इस स्थिति में हम कहेंगे कि अंतराल ]q * - e; क्यू * + ई [अनुमानित पैरामीटर क्यू को प्रायिकता जी के साथ शामिल करता है।

अंतराल] क्यू * -ई; क्यू * + ई [ कहा जाता है विश्वास अंतराल .

प्रायिकता g कहलाती है विश्वसनीयता (विश्वास संभाव्यता) अंतराल अनुमान।

कॉन्फिडेंस इंटरवल के अंत, यानी अंक q * -e और q * +e कहलाते हैं भरोसे की सीमाएं .

संख्या ई कहा जाता है मूल्यांकन सटीकता .

विश्वास सीमा निर्धारित करने की समस्या के एक उदाहरण के रूप में, एक यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के प्रश्न पर विचार करें, जिसमें मापदंडों के साथ एक सामान्य वितरण कानून है एकऔर एस, यानी एक्स = एन ( एक, एस)। इस मामले में गणितीय अपेक्षा के बराबर है एक. प्रेक्षणों के अनुसार X 1, X 2, X n औसत की गणना करते हैं और मूल्यांकन फैलाव एस 2।

यह पता चला है कि नमूना डेटा के अनुसार एक यादृच्छिक चर का निर्माण संभव है

जिसमें स्वतंत्रता की n = n -1 डिग्री के साथ छात्र का वितरण (या t-वितरण) है।

आइए तालिका A.1.3 का उपयोग करें और दी गई प्रायिकता g और संख्या n संख्या t g के लिए खोजें जैसे कि प्रायिकता

पी (| टी (एन) |< t g) = g,

.

स्पष्ट परिवर्तन करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं

एफ-मानदंड लागू करने की प्रक्रिया इस प्रकार है:

1. जनसंख्या के सामान्य वितरण के बारे में एक धारणा बनाई जाती है। किसी दिए गए महत्व के स्तर पर, अशक्त परिकल्पना H 0 तैयार की जाती है: s x 2 = s y 2 प्रतिस्पर्धी परिकल्पना H 1: s x 2 > s y 2 के तहत सामान्य आबादी के सामान्य प्रसरण की समानता के बारे में।

2. क्रमशः n x और n y की X और Y समष्टि से दो स्वतंत्र नमूने प्राप्त किए जाते हैं।

3. सही किए गए नमूना प्रसरण s x 2 और s y 2 के मानों की गणना करें (गणना विधियों की चर्चा §13.4 में की गई है)। फैलाव का बड़ा (s x 2 या s y 2) को s 1 2 नामित किया गया है, छोटा - s 2 2।

4. F-मानदंड के मान की गणना सूत्र F obs = s 1 2 / s 2 2 के अनुसार की जाती है।

5. फिशर के महत्वपूर्ण बिंदुओं की तालिका के अनुसार - स्नेडेकोर वितरण, किसी दिए गए महत्व स्तर के लिए और स्वतंत्रता की डिग्री n 1 \u003d n 1 - 1, n 2 \u003d n 2 - 1 (n 1 है) एक बड़े सुधारित विचरण की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या), महत्वपूर्ण बिंदु F cr (a, n 1, n 2) पाया जाता है।

ध्यान दें कि तालिका A.1.7 एक-पूंछ वाले एफ-मानदंड के महत्वपूर्ण मूल्यों को दर्शाता है। इसलिए, यदि दो तरफा मानदंड लागू किया जाता है (H 1: s x 2 ¹ s y 2), तो दाहिने हाथ के महत्वपूर्ण बिंदु F cr (a / 2, n 1, n 2) को महत्व स्तर a द्वारा खोजा जाता है / 2 (आधा निर्दिष्ट एक) और डिग्री स्वतंत्रता n 1 और n 2 की संख्या (n 1 - अधिक फैलाव की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या)। बाएं हाथ का महत्वपूर्ण बिंदु नहीं मिल सकता है।

6. यह निष्कर्ष निकाला गया है कि यदि एफ-मापदंड का परिकलित मूल्य महत्वपूर्ण एक (एफ ओब्स ³ एफ करोड़) से अधिक या उसके बराबर है, तो भिन्नता किसी दिए गए महत्व स्तर पर महत्वपूर्ण रूप से भिन्न होती है। अन्यथा (एफ अवलोकन< F кр) нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.

टास्क 15.1. पुरानी तकनीक के अनुसार उत्पादन की प्रति इकाई कच्चे माल की खपत थी:

नई तकनीक:

यह मानते हुए कि संबंधित सामान्य आबादी X और Y का सामान्य वितरण है, जाँच करें कि नई और पुरानी तकनीकों के लिए कच्चे माल की खपत परिवर्तनशीलता में भिन्न नहीं है, यदि हम महत्व स्तर a = 0.1 लेते हैं।

समाधान. हम ऊपर बताए गए क्रम में कार्य करते हैं।

1. हम फैलाव मूल्यों के संदर्भ में नई और पुरानी तकनीकों के लिए कच्चे माल की खपत की परिवर्तनशीलता का न्याय करेंगे। इस प्रकार, रिक्त परिकल्पना का रूप H 0: s x 2 = s y 2 है। प्रतिस्पर्धी परिकल्पना के रूप में, हम परिकल्पना H 1: s x 2 ¹ s y 2 को स्वीकार करते हैं, क्योंकि हम पहले से सुनिश्चित नहीं हैं कि कोई भी सामान्य भिन्नता दूसरे से अधिक है।

2-3। नमूना प्रसरण ज्ञात कीजिए। गणनाओं को सरल बनाने के लिए, सशर्त विकल्पों पर चलते हैं:

यू आई = एक्स आई - 307, वी आई = वाई - 304।

हम सभी गणनाओं को निम्न तालिका के रूप में व्यवस्थित करेंगे:

यू आई	मी मैं	एम आई यू आई	एम आई यू आई 2	एम मैं (यू मैं +1) 2		वी मैं	एन मैं	एन आई वी आई	एन आई वी आई 2	एन मैं (वी मैं +1) 2
-3		-3				-1		-2
å	-
						å	-

नियंत्रण: å m i u i 2 + 2å m i u i + m i = नियंत्रण: å n i v i 2 + 2å n i v i + n i = 13 + 2 + 9 = 24 = 34 + 20 + 13 = 67

संशोधित नमूना प्रसरण ज्ञात कीजिए:

4. प्रसरणों की तुलना करें। बड़े संशोधित प्रसरण का छोटे प्रसरण से अनुपात ज्ञात कीजिए:

.

