परिवर्तनशील वितरण श्रृंखला के निर्माण के लिए असतत सुविधाएँ। निरंतर मात्रात्मक डेटा के लिए अंतराल भिन्नता श्रृंखला का निर्माण

इस या उस घटना की विशेषता वाले सांख्यिकीय अवलोकन के आंकड़े होने के बाद, सबसे पहले उन्हें सुव्यवस्थित करना आवश्यक है, अर्थात। इसे व्यवस्थित करें

अंग्रेजी सांख्यिकीविद। UjReichman ने अनियंत्रित समुच्चय के बारे में अलंकारिक रूप से कहा कि असंगठित डेटा के द्रव्यमान के साथ सामना करना एक ऐसी स्थिति के समान है जहां एक व्यक्ति को कम्पास के बिना झाड़ी में फेंक दिया जाता है। वितरण श्रृंखला के रूप में सांख्यिकीय डेटा का व्यवस्थितकरण क्या है?

सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला एक क्रमबद्ध सांख्यिकीय जनसंख्या है (तालिका 17)। सबसे सरल प्रकार की सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला एक रैंक वाली श्रृंखला है, अर्थात आरोही या अवरोही क्रम में अलग-अलग संकेतों में संख्याओं की एक श्रृंखला। इस तरह की श्रृंखला हमें वितरित डेटा में निहित पैटर्न का न्याय करने की अनुमति नहीं देती है: किस मूल्य में अधिकांश संकेतक समूहीकृत हैं, इस मूल्य से विचलन क्या हैं; एक सामान्य वितरण पैटर्न के रूप में। इस उद्देश्य के लिए, डेटा को समूहीकृत किया जाता है, यह दर्शाता है कि उनकी कुल संख्या में व्यक्तिगत अवलोकन कितनी बार होते हैं (स्कीम 1ए 1)।

. तालिका 17

. सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला का सामान्य दृश्य

. योजना 1. सांख्यिकीय योजनावितरण रैंक

उन विशेषताओं के अनुसार जनसंख्या इकाइयों का वितरण जिनकी कोई मात्रात्मक अभिव्यक्ति नहीं होती है, कहलाती है विशेषता श्रृंखला(उदाहरण के लिए, उनकी उत्पादन लाइन के अनुसार उद्यमों का वितरण)

विशेषताओं के अनुसार जनसंख्या इकाइयों की वितरण श्रृंखला, एक मात्रात्मक अभिव्यक्ति है, कहलाती है भिन्नता श्रृंखला. ऐसी श्रृंखला में, सुविधा (विकल्प) का मान आरोही या अवरोही क्रम में होता है

वितरण की विविधता श्रृंखला में, दो तत्व प्रतिष्ठित होते हैं: वेरिएंट और फ़्रीक्वेंसी . विकल्प- यह ग्रुपिंग फीचर का एक अलग मूल्य है आवृत्ति- एक संख्या जो दर्शाती है कि प्रत्येक विकल्प कितनी बार आता है

गणितीय आँकड़ों में, परिवर्तनशील श्रृंखला के एक और तत्व की गणना की जाती है - आंशिक. उत्तरार्द्ध को किसी दिए गए अंतराल के मामलों की आवृत्ति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, आवृत्तियों की कुल राशि के लिए, भाग एक इकाई के अंशों में निर्धारित होता है, प्रतिशत (%) पीपीएम (% ओ) में

इस प्रकार, एक परिवर्तनशील वितरण श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसमें विकल्पों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है, उनकी आवृत्तियों या आवृत्तियों को इंगित किया जाता है। परिवर्तनशील श्रृंखला असतत (pererivny) और अन्य अंतराल (निरंतर) हैं।

. असतत भिन्नता श्रृंखला- ये वितरण श्रृंखलाएं हैं जिनमें एक मात्रात्मक विशेषता के मूल्य के रूप में भिन्नता केवल एक निश्चित मान ले सकती है। वेरिएंट एक दूसरे से एक या अधिक इकाइयों से भिन्न होते हैं

इसलिए, एक विशिष्ट कार्यकर्ता द्वारा प्रति पारी उत्पादित भागों की संख्या केवल एक विशिष्ट संख्या (6, 10, 12, आदि) द्वारा व्यक्त की जा सकती है। असतत भिन्नता श्रृंखला का एक उदाहरण उत्पादित भागों की संख्या के अनुसार श्रमिकों का वितरण हो सकता है (तालिका 18-18)।

. तालिका 18

. असतत वितरण रेंज _

. अंतराल (निरंतर) भिन्नता श्रृंखला- ऐसी वितरण श्रृंखला जिसमें विकल्पों का मान अंतराल के रूप में दिया जाता है, अर्थात सुविधा मान एक दूसरे से मनमाने ढंग से छोटी राशि से भिन्न हो सकते हैं। एनईपी की विविधतापूर्ण श्रृंखला का निर्माण करते समय, वेरिएंट के प्रत्येक मूल्य को इंगित करना असंभव है, इसलिए सेट अंतराल पर वितरित किया जाता है। उत्तरार्द्ध बराबर हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। उनमें से प्रत्येक के लिए, आवृत्तियों या आवृत्तियों को इंगित किया गया है (तालिका 1 9 19)।

असमान अंतराल वाली अंतराल वितरण श्रृंखला में, दिए गए अंतराल में गणितीय विशेषताओं जैसे वितरण घनत्व और सापेक्ष वितरण घनत्व की गणना की जाती है। पहली विशेषता एक ही अंतराल के मूल्य के लिए आवृत्ति के अनुपात से निर्धारित होती है, दूसरी - उसी अंतराल के मूल्य के आवृत्ति के अनुपात से। उपरोक्त उदाहरण के लिए, पहले अंतराल में वितरण घनत्व 3:5 = 0.6 होगा, और इस अंतराल में सापेक्षिक घनत्व 7.5:5 = 1.55% होगा।

. तालिका 19

. अंतराल वितरण श्रृंखला _

एक चर विशेषता में परिवर्तन का वर्णन वितरण श्रृंखला का उपयोग करके किया जाता है।

सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला- यह एक निश्चित भिन्न विशेषता के अनुसार अलग-अलग समूहों में सांख्यिकीय जनसंख्या की इकाइयों का एक क्रमबद्ध वितरण है।

गुणात्मक आधार पर निर्मित सांख्यिकीय श्रृंखला कहलाती है ठहराव. यदि वितरण श्रृंखला मात्रात्मक विशेषता पर आधारित है, तो श्रृंखला है परिवर्तन संबंधी.

