विश्वास अंतराल। एक ज्ञात विचरण के साथ एक सामान्य वितरण की गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल

विश्वास अंतरालसांख्यिकीय मात्रा के सीमित मूल्य हैं, जो एक निश्चित विश्वास संभावना γ के साथ, इस अंतराल में एक बड़े नमूना आकार के साथ होंगे। P(θ - ε के रूप में निरूपित। व्यवहार में, विश्वास संभावना γ को मानों से चुना जाता है γ = 0.9 , γ = 0.95 , γ = 0.99 एकता के काफी करीब।

सेवा कार्य. यह सेवा परिभाषित करती है:

• सामान्य माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल, विचरण के लिए विश्वास्यता अंतराल;
• मानक विचलन के लिए विश्वास अंतराल, सामान्य अंश के लिए विश्वास अंतराल;

परिणामी समाधान एक Word फ़ाइल में सहेजा जाता है (उदाहरण देखें)। नीचे प्रारंभिक डेटा कैसे भरना है, इस पर एक वीडियो निर्देश है।

उदाहरण 1। एक सामूहिक खेत पर, 1,000 भेड़ों के कुल झुंड में से, 100 भेड़ों को चयनात्मक नियंत्रण के अधीन किया गया था। परिणामस्वरूप, प्रति भेड़ 4.2 किलोग्राम की औसत ऊन कतरनी स्थापित की गई। 0.99 की प्रायिकता के साथ निर्धारित करें कि प्रति भेड़ औसत ऊन कतरनी का निर्धारण करने में नमूने की मानक त्रुटि और यदि भिन्नता 2.5 है तो कतरनी मूल्य निहित है। नमूना गैर-दोहरावदार है।
उदाहरण #2। मास्को उत्तरी सीमा शुल्क के पद पर आयातित उत्पादों के बैच से, उत्पाद "ए" के 20 नमूने यादृच्छिक पुन: नमूने के क्रम में लिए गए थे। जाँच के परिणामस्वरूप, नमूने में उत्पाद "ए" की औसत नमी की मात्रा स्थापित की गई, जो 1% के मानक विचलन के साथ 6% निकली।
आयातित उत्पादों के पूरे बैच में उत्पाद की औसत नमी की मात्रा की सीमा 0.683 की संभावना के साथ निर्धारित करें।
उदाहरण #3। 36 छात्रों के एक सर्वेक्षण से पता चला है कि प्रति शैक्षणिक वर्ष में उनके द्वारा पढ़ी जाने वाली पाठ्यपुस्तकों की औसत संख्या 6 हो गई। यह मानते हुए कि प्रति सेमेस्टर एक छात्र द्वारा पढ़ी जाने वाली पाठ्यपुस्तकों की संख्या 6 के बराबर मानक विचलन के साथ एक सामान्य वितरण कानून है, ज्ञात कीजिए। : ए) इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के लिए 0.99 अंतराल अनुमान की विश्वसनीयता के साथ; बी) किस संभावना के साथ यह तर्क दिया जा सकता है कि प्रति सेमेस्टर में एक छात्र द्वारा पढ़ी जाने वाली पाठ्यपुस्तकों की औसत संख्या, इस नमूने के लिए गणना की गई, गणितीय अपेक्षा से पूर्ण मूल्य में 2 से अधिक नहीं है।

विश्वास अंतराल का वर्गीकरण

मूल्यांकन किए जा रहे पैरामीटर के प्रकार से:

नमूना प्रकार से:

1. अनंत नमूने के लिए विश्वास अंतराल;
2. अंतिम नमूने के लिए विश्वास अंतराल;

प्रतिचयन को पुन: प्रतिचयन कहते हैं, यदि चयनित वस्तु अगले को चुनने से पहले सामान्य आबादी को वापस कर दी जाती है। नमूने को गैर-दोहराव कहा जाता है।यदि चयनित वस्तु सामान्य जनसंख्या में वापस नहीं आती है। व्यवहार में, आमतौर पर गैर-दोहराए जाने वाले नमूनों से संबंधित होता है।

