सटीक विषय का अध्ययन: प्राकृतिक संख्याएँ क्या संख्याएँ, उदाहरण और गुण हैं। अप्राकृतिक संख्या

गणित में, संख्याओं के कई अलग-अलग सेट हैं: वास्तविक, जटिल, पूर्णांक, परिमेय, अपरिमेय, ... हमारे में रोजमर्रा की जिंदगीहम अक्सर प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करते हैं, क्योंकि जब हम गिनती करते हैं और वस्तुओं की संख्या को इंगित करते हुए खोजते हैं तो हम उनका सामना करते हैं।

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किन संख्याओं को प्राकृतिक कहा जाता है

दस अंकों से, आप कक्षाओं और रैंकों के किसी भी मौजूदा योग को लिख सकते हैं। प्राकृतिक मूल्य वे हैं जिनका उपयोग किया जाता है:

• किसी भी आइटम की गिनती करते समय (पहला, दूसरा, तीसरा, ... पांचवां, ... दसवां)।
• वस्तुओं की संख्या का संकेत देते समय (एक, दो, तीन ...)

एन मान हमेशा पूर्णांक और सकारात्मक होते हैं। कोई सबसे बड़ा N नहीं है, क्योंकि पूर्णांक मानों का सेट सीमित नहीं है।

ध्यान!वस्तुओं को गिनकर या उनकी मात्रा को निर्दिष्ट करके प्राकृतिक संख्याएँ प्राप्त की जाती हैं।

बिल्कुल किसी भी संख्या को विघटित और बिट शर्तों के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए: 8.346.809 = 8 मिलियन + 346 हजार + 809 इकाइयां।

सेट एन

समुच्चय N समुच्चय में है वास्तविक, पूर्णांक और सकारात्मक. सेट आरेख में, वे एक-दूसरे में होंगे, क्योंकि नैचुरल का सेट उनका हिस्सा है।

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को N अक्षर से निरूपित किया जाता है। इस समुच्चय की शुरुआत होती है लेकिन अंत नहीं।

एक विस्तारित समुच्चय N भी है, जहाँ शून्य शामिल है।

सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या

अधिकांश गणितीय विद्यालयों में, N का सबसे छोटा मान एक इकाई के रूप में गिना जाता है, चूंकि वस्तुओं की अनुपस्थिति को खाली माना जाता है।

लेकिन विदेशी गणितीय स्कूलों में, उदाहरण के लिए, फ्रेंच में, इसे स्वाभाविक माना जाता है। श्रृंखला में शून्य की उपस्थिति प्रमाण को सुगम बनाती है कुछ प्रमेय.

मानों का एक सेट जिसमें शून्य शामिल है, विस्तारित कहलाता है और प्रतीक N0 (शून्य सूचकांक) द्वारा निरूपित किया जाता है।

प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला

एक एन पंक्ति अंकों के सभी एन सेटों का अनुक्रम है। इस क्रम का कोई अंत नहीं है।

प्राकृतिक श्रृंखला की ख़ासियत यह है कि अगली संख्या पिछले एक से एक भिन्न होगी, अर्थात यह बढ़ जाएगी। लेकिन अर्थ नकारात्मक नहीं हो सकता.

ध्यान!मतगणना की सुविधा के लिए, वर्ग और श्रेणियां हैं:

• इकाइयां (1, 2, 3),
• दहाई (10, 20, 30),
• सैकड़ों (100, 200, 300),
• हजारों (1000, 2000, 3000),
• हज़ारों (30.000),
• सैकड़ों हजारों (800.000),
• लाखों (4000000) आदि।

सभी एन

सभी N वास्तविक, पूर्णांक, गैर-ऋणात्मक मानों के सेट में हैं। वे उनके हैं अभिन्न अंग.

ये मूल्य अनंत तक जाते हैं, वे लाखों, अरबों, क्विंटिलियन आदि वर्गों से संबंधित हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए:

• पाँच सेब, तीन बिल्ली के बच्चे,
• दस रूबल, तीस पेंसिल,
• सौ किलो, तीन सौ किताबें,
• एक लाख सितारे, तीस लाख लोग, आदि।

एन में अनुक्रम

विभिन्न गणितीय विद्यालयों में, कोई दो अंतराल पा सकता है जिससे अनुक्रम N संबंधित है:

शून्य से प्लस अनंत तक, सिरों सहित, और एक से प्लस अनंत तक, सिरों सहित, यानी सभी सकारात्मक संपूर्ण उत्तर.

अंकों का N समुच्चय या तो सम या विषम हो सकता है। विषमता की अवधारणा पर विचार करें।

विषम (कोई भी विषम संख्या 1, 3, 5, 7, 9 में समाप्त होती है।) दो के साथ शेषफल होता है। उदाहरण के लिए, 7:2=3.5, 11:2=5.5, 23:2=11.5।

एन का मतलब क्या है?

वर्गों का कोई भी सम योग संख्याओं में समाप्त होता है: 0, 2, 4, 6, 8. सम N को 2 से विभाजित करने पर कोई शेष नहीं बचेगा, अर्थात परिणाम एक संपूर्ण उत्तर है। उदाहरण के लिए, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728।

महत्वपूर्ण!एन की एक संख्यात्मक श्रृंखला में केवल सम या विषम मान शामिल नहीं हो सकते हैं, क्योंकि उन्हें वैकल्पिक होना चाहिए: एक सम संख्या के बाद हमेशा एक विषम संख्या होती है, फिर एक सम संख्या, और इसी तरह।

एन गुण

अन्य सभी समुच्चयों की तरह, N के अपने विशेष गुण हैं। एन श्रृंखला (विस्तारित नहीं) के गुणों पर विचार करें।

• वह मान जो सबसे छोटा है और जो किसी अन्य का अनुसरण नहीं करता है वह एक है।
• N एक अनुक्रम है, अर्थात एक प्राकृतिक मान दूसरे का अनुसरण करता है(एक को छोड़कर - यह पहला है)।
• जब हम अंकों और वर्गों (जोड़ें, गुणा करें) के N योगों पर कम्प्यूटेशनल ऑपरेशन करते हैं, तो उत्तर हमेशा स्वाभाविक रूप से बाहर आता हैअर्थ।
• गणना में, आप क्रमचय और संयोजन का उपयोग कर सकते हैं।
• प्रत्येक बाद का मान पिछले वाले से कम नहीं हो सकता। साथ ही N श्रृंखला में, निम्नलिखित कानून संचालित होगा: यदि संख्या A, B से कम है, तो संख्या श्रृंखला में हमेशा एक C होगा, जिसके लिए समानता सत्य है: A + C \u003d B।
• यदि हम दो प्राकृतिक भाव लेते हैं, उदाहरण के लिए, ए और बी, तो उनमें से एक भाव उनके लिए सही होगा: ए \u003d बी, ए बी से बड़ा है, ए बी से छोटा है।
• यदि A, B से छोटा है और B, C से छोटा है, तो यह उसी का अनुसरण करता है कि A, C से छोटा है.
• यदि A, B से छोटा है, तो यह इस प्रकार है: यदि हम उनके साथ समान अभिव्यक्ति (C) जोड़ते हैं, तो A + C, B + C से छोटा है। यह भी सत्य है कि यदि इन मानों को C से गुणा किया जाए, तो AC, AB से कम होता है।
• यदि B, A से बड़ा है लेकिन C से कम है, तो B-A, C-A से छोटा है।

ध्यान!उपरोक्त सभी असमानताएँ विपरीत दिशा में भी मान्य हैं।

गुणन के घटक क्या कहलाते हैं?