बदले में, परिवर्तनशील श्रृंखला को असतत और अंतराल में विभाजित किया जाता है। महत्वपूर्ण या मुख्य स्थान पर अलगवितरण श्रृंखला में एक असतत (असंतुलित) विशेषता निहित है जो विशिष्ट संख्यात्मक मान (अपराधों की संख्या, कानूनी सहायता के लिए नागरिकों के आवेदनों की संख्या) पर ले जाती है। मध्यान्तरवितरण श्रृंखला एक सतत विशेषता के आधार पर बनाई गई है जो किसी दिए गए सीमा (दोषी की आयु, कारावास की अवधि, आदि) से किसी भी मान को ले सकती है।

किसी भी सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला में दो अनिवार्य तत्व होते हैं - श्रृंखला और आवृत्ति संस्करण। विकल्प (एक्स मैं) विशेषता के अलग-अलग मान हैं जो इसे वितरण श्रृंखला में लेते हैं। आवृत्तियों (फाई) संख्यात्मक मान हैं जो दिखाते हैं कि वितरण श्रृंखला में कितनी बार कुछ विकल्प होते हैं। सभी आवृत्तियों के योग को जनसंख्या का आयतन कहा जाता है।

सापेक्ष इकाइयों (अंश या प्रतिशत) में व्यक्त आवृत्तियों को आवृत्तियां कहा जाता है ( मैं). यदि आवृत्तियों को एक या 100 के अंशों में व्यक्त किया जाता है, तो आवृत्तियों का योग एक के बराबर होता है, यदि उन्हें प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। आवृत्तियों का उपयोग विभिन्न जनसंख्या आकारों के साथ परिवर्तनशील श्रृंखलाओं की तुलना करना संभव बनाता है। आवृत्तियों को निम्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

असतत श्रृंखला बनाने के लिए, श्रृंखला में होने वाली सुविधा के सभी व्यक्तिगत मूल्यों को रैंक किया जाता है, और फिर प्रत्येक मूल्य की पुनरावृत्ति आवृत्तियों की गणना की जाती है। एक वितरण श्रृंखला को दो पंक्तियों और स्तंभों से मिलकर एक तालिका के विचार में तैयार किया गया है, जिनमें से एक में श्रृंखला के वेरिएंट के मान शामिल हैं एक्स मैं, दूसरे में - आवृत्तियों के मान फाई।

असतत परिवर्तनशील श्रृंखला के निर्माण के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 3.1 . आंतरिक मामलों के मंत्रालय के अनुसार उम्र के एन नाबालिगों के शहर में किए गए अपराध दर्ज किए गए।

17 13 15 16 17 15 15 14 16 13 14 17 14 15 15 16 16 15 14 15 15 14 16 16 14 17 16 15 16 15 13 15 15 13 15 14 15 13 17 14.

असतत वितरण श्रृंखला बनाएँ।

समाधान .

सबसे पहले, नाबालिगों की उम्र के आंकड़ों को रैंक करना आवश्यक है, अर्थात उन्हें आरोही क्रम में लिखिए।

13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17

तालिका 3.1

इस प्रकार, आवृत्तियाँ किसी दिए गए आयु के लोगों की संख्या को दर्शाती हैं, उदाहरण के लिए, 5 लोग 13 वर्ष के हैं, 8 लोग 14 वर्ष के हैं, और इसी तरह।

इमारत मध्यान्तरवितरण पंक्तियों को एक मात्रात्मक विशेषता के अनुसार एक समान-अंतराल समूह के कार्यान्वयन के समान किया जाता है, अर्थात्, पहले समूहों की इष्टतम संख्या निर्धारित की जाती है जिसमें सेट को विभाजित किया जाएगा, समूहों द्वारा अंतराल की सीमाएं निर्धारित की जाती हैं और आवृत्तियों की गणना की जाती है।

आइए निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करते हुए एक अंतराल वितरण श्रृंखला के निर्माण को स्पष्ट करें।

उदाहरण 3.2 .

निम्नलिखित सांख्यिकीय आबादी के लिए एक अंतराल श्रृंखला बनाएं - कार्यालय में एक वकील का वेतन, हजार रूबल:

16,0 22,2 25,1 24,3 30,5 32,0 17,0 23,0 19,8 27,5 22,0 18,9 31,0 21,5 26,0 27,4

समाधान।

आइए किसी दिए गए सांख्यिकीय जनसंख्या के लिए समान-अंतराल समूहों की इष्टतम संख्या लें, 4 के बराबर (हमारे पास 16 विकल्प हैं)। इसलिए, प्रत्येक समूह का आकार बराबर है:

और प्रत्येक अंतराल का मान इसके बराबर होगा:

अंतराल की सीमाएं सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती हैं:

,

i-th अंतराल की निचली और ऊपरी सीमाएँ क्रमशः कहाँ हैं।

अंतराल की सीमाओं की मध्यवर्ती गणनाओं को छोड़कर, हम उनके मूल्यों (विकल्पों) और वकीलों (आवृत्तियों) की संख्या दर्ज करते हैं, जिनके पास तालिका 3.2 में प्रत्येक अंतराल के भीतर वेतन है, जो परिणामी अंतराल श्रृंखला को दिखाता है।

तालिका 3.2

सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला का विश्लेषण ग्राफिकल विधि का उपयोग करके किया जा सकता है। वितरण श्रृंखला का चित्रमय प्रतिनिधित्व अध्ययन की गई जनसंख्या के वितरण के पैटर्न को एक बहुभुज, एक हिस्टोग्राम और संचयी के रूप में चित्रित करके नेत्रहीन रूप से चित्रित करना संभव बनाता है। आइए इनमें से प्रत्येक ग्राफ़ पर एक नज़र डालें।

बहुभुजएक पॉलीलाइन है जिसके खंड बिंदुओं को निर्देशांक से जोड़ते हैं ( एक्स मैं;फाई). आमतौर पर, एक बहुभुज का उपयोग असतत वितरण श्रृंखला प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है। इसे बनाने के लिए, फीचर के रैंक किए गए व्यक्तिगत मूल्यों को एक्स-अक्ष पर प्लॉट किया जाता है एक्स मैं, y-अक्ष पर इन मानों के संगत बारंबारताएँ हैं। नतीजतन, एब्सिस्सा और ऑर्डिनेट अक्षों के साथ चिह्नित डेटा के अनुरूप बिंदुओं के खंडों को जोड़कर, एक पॉलीलाइन प्राप्त की जाती है, जिसे बहुभुज कहा जाता है। आइए एक बारंबारता बहुभुज की रचना का एक उदाहरण दें।