यादृच्छिक चयन के लिए औसत नमूनाकरण त्रुटि की गणना

नमूने से प्राप्त संकेतकों के मूल्यों और सामान्य जनसंख्या के संबंधित मापदंडों के बीच विसंगति को कहा जाता है प्रतिनिधित्व त्रुटि.
सामान्य और नमूना जनसंख्या के मुख्य मापदंडों का पदनाम।

नमूना माध्य त्रुटि सूत्र
पुनर्चयन		गैर-दोहराव चयन
मध्य के लिए	शेयर के लिए	मध्य के लिए	शेयर के लिए

नमूना त्रुटि सीमा (Δ) के बीच का अनुपात कुछ संभावना के साथ गारंटीकृत है पी (टी),और औसत नमूनाकरण त्रुटि का रूप है: या Δ = t μ, जहां टी- विश्वास गुणांक, अभिन्न लैपलेस फ़ंक्शन की तालिका के अनुसार संभाव्यता पी (टी) के स्तर के आधार पर निर्धारित किया गया है।

उचित यादृच्छिक चयन पद्धति के साथ नमूना आकार की गणना के लिए सूत्र

एक यादृच्छिक चर (हम सामान्य जनसंख्या के बारे में बात कर सकते हैं) को सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, जिसके लिए विचरण D = 2 (> 0) ज्ञात है। सामान्य जनसंख्या से (जिन वस्तुओं के सेट पर एक यादृच्छिक चर निर्धारित किया जाता है), आकार n का एक नमूना बनाया जाता है। नमूना x 1 , x 2 ,..., x n को n स्वतंत्र यादृच्छिक चर के एक सेट के रूप में उसी तरह वितरित किया जाता है जैसे (पाठ में ऊपर वर्णित दृष्टिकोण)।

पहले, निम्नलिखित समानताओं पर भी चर्चा की गई और सिद्ध की गई:

एमएक्स 1 = एमएक्स 2 = ... = एमएक्स एन = एम;

डीएक्स 1 = डीएक्स 2 = ... = डीएक्स एन = डी;

यह केवल साबित करने के लिए पर्याप्त है (हम प्रमाण को छोड़ देते हैं) कि इस मामले में यादृच्छिक चर भी सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है।

आइए हम अज्ञात मान M को a से निरूपित करें और दी गई विश्वसनीयता के अनुसार संख्या d> 0 चुनें ताकि निम्नलिखित स्थिति संतुष्ट हो:

पी (- ए< d) = (1)

चूंकि यादृच्छिक चर सामान्य कानून के अनुसार गणितीय अपेक्षा M = M = a और विचरण D = D /n = 2 /n के साथ वितरित किया जाता है, हम प्राप्त करते हैं:

पी (- ए< d) =P(a - d < < a + d) =

यह घ का चयन करने के लिए बनी हुई है कि समानता

किसी भी एक के लिए, आप तालिका से ऐसी संख्या t पा सकते हैं जो (t) \u003d / 2 है। इस संख्या t को कभी-कभी कहा जाता है मात्रा.

अब समानता से

डी के मूल्य को परिभाषित करें:

हम सूत्र (1) को फॉर्म में प्रस्तुत करके अंतिम परिणाम प्राप्त करते हैं:

अंतिम सूत्र का अर्थ इस प्रकार है: विश्वसनीयता के साथ, विश्वास अंतराल

जनसंख्या के अज्ञात पैरामीटर a = M को कवर करता है। इसे अलग तरीके से कहा जा सकता है: एक बिंदु अनुमान डी = टी / और विश्वसनीयता की सटीकता के साथ पैरामीटर एम के मान को निर्धारित करता है।