कई सरल और जटिल कार्यों में भी उत्तर खोजना छात्रों की क्षमता पर निर्भर करता है

पूर्णांकोंहमारे लिए बहुत परिचित और स्वाभाविक। और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि उनके साथ परिचित होना हमारे जीवन के पहले वर्षों से सहज स्तर पर शुरू होता है।

इस लेख की जानकारी प्राकृतिक संख्याओं की एक बुनियादी समझ पैदा करती है, उनके उद्देश्य को प्रकट करती है, प्राकृतिक संख्याओं को लिखने और पढ़ने का कौशल पैदा करती है। सामग्री के बेहतर समावेशन के लिए, आवश्यक उदाहरण और उदाहरण दिए गए हैं।

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प्राकृतिक संख्या एक सामान्य प्रतिनिधित्व है।

निम्नलिखित राय ध्वनि तर्क से रहित नहीं है: गिनती की वस्तुओं की समस्या (पहली, दूसरी, तीसरी वस्तु, आदि) की उपस्थिति और वस्तुओं की संख्या (एक, दो, तीन वस्तुओं, आदि) को इंगित करने की समस्या का नेतृत्व किया। इसके समाधान के लिए एक उपकरण के निर्माण के लिए यह उपकरण था पूर्णांकों.

यह प्रस्ताव दर्शाता है प्राकृतिक संख्या का मुख्य उद्देश्य- किसी आइटम की संख्या या आइटम के विचार किए गए सेट में किसी दिए गए आइटम की क्रम संख्या के बारे में जानकारी रखें।

किसी व्यक्ति द्वारा प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करने के लिए, उन्हें धारणा और पुनरुत्पादन दोनों के लिए किसी तरह से सुलभ होना चाहिए। यदि आप प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का उच्चारण करते हैं, तो यह कान से बोधगम्य हो जाएगा, और यदि आप एक प्राकृतिक संख्या का चित्रण करते हैं, तो यह देखा जा सकता है। प्राकृतिक संख्याओं को संप्रेषित करने और समझने के लिए ये सबसे स्वाभाविक तरीके हैं।

तो आइए उनका अर्थ सीखते हुए प्राकृतिक संख्याओं को चित्रित करने (लिखने) और आवाज देने (पढ़ने) के कौशल को प्राप्त करना शुरू करें।

एक प्राकृतिक संख्या के लिए दशमलव अंकन।

सबसे पहले, हमें यह तय करना चाहिए कि प्राकृतिक संख्याएँ लिखते समय हम किस पर निर्माण करेंगे।

आइए निम्नलिखित वर्णों की छवियों को याद करें (हम उन्हें अल्पविराम से अलग करके दिखाते हैं): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . दिखाए गए चित्र तथाकथित का एक रिकॉर्ड हैं नंबर. चलिए तुरंत सहमत हो जाते हैं कि लिखते समय संख्याओं को पलटें, झुकाएं या अन्यथा विकृत न करें।

अब हम मानते हैं कि किसी प्राकृत संख्या के अंकन में केवल संकेतित अंक ही उपस्थित हो सकते हैं और कोई अन्य प्रतीक उपस्थित नहीं हो सकता। हम यह भी मानते हैं कि एक प्राकृतिक संख्या के अंकन में अंक समान ऊंचाई के होते हैं, एक के बाद एक पंक्ति में व्यवस्थित होते हैं (लगभग कोई इंडेंट नहीं), और बाईं ओर एक अंक होता है जो अंक से भिन्न होता है 0 .

यहाँ प्राकृतिक संख्याओं के सही अंकन के कुछ उदाहरण दिए गए हैं: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (ध्यान दें: संख्याओं के बीच इंडेंट हमेशा समान नहीं होते हैं, समीक्षा करते समय इस पर अधिक चर्चा की जाएगी)। उपरोक्त उदाहरणों से, यह देखा जा सकता है कि एक प्राकृत संख्या में आवश्यक रूप से सभी अंक नहीं होते हैं 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; प्राकृतिक संख्या लिखने में शामिल कुछ या सभी अंकों को दोहराया जा सकता है।

प्रविष्टियां 014 , 0005 , 0 , 0209 प्राकृत संख्याओं के अभिलेख नहीं हैं, क्योंकि बाईं ओर एक अंक है 0 .

इस पैराग्राफ में वर्णित सभी आवश्यकताओं को ध्यान में रखते हुए एक प्राकृतिक संख्या का रिकॉर्ड कहा जाता है एक प्राकृतिक संख्या का दशमलव अंकन.

आगे हम प्राकृतिक संख्याओं और उनके अंकन के बीच अंतर नहीं करेंगे। आइए इसे स्पष्ट करें: आगे पाठ में, "एक प्राकृतिक संख्या दी गई" जैसे वाक्यांश 582 ", जिसका अर्थ होगा कि एक प्राकृतिक संख्या दी गई है, जिसका अंकन रूप है 582 .

वस्तुओं की संख्या के अर्थ में प्राकृतिक संख्या।

यह मात्रात्मक अर्थ से निपटने का समय है जो दर्ज की गई प्राकृतिक संख्या वहन करती है। अंकन वस्तुओं के संदर्भ में प्राकृतिक संख्याओं का अर्थ प्राकृतिक संख्याओं की तुलना लेख में माना जाता है।

आइए प्राकृतिक संख्याओं से शुरू करें, जिनमें से प्रविष्टियाँ अंकों की प्रविष्टियों के साथ मेल खाती हैं, अर्थात् संख्याओं के साथ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 तथा 9 .

कल्पना कीजिए कि हमने अपनी आँखें खोलीं और कुछ वस्तु देखी, उदाहरण के लिए, इस तरह। इस मामले में, हम जो देखते हैं उसे लिख सकते हैं 1 विषय। प्राकृतिक संख्या 1 को "के रूप में पढ़ा जाता है" एक"(अंक की गिरावट "एक", साथ ही साथ अन्य अंक, हम पैराग्राफ में देंगे), संख्या के लिए 1 दूसरा नाम अपनाया - " इकाई».

हालाँकि, "इकाई" शब्द बहु-मूल्यवान है; प्राकृतिक संख्या के अतिरिक्त 1 , कुछ ऐसा कहा जाता है जिसे संपूर्ण माना जाता है। उदाहरण के लिए, उनके सेट से किसी एक वस्तु को एक इकाई कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, कई सेबों में से कोई भी सेब एक है, पक्षियों के कई झुंडों में से पक्षियों का कोई झुंड भी एक है, और इसी तरह।

अब हम अपनी आँखें खोलते हैं और देखते हैं: अर्थात हमें एक वस्तु और दूसरी वस्तु दिखाई देती है। इस मामले में, हम जो देखते हैं उसे लिख सकते हैं 2 विषय। प्राकृतिक संख्या 2 , पढ़ता है " दो».