एक बहुभुज के निर्माण को स्पष्ट करने के लिए, आइए एक असतत श्रृंखला के निर्माण के लिए उदाहरण 3.1 को हल करने का परिणाम लें - चित्र 1। भुज दोषियों की आयु को दर्शाता है, समन्वय किसी दिए गए आयु के साथ किशोर दोषियों की संख्या दर्शाता है। इस बहुभुज का विश्लेषण करते हुए, हम कह सकते हैं कि दोषियों की सबसे बड़ी संख्या - 14 लोग, 15 वर्ष के हैं।

चित्र 3.1 - असतत श्रृंखला की आवृत्तियों की सीमा।

एक अंतराल श्रृंखला के लिए एक बहुभुज भी बनाया जा सकता है, जिसमें अंतराल के मध्य बिंदुओं को भुज अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और संबंधित आवृत्तियों को कोटि अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है।

बार चार्ट- आयतों से युक्त एक चरणबद्ध आकृति, जिसका आधार सुविधा के मूल्य के अंतराल हैं, और ऊँचाई संगत आवृत्तियों के बराबर होती है। हिस्टोग्राम का उपयोग केवल अंतराल वितरण श्रृंखला प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है। यदि अंतराल असमान हैं, तो वाई-अक्ष पर एक हिस्टोग्राम बनाने के लिए, आवृत्तियों को प्लॉट नहीं किया जाता है, लेकिन आवृत्ति का अनुपात इसी अंतराल की चौड़ाई से होता है। एक हिस्टोग्राम को एक वितरण बहुभुज में परिवर्तित किया जा सकता है यदि उसके स्तंभों के मध्य खंडों से जुड़े हों।

हिस्टोग्राम के निर्माण को स्पष्ट करने के लिए, उदाहरण 3.2 - चित्र 3.2 से एक अंतराल श्रृंखला के निर्माण के परिणाम लेते हैं।

चित्र 3.2 - वकीलों के वेतन के वितरण का हिस्टोग्राम।

चर श्रृंखला के चित्रमय प्रतिनिधित्व के लिए, संचयी का भी उपयोग किया जाता है। संचितएक वक्र है जो संचित आवृत्तियों की एक श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करता है और निर्देशांक के साथ बिंदुओं को जोड़ता है ( एक्स मैं;च मैं नाक). संचयी आवृत्तियों की गणना वितरण श्रृंखला की सभी आवृत्तियों के क्रमिक योग द्वारा की जाती है और उन जनसंख्या इकाइयों की संख्या दर्शाती है जिनकी विशेषता मान निर्दिष्ट एक से अधिक नहीं है। आइए हम उदाहरण 3.2 - तालिका 3.3 में प्रस्तुत परिवर्तनशील अंतराल श्रृंखला के लिए संचित आवृत्तियों की गणना का वर्णन करें।

तालिका 3.3

एक असतत वितरण श्रृंखला के संचयन का निर्माण करने के लिए, विशेषता के रैंक किए गए व्यक्तिगत मूल्यों को एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और उनके अनुरूप संचित आवृत्तियों को ऑर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है। एक अंतराल श्रृंखला के संचयी वक्र का निर्माण करते समय, पहले बिंदु में पहले अंतराल की निचली सीमा के बराबर एक भुज होगा, और एक कोटि 0 के बराबर होगी। बाद के सभी बिंदुओं को अंतराल की ऊपरी सीमा के अनुरूप होना चाहिए। आइए तालिका 3.3 - चित्र 3.3 में डेटा का उपयोग करके संचयी बनाएं।

चित्र 3.3 - वकीलों के वेतन का संचयी वितरण वक्र।

प्रश्नों पर नियंत्रण रखें

1. एक सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला की अवधारणा, इसके मुख्य तत्व।

2. सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला के प्रकार। उनका संक्षिप्त विवरण।

3. असतत और अंतराल वितरण श्रृंखला।

4. असतत वितरण श्रृंखला के निर्माण की तकनीक।

5. अंतराल वितरण श्रृंखला के निर्माण की तकनीक।

6. असतत वितरण श्रृंखला का चित्रमय प्रतिनिधित्व।

7. अंतराल वितरण श्रृंखला का चित्रमय प्रतिनिधित्व।

कार्य

कार्य 1. TGP प्रति सत्र में समूह के 25 छात्रों की प्रगति पर निम्नलिखित डेटा हैं: 5, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 2, 5 , 5, 2, 3 , 3, 5, 4, 2, 3, 3. सत्र में प्राप्त आकलन के अंकों के अनुसार छात्रों के वितरण की असतत परिवर्तनशील श्रृंखला का निर्माण करें। परिणामी श्रृंखला के लिए, आवृत्तियों, संचयी आवृत्तियों, संचयी आवृत्तियों की गणना करें। अपने निष्कर्ष निकालें।

कार्य 2. कॉलोनी में 1000 अपराधी हैं, उनका आयु वितरण तालिका में प्रस्तुत किया गया है:

इस श्रृंखला को रेखांकन द्वारा दर्शाइए। अपने निष्कर्ष निकालें।

कार्य 3. कैदियों के कारावास की शर्तों पर निम्नलिखित आंकड़े उपलब्ध हैं:

5; 4; 2; 1; 6; 3; 4; 3; 2; 2; 3; 1; 17; 6; 2; 8; 5; 11; 9; 3; 5; 6; 4; 3; 10; 5; 25; 1; 12; 3; 3; 4; 9; 6; 5; 3; 4; 3; 5; 12; 4; 13; 2; 4; 6; 4; 14; 3; 11; 5; 4; 13; 2; 4; 6; 4; 14; 3; 11; 5; 4; 3; 12; 6.

कारावास की शर्तों द्वारा कैदियों के वितरण की एक अंतराल श्रृंखला बनाएँ। अपने निष्कर्ष निकालें।

कार्य 4. आयु समूहों द्वारा अध्ययन अवधि के लिए क्षेत्र में दोषियों के वितरण पर निम्नलिखित डेटा है:

इस श्रृंखला को आलेखीय रूप से बनाएं, निष्कर्ष निकालें।

उच्च व्यावसायिक शिक्षा

"लोगों की अर्थव्यवस्था की रूसी अकादमी और

राष्ट्रपति के अधीन सिविल सेवा

रूसी संघ"

(कलुगा शाखा)

प्राकृतिक विज्ञान और गणितीय अनुशासन विभाग

परीक्षा

विषय "सांख्यिकी"

छात्र ___ मेबोरोडा गैलिना युरेविना ______

पत्राचार विभाग संकाय राज्य और नगरपालिका प्रबंधन समूह G-12-V

व्याख्याता ____________________ हैमर जी.वी.