काम। 6.25 के बराबर फैलाव के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित कुछ विशेषताओं के साथ एक सामान्य आबादी होने दें। मात्रा n = 27 का एक नमूना बनाया गया था और विशेषता का औसत नमूना मूल्य = 12 प्राप्त किया गया था। विश्वसनीयता = 0.99 के साथ सामान्य जनसंख्या की अध्ययन की गई विशेषता की अज्ञात गणितीय अपेक्षा को कवर करने वाला विश्वास अंतराल ज्ञात करें।

समाधान। सबसे पहले, लाप्लास फ़ंक्शन के लिए तालिका का उपयोग करते हुए, हम समीकरण (टी) \u003d / 2 \u003d 0.495 से टी का मान पाते हैं। प्राप्त मूल्य t = 2.58 के आधार पर, हम अनुमान की सटीकता (या विश्वास अंतराल की आधी लंबाई) d: d = 2.52.58 / 1.24 निर्धारित करते हैं। यहाँ से हम वांछित विश्वास अंतराल प्राप्त करते हैं: (10.76; 13.24)।

सांख्यिकीय परिकल्पना सामान्य परिवर्तनशील

अज्ञात विचरण के साथ सामान्य वितरण की अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल

एक अज्ञात गणितीय अपेक्षा M के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर होने दें, जिसे हम अक्षर a द्वारा निरूपित करते हैं। चलिए आकार n का एक नमूना बनाते हैं। आइए ज्ञात सूत्रों का उपयोग करके औसत नमूना और सही नमूना भिन्नता एस 2 निर्धारित करें।

यादृच्छिक मूल्य

स्वतंत्रता की n - 1 डिग्री के साथ छात्र के कानून के अनुसार वितरित।

कार्य ऐसी संख्या t को दी गई विश्वसनीयता और स्वतंत्रता की डिग्री n - 1 के अनुसार खोजना है ताकि समानता

या समकक्ष समानता

यहाँ, कोष्ठक में, शर्त लिखी गई है कि अज्ञात पैरामीटर का मान एक निश्चित अंतराल से संबंधित है, जो कि विश्वास अंतराल है। इसकी सीमा विश्वसनीयता पर निर्भर करती है, साथ ही साथ नमूनाकरण मापदंडों और एस पर भी।

परिमाण द्वारा t का मान निर्धारित करने के लिए, हम समानता (2) को रूप में बदलते हैं:

अब, एक यादृच्छिक चर टी के लिए तालिका के अनुसार, छात्र के कानून के अनुसार वितरित, संभाव्यता 1 - और स्वतंत्रता की डिग्री एन -1 की संख्या के अनुसार, हम टी पाते हैं। सूत्र (3) समस्या का उत्तर देता है।

काम। 20 इलेक्ट्रिक लैंप के नियंत्रण परीक्षणों में, उनके संचालन की औसत अवधि 2000 घंटे के बराबर थी, जिसमें मानक विचलन (सही नमूना भिन्नता के वर्गमूल के रूप में गणना) 11 घंटे के बराबर था। यह ज्ञात है कि दीपक संचालन की अवधि सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर है। इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के लिए 0.95 की विश्वसनीयता के साथ विश्वास अंतराल निर्धारित करें।

समाधान। मान 1 - इस मामले में 0.05 के बराबर है। छात्र की वितरण तालिका के अनुसार, 19 के बराबर स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के साथ, हम पाते हैं: t = 2.093। आइए अब अनुमान की सटीकता की गणना करें: 2.093121/ = 56.6। यहां से हमें वांछित विश्वास अंतराल मिलता है: (1943.4; 2056.6)।

गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल - यह डेटा से गणना किया गया ऐसा अंतराल है, जिसमें ज्ञात संभावना के साथ सामान्य आबादी की गणितीय अपेक्षा होती है। गणितीय अपेक्षा के लिए प्राकृतिक अनुमान इसके देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य है। इसलिए, पाठ के दौरान हम "औसत", "औसत मूल्य" शब्दों का उपयोग करेंगे। कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना की समस्याओं में, सबसे अधिक आवश्यक उत्तर "औसत संख्या [एक विशिष्ट समस्या में मान] का कॉन्फिडेंस इंटरवल [निम्न मान] से [उच्च मान] तक है"। विश्वास अंतराल की मदद से, न केवल औसत मूल्यों का मूल्यांकन करना संभव है, बल्कि सामान्य आबादी की एक या दूसरी विशेषता का हिस्सा भी है। औसत मूल्य, भिन्नता, मानक विचलन और त्रुटि, जिसके माध्यम से हम नई परिभाषाओं और सूत्रों तक पहुंचेंगे, पाठ में विश्लेषण किया जाता है नमूना और जनसंख्या लक्षण .