वैसे ही, - 3 विषय (पढ़ें " तीन" विषय), - 4 (« चार"") विषय का, - 5 (« पांच»), - 6 (« छह»), - 7 (« सात»), - 8 (« आठ»), - 9 (« नौ") सामान।

तो, मानी गई स्थिति से, प्राकृतिक संख्याएँ 1 , 2 , 3 , …, 9 संकेत देना रकमसामान।

एक संख्या जिसका अंकन अंक के अंकन से मेल खाता है 0 , बुलाया " शून्य"। संख्या शून्य एक प्राकृतिक संख्या नहीं है, हालाँकि, इसे आमतौर पर प्राकृतिक संख्याओं के साथ माना जाता है। याद रखें: शून्य का अर्थ है किसी चीज का न होना। उदाहरण के लिए, शून्य आइटम एक आइटम नहीं है।

लेख के निम्नलिखित पैराग्राफ में, हम मात्रा को इंगित करने के संदर्भ में प्राकृतिक संख्याओं का अर्थ प्रकट करना जारी रखेंगे।

एकल अंक प्राकृतिक संख्या।

जाहिर है, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का रिकॉर्ड 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 एक चिह्न के होते हैं - एक अंक।

परिभाषा।

एकल अंक प्राकृतिक संख्याप्राकृतिक संख्याएँ हैं, जिनके रिकॉर्ड में एक चिन्ह - एक अंक होता है।

आइए सभी एक अंक वाली प्राकृतिक संख्याओं की सूची बनाएं: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . नौ एकल अंकों की प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

दो अंकों और तीन अंकों की प्राकृतिक संख्या।

सबसे पहले, हम दो अंकों वाली प्राकृत संख्याओं की परिभाषा देते हैं।

परिभाषा।

दो अंकों की प्राकृतिक संख्या- ये प्राकृतिक संख्याएँ हैं, जिनका रिकॉर्ड दो अक्षर हैं - दो अंक (अलग या समान)।

उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक संख्या 45 - दो अंक, अंक 10 , 77 , 82 दो अंकों का भी 5 490 , 832 , 90 037 - डबल डिजिट नहीं।

आइए जानें कि दो-अंकीय संख्याओं का क्या अर्थ है, जबकि हम पहले से ज्ञात एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं के मात्रात्मक अर्थ से शुरू करेंगे।

सबसे पहले, आइए अवधारणा का परिचय दें दस.

आइए ऐसी स्थिति की कल्पना करें - हमने अपनी आँखें खोलीं और नौ वस्तुओं और एक और वस्तु से मिलकर एक सेट देखा। इस मामले में, के बारे में बात करता है 1 दस (एक दर्जन) आइटम। यदि कोई एक साथ एक दस और एक और दस पर विचार करता है, तो वह कहता है 2 दहाई (दो दहाई)। यदि हम दो दहाइयों में और दस जोड़ते हैं, तो हमारे पास तीन दहाईयाँ होंगी। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए हमें चार दहाइयां, पांच दहाई, छह दहाई, सात दहाइयां, आठ दहाई और अंत में नौ दहाईयां मिलेंगी।

अब हम दो अंकों वाली प्राकृत संख्याओं के सार की ओर बढ़ सकते हैं।

ऐसा करने के लिए, दो अंकों की संख्या को दो एकल अंकों की संख्या के रूप में मानें - एक दो अंकों की संख्या के अंकन में बाईं ओर है, दूसरी दाईं ओर है। बाईं ओर की संख्या दहाई की संख्या को दर्शाती है, और दाईं ओर की संख्या इकाइयों की संख्या को दर्शाती है। इसके अलावा, यदि दो अंकों की संख्या के रिकॉर्ड में दाईं ओर कोई अंक है 0 , तो इसका मतलब इकाइयों की अनुपस्थिति है। यह राशि इंगित करने के संदर्भ में दो अंकों की प्राकृतिक संख्या का संपूर्ण बिंदु है।

उदाहरण के लिए, दो अंकों की प्राकृतिक संख्या 72 मेल खाती है 7 दर्जनों और 2 इकाइयां (अर्थात, 72 सेब सात दर्जन सेब और दो और सेब का एक सेट है), और संख्या 30 जवाब 3 दर्जनों और 0 ऐसी कोई इकाइयाँ नहीं हैं, जो ऐसी इकाइयाँ हैं जो दहाई में एकजुट नहीं हैं।

आइए प्रश्न का उत्तर दें: "कितने दो अंकों की प्राकृतिक संख्या मौजूद है"? जवाब दो उनको 90 .

हम तीन अंकों की प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा की ओर मुड़ते हैं।

परिभाषा।

प्राकृतिक संख्याएँ जिनके अंकन में शामिल हैं 3 संकेत - 3 अंक (अलग या दोहराए गए) कहलाते हैं तीन अंकों.

प्राकृतिक तीन अंकों की संख्या के उदाहरण हैं 372 , 990 , 717 , 222 . पूर्णांकों 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 तीन अंक नहीं हैं।

तीन अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं में निहित अर्थ को समझने के लिए, हमें अवधारणा की आवश्यकता है सैकड़ों.

दस दसियों का एक सेट है 1 एक सौ (एक सौ)। सौ सौ है 2 सैकड़ों। दो सौ और सौ तीन सौ होते हैं। और इसी तरह, हमारे पास चार सौ, पांच सौ, छह सौ, सात सौ, आठ सौ, और अंत में नौ सौ हैं।

अब आइए तीन अंकों की प्राकृतिक संख्या को तीन एकल अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं के रूप में देखें, जो एक के बाद एक तीन अंकों की प्राकृतिक संख्या के अंकन में दाएं से बाएं जाती हैं। दाईं ओर की संख्या इकाइयों की संख्या को इंगित करती है, अगली संख्या दसियों की संख्या को इंगित करती है, अगली संख्या सैकड़ों की संख्या को दर्शाती है। नंबर 0 तीन अंकों की संख्या के रिकॉर्ड में दसियों और (या) इकाइयों की अनुपस्थिति का मतलब है।

इस प्रकार, एक तीन अंकों की प्राकृतिक संख्या 812 मेल खाती है 8 सैकड़ों 1 शीर्ष दस और 2 इकाइयां; संख्या 305 - तीन सौ 0 दसियों, यानी दसियों को सैकड़ों में नहीं जोड़ा गया, नहीं) और 5 इकाइयां; संख्या 470 - चार सौ सात दहाई (ऐसी कोई इकाई नहीं है जो दसियों में संयुक्त न हो); संख्या 500 - पाँच सौ (दसियों को सैकड़ों में संयुक्त नहीं किया गया है, और इकाइयों को दसियों में नहीं जोड़ा गया है)।

इसी तरह, चार अंकों, पांच अंकों, छह अंकों आदि को परिभाषित किया जा सकता है। प्राकृतिक संख्या।

बहुविकल्पी प्राकृतिक संख्याएँ।

इसलिए, हम बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा की ओर मुड़ते हैं।

परिभाषा।

बहुविकल्पी प्राकृतिक संख्याएँ- ये प्राकृतिक संख्याएँ हैं, जिनके रिकॉर्ड में दो या तीन या चार आदि होते हैं। संकेत। दूसरे शब्दों में, बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्याएँ दो-अंकीय, तीन-अंकीय, चार-अंकीय आदि हैं। नंबर।

मान लीजिए कि दस सौ का सेट है एक हजार, एक हजार हजार है दस लाख, एक हजार मिलियन है एक अरब, एक हजार अरब है दस खरब. एक हजार खरब, एक हजार खरब वगैरह को भी उनके अपने नाम दिए जा सकते हैं, लेकिन इसकी कोई खास जरूरत नहीं है।

तो बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं के पीछे क्या अर्थ है?