पीएचडी, एसोसिएट प्रोफेसर

कलुगा -2013

कार्य 1।

कार्य 1.1। 4

कार्य 1.2। 16

कार्य 1.3। 24

कार्य 1.4। 33

कार्य 2।

कार्य 2.1। 43

कार्य 2.2। 48

कार्य 2.3। 53

टास्क 2.4। 58

कार्य 3।

कार्य 3.1। 63

कार्य 3.2। 68

कार्य 3.3। 73

कार्य 3.4। 79

कार्य 4।

समस्या 4.1। 85

टास्क 4.2। 88

टास्क 4.3। 90

टास्क 4.4। 93

प्रयुक्त स्रोतों की सूची। 96

कार्य 1।

कार्य 1.1।

क्षेत्र के उद्यमों द्वारा आउटपुट और लाभ की मात्रा पर निम्नलिखित डेटा हैं (तालिका 1)।

तालिका नंबर एक

उत्पादन उत्पादन पर डेटा और उद्यमों द्वारा लाभ की राशि

कंपनी संख्या	आउटपुट, मिलियन रूबल	लाभ, मिलियन रूबल	कंपनी संख्या	आउटपुट, मिलियन रूबल	लाभ, मिलियन रूबल
	63,0	6,7		56,0	7,2
	48,0	6,2		81,0	9,6
	39,0	6,5		55,0	6,3
	28,0	3,0		76,0	9,1
	72,0	8,2		54,0	6,0
	61,0	7,6		53,0	6,4
	47,0	5,9		68,0	8,5
	37,0	4,2		52,0	6,5
	25,0	2,8		44,0	5,0
	60,0	7,9		51,0	6,4
	46,0	5,5		50,0	5,8
	34,0	3,8		65,0	6,7
	21,0	2,1		49,0	6,1
	58,0	8,0		42,0	4,8
	45,0	5,7		32,0	4,6

मूल आंकड़ों के अनुसार:

1. उत्पादन द्वारा उद्यमों के वितरण की एक सांख्यिकीय श्रृंखला बनाएँ, समान अंतराल पर पाँच समूह बनाएँ।

वितरण श्रृंखला ग्राफ़ बनाएँ: बहुभुज, हिस्टोग्राम, संचयी। मोड और माध्यिका के मान को रेखांकन से निर्धारित करें।

2. आउटपुट द्वारा उद्यमों के वितरण की एक श्रृंखला की विशेषताओं की गणना करें: अंकगणितीय माध्य, फैलाव, मानक विचलन, भिन्नता का गुणांक।

एक निष्कर्ष बनाओ।

3. विश्लेषणात्मक समूहीकरण की विधि का उपयोग करते हुए, निर्मित उत्पादों की लागत और प्रति उद्यम लाभ की मात्रा के बीच संबंध की उपस्थिति और प्रकृति को स्थापित करें।

4. अनुभवजन्य सहसंबंध द्वारा उत्पादन की लागत और लाभ की मात्रा के बीच सहसंबंध की जकड़न को मापें।

सामान्य निष्कर्ष निकालें।

समाधान:

आइए वितरण की एक सांख्यिकीय श्रृंखला बनाएं

एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला का निर्माण करने के लिए जो आउटपुट के संदर्भ में उद्यमों के वितरण की विशेषता है, श्रृंखला के अंतराल के मूल्य और सीमाओं की गणना करना आवश्यक है।

समान अंतराल वाली श्रृंखला का निर्माण करते समय, अंतराल का मान एचसूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एक्स मैक्सऔर एक्स मिन- उद्यमों के अध्ययन किए गए सेट में विशेषता का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य;

क- अंतराल श्रृंखला समूहों की संख्या।

समूहों की संख्या कअसाइनमेंट में निर्दिष्ट। क= 5.

एक्स मैक्स= 81 मिलियन रूबल, एक्स मिन= 21 मिलियन रूबल

अंतराल मान की गणना:

मिलियन रूबल

क्रमिक रूप से अंतराल h = 12 मिलियन रूबल का मान जोड़कर। अंतराल की निचली सीमा तक, हम निम्नलिखित समूह प्राप्त करते हैं:

1 समूह: 21 - 33 मिलियन रूबल।

2 समूह: 33 - 45 मिलियन रूबल;

समूह 3: 45 - 57 मिलियन रूबल।

समूह 4: 57 - 69 मिलियन रूबल।

समूह 5: 69 - 81 मिलियन रूबल।

अंतराल श्रृंखला का निर्माण करने के लिए, प्रत्येक समूह में शामिल उद्यमों की संख्या की गणना करना आवश्यक है ( समूह आवृत्तियों).

आउटपुट वॉल्यूम द्वारा उद्यमों को समूहीकृत करने की प्रक्रिया सहायक तालिका 2 में प्रस्तुत की गई है। इस तालिका का कॉलम 4 एक विश्लेषणात्मक समूह (कार्य का आइटम 3) बनाने के लिए आवश्यक है।

तालिका 2

एक अंतराल वितरण श्रृंखला के निर्माण के लिए तालिका और

विश्लेषणात्मक समूहन

आउटपुट द्वारा उद्यमों के समूह, मिलियन रूबल	कंपनी संख्या	आउटपुट, मिलियन रूबल	लाभ, मिलियन रूबल
21-33		21,0	2,1
	25,0	2,8
	28,0	3,0
	32,0	4,6
कुल		106,0	12,5
33-45		34,0	3,8
	37,0	4,2
	39,0	6,5
	42,0	4,8
	44,0	5,0
कुल		196,0	24,3
45-57		45,0	5,7
	46,0	5,5
	47,0	5,9
	48,0	6,2
	49,0	6,1
	50,0	5,8
	51,0	6,4
	52,0	6,5
	53,0	6,4
	54,0	6,0
	55,0	6,3
	56,0	7,2
कुल		606,0	74,0
57-69		58,0	8,0
	60,0	7,9
	61,0	7,6
	63,0	6,7
	65,0	6,7
	68,0	8,5
कुल		375,0	45,4
69-81		72,0	8,2
	76,0	9,1
	81,0	9,6
कुल		229,0	26,9
कुल			183,1

"कुल" तालिका 3 के समूह सारांश पंक्तियों के आधार पर, अंतिम तालिका 3 बनती है, जो आउटपुट द्वारा उद्यमों के वितरण की अंतराल श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करती है।

टेबल तीन

आउटपुट वॉल्यूम द्वारा उद्यमों के वितरण की संख्या

निष्कर्ष।निर्मित समूहीकरण दर्शाता है कि उत्पादन के संदर्भ में उद्यमों का वितरण एक समान नहीं है। 45 से 57 मिलियन रूबल की उत्पादन मात्रा वाले सबसे आम उद्यम। (12 उद्यम)। 69 से 81 मिलियन रूबल के आउटपुट वाले उद्यम सबसे कम आम हैं। (3 उद्यम)।

