क्यूइंग सिस्टम की समस्याओं को हल करने के उदाहरण। विफलताओं के साथ SMO परिभाषाएँ और सूत्र

क्यूइंग सिस्टम की समस्याओं को हल करने के उदाहरण

1-3 समस्याओं को हल करना आवश्यक है। प्रारंभिक डेटा तालिका में दिए गए हैं। 2-4।

सूत्रों के लिए क्यूइंग थ्योरी में उपयोग किए जाने वाले कुछ नोटेशन:

n क्यूएस में चैनलों की संख्या है;

λ अनुप्रयोगों पी के आने वाले प्रवाह की तीव्रता है;

v अनुरोधों के आउटगोइंग प्रवाह की तीव्रता है पी बाहर;

μ के बारे में सेवा पी के प्रवाह की तीव्रता है;

ρ सिस्टम लोड इंडिकेटर (यातायात) है;

मी कतार में स्थानों की अधिकतम संख्या है, जो अनुप्रयोगों की कतार की लंबाई को सीमित करता है;

मैं अनुरोध स्रोतों की संख्या है;

पी के सिस्टम की के-वें राज्य की संभावना है;

पी ओ - पूरे सिस्टम के डाउनटाइम की संभावना, यानी संभावना है कि सभी चैनल मुक्त हैं;

p syst सिस्टम में किसी एप्लिकेशन को स्वीकार करने की संभावना है;

पी रेफरी - सिस्टम में इसकी स्वीकृति में आवेदन की अस्वीकृति की संभावना;

р के बारे में - संभावना है कि आवेदन की सेवा की जाएगी;

ए सिस्टम का पूर्ण थ्रूपुट है;

Q सिस्टम का रिलेटिव थ्रूपुट है;

ओच - कतार में आवेदनों की औसत संख्या;

के बारे में - सेवा के तहत आवेदनों की औसत संख्या;

सिस्ट - सिस्टम में अनुप्रयोगों की औसत संख्या;

ओच - कतार में एक आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय;

Tb - अनुरोध की सेवा का औसत समय, केवल सेवा किए गए अनुरोधों से संबंधित;

Sis सिस्टम में किसी एप्लिकेशन का औसत निवास समय है;

ओझ - कतार में एक आवेदन की प्रतीक्षा को सीमित करने वाला औसत समय;

व्यस्त चैनलों की औसत संख्या है।

क्यूएस ए का पूर्ण थ्रूपुट उन अनुप्रयोगों की औसत संख्या है जो सिस्टम प्रति यूनिट समय पर काम कर सकता है।

सापेक्ष क्यूएस थ्रूपुट क्यू इस समय के दौरान प्राप्त आवेदनों की औसत संख्या के प्रति यूनिट समय में सिस्टम द्वारा दिए गए आवेदनों की औसत संख्या का अनुपात है।

कतारबद्ध समस्याओं को हल करते समय, निम्नलिखित अनुक्रम का पालन करना आवश्यक है:

1) तालिका के अनुसार क्यूएस के प्रकार का निर्धारण। 4.1;

2) क्यूएस के प्रकार के अनुसार सूत्रों का चुनाव;

3) समस्या समाधान;

4) समस्या पर निष्कर्ष तैयार करना।

1. मृत्यु और प्रजनन की योजना।हम जानते हैं कि एक लेबल वाले राज्य ग्राफ को देखते हुए, हम आसानी से राज्य की संभावनाओं के लिए कोलमोगोरोव समीकरण लिख सकते हैं, साथ ही अंतिम संभावनाओं के लिए बीजगणितीय समीकरण लिख और हल कर सकते हैं। कुछ मामलों में, अंतिम समीकरण सफल होते हैं

पहले से तय करें, शाब्दिक रूप से। विशेष रूप से, यह किया जा सकता है यदि सिस्टम का राज्य ग्राफ तथाकथित "मृत्यु और प्रजनन योजना" है।

मृत्यु और प्रजनन योजना के लिए राज्य ग्राफ में चित्र में दिखाया गया रूप है। 19.1। इस ग्राफ की ख़ासियत यह है कि सिस्टम की सभी अवस्थाओं को एक श्रृंखला में खींचा जा सकता है, जिसमें प्रत्येक औसत स्थिति ( एस 1 , एस 2 ,…,एस n-1) प्रत्येक पड़ोसी राज्यों - दाएं और बाएं, और चरम राज्यों के साथ एक आगे और पीछे के तीर से जुड़ा हुआ है (एस 0 , एस n) - केवल एक पड़ोसी राज्य के साथ। "मृत्यु और प्रजनन की योजना" शब्द जैविक समस्याओं से उत्पन्न होता है, जहां इस तरह की योजना द्वारा जनसंख्या के आकार में परिवर्तन का वर्णन किया जाता है।

अभ्यास की विभिन्न समस्याओं में मृत्यु और प्रजनन की योजना का अक्सर सामना किया जाता है, विशेष रूप से - क्यूइंग के सिद्धांत में, इसलिए यह एक बार और सभी के लिए, इसके लिए राज्यों की अंतिम संभावनाओं को खोजने के लिए उपयोगी है।

आइए मान लें कि सभी घटना प्रवाह जो सिस्टम को ग्राफ के तीरों के साथ स्थानांतरित करते हैं, सबसे सरल हैं (संक्षिप्तता के लिए, हम सिस्टम को भी कॉल करेंगे एसऔर इसमें होने वाली प्रक्रिया - सबसे सरल)।

अंजीर में ग्राफ का उपयोग करना। 19.1, हम राज्य की अंतिम संभावनाओं के लिए बीजगणितीय समीकरणों की रचना और समाधान करते हैं), अस्तित्व इस तथ्य से अनुसरण करता है कि प्रत्येक राज्य से आप हर दूसरे में जा सकते हैं, राज्यों की संख्या परिमित है)। पहले राज्य के लिए एस 0 हमारे पास है:

(19.1)

दूसरे राज्य के लिए एस1:

(19.1) के कारण, अंतिम समानता को रूप में घटा दिया जाता है

कहाँ कसभी मानों को 0 से 0 तक लेता है पी।तो अंतिम संभावनाएं पी0, पी1,..., p n समीकरणों को संतुष्ट करें

(19.2)

इसके अलावा, हमें सामान्यीकरण की स्थिति को ध्यान में रखना चाहिए

पी 0 + पी 1 + पी 2 +…+ पीएन = 1। (19.3)

आइए समीकरणों की इस प्रणाली को हल करें। पहले समीकरण (19.2) से हम व्यक्त करते हैं पी 1 के माध्यम से आर 0 :

पी 1 = पी 0. (19.4)

दूसरे से, (19.4) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

(19.5)

तीसरे से, ध्यान में रखते हुए (19.5),

(19.6)

और सामान्य तौर पर, किसी के लिए क(1 से एन):

(19.7)

आइए सूत्र (19.7) पर ध्यान दें। अंश बाएं से दाएं (शुरुआत से दिए गए राज्य तक) जाने वाले तीरों पर सभी तीव्रता का उत्पाद है एस k), और भाजक में - दाएँ से बाएँ (शुरुआत से) तक जाने वाले तीरों पर खड़ी सभी तीव्रता का उत्पाद एसके)।

इस प्रकार, सभी राज्य संभावनाएं आर 0 , पी 1 , ..., आर एनउनमें से एक के माध्यम से व्यक्त किया ( आर 0). आइए हम इन भावों को सामान्यीकरण स्थिति (19.3) में प्रतिस्थापित करें। हमें कोष्ठक करने से प्राप्त होता है आर 0:

इसलिए हमें अभिव्यक्ति मिलती है आर 0 :

(हमने कोष्ठक को -1 की शक्ति तक बढ़ा दिया है ताकि दो मंजिला अंश न लिखें)। अन्य सभी संभावनाओं के रूप में व्यक्त किया जाता है आर 0 (सूत्र देखें (19.4) - (19.7))। ध्यान दें कि गुणांक के लिए आरउनमें से प्रत्येक में 0 सूत्र (19.8) में इकाई के बाद श्रृंखला के लगातार सदस्यों से ज्यादा कुछ नहीं है। तो, गणना आर 0 , हम इन सभी गुणांकों को पहले ही पा चुके हैं।

कतार सिद्धांत की सरलतम समस्याओं को हल करने में प्राप्त सूत्र बहुत उपयोगी हैं।

^ 2. छोटा सूत्र।अब हम अनुप्रयोगों की औसत संख्या से संबंधित (सीमित, स्थिर शासन के लिए) एक महत्वपूर्ण सूत्र प्राप्त करते हैं एल syst, क्यूइंग सिस्टम में स्थित है (यानी सेवा या लाइन में खड़ा है), और सिस्टम में एप्लिकेशन का औसत निवास समय डब्ल्यूप्रणाली।

आइए हम किसी भी क्यूएस (एकल-चैनल, मल्टी-चैनल, मार्कोवियन, गैर-मार्कोवियन, असीमित या बंधी कतार के साथ) पर विचार करें और इसके साथ जुड़े घटनाओं के दो प्रवाह: क्यूएस में आने वाले ग्राहकों का प्रवाह और ग्राहकों के प्रवाह को छोड़ दें क्यूएस। यदि सिस्टम में एक सीमित, स्थिर शासन स्थापित किया गया है, तो क्यूएस प्रति यूनिट समय में आने वाले अनुप्रयोगों की औसत संख्या इसे छोड़ने वाले अनुप्रयोगों की औसत संख्या के बराबर होती है: दोनों प्रवाहों में समान तीव्रता λ होती है।

निरूपित करें: एक्स (टी) -सीएमओ के पास समय से पहले पहुंचने वाले आवेदनों की संख्या टी। वाई(टी) - सीएमओ को छोड़ने वाले आवेदनों की संख्या

पल तक टी।दोनों कार्य यादृच्छिक हैं और अनुरोधों के आगमन के क्षण में अचानक (एक से बढ़ कर) बदलते हैं (एक्स(टी)) और आवेदनों का प्रस्थान (वाई (टी))।कार्यों का प्रकार एक्स (टी) और वाई (टी)चित्र में दिखाया गया है। 19.2; दोनों पंक्तियों को चरणबद्ध किया गया है, ऊपरी एक है एक्स (टी),निचला- वाई (टी)।जाहिर है, किसी भी पल के लिए टीउनका अंतर जेड(टी)= एक्स (टी) - वाई (टी)क्यूएस में आवेदनों की संख्या के अलावा और कुछ नहीं है। जब रेखाएँ एक्स (टी)और वाई (टी)विलय, सिस्टम में कोई अनुरोध नहीं है।

बहुत लंबी अवधि पर विचार करें टी(मानसिक रूप से ड्राइंग से परे ग्राफ को जारी रखना) और इसके लिए क्यूएस में अनुप्रयोगों की औसत संख्या की गणना करें। यह फ़ंक्शन के अभिन्न के बराबर होगा जेड (टी)इस अंतराल पर अंतराल की लंबाई से विभाजित टी:

एलप्रणाली। = . (19.9) ओ

लेकिन यह इंटीग्रल और कुछ नहीं बल्कि अंजीर में छायांकित आकृति का क्षेत्रफल है। 19.2। आइए इस रेखाचित्र पर एक अच्छी नज़र डालें। आकृति में आयत होते हैं, जिनमें से प्रत्येक की ऊँचाई एक के बराबर होती है, और इसी क्रम की प्रणाली में निवास समय के बराबर आधार (पहला, दूसरा, आदि)। आइए इन समयों को चिह्नित करें टी1, टी2,...सच है, अंतराल के अंत में टीकुछ आयत छायांकित आकृति में पूरी तरह से नहीं, बल्कि आंशिक रूप से, लेकिन पर्याप्त बड़े के साथ प्रवेश करेंगे टीइन छोटी-छोटी बातों से कोई फर्क नहीं पड़ेगा। ऐसे में यह माना जा सकता है

(19.10)

जहां राशि उस समय के दौरान प्राप्त सभी आवेदनों पर लागू होती है टी।

अंतराल की लंबाई से दाएं और बाएं पक्ष (.19.10) को विभाजित करें टी।हम (19.9) को ध्यान में रखते हुए प्राप्त करते हैं,

एलप्रणाली। =। (19.11)

हम तीव्रता X द्वारा (19.11) के दाईं ओर विभाजित और गुणा करते हैं:

एलप्रणाली। =।

लेकिन परिमाण Tλसमय के दौरान प्राप्त आवेदनों की औसत संख्या से अधिक कुछ नहीं है ↑ टी.यदि हम सभी समयों के योग को विभाजित करें टी मैंअनुप्रयोगों की औसत संख्या पर, तब हमें सिस्टम में एप्लिकेशन के रहने का औसत समय मिलता है डब्ल्यूप्रणाली। इसलिए,

एलप्रणाली। = λ डब्ल्यूप्रणाली। ,

डब्ल्यूप्रणाली। =। (19.12)

यह लिटिल का अद्भुत सूत्र है: किसी भी क्यूएस के लिए, आवेदनों के प्रवाह की किसी भी प्रकृति के लिए, सेवा समय के किसी भी वितरण के लिए, किसी भी सेवा अनुशासन के लिए सिस्टम में अनुरोध का औसत निवास समय अनुरोधों के प्रवाह की तीव्रता से विभाजित सिस्टम में अनुरोधों की औसत संख्या के बराबर है।

ठीक उसी तरह, लिटिल का दूसरा फॉर्मूला निकाला गया है, जो औसत समय से संबंधित है जो एप्लिकेशन कतार में खर्च करता है ^ डब्ल्यू ओचऔर कतार में आवेदनों की औसत संख्या एलऔर:

डब्ल्यूओच = . (19.13)

आउटपुट के लिए, यह अंजीर में नीचे की रेखा के बजाय पर्याप्त है। 19.2 एक कार्य करें यू (टी)- आवेदनों की संख्या जो फिलहाल छोड़ दी गई है टीसिस्टम से नहीं, बल्कि कतार से (यदि सिस्टम में प्रवेश करने वाला कोई एप्लिकेशन कतार में नहीं आता है, लेकिन तुरंत सेवा में चला जाता है, तब भी हम मान सकते हैं कि यह कतार में है, लेकिन इसमें शून्य समय तक रहता है) .

लिटिल के सूत्र (19.12) और (19.13) क्यूइंग थ्योरी में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। दुर्भाग्य से, अधिकांश मौजूदा नियमावली में, ये सूत्र (अपेक्षाकृत हाल ही में सामान्य रूप में सिद्ध) नहीं दिए गए हैं 1)।

§ 20. सबसे सरल कतार प्रणाली और उनकी विशेषताएं

इस खंड में, हम कुछ सबसे सरल क्यूएस पर विचार करेंगे और उनकी विशेषताओं (प्रदर्शन संकेतक) के लिए भाव प्राप्त करेंगे। साथ ही, हम कतार के प्राथमिक, "मार्कोवियन" सिद्धांत की विशेषता वाली मुख्य पद्धति तकनीकों का प्रदर्शन करेंगे। हम उन क्यूएस नमूनों की संख्या का पीछा नहीं करेंगे जिनके लिए विशेषताओं की अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त की जाएगी; यह पुस्तक क्यूइंग के सिद्धांत के लिए एक मार्गदर्शक नहीं है (ऐसी भूमिका विशेष मैनुअल द्वारा बेहतर ढंग से निभाई जाती है)। हमारा लक्ष्य कतार के सिद्धांत के माध्यम से रास्ता आसान करने के लिए पाठक को कुछ "ट्रिक्स" से परिचित कराना है, जो कई उपलब्ध (यहां तक ​​​​कि लोकप्रिय होने का दावा करने वाली) पुस्तकों में उदाहरणों के एक जुआ संग्रह की तरह लग सकता है।

घटनाओं के सभी प्रवाह जो QS को एक राज्य से दूसरे राज्य में स्थानांतरित करते हैं, इस खंड में, हम सबसे सरल (हर बार इसे विशेष रूप से निर्धारित किए बिना) पर विचार करेंगे। उनमें तथाकथित "सेवा प्रवाह" होगा। इसका अर्थ है एक लगातार व्यस्त चैनल द्वारा सेवित अनुरोधों का प्रवाह। इस धारा में, घटनाओं के बीच का अंतराल, हमेशा की तरह सरलतम प्रवाह में, एक घातीय वितरण होता है (कई मैनुअल इसके बजाय कहते हैं: "सेवा समय घातीय है", हम स्वयं भविष्य में इस शब्द का उपयोग करेंगे)।

1) एक लोकप्रिय पुस्तक में उपरोक्त की तुलना में कुछ अलग, लिटिल के सूत्र की व्युत्पत्ति दी गई है। सामान्य तौर पर, इस पुस्तक ("दूसरी बातचीत") से परिचित होना क्यूइंग के सिद्धांत के प्रारंभिक परिचय के लिए उपयोगी है।

इस खंड में, हमेशा की तरह "सरलतम" प्रणाली के लिए सेवा समय के चरघातांकीय वितरण को मान लिया जाएगा।

हम प्रस्तुति के दौरान विचाराधीन क्यूएस की दक्षता विशेषताओं का परिचय देंगे।

^ 1. पी-चैनल QS विफलताओं के साथ(एरलांग समस्या)। यहां हम पहली बार कतार के सिद्धांत की "शास्त्रीय" समस्याओं में से एक पर विचार करते हैं;

यह समस्या टेलीफोनी की व्यावहारिक जरूरतों से उत्पन्न हुई और हमारी सदी की शुरुआत में डेनिश गणितज्ञ एर्लांट द्वारा हल की गई। कार्य निम्नानुसार सेट किया गया है: वहाँ है पीचैनल (संचार लाइनें), जो तीव्रता λ के साथ अनुप्रयोगों का प्रवाह प्राप्त करती हैं। सेवा प्रवाह की तीव्रता μ (औसत सेवा समय का व्युत्क्रम) होती है टीके बारे में)। क्यूएस राज्यों की अंतिम संभावनाएं, साथ ही साथ इसकी दक्षता की विशेषताओं का पता लगाएं:

^ ए-निरपेक्ष थ्रूपुट, यानी, प्रति यूनिट समय में दिए गए आवेदनों की औसत संख्या;

क्यू-रिलेटिव थ्रूपुट, यानी सिस्टम द्वारा दिए गए इनकमिंग रिक्वेस्ट का औसत हिस्सा;

↑ आर ओ.टी.के- विफलता की संभावना, यानी यह तथ्य कि आवेदन क्यूएस को बिना सेवा के छोड़ देगा;

क-व्यस्त चैनलों की औसत संख्या।

समाधान। सिस्टम बताता है ^ एस(क्यूएस) सिस्टम में अनुरोधों की संख्या के अनुसार क्रमांकित किया जाएगा (इस मामले में, यह व्यस्त चैनलों की संख्या के साथ मेल खाता है):

एस 0 -सीएमओ में नहीं आए आवेदन

एस 1 -क्यूएस में एक अनुरोध है (एक चैनल व्यस्त है, बाकी मुफ्त हैं),

एसके-एसएमओ में है कअनुप्रयोग ( कचैनल व्यस्त हैं, बाकी फ्री हैं)

एस एन -एसएमओ में है पीएप्लिकेशन (सभी एनचैनल व्यस्त हैं)।

QS राज्य का ग्राफ प्रजनन में मृत्यु की योजना से मेल खाता है (चित्र। 20.1)। आइए इस ग्राफ को चिह्नित करें - तीरों के पास घटना प्रवाह की तीव्रता को नीचे रखें। से एस 0 में एस 1सिस्टम तीव्रता λ के अनुरोधों के प्रवाह द्वारा स्थानांतरित किया जाता है (जैसे ही अनुरोध आता है, सिस्टम कूदता है स0वी एस 1)।अनुप्रयोगों का एक ही प्रवाह अनुवाद करता है

किसी भी बाएं राज्य से आसन्न दाएं राज्य में एक प्रणाली (चित्र 20.1 में शीर्ष तीर देखें)।

आइए निचले तीरों की तीव्रता को नीचे रखें। सिस्टम को राज्य में रहने दें ^ एस 1 (एक चैनल काम करता है)। यह समय की प्रति यूनिट μ सेवाओं का उत्पादन करता है। हमने तीर पर नीचे रखा एस 1 →एस 0 तीव्रता μ। अब कल्पना कीजिए कि राज्य में व्यवस्था है एस 2(दो चैनल काम करते हैं)। उसके जाने के लिए एस 1,यह आवश्यक है कि या तो पहला चैनल, या दूसरा, सर्विसिंग समाप्त करें; उनके सेवा प्रवाह की कुल तीव्रता 2μ है; इसे संबंधित तीर पर रखें। तीन चैनलों द्वारा दिए गए कुल सेवा प्रवाह की तीव्रता 3μ है, कचैनल - किमी।हमने इन तीव्रताओं को अंजीर में निचले तीरों पर रखा है। 20.1।

और अब, सभी तीव्रताओं को जानने के बाद, हम मृत्यु और प्रजनन की योजना में अंतिम संभावनाओं के लिए तैयार सूत्रों (19.7), (19.8) का उपयोग करेंगे। सूत्र (19.8) के अनुसार हमें मिलता है:

अपघटन की शर्तें के गुणांक होंगे पी 0के लिए अभिव्यक्तियों में पी 1

ध्यान दें कि सूत्र (20.1), (20.2) में तीव्रता λ और μ अलग-अलग शामिल नहीं हैं, लेकिन केवल अनुपात λ/μ के रूप में। निरूपित

λ/μ = ρ (20.3)

और हम पी के मूल्य को "अनुप्रयोगों के प्रवाह की कम तीव्रता" कहेंगे। इसका अर्थ एक अनुरोध के औसत सेवा समय के लिए आने वाले अनुरोधों की औसत संख्या है। इस अंकन का उपयोग करते हुए, हम फॉर्मूले (20.1), (20.2) को फिर से लिखते हैं:

सूत्र (20.4), (20.5) अंतिम राज्य संभावनाओं के लिए एरलांग सूत्र कहलाते हैं - क्यूइंग सिद्धांत के संस्थापक के सम्मान में। इस सिद्धांत के अधिकांश अन्य सूत्र (आज जंगल में मशरूम की तुलना में उनमें से अधिक हैं) कोई विशेष नाम नहीं रखते हैं।

इस प्रकार, अंतिम संभावनाएं पाई जाती हैं। उनके आधार पर, हम क्यूएस दक्षता विशेषताओं की गणना करेंगे। पहले हम पाते हैं ↑ आर ओ.टी.के. - संभावना है कि आने वाले अनुरोध को अस्वीकार कर दिया जाएगा (सेवा नहीं की जाएगी)। इसके लिए जरूरी है कि सभी पीचैनल व्यस्त थे, इसलिए