आइए एक बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्या को एक-अंकीय प्राकृतिक संख्या के रूप में एक के बाद एक दाएँ से बाएँ देखते हैं। दाईं ओर की संख्या इकाइयों की संख्या को इंगित करती है, अगली संख्या दसियों की संख्या है, अगली सैकड़ों की संख्या है, अगली हजारों की संख्या है, अगली दसियों की संख्या है, अगली सैकड़ों की संख्या है हज़ारों में, अगला लाखों की संख्या है, अगला करोड़ों का नंबर है, अगला करोड़ों का है, अगला - अरबों का नंबर है, फिर - अरबों का नंबर है, फिर - सैकड़ों अरबों का , फिर - खरब, फिर - दसियों खरब, फिर - सैकड़ों खरब, और इसी तरह।

उदाहरण के लिए, एक बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्या 7 580 521 मेल खाती है 1 इकाई, 2 दर्जनों, 5 सैकड़ों 0 हजारों 8 दसियों हजारों की 5 सैकड़ों हजारों और 7 लाखों।

इस प्रकार, हमने इकाइयों को दसियों में, दसियों को सैकड़ों में, सैकड़ों को हजारों में, हजारों में हजारों में, और इसी तरह से सीखा, और पाया कि एक बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्या के रिकॉर्ड में संख्याएँ संबंधित संख्या को इंगित करती हैं। उपरोक्त समूहों।

प्राकृतिक संख्या पढ़ना, कक्षाएं।

हम पहले ही बता चुके हैं कि एक अंक वाली प्राकृत संख्याओं को कैसे पढ़ा जाता है। आइए निम्नलिखित तालिकाओं की सामग्री को कंठस्थ करें।

और अन्य दो अंकों की संख्याएँ कैसे पढ़ी जाती हैं?

आइए एक उदाहरण के साथ समझाते हैं। एक प्राकृतिक संख्या पढ़ना 74 . जैसा कि हमने ऊपर पाया, यह संख्या इससे मेल खाती है 7 दर्जनों और 4 इकाइयां, यानी 70 तथा 4 . हम केवल लिखी गई तालिकाओं और संख्या की ओर मुड़ते हैं 74 हम इस रूप में पढ़ते हैं: "चौहत्तर" (हम संघ "और") का उच्चारण नहीं करते हैं। अगर आप एक नंबर पढ़ना चाहते हैं 74 वाक्य में: "नहीं 74 सेब" (जेनेटिक केस), तो यह इस तरह सुनाई देगा: "कोई चौहत्तर सेब नहीं हैं।" एक और उदाहरण। संख्या 88 - ये है 80 तथा 8 , इसलिए, हम पढ़ते हैं: "अठासी।" और यहाँ वाक्य का एक उदाहरण है: "वह अस्सी-आठ रूबल के बारे में सोच रहा है।"

आइए तीन अंकों वाली प्राकृत संख्याओं को पढ़ने की ओर बढ़ते हैं।

ऐसा करने के लिए, हमें कुछ और नए शब्द सीखने होंगे।

यह दिखाना बाकी है कि शेष तीन अंकों की प्राकृतिक संख्याएँ कैसे पढ़ी जाती हैं। इस मामले में, हम एक-अंकीय और दो-अंकीय संख्याओं को पढ़ने में पहले से अर्जित कौशलों का उपयोग करेंगे।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। आइए संख्या पढ़ते हैं 107 . यह संख्या मेल खाती है 1 सौ और 7 इकाइयां, यानी 100 तथा 7 . तालिकाओं की ओर मुड़ते हुए, हम पढ़ते हैं: "एक सौ सात।" अब संख्या कहते हैं 217 . यह संख्या है 200 तथा 17 इसलिए, हम पढ़ते हैं: "दो सौ सत्रह।" वैसे ही, 888 - ये है 800 (आठ सौ) और 88 (अठासी), हम पढ़ते हैं: "आठ सौ अठासी।"

हम बहु-अंकीय संख्याओं को पढ़ने की ओर मुड़ते हैं।

पढ़ने के लिए, एक बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्या के रिकॉर्ड को दाईं ओर से शुरू करके तीन अंकों के समूहों में विभाजित किया जाता है, जबकि सबसे बाईं ओर ऐसे समूह में से कोई भी हो सकता है 1 , या 2 , या 3 नंबर। इन समूहों को कहा जाता है कक्षाओं. दायीं ओर की कक्षा कहलाती है इकाई वर्ग. अगली कक्षा (दाएँ से बाएँ) कहलाती है हजारों की कक्षा, अगली कक्षा है लाखों का वर्ग, अगला - अरबों का वर्ग, फिर जाता है ट्रिलियन वर्ग. आप निम्नलिखित वर्गों के नाम दे सकते हैं, लेकिन प्राकृतिक संख्याएँ, जिनका रिकॉर्ड होता है 16 , 17 , 18 आदि। संकेतों को आमतौर पर पढ़ा नहीं जाता है, क्योंकि उन्हें कान से समझना बहुत मुश्किल होता है।

कक्षाओं में बहु-अंकीय संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण देखें (स्पष्टता के लिए, कक्षाएं एक छोटे से इंडेंट द्वारा एक दूसरे से अलग होती हैं): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

आइए दर्ज की गई प्राकृतिक संख्याओं को एक तालिका में रखें, जिसके अनुसार उन्हें पढ़ना सीखना आसान हो।

किसी प्राकृत संख्या को पढ़ने के लिए, हम बाएँ से दाएँ उन संख्याओं को पुकारते हैं जो इसे वर्ग द्वारा बनाते हैं और वर्ग का नाम जोड़ते हैं। इसी समय, हम इकाइयों के वर्ग के नाम का उच्चारण नहीं करते हैं और उन वर्गों को भी छोड़ देते हैं जो तीन अंक बनाते हैं 0 . यदि क्लास रिकॉर्ड में बाईं ओर एक अंक है 0 या दो अंक 0 , तो इन नंबरों पर ध्यान न दें 0 और इन अंकों को हटाकर प्राप्त संख्या को पढ़िए 0 . उदाहरण के लिए, 002 "दो" के रूप में पढ़ें, और 025 - जैसे "पच्चीस"।

आइए संख्या पढ़ते हैं 489 002 दिए गए नियमों के अनुसार।

हम बाएं से दाएं पढ़ते हैं,

• संख्या पढ़ें 489 , हज़ारों के वर्ग का प्रतिनिधित्व करने वाला, "चार सौ उनासी" है;
• वर्ग का नाम जोड़ें, हमें "चार सौ उनासी हजार" मिलते हैं;
• आगे हम इकाइयों की श्रेणी में देखते हैं 002 , शून्य बाईं ओर हैं, इसलिए हम उन्हें अनदेखा कर देते हैं 002 "दो" के रूप में पढ़ें;
• इकाई वर्ग का नाम जोड़ने की आवश्यकता नहीं है;
• परिणामस्वरूप हमारे पास है 489 002 - चार सौ उनासी हजार दो।

आइए संख्या पढ़ना शुरू करें 10 000 501 .

• लाखों की कक्षा में बाईं ओर हम संख्या देखते हैं 10 , हम "दस" पढ़ते हैं;
• वर्ग का नाम जोड़ें, हमारे पास "दस मिलियन" हैं;
• आगे हम रिकॉर्ड देखते हैं 000 हजार वर्ग में, क्योंकि सभी तीन अंक अंक हैं 0 , फिर हम इस कक्षा को छोड़ देते हैं और अगले पर चले जाते हैं;
• इकाई वर्ग संख्या का प्रतिनिधित्व करता है 501 , जिसे हम "पाँच सौ एक" पढ़ते हैं;
• इस प्रकार, 10 000 501 दस लाख पांच सौ एक।

आइए इसे विस्तृत विवरण के बिना करें: 1 789 090 221 214 - "एक खरब सात सौ उनासी अरब नब्बे लाख दो सौ इक्कीस हजार दो सौ चौदह।"

तो, बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं को पढ़ने के कौशल का आधार बहु-अंकीय संख्याओं को वर्गों में विभाजित करने की क्षमता, वर्गों के नामों का ज्ञान और तीन-अंकीय संख्याओं को पढ़ने की क्षमता है।

एक प्राकृतिक संख्या के अंक, अंक का मान।

प्राकृतिक संख्या लिखने में, प्रत्येक अंक का मान उसकी स्थिति पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक संख्या 539 मेल खाती है 5 सैकड़ों 3 दर्जनों और 9 इकाइयां, इसलिए आंकड़ा 5 संख्या प्रविष्टि में 539 सैकड़ों की संख्या को परिभाषित करता है, एक अंक 3 दहाई की संख्या है, और अंक है 9 - इकाइयों की संख्या। कहा जाता है कि संख्या 9 में खड़ा है इकाई अंकऔर संख्या 9 है इकाई अंक मान, संख्या 3 में खड़ा है दस जगहऔर संख्या 3 है दसियों का स्थान मान, और संख्या 5 - में सैकड़ों जगहऔर संख्या 5 है सैकड़ों स्थान मान.