वितरण श्रृंखला के रेखांकन बनाते हैं।

बहुभुज अक्सर असतत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करते थे। एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक बहुभुज का निर्माण करने के लिए, तर्क के मूल्यों को भुज अक्ष पर प्लॉट किया जाता है, अर्थात विकल्प (अंतराल भिन्नता श्रृंखला के लिए, अंतराल के मध्य को एक तर्क के रूप में लिया जाता है) और समन्वय अक्ष पर - आवृत्ति मान। इसके अलावा, इस समन्वय प्रणाली में, अंक बनाए जाते हैं, जिनमें से निर्देशांक भिन्नता श्रृंखला से संबंधित संख्याओं के जोड़े होते हैं। परिणामी बिंदु श्रृंखला में सीधी रेखा खंडों से जुड़े हुए हैं। बहुभुज चित्र 1 में दिखाया गया है।

बार चार्ट - बार चार्ट। यह आपको वितरण की समरूपता का मूल्यांकन करने की अनुमति देता है। हिस्टोग्राम चित्र 2 में दिखाया गया है।

चित्र 1 - मात्रा द्वारा उद्यमों का बहुभुज वितरण

आउटपुट

पहनावा

चित्र 2 - आयतन द्वारा उद्यमों के वितरण का हिस्टोग्राम

आउटपुट

पहनावा- अध्ययन आबादी में सबसे अधिक बार होने वाले लक्षण का मूल्य।

एक अंतराल श्रृंखला के लिए, मोड को हिस्टोग्राम (चित्रा 2) से ग्राफिकल रूप से निर्धारित किया जा सकता है। इसके लिए, उच्चतम आयत का चयन किया जाता है, जो इस मामले में मोडल (45-57 मिलियन रूबल) है। फिर मोडल आयत का दाहिना शीर्ष पिछले आयत के ऊपरी दाएँ कोने से जुड़ा होता है। और मोडल आयत का बायाँ शीर्ष बाद के आयत के ऊपरी बाएँ कोने के साथ है। इसके अलावा, उनके चौराहे के बिंदु से, एक लंब को एब्सिस्सा अक्ष पर उतारा जाता है। इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज वितरण मोड होगा।

दस लाख रगड़ना।

निष्कर्ष।उद्यमों के विचारित सेट में, 52 मिलियन रूबल के उत्पादन वाले उद्यम सबसे आम हैं।

संचित - टूटा हुआ वक्र। यह संचित आवृत्तियों (तालिका 4 में गणना) पर बनाया गया है। संचयी पहले अंतराल (21 मिलियन रूबल) की निचली सीमा से शुरू होता है, संचित आवृत्ति अंतराल की ऊपरी सीमा पर जमा होती है। संचयी चित्र 3 में दिखाया गया है।

मंझला

चित्र 3 - मात्रा द्वारा उद्यमों का संचयी वितरण

आउटपुट

मेडियन मीउस सुविधा का मान है जो रैंक की गई श्रृंखला के मध्य में आता है। माध्यिका के दोनों ओर जनसंख्या इकाइयों की संख्या समान होती है।

एक अंतराल श्रृंखला में, माध्यिका को संचयी वक्र से रेखांकन द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। 50% (30:2 = 15) के संगत संचयी आवृत्ति पैमाने पर एक बिंदु से माध्यिका निर्धारित करने के लिए, एक सीधी रेखा भुज अक्ष के समानांतर खींची जाती है जब तक कि यह संचयी के साथ प्रतिच्छेद न कर दे। फिर, संचयी के साथ निर्दिष्ट सीधी रेखा के चौराहे के बिंदु से, एक लंब को एब्सिस्सा अक्ष पर उतारा जाता है। प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज माध्यिका है।

दस लाख रगड़ना।

निष्कर्ष।उद्यमों के विचारित सेट में, आधे उद्यमों की उत्पादन मात्रा 52 मिलियन रूबल से अधिक नहीं है, और अन्य आधे - 52 मिलियन रूबल से कम नहीं है।

समान जानकारी।

अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण करते समय, तीन प्रश्न हल किए जाते हैं:

• 1. मुझे कितने अंतराल लेने चाहिए?
• 2. अंतरालों की लंबाई कितनी है?
• 3. अंतरालों की सीमाओं में जनसंख्या इकाइयों को शामिल करने की क्या प्रक्रिया है?
• 1. अंतराल की संख्याद्वारा निर्धारित किया जा सकता है स्टर्गेस सूत्र:

2. अंतराल लंबाई, या अंतराल चरण, आमतौर पर सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

कहाँ आर-भिन्नता की सीमा।

3. अंतराल की सीमाओं में जनसंख्या इकाइयों को शामिल करने का क्रम

अलग हो सकता है, लेकिन एक अंतराल श्रृंखला का निर्माण करते समय, वितरण अनिवार्य रूप से सख्ती से परिभाषित होता है।

उदाहरण के लिए, यह: [), जिसमें जनसंख्या की इकाइयों को निचली सीमा में शामिल किया जाता है, और ऊपरी सीमा में शामिल नहीं किया जाता है, लेकिन अगले अंतराल में स्थानांतरित कर दिया जाता है। इस नियम का अपवाद अंतिम अंतराल है, जिसकी ऊपरी सीमा में क्रमित श्रृंखला की अंतिम संख्या शामिल है।

अंतराल की सीमाएं हैं:

• बंद - विशेषता के दो चरम मूल्यों के साथ;
• खुला - सुविधा के एक चरम मूल्य के साथ (पहलेकुछ संख्या या ऊपरऐसी संख्या)।

सैद्धांतिक सामग्री को आत्मसात करने के लिए, हम परिचय देते हैं पृष्ठभूमि की जानकारीसमाधान के लिए कार्यों के माध्यम से।

बिक्री प्रबंधकों की औसत संख्या, उनके द्वारा बेचे गए एकल-गुणवत्ता वाले सामानों की संख्या, इस उत्पाद के लिए व्यक्तिगत बाजार मूल्य, साथ ही रूसी संघ के एक क्षेत्र में 30 फर्मों की बिक्री की मात्रा पर सशर्त डेटा हैं। रिपोर्टिंग वर्ष की पहली तिमाही (तालिका 2.1)।

तालिका 2.1

क्रॉस-कटिंग कार्य के लिए प्रारंभिक जानकारी

	जनसंख्या प्रबंधकों		मूल्य, हजार रूबल	बिक्री की मात्रा, मिलियन रूबल

	जनसंख्या प्रबंधकों	बेचे गए माल की मात्रा, पीसी।	मूल्य, हजार रूबल	बिक्री की मात्रा, मिलियन रूबल

प्रारंभिक जानकारी के साथ-साथ अतिरिक्त जानकारी के आधार पर, हम अलग-अलग कार्य निर्धारित करेंगे। फिर हम उन्हें हल करने की पद्धति और स्वयं समाधान प्रस्तुत करते हैं।