आरओटीके = आरएन =। (20.6)

यहाँ से हम सापेक्ष प्रवाह पाते हैं - संभावना है कि आवेदन परोसा जाएगा:

क्यू = 1 - पीखुला = 1 - (20.7)

हम अनुरोधों के प्रवाह की तीव्रता को λ से गुणा करके पूर्ण थ्रूपुट प्राप्त करते हैं क्यू:

ए = λQ = λ। (20.8)

यह केवल व्यस्त चैनलों की औसत संख्या का पता लगाने के लिए बनी हुई है क।यह मान "सीधे" पाया जा सकता है, संभावित मान 0, 1, ... के साथ असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के रूप में। पीऔर इन मूल्यों की संभावनाएं पी 0 पी 1 , ..., पी एन:

क = 0 · पी 0 + 1 · पी 1 + 2 · पी 2 + ... + एन · पी एन।

यहाँ भाव (20.5) के लिए प्रतिस्थापित करना आरक , (के = 0, 1, ..., पी)और उचित परिवर्तन करने के बाद, हम अंततः के लिए सही सूत्र प्राप्त करेंगे क।लेकिन हम इसे बहुत आसान बना लेंगे (यहाँ यह "छोटी चाल" में से एक है!) वास्तव में, हम पूर्ण थ्रूपुट जानते हैं एक।यह और कुछ नहीं बल्कि सिस्टम द्वारा प्रदत्त अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता है। प्रत्येक नियोजित i.shal प्रति यूनिट समय औसतन |l अनुरोधों को पूरा करता है। तो व्यस्त चैनलों की औसत संख्या है

के = ए / μ, (20.9)

या, दिया गया (20.8),

के = (20.10)

हम पाठक को प्रोत्साहित करते हैं कि वे अपने दम पर उदाहरण तैयार करें। तीन चैनलों के साथ एक संचार स्टेशन है ( एन= 3), अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता λ = 1.5 (अनुप्रयोग प्रति मिनट); प्रति अनुरोध औसत सेवा समय टी v = 2 (मिनट), सभी घटना प्रवाह (जैसा कि इस पूरे पैराग्राफ में है) सबसे सरल हैं। QS की अंतिम स्थिति की संभावनाएं और प्रदर्शन विशेषताओं का पता लगाएं: ए, क्यू, पीओटीके, क।बस मामले में, यहाँ जवाब हैं: पी 0 = 1/13, पी 1 = 3/13, पी 2 = 9/26, पी 3 = 9/26 ≈ 0,346,

ए≈ 0,981, क्यू ≈ 0,654, पीखुला ≈ 0.346, कश्मीर ≈ 1,96.

यह उत्तर से देखा जा सकता है, वैसे, हमारा QS काफी हद तक अतिभारित है: तीन चैनलों में से, औसतन लगभग दो व्यस्त हैं, और आने वाले अनुप्रयोगों का लगभग 35% अप्रयुक्त रहता है। हम पाठक को आमंत्रित करते हैं, यदि वह उत्सुक है और आलसी नहीं है, यह पता लगाने के लिए: कम से कम 80% आने वाले अनुप्रयोगों को पूरा करने के लिए कितने चैनलों की आवश्यकता होगी? और एक ही समय में चैनलों का कितना हिस्सा निष्क्रिय रहेगा?

कुछ इशारा तो मिल ही गया है अनुकूलन।वास्तव में, प्रत्येक चैनल की प्रति इकाई समय की सामग्री पर एक निश्चित राशि खर्च होती है। उसी समय, प्रत्येक सर्विस्ड एप्लिकेशन कुछ आय लाता है। इस आय को आवेदनों की औसत संख्या से गुणा करना ए,प्रति यूनिट समय पर सेवा दी जाती है, हम समय की प्रति यूनिट सीएमओ से औसत आय प्राप्त करेंगे। स्वाभाविक रूप से, चैनलों की संख्या में वृद्धि के साथ, यह आय बढ़ती है, लेकिन चैनलों के रखरखाव से जुड़ी लागतें भी बढ़ती हैं। क्या भारी पड़ेगा - आय या व्यय में वृद्धि? यह ऑपरेशन की शर्तों, "आवेदन सेवा शुल्क" और चैनल को बनाए रखने की लागत पर निर्भर करता है। इन मूल्यों को जानने के बाद, आप सबसे अधिक लागत प्रभावी चैनलों की इष्टतम संख्या पा सकते हैं। हम इस तरह की समस्या का समाधान नहीं करेंगे, उसी "गैर-आलसी और जिज्ञासु पाठक" को एक उदाहरण के साथ आने और इसे हल करने के लिए छोड़ देंगे। सामान्य तौर पर, किसी के द्वारा पहले से तय की गई समस्याओं को हल करने की तुलना में समस्याओं का आविष्कार करना अधिक विकसित होता है।

^ 2. असीमित कतार के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस।व्यवहार में, क्यू के साथ एक-चैनल क्यूएस काफी आम है (मरीजों की सेवा करने वाला एक डॉक्टर; एक बूथ के साथ एक पे फोन; उपयोगकर्ता के आदेशों को पूरा करने वाला एक कंप्यूटर)। कतार के सिद्धांत में, कतार के साथ एकल-चैनल क्यूएस भी एक विशेष स्थान पर कब्जा कर लेता है (गैर-मार्कोवियन सिस्टम के लिए अब तक प्राप्त अधिकांश विश्लेषणात्मक सूत्र ऐसे क्यूएस से संबंधित हैं)। इसलिए, हम कतार के साथ सिंगल-चैनल QS पर विशेष ध्यान देंगे।

एक कतार के साथ एक एकल-चैनल QS होने दें, जिस पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है (न तो कतार की लंबाई पर, न ही प्रतीक्षा समय पर)। यह क्यूएस तीव्रता λ के साथ अनुरोधों का प्रवाह प्राप्त करता है ; सेवा प्रवाह की तीव्रता μ है जो अनुरोध के औसत सेवा समय के व्युत्क्रम है टीके बारे में। क्यूएस राज्यों की अंतिम संभावनाओं के साथ-साथ इसकी दक्षता की विशेषताओं का पता लगाना आवश्यक है:

एलप्रणाली। - सिस्टम में अनुप्रयोगों की औसत संख्या,

डब्ल्यूप्रणाली। - सिस्टम में आवेदन का औसत निवास समय,

^ एल और- कतार में आवेदनों की औसत संख्या,

डब्ल्यूऔर - किसी एप्लिकेशन द्वारा कतार में बिताया जाने वाला औसत समय,

पीज़ान - संभावना है कि चैनल व्यस्त है (चैनल लोड होने की डिग्री)।

पूर्ण थ्रूपुट के लिए एऔर रिश्तेदार क्यू,तो उनकी गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है:

इस तथ्य के कारण कि कतार असीमित है, इसलिए प्रत्येक आवेदन जल्द या बाद में परोसा जाएगा ए \u003d λ,इसी कारण से क्यू = 1.

समाधान। क्यूएस में आवेदनों की संख्या के अनुसार पहले की तरह सिस्टम के राज्यों को क्रमांकित किया जाएगा:

एस 0 - चैनल फ्री है

एस 1 - चैनल व्यस्त है (अनुरोध पूरा करता है), कोई कतार नहीं है,

एस 2-चैनल व्यस्त है, एक अनुरोध कतार में है,

एसकश्मीर - चैनल व्यस्त है, क- 1 आवेदन कतार में हैं,

सैद्धांतिक रूप से, राज्यों की संख्या कुछ भी (असीम) तक सीमित नहीं है। राज्य ग्राफ में चित्र में दिखाया गया रूप है। 20.2। यह मृत्यु और प्रजनन की एक योजना है, लेकिन असीमित राज्यों के साथ। सभी तीरों के अनुसार, तीव्रता λ के साथ अनुरोधों का प्रवाह सिस्टम को बाएं से दाएं स्थानांतरित करता है, और दाएं से बाएं - तीव्रता μ के साथ सेवा का प्रवाह।

सबसे पहले, आइए हम खुद से पूछें कि क्या इस मामले में अंतिम संभावनाएँ हैं? आखिरकार, सिस्टम के राज्यों की संख्या अनंत है, और, सिद्धांत रूप में, पर टी → ∞कतार अनिश्चित काल तक बढ़ सकती है! हां, यह सच है: ऐसे क्यूएस के लिए अंतिम संभावनाएं हमेशा मौजूद नहीं होती हैं, लेकिन केवल तभी जब सिस्टम अतिभारित नहीं होता है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि ρ एक से कम है (ρ< 1), то финальные вероятности существуют, а при ρ ≥ 1 очередь при टी→ ∞ अनिश्चित काल तक बढ़ता है। यह तथ्य विशेष रूप से ρ = 1 के लिए "समझ से बाहर" लगता है। ऐसा लगता है कि सिस्टम के लिए कोई असंभव आवश्यकताएं नहीं हैं: एक आवेदन की सेवा के दौरान, औसतन एक आवेदन आता है, और सब कुछ क्रम में होना चाहिए, लेकिन वास्तव में यह क्या नहीं है। ρ = 1 के लिए, QS केवल अनुरोधों के प्रवाह का सामना करता है यदि यह प्रवाह नियमित है, और सेवा समय भी यादृच्छिक नहीं है, अनुरोधों के बीच के अंतराल के बराबर है। इस "आदर्श" मामले में, क्यूएस में कोई कतार नहीं होगी, चैनल लगातार व्यस्त रहेगा और नियमित रूप से सेवा अनुरोध जारी करेगा। लेकिन जैसे ही अनुरोधों का प्रवाह या सेवा का प्रवाह कम से कम थोड़ा यादृच्छिक हो जाता है, कतार पहले से ही अनिश्चित काल तक बढ़ जाएगी। व्यवहार में, यह केवल इसलिए नहीं होता है क्योंकि "कतार में अनंत संख्या में अनुप्रयोग" एक अमूर्तता है। ये सकल त्रुटियाँ हैं जो उनकी गणितीय अपेक्षाओं द्वारा यादृच्छिक चर के प्रतिस्थापन को जन्म दे सकती हैं!