5. शर्त के अनुसार, प्रतिस्पर्धी परिकल्पना का रूप s x 2 ¹ s y 2 है, इसलिए, महत्वपूर्ण क्षेत्र दो तरफा है, और महत्वपूर्ण बिंदु ढूंढते समय, किसी को महत्व के स्तर लेने चाहिए जो दिए गए आधे हैं।

तालिका A.1.7 के अनुसार, महत्व स्तर a/2 = 0.1/2 = 0.05 और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या n 1 = n 1 - 1 = 12, n 2 = n 2 - 1 = 8 के अनुसार, हम पाते हैं महत्वपूर्ण बिंदु एफ करोड़ (0.05; 12; 8) = 3.28।

6. एफ ओब के बाद से।< F кр то гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья при старой и новой технологиях принимаем.

ऊपर, परिकल्पनाओं का परीक्षण करते समय, यह माना गया था कि अध्ययन के तहत यादृच्छिक चर का वितरण सामान्य था। हालांकि, विशेष अध्ययनों से पता चला है कि सामान्य वितरण से विचलन के संबंध में प्रस्तावित एल्गोरिदम बहुत स्थिर हैं (विशेष रूप से बड़े नमूना आकार के साथ)।

वितरण पैरामीटर और आंकड़े

एक यादृच्छिक चर के वितरण का कोई भी पैरामीटर, जैसे गणितीय अपेक्षा या विचरण, उदाहरण के लिए, सैद्धांतिक मूल्य हैं जो सीधे मापने योग्य नहीं हैं, हालांकि उनका अनुमान लगाया जा सकता है। वे मात्रात्मक हैं आबादी और केवल सैद्धांतिक मॉडलिंग के दौरान काल्पनिक मूल्यों के रूप में स्वयं द्वारा निर्धारित किया जा सकता है, क्योंकि वे सामान्य आबादी में एक यादृच्छिक चर के वितरण की विशेषताओं का वर्णन करते हैं। व्यवहार में उन्हें निर्धारित करने के लिए, प्रयोग करने वाला शोधकर्ता उनका चयनात्मक मूल्यांकन करता है। इस तरह के आकलन में एक सांख्यिकीय गणना शामिल होती है।

आंकड़े नमूना मूल्यों के अध्ययन के आधार पर प्राप्त एक यादृच्छिक चर के वितरण की विशेषता वाले अध्ययन किए गए मापदंडों की एक मात्रात्मक विशेषता का प्रतिनिधित्व करता है। सांख्यिकी का उपयोग या तो स्वयं नमूने का वर्णन करने के लिए किया जाता है, या, जो अध्ययन के तहत सामान्य आबादी में एक यादृच्छिक चर के वितरण मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए मौलिक प्रायोगिक अनुसंधान में सर्वोपरि है।

अवधारणाओं का पृथक्करण "पैरामीटर" तथा "आंकड़े" बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह प्रयोग में प्राप्त आंकड़ों की गलत व्याख्या से जुड़ी कई त्रुटियों से बचने की अनुमति देता है। तथ्य यह है कि जब हम सांख्यिकीय डेटा का उपयोग करके वितरण के मापदंडों का अनुमान लगाते हैं, तो हमें वे मान मिलते हैं जो अनुमानित मापदंडों के कुछ हद तक ही करीब होते हैं। मापदंडों और आंकड़ों के बीच लगभग हमेशा कुछ अंतर होता है, और हम आमतौर पर यह नहीं कह सकते कि यह अंतर कितना बड़ा है। सैद्धांतिक रूप से, नमूना जितना बड़ा होगा, अनुमानित पैरामीटर उनके नमूना विशेषताओं के उतने ही करीब होंगे। हालांकि, इसका मतलब यह नहीं है कि नमूना आकार में वृद्धि करके, हम अनिवार्य रूप से अनुमानित पैरामीटर के करीब आ जाएंगे, इसके और परिकलित आंकड़ों के बीच के अंतर को कम कर देंगे। व्यवहार में, चीजें बहुत अधिक जटिल हो सकती हैं।

यदि सैद्धांतिक रूप से आँकड़ों का अपेक्षित मान अनुमानित प्राचल के साथ मेल खाता है, तो ऐसा अनुमान कहा जाता है निष्पक्ष। एक अनुमान जिसमें अनुमानित पैरामीटर का अपेक्षित मूल्य कुछ राशि से ही पैरामीटर से भिन्न होता है, कहलाता है विस्थापित।

वितरण मापदंडों के बिंदु और अंतराल अनुमानों के बीच अंतर करना भी आवश्यक है। छितराया हुआ किसी संख्या का प्रयोग करते हुए अनुमान कहलाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम कहते हैं कि दिए गए शर्तों के तहत और त्वचा के दिए गए क्षेत्र पर स्पर्श संवेदनशीलता की स्थानिक दहलीज का मान 21.8 मिमी है, तो ऐसा मूल्यांकन एक बिंदु अनुमान होगा। इसी तरह, एक बिंदु अनुमान तब होता है जब मौसम की रिपोर्ट हमें बताती है कि यह बाहर 25°C है। अंतराल अनुमान मूल्यांकन में एक सेट या संख्याओं की श्रेणी का उपयोग शामिल है। स्पर्श संवेदनशीलता की स्थानिक सीमा का आकलन करते हुए, हम कह सकते हैं कि यह 20 से 25 मिमी की सीमा में निकला। इसी तरह, मौसम के पूर्वानुमानकर्ता रिपोर्ट कर सकते हैं कि उनके पूर्वानुमान के अनुसार, अगले 24 घंटों में हवा का तापमान 22-24 डिग्री सेल्सियस तक पहुंच जाएगा। एक यादृच्छिक चर का अंतराल अनुमान हमें न केवल इस चर के वांछित मूल्य को निर्धारित करने की अनुमति देता है, बल्कि इस तरह के अनुमान के लिए संभावित सटीकता भी निर्धारित करता है।

