शैक्षिक संस्थान "बेलारूसी राज्य

कृषि अकादमी"

उच्च गणित विभाग

दिशा-निर्देश

शिक्षा के पत्राचार रूप (NISPO) के लेखा विभाग के छात्रों द्वारा "दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण" विषय के अध्ययन पर

गोर्की, 2013

रैखिक अंतर समीकरण

निरंतर के साथ दूसरा क्रमगुणांकों

रैखिक सजातीय अंतर समीकरण

अचर गुणांकों के साथ दूसरे कोटि का रेखीय अवकल समीकरण रूप का समीकरण कहलाता है

वे। एक समीकरण जिसमें वांछित फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव केवल पहली डिग्री तक होते हैं और उनके उत्पाद शामिल नहीं होते हैं। इस समीकरण में और
कुछ संख्याएँ हैं, और फ़ंक्शन
कुछ अंतराल पर दिया
.

अगर
अंतराल पर
, तब समीकरण (1) रूप लेता है

, (2)

और बुलाया रैखिक सजातीय . अन्यथा, समीकरण (1) कहा जाता है रैखिक विषम .

जटिल कार्य पर विचार करें

, (3)

कहाँ
और
वास्तविक कार्य हैं। यदि फलन (3) समीकरण (2) का एक जटिल हल है, तो वास्तविक भाग
, और काल्पनिक हिस्सा
समाधान
अलग-अलग लेने पर एक ही सजातीय समीकरण के हल होते हैं। इस प्रकार, समीकरण (2) का कोई भी जटिल समाधान इस समीकरण के दो वास्तविक समाधान उत्पन्न करता है।

एक समांगी रैखिक समीकरण के हल के निम्नलिखित गुण होते हैं:

अगर समीकरण (2) का हल है, फिर फलन
, कहाँ साथ- एक मनमाना स्थिरांक, समीकरण (2) का भी एक हल होगा;

अगर और समीकरण (2) के समाधान हैं, फिर फलन
समीकरण (2) का भी हल होगा;

अगर और समीकरण (2) के हल हैं, तो उनका रैखिक संयोजन
समीकरण (2) का भी एक हल होगा, जहाँ और
मनमाना स्थिरांक हैं।

कार्य
और
बुलाया रैखिक रूप से निर्भर अंतराल पर
अगर ऐसी संख्याएँ हैं और
, जो एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, कि इस अंतराल पर समानता

यदि समानता (4) केवल कब धारण करती है
और
, फिर कार्य करता है
और
बुलाया रैखिक रूप से स्वतंत्र अंतराल पर
.

उदाहरण 1 . कार्य
और
रैखिक रूप से निर्भर हैं, क्योंकि
पूरी संख्या रेखा के साथ। इस उदाहरण में
.

उदाहरण 2 . कार्य
और
समानता के बाद से किसी भी अंतराल पर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं
तभी संभव है जब और
, और
.

एक रैखिक सजातीय के सामान्य समाधान का निर्माण

समीकरण

समीकरण (2) का एक सामान्य समाधान खोजने के लिए, आपको इसके दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान खोजने की आवश्यकता है और . इन समाधानों का रैखिक संयोजन
, कहाँ और
मनमाना स्थिरांक हैं, और एक रैखिक सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान देंगे।

समीकरण (2) के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान के रूप में मांगे जाएंगे

, (5)

कहाँ - कुछ संख्या। तब
,
. आइए हम इन भावों को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करें:

या
.

क्योंकि
, वह
. तो समारोह
समीकरण (2) का समाधान होगा यदि समीकरण को संतुष्ट करेगा

. (6)

समीकरण (6) कहा जाता है विशेषता समीकरण समीकरण (2) के लिए। यह समीकरण एक बीजगणितीय द्विघात समीकरण है।

होने देना और इस समीकरण की जड़ें हैं। वे या तो वास्तविक और भिन्न, या जटिल, या वास्तविक और समान हो सकते हैं। आइए इन मामलों पर विचार करें।

जड़ें जाने दो और विशेषता समीकरण वास्तविक और विशिष्ट हैं। तब समीकरण (2) के हल फलन होंगे
और
. समानता के बाद से ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं
तभी किया जा सकता है जब
, और
. इसलिए, समीकरण (2) के व्यापक हल का रूप है

,

कहाँ और
मनमाना स्थिरांक हैं।

उदाहरण 3
.