क्रॉस-कटिंग कार्य। कार्य 2.1

मूल डेटा तालिका का उपयोग करना। 2.1 आवश्यकबेची गई वस्तुओं की संख्या (तालिका 2.2) द्वारा फर्मों के वितरण की असतत श्रृंखला बनाएं।

समाधान:

तालिका 2.2

रिपोर्टिंग वर्ष की पहली तिमाही में रूसी संघ के किसी एक क्षेत्र में बेचे गए सामानों की संख्या से फर्मों के वितरण की असतत श्रृंखला

क्रॉस-कटिंग कार्य। कार्य 2.2

आवश्यकप्रबंधकों की औसत संख्या के आधार पर 30 फर्मों की रैंक वाली श्रृंखला बनाएं।

समाधान:

15; 17; 18; 20; 20; 20; 22; 22; 24; 25; 25; 25; 27; 27; 27; 28; 29; 30; 32; 32; 33; 33; 33; 34; 35; 35; 38; 39; 39; 45.

क्रॉस-कटिंग कार्य। कार्य 2.3

मूल डेटा तालिका का उपयोग करना। 2.1, आवश्यक:

• 1. प्रबंधकों की संख्या द्वारा फर्मों के वितरण के लिए एक अंतराल श्रृंखला का निर्माण करें।
• 2. फर्मों की वितरण श्रृंखला की आवृत्तियों की गणना करें।
• 3. निष्कर्ष निकालना।

समाधान:

स्टर्गेस सूत्र (2.5) का उपयोग करके गणना करें अंतराल की संख्या:

इस प्रकार, हम 6 अंतराल (समूह) लेते हैं।

अंतराल की लंबाई, या अंतराल चरण, सूत्र द्वारा गणना करें

टिप्पणी।अंतराल की सीमाओं में जनसंख्या की इकाइयों को शामिल करने का क्रम इस प्रकार है: I), जिसमें जनसंख्या की इकाइयाँ निचली सीमाओं में शामिल हैं, और ऊपरी में शामिल नहीं हैं, लेकिन अगली में स्थानांतरित कर दी गई हैं मध्यान्तर। इस नियम का अपवाद अंतिम अंतराल I] है, जिसकी ऊपरी सीमा में क्रमित श्रृंखला की अंतिम संख्या शामिल है।

हम एक अंतराल श्रृंखला (तालिका 2.3) बनाते हैं।

फर्मों के वितरण की अंतराल श्रृंखला लेकिन रिपोर्टिंग वर्ष की पहली तिमाही में रूसी संघ के एक क्षेत्र में प्रबंधकों की औसत संख्या

निष्कर्ष।फर्मों का सबसे अधिक समूह 25-30 लोगों के प्रबंधकों की औसत संख्या वाला समूह है, जिसमें 8 फर्म (27%) शामिल हैं; 40-45 लोगों के प्रबंधकों की औसत संख्या वाले सबसे छोटे समूह में केवल एक फर्म (3%) शामिल है।

मूल डेटा तालिका का उपयोग करना। 2.1, साथ ही प्रबंधकों की संख्या (तालिका 2.3) द्वारा फर्मों के वितरण की अंतराल श्रृंखला, आवश्यकप्रबंधकों की संख्या और फर्मों की बिक्री की मात्रा के बीच संबंधों का एक विश्लेषणात्मक समूह बनाना और इसके आधार पर, संकेतित संकेतों के बीच संबंध की उपस्थिति (या अनुपस्थिति) के बारे में निष्कर्ष निकालना।

समाधान:

विश्लेषणात्मक समूहीकरण एक कारक के आधार पर बनाया गया है। हमारी समस्या में, कारक चिन्ह (x) प्रबंधकों की संख्या है, और परिणामी चिन्ह (y) बिक्री की मात्रा है (तालिका 2.4)।

चलो अब बनाते हैं विश्लेषणात्मक समूहन(तालिका 2.5)।

निष्कर्ष।निर्मित विश्लेषणात्मक समूह के आंकड़ों के आधार पर, यह कहा जा सकता है कि बिक्री प्रबंधकों की संख्या में वृद्धि के साथ, समूह में कंपनी की औसत बिक्री की मात्रा भी बढ़ जाती है, जो इन सुविधाओं के बीच सीधा संबंध होने का संकेत देती है।

तालिका 2.4

एक विश्लेषणात्मक समूह बनाने के लिए सहायक तालिका

	प्रबंधकों, व्यक्तियों की संख्या,	कंपनी संख्या	बिक्री की मात्रा, मिलियन रूबल, वाई
			»= 59 एफ = 9.97
			मैं-™ 4 -यू.22
			74 '25 1PY1 यू4 = 7 = 10,61

			पर = ’ =10,31 30

तालिका 2.5

रिपोर्टिंग वर्ष की पहली तिमाही में रूसी संघ के किसी एक क्षेत्र में कंपनी प्रबंधकों की संख्या पर बिक्री की मात्रा की निर्भरता

नियंत्रण प्रश्न

• 1. सांख्यिकीय अवलोकन का सार क्या है?
• 2. सांख्यिकीय प्रेक्षण की अवस्थाओं के नाम लिखिए।
• 3. सांख्यिकीय अवलोकन के संगठनात्मक रूप क्या हैं?
• 4. सांख्यिकीय प्रेक्षण के प्रकारों के नाम लिखिए।
• 5. सांख्यिकीय सारांश क्या है?
• 6. सांख्यिकीय रिपोर्ट के प्रकारों के नाम बताइए।
• 7. सांख्यिकीय समूहीकरण क्या है?
• 8. सांख्यिकीय समूहों के प्रकारों के नाम बताइए।
• 9. वितरण श्रृंखला क्या है?
• 10. वितरण श्रृंखला के संरचनात्मक तत्वों के नाम बताइए।
• 11. वितरण श्रृंखला के निर्माण की प्रक्रिया क्या है?