इस तरह, स्राव होना- यह एक ओर, एक प्राकृतिक संख्या के अंकन में अंक की स्थिति है, और दूसरी ओर, इस अंक का मान, इसकी स्थिति से निर्धारित होता है।

रैंकों को नाम दिए गए हैं। यदि आप एक प्राकृतिक संख्या के रिकॉर्ड में संख्याओं को दाएं से बाएं देखते हैं, तो निम्नलिखित अंक उनके अनुरूप होंगे: इकाइयां, दसियों, सैकड़ों, हजारों, दसियों हजारों, सैकड़ों हजारों, लाखों, लाखों, और जल्द ही।

श्रेणियों के नाम याद रखने में सुविधाजनक होते हैं जब उन्हें तालिका के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। 15 अंकों के नामों वाली एक सारणी बनाते हैं।

ध्यान दें कि किसी दी गई प्राकृतिक संख्या के अंकों की संख्या इस संख्या को लिखने में शामिल वर्णों की संख्या के बराबर होती है। इस प्रकार, रिकॉर्ड की गई तालिका में सभी प्राकृतिक संख्याओं के अंकों के नाम होते हैं, जिनमें से रिकॉर्ड में 15 वर्ण तक होते हैं। निम्नलिखित अंकों के भी अपने नाम होते हैं, लेकिन इनका प्रयोग बहुत कम होता है, इसलिए इनका उल्लेख करने का कोई अर्थ नहीं है।

अंकों की तालिका का उपयोग करके, दी गई प्राकृतिक संख्या के अंक निर्धारित करना सुविधाजनक है। ऐसा करने के लिए, आपको इस प्राकृतिक संख्या को इस तालिका में लिखने की आवश्यकता है ताकि प्रत्येक अंक में एक अंक हो, और सबसे दाहिना अंक इकाई अंक में हो।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। आइए एक प्राकृतिक संख्या लिखें 67 922 003 942 तालिका में, और अंक और इन अंकों के मान स्पष्ट रूप से दिखाई देने लगेंगे।

इस संख्या के रिकॉर्ड में, अंक 2 इकाई के स्थान पर खड़ा है, अंक 4 - दहाई के स्थान पर, अंक 9 - सौ स्थान आदि में। नंबरों पर ध्यान दें 0 , जो दसियों हज़ार और सैकड़ों हज़ारों के अंकों में हैं। नंबर 0 इन अंकों का अर्थ है इन अंकों की इकाइयों की अनुपस्थिति।

हमें बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्या की तथाकथित निम्नतम (निम्नतम) और उच्चतम (उच्चतम) श्रेणी का भी उल्लेख करना चाहिए। निचला (जूनियर) रैंककोई भी बहु-मूल्यवान प्राकृत संख्या इकाई का अंक होती है। एक प्राकृतिक संख्या का उच्चतम (उच्चतम) अंकइस संख्या के रिकॉर्ड में सबसे दाहिने अंक के अनुरूप अंक है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्या 23004 का सबसे कम महत्वपूर्ण अंक इकाई अंक है, और उच्चतम अंक हजारों अंकों का दसियों है। यदि किसी प्राकृत संख्या के अंकन में हम अंकों द्वारा बाएँ से दाएँ जाते हैं, तो प्रत्येक अगला अंक निचला (छोटा)पिछला वाला। उदाहरण के लिए, हज़ारों का अंक हज़ारों के अंकों से छोटा होता है, विशेष रूप से हज़ारों का अंक सैकड़ों, हज़ारों, लाखों, करोड़ों आदि के अंकों से छोटा होता है। यदि किसी प्राकृत संख्या के अंकन में हम दाएँ से बाएँ अंकों में चलते हैं, तो प्रत्येक अगला अंक उच्च (पुराना)पिछला वाला। उदाहरण के लिए, सौ का अंक दहाई के अंक से पुराना है, और इससे भी अधिक, यह इकाई के अंक से भी पुराना है।

कुछ मामलों में (उदाहरण के लिए, जोड़ या घटाव करते समय), प्राकृतिक संख्या का उपयोग नहीं किया जाता है, बल्कि इस प्राकृतिक संख्या के बिट शब्दों का योग होता है।

संक्षेप में दशमलव संख्या प्रणाली के बारे में।

इसलिए, हम प्राकृतिक संख्याओं से परिचित हुए, उनमें निहित अर्थ और दस अंकों का उपयोग करके प्राकृतिक संख्याओं को लिखने का तरीका।

सामान्यतः चिन्हों का प्रयोग कर संख्या लिखने की विधि कहलाती है संख्या प्रणाली. किसी संख्या प्रविष्टि में अंक का मान उसकी स्थिति पर निर्भर हो भी सकता है और नहीं भी। संख्या प्रणाली जिसमें किसी संख्या प्रविष्टि में अंक का मान उसकी स्थिति पर निर्भर करता है, कहलाती है अवस्था का.

इस प्रकार, जिन प्राकृतिक संख्याओं पर हमने विचार किया है और उन्हें लिखने की विधि से संकेत मिलता है कि हम एक स्थितीय संख्या प्रणाली का उपयोग कर रहे हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस संख्या प्रणाली में एक विशेष स्थान संख्या है 10 . दरअसल, स्कोर को दसियों में रखा जाता है: दस इकाइयों को दस में जोड़ा जाता है, दस दसियों को सौ में जोड़ा जाता है, दस सौ को एक हजार में जोड़ा जाता है, और इसी तरह। संख्या 10 बुलाया आधारदी गई संख्या प्रणाली, और संख्या प्रणाली को ही कहा जाता है दशमलव.

दशमलव संख्या प्रणाली के अलावा, अन्य भी हैं, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर विज्ञान में, बाइनरी पोजिशनल नंबर सिस्टम का उपयोग किया जाता है, और जब समय मापने की बात आती है तो हम सेक्सजेसिमल सिस्टम का सामना करते हैं।

ग्रंथ सूची।

• गणित। शिक्षण संस्थानों के 5 वर्गों के लिए कोई पाठ्यपुस्तक।

पूर्णांकों- संख्याएँ जिनका उपयोग वस्तुओं को गिनने के लिए किया जाता है . किसी भी प्राकृत संख्या को दस का प्रयोग करके लिखा जा सकता है अंक: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. संख्याओं का ऐसा रिकॉर्ड कहलाता है दशमलव।

सभी प्राकृत संख्याओं का क्रम कहलाता है अगल-बगल प्राकृतिक .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

अधिकांश छोटाएक प्राकृतिक संख्या एक (1) है। प्राकृतिक श्रृंखला में, प्रत्येक अगली संख्या पिछले एक से 1 अधिक है। प्राकृतिक श्रृंखला अनंतकोई सबसे बड़ी संख्या नहीं है।

किसी अंक का अर्थ संख्या के अंकन में उसके स्थान पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, संख्या 4 का अर्थ है: 4 इकाइयाँ, यदि यह संख्या प्रविष्टि में अंतिम स्थान पर है (इकाइयों के स्थान पर); 4 दस,अगर वह अंतिम स्थान पर है (दस स्थान में); 4 सैकड़ों,अगर यह अंत से तीसरे स्थान पर है (में सौ स्थान)।