समाधान . इस अंतर के लिए विशेषता समीकरण होगा
. इस द्विघात समीकरण को हल करने पर, हम इसके मूल ज्ञात करते हैं
और
. कार्य
और
अवकल समीकरण के हल हैं। इस समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है
.

जटिल संख्या रूप की अभिव्यक्ति कहलाती है
, कहाँ और वास्तविक संख्याएँ हैं, और
काल्पनिक इकाई कहलाती है। अगर
, फिर संख्या
विशुद्ध काल्पनिक कहा जाता है। अगर
, फिर संख्या
वास्तविक संख्या से पहचाना जाता है .

संख्या सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग कहा जाता है, और - काल्पनिक भाग। यदि दो जटिल संख्याएँ एक दूसरे से केवल काल्पनिक भाग के चिह्न में भिन्न होती हैं, तो उन्हें संयुग्म कहा जाता है:
,
.

उदाहरण 4 . एक द्विघात समीकरण को हल करें
.

समाधान . समीकरण विभेदक
. तब। वैसे ही,
. इस प्रकार, इस द्विघात समीकरण के संयुग्मी सम्मिश्र मूल हैं।

बता दें कि विशेषता समीकरण की जड़ें जटिल हैं, अर्थात
,
, कहाँ
. समीकरण के समाधान (2) के रूप में लिखा जा सकता है
,
या
,
. यूलर के सूत्रों के अनुसार

,
.

तब ,। जैसा कि ज्ञात है, यदि एक सम्मिश्र फलन एक रेखीय सजातीय समीकरण का हल है, तो इस समीकरण के हल इस फलन के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग होते हैं। इस प्रकार समीकरण (2) के हल फलन होंगे
और
. समानता के बाद से

केवल तभी किया जा सकता है जब
और
, तो ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसलिए, समीकरण (2) के व्यापक हल का रूप है

कहाँ और
मनमाना स्थिरांक हैं।

उदाहरण 5 . अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान . समीकरण
दिए गए अंतर के लिए विशेषता है। हम इसे हल करते हैं और जटिल जड़ें प्राप्त करते हैं
,
. कार्य
और
अवकल समीकरण के रैखिकतः स्वतंत्र हल हैं। इस समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है।

बता दें कि विशेषता समीकरण की जड़ें वास्तविक और समान हैं, अर्थात
. तब समीकरण (2) के हल फलन हैं
और
. ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, क्योंकि अभिव्यक्ति समान रूप से शून्य के बराबर तभी हो सकती है जब
और
. इसलिए, समीकरण (2) के व्यापक हल का रूप है
.

उदाहरण 6 . अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान . विशेषता समीकरण
समान जड़ें हैं
. इस स्थिति में, अवकल समीकरण के रैखिकतः स्वतंत्र समाधान फलन होते हैं
और
. सामान्य समाधान का रूप है
.

अचर गुणांकों के साथ विषम द्वितीय कोटि रैखिक अवकल समीकरण

और विशेष दाईं ओर

रैखिक विषम समीकरण (1) का सामान्य समाधान सामान्य समाधान के योग के बराबर है
संगत सजातीय समीकरण और कोई विशेष समाधान
विषम समीकरण:
.

कुछ मामलों में, एक विषम समीकरण का एक विशेष समाधान सही पक्ष के रूप में काफी आसानी से पाया जा सकता है
समीकरण (1)। आइए मामलों पर विचार करें जब यह संभव हो।

वे। विषम समीकरण का दाहिना पक्ष डिग्री का बहुपद है एम. अगर
अभिलक्षणिक समीकरण का मूल नहीं है, तो विषम समीकरण के विशेष हल को घात के बहुपद के रूप में खोजा जाना चाहिए। एम, अर्थात।

कठिनाइयाँ
एक विशेष समाधान खोजने की प्रक्रिया में निर्धारित होते हैं।

अगर
अभिलाक्षणिक समीकरण का मूल है, तो असमघात समीकरण के एक विशेष हल के रूप में खोजा जाना चाहिए

उदाहरण 7 . अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान . इस समीकरण के लिए संगत सजातीय समीकरण है
. इसकी विशेषता समीकरण
जड़ें हैं
और
. सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है
.