माध्य का बिंदु और अंतराल अनुमान

यदि सामान्य जनसंख्या का माध्य मान एक संख्या (बिंदु) द्वारा अनुमानित किया जाता है, तो प्रेक्षणों के नमूने से परिकलित एक विशिष्ट माध्य को सामान्य जनसंख्या के अज्ञात माध्य के अनुमान के रूप में लिया जाता है। इस मामले में, नमूना माध्य का मान - एक यादृच्छिक चर - सामान्य जनसंख्या के माध्य मान के साथ मेल नहीं खाता है। इसलिए, नमूने के औसत मूल्य को इंगित करते समय, नमूना त्रुटि को इंगित करना भी आवश्यक है। मानक त्रुटि का उपयोग नमूना त्रुटि के माप के रूप में किया जाता है, जिसे समान इकाइयों में माध्य के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसलिए, निम्नलिखित संकेतन का अक्सर उपयोग किया जाता है:।

यदि माध्य का अनुमान एक निश्चित संभाव्यता से जुड़ा होना आवश्यक है, तो ब्याज की सामान्य जनसंख्या के पैरामीटर का अनुमान एक संख्या से नहीं, बल्कि एक अंतराल से लगाया जाना चाहिए। कॉन्फ़िडेंस इंटरवल एक ऐसा इंटरवल है, जिसमें एक निश्चित प्रायिकता के साथ, पीसामान्य जनसंख्या के अनुमानित संकेतक का मूल्य पाया जाता है। विश्वास अंतराल जिसमें संभावना के साथ पी = 1 - α एक यादृच्छिक चर है, इसकी गणना निम्नानुसार की जाती है:

,

α = 1 - पी, जो सांख्यिकी पर लगभग किसी भी पुस्तक के परिशिष्ट में पाया जा सकता है।

व्यवहार में, जनसंख्या माध्य और विचरण ज्ञात नहीं हैं, इसलिए जनसंख्या विचरण को नमूना विचरण से बदल दिया जाता है, और जनसंख्या माध्य को नमूना माध्य से बदल दिया जाता है। इस प्रकार, ज्यादातर मामलों में विश्वास अंतराल की गणना निम्नानुसार की जाती है:

.

जनसंख्या माध्य का अनुमान लगाने के लिए विश्वास अंतराल सूत्र का उपयोग किया जा सकता है

• सामान्य जनसंख्या का मानक विचलन ज्ञात है;
• या जनसंख्या का मानक विचलन ज्ञात नहीं है, लेकिन नमूना आकार 30 से अधिक है।

नमूना माध्य जनसंख्या माध्य का एक निष्पक्ष अनुमान है। बदले में, नमूना विचरण जनसंख्या भिन्नता का एक निष्पक्ष अनुमान नहीं है। नमूना भिन्नता सूत्र में जनसंख्या भिन्नता का एक निष्पक्ष अनुमान प्राप्त करने के लिए, नमूना आकार है एनसे बदला जाना चाहिए एन-1.

उदाहरण 1एक निश्चित शहर में यादृच्छिक रूप से चुने गए 100 कैफे से जानकारी एकत्र की जाती है कि उनमें कर्मचारियों की औसत संख्या 4.6 के मानक विचलन के साथ 10.5 है। कैफे कर्मचारियों की संख्या के 95% का विश्वास अंतराल निर्धारित करें।

जहां महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य है α = 0,05 .