गणितीय अपेक्षा और इसका मूल्यांकन

आइए अपने सिक्के उछालने के अनुभव पर वापस जाएं।

आइए प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें: यदि हम एक सिक्के को दस बार उछालते हैं तो कितनी बार "ईगल" गिरना चाहिए? उत्तर स्पष्ट प्रतीत होता है। यदि दो परिणामों में से प्रत्येक की संभावनाएँ समान हैं, तो परिणामों को स्वयं समान रूप से वितरित किया जाना चाहिए। दूसरे शब्दों में, जब एक साधारण सिक्के को दस बार उछाला जाता है, तो हमें यह उम्मीद करने का अधिकार है कि इसका एक पक्ष, उदाहरण के लिए, "हेड्स", ठीक पाँच बार गिरेगा। इसी तरह, जब एक सिक्के को 100 बार उछाला जाता है, तो चित ठीक 50 बार गिरना चाहिए, और यदि एक सिक्के को 4236 बार उछाला जाता है, तो हमें रुचि का पक्ष 2118 बार दिखाई देना चाहिए, न इससे अधिक और न ही कम।

तो, एक यादृच्छिक घटना का सैद्धांतिक मूल्य आमतौर पर कहा जाता है गणितीय अपेक्षा. परीक्षणों की संख्या से एक यादृच्छिक चर की सैद्धांतिक संभावना को गुणा करके गणितीय अपेक्षा पाई जा सकती है। अधिक औपचारिक रूप से, हालाँकि, इसे पहले क्रम के केंद्रीय क्षण के रूप में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार, गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का मान है जिसके लिए यह सैद्धांतिक रूप से दोहराए गए परीक्षणों के दौरान होता है, जिसके सापेक्ष यह भिन्न होता है।

यह स्पष्ट है कि वितरण पैरामीटर के रूप में गणितीय अपेक्षा का सैद्धांतिक मूल्य हमेशा आंकड़ों में व्यक्त यादृच्छिक चर के अनुभवजन्य मूल्य के बराबर नहीं होता है। यदि हम एक सिक्के के उछाल के साथ प्रयोग करते हैं, तो यह काफी संभव है कि दस परिणामों में से, केवल चार या तीन बार सिर आएगा, या इसके विपरीत, यह आठ बार आएगा, या शायद कभी नहीं आएगा। . यह स्पष्ट है कि इनमें से कुछ परिणामों की संभावना अधिक है, कुछ की संभावना कम है। यदि हम सामान्य वितरण के नियम का उपयोग करते हैं, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि गणितीय अपेक्षा के मान द्वारा दिए गए सैद्धांतिक रूप से अपेक्षित परिणाम से जितना अधिक विचलन होता है, व्यवहार में उसके होने की संभावना उतनी ही कम होती है।

आगे मान लीजिए कि हमने इस प्रक्रिया को कई बार किया है और कभी भी सैद्धांतिक रूप से अपेक्षित मान नहीं देखा है। तब हमें सिक्के की प्रामाणिकता पर संदेह हो सकता है। हम यह मान सकते हैं कि हमारे सिक्के के ऊपर आने की वास्तव में 50% संभावना नहीं है। इस मामले में, इस घटना की संभावना और तदनुसार, गणितीय अपेक्षा के मूल्य का अनुमान लगाना आवश्यक हो सकता है। ऐसी आवश्यकता तब उत्पन्न होती है, जब किसी प्रयोग में, हम किसी सतत यादृच्छिक चर के वितरण की जांच करते हैं, जैसे कि प्रतिक्रिया समय, बिना किसी सैद्धांतिक मॉडल के अग्रिम रूप से। एक नियम के रूप में, प्रयोग के परिणामों के मात्रात्मक प्रसंस्करण के दौरान यह पहला अनिवार्य कदम है।

गणितीय अपेक्षा का अनुमान तीन तरीकों से लगाया जा सकता है, जो व्यवहार में थोड़ा अलग परिणाम दे सकता है, लेकिन सिद्धांत रूप में उन्हें निश्चित रूप से हमें गणितीय अपेक्षा के मूल्य तक ले जाना चाहिए।

इस तरह के आकलन का तर्क अंजीर में दिखाया गया है। 1.2। गणितीय अपेक्षा को एक यादृच्छिक चर के वितरण में केंद्रीय प्रवृत्ति के रूप में माना जा सकता है एक्स, सबसे संभावित और इसलिए इसका सबसे लगातार मूल्य और एक बिंदु के रूप में वितरण को दो समान भागों में विभाजित करना।

चावल। 1.2।

आइए एक सिक्के के साथ अपने काल्पनिक प्रयोग जारी रखें और दस बार सिक्का उछालने के साथ तीन प्रयोग करें। मान लीजिए कि पहले प्रयोग में "ईगल" चार बार गिरा, दूसरे प्रयोग में भी ऐसा ही हुआ, तीसरे प्रयोग में "ईगल" डेढ़ गुना अधिक - सात बार गिरा। यह मान लेना तर्कसंगत है कि हमारे लिए दिलचस्प घटना की गणितीय अपेक्षा वास्तव में इन मूल्यों के बीच कहीं है।

सबसे पहला, प्रोटोजोआ मूल्यांकन पद्धति गणितीय अपेक्षा खोजने में शामिल होगी अंकगणित औसत। तब उपरोक्त तीन मापों के आधार पर अपेक्षित मान का अनुमान (4+4+7)/3 = 5 होगा। इसी प्रकार, प्रतिक्रिया समय के प्रयोगों में, सभी प्राप्त मूल्यों के अंकगणितीय माध्य की गणना करके अपेक्षित मूल्य का अनुमान लगाया जा सकता है। एक्स। तो अगर हमने खर्च किया पी प्रतिक्रिया समय माप एक्स, तब हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, जो हमें दिखाता है कि अंकगणितीय माध्य की गणना करने के लिए एक्स अनुभवजन्य रूप से प्राप्त सभी मूल्यों को जोड़ना और उन्हें टिप्पणियों की संख्या से विभाजित करना आवश्यक है:

सूत्र (1.2) में, गणितीय अपेक्षा के माप को आमतौर पर ̅ के रूप में दर्शाया जाता है एक्स ("एक रेखा के साथ x" के रूप में पढ़ें), हालांकि कभी-कभी इसे इस रूप में दर्शाया जा सकता है एम (अंग्रेजी से। अर्थ - औसत)।

अंकगणितीय माध्य गणितीय अपेक्षा का सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला अनुमान है। ऐसे मामलों में, यह माना जाता है कि एक यादृच्छिक चर का माप किया जाता है मीट्रिक पैमाना। यह स्पष्ट है कि प्राप्त परिणाम गणितीय अपेक्षा के सही मूल्य से मेल खा सकता है या नहीं भी हो सकता है, जिसे हम कभी नहीं जानते। हालाँकि, यह महत्वपूर्ण है कि यह विधि है निष्पक्ष गणितीय अपेक्षा का अनुमान। इसका मतलब है कि अनुमानित मूल्य का अपेक्षित मूल्य इसकी गणितीय अपेक्षा के बराबर है: .

मूल्यांकन की दूसरी विधि गणितीय अपेक्षा हमारे लिए ब्याज के चर के सबसे अधिक बार होने वाले मूल्य को उसके मूल्य के रूप में लेना है। यह मान कहलाता है वितरण फैशन। उदाहरण के लिए, केवल एक सिक्के को उछालने के मामले में, "चार" को गणितीय अपेक्षा के मान के रूप में लिया जा सकता है, क्योंकि किए गए तीन परीक्षणों में यह मान दो बार दिखाई दिया; इसीलिए इस मामले में वितरण मोड चार के बराबर निकला। मोड अनुमान का उपयोग मुख्य रूप से तब किया जाता है जब प्रयोगकर्ता उन चरों के साथ काम कर रहा होता है जो दिए गए असतत मूल्यों को लेते हैं गैर मीट्रिक पैमाना।

उदाहरण के लिए, एक परीक्षा में छात्र ग्रेड के वितरण का वर्णन करके, छात्र ग्रेड के आवृत्ति वितरण का निर्माण कर सकते हैं। इस आवृत्ति वितरण को कहा जाता है हिस्टोग्राम। इस मामले में, सबसे आम अनुमान केंद्रीय प्रवृत्ति (गणितीय अपेक्षा) के मूल्य के रूप में लिया जा सकता है। निरंतर मूल्यों की विशेषता वाले चर के अध्ययन में, इस उपाय का व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है या शायद ही कभी उपयोग किया जाता है। यदि प्राप्त परिणामों की आवृत्ति वितरण अभी भी निर्मित है, तो, एक नियम के रूप में, यह प्रयोग में प्राप्त अध्ययन किए गए गुण के मूल्यों की चिंता नहीं करता है, लेकिन इसकी अभिव्यक्ति के कुछ अंतराल। उदाहरण के लिए, लोगों की ऊंचाई की जांच करते समय, आप देख सकते हैं कि कितने लोग 150 सेंटीमीटर ऊंचाई तक के अंतराल में गिरते हैं, कितने लोग 150 से 155 सेंटीमीटर के अंतराल में गिरते हैं, और इसी तरह। इस मामले में, मोड अध्ययन के तहत विशेषता के अंतराल मूल्यों से संबंधित होगा, इस मामले में, विकास।

यह स्पष्ट है कि मोड, अंकगणितीय माध्य की तरह, गणितीय अपेक्षा के वास्तविक मान के साथ मेल खा भी सकता है और नहीं भी। लेकिन अंकगणितीय माध्य की तरह, मोड गणितीय अपेक्षा का एक निष्पक्ष अनुमान है।

हम जोड़ते हैं कि यदि नमूने में दो मान अक्सर समान रूप से होते हैं, तो ऐसा वितरण कहा जाता है बिमॉडल। यदि नमूने में तीन या अधिक मान अक्सर समान रूप से होते हैं, तो ऐसे नमूने को कोई बहुलक नहीं कहा जाता है। एक नियम के रूप में, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में अवलोकन वाले ऐसे मामले इंगित करते हैं कि डेटा सामान्य जनसंख्या से निकाला जाता है, जिसमें वितरण की प्रकृति सामान्य से भिन्न होती है।

आखिरकार, मूल्यांकन की तीसरी विधि गणितीय अपेक्षा विषयों के नमूने को हमारे लिए रुचि के पैरामीटर के अनुसार बिल्कुल आधे में विभाजित करना है। इस सीमा की विशेषता वाले मान को कहा जाता है मंझला वितरण।

मान लीजिए कि हम एक स्कीइंग प्रतियोगिता में मौजूद हैं और उनके पूरा होने के बाद हम यह मूल्यांकन करना चाहते हैं कि एथलीटों में से किस ने औसत से ऊपर का परिणाम दिखाया और कौन सा - नीचे। यदि प्रतिभागियों की रचना कम या ज्यादा है, तो औसत परिणाम का मूल्यांकन करते समय अंकगणितीय माध्य की गणना करना तर्कसंगत है। हालांकि, मान लीजिए कि पेशेवर प्रतिभागियों में कई शौकिया हैं। उनमें से बहुत से नहीं हैं, लेकिन वे ऐसे परिणाम दिखाते हैं जो बाकी की तुलना में काफी कम हैं। इस मामले में, यह पता चल सकता है कि प्रतियोगिता में 100 प्रतिभागियों में से, उदाहरण के लिए, 87 ने औसत से ऊपर का परिणाम दिखाया। यह स्पष्ट है कि औसत प्रवृत्ति का ऐसा आकलन हमेशा हमारे अनुरूप नहीं हो सकता। इस मामले में, यह मान लेना तर्कसंगत है कि औसत परिणाम उन प्रतिभागियों द्वारा दिखाया गया था जो 50वें या 51वें स्थान पर थे। यह वितरण का माध्यम होगा। 49 प्रतिभागियों ने 50वें फाइनलिस्ट से पहले, और 49 ने 51वें के बाद फाइनल किया। बेशक, यह पता चल सकता है कि वे एक ही समय के साथ समाप्त हो गए। तब कोई समस्या नहीं है। प्रेक्षणों की संख्या विषम होने पर भी कोई समस्या नहीं है। हालाँकि, अन्य मामलों में, आप दो प्रतिभागियों के परिणामों के औसत का उपयोग कर सकते हैं।