क्योंकि
अभिलाक्षणिक समीकरण का मूल नहीं है, तो हम फलन के रूप में असमघात समीकरण के विशेष हल की खोज करेंगे।
. इस फ़ंक्शन के डेरिवेटिव खोजें
,
और उन्हें इस समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

या । गुणांकों को समान करें और मुक्त सदस्य:
इस प्रणाली को हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
,
. तब विषम समीकरण के एक विशेष समाधान का रूप होता है
, और इस विषम समीकरण का सामान्य समाधान संगत सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान और विषम के विशेष समाधान का योग होगा:
.

बता दें कि विषम समीकरण का रूप है

अगर
अभिलाक्षणिक समीकरण का मूल नहीं है, तो असमघात समीकरण के एक विशेष हल के रूप में खोजा जाना चाहिए। अगर
विशेषता बहुलता समीकरण की जड़ है क (क= 1 या क=2), तो इस स्थिति में असमघात समीकरण के विशेष हल का रूप होगा।

उदाहरण 8 . अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान . संबंधित सजातीय समीकरण के लिए विशेषता समीकरण का रूप है
. इसकी जड़ें
,
. इस मामले में, संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जाता है
.

चूंकि संख्या 3 अभिलाक्षणिक समीकरण का मूल नहीं है, इसलिए असमघात समीकरण का एक विशेष हल इस रूप में खोजा जाना चाहिए
. आइए पहले और दूसरे क्रम के डेरिवेटिव खोजें :,

अंतर समीकरण में स्थानापन्न:
+ +,
+,.

गुणांकों को समान करें और मुक्त सदस्य:

यहाँ से
,
. फिर इस समीकरण के एक विशेष समाधान का रूप है
, और सामान्य समाधान

.

स्वेच्छ अचरों के विचरण की लैग्रेंज विधि

मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि को किसी भी विषम रैखिक समीकरण पर निरंतर गुणांक के साथ लागू किया जा सकता है, भले ही दाईं ओर का रूप कुछ भी हो। यह विधि हमेशा एक विषम समीकरण का सामान्य समाधान खोजना संभव बनाती है यदि संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान ज्ञात हो।

होने देना
और
समीकरण (2) के रैखिकतः स्वतंत्र हल हैं। तब इस समीकरण का सामान्य हल है
, कहाँ और
मनमाना स्थिरांक हैं। मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि का सार यह है कि समीकरण (1) के सामान्य समाधान के रूप में मांगा जाता है

कहाँ
और
- नई अज्ञात विशेषताएं मिलनी चाहिए। चूँकि दो अज्ञात फलन हैं, उन्हें खोजने के लिए इन फलनों वाले दो समीकरणों की आवश्यकता है। ये दो समीकरण सिस्टम बनाते हैं

के संबंध में समीकरणों की एक रेखीय बीजगणितीय प्रणाली है
और
. इस प्रणाली को हल करते हुए, हम पाते हैं
और
. प्राप्त समानता के दोनों भागों को एकीकृत करते हुए, हम पाते हैं

और
.

इन व्यंजकों को (9) में प्रतिस्थापित करने पर, हम असमघात रैखिक समीकरण (1) का सामान्य हल प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 9 . अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान। दिए गए अवकल समीकरण के संगत सजातीय समीकरण के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण है
. इसकी जड़ें जटिल हैं
,
. क्योंकि
और
, वह
,
, और सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है तब इस विषम समीकरण का सामान्य हल उस रूप में मांगा जाएगा जहां
और
- अज्ञात कार्य।

इन अज्ञात कार्यों को खोजने के लिए समीकरणों की प्रणाली का रूप है

इस प्रणाली को हल करते हुए, हम पाते हैं
,
. तब

,
. आइए हम प्राप्त भावों को सामान्य समाधान सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

लैग्रेंज विधि द्वारा प्राप्त इस अवकल समीकरण का यह सामान्य हल है।

ज्ञान के आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न

किस अवकल समीकरण को अचर गुणांकों वाला द्वितीय कोटि का रैखिक अवकल समीकरण कहा जाता है?

किस रेखीय अवकल समीकरण को समांगी कहा जाता है और किसे असमघात कहा जाता है?

एक रेखीय सजातीय समीकरण के गुण क्या हैं?

एक रैखिक अवकल समीकरण के लिए किस समीकरण को अभिलाक्षणिक कहा जाता है और इसे कैसे प्राप्त किया जाता है?

विशेषता समीकरण की विभिन्न जड़ों के मामले में निरंतर गुणांक वाले रैखिक सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान किस रूप में लिखा जाता है?