इस प्रकार, कैफे कर्मचारियों की औसत संख्या के लिए 95% विश्वास अंतराल 9.6 और 11.4 के बीच था।

उदाहरण 2 64 प्रेक्षणों की सामान्य जनसंख्या से एक यादृच्छिक नमूने के लिए, निम्नलिखित कुल मानों की गणना की गई:

प्रेक्षणों में मानों का योग ,

माध्य से मानों के वर्ग विचलन का योग .

अपेक्षित मूल्य के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करें।

मानक विचलन की गणना करें:

,

औसत मूल्य की गणना करें:

.

विश्वास अंतराल के लिए व्यंजक में मानों को प्रतिस्थापित करें:

जहां महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य है α = 0,05 .

हम पाते हैं:

इस प्रकार, इस नमूने की गणितीय अपेक्षा के लिए 95% विश्वास अंतराल 7.484 से 11.266 के बीच था।

उदाहरण 3 100 अवलोकनों की एक सामान्य आबादी से एक यादृच्छिक नमूने के लिए, 15.2 का औसत मान और 3.2 का मानक विचलन की गणना की गई। अपेक्षित मान के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करें, फिर 99% विश्वास अंतराल। यदि नमूना शक्ति और इसकी भिन्नता समान रहती है, लेकिन विश्वास कारक बढ़ जाता है, तो क्या विश्वास अंतराल संकीर्ण या चौड़ा होगा?

हम इन मूल्यों को विश्वास अंतराल के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:

जहां महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य है α = 0,05 .

हम पाते हैं:

.

इस प्रकार, इस नमूने के औसत के लिए 95% विश्वास अंतराल 14.57 से 15.82 तक था।

फिर से, हम इन मूल्यों को विश्वास अंतराल के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:

जहां महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य है α = 0,01 .

हम पाते हैं:

.

इस प्रकार, इस नमूने के औसत के लिए 99% विश्वास अंतराल 14.37 से 16.02 तक था।

जैसा कि आप देख सकते हैं, जैसे-जैसे विश्वास कारक बढ़ता है, मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य भी बढ़ता है, और, इसलिए, अंतराल के प्रारंभ और अंत बिंदु माध्य से आगे स्थित होते हैं, और इस प्रकार गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल बढ़ती है।

विशिष्ट गुरुत्व का बिंदु और अंतराल अनुमान

नमूने की कुछ विशेषता के हिस्से की व्याख्या शेयर के एक बिंदु अनुमान के रूप में की जा सकती है पीसामान्य आबादी में एक ही विशेषता। यदि इस मान को प्रायिकता से जोड़ने की आवश्यकता है, तो विशिष्ट गुरुत्व के विश्वास अंतराल की गणना की जानी चाहिए पीसंभावना के साथ सामान्य आबादी में सुविधा पी = 1 - α :

.

उदाहरण 4एक निश्चित शहर में दो उम्मीदवार हैं एऔर बीमहापौर के लिए चल रहा है। शहर के 200 निवासियों को यादृच्छिक रूप से मतदान किया गया, जिनमें से 46% ने उत्तर दिया कि वे उम्मीदवार को वोट देंगे ए, 26% - उम्मीदवार के लिए बीऔर 28% नहीं जानते कि वे किसे वोट देंगे। उम्मीदवार का समर्थन करने वाले शहर के निवासियों के अनुपात के लिए 95% विश्वास अंतराल निर्धारित करें ए.

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विश्वास अंतराल: समस्या समाधान की सूची

विश्वास अंतराल: सिद्धांत और समस्याएं

विश्वास अंतराल को समझना

आइए संक्षेप में कॉन्फिडेंस इंटरवल की अवधारणा का परिचय दें, जो
1) नमूने के डेटा से सीधे एक संख्यात्मक नमूने के कुछ पैरामीटर का अनुमान लगाता है,
2) प्रायिकता γ के साथ इस पैरामीटर के मान को कवर करता है।

