एक घातीय समीकरण क्या है और इसे कैसे हल किया जाए। घातीय समीकरणों को हल करने के तरीके

अंतिम परीक्षण की तैयारी के चरण में, हाई स्कूल के छात्रों को "घातीय समीकरण" विषय पर अपने ज्ञान में सुधार करने की आवश्यकता है। पिछले वर्षों का अनुभव बताता है कि ऐसे कार्य स्कूली बच्चों के लिए कुछ कठिनाइयाँ पैदा करते हैं। इसलिए, हाई स्कूल के छात्रों को, उनकी तैयारी के स्तर की परवाह किए बिना, सिद्धांत को सावधानीपूर्वक मास्टर करने, सूत्रों को याद करने और ऐसे समीकरणों को हल करने के सिद्धांत को समझने की आवश्यकता है। इस प्रकार के कार्यों से निपटने के लिए सीखने के बाद, गणित में परीक्षा उत्तीर्ण करने पर स्नातक उच्च अंकों पर भरोसा कर सकेंगे।

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कवर की गई सामग्री को दोहराते समय, कई छात्रों को समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक सूत्र खोजने की समस्या का सामना करना पड़ता है। एक स्कूल की पाठ्यपुस्तक हमेशा हाथ में नहीं होती है, और इंटरनेट पर किसी विषय पर आवश्यक जानकारी के चयन में लंबा समय लगता है।

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मुख्य परिभाषाएँ और सूत्र "सैद्धांतिक संदर्भ" खंड में प्रस्तुत किए गए हैं।

सामग्री को बेहतर ढंग से आत्मसात करने के लिए, हम अनुशंसा करते हैं कि आप असाइनमेंट का अभ्यास करें। गणना एल्गोरिथम को समझने के लिए इस पृष्ठ पर प्रस्तुत किए गए समाधान के साथ घातीय समीकरणों के उदाहरणों की सावधानीपूर्वक समीक्षा करें। उसके बाद, "कैटलॉग" अनुभाग में कार्यों के साथ आगे बढ़ें। आप सबसे आसान कार्यों से शुरू कर सकते हैं या कई अज्ञात या के साथ जटिल घातीय समीकरणों को हल करने के लिए सीधे जा सकते हैं। हमारी वेबसाइट पर अभ्यासों का डेटाबेस लगातार पूरक और अद्यतन किया जाता है।

संकेतकों के साथ वे उदाहरण जिनके कारण आपको कठिनाइयाँ हुईं, उन्हें "पसंदीदा" में जोड़ा जा सकता है। तो आप उन्हें जल्दी से ढूंढ सकते हैं और शिक्षक के साथ समाधान पर चर्चा कर सकते हैं।

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समीकरणों को घातीय कहा जाता है यदि अज्ञात घातांक में समाहित है। सबसे सरल घातीय समीकरण का रूप है: a x \u003d a b, जहाँ a> 0, और 1, x एक अज्ञात है।

डिग्रियों के मुख्य गुण, जिनकी मदद से घातीय समीकरण रूपांतरित होते हैं: a>0, b>0।

घातीय समीकरणों को हल करते समय, घातीय फलन के निम्नलिखित गुणों का भी उपयोग किया जाता है: y = a x , a > 0, a1:

एक शक्ति के रूप में एक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए, मूल लघुगणकीय पहचान का उपयोग किया जाता है: b = , a > 0, a1, b > 0।

"घातीय समीकरण" विषय पर कार्य और परीक्षण

• घातीय समीकरण

  पाठ: 4 सत्रीय कार्य: 21 परीक्षाएं: 1

• घातीय समीकरण - गणित में परीक्षा दोहराने के लिए महत्वपूर्ण विषय

  कार्य: 14

• घातीय और लघुगणकीय समीकरणों की प्रणाली - घातीय और लघुगणक कार्य ग्रेड 11

  पाठ: 1 सत्रीय कार्य: 15 टेस्ट: 1

• §2.1। घातीय समीकरणों का समाधान

  पाठ: 1 सत्रीय कार्य: 27

• §7 घातीय और लघुगणक समीकरण और असमानताएं - धारा 5. घातीय और लघुगणक कार्य ग्रेड 10

  पाठ: 1 सत्रीय कार्य: 17

घातीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको घातों के मूल गुणों, घातीय फलन के गुणों और मूल लघुगणकीय पहचान को जानना चाहिए।

घातीय समीकरणों को हल करते समय, दो मुख्य विधियों का उपयोग किया जाता है:

1. समीकरण a f(x) = a g(x) से समीकरण f(x) = g(x) में संक्रमण;
2. नई लाइनों की शुरूआत।

उदाहरण।

1. सरलतम को कम करने वाले समीकरण। उन्हें समीकरण के दोनों पक्षों को समान आधार वाली घात में लाकर हल किया जाता है।

3x \u003d 9x - 2।

समाधान:

3 एक्स \u003d (3 2) एक्स - 2;
3x = 3 2x - 4;
एक्स = 2x -4;
एक्स = 4।

उत्तर: 4.

2. उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक में लगाकर हल किए गए समीकरण।

समाधान:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 एक्स - 2 एक्स 8 = 24
3 एक्स - 2 = 3
एक्स - 2 = 1
एक्स = 3।

उत्तर: 3.

3. चर के परिवर्तन द्वारा हल किए गए समीकरण।

समाधान:

2 2x + 2 x - 12 = 0
हम 2 x \u003d y को निरूपित करते हैं।
वाई 2 + वाई - 12 = 0
वाई 1 = - 4; वाई 2 = 3।
a) 2 x = - 4. समीकरण का कोई हल नहीं है, क्योंकि 2 एक्स > 0।
बी) 2 एक्स = 3; 2 एक्स = 2 लॉग 2 3; एक्स = लॉग 2 3।

उत्तर:लॉग 2 3.

4. दो अलग-अलग (एक दूसरे के लिए कम नहीं) आधारों वाली शक्तियों वाले समीकरण।

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2।

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 एक्स - 2 × 23 = 5 एक्स - 2
×23
2 एक्स - 2 = 5 एक्स - 2
(5/2) x– 2 = 1
एक्स - 2 = 0
एक्स = 2।

उत्तर: 2.

5. समीकरण जो a x और b x के संबंध में सजातीय हैं।

सामान्य फ़ॉर्म: ।

9 x + 4 x = 2.5 x 6 x।

समाधान:

3 2x – 2.5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2.5 × (3/2) x + 1 = 0।
निरूपित करें (3/2) x = y।
वाई 2 - 2.5y + 1 \u003d 0,
वाई 1 = 2; y2 = ½।

उत्तर:लॉग 3/2 2; - लॉग 3/2 2।

घातीय समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उनके लिए जो "बहुत अधिक ...")

क्या हुआ है घातीय समीकरण? यह एक समीकरण है जिसमें अज्ञात (x) और उनके साथ व्यंजक हैं संकेतककुछ डिग्री। और केवल वहाँ! क्या यह महत्वपूर्ण है।

वहां आप हैं घातीय समीकरणों के उदाहरण:

3 x 2 x = 8 x + 3

टिप्पणी! डिग्री के आधार में (नीचे) - केवल संख्याएँ. में संकेतकडिग्री (ऊपर) - एक्स के साथ भावों की एक विस्तृत विविधता। यदि, अचानक, एक्स संकेतक के अलावा कहीं और समीकरण में प्रकट होता है, उदाहरण के लिए:

यह मिश्रित प्रकार का समीकरण होगा। ऐसे समीकरणों को हल करने के स्पष्ट नियम नहीं होते। अभी हम उन पर विचार नहीं करेंगे। यहां हम निपटेंगे घातीय समीकरणों का समाधानअपने शुद्धतम रूप में।

वास्तव में, शुद्ध घातीय समीकरण भी हमेशा स्पष्ट रूप से हल नहीं होते हैं। लेकिन कुछ प्रकार के घातीय समीकरण हैं जिन्हें हल किया जा सकता है और किया जाना चाहिए। ये वे प्रकार हैं जिन्हें हम देख रहे होंगे।

सबसे सरल घातीय समीकरणों का समाधान।

आइए कुछ बहुत ही बुनियादी बात से शुरू करें। उदाहरण के लिए:

बिना किसी सिद्धांत के भी, सरल चयन से यह स्पष्ट है कि x = 2. और कुछ नहीं, सही !? कोई अन्य x मान रोल नहीं करता है। और अब आइए इस पेचीदा घातीय समीकरण के हल को देखें:

हमने क्या किया है? हम, वास्तव में, बस एक ही बॉटम्स (ट्रिपल) को बाहर फेंक देते हैं। पूरी तरह से बाहर कर दिया। और, क्या अच्छा है, निशान मारो!

दरअसल, अगर घातीय समीकरण में बाईं ओर और दाईं ओर हैं जो उसीकिसी भी डिग्री में संख्या, इन नंबरों को हटाया जा सकता है और समान घातांक। गणित अनुमति देता है। यह बहुत सरल समीकरण को हल करने के लिए बना हुआ है। यह अच्छा है, है ना?)