विशेषता समीकरण की समान जड़ों के मामले में निरंतर गुणांक वाले रैखिक सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान किस रूप में लिखा जाता है?

विशेषता समीकरण की जटिल जड़ों के मामले में निरंतर गुणांक वाले रैखिक सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान किस रूप में लिखा जाता है?

एक रेखीय विषम समीकरण का सामान्य हल कैसे लिखा जाता है?

एक रेखीय विषम समीकरण का विशेष हल किस रूप में मांगा जाता है, यदि अभिलाक्षणिक समीकरण के मूल भिन्न हैं और शून्य के बराबर नहीं हैं, और समीकरण का दाहिना भाग डिग्री का बहुपद है एम?

एक रेखीय असमघात समीकरण का विशेष हल किस रूप में मांगा जाता है, यदि अभिलक्षणिक समीकरण के मूलों में एक शून्य हो और समीकरण का दाहिना पक्ष घात का बहुपद हो। एम?

लैग्रेंज विधि का सार क्या है?

दूसरा क्रम अंतर समीकरण

§1। समीकरण के क्रम को कम करने के तरीके।

दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का रूप है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( या अवकलन" href="/text/श्रेणी/अलग-अलग/" rel="bookmark">द्वितीय क्रम अवकल समीकरण)। द्वितीय क्रम अवकल समीकरण के लिए कौशी समस्या (1..gif" चौड़ाई="85" ऊँचाई = "25 src= ">.gif" चौड़ाई="85" ऊंचाई="25 src=">.gif" ऊंचाई="25 src=">.

दूसरे क्रम के अवकल समीकरण को इस तरह दिखने दें: src=">.gif" चौड़ाई="265" ऊंचाई="28 src=">.

इस प्रकार, दूसरे क्रम का समीकरण 25 src=">.gif" चौड़ाई="117" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="34" ऊंचाई="25 src=">. इसे हल करते हुए, हम मूल अवकल समीकरण का सामान्य समाकल प्राप्त करते हैं, जो दो मनमानी स्थिरांकों पर निर्भर करता है: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">. gif" चौड़ाई="76" ऊंचाई="25 src=">.

समाधान।

चूंकि मूल समीकरण में कोई स्पष्ट तर्क नहीं है https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" चौड़ाई="35" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="82" ऊंचाई="38 src="> ..gif" चौड़ाई="99" ऊंचाई="38 स्रोत = ">।

चूँकि https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= "> .gif" चौड़ाई="34" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="68" ऊंचाई="35 src=">..gif" ऊंचाई="25 src=">.

दूसरे क्रम के अवकल समीकरण को इस तरह दिखने दें: src=">.gif" चौड़ाई="34" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="33" ऊंचाई="25 src=">..gif" चौड़ाई="225" ऊंचाई="25 src =">..gif" चौड़ाई="150" ऊंचाई="25 src=">.

उदाहरण 2समीकरण का सामान्य समाधान खोजें: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" चौड़ाई="100" ऊंचाई="27 src=">.gif" चौड़ाई="130" ऊंचाई="37 src=">.gif" चौड़ाई="34" ऊंचाई= "25 src =">.gif" चौड़ाई ="183" ऊंचाई ="36 src=">.

3. डिग्री का क्रम कम हो जाता है यदि इसे ऐसे रूप में बदलना संभव है कि समीकरण के दोनों भाग https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif के अनुसार कुल डेरिवेटिव बन जाएं "चौड़ाई="92" ऊंचाई="25 src=">..gif" चौड़ाई="98" ऊंचाई="48 src=">.gif" चौड़ाई="138" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई = "282" ऊंचाई = "25 src = ">, (2.1)

जहाँ https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> ऐसे कार्य दिए गए हैं जो उस अंतराल पर निरंतर होते हैं जिस पर समाधान की मांग की जाती है। a0(x) ≠ 0 मानकर, (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2) से विभाजित करें

बिना प्रमाण के मान लें कि (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height= " 25 src=">, तब समीकरण (2.2) को सजातीय कहा जाता है, और समीकरण (2.2) को अमानवीय कहा जाता है।

आइए हम द्वितीय कोटि के लोडू के विलयनों के गुणों पर विचार करें।

परिभाषा।कार्यों का रैखिक संयोजन = ">.gif" चौड़ाई="195" ऊंचाई="25 src=">, (2.3)

फिर उनका रैखिक संयोजन https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> in (2.3) और दिखाएं कि परिणाम एक पहचान है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.