लेकिन असीमित कतार के साथ अपने एकल-चैनल QS पर वापस आते हैं। कड़ाई से बोलते हुए, मृत्यु और प्रजनन की योजना में अंतिम संभावनाओं के सूत्र हमारे द्वारा केवल राज्यों की सीमित संख्या के मामले में ही प्राप्त किए गए थे, लेकिन स्वतंत्रता लेते हैं - हम उन्हें अनंत संख्या में राज्यों के लिए उपयोग करेंगे। आइए सूत्र (19.8), (19.7) के अनुसार राज्यों की अंतिम संभावनाओं की गणना करें। हमारे मामले में, सूत्र (19.8) में पदों की संख्या अनंत होगी। हमें इसके लिए एक व्यंजक मिलता है पी 0:

पी 0 = -1 =

\u003d (1 + पी + पी 2 + ... + पी के + ...।) -1। (20.11)

सूत्र में श्रृंखला (20.11) एक ज्यामितीय प्रगति है। हम जानते हैं कि ρ के लिए< 1 ряд сходится - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем р. При р ≥ 1 ряд расходится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности состояний पी 0, पी 1, ..., पी के, ...केवल r के लिए मौजूद है<1). Теперь предположим, что это условие выполнено, и ρ <1. Суммируя прогрессию в (20.11), имеем

1 + ρ + ρ 2 + ... + ρ k + ... = ,

पी 0 = 1 - पी। (20.12)

संभावनाओं पी 1 , पी 2 , ..., पी के ,... सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

पी 1 = ρ पी 0, पी 2= ρ2 पी 0,…, पी के = ρ p0, ...,

जहाँ से, (20.12) को ध्यान में रखते हुए, हम अंत में पाते हैं:

पी 1= ρ (1 - ρ), p2= ρ 2 (1 - ρ), . . . , पी के =ρ क(1 - पी), . . (20.13)

जैसा कि आप देख सकते हैं, संभावनाएं p0, पी 1, ..., पी के, ...भाजक पी के साथ एक ज्यामितीय प्रगति बनाएं। अजीब तरह से पर्याप्त, उनमें से सबसे बड़ा पी 0 -संभावना है कि चैनल बिल्कुल मुफ्त होगा। कोई फर्क नहीं पड़ता कि क्यू के साथ सिस्टम कितना लोड है, अगर यह केवल अनुप्रयोगों के प्रवाह का सामना कर सकता है (ρ<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

QS में आवेदनों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए ^ एल सिस्ट. . यहां आपको थोड़ा टिंकर करना होगा। यादृच्छिक मूल्य जेड-सिस्टम में अनुरोधों की संख्या - संभावित मान 0, 1, 2, .... क, ...संभावनाओं के साथ p0, पी 1 , पी 2 , ..., पी के , ...इसकी गणितीय अपेक्षा है

एलसिस्ट = 0 पी 0 + 1 · पी 1 + 2 पी 2 +…+क · पीकश्मीर +...= (20.14)

(योग 0 से ∞ तक नहीं, बल्कि 1 से ∞ तक लिया गया है, क्योंकि शून्य शब्द शून्य के बराबर है)।

हम सूत्र (20.14) में अभिव्यक्ति के लिए स्थानापन्न करते हैं पी के (20.13):

एलप्रणाली। =

अब हम राशि ρ (1-ρ) का चिन्ह निकालते हैं:

एलप्रणाली। = ρ(1-ρ)

यहाँ हम फिर से "छोटी चाल" लागू करते हैं: कρ क-1 अभिव्यक्ति ρ के ρ के संबंध में व्युत्पन्न के अलावा और कुछ नहीं है क; साधन,

एलप्रणाली। = ρ(1-ρ)

अवकलन और योग की संक्रियाओं को आपस में बदलकर, हम प्राप्त करते हैं:

एलप्रणाली। = ρ (1-ρ) (20.15)

लेकिन सूत्र में योग (20.15) पहले शब्द ρ और भाजक ρ के साथ असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग है; यह राशि

के बराबर , और इसके व्युत्पन्न। इस अभिव्यक्ति को (20.15) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

एलसिस्ट = . (20.16)

ठीक है, अब लिटिल के सूत्र (19.12) को लागू करते हैं और सिस्टम में किसी एप्लिकेशन के औसत निवास समय का पता लगाते हैं:

डब्ल्यूसिस्ट = (20.17)

कतार में आवेदनों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए एलऔर। हम निम्नानुसार तर्क देंगे: कतार में आवेदनों की संख्या सिस्टम में आवेदनों की संख्या के बराबर है जो सेवा के तहत आवेदनों की संख्या से कम है। तो (गणितीय अपेक्षाओं को जोड़ने के नियम के अनुसार), कतार में आवेदनों की औसत संख्या एलपीटी सिस्टम में अनुप्रयोगों की औसत संख्या के बराबर है एल sys सेवा के तहत अनुरोधों की औसत संख्या घटाएं। सेवा के तहत अनुरोधों की संख्या या तो शून्य हो सकती है (यदि चैनल खाली है) या एक (यदि यह व्यस्त है)। इस तरह के एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा चैनल के व्यस्त होने की संभावना के बराबर है (हमने इसे निरूपित किया है आरज़ान)। ज़ाहिर तौर से, आर zan एक माइनस प्रायिकता के बराबर है पी 0कि चैनल मुफ़्त है:

आरज़ान = 1 - आर 0 = पी। (20.18)

इसलिए, सेवा के तहत अनुरोधों की औसत संख्या के बराबर है

^ एल के बारे में= ρ, (20.19)

एलओच = एलसिस्ट - ρ =

और अंत में

एलपं = (20.20)

लिटिल के सूत्र (19.13) का उपयोग करते हुए, हम औसत समय पाते हैं जो एप्लिकेशन कतार में बिताता है:

(20.21)

इस प्रकार, क्यूएस दक्षता की सभी विशेषताएं पाई गई हैं।

आइए पाठक को अपने दम पर एक उदाहरण हल करने का सुझाव दें: एक एकल-चैनल क्यूएस एक रेलवे मार्शलिंग यार्ड है, जो λ = 2 (ट्रेन प्रति घंटे) की तीव्रता वाली ट्रेनों का सबसे सरल प्रवाह प्राप्त करता है। सेवा (विघटन)

रचना एक औसत मूल्य के साथ एक यादृच्छिक (प्रदर्शनकारी) समय रहता है टी के बारे में = 20(मि.)। स्टेशन के आगमन पार्क में, दो पटरियां हैं जिन पर आने वाली ट्रेनें सेवा के लिए प्रतीक्षा कर सकती हैं; यदि दोनों ट्रैक व्यस्त हैं, तो ट्रेनें बाहरी ट्रैक पर इंतजार करने को मजबूर हैं। यह खोजने के लिए आवश्यक है (स्टेशन के संचालन के स्थिर, स्थिर मोड के लिए): औसत, ट्रेनों की संख्या एलस्टेशन से संबंधित प्रणाली, औसत समय डब्ल्यूस्टेशन पर ट्रेन रुकने की व्यवस्था (आंतरिक पटरियों पर, बाहरी पटरियों पर और रखरखाव के तहत), औसत संख्या एलविघटन के लिए लाइन में प्रतीक्षारत ट्रेनों के पीटी (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सी पटरियों पर), औसत समय डब्ल्यूपीटी प्रतीक्षा सूची में रचना बने रहें। साथ ही, बाहरी पटरियों पर विघटित होने की प्रतीक्षा कर रही ट्रेनों की औसत संख्या ज्ञात करने का प्रयास करें। एलबाहरी और इस प्रतीक्षा का औसत समय डब्ल्यूबाहरी (अंतिम दो मात्राएँ लिटिल के सूत्र से संबंधित हैं)। अंत में, कुल दैनिक जुर्माना W ज्ञात करें, जो स्टेशन को बाहरी पटरियों पर ट्रेनों के विलंब शुल्क के लिए भुगतान करना होगा, यदि स्टेशन एक ट्रेन के एक घंटे के विलंब शुल्क के लिए जुर्माना (रूबल) का भुगतान करता है। बस मामले में, यहाँ जवाब हैं: एलप्रणाली। = 2 (रचना), डब्ल्यूप्रणाली। = 1 (घंटा), एलअंक = 4/3 (रचना), डब्ल्यूपीटी = 2/3 (घंटे), एलबाहरी = 16/27 (रचना), डब्ल्यूबाहरी = 8/27 ≈ 0.297 (घंटे)। बाहरी पटरियों पर ट्रेनों की प्रतीक्षा के लिए औसत दैनिक जुर्माना W प्रति दिन स्टेशन पर आने वाली ट्रेनों की औसत संख्या, बाहरी पटरियों पर ट्रेनों के लिए औसत प्रतीक्षा समय और घंटे के जुर्माने को गुणा करके प्राप्त किया जाता है। ए: डब्ल्यू ≈ 14.2 ए.

^ 3. असीमित कतार के साथ क्यूएस को फिर से चैनल करें।पूरी तरह से समस्या 2 के समान, लेकिन थोड़ी अधिक जटिल, की समस्या एन-चैनल क्यूएस असीमित कतार के साथ। सिस्टम में आवेदनों की संख्या के अनुसार राज्यों की संख्या फिर से है:

स0- सीएमओ में कोई आवेदन नहीं है (सभी चैनल मुफ्त हैं),

एस 1 -एक चैनल व्यस्त है, बाकी फ्री हैं,

S2-दो चैनल भरे हुए हैं, बाकी मुफ़्त हैं,

एस के- व्यस्त कचैनल, बाकी फ्री हैं,

एस एन- हर कोई व्यस्त है पीचैनल (कोई कतार नहीं),

एसएन + 1- हर कोई व्यस्त है एनचैनल, एक आवेदन कतार में है,

एस एन + आर -व्यस्त वजन पीचैनल, आरआवेदन कतार में हैं

राज्य का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 20.3। हम पाठक को तीरों द्वारा इंगित तीव्रता के मूल्यों पर विचार करने और उन्हें सही ठहराने के लिए आमंत्रित करते हैं। ग्राफ अंजीर। 20.3

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

μ 2μ kμ (k+1)μ nμ nμ nμ nμ nμ

मृत्यु और प्रजनन की एक योजना है, लेकिन अनंत राज्यों के साथ। आइए बिना सबूत के अंतिम संभावनाओं के अस्तित्व के लिए प्राकृतिक स्थिति बताएं: ρ/ एन<1. Если ρ/एन≥ 1, कतार अनंत तक बढ़ती है।

आइए मान लें कि स्थिति ρ/ एन < 1 выполнено, и финальные вероятности существуют. Применяя все те же формулы (19.8), (19.7) для схемы гибели и размножения, найдем эти финальные вероятности. В выражении для पी 0भाज्य युक्त शब्दों की एक श्रृंखला होगी, साथ ही भाजक ρ/ के साथ अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग होगा। एन. इसे सारांशित करते हुए, हम पाते हैं

(20.22)

अब आइए QS दक्षता की विशेषताओं का पता लगाएं। इनमें से, व्यस्त चैनलों की औसत संख्या ज्ञात करना सबसे आसान है क== λ/μ, = ρ (यह आम तौर पर असीमित कतार वाले किसी भी QS के लिए सही है)। सिस्टम में अनुप्रयोगों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए एलप्रणाली और कतार में अनुप्रयोगों की औसत संख्या एलऔर। इनमें से, सूत्र के अनुसार, दूसरे की गणना करना आसान है

एलओच =

समस्या 2 के नमूने के अनुसार संबंधित परिवर्तन करना

(श्रृंखला के विभेदीकरण के साथ), हम प्राप्त करते हैं:

एलओच = (20.23)

इसमें सेवा के तहत आवेदनों की औसत संख्या को जोड़ना (यह व्यस्त चैनलों की औसत संख्या भी है) के =ρ, हम प्राप्त करते हैं:

एलसिस्ट = एलओच + ρ। (20.24)

के लिए भाव विभाजित करना एलऔर एलλ पर सिस्ट , लिटिल के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम कतार में और सिस्टम में किसी एप्लिकेशन का औसत निवास समय प्राप्त करते हैं:

(20.25)