सामाजिक-आर्थिक घटनाओं और प्रक्रियाओं के अध्ययन में सबसे महत्वपूर्ण चरण प्राथमिक डेटा का व्यवस्थितकरण है और इस आधार पर, सामान्यीकरण संकेतकों का उपयोग करके संपूर्ण वस्तु का सारांश विशेषता प्राप्त करना, जो प्राथमिक सांख्यिकीय सामग्री को सारांशित और समूहित करके प्राप्त किया जाता है।

सांख्यिकीय सारांश - यह समग्र रूप से अध्ययन के तहत घटना में निहित विशिष्ट विशेषताओं और पैटर्न की पहचान करने के लिए, एक सेट बनाने वाले विशिष्ट एकल तथ्यों को सामान्य बनाने के लिए अनुक्रमिक संचालन का एक जटिल है। एक सांख्यिकीय सारांश के संचालन में निम्नलिखित चरण शामिल हैं :

• समूहीकरण सुविधा का विकल्प;
• समूहों के गठन के क्रम का निर्धारण;
• समूहों और वस्तु को समग्र रूप से चिह्नित करने के लिए सांख्यिकीय संकेतकों की एक प्रणाली का विकास;
• सारांश परिणाम प्रस्तुत करने के लिए सांख्यिकीय तालिकाओं के लेआउट का विकास।

सांख्यिकीय समूहन कुछ विशेषताओं के अनुसार अध्ययन की गई आबादी की इकाइयों को सजातीय समूहों में विभाजित करना कहा जाता है जो उनके लिए आवश्यक हैं। ग्रुपिंग सांख्यिकीय डेटा को सारांशित करने का सबसे महत्वपूर्ण सांख्यिकीय तरीका है, जो सांख्यिकीय संकेतकों की सही गणना का आधार है।

निम्नलिखित प्रकार के समूह हैं: प्रतीकात्मक, संरचनात्मक, विश्लेषणात्मक। ये सभी समूह इस तथ्य से एकजुट हैं कि वस्तु की इकाइयाँ कुछ विशेषताओं के अनुसार समूहों में विभाजित हैं।

समूहीकरण चिह्न वह चिह्न कहलाता है जिसके द्वारा जनसंख्या की इकाइयों को अलग-अलग समूहों में विभाजित किया जाता है। एक सांख्यिकीय अध्ययन के निष्कर्ष एक समूहीकरण विशेषता के सही विकल्प पर निर्भर करते हैं। समूहीकरण के आधार के रूप में, महत्वपूर्ण, सैद्धांतिक रूप से प्रमाणित विशेषताओं (मात्रात्मक या गुणात्मक) का उपयोग करना आवश्यक है।

समूहन के मात्रात्मक संकेत एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति है (व्यापार की मात्रा, एक व्यक्ति की आयु, पारिवारिक आय, आदि), और समूह की गुणात्मक विशेषताएं जनसंख्या इकाई की स्थिति (सेक्स, वैवाहिक स्थिति, उद्यम की उद्योग संबद्धता, इसके स्वामित्व का रूप, आदि) को दर्शाता है।

समूहीकरण का आधार निर्धारित होने के बाद, अध्ययन आबादी को कितने समूहों में विभाजित किया जाना चाहिए, इसका प्रश्न तय किया जाना चाहिए। समूहों की संख्या अध्ययन के उद्देश्यों और समूहीकरण के अंतर्निहित संकेतक के प्रकार, जनसंख्या की मात्रा, विशेषता की भिन्नता की डिग्री पर निर्भर करती है।

उदाहरण के लिए, स्वामित्व के रूपों के अनुसार उद्यमों का समूह नगरपालिका, संघीय और संघ के विषयों की संपत्ति को ध्यान में रखता है। यदि समूहीकरण एक मात्रात्मक विशेषता के अनुसार किया जाता है, तो अध्ययन के तहत वस्तु की इकाइयों की संख्या और समूहीकरण विशेषता के उतार-चढ़ाव की डिग्री पर विशेष ध्यान देना आवश्यक है।

जब समूहों की संख्या निर्धारित की जाती है, तो समूहीकरण अंतराल निर्धारित किया जाना चाहिए। मध्यान्तर - ये एक चर विशेषता के मूल्य हैं जो एक निश्चित सीमा के भीतर हैं। प्रत्येक अंतराल का अपना मूल्य, ऊपरी और निचली सीमाएँ, या उनमें से कम से कम एक होता है।

अंतराल की निचली सीमा अंतराल में विशेषता का सबसे छोटा मान कहा जाता है, और ऊपरी सीमा - अंतराल में विशेषता का सबसे बड़ा मान। अंतराल मान ऊपरी और निचली सीमाओं के बीच का अंतर है।

समूहीकरण अंतराल, उनके आकार के आधार पर, हैं: समान और असमान। यदि विशेषता की भिन्नता अपेक्षाकृत संकीर्ण सीमाओं में प्रकट होती है और वितरण समान है, तो समान अंतराल के साथ एक समूह बनाया जाता है। समान अंतराल का मान निम्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है :

जहाँ Xmax, Xmin - कुल में विशेषता का अधिकतम और न्यूनतम मान; n समूहों की संख्या है।

सबसे सरल समूहीकरण, जिसमें प्रत्येक चयनित समूह को एक संकेतक द्वारा अभिलक्षित किया जाता है, एक वितरण श्रृंखला है।

सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला - यह एक निश्चित विशेषता के अनुसार समूहों में जनसंख्या इकाइयों का एक क्रमबद्ध वितरण है। एक वितरण श्रृंखला के गठन के अंतर्निहित विशेषता के आधार पर, गुणन और भिन्नता वितरण श्रृंखला प्रतिष्ठित हैं।

ठहराव वे गुणात्मक विशेषताओं के अनुसार निर्मित वितरण श्रृंखला को कहते हैं, अर्थात, ऐसे संकेत जिनकी कोई संख्यात्मक अभिव्यक्ति नहीं है (श्रम के प्रकार, लिंग द्वारा, पेशे से, आदि द्वारा वितरण)। विशेषता वितरण श्रृंखला एक या किसी अन्य आवश्यक विशेषता के अनुसार जनसंख्या की संरचना को दर्शाती है। कई अवधियों में लिया गया, ये डेटा हमें संरचना में परिवर्तन का अध्ययन करने की अनुमति देता है।

विविधता पंक्तियाँ मात्रात्मक आधार पर निर्मित वितरण श्रृंखला कहलाती है। किसी भी परिवर्तनशील श्रृंखला में दो तत्व होते हैं: वेरिएंट और फ़्रीक्वेंसी। विकल्प विशेषता के अलग-अलग मान जो इसे भिन्नता श्रृंखला में लेते हैं, कहलाते हैं, अर्थात चर विशेषता का विशिष्ट मूल्य।

आवृत्तियों अलग-अलग वेरिएंट की संख्या या विविधता श्रृंखला के प्रत्येक समूह को कहा जाता है, यानी ये संख्याएं हैं जो दर्शाती हैं कि वितरण श्रृंखला में कितनी बार कुछ वेरिएंट होते हैं। सभी आवृत्तियों का योग संपूर्ण जनसंख्या का आकार, उसकी मात्रा निर्धारित करता है। आवृत्तियों आवृत्तियों को एक इकाई के अंशों में या कुल के प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। तदनुसार, आवृत्तियों का योग 1 या 100% के बराबर है।