माध्यिका वितरण के परिमाण का एक विशेष मामला है। मात्रा वितरण का हिस्सा है। औपचारिक रूप से, इसे चर के दो मूल्यों के बीच वितरण के अभिन्न मूल्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है एक्स। इस प्रकार, मान एक्स वितरण का माध्यिका होगा यदि वितरण का अभिन्न मूल्य (संभाव्यता घनत्व) -∞ से है एक्स से वितरण के अभिन्न मूल्य के बराबर है एक्स + ∞ तक। इसी प्रकार, वितरण को चार, दस या 100 भागों में विभाजित किया जा सकता है। ऐसे क्वांटाइल्स क्रमशः कहलाते हैं चतुर्थक, दशमांश तथा शतमक। अन्य प्रकार के क्वांटाइल्स हैं।

गणितीय अपेक्षा का आकलन करने के लिए पिछली दो विधियों की तरह, माध्यिका गणितीय अपेक्षा का एक निष्पक्ष अनुमान है।

सैद्धांतिक रूप से, यह माना जाता है कि यदि हम वास्तव में एक यादृच्छिक चर के सामान्य वितरण के साथ काम कर रहे हैं, तो गणितीय अपेक्षा के सभी तीन अनुमानों को समान परिणाम देना चाहिए, क्योंकि वे सभी एक भिन्न का प्रतिनिधित्व करते हैं। निष्पक्ष अनुमानित यादृच्छिक चर के समान वितरण पैरामीटर का अनुमान (चित्र 1.2 देखें)। व्यवहार में, हालांकि, यह शायद ही कभी होता है। यह, विशेष रूप से, इस तथ्य के कारण हो सकता है कि विश्लेषित वितरण सामान्य से भिन्न है। लेकिन इस तरह की विसंगतियों का मुख्य कारण, एक नियम के रूप में, यह है कि, गणितीय अपेक्षा के मूल्य का आकलन करके, एक ऐसा मूल्य प्राप्त किया जा सकता है जो इसके वास्तविक मूल्य से बहुत अलग है। हालाँकि, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, गणितीय आँकड़ों में यह साबित हो गया है कि विचाराधीन चर के अधिक स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं, अनुमानित मूल्य वास्तविक मूल्य के जितना करीब होना चाहिए।

इस प्रकार, व्यवहार में, गणितीय अपेक्षा का आकलन करने के लिए एक विधि का चुनाव इस पैरामीटर का अधिक सटीक और विश्वसनीय अनुमान प्राप्त करने की इच्छा से नहीं, बल्कि केवल सुविधा के विचार से निर्धारित होता है। साथ ही, गणितीय अपेक्षा का आकलन करने के लिए विधि के चुनाव में एक निश्चित भूमिका मापने के पैमाने द्वारा निभाई जाती है, जो अनुमानित यादृच्छिक चर की टिप्पणियों को दर्शाता है।

अज्ञात गणितीय अपेक्षा और विचरण के साथ एक यादृच्छिक चर को स्वतंत्र प्रयोगों के अधीन होने दें जो परिणाम देते हैं - . आइए हम मापदंडों के लिए सुसंगत और निष्पक्ष अनुमानों की गणना करें और।

गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में, हम प्रायोगिक मानों का अंकगणितीय माध्य लेते हैं

. (2.9.1)

बड़ी संख्या के कानून के अनुसार, यह अनुमान है धनवान संभावना में परिमाण के साथ। ही अनुमान है निष्पक्ष , क्यों कि

. (2.9.2)

इस अनुमान का विचरण है

. (2.9.3)

यह दिखाया जा सकता है कि सामान्य वितरण के लिए, यह अनुमान है प्रभावी . अन्य कानूनों के लिए, यह मामला नहीं हो सकता है।

आइए अब हम विचरण का अनुमान लगाते हैं। आइए पहले अनुमान लगाने के लिए एक सूत्र चुनें सांख्यिकीय फैलाव

. (2.9.4)

आइए हम विचरण अनुमान की निरंतरता की जाँच करें। सूत्र में कोष्ठक खोलते हैं (2.9.4)

.

के लिए, पहला पद संभाव्यता में मात्रा में परिवर्तित होता है , दूसरे में - से। इस प्रकार, हमारा अनुमान विचरण की संभावना में परिवर्तित हो जाता है

,

इसलिए वह है धनवान .