अंक 0 का अर्थ है इस श्रेणी की इकाइयों की कमीकिसी संख्या के दशमलव अंकन में। यह संख्या को दर्शाने के लिए भी कार्य करता है " शून्य"। इस संख्या का अर्थ है "कोई नहीं"। फुटबॉल मैच का स्कोर 0:3 इंगित करता है कि पहली टीम ने प्रतिद्वंद्वी के खिलाफ एक भी गोल नहीं किया।

शून्य शामिल न करेंप्राकृतिक संख्या के लिए। और वास्तव में वस्तुओं की गिनती कभी भी खरोंच से शुरू नहीं होती है।

यदि किसी प्राकृत संख्या में केवल एक अंक है – एक अंक, तो इसे कहा जाता है असंदिग्ध।वे। स्पष्टप्राकृतिक संख्या- एक प्राकृतिक संख्या जिसके रिकॉर्ड में एक वर्ण होता है – एक अंक। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 1, 6, 8 एक अंक हैं।

दो अंकप्राकृतिक संख्या- एक प्राकृतिक संख्या, जिसके रिकॉर्ड में दो वर्ण होते हैं - दो अंक।

उदाहरण के लिए, संख्याएँ 12, 47, 24, 99 दोहरे अंक हैं।

साथ ही, दी गई संख्या में वर्णों की संख्या के अनुसार, अन्य संख्याओं को नाम दिए गए हैं:

संख्या 326, 532, 893 - तीन अंक;

संख्या 1126, 4268, 9999 - चार अंकोंआदि।

दो अंक, तीन अंक, चार अंक, पांच अंक आदि। नंबर कहलाते हैं बहु अंकों की संख्या .

बहु-अंकीय संख्याओं को पढ़ने के लिए, उन्हें दाईं ओर से शुरू करते हुए, प्रत्येक तीन अंकों के समूहों में विभाजित किया जाता है (सबसे बाईं ओर के समूह में एक या दो अंक हो सकते हैं)। इन समूहों को कहा जाता है कक्षाएं।

दस लाखएक हजार हजार (1000 हजार) है, इसे 1 मिलियन या 1,000,000 लिखा जाता है।

एक अरब 1000 मिलियन है। यह 1 बिलियन या 1,000,000,000 द्वारा दर्ज किया गया है।

दाईं ओर के पहले तीन अंक इकाइयों का वर्ग बनाते हैं, अगले तीन - हजारों का वर्ग, फिर लाखों, अरबों आदि के वर्ग होते हैं। (चित्र एक)।

चावल। 1. लाखों का वर्ग, हजारों का वर्ग और इकाइयों का वर्ग (बाएं से दाएं)

संख्या 15389000286 बिट ग्रिड (चित्र 2) में लिखी गई है।

चावल। 2. डिजिट ग्रिड: संख्या 15 अरब 389 करोड़ 286

इस संख्या में एक वर्ग में 286, हजारों वर्ग में शून्य, लाखों वर्ग में 389 और अरबों वर्ग में 15 हैं।

परिभाषा

वस्तुओं को गिनने के लिए अभिप्रेत संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ कहलाती हैं। प्राकृतिक संख्याओं को दर्ज करने के लिए, 10 अरबी अंकों (0–9) का उपयोग किया जाता है, जो आमतौर पर गणितीय गणनाओं के लिए स्वीकृत दशमलव संख्या प्रणाली का आधार बनते हैं।

प्राकृतिक संख्याओं का क्रम

प्राकृतिक संख्याएं 1 से शुरू होने वाली श्रृंखला बनाती हैं और सभी सकारात्मक पूर्णांकों के सेट को कवर करती हैं। इस तरह के अनुक्रम में 1,2,3, ... संख्याएँ होती हैं। इसका मतलब है कि प्राकृतिक श्रृंखला में:

1. सबसे छोटी संख्या है और कोई सबसे बड़ी संख्या नहीं है।
2. प्रत्येक अगली संख्या पिछले एक से 1 से अधिक है (अपवाद स्वयं इकाई है)।
3. जैसे-जैसे संख्याएं अनंत तक जाती हैं, वे अनिश्चित काल तक बढ़ती हैं।

कभी-कभी 0 को प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला में भी पेश किया जाता है। यह अनुमेय है, और फिर वे इसके बारे में बात करते हैं विस्तारितप्राकृतिक श्रृंखला।

प्राकृतिक संख्याओं की कक्षाएं

प्राकृतिक संख्या का प्रत्येक अंक एक निश्चित अंक को व्यक्त करता है। अंतिम हमेशा संख्या में इकाइयों की संख्या होती है, इससे पहले की संख्या दसियों की संख्या होती है, अंत से तीसरी संख्या सैकड़ों की संख्या होती है, चौथी हजारों की संख्या होती है, और इसी तरह।

• संख्या 276 में: 2 सौ, 7 दहाई, 6 इकाइयाँ
• संख्या 1098 में: 1 हजार, 9 दहाई, 8 इकाई; यहाँ सौ स्थान अनुपस्थित है, क्योंकि इसे शून्य के रूप में व्यक्त किया गया है।

बड़ी और बहुत बड़ी संख्या के लिए, आप एक स्थिर प्रवृत्ति देख सकते हैं (यदि आप संख्या को दाएं से बाएं, यानी अंतिम अंक से पहले तक की जांच करते हैं):

• संख्या में अंतिम तीन अंक इकाई, दहाई और सैकड़ों हैं;
• पिछले तीन इकाइयां, दसियों और सैकड़ों हजारों हैं;
• उनके सामने तीन (यानी संख्या के 7वें, 8वें और 9वें अंक, अंत से गिनते हुए) इकाई, दहाई और करोड़ों आदि हैं।

यही है, हर बार हम तीन अंकों, अर्थ इकाइयों, दसियों और सैकड़ों बड़े नामों के साथ काम कर रहे हैं। ऐसे समूह वर्ग बनाते हैं। और अगर आपको रोजमर्रा की जिंदगी में पहले तीन वर्गों से अधिक या कम बार निपटना है, तो दूसरों को सूचीबद्ध किया जाना चाहिए, क्योंकि हर कोई उनके नाम को दिल से याद नहीं करता है।

• चौथी कक्षा, लाखों की कक्षा के बाद और 10-12 अंकों की संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले को अरब (या अरब) कहा जाता है;
• 5 वीं कक्षा - खरब;
• छठी कक्षा - क्वाड्रिलियन;
• 7 वीं कक्षा - क्विंटिलियन;
• 8 वीं कक्षा - सेक्स्टिलियन;
• 9वीं कक्षा - सेप्टिलियन।

प्राकृतिक संख्याओं का जोड़

प्राकृतिक संख्याओं का जोड़ एक अंकगणितीय ऑपरेशन है जो आपको एक संख्या प्राप्त करने की अनुमति देता है जिसमें कई इकाइयाँ होती हैं जो एक साथ जोड़ी गई संख्याओं में होती हैं।

जोड़ का चिह्न "+" चिह्न है। जोड़ी गई संख्याओं को पद कहते हैं, परिणाम को योग कहते हैं।

छोटी संख्याओं को मौखिक रूप से जोड़ा (संक्षेपित) किया जाता है, लेखन में ऐसी क्रियाओं को एक पंक्ति में लिखा जाता है।