अब एक दिलचस्प उदाहरण हल करते हैं। दो खिड़कियों वाला एक रेलवे टिकट कार्यालय असीमित कतार के साथ एक दो-चैनल क्यूएस है जो तुरंत दो खिड़कियों पर स्थापित होता है (यदि एक खिड़की खाली है, तो लाइन में अगला यात्री इसे लेता है)। बॉक्स ऑफिस दो बिंदुओं पर टिकट बेचता है: ए और में।दोनों बिंदुओं के लिए आवेदनों के प्रवाह की तीव्रता (यात्री जो टिकट खरीदना चाहते हैं)। ए और बीवही है: λ ए = λ बी = 0.45 (यात्री प्रति मिनट), और कुल मिलाकर वे λ ए की तीव्रता के साथ अनुप्रयोगों का एक सामान्य प्रवाह बनाते हैं + λबी = 0.9। एक कैशियर एक यात्री की सेवा में औसतन दो मिनट खर्च करता है। अनुभव बताता है कि टिकट कार्यालय में कतारें जमा होती हैं, यात्री सेवा की सुस्ती की शिकायत करते हैं। एऔर में में,दो विशेष टिकट कार्यालय (प्रत्येक में एक खिड़की) बनाएं, केवल एक बिंदु पर टिकट बेचें ए, अन्य - केवल बात करने के लिए में।इस प्रस्ताव की मजबूती विवादास्पद है - कुछ लोगों का तर्क है कि कतारें वैसी ही रहेंगी। गणना द्वारा प्रस्ताव की उपयोगिता की जांच करना आवश्यक है। चूँकि हम केवल सबसे सरल QS के लिए विशेषताओं की गणना करने में सक्षम हैं, मान लेते हैं कि सभी घटना प्रवाह सबसे सरल हैं (यह निष्कर्ष के गुणात्मक पक्ष को प्रभावित नहीं करेगा)।

तो ठीक है, चलो व्यापार के लिए नीचे उतरें। आइए टिकटों की बिक्री के आयोजन के लिए दो विकल्पों पर विचार करें - मौजूदा एक और प्रस्तावित एक।

विकल्प I (मौजूदा)। एक दो-चैनल क्यूएस को λ = 0.9 की तीव्रता के साथ अनुप्रयोगों का प्रवाह प्राप्त होता है; रखरखाव प्रवाह तीव्रता μ = 1/2 = 0.5; ρ = λ/μ = l.8. चूंकि ρ/2 = 0.9<1, финальные вероятности существуют. По первой формуле (20.22) находим पी 0 ≈ 0.0525। औसत, कतार में आवेदनों की संख्या सूत्र (20.23) द्वारा पाई जाती है: L och ≈ 7.68; कतार में ग्राहक द्वारा बिताया गया औसत समय (सूत्रों में से पहले (20.25) के अनुसार), के बराबर है डब्ल्यूअंक ≈ 8.54 (न्यूनतम)।

विकल्प II (प्रस्तावित)। दो एकल-चैनल QS (दो विशेष विंडो) पर विचार करना आवश्यक है; प्रत्येक तीव्रता λ = 0.45 के साथ अनुरोधों का प्रवाह प्राप्त करता है; μ . अभी भी 0.5 के बराबर; ρ = λ/μ = 0.9<1; финальные вероятности существуют. По формуле (20.20) находим среднюю длину очереди (к одному окошку) एलओच = 8.1।

यहाँ आपके लिए एक है! कतार की लंबाई, यह पता चला, न केवल घटी, बल्कि बढ़ी! शायद कतार में औसत प्रतीक्षा समय कम हो गया है? आइए देखते हैं। डेली एलλ = 0.45 पर अंक, हम प्राप्त करते हैं डब्ल्यूअंक ≈ 18 (मिनट)।

यही युक्तिकरण है! कतार की औसत लंबाई और उसमें औसत प्रतीक्षा समय दोनों घटने के बजाय बढ़ गए!

आइए जानने की कोशिश करते हैं कि ऐसा क्यों हुआ? अपने दिमाग पर विचार करने के बाद, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे: ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि पहले संस्करण (दो-चैनल क्यूएस) में दो कैशियरों में से प्रत्येक के निष्क्रिय रहने का औसत अंश कम है: यदि वह किसी ऐसे यात्री की सेवा में व्यस्त नहीं है जो का टिकट खरीदता है ए,वह उस यात्री का ध्यान रख सकता है जो उस स्थान का टिकट खरीदता है में,और इसके विपरीत। दूसरे संस्करण में, ऐसी कोई विनिमेयता नहीं है: एक खाली खजांची बस आलस्य से बैठता है ...

कुंआ , ठीक है, - पाठक सहमत होने के लिए तैयार हैं, - वृद्धि की व्याख्या की जा सकती है, लेकिन यह इतना महत्वपूर्ण क्यों है? क्या यहाँ कोई गलत गणना है?

और हम इस प्रश्न का उत्तर देंगे। कोई त्रुटि नहीं है। बात यह है कि , कि हमारे उदाहरण में, दोनों क्यूएस अपनी क्षमताओं की सीमा पर काम कर रहे हैं; यदि आप सेवा समय को थोड़ा बढ़ाते हैं (यानी μ को कम करते हैं), तो वे अब यात्रियों के प्रवाह का सामना नहीं कर पाएंगे, और कतार अनिश्चित काल तक बढ़ने लगेगी। और कैशियर का "अतिरिक्त डाउनटाइम" एक मायने में उसकी उत्पादकता μ में कमी के बराबर है।

इस प्रकार, गणनाओं का परिणाम, जो पहली बार में विरोधाभासी (या यहां तक ​​​​कि गलत भी) लगता है, सही और व्याख्यात्मक निकला।

इस तरह के विरोधाभासी निष्कर्ष, जिसका कारण किसी भी तरह से स्पष्ट नहीं है, क्यूइंग के सिद्धांत में समृद्ध है। गणना के परिणामों से स्वयं लेखक को बार-बार "आश्चर्यचकित" होना पड़ा, जो बाद में सही निकला।

अंतिम कार्य पर विचार करते हुए, पाठक प्रश्न को इस तरह रख सकता है: आखिरकार, यदि बॉक्स ऑफिस केवल एक बिंदु पर टिकट बेचता है, तो स्वाभाविक रूप से, सेवा का समय कम होना चाहिए, ठीक है, आधे से नहीं, लेकिन कम से कम कुछ हद तक, लेकिन हमने सोचा कि यह अभी भी औसत 2 (मिनट) था। हम इस तरह के एक योग्य पाठक को प्रश्न का उत्तर देने के लिए आमंत्रित करते हैं: "युक्तिकरण प्रस्ताव" को लाभदायक बनाने के लिए इसे कितना कम किया जाना चाहिए? दोबारा, हम मिलते हैं, हालांकि प्राथमिक, लेकिन अभी भी एक अनुकूलन समस्या है। अनुमानित गणनाओं की मदद से, सबसे सरल, मार्कोव मॉडल पर भी, घटना के गुणात्मक पक्ष को स्पष्ट करना संभव है - यह कैसे कार्य करने के लिए लाभदायक है, और यह कैसे लाभहीन है। अगले खंड में, हम कुछ प्राथमिक गैर-मार्कोवियन मॉडल पेश करेंगे जो हमारी संभावनाओं को और विस्तारित करेंगे।

पाठक सरलतम QS के लिए अंतिम स्थिति की संभावनाओं और प्रदर्शन विशेषताओं की गणना के तरीकों से परिचित हो जाने के बाद (वह मृत्यु और प्रजनन योजना और लिटिल फॉर्मूला में महारत हासिल कर चुका है), उसे स्वतंत्र विचार के लिए दो और सरल QS की पेशकश की जा सकती है।

^ 4. सीमित कतार के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस।समस्या समस्या 2 से केवल इस मायने में भिन्न है कि कतार में अनुरोधों की संख्या सीमित है (कुछ दिए गए से अधिक नहीं हो सकती है टी)।यदि कोई नया अनुरोध उस समय आता है जब कतार में सभी स्थान भरे हुए हैं, तो यह QS को अस्वीकृत (अस्वीकार) कर देता है।

राज्यों की अंतिम संभावनाओं को खोजना आवश्यक है (वैसे, वे इस समस्या में किसी भी ρ के लिए मौजूद हैं - आखिरकार, राज्यों की संख्या परिमित है), विफलता की संभावना आरओटीके, पूर्ण बैंडविड्थ ए,संभावना है कि चैनल व्यस्त है आरज़ान, औसत कतार लंबाई एलऔर, सीएमओ में आवेदनों की औसत संख्या एलप्रणाली , कतार में औसत प्रतीक्षा समय डब्ल्यूऔर , सीएमओ में एक आवेदन का औसत निवास समय डब्ल्यूप्रणाली। कतार की विशेषताओं की गणना करते समय, आप उसी तकनीक का उपयोग कर सकते हैं जिसका उपयोग हमने समस्या 2 में किया था, इस अंतर के साथ कि यह एक अनंत प्रगति को सारांशित करने के लिए आवश्यक नहीं है, बल्कि एक परिमित है।

^ 5. एक चैनल के साथ बंद लूप क्यूएस और एमआवेदन सूत्रों।संक्षिप्तता के लिए, आइए कार्य को निम्न रूप में सेट करें: एक कार्यकर्ता कार्य करता है टीमशीनें, जिनमें से प्रत्येक को समय-समय पर समायोजन (सुधार) की आवश्यकता होती है। प्रत्येक कार्यशील मशीन की मांग प्रवाह की तीव्रता λ के बराबर होती है . यदि कर्मचारी के खाली होने के समय मशीन खराब हो जाती है, तो वह तुरंत सेवा में चला जाता है। यदि वह कर्मचारी के व्यस्त होने के समय आदेश से बाहर है, तो वह कतार में लग जाता है और कार्यकर्ता के मुक्त होने की प्रतीक्षा करता है। औसत सेटअप समय टीरेव = 1/μ। कार्यकर्ता के पास आने वाले अनुरोधों के प्रवाह की तीव्रता इस बात पर निर्भर करती है कि कितनी मशीनें काम कर रही हैं। अगर यह काम करता है कमशीन टूल्स, यह बराबर है कλ। अंतिम स्थिति की संभावनाएं, काम करने वाली मशीनों की औसत संख्या और कार्यकर्ता के व्यस्त होने की संभावना का पता लगाएं।

ध्यान दें कि इस क्यूएस में, अंतिम संभावनाएं

λ और μ = 1/ के किसी भी मान के लिए मौजूद होगा टीओ, चूंकि प्रणाली के राज्यों की संख्या परिमित है।

कार्य 1।डिस्पैचिंग कंसोल अनुरोधों का प्रवाह प्राप्त करता है, जो एक दूसरे क्रम का एर्लैंग प्रवाह है। अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता प्रति घंटे 6 अनुप्रयोग है। यदि डिस्पैचर कंसोल को एक यादृच्छिक पल में छोड़ देता है, तो पहले अगले अनुरोध पर उसे कंसोल पर वापस जाना होगा। अगले अनुरोध के लिए प्रतीक्षा समय का वितरण घनत्व ज्ञात करें और उसका ग्राफ प्लॉट करें। प्रेषक के 10 से 20 मिनट तक अनुपस्थित रहने की प्रायिकता परिकलित कीजिए। समाधान. चूँकि दूसरे क्रम का एरलांग प्रवाह सीमित प्रभाव के साथ एक स्थिर प्रवाह है, तो इसके लिए पाम सूत्र मान्य है

कहाँ एफ1(θ)- पहली निकटतम घटना के प्रतीक्षा समय के लिए संभाव्यता वितरण घनत्व;
λ - प्रवाह की तीव्रता;
- प्रवाह क्रम;
(θ) क्रम के Erlang प्रवाह (E) के दो आसन्न घटनाओं के बीच के समय के लिए प्रायिकता वितरण फ़ंक्शन है।
यह ज्ञात है कि प्रवाह ई के वितरण समारोह का रूप है