चूंकि कार्य https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> समीकरण (2.3) के समाधान हैं, तो प्रत्येक कोष्ठक में अंतिम समीकरण समान रूप से शून्य के बराबर है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

परिणाम 1.यह https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> - समीकरण का समाधान (2..gif) पर सिद्ध प्रमेय से अनुसरण करता है "चौड़ाई=" 97" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="165" ऊंचाई="25 src="> को कुछ अंतराल पर रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि इन कार्यों में से कोई भी सभी के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित नहीं होता है अन्य लोग।

दो कार्यों के मामले में https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, यानी gif" width="77" height= "47 src=">.gif" चौड़ाई="187" ऊंचाई="43 src=">.gif" चौड़ाई="42" ऊंचाई="25 src=">. इस प्रकार, दो रैखिक रूप से स्वतंत्र कार्यों के लिए व्रोनस्की निर्धारक समान रूप से शून्य के बराबर नहीं हो सकता है।

चलो https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" चौड़ाई="605" ऊंचाई="50">..gif" चौड़ाई="18" ऊंचाई="25 src="> समीकरण को संतुष्ट करें (2..gif" चौड़ाई="42" ऊंचाई="25 src = "> - समीकरण का समाधान (3.1)..gif" चौड़ाई="87" ऊंचाई="28 src=">..gif" चौड़ाई="182" ऊंचाई="34 src=">..gif" चौड़ाई= "162" ऊंचाई="42 src=">.gif" चौड़ाई="51" ऊंचाई="25 src="> समान है। इस प्रकार,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, जिसमें समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान के लिए निर्धारक (2..gif) " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> सूत्र के दाईं ओर दोनों कारक (3.2) गैर-शून्य हैं।

§4। द्वितीय क्रम दर्ज करने के लिए सामान्य समाधान की संरचना।

प्रमेय।यदि https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं (2..gif" width=") 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">समीकरण (2.3) का एक समाधान है, दूसरे क्रम के गुणों पर प्रमेय से अनुसरण करता है समाधान..gif "चौड़ाई="85 "ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="19" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="220" ऊंचाई="47">

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की इस प्रणाली से स्थिरांक https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> विशिष्ट रूप से निर्धारित किए जाते हैं, क्योंकि निर्धारक यह सिस्टम है https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" चौड़ाई="138" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="19" ऊंचाई="25 src=">. gif" चौड़ाई="69" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="235" ऊंचाई="48 src=">..gif" चौड़ाई="143" ऊंचाई="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. पिछले पैराग्राफ के अनुसार, यदि इस समीकरण के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान ज्ञात हैं, तो दूसरे क्रम के लोडू का सामान्य समाधान आसानी से निर्धारित किया जा सकता है। एक सरल विधि L. Euler..gif" width="25" height="26 src="> द्वारा सुझाए गए निरंतर गुणांक वाले समीकरण के आंशिक समाधान खोजने के लिए, हमें एक बीजगणितीय समीकरण मिलता है, जिसे विशेषता कहा जाता है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> केवल k के उन मानों के लिए समीकरण (5.1) का समाधान होगा जो विशेषता समीकरण (5.2) की जड़ें हैं।..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" ऊंचाई="47 src ="> और सामान्य समाधान (5..gif" चौड़ाई="45" ऊंचाई="25 src=">..gif" चौड़ाई="74" ऊंचाई="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. जांचें कि यह फ़ंक्शन समीकरण (5.1)..gif" width="190" ऊंचाई="26 src="> को संतुष्ट करता है। इन अभिव्यक्तियों को इसमें प्रतिस्थापित करना समीकरण (5.1), हम प्राप्त करते हैं

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" चौड़ाई="328" ऊंचाई="26 src=">, क्योंकि.gif" चौड़ाई="137" ऊंचाई="26 src=" >।

निजी समाधान https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, क्योंकि.gif" width="166" ऊंचाई= "26 src=">.gif" चौड़ाई="45" ऊंचाई="25 src=">..gif" चौड़ाई="65" ऊंचाई="33 src=">.gif" चौड़ाई="134" ऊंचाई=" 25 src=">.gif" चौड़ाई="267" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="474" ऊंचाई="25 src=">.