बहु-अंकीय संख्याएं, जिन्हें दिमाग में जोड़ना मुश्किल होता है, आमतौर पर एक कॉलम में जोड़ दी जाती हैं। इसके लिए संख्याओं को एक के नीचे एक करके, अंतिम अंक के साथ जोड़कर लिखा जाता है, अर्थात वे इकाई के अंक के नीचे इकाई का अंक, सैकड़े के अंक के नीचे सैकड़े का अंक आदि लिखते हैं। अगला, आपको अंकों को जोड़े में जोड़ने की आवश्यकता है। यदि अंकों का योग दस के माध्यम से एक संक्रमण के साथ होता है, तो यह दस बाईं ओर के अंक के ऊपर एक इकाई के रूप में तय किया जाता है (अर्थात, इसके बाद) और इस अंक के अंकों के साथ जोड़ा जाता है।

यदि 2 नहीं, बल्कि अधिक संख्याएँ कॉलम में जोड़ी जाती हैं, तो श्रेणी के अंकों को जोड़ते समय, 1 दर्जन नहीं, बल्कि कई, बेमानी हो सकते हैं। इस मामले में, ऐसी दहाई की संख्या को अगले अंक में स्थानांतरित कर दिया जाता है।

प्राकृतिक संख्याओं का घटाव

घटाव एक अंकगणितीय ऑपरेशन है, जोड़ का उल्टा, जो इस तथ्य को उबालता है कि, राशि और शर्तों में से एक को देखते हुए, आपको एक और खोजने की आवश्यकता है - एक अज्ञात शब्द। जिस संख्या में से घटाया जा रहा है उसे लघु-अंत कहा जाता है; जो संख्या घटाई जा रही है वह सबट्रेंड है। घटाव के परिणाम को अंतर कहा जाता है। घटाव के संचालन को दर्शाने वाला चिन्ह "-" है।

जोड़ के संक्रमण में, घटाव और अंतर शब्दों में बदल जाते हैं, और योग में कम हो जाते हैं। जोड़ आमतौर पर किए गए घटाव की शुद्धता की जांच करता है, और इसके विपरीत।

यहाँ 74 लघुअंक है, 18 घटाव है, 56 अंतर है।

प्राकृतिक संख्याओं को घटाने के लिए एक पूर्वापेक्षा निम्नलिखित है: न्यूनतम अनिवार्य रूप से सबट्रेंड से अधिक होना चाहिए। केवल इस स्थिति में परिणामी अंतर भी एक प्राकृत संख्या होगी। यदि एक विस्तारित प्राकृतिक श्रृंखला के लिए घटाव की क्रिया की जाती है, तो यह अनुमति दी जाती है कि माइनसेंड सबट्रेंड के बराबर है। और इस स्थिति में घटाव का परिणाम 0 होगा।

नोट: यदि घटाव शून्य के बराबर है, तो घटाव ऑपरेशन न्यूनतम के मान को नहीं बदलता है।

बहु-अंकीय संख्याओं का घटाव आमतौर पर एक कॉलम में किया जाता है। संख्याओं को उसी तरह लिखें जैसे जोड़ के लिए। घटाव संबंधित अंकों के लिए किया जाता है। यदि यह पता चला है कि माइनस सबट्रेंड से कम है, तो एक को पिछले (बाईं ओर स्थित) अंक से लिया जाता है, जो स्थानांतरण के बाद स्वाभाविक रूप से 10 में बदल जाता है। दिया गया अंक और फिर घटाया गया। इसके अलावा, अगले अंक को घटाते समय, यह ध्यान रखना आवश्यक है कि घटा हुआ 1 कम हो गया है।

प्राकृतिक संख्या का उत्पाद

प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल (या गुणन) एक अंकगणितीय संक्रिया है, जो समान पदों की मनमानी संख्या का योग खोज रही है। गुणन की संक्रिया को रिकॉर्ड करने के लिए, चिह्न "·" (कभी-कभी "×" या "*") का उपयोग करें। उदाहरण के लिए: 3 5=15।

बड़ी संख्या में शब्दों को जोड़ने के लिए आवश्यक होने पर गुणन की क्रिया अपरिहार्य है। उदाहरण के लिए, यदि आपको संख्या 4 7 बार जोड़ने की आवश्यकता है, तो 4 को 7 से गुणा करना इस जोड़ की तुलना में आसान है: 4+4+4+4+4+4+4।

जिन संख्याओं का गुणा किया जाता है, वे गुणनखण्ड कहलाती हैं, गुणा का परिणाम गुणनफल होता है। तदनुसार, "कार्य" शब्द, संदर्भ के आधार पर, गुणन की प्रक्रिया और उसके परिणाम दोनों को व्यक्त कर सकता है।

बहु-अंकीय संख्याओं को एक स्तंभ में गुणा किया जाता है। इसके लिए संख्या को उसी तरह लिखा जाता है जैसे जोड़ और घटाव के लिए लिखा जाता है। पहले (ऊपर) लिखने की सिफारिश की जाती है कि 2 में से कौन सी संख्या अधिक है। इस मामले में, गुणन प्रक्रिया सरल होगी, और इसलिए अधिक तर्कसंगत होगी।

किसी कॉलम में गुणा करते समय, दूसरी संख्या के प्रत्येक अंक के अंकों को पहली संख्या के अंकों से उसके अंत से शुरू करते हुए क्रमिक रूप से गुणा किया जाता है। इस तरह का पहला काम खोजने के बाद, वे इकाइयों की संख्या लिखते हैं और दसियों की संख्या को ध्यान में रखते हैं। दूसरी संख्या के अंक को पहली संख्या के अगले अंक से गुणा करने पर जो संख्या ध्यान में रखी जाती है वह गुणनफल में जुड़ जाती है। और फिर वे प्राप्त परिणाम की इकाइयों की संख्या लिखते हैं, और दसियों की संख्या याद करते हैं। पहली संख्या के अंतिम अंक से गुणा करने पर इस प्रकार प्राप्त संख्या को पूर्ण रूप से लिख दिया जाता है।

दूसरी संख्या के दूसरे अंक के अंकों को गुणा करने के परिणाम दूसरी पंक्ति में लिखे जाते हैं, इसे 1 सेल को दाईं ओर ले जाते हैं। और इसी तरह। नतीजतन, एक "सीढ़ी" प्राप्त की जाएगी। संख्याओं की सभी परिणामी पंक्तियों को जोड़ा जाना चाहिए (एक कॉलम में योग के नियम के अनुसार)। खाली कोशिकाओं को शून्य से भरा माना जाना चाहिए। परिणामी राशि अंतिम उत्पाद है।

टिप्पणी

1. किसी भी प्राकृत संख्या का 1 (या 1 बटा संख्या) का गुणनफल उसी संख्या के बराबर होता है। उदाहरण के लिए: 376 1=376; 1 86=86.
2. जब कारकों में से एक या दोनों कारक 0 के बराबर होते हैं, तो गुणनफल 0 के बराबर होता है। उदाहरण के लिए: 32·0=0; 0 845=845; 0 0=0।

प्राकृतिक संख्या का विभाजन

विभाजन एक ऐसी अंकगणितीय संक्रिया कहलाती है, जिसकी सहायता से किसी ज्ञात गुणनफल तथा किसी एक गुणनखंड के अनुसार दूसरा - अज्ञात - गुणनखंड ज्ञात किया जा सके। विभाजन गुणन का विलोम है और इसका उपयोग यह जांचने के लिए किया जाता है कि क्या गुणन सही तरीके से किया गया है (और इसके विपरीत)।

जिस संख्या को विभाजित किया जा रहा है उसे विभाज्य कहा जाता है; जिस संख्या से इसे विभाजित किया जाता है वह विभाजक है; भाग के परिणाम को भागफल कहते हैं। विभाजन चिह्न ":" है (कभी-कभी, कम अक्सर - "÷")।