चलो देखते है निष्पक्षता मात्रा के लिए अनुमान। ऐसा करने के लिए, हम अभिव्यक्ति (2.9.1) को सूत्र (2.9.4) में प्रतिस्थापित करते हैं और उस यादृच्छिक चर को ध्यान में रखते हैं स्वतंत्र

,

. (2.9.5)

आइए हम यादृच्छिक चर के उतार-चढ़ाव के सूत्र (2.9.5) में पास करें

कोष्ठकों का विस्तार करने पर, हम प्राप्त करते हैं

,

. (2.9.6)

आइए हम मान (2.9.6) की गणितीय अपेक्षा की गणना करें, इसे ध्यान में रखते हुए

. (2.9.7)

संबंध (2.9.7) दर्शाता है कि सूत्र (2.9.4) द्वारा परिकलित मान एक निष्पक्ष अनुमानक नहीं है फैलाव के लिए। इसकी गणितीय अपेक्षा न के बराबर है, लेकिन कुछ कम है। इस तरह के अनुमान से नीचे की ओर व्यवस्थित त्रुटि होती है। इस तरह के पूर्वाग्रह को खत्म करने के लिए, मूल्य को गुणा करके सुधार करना आवश्यक है। फिर इस तरह के एक सही सांख्यिकीय भिन्नता भिन्नता के निष्पक्ष अनुमान के रूप में कार्य कर सकती है

. (2.9.8)

यह अनुमान अनुमान के अनुरूप ही है, क्योंकि के लिए।

व्यवहार में, अनुमान (2.9.8) के बजाय, कभी-कभी दूसरे प्रारंभिक सांख्यिकीय क्षण से संबंधित समतुल्य अनुमान का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है

. (2.9.9)

अनुमान (2.9.8), (2.9.9) कुशल नहीं हैं। यह दिखाया जा सकता है कि सामान्य वितरण के मामले में वे होंगे विषम रूप से कुशल (न्यूनतम संभव मूल्य कब होगा)।

इस प्रकार, सीमित सांख्यिकीय सामग्री को संसाधित करने के लिए निम्नलिखित नियम तैयार करना संभव है। यदि स्वतंत्र प्रयोगों में यादृच्छिक चर मान लेता है अज्ञात गणितीय अपेक्षा और विचरण के साथ, फिर इन मापदंडों को निर्धारित करने के लिए, अनुमानित अनुमानों का उपयोग करना चाहिए

(2.9.10)

काम का अंत -

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गणित संभाव्यता सिद्धांत गणितीय सांख्यिकी पर व्याख्यान नोट्स

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सिद्धांत संभावना
संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो यादृच्छिक द्रव्यमान परिघटनाओं के पैटर्न का अध्ययन करती है। यादृच्छिक एक घटना है कि

संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा
एक घटना एक यादृच्छिक घटना है, जो अनुभव के परिणामस्वरूप प्रकट हो भी सकती है और नहीं भी (दो-मूल्यवान घटना)। बड़े लैटिन अक्षरों में घटनाओं को नामित करें

प्रारंभिक घटनाओं का स्थान
घटनाओं का एक सेट कुछ अनुभव से जुड़ा हो, और: 1) अनुभव के परिणामस्वरूप, एक और केवल एक

घटनाओं पर कार्रवाई
दो घटनाओं का योग और

क्रमपरिवर्तन
तत्वों के विभिन्न क्रमपरिवर्तनों की संख्या को दर्शाया गया है

आवास
द्वारा तत्वों का प्लेसमेंट

युग्म
तत्वों का एक संयोजन

असंगत घटनाओं के लिए संभावनाओं को जोड़ने का सूत्र
प्रमेय। दो असंगत घटनाओं के योग की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है। (एक

मनमाना घटनाओं के लिए संभाव्यता जोड़ सूत्र
प्रमेय। दो घटनाओं के योग की संभावना उनके उत्पाद की संभावना के बिना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है।

संभाव्यता गुणन सूत्र
दो घटनाएँ दी गई हैं। एक घटना पर विचार करें

कुल संभावना सूत्र
चलो असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह हो, उन्हें परिकल्पना कहा जाता है। किसी घटना पर विचार करें

परिकल्पनाओं की संभावनाओं का सूत्र (बेयस)
फिर से विचार करें - असंगत परिकल्पनाओं और घटना का पूरा समूह

स्पर्शोन्मुख पॉइसन सूत्र
ऐसे मामलों में जहां परीक्षणों की संख्या बड़ी है और किसी घटना के घटित होने की संभावना है

यादृच्छिक असतत चर
एक यादृच्छिक मान एक मात्रा है, जब प्रयोग दोहराया जाता है, असमान संख्यात्मक मान ले सकता है। यादृच्छिक चर असतत कहा जाता है,

यादृच्छिक निरंतर चर
यदि, एक प्रयोग के परिणामस्वरूप, एक यादृच्छिक चर एक निश्चित खंड या संपूर्ण वास्तविक अक्ष से कोई मान ले सकता है, तो इसे निरंतर कहा जाता है। कानून

एक यादृच्छिक सतत चर का प्रायिकता घनत्व फलन
होने देना। एक बिंदु पर विचार करें और इसे एक वेतन वृद्धि दें

यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं
यादृच्छिक असतत या निरंतर चर को पूरी तरह से निर्दिष्ट माना जाता है यदि उनके वितरण कानून ज्ञात हों। वास्तव में, वितरण के नियमों को जानने के बाद, आप हमेशा हिटिंग की संभावना की गणना कर सकते हैं

यादृच्छिक चर की मात्रा
एक यादृच्छिक सतत चर के क्रम की मात्रा

यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा
एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इसके औसत मूल्य की विशेषता है। यादृच्छिक चर के सभी मूल्यों को इस मूल्य के आसपास समूहीकृत किया जाता है। पहले एक यादृच्छिक असतत चर पर विचार करें

मानक विचलन और यादृच्छिक चर का विचरण
पहले एक यादृच्छिक असतत चर पर विचार करें। मोड, माध्यिका, क्वांटाइल्स और गणितीय अपेक्षा की संख्यात्मक विशेषताएं

यादृच्छिक चर के क्षण
गणितीय अपेक्षा और विचरण के अलावा, संभाव्यता सिद्धांत उच्च क्रम की संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग करता है, जिन्हें यादृच्छिक चर के क्षण कहा जाता है।

यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं पर प्रमेय
प्रमेय 1। गैर-यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इस मान के बराबर है। सबूत: चलो

द्विपद वितरण कानून

जहर वितरण कानून
मान लेने वाला एक यादृच्छिक असतत चर दें

समान वितरण कानून
एक यादृच्छिक निरंतर चर के वितरण का एकसमान नियम संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का नियम है, जो

सामान्य वितरण कानून
एक यादृच्छिक निरंतर चर के वितरण का सामान्य नियम घनत्व फलन का नियम है