विश्वास अंतरालपैरामीटर के लिए एक्स(संभाव्यता के साथ γ) रूप का एक अंतराल कहा जाता है, जैसे कि , और मूल्यों की गणना किसी तरह नमूने से की जाती है।

आमतौर पर, लागू समस्याओं में, विश्वास की संभावना को γ = 0.9 के बराबर लिया जाता है; 0.95; 0.99।

सामान्य आबादी से बने आकार एन के कुछ नमूने पर विचार करें, सामान्य वितरण कानून के अनुसार संभवतः वितरित किया गया। आइए दिखाते हैं कि कौन से फॉर्मूले पाए जाते हैं वितरण मापदंडों के लिए विश्वास अंतराल- गणितीय अपेक्षा और फैलाव (मानक विचलन)।

गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल

मामला एकवितरण विचरण ज्ञात और के बराबर है। फिर पैरामीटर के लिए विश्वास अंतराल एकी तरह लगता है:
टीलाप्लास वितरण तालिका से अनुपात द्वारा निर्धारित किया जाता है

मामला 2वितरण भिन्नता अज्ञात है; नमूना से भिन्नता का एक बिंदु अनुमान लगाया गया था। फिर पैरामीटर के लिए विश्वास अंतराल एकी तरह लगता है:
, जहां नमूना मतलब नमूना, पैरामीटर से गणना की जाती है टीछात्र की वितरण तालिका से निर्धारित

उदाहरण।एक निश्चित मूल्य के 7 मापों के डेटा के आधार पर, माप परिणामों का औसत 30 के बराबर और नमूना विचरण 36 के बराबर पाया गया। उन सीमाओं का पता लगाएं जिनमें मापा मूल्य का सही मूल्य 0.99 की विश्वसनीयता के साथ निहित है। .

समाधान।पता लगाते हैं . फिर अंतराल के लिए आत्मविश्वास सीमा मापा मूल्य का सही मान सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:
, जहां नमूना माध्य है, नमूना प्रसरण है। सभी मूल्यों में प्लगिंग, हम प्राप्त करते हैं:

विचरण के लिए विश्वास अंतराल

हम मानते हैं कि, आम तौर पर बोलना, गणितीय अपेक्षा अज्ञात है, और केवल भिन्नता का एक बिंदु निष्पक्ष अनुमान ज्ञात है। तब विश्वास अंतराल ऐसा दिखता है:
, कहाँ - तालिका से निर्धारित वितरण मात्राएँ।

उदाहरण। 7 परीक्षणों के आंकड़ों के आधार पर मानक विचलन के लिए अनुमान का मान पाया गया एस = 12. प्रसरण का अनुमान लगाने के लिए बनाए गए विश्वास अंतराल की चौड़ाई 0.9 की प्रायिकता के साथ ज्ञात करें।

समाधान।अज्ञात जनसंख्या विचरण के लिए विश्वास अंतराल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

स्थानापन्न करें और प्राप्त करें:


फिर कॉन्फ़िडेंस इंटरवल की चौड़ाई 465.589-71.708=393.881 है।

संभाव्यता के लिए विश्वास अंतराल (प्रतिशत)

मामला एकसमस्या में नमूना आकार और नमूना अंश (सापेक्ष आवृत्ति) ज्ञात होने दें। फिर सामान्य अंश (सच्ची संभावना) के लिए विश्वास अंतराल है:
, जहां पैरामीटर टीलाप्लास वितरण तालिका से अनुपात द्वारा निर्धारित किया जाता है।

मामला 2यदि समस्या अतिरिक्त रूप से उस जनसंख्या के कुल आकार को जानती है जिससे नमूना लिया गया था, तो सामान्य अंश के लिए विश्वास अंतराल (सच्ची संभावना) को समायोजित सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:
.

उदाहरण।यह ज्ञात है कि उन सीमाओं का पता लगाएं जिनमें सामान्य शेयर संभाव्यता के साथ संपन्न होता है।

समाधान।हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

आइए स्थिति से पैरामीटर खोजें , हमें सूत्र में स्थानापन्न मिलता है:

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