विशेषता की भिन्नता की प्रकृति के आधार पर, भिन्नता श्रृंखला के तीन रूप प्रतिष्ठित हैं: एक क्रमबद्ध श्रृंखला, एक असतत श्रृंखला और एक अंतराल श्रृंखला।

रैंक भिन्नता श्रृंखला - यह अध्ययन के तहत विशेषता के आरोही या अवरोही क्रम में जनसंख्या की अलग-अलग इकाइयों का वितरण है। रैंकिंग से मात्रात्मक डेटा को समूहों में विभाजित करना आसान हो जाता है, किसी विशेषता के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों का तुरंत पता लगा लेता है, उन मूल्यों को उजागर करता है जो सबसे अधिक बार दोहराए जाते हैं।

असतत भिन्नता श्रृंखला असतत विशेषता के अनुसार जनसंख्या इकाइयों के वितरण को चिह्नित करता है जो केवल पूर्णांक मान लेता है। उदाहरण के लिए, टैरिफ श्रेणी, परिवार में बच्चों की संख्या, उद्यम में कर्मचारियों की संख्या आदि।

यदि किसी चिन्ह में निरंतर परिवर्तन होता है, जो कुछ सीमाओं के भीतर किसी भी मान ("से - से") पर ले सकता है, तो इस चिन्ह के लिए आपको निर्माण करने की आवश्यकता है अंतराल भिन्नता श्रृंखला . उदाहरण के लिए, आय की राशि, कार्य अनुभव, उद्यम की अचल संपत्तियों की लागत आदि।

"सांख्यिकीय सारांश और समूहीकरण" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

कार्य 1 . पिछले शैक्षणिक वर्ष के लिए सदस्यता द्वारा छात्रों द्वारा प्राप्त पुस्तकों की संख्या के बारे में जानकारी है।

श्रृंखला के तत्वों को दर्शाते हुए, एक विस्तृत और असतत परिवर्तनशील वितरण श्रृंखला बनाएँ।

समाधान

यह सेट छात्रों को प्राप्त होने वाली पुस्तकों की संख्या के लिए विकल्पों का एक सेट है। आइए हम इस तरह के वेरिएंट की संख्या की गणना करें और उन्हें एक वैरिएबल रैंक और वेरिएबल डिस्क्रीट डिस्ट्रीब्यूशन सीरीज़ के रूप में व्यवस्थित करें।

कार्य 2 . 50 उद्यमों, हजार रूबल के लिए अचल संपत्तियों के मूल्य पर डेटा है।

उद्यमों के 5 समूहों (समान अंतराल पर) को हाइलाइट करते हुए वितरण श्रृंखला बनाएं।

समाधान

समाधान के लिए, हम उद्यमों की अचल संपत्तियों की लागत का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य चुनते हैं। ये 30.0 और 10.2 हजार रूबल हैं।

अंतराल का आकार ज्ञात करें: h \u003d (30.0-10.2): 5 \u003d 3.96 हजार रूबल।

फिर पहले समूह में उद्यम शामिल होंगे, जिनकी अचल संपत्ति की राशि 10.2 हजार रूबल से है। 10.2 + 3.96 = 14.16 हजार रूबल तक। ऐसे 9 उद्यम होंगे दूसरे समूह में उद्यम शामिल होंगे, जिनकी अचल संपत्ति की राशि 14.16 हजार रूबल से होगी। 14.16 + 3.96 = 18.12 हजार रूबल तक। ऐसे 16 उद्यम होंगे इसी प्रकार, हम तीसरे, चौथे और पांचवें समूहों में शामिल उद्यमों की संख्या पाते हैं।

परिणामी वितरण श्रृंखला को तालिका में रखा गया है।

कार्य 3 . कई प्रकाश उद्योग उद्यमों के लिए, निम्नलिखित डेटा प्राप्त किए गए थे:

श्रमिकों की संख्या के अनुसार उद्यमों का समूह बनाना, समान अंतराल पर 6 समूह बनाना। प्रत्येक समूह के लिए गणना करें:

1. उद्यमों की संख्या
2. श्रमिकों की संख्या
3. प्रति वर्ष निर्मित उत्पादों की मात्रा
4. प्रति कर्मचारी औसत वास्तविक उत्पादन
5. अचल संपत्तियों की राशि
6. एक उद्यम की अचल संपत्तियों का औसत आकार
7. एक उद्यम द्वारा विनिर्मित उत्पादों का औसत मूल्य

गणना के परिणामों को तालिकाओं में रिकॉर्ड करें। अपने निष्कर्ष निकालें।

समाधान

समाधान के लिए, हम उद्यम में श्रमिकों की औसत संख्या का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान चुनते हैं। ये 43 और 256 हैं।

अंतराल का आकार ज्ञात करें: h = (256-43): 6 = 35.5

फिर पहले समूह में 43 से 43 + 35.5 = 78.5 लोगों की औसत संख्या वाले उद्यमों को शामिल किया जाएगा। ऐसे 5 उद्यम होंगे। दूसरे समूह में उद्यम शामिल होंगे, जिनमें श्रमिकों की औसत संख्या 78.5 से 78.5 + 35.5 = 114 लोग होंगे। ऐसे 12 उद्यम होंगे इसी प्रकार, हम तीसरे, चौथे, पांचवें और छठे समूहों में शामिल उद्यमों की संख्या पाते हैं।

हम परिणामी वितरण श्रृंखला को एक तालिका में रखते हैं और प्रत्येक समूह के लिए आवश्यक संकेतकों की गणना करते हैं:

निष्कर्ष : जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है, उद्यमों का दूसरा समूह सबसे अधिक है। इसमें 12 उद्यम शामिल हैं। सबसे छोटे पांचवें और छठे समूह हैं (प्रत्येक में दो उद्यम)। ये सबसे बड़े उद्यम हैं (श्रमिकों की संख्या के संदर्भ में)।

चूँकि दूसरा समूह सबसे अधिक है, इस समूह के उद्यमों द्वारा प्रति वर्ष उत्पादन की मात्रा और अचल संपत्तियों की मात्रा दूसरों की तुलना में बहुत अधिक है। इसी समय, इस समूह के उद्यमों में एक श्रमिक का औसत वास्तविक उत्पादन उच्चतम नहीं है। यहां चौथे समूह के उद्यम अग्रणी हैं। यह समूह काफी बड़ी मात्रा में अचल संपत्तियों का भी हिसाब रखता है।

अंत में, हम ध्यान दें कि अचल संपत्तियों का औसत आकार और एक उद्यम के उत्पादन का औसत मूल्य उद्यम के आकार (श्रमिकों की संख्या के संदर्भ में) के सीधे आनुपातिक हैं।