घातीय वितरण कानून
एक यादृच्छिक चर के घातीय या घातीय वितरण का उपयोग प्रायिकता सिद्धांत के ऐसे अनुप्रयोगों में किया जाता है जैसे क्यूइंग सिद्धांत, विश्वसनीयता सिद्धांत

यादृच्छिक चर की प्रणाली
व्यवहार में, संभाव्यता सिद्धांत के अनुप्रयोगों में, अक्सर उन समस्याओं से निपटना पड़ता है जिनमें एक प्रयोग के परिणाम एक यादृच्छिक चर द्वारा नहीं, बल्कि एक साथ कई यादृच्छिक चर द्वारा वर्णित किए जाते हैं।

दो यादृच्छिक असतत चर की प्रणाली
चलो दो यादृच्छिक असतत चर एक प्रणाली बनाते हैं। यादृच्छिक मूल्य

दो यादृच्छिक निरंतर चर की प्रणाली
अब सिस्टम को दो यादृच्छिक निरंतर चर से बनने दें। इस प्रणाली के वितरण नियम को शायद कहा जाता है

वितरण के सशर्त नियम
चलो और निर्भर यादृच्छिक निरंतर चर

दो यादृच्छिक चर की प्रणाली की संख्यात्मक विशेषताएं
यादृच्छिक चर की प्रणाली के क्रम का प्रारंभिक क्षण

कई यादृच्छिक चर की प्रणाली
दो यादृच्छिक चर की एक प्रणाली के लिए प्राप्त परिणामों को यादृच्छिक चर की मनमानी संख्या वाले सिस्टम के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है। सिस्टम को सेट द्वारा बनने दें

दो यादृच्छिक चर की प्रणाली का सामान्य वितरण
दो यादृच्छिक निरंतर चरों की एक प्रणाली पर विचार करें। इस प्रणाली का वितरण नियम सामान्य वितरण नियम है

संभाव्यता सिद्धांत की सीमा प्रमेय
संभाव्यता सिद्धांत के अनुशासन का मुख्य लक्ष्य यादृच्छिक द्रव्यमान घटना के पैटर्न का अध्ययन करना है। अभ्यास से पता चलता है कि सजातीय यादृच्छिक घटनाओं के द्रव्यमान का अवलोकन खुलासा करता है

चेबिशेव की असमानता
गणितीय अपेक्षा के साथ एक यादृच्छिक चर पर विचार करें

चेबिशेव की प्रमेय
यदि यादृच्छिक चर जोड़ीदार स्वतंत्र हैं और जनसंख्या में परिमित भिन्नताएं हैं

बरनौली की प्रमेय
प्रयोगों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ, किसी घटना के घटित होने की आवृत्ति किसी घटना की प्रायिकता में संभाव्यता में परिवर्तित हो जाती है

केंद्रीय सीमा प्रमेय
किसी भी वितरण कानून के साथ यादृच्छिक चर जोड़ते समय, लेकिन कुल योग में सीमित भिन्नता के साथ, वितरण कानून

गणितीय आँकड़ों के मुख्य कार्य
ऊपर चर्चित संभाव्यता सिद्धांत के नियम वास्तविक पैटर्न की गणितीय अभिव्यक्ति हैं जो वास्तव में विभिन्न यादृच्छिक सामूहिक घटनाओं में मौजूद हैं। पढ़ते पढ़ते

एक साधारण आँकड़ा। सांख्यिकीय वितरण समारोह
कुछ यादृच्छिक चर पर विचार करें जिनका वितरण नियम अज्ञात है। अनुभव के आधार पर चाहिए

सांख्यिकीय रेखा। बार चार्ट
बड़ी संख्या में टिप्पणियों (सैकड़ों के क्रम में) के साथ, सांख्यिकीय सामग्री को रिकॉर्ड करने के लिए सामान्य आबादी असुविधाजनक और बोझिल हो जाती है। स्पष्टता और कॉम्पैक्टनेस के लिए, सांख्यिकीय सामग्री

सांख्यिकीय वितरण की संख्यात्मक विशेषताएं
संभाव्यता सिद्धांत में, यादृच्छिक चर की विभिन्न संख्यात्मक विशेषताओं पर विचार किया गया: गणितीय अपेक्षा, फैलाव, विभिन्न आदेशों के प्रारंभिक और केंद्रीय क्षण। समान संख्याएँ

क्षणों की विधि द्वारा सैद्धांतिक वितरण का विकल्प
किसी भी सांख्यिकीय वितरण में, अनिवार्य रूप से यादृच्छिकता के तत्व सीमित संख्या में टिप्पणियों से जुड़े होते हैं। बड़ी संख्या में टिप्पणियों के साथ, यादृच्छिकता के इन तत्वों को सुचारू किया जाता है,

वितरण कानून के रूप के बारे में परिकल्पना की संभाव्यता का परीक्षण करना
मान लीजिए कि दिए गए सांख्यिकीय वितरण को किसी सैद्धांतिक वक्र या द्वारा अनुमानित किया गया है

सहमति मानदंड
सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले अच्छाई-की-फिट परीक्षणों में से एक पर विचार करें, तथाकथित पियर्सन परीक्षण। मान लेना

अज्ञात वितरण मापदंडों के लिए बिंदु अनुमान
पी.पी. 2.1। - 2.7 हमने गणितीय आँकड़ों की पहली और दूसरी मुख्य समस्याओं को हल करने के तरीकों पर विस्तार से विचार किया है। प्रायोगिक डेटा के अनुसार यादृच्छिक चर के वितरण के नियमों को निर्धारित करने के ये कार्य हैं

विश्वास अंतराल। आत्मविश्वास की संभावना
व्यवहार में, एक यादृच्छिक चर पर प्रयोगों की एक छोटी संख्या के साथ, एक अज्ञात पैरामीटर का अनुमानित प्रतिस्थापन

यादृच्छिक नमूने को देखे गए यादृच्छिक चर ξ, गणितीय अपेक्षा और विचरण द्वारा उत्पन्न होने दें जो अज्ञात हैं। इन विशेषताओं के अनुमान के रूप में, नमूना माध्य का उपयोग करने का प्रस्ताव किया गया था