. (2)

समस्या की शर्तों के अनुसार, अनुप्रयोगों का प्रवाह क्रम = 2 का एरलांग है। फिर (1) और (2) से हम प्राप्त करते हैं
.
λ=6 के लिए अंतिम संबंध से हमारे पास होगा

एफ1(θ)=3е-6θ(1+6θ), θ≥0. (3)

चलिए फंक्शन प्लॉट करते हैं एफ1(θ) . पर θ <0 अपने पास एफ1(θ) =0 . पर θ =0 , एफ1(0)=3. सीमा पर विचार करें

प्रकार की अस्पष्टता के प्रकटीकरण की सीमा की गणना करते समय, L'Hopital नियम का उपयोग किया गया था। शोध के परिणामों के आधार पर, हम फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाते हैं एफ1(θ) (चित्र .1)।

आइए कार्य के पाठ में समय के आयामों पर ध्यान दें: तीव्रता के लिए, ये प्रति घंटे, समय, मिनट के लिए आवेदन हैं। समय की एक इकाई पर चलते हैं: 10 मिनट = 1/6 घंटा, 20 मिनट = 1/3 घंटा। इन मूल्यों के लिए, कोई गणना कर सकता है एफ1(θ) और वक्र की प्रकृति को स्पष्ट कीजिए

ये निर्देशांक संबंधित वक्र बिंदुओं के ऊपर ग्राफ़ पर दर्शाए गए हैं।
संभाव्यता सिद्धांत के पाठ्यक्रम से यह ज्ञात है कि एक यादृच्छिक चर से टकराने की संभावना एक्सखंड में [α, β] संभाव्यता घनत्व वक्र के तहत संख्यात्मक रूप से क्षेत्र के बराबर है च (एक्स). यह क्षेत्र एक निश्चित अभिन्न द्वारा व्यक्त किया गया है

इसलिए, वांछित संभावना के बराबर है

इस इंटीग्रल की गणना भागों द्वारा आसानी से की जा सकती है यदि हम डालते हैं
यू=1+6θऔर डीवी = ई-6θdθ. तब डीयू = 6dθऔर वी = .
सूत्र का प्रयोग करना हम पाते हैं

उत्तर: प्रेषक के 10 से 20 मिनट तक अनुपस्थित रहने की प्रायिकता 0.28 है।

कार्य 2।डिस्प्ले रूम में 5 डिस्प्ले हैं। उपयोगकर्ताओं का प्रवाह सबसे सरल है। प्रति दिन डिस्प्ले रूम में आने वाले उपयोगकर्ताओं की औसत संख्या 140 है। एक डिस्प्ले पर एक उपयोगकर्ता द्वारा सूचना का प्रसंस्करण समय एक घातीय कानून और औसत 40 मिनट के अनुसार वितरित किया जाता है। निर्धारित करें कि क्या हॉल के संचालन का एक स्थिर तरीका है; संभावना है कि उपयोगकर्ता सभी डिस्प्ले व्यस्त पाएंगे; प्रदर्शन कक्ष में उपयोगकर्ताओं की औसत संख्या; कतार में उपयोगकर्ताओं की औसत संख्या; औसत निष्क्रिय प्रदर्शन समय; प्रदर्शन कक्ष में उपयोगकर्ता द्वारा बिताया गया औसत समय। समाधान।समस्या में विचार किया गया क्यूएस असीमित क्यू के साथ मल्टीचैनल सिस्टम के वर्ग से संबंधित है। चैनलों की संख्या = 5। आइए हम अनुरोधों के प्रवाह की λ-तीव्रता का पता लगाएं: जहां (घंटे) - उपयोगकर्ताओं के आने वाले प्रवाह के लगातार दो अनुप्रयोगों के बीच औसत समय। तब उपयोगकर्ता / घंटा

आइए जानें - सेवा के प्रवाह की तीव्रता: , जहां एम[टी सेवा]=40 मिनट=0.67 घंटे - एक प्रदर्शन के साथ एक उपयोगकर्ता के लिए औसत सेवा समय,

तब उपयोगकर्ता / घंटा

इस प्रकार, इस प्रणाली के वर्गीकरणकर्ता का सीएमओ (5, ∞; 5.85; 1.49) रूप है।
क्यूएस लोड फैक्टर की गणना करें . यह ज्ञात है कि इस वर्ग के क्यूएस के लिए, एक स्थिर मोड मौजूद है यदि सिस्टम लोड कारक का अनुपात चैनलों की संख्या से कम है। इस रिश्ते की खोज
.
इसलिए, स्थिर शासन मौजूद है। सीमित राज्य संभाव्यता वितरण की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है

चूंकि =5, हमारे पास है

आइए पी * की गणना करें - संभावना है कि उपयोगकर्ता सभी डिस्प्ले व्यस्त पाएंगे। जाहिर है, यह ऐसी घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है: सभी डिस्प्ले व्यस्त हैं, कोई कतार नहीं है (p5); सभी व्यस्त प्रदर्शित करते हैं, कतार में एक उपयोगकर्ता (p6); सभी डिस्प्ले व्यस्त हैं, दो उपयोगकर्ता कतारबद्ध हैं (p7), और इसी तरह आगे भी। चूंकि घटनाओं के एक पूरे समूह के लिए इन घटनाओं की संभावनाओं का योग एक के बराबर है, तो समानता

पी * \u003d पी 5 + पी 6 + पी 7 + ... \u003d 1 - आरओ - पी 1 - पी 2 - पी 3 - पी 4।

आइए इन संभावनाओं को खोजें: आरओ=0,014; पी 1=3,93*0,014; p2=7,72*0,014; पी 3=10,12*0,014; p4=9,94*0,014.
कोष्ठकों में से उभयनिष्ठ गुणनखण्ड निकालने पर हमें प्राप्त होता है
पी*=1-0.0148*(1+3.93+7.72+10.12+9.94)=1-0.014*32.71=1-0.46=0.54।
प्रदर्शन संकेतकों की गणना करने के लिए सूत्रों का उपयोग करना? पाना:

• 1. कतार में उपयोगकर्ताओं की औसत संख्या

2. प्रदर्शन कक्ष में उपयोगकर्ताओं की औसत संख्या

3. औसत मुफ्त प्रदर्शन प्रतीक्षा समय

4. प्रदर्शन कक्ष में उपयोगकर्ता द्वारा बिताया गया औसत समय

उत्तर: डिस्प्ले रूम के संचालन का स्थिर मोड मौजूद है और निम्नलिखित संकेतकों की विशेषता है आर*=0.54; उपयोगकर्ता; उपयोगकर्ता; ; .

कार्य 3।अनुरोधों का एक स्थिर पोइसन प्रवाह विफलताओं के साथ दो-चैनल क्यूइंग सिस्टम (QS) में प्रवेश करता है। लगातार दो अनुरोधों के आगमन के बीच का समय पैरामीटर λ = 5 अनुरोध प्रति मिनट के साथ घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है। प्रत्येक अनुरोध को पूरा करने की अवधि 0.5 मिनट है। मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करते हुए, 4 मिनट के समय के लिए सेवा प्राप्त अनुरोधों की औसत संख्या ज्ञात करें। संकेत: तीन परीक्षण करें। समाधान।आइए समय रेखाचित्रों का उपयोग करते हुए किसी दिए गए क्यूएस के संचालन के सांख्यिकीय मॉडलिंग को चित्रित करें। आइए हम समय अक्षों के लिए निम्नलिखित अंकन प्रस्तुत करें:
वीएक्स- अनुप्रयोगों का आने वाला प्रवाह, यहां ती- आवेदन प्राप्त होने का क्षण; ती- लगातार दो अनुप्रयोगों के बीच समय अंतराल। जाहिर है कि ती=ती-1 + टीमैं.
K1 - पहला सर्विस चैनल;
K2-सेकंड सर्विस चैनल; यहाँ, समय अक्ष पर मोटी रेखाएँ चैनल व्यस्त अंतरालों का प्रतिनिधित्व करती हैं। यदि दोनों चैनल मुफ्त हैं, तो चैनल K1 में अनुरोध किया जाता है, यदि यह व्यस्त है, तो चैनल K2 द्वारा अनुरोध किया जाता है।
यदि दोनों चैनल व्यस्त हैं, तो अनुरोध QS को बिना सेवा के छोड़ देता है।
आउट ओबी - सेवित अनुरोधों का आउटगोइंग प्रवाह।
क्यूएस विफलताओं के कारण खोए हुए अनुरोधों की पीटी-आउटगोइंग स्ट्रीम (दोनों चैनल व्यस्त हैं)।
सांख्यिकीय परीक्षण एक समय अंतराल के लिए जारी है। जाहिर है, कोई ओवरटाइम tmaxआउटगोइंग स्ट्रीम आउट पीटी में अनुरोध छोड़ने पर जोर देता है। तो अंजीर में। 3 आवेदन संख्या 10, जो उस समय सिस्टम में प्रवेश किया था टी 10, के पास तब तक सेवा करने का समय नहीं है tmax, क्योंकि t10+Tmont.>tmax. इसलिए, यह मुफ्त चैनल K1 द्वारा सेवा के लिए स्वीकार नहीं किया जाता है और इनकार प्राप्त करने पर आउट पीटी पर रीसेट कर दिया जाता है।

चावल। 3

समय आरेख से, यह देखा जा सकता है कि यह सीखना आवश्यक है कि अंतराल को कैसे मॉडल किया जाए टीमैं. हम व्युत्क्रम फलन की विधि लागू करते हैं। यादृच्छिक चर के बाद से तीपैरामीटर के साथ घातीय कानून के अनुसार वितरित λ =5, तो वितरण घनत्व का रूप है एफ(τ)=5е-5τ. फिर मान एफ (तिवारी)संभाव्यता वितरण समारोह अभिन्न द्वारा निर्धारित किया जाता है

.