यहाँ 48 भाज्य है, 6 भाजक है, और 8 भागफल है।

सभी प्राकृतिक संख्याओं को आपस में विभाजित नहीं किया जा सकता है। इस मामले में, विभाजन शेष के साथ किया जाता है। यह इस तथ्य में निहित है कि विभाजक के लिए इस तरह के एक कारक का चयन किया जाता है ताकि भाजक द्वारा उसका उत्पाद एक संख्या हो जो लाभांश के मूल्य के जितना संभव हो उतना करीब हो, लेकिन उससे कम हो। भाजक को इस कारक से गुणा किया जाता है और लाभांश से घटाया जाता है। अंतर विभाजन का शेष होगा। एक भाजक का गुणनफल एक गुणनखण्ड कहलाता है। ध्यान दें: शेष चयनित गुणक से कम होना चाहिए! यदि शेष बड़ा है, तो इसका मतलब है कि गुणक गलत तरीके से चुना गया है और इसे बढ़ाया जाना चाहिए।

हम 7 के लिए एक कारक का चयन करते हैं। इस मामले में, यह संख्या 5 है। हम एक अधूरा भागफल पाते हैं: 7 5 \u003d 35। शेषफल की गणना करें: 38-35=3। चूंकि 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

बहु-अंकीय संख्याओं को एक स्तंभ में विभाजित किया जाता है। ऐसा करने के लिए, भाजक और भाजक को साथ-साथ लिखा जाता है, जिससे भाजक को एक ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखा से अलग किया जाता है। लाभांश में, पहले अंक या पहले कुछ अंकों (दाईं ओर) का चयन किया जाता है, जो एक संख्या होनी चाहिए जो भाजक द्वारा विभाजित करने के लिए न्यूनतम रूप से पर्याप्त हो (अर्थात, यह संख्या भाजक से अधिक होनी चाहिए)। इस संख्या के लिए, एक अपूर्ण भागफल का चयन किया जाता है, जैसा कि शेष के साथ विभाजन के नियम में वर्णित है। भाजक के नीचे आंशिक भागफल ज्ञात करने के लिए प्रयुक्त गुणक की संख्या लिखी जाती है। अपूर्ण भागफल उस संख्या के नीचे लिखा जाता है जिसे विभाजित किया गया था, सही-संरेखित किया गया था। उनका अंतर ज्ञात कीजिए। लाभांश के अगले अंक को इस अंतर के आगे लिख कर उसे ध्वस्त कर दिया जाता है। परिणामी संख्या के लिए, विभाजक के नीचे पिछले एक के बगल में चयनित कारक के आंकड़े को लिखकर एक अधूरा भागफल फिर से पाया जाता है। और इसी तरह। ऐसी कार्रवाइयाँ तब तक की जाती हैं जब तक कि लाभांश की संख्या समाप्त नहीं हो जाती। उसके बाद, विभाजन पूर्ण माना जाता है। यदि भाज्य और भाजक को पूरी तरह से (बिना शेष के) विभाजित किया जाता है, तो अंतिम अंतर शून्य देगा। अन्यथा, शेष संख्या वापस कर दी जाएगी।

घातांक

घातांक एक गणितीय ऑपरेशन है जिसमें समान संख्याओं की मनमानी संख्या को गुणा करना शामिल है। उदाहरण के लिए: 2 2 2 2।

ऐसे भाव लिखे जाते हैं: एक एक्स,

कहाँ पे एकस्वयं से गुणा की गई संख्या है एक्सऐसे कारकों की संख्या है।

प्रधान और समग्र प्राकृतिक संख्याएँ

1 को छोड़कर किसी भी प्राकृतिक संख्या को कम से कम 2 संख्याओं - एक और स्वयं से विभाजित किया जा सकता है। इस मानदंड के आधार पर, प्राकृतिक संख्याओं को प्रधान और समग्र में विभाजित किया जाता है।

अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती हैं। वे संख्याएँ जो इन 2 संख्याओं से अधिक से विभाज्य होती हैं, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। केवल स्वयं से विभाज्य इकाई न तो अभाज्य है और न ही यौगिक।

संख्याएँ प्रधान हैं: 2,3,5,7,11,13,17,19, आदि। समग्र संख्याओं के उदाहरण: 4 (1,2,4 से विभाज्य), 6 (1,2,3,6 से विभाज्य), 20 (1,2,4,5,10,20 से विभाज्य)।

किसी भी समग्र संख्या को प्रमुख कारकों में विघटित किया जा सकता है। इस मामले में, अभाज्य गुणनखंडों को इसके विभाजक समझा जाता है, जो अभाज्य संख्याएँ हैं।

प्रमुख कारकों में गुणनखंड का एक उदाहरण:

प्राकृतिक संख्या के विभाजक

एक भाजक एक संख्या है जिसके द्वारा दी गई संख्या को बिना शेषफल के विभाजित किया जा सकता है।

इस परिभाषा के अनुसार, सरल प्राकृतिक संख्याओं में 2 विभाजक होते हैं, संयुक्त संख्याओं में 2 से अधिक विभाजक होते हैं।

कई संख्याओं के सामान्य भाजक होते हैं। सार्व भाजक वह संख्या है जिससे दी गई संख्या बिना शेषफल के विभाज्य होती है।

• संख्या 12 और 15 का एक उभयनिष्ठ भाजक 3 है
• संख्या 20 और 30 के सामान्य भाजक 2,5,10 हैं

सबसे बड़ा सामान्य विभाजक (GCD) विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। यह संख्या, विशेष रूप से, अंशों को कम करने के लिए खोजने में सक्षम होने के लिए उपयोगी है। इसे खोजने के लिए, दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखण्डों में विघटित करना और उन्हें उनकी सबसे छोटी घातों में लिए गए उनके सामान्य अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है।

36 और 48 की संख्या का GCD ज्ञात करना आवश्यक है।

प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता

"आँख से" यह निर्धारित करना हमेशा संभव नहीं होता है कि क्या एक संख्या शेष के बिना दूसरे से विभाज्य है। ऐसे मामलों में, संबंधित विभाज्यता परीक्षण उपयोगी होता है, अर्थात, वह नियम जिसके द्वारा सेकंड के एक मामले में आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि बिना शेष के संख्याओं को विभाजित करना संभव है या नहीं। विभाज्यता दर्शाने के लिए "" चिह्न का प्रयोग किया जाता है।

आम एकाधिक

यह मान (लघुतम समापवर्त्य) सबसे छोटी संख्या है जो दी गई प्रत्येक संख्या से विभाज्य है। LCM को प्राकृतिक संख्याओं के मनमाने सेट के लिए पाया जा सकता है।

एलसीएम, जीसीडी की तरह, एक महत्वपूर्ण लागू अर्थ है। इसलिए, यह LCM है जिसे सामान्य अंशों को एक सामान्य भाजक में घटाकर पाया जाना चाहिए।

LCM दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके निर्धारित किया जाता है। इसके गठन के लिए, एक उत्पाद लिया जाता है, जिसमें प्रत्येक होने वाली (कम से कम 1 संख्या के लिए) प्रमुख कारकों को अधिकतम डिग्री का प्रतिनिधित्व किया जाता है।

संख्या 14 और 24 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना आवश्यक है।

औसत

प्राकृतिक संख्याओं की मनमाना (लेकिन परिमित) संख्या का अंकगणितीय माध्य इन सभी संख्याओं का योग शब्दों की संख्या से विभाजित होता है:

अंकगणितीय माध्य संख्या सेट के लिए कुछ औसत मान है।

संख्याएँ 2,84,53,176,17,28 दी गई हैं। उनका अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना आवश्यक है।