इस समानता के बाईं ओर दोनों कोष्ठक समान रूप से शून्य के बराबर हैं..gif" चौड़ाई="174" ऊंचाई="25 src=">..gif" चौड़ाई="132" ऊंचाई="25 src="> है समीकरण का हल (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> इस तरह दिखेगा:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

सामान्य समाधान के योग के रूप में प्रतिनिधित्व https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

और कोई विशेष समाधान https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> समीकरण (6.1)..gif" का समाधान होगा चौड़ाई = "272" ऊंचाई = "25 src = "> एफ (एक्स)। यह समानता एक पहचान है क्योंकि..gif" चौड़ाई="128" ऊंचाई="25 src="> f(x). इसलिए.gif" चौड़ाई="85" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई= "138" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="18" ऊंचाई="25 src="> इस समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं। इस प्रकार:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, और ऐसा निर्धारक, जैसा कि हमने ऊपर देखा, सिस्टम से शून्य..gif" width="19" height="25 src="> से अलग है समीकरणों की संख्या (6..gif" चौड़ाई="76" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="76" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="140" ऊंचाई="25 src) ="> समीकरण का समाधान होगा

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> समीकरण (6.5) में, हमें मिलता है

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" चौड़ाई="140" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="128" ऊंचाई="25 src="> च (एक्स) (7.1)

जहाँ https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> समीकरण (7.1) के मामले में जब दाईं ओर f(x) इस विधि को अनिश्चित गुणांक की विधि कहा जाता है और इसमें f(x) के दाईं ओर के रूप के आधार पर एक विशेष समाधान का चयन करना शामिल है। निम्नलिखित रूप के दाईं ओर पर विचार करें:

1..gif" चौड़ाई="282" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="53" ऊंचाई="25 src="> शून्य हो सकती है। आइए हम उस रूप को इंगित करें जिसमें इस मामले में विशेष समाधान लिया जाना चाहिए।

क) यदि संख्या है https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height=" 25 स्रोत = ">।

समाधान।

समीकरण के लिए = ">..gif" चौड़ाई="101" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="153" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="383" ऊंचाई="25 src= ">।

हम समानता के बाएँ और दाएँ भागों में https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> द्वारा दोनों भागों को छोटा करते हैं

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

समीकरणों की परिणामी प्रणाली से हम पाते हैं: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, और दिए गए सामान्य समाधान समीकरण है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" चौड़ाई="11" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="423" ऊंचाई="25 src=">,

जहाँ https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

समाधान।

इसी विशेषता समीकरण का रूप है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" चौड़ाई="53" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="85" ऊंचाई="25 src=">. gif" चौड़ाई="45" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="219" ऊंचाई="25 src=">..gif" चौड़ाई="184" ऊंचाई="35 src=">. अंत में हमारे पास सामान्य समाधान के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" चौड़ाई="170" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="13" ऊंचाई="25 src="> उत्कृष्ट शून्य से। आइए इस मामले में एक विशेष समाधान के रूप का संकेत दें।

क) यदि संख्या है https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

जहां https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> समीकरण (5..gif" चौड़ाई) के लिए विशेषता समीकरण की जड़ है ="229 "ऊंचाई ="25 src=">,

जहाँ https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

समाधान।

समीकरण के लिए विशेषता समीकरण की जड़ें ऊँचाई = "25 src =">।

उदाहरण 3 में दिए गए समीकरण के दाहिने पक्ष का एक विशेष रूप है: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif" चौड़ाई="55" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="229" ऊंचाई="25 src=">.

परिभाषित करने के लिए > और दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

समान शर्तें लाना, https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height= पर गुणांकों की समानता करना "25 स्रोत =">।

दिए गए समीकरण का अंतिम सामान्य समाधान है: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 "ऊंचाई ="25 src=">.gif" चौड़ाई="10" ऊंचाई="25 src="> क्रमशः, और इनमें से एक बहुपद शून्य के बराबर हो सकता है। आइए इस सामान्य में एक विशेष समाधान के रूप को इंगित करें मामला।

a) यदि संख्या है https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

जहाँ https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

बी) यदि संख्या https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src="> है, तो एक विशेष समाधान इस तरह दिखेगा:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. अभिव्यक्ति में (7..gif" width="121" ऊंचाई= "25 स्रोत =">।

उदाहरण 4समीकरण के लिए विशेष समाधान के प्रकार का संकेत दें

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . लॉज के सामान्य समाधान का रूप है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" चौड़ाई="183" ऊंचाई="25 src=">..gif" चौड़ाई="42" ऊंचाई="25 src="> ..gif" चौड़ाई="36" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="351" ऊंचाई="25 src=">.