यह ज्ञात है कि वितरण समारोह की सीमा एफ(टी) एक कट है। हम यादृच्छिक संख्याओं की तालिका से एक संख्या का चयन करते हैं और निर्धारित करते हैं टीमैंसमानता से, जहां से। हालांकि, यदि । इसलिए, आप तुरंत यादृच्छिक संख्याओं की तालिका से कार्यान्वयन प्राप्त कर सकते हैं। इस तरह,
ई-5टीमैं= री, या -5टीमैं= lnri, कहाँ । तालिका में गणना के परिणाम दर्ज करना सुविधाजनक है।
परीक्षण संख्या 1 के लिए, पहली पंक्ति की पहली संख्या से शुरू करते हुए, परिशिष्ट 2 से यादृच्छिक संख्याएँ ली गईं। आगे की सैंपलिंग पंक्तियों द्वारा की गई। चलिए दो और परीक्षण करते हैं।
परिशिष्ट 2 की तालिका से यादृच्छिक संख्याओं के चयन पर ध्यान दें, यदि परीक्षण संख्या 1 में आवेदन संख्या 16 के लिए अंतिम यादृच्छिक संख्या 0.37 (दूसरी पंक्ति में पहली यादृच्छिक संख्या) थी, तो परीक्षण संख्या 2 के साथ शुरू होती है अगली यादृच्छिक संख्या 0.54। परीक्षण #2 में अंतिम यादृच्छिक संख्या 0.53 (तीसरी पंक्ति में पाँचवीं संख्या) शामिल है। इसलिए तीसरा टेस्ट 0.19 नंबर से शुरू होगा। सामान्य तौर पर, परीक्षणों की एक ही श्रृंखला के भीतर, तालिका से यादृच्छिक संख्याओं को एक निश्चित क्रम में अंतराल और सम्मिलन के बिना चुना जाता है, उदाहरण के लिए, पंक्तियों में।

टेबल 1. टेस्ट #1

आवेदन नहीं। मैं	क्र.सं. संख्या री		-एलएन री ती	आवेदन की प्राप्ति का क्षण ती=ती-1+ति	सेवा समय का अंत। टीआई+0.50		आवेदन काउंटर
					K1

टेबल 2 टेस्ट #2

आवेदन नहीं। मैं	क्र.सं. संख्या री		-एलएन री टीमैं	आवेदन की प्राप्ति का क्षण ती=ती-1+ति	सेवा समय का अंत। टीआई+0.50		आवेदन काउंटर

टेबल #3 टेस्ट #3

आवेदन नहीं। मैं		क्र.सं. संख्या री		-एलएन री टीमैं	आवेदन की प्राप्ति का क्षण ती=ती-1+ति	सेवा समय का अंत। टीआई+0.50		आवेदन काउंटर
						K1

इस प्रकार, तीन परीक्षणों के परिणामों के अनुसार, सेवित आवेदनों की संख्या क्रमशः थी: x1=9, x2=9, x3=8। सेवित अनुरोधों की औसत संख्या ज्ञात करें:

उत्तर: QS द्वारा 4 मिनट में दिए गए आवेदनों की औसत संख्या 8.6(6) है।

कमान और नियंत्रण कार्यों को हल करते समय, सैनिकों की कमान और नियंत्रण सहित, एक ही प्रकार के कई कार्य अक्सर उत्पन्न होते हैं:

• एक संचार दिशा, एक रेलवे जंक्शन, एक अस्पताल, आदि के प्रवाह का आकलन;
• मरम्मत आधार की प्रभावशीलता का आकलन;
• रेडियो नेटवर्क आदि के लिए आवृत्तियों की संख्या का निर्धारण।

ये सभी कार्य इस अर्थ में एक ही प्रकार के हैं कि उनमें सेवा की भारी माँग है। क्यूइंग सिस्टम (क्यूएस) (चित्र 2.9) बनाने, इस मांग को पूरा करने में तत्वों का एक निश्चित सेट शामिल है।

सीएमओ के तत्व हैं:

• इनपुट (आने वाली) मांग प्रवाह(आवेदन) सेवा के लिए;
• सेवा उपकरण (चैनल);
• सेवा की प्रतीक्षा में आवेदनों की कतार;
• छुट्टी का दिन ( आउटगोइंग) स्ट्रीमसेवित अनुप्रयोग;
• अप्राप्त अनुरोधों का प्रवाह;
• मुफ्त चैनलों की कतार (मल्टीचैनल क्यूएस के लिए)।

आने वाली धारासेवा अनुरोधों का एक संग्रह है। अक्सर एप्लिकेशन की पहचान उसके वाहक के साथ की जाती है। उदाहरण के लिए, संघ कार्यशाला में प्रवेश करने वाले दोषपूर्ण रेडियो उपकरण का प्रवाह अनुप्रयोगों का प्रवाह है - इस क्यूएस में सेवा के लिए आवश्यकताएं।

एक नियम के रूप में, व्यवहार में, वे तथाकथित आवर्तक धाराओं से निपटते हैं, ऐसी धाराएँ जिनमें निम्नलिखित गुण होते हैं:

• स्थिरता;
• साधारण;
• सीमित प्रभाव।

हमने पहले दो गुणों को पहले परिभाषित किया था। सीमित परिणाम के रूप में, यह इस तथ्य में निहित है कि आने वाले अनुप्रयोगों के बीच के अंतराल स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं।

कई आवर्ती धाराएँ हैं। प्रत्येक अंतराल वितरण नियम अपना आवर्तक प्रवाह उत्पन्न करता है। आवर्ती धाराओं को अन्यथा पाम स्ट्रीम के रूप में जाना जाता है।

प्रभाव की पूर्ण अनुपस्थिति के साथ एक प्रवाह, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एक स्थिर पॉइसन प्रवाह कहा जाता है। अनुरोधों के बीच इसके यादृच्छिक अंतराल में एक घातीय वितरण होता है:

यहाँ प्रवाह की तीव्रता है।

धारा का नाम - पोइसन - इस तथ्य से आता है कि इसके लिए प्रवाह संभावनाअंतराल के लिए अनुप्रयोगों की उपस्थिति पॉइसन कानून द्वारा निर्धारित की जाती है:

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, इस प्रकार के प्रवाह को सरलतम भी कहा जाता है। QS को विकसित करते समय डिजाइनर यही प्रवाह मानते हैं। यह तीन कारणों से है।

पहले तोक्यूइंग थ्योरी में इस प्रकार का प्रवाह संभाव्यता सिद्धांत में सामान्य वितरण कानून के समान है, इस अर्थ में कि एक प्रवाह के लिए सीमा तक का मार्ग जो कि मनमाना विशेषताओं के साथ प्रवाह का योग है, जिसमें शब्दों में अनंत वृद्धि और कमी होती है। उनकी तीव्रता सरलतम प्रवाह की ओर ले जाती है। अर्थात्, मनमाना स्वतंत्र (प्रबलता के बिना) तीव्रता के साथ प्रवाह का योग तीव्रता के साथ सबसे सरल प्रवाह है

दूसरे, यदि सेवारत चैनलों (उपकरणों) को अनुरोधों के सरलतम प्रवाह के लिए डिज़ाइन किया गया है, तो अन्य प्रकार के प्रवाहों की सर्विसिंग (समान तीव्रता के साथ) कम दक्षता के साथ प्रदान की जाएगी।

तीसरा, यह वह प्रवाह है जो सिस्टम में मार्कोव प्रक्रिया को निर्धारित करता है और, परिणामस्वरूप, सिस्टम के विश्लेषणात्मक विश्लेषण की सादगी। अन्य प्रवाहों के लिए, क्यूएस कार्यप्रणाली का विश्लेषण जटिल है।

अक्सर ऐसी प्रणालियाँ होती हैं जिनमें इनपुट अनुरोधों का प्रवाह उन अनुरोधों की संख्या पर निर्भर करता है जो सेवा में हैं। ऐसे एसएमओ कहलाते हैं बंद किया हुआ(अन्यथा - खुला). उदाहरण के लिए, किसी संघ की संचार कार्यशाला के कार्य को एक बंद-लूप QS मॉडल द्वारा दर्शाया जा सकता है। बता दें कि इस वर्कशॉप को उन रेडियो स्टेशनों की सेवा के लिए डिजाइन किया गया है जो एसोसिएशन में हैं। उनमें से प्रत्येक के पास है विफलता दर. विफल उपकरणों की इनपुट धारा में तीव्रता होगी:

मरम्मत के लिए वर्कशॉप में पहले से ही रेडियो स्टेशनों की संख्या कहां है।

ऐप्लिकेशन के पास सेवा शुरू करने के अलग-अलग अधिकार हो सकते हैं। इस मामले में, आवेदन कहा जाता है विजातीय. दूसरों की तुलना में कुछ एप्लिकेशन स्ट्रीम के फायदे प्राथमिकता पैमाने द्वारा दिए गए हैं।

इनपुट स्ट्रीम की एक महत्वपूर्ण विशेषता है भिन्नता का गुणांक:

अंतराल की लंबाई की गणितीय अपेक्षा कहां है;

एक यादृच्छिक चर (अंतराल लंबाई) का मानक विचलन।

सबसे सरल प्रवाह के लिए

अधिकांश वास्तविक धागों के लिए।

जब प्रवाह नियमित, नियतात्मक होता है।

भिन्नता का गुणांक- एक विशेषता जो आवेदनों की असमान प्राप्ति की डिग्री को दर्शाती है।

सेवा चैनल (उपकरण). एक QS में एक या अधिक सर्विस डिवाइस (चैनल) हो सकते हैं। इसके अनुसार QS को सिंगल-चैनल या मल्टी-चैनल कहा जाता है।

मल्टी-चैनलक्यूएस में एक ही प्रकार या विभिन्न प्रकार के डिवाइस शामिल हो सकते हैं। सेवा उपकरण हो सकते हैं:

• संचार लाइनें;
• मरम्मत निकायों के स्वामी;
• रनवे;
• वाहन;
• बर्थ;
• नाई, विक्रेता, आदि

चैनल की मुख्य विशेषता सेवा समय है। एक नियम के रूप में, सेवा समय एक यादृच्छिक मूल्य है।

आम तौर पर, चिकित्सक मानते हैं कि सेवा समय में एक घातीय वितरण कानून है:

कहाँ - सेवा की तीव्रता;

सेवा समय की गणितीय अपेक्षा।

अर्थात्, सेवा प्रक्रिया मार्कोवियन है, और यह, जैसा कि अब हम जानते हैं, विश्लेषणात्मक गणितीय मॉडलिंग में महत्वपूर्ण सुविधा प्रदान करती है।

एक्सपोनेंशियल के अलावा, एरलांग डिस्ट्रीब्यूशन, हाइपरएक्सपोनेंशियल, त्रिकोणीय और कुछ अन्य हैं। इससे हमें भ्रमित नहीं होना चाहिए, क्योंकि यह दिखाया गया है कि क्यूएस दक्षता मानदंड का मूल्य सेवा समय संभाव्यता वितरण कानून के रूप पर ज्यादा निर्भर नहीं करता है।

QS के अध्ययन में, सेवा का सार विचार से बाहर हो जाता है, सेवा की गुणवत्ता.

चैनल हो सकते हैं बिल्कुल विश्वसनीय, अर्थात् असफल न हों। बल्कि इसे अध्ययन में स्वीकार किया जा सकता है। चैनलों के पास हो सकता है परम विश्वसनीयता. इस मामले में, QS मॉडल कहीं अधिक जटिल है।

आवेदन कतार. अनुरोधों और सेवाओं के प्रवाह की यादृच्छिक प्रकृति के कारण, आने वाले अनुरोध में पिछले अनुरोध को पूरा करने में व्यस्त चैनल मिल सकते हैं। इस मामले में, यह या तो क्यूएस को बिना सेवा के छोड़ देगा, या सिस्टम में बना रहेगा, इसकी सेवा शुरू होने की प्रतीक्षा में। तदनुसार, वहाँ हैं:

• विफलताओं के साथ सीएमओ;
• उम्मीद के साथ सीएमओ

उम्मीद के साथ सीएमओकतारों की उपस्थिति की विशेषता है। कतार में सीमित या असीमित क्षमता हो सकती है: .