और नमूना विचरण

. (3.14)

आइए गणितीय अपेक्षा और भिन्नता के अनुमानों के कुछ गुणों पर विचार करें।

1. नमूना माध्य की गणितीय अपेक्षा की गणना करें:

इसलिए, नमूना माध्य के लिए एक निष्पक्ष अनुमानक है।

2. याद रखें कि परिणाम प्रेक्षण स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, जिनमें से प्रत्येक का मान के समान वितरण नियम है, जिसका अर्थ है कि , , . हम मान लेंगे कि प्रसरण परिमित है। फिर, बड़ी संख्या के कानून पर चेबीशेव प्रमेय के अनुसार, किसी भी ε > 0 के लिए हमारे पास समानता है ,

जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: . (3.16) संगति गुण (3.11) की परिभाषा के साथ (3.16) की तुलना करते हुए, हम देखते हैं कि अनुमान अपेक्षा का एक सुसंगत अनुमान है।

3. नमूना माध्य का विचरण ज्ञात करें:

. (3.17)

इस प्रकार, अपेक्षा अनुमान का विचरण नमूना आकार के व्युत्क्रमानुपाती रूप से घटता है।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि यादृच्छिक चर ξ सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो नमूना माध्य अपेक्षित मूल्य का एक प्रभावी अनुमान है, अर्थात, प्रसरण अपेक्षित मूल्य के किसी अन्य अनुमान की तुलना में सबसे छोटा मान लेता है। ξ के अन्य वितरण कानूनों के लिए, यह मामला नहीं हो सकता है।

नमूना प्रसरण, विचरण का एक पक्षपाती अनुमान है, क्योंकि . (3.18)

दरअसल, गणितीय अपेक्षा और सूत्र (3.17) के गुणों का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं

.

भिन्नता का एक निष्पक्ष अनुमान प्राप्त करने के लिए, अनुमान (3.14) को सही किया जाना चाहिए, अर्थात, से गुणा किया जाना चाहिए। तब हमें निष्पक्ष नमूना विचरण मिलता है

. (3.19)

हम ध्यान दें कि सूत्र (3.14) और (3.19) केवल भाजक में भिन्न होते हैं, और बड़े मूल्यों के लिए नमूना और निष्पक्ष प्रसरण थोड़ा भिन्न होते हैं। हालांकि, छोटे नमूने के आकार के लिए, संबंध (3.19) का उपयोग किया जाना चाहिए।

एक यादृच्छिक चर के मानक विचलन का अनुमान लगाने के लिए, तथाकथित "संशोधित" मानक विचलन का उपयोग किया जाता है, जो निष्पक्ष भिन्नता के वर्गमूल के बराबर होता है:।

अंतराल अनुमान

आँकड़ों में, वितरण के अज्ञात मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए दो दृष्टिकोण हैं: बिंदु और अंतराल। बिंदु अनुमान के अनुसार, जिस पर पिछले खंड में चर्चा की गई थी, केवल वह बिंदु इंगित किया गया है जिसके पास अनुमानित पैरामीटर स्थित है। हालांकि, यह जानना वांछनीय है कि यह पैरामीटर वास्तव में अवलोकनों की विभिन्न श्रृंखलाओं में अनुमानों के संभावित कार्यान्वयन से कितनी दूर खड़ा हो सकता है।

इस प्रश्न का उत्तर - अनुमानित भी - पैरामीटर का आकलन करने का एक और तरीका देता है - अंतराल। इस आकलन पद्धति के अनुसार, एक अंतराल पाया जाता है, जो कि एक के करीब की संभावना के साथ, पैरामीटर के अज्ञात संख्यात्मक मान को कवर करता है।

अंतराल अनुमान की अवधारणा

बिंदु अनुमान एक यादृच्छिक चर है और नमूने के संभावित कार्यान्वयन के लिए पैरामीटर के वास्तविक मूल्य के लगभग बराबर मान लेता है। अंतर जितना छोटा होगा, अनुमान उतना ही सटीक होगा। इस प्रकार, जिसके लिए एक सकारात्मक संख्या , अनुमान की सटीकता को दर्शाता है और कहा जाता है अनुमान त्रुटि (या मामूली त्रुटि)।

आत्मविश्वास की संभावना(या विश्वसनीयता)संभाव्यता कहा जाता है β , जिसके साथ असमानता , अर्थात।

. (3.20)

असमानता की जगह इसकी समकक्ष दोहरी असमानता , या , हम पाते हैं

मध्यान्तर संभाव्यता के साथ कवर करना β , , अज्ञात पैरामीटर , कहा जाता है विश्वास अंतराल (या अंतराल अनुमान),आत्मविश्वास के स्तर के अनुरूप β .

एक यादृच्छिक चर न केवल एक अनुमान है, बल्कि एक त्रुटि भी है: इसका मान संभाव्यता पर निर्भर करता है β और, एक नियम के रूप में, नमूने से। इसलिए, विश्वास अंतराल यादृच्छिक है और अभिव्यक्ति (3.21) को निम्नानुसार पढ़ा जाना चाहिए: "अंतराल संभाव्यता के साथ पैरामीटर को कवर करेगा β ”, और इस तरह नहीं:“ पैरामीटर एक संभावना के साथ अंतराल में गिर जाएगा β ”.

विश्वास अंतराल का अर्थ यह है कि मामलों के सापेक्ष अनुपात में नमूना मात्रा के बार-बार दोहराव के बराबर β , कॉन्फिडेंस इंटरवल कॉन्फिडेंस लेवल के अनुरूप है β , अनुमानित पैरामीटर का सही मान शामिल करता है। तो आत्मविश्वास का स्तर β की विशेषता विश्वसनीयताआत्मविश्वास का आकलन: और अधिक β , अधिक संभावना है कि कॉन्फिडेंस इंटरवल के कार्यान्वयन में एक अज्ञात पैरामीटर शामिल है।