अतिरिक्त गुणांक > दाईं ओर f1(x) वाले समीकरण के लिए एक विशेष समाधान है, और Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">मनमानी स्थिरांक की विविधताएं (Lagrange विधि)।

निरंतर गुणांक वाले समीकरण के मामले को छोड़कर, और इसके अलावा विशेष निरंतर शर्तों के साथ एक रेखा के लिए एक विशेष समाधान की सीधी खोज, बड़ी कठिनाइयों को प्रस्तुत करती है। इसलिए, एक रेखा के लिए एक सामान्य समाधान खोजने के लिए, आमतौर पर मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग किया जाता है, जो हमेशा समान सजातीय समीकरण के समाधान की मौलिक प्रणाली के चतुष्कोणों में एक रेखा के लिए एक सामान्य समाधान खोजने के लिए संभव बनाता है। ज्ञात है। यह विधि इस प्रकार है।

उपरोक्त के अनुसार, रैखिक सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – स्थिर नहीं, लेकिन कुछ, फिर भी अज्ञात, f(x) के फलन। . अंतराल से लिया जाना चाहिए। वास्तव में, इस मामले में, Wronsky निर्धारक अंतराल के सभी बिंदुओं पर शून्य नहीं है, यानी, पूरे अंतरिक्ष में, यह विशेषता समीकरण की जटिल जड़ है..gif" width="20" height="25 src="> रूप के रैखिक रूप से स्वतंत्र विशेष समाधान :

सामान्य समाधान सूत्र में, यह रूट फॉर्म की अभिव्यक्ति से मेल खाता है।

भौतिकी की कुछ समस्याओं में, प्रक्रिया का वर्णन करने वाली राशियों के बीच सीधा संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है। लेकिन अध्ययन के तहत कार्यों के डेरिवेटिव युक्त समानता प्राप्त करने की संभावना है। इस प्रकार अंतर समीकरण उत्पन्न होते हैं और अज्ञात फ़ंक्शन खोजने के लिए उन्हें हल करने की आवश्यकता होती है।

यह आलेख उन लोगों के लिए है जो एक अंतर समीकरण को हल करने की समस्या का सामना कर रहे हैं जिसमें अज्ञात कार्य एक चर का कार्य है। सिद्धांत इस तरह से बनाया गया है कि अंतर समीकरणों की शून्य समझ के साथ आप अपना काम कर सकते हैं।

प्रत्येक प्रकार के अवकल समीकरण एक समाधान विधि से जुड़े होते हैं जिसमें विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं की विस्तृत व्याख्या और समाधान होते हैं। आपको केवल अपनी समस्या के अवकल समीकरण के प्रकार को निर्धारित करना है, एक समान विश्लेषित उदाहरण ढूँढ़ना है और समान क्रियाएँ करनी हैं।

विभेदक समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको विभिन्न कार्यों के एंटीडेरिवेटिव्स (अनिश्चित इंटीग्रल) के सेट खोजने की क्षमता की भी आवश्यकता होगी। यदि आवश्यक हो, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप अनुभाग देखें।

सबसे पहले, प्रथम-क्रम के साधारण अंतर समीकरणों के प्रकारों पर विचार करें जिन्हें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है, फिर हम दूसरे क्रम के ODE पर जाएँगे, फिर हम उच्च-क्रम के समीकरणों पर ध्यान केन्द्रित करेंगे और अवकल समीकरणों की प्रणालियों के साथ समाप्त करेंगे।

याद रखें कि यदि y तर्क x का एक फलन है।

प्रथम कोटि के अवकल समीकरण।

फॉर्म के पहले क्रम का सबसे सरल अंतर समीकरण।

आइए हम ऐसे DE के कई उदाहरण लिखें .