शोधकर्ता आमतौर पर कतार में आवेदनों के बने रहने से जुड़ी निम्नलिखित सांख्यिकीय विशेषताओं में रुचि रखते हैं:

• अध्ययन अंतराल के लिए कतार में आवेदनों की औसत संख्या;
• कतार में आवेदन के रहने (प्रतीक्षा) का औसत समय। क्यूएस सीमित कतार क्षमता के साथमिश्रित प्रकार के एसएमओ के रूप में जाना जाता है।

अक्सर ऐसे सीएमओ होते हैं जिनमें आवेदन होते हैं लाइन में सीमित समयइसकी क्षमता की परवाह किए बिना। ऐसे क्यूएस को मिश्रित प्रकार के क्यूएस भी कहा जाता है।

निवर्तमान धाराक्यूएस छोड़ने वाले सेवा अनुरोधों का प्रवाह है।

ऐसे मामले हैं जब आवेदन कई क्यूएस से गुजरते हैं: पारगमन कनेक्शन, उत्पादन पाइपलाइन, आदि। इस मामले में, अगले क्यूएस के लिए आउटगोइंग स्ट्रीम आ रही है। क्रमिक रूप से परस्पर जुड़े QS के सेट को कहा जाता है मल्टीफ़ेज़ क्यूएसया सीएमओ नेटवर्क.

पहले QS की आने वाली धारा, बाद के QS से होकर गुजरती है, विकृत होती है और इससे मॉडलिंग मुश्किल हो जाती है। हालांकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि सबसे सरल इनपुट स्ट्रीम और एक्सपोनेंशियल सर्विस (जो मार्कोव सिस्टम में है) के साथ, आउटपुट स्ट्रीम भी सबसे सरल है. यदि सेवा समय में गैर-घातीय वितरण है, तो आउटगोइंग स्ट्रीम न केवल सरल नहीं है, बल्कि पुनरावर्ती भी नहीं है।

ध्यान दें कि आउटगोइंग अनुरोधों के बीच का अंतराल सेवा अंतराल के समान नहीं है। आखिरकार, यह पता चल सकता है कि अगली सेवा के अंत के बाद, क्यूएस अनुप्रयोगों की कमी के कारण कुछ समय के लिए निष्क्रिय है। इस मामले में

यदि 3 शर्तें पूरी होती हैं तो ऑर्डर फ्लो पोइसन है:

घटनाओं के प्रवाह की तीव्रता () समय की प्रति इकाई घटनाओं की औसत संख्या है।

आइए इवेंट स्ट्रीम के कुछ गुणों (प्रकार) पर विचार करें।

घटनाओं की धारा कहलाती है अचल, अगर इसकी संभाव्य विशेषताएं समय पर निर्भर नहीं करती हैं।

विशेष रूप से, एक स्थिर प्रवाह की तीव्रता स्थिर होती है। घटनाओं के प्रवाह में अनिवार्य रूप से सांद्रता या दुर्लभता होती है, लेकिन वे एक नियमित प्रकृति के नहीं होते हैं, और समय की प्रति इकाई घटनाओं की औसत संख्या स्थिर होती है और समय पर निर्भर नहीं होती है।

घटनाओं की धारा कहलाती है परिणाम के बिना प्रवाह, यदि किसी दो गैर-प्रतिच्छेदी समय अंतराल के लिए और (चित्र 2 देखें) उनमें से एक पर पड़ने वाली घटनाओं की संख्या इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि कितनी घटनाएं दूसरे पर पड़ती हैं। दूसरे शब्दों में, इसका मतलब यह है कि प्रवाह बनाने वाली घटनाएं निश्चित समय पर दिखाई देती हैं। एक दूसरे से स्वतंत्रऔर प्रत्येक अपने स्वयं के कारणों के लिए।

घटनाओं की धारा कहलाती है साधारण, अगर इसमें घटनाएँ अकेले दिखाई देती हैं, न कि एक साथ कई समूहों में।

घटनाओं की धारा कहलाती है सबसे सरल (या स्थिर पोइसन),अगर इसमें एक साथ तीन गुण हैं:

एक छोटे से समय अंतराल में एक घटना (आदेश का आगमन) की संभावना इस अंतराल की लंबाई के समानुपाती होती है।

एक छोटे से अंतराल पर 2 घटनाओं की संभावना नगण्य है।

आवेदन की सही-सही प्राप्ति पिछली घटनाओं पर निर्भर नहीं करती है।

सबसे सरल प्रवाह में सबसे सरल गणितीय विवरण होता है। यह प्रवाहों के बीच वही विशेष भूमिका निभाता है, जो वितरण के अन्य नियमों के बीच सामान्य वितरण के नियम की होती है। अर्थात्, जब पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में स्वतंत्र, स्थिर और साधारण प्रवाह (तीव्रता में एक दूसरे की तुलना में) आरोपित होते हैं, तो सरलतम के करीब प्रवाह प्राप्त होता है।

सबसे सरल क्यूएस और उनकी विशेषताएं। दोषरहित मल्टी-चैनल और सिंगल-चैनल सिस्टम असीमित विलंबता और एक स्रोत के साथ अनंत संख्या में आवश्यकताएं। मल्टीचैनल सिस्टम के लिए एक परिमित मध्य कतार के अस्तित्व की शर्त।

क्यूइंग सिस्टम (क्यूएस) के उदाहरण: टेलीफोन एक्सचेंज, मरम्मत की दुकानें, टिकट कार्यालय, सूचना डेस्क, मशीन टूल्स और अन्य तकनीकी प्रणालियां, लचीली विनिर्माण प्रणाली नियंत्रण प्रणाली आदि।

प्रत्येक QS में एक निश्चित संख्या में सेवा इकाइयाँ होती हैं, जिन्हें कहा जाता है सेवा चैनल(ये मशीन टूल्स, ट्रांसपोर्ट कार्ट, रोबोट, कम्युनिकेशन लाइन, कैशियर, सेलर्स आदि हैं)। प्रत्येक QS को कुछ की सेवा के लिए डिज़ाइन किया गया है आवेदन प्रवाह(आवश्यकताएँ) कुछ यादृच्छिक समय पर आ रहा है।

अनुरोध की सेवा कुछ के लिए जारी रहती है, आम तौर पर बोलना, यादृच्छिक समय, जिसके बाद चैनल जारी किया जाता है और अगला अनुरोध प्राप्त करने के लिए तैयार होता है। अनुरोधों और सेवा समय के प्रवाह की यादृच्छिक प्रकृति इस तथ्य की ओर ले जाती है कि कुछ समय अवधि में क्यूएस के प्रवेश द्वार पर अनावश्यक रूप से बड़ी संख्या में अनुरोध जमा होते हैं (वे या तो कतार में प्रवेश करते हैं या क्यूएस को छोड़ देते हैं)। अन्य अवधियों में, क्यूएस अंडरलोड के साथ काम करेगा या निष्क्रिय भी रहेगा।

प्रतीक्षा के साथ सबसे सरल QS एक एकल-चैनल प्रणाली है जो एक परिभाषित तीव्रता के साथ अनुरोधों की एक धारा प्राप्त करती है। एक अनुरोध जो उस समय आता है जब चैनल व्यस्त होता है और एक कतार में लग जाता है और सेवा की प्रतीक्षा करता है।

MCU का उपयोग कई समानांतर वस्तुओं का अनुकरण करने के लिए किया जाता है। MCU मॉडलिंग डिवाइस मॉडलिंग के समान है: एक लेन-देन डिवाइस में प्रवेश करता है, एक निश्चित संख्या में चैनलों पर कब्जा कर लेता है, कुछ समय के लिए सर्विस किया जाता है, और फिर MCU को छोड़ देता है, इसके द्वारा कब्जा किए गए चैनलों को मुक्त कर देता है।

मॉडल में उनके प्रतिनिधित्व के लिए MCU का उपयोग करने के लिए आवश्यक वास्तविक वस्तु में शर्तें:

ऑब्जेक्ट में समान सेवा समय वितरण फ़ंक्शन होना चाहिए

इस फ़ंक्शन के समान पैरामीटर।

डिवाइस के विपरीत, बिल्ली की क्षमता हमेशा एक के बराबर होती है, एमकेयू की क्षमता होनी चाहिए प्रोग्रामर द्वारा परिभाषित इसके लिए एक विशेष स्टोरेज कमांड का उपयोग किया जाता है।

कमांडनाम स्टोरेज ए

CommandName फ़ील्ड MCU का प्रतीकात्मक नाम है, और A फ़ील्ड इसकी क्षमता (सेवा चैनलों की संख्या) है, ऑपरेंड A हो सकता है। केवल एक सकारात्मक पूर्णांक के रूप में निर्दिष्ट।

Ex: MKU1 STORAGE 5 TRAKT STORAGE 30 (MKU1 नाम की MKU की क्षमता 5 के रूप में परिभाषित की गई है, MKU नाम TRAKT 30 है)।

सेवा चैनलों के कब्जे से जुड़ी घटना को ENTER ब्लॉक द्वारा तैयार किया गया है, और चैनल रिलीज इवेंट को LEAVE ब्लॉक द्वारा तैयार किया गया है।

ए एमकेयू का नाम है। बी एमसीयू क्षमता इकाइयों की संख्या है, बिल्ली को लेन-देन पर कब्जा (जारी) करना चाहिए। डिफ़ॉल्ट = 1।

Ex: 1) BLOK3 दर्ज करें (BLOK3 नाम के साथ MKU दर्ज करें);

2) समुद्रों को छोड़ दें, 3 (सीन्स नामक एमसीयू की क्षमता की 3 इकाइयां जारी करें)।

ENTER और LEAVE ब्लॉक के बीच कितने भी ब्लॉक हो सकते हैं। विशेष रूप से, MCU में सेवा समय की देरी को ADVANCE ब्लॉक का उपयोग करके अनुकरण किया जाता है।

यदि लीव ब्लॉक के ऑपरेंड बी द्वारा निर्दिष्ट क्षमता इकाइयों की संख्या वर्तमान में कब्जे वाले एमसीयू चैनलों की संख्या से अधिक है, तो दुभाषिया सिमुलेशन बंद कर देता है और एक त्रुटि संदेश उत्पन्न करता है।

लेन-देन जो एमकेयू पर कब्जा करने की प्रतीक्षा कर रहे हैं, वे "अंतराल के साथ पहला मैच" नियम के अधीन हैं।

जब कोई लेन-देन LEAVE ब्लॉक में प्रवेश करता है, तो दुभाषिया अपनी प्रगति को रोक देता है, इस MCU की देरी श्रृंखला से अगले लेनदेन को ENTER ब्लॉक में प्रवेश करने की अनुमति देता है, और उसके बाद ही वह लेनदेन को आगे बढ़ाता है जो MCU को मॉडल में छोड़ देता है। एक लेन-देन जिसने MCU विलंब श्रृंखला को छोड़ दिया है, उसे PZT में स्थानांतरित कर दिया जाता है और इसकी प्राथमिकता श्रेणी में अंतिम हो जाता है।

एमकेयू के निम्नलिखित एनएवी हैं: एस - एमकेयू की वर्तमान सामग्री; आर - एमकेयू की मुक्त क्षमता; एसआर - 1000 के अंशों में उपयोगिता कारक; SA MCU की औसत सामग्री का पूर्णांक भाग है; एसएम एमसीयू की अधिकतम सामग्री है; एससी - एमसीयू कक्षाओं की संख्या; ST MKU व्यवसाय के औसत समय का पूर्णांक भाग है।

सिंगल-चैनल डिवाइस डिजाइन करने के लिए, सीज, रिलीज ब्लॉक का उपयोग करें

पकड़नाए(कब्जा) - डिवाइस पर लेन-देन का कब्जा है। ए- डिवाइस के प्रवेश बिंदु का नाम।

मुक्त करनाए(मुक्त करना) – सेवा समय बीत जाने के बाद लेनदेन द्वारा डिवाइस को जारी करना।