विभेदक समीकरण समानता के दोनों पक्षों को f(x) से भाग देकर अवकलज के संबंध में हल किया जा सकता है। इस मामले में, हम समीकरण पर पहुंचते हैं, जो f(x) ≠ 0 के लिए मूल समीकरण के समतुल्य होगा। ऐसे ओडीई के उदाहरण हैं।

यदि तर्क x के मान हैं जिसके लिए फ़ंक्शन f(x) और g(x) एक साथ गायब हो जाते हैं, तो अतिरिक्त समाधान दिखाई देते हैं। समीकरण के अतिरिक्त समाधान दिया गया x उन तर्क मानों के लिए परिभाषित कोई कार्य है। ऐसे अंतर समीकरणों के उदाहरण हैं।

दूसरा क्रम अंतर समीकरण।

लगातार गुणांक के साथ दूसरा क्रम रैखिक सजातीय विभेदक समीकरण।

निरंतर गुणांक वाला LODE एक बहुत ही सामान्य प्रकार का अवकल समीकरण है। उनका समाधान विशेष कठिन नहीं है। सबसे पहले, विशेषता समीकरण की जड़ें पाई जाती हैं . भिन्न p और q के लिए, तीन स्थितियाँ संभव हैं: अभिलाक्षणिक समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न, वास्तविक और संपाती हो सकते हैं या जटिल संयुग्म। विशेषता समीकरण की जड़ों के मूल्यों के आधार पर, अंतर समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जाता है , या , या क्रमशः।

उदाहरण के लिए, स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण पर विचार करें। उसके चारित्रिक समीकरण के मूल k 1 = -3 और k 2 = 0 हैं। जड़ें वास्तविक और भिन्न हैं, इसलिए, स्थिर गुणांक वाले LDE का सामान्य समाधान है


लगातार गुणांक के साथ रेखीय गैर-समान द्वितीय क्रम विभेदक समीकरण।

निरंतर गुणांक y के साथ दूसरे क्रम के LIDE का सामान्य समाधान संबंधित LODE के सामान्य समाधान के योग के रूप में मांगा जाता है और मूल असमघात समीकरण का एक विशेष हल, अर्थात . पिछला पैराग्राफ निरंतर गुणांक वाले एक सजातीय अंतर समीकरण के सामान्य समाधान को खोजने के लिए समर्पित है। और एक विशेष समाधान या तो मूल समीकरण के दाईं ओर खड़े फ़ंक्शन f (x) के एक निश्चित रूप के लिए अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है, या मनमाने स्थिरांक की भिन्नता की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है।

निरंतर गुणांक वाले दूसरे क्रम के LIDE के उदाहरण के रूप में, हम प्रस्तुत करते हैं


सिद्धांत को समझने और उदाहरणों के विस्तृत समाधान से परिचित होने के लिए, हम आपको निरंतर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों के पृष्ठ पर प्रस्तुत करते हैं।

रेखीय सजातीय विभेदक समीकरण (LODEs) और दूसरे क्रम के रैखिक विषम अंतर समीकरण (एलएनडीई)।

इस प्रकार के अंतर समीकरणों का एक विशेष मामला निरंतर गुणांक वाले LODE और LODE हैं।

एक निश्चित अंतराल पर LODE का सामान्य समाधान इस समीकरण के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र विशेष समाधानों y1 और y2 के एक रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया जाता है, अर्थात, .

इस प्रकार के अवकल समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान खोजने में मुख्य कठिनाई सटीक रूप से निहित है। आम तौर पर, विशेष समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र कार्यों की निम्नलिखित प्रणालियों से चुने जाते हैं:


हालाँकि, विशेष समाधान हमेशा इस रूप में प्रस्तुत नहीं किए जाते हैं।

LODU का एक उदाहरण है .

LIDE का सामान्य समाधान फॉर्म में मांगा गया है, जहां संबंधित LODE का सामान्य समाधान है, और मूल अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान है। हमने अभी खोजने के बारे में बात की थी, लेकिन यह मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

LNDE का एक उदाहरण है .

उच्च क्रम अंतर समीकरण।

क्रम में कमी को स्वीकार करने वाले विभेदक समीकरण।

अंतर समीकरण का क्रम , जिसमें k-1 क्रम तक वांछित फ़ंक्शन और इसके डेरिवेटिव शामिल नहीं हैं, को प्रतिस्थापित करके n-k तक कम किया जा सकता है।

इस मामले में, और मूल अंतर समीकरण कम हो जाता है। इसका समाधान पी (एक्स) खोजने के बाद, यह प्रतिस्थापन पर वापस लौटने और अज्ञात फ़ंक्शन y निर्धारित करने के लिए बनी हुई है।

उदाहरण के लिए, अंतर समीकरण प्रतिस्थापन के बाद एक वियोज्य समीकरण बन जाता है, और इसका क्रम तीसरे से पहले तक कम हो जाता है।