हालांकि, आइए विडंबना याद रखें: आप आधारों को तभी हटा सकते हैं जब बाएँ और दाएँ आधार संख्याएँ शानदार अलगाव में हों!बिना किसी पड़ोसी और गुणांक के। आइए समीकरणों में कहते हैं:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , या

आप डबल्स नहीं निकाल सकते!

ठीक है, हम सबसे महत्वपूर्ण बात में महारत हासिल कर चुके हैं। दुष्ट घातीय व्यंजकों से सरल समीकरणों की ओर कैसे बढ़ें।

"यहाँ वे समय हैं!" - आप बताओ। "नियंत्रण और परीक्षा पर इतना आदिम कौन देगा!"

सहमत होने के लिए मजबूर। कोई नहीं होगा। लेकिन अब आप जानते हैं कि भ्रमित करने वाले उदाहरणों को हल करते समय कहां जाना है। इसे ध्यान में रखना जरूरी है, जब वही आधार संख्या बाईं ओर - दाईं ओर हो। तब सब आसान हो जाएगा। दरअसल, यह गणित का क्लासिक्स है। हम मूल उदाहरण लेते हैं और इसे वांछित में बदल देते हैं हमदिमाग। गणित के नियमों के अनुसार, बिल्कुल।

उन उदाहरणों पर विचार करें जिन्हें उन्हें सरलतम रूप में लाने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयासों की आवश्यकता होती है। चलो उन्हें बुलाओ सरल घातीय समीकरण।

सरल घातीय समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

घातीय समीकरणों को हल करते समय, मुख्य नियम हैं शक्तियों के साथ कार्रवाई।इन कार्यों के ज्ञान के बिना कुछ भी काम नहीं करेगा।

डिग्री वाले कार्यों के लिए, व्यक्तिगत अवलोकन और सरलता को जोड़ना चाहिए। क्या हमें समान आधार संख्याओं की आवश्यकता है? इसलिए हम उन्हें एक स्पष्ट या एन्क्रिप्टेड रूप में उदाहरण में ढूंढ रहे हैं।

आइए देखें कि यह व्यवहार में कैसे किया जाता है?

आइए हमें एक उदाहरण दें:

2 2x - 8 x+1 = 0

पहली नज़र मैदान।वे... वे अलग हैं! दो और आठ। लेकिन अभी निराश होना जल्दबाजी होगी। इसे याद करने का समय आ गया है

दो और आठ डिग्री के रिश्तेदार हैं।) इसे लिखना काफी संभव है:

8 x+1 = (2 3) x+1

यदि हम शक्तियों के साथ क्रियाओं के सूत्र को याद करते हैं:

(एन) एम = एक एनएम,

यह आम तौर पर बहुत अच्छा काम करता है:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

मूल उदाहरण ऐसा दिखाई देता है:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

हम हस्तांतरण 2 3 (एक्स+1)दाईं ओर (किसी ने गणित की प्रारंभिक क्रियाओं को रद्द नहीं किया!), हमें मिलता है:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

व्यावहारिक रूप से बस इतना ही। ठिकानों को हटाना:

हम इस राक्षस को हल करते हैं और प्राप्त करते हैं

यह सही जवाब है।

इस उदाहरण में, दो की शक्तियों को जानने से हमें मदद मिली। हम पहचान कीआठ में, एन्क्रिप्टेड ड्यूस। यह तकनीक (विभिन्न संख्याओं के तहत सामान्य आधारों को कूटबद्ध करना) घातीय समीकरणों में एक बहुत लोकप्रिय चाल है! हाँ, लघुगणक में भी। संख्याओं में अन्य संख्याओं की शक्तियों को पहचानने में सक्षम होना चाहिए। घातीय समीकरणों को हल करने के लिए यह अत्यंत महत्वपूर्ण है।

तथ्य यह है कि किसी संख्या को किसी भी घात तक बढ़ाना कोई समस्या नहीं है। गुणा करें, कागज के एक टुकड़े पर भी, और बस इतना ही। उदाहरण के लिए, हर कोई 3 को पाँचवीं शक्ति तक बढ़ा सकता है। यदि आप गुणा तालिका जानते हैं तो 243 निकलेगा।) लेकिन घातीय समीकरणों में, अधिक बार यह आवश्यक है कि किसी शक्ति को न बढ़ाया जाए, बल्कि इसके विपरीत ... किस संख्या में किस हद तक 243 नंबर के पीछे छिपा है, या कहें, 343... यहां कोई कैलकुलेटर आपकी मदद नहीं करेगा।

आपको कुछ संख्याओं की शक्तियों को दृष्टि से जानने की आवश्यकता है, हाँ ... क्या हम अभ्यास करें?

निर्धारित करें कि कौन सी शक्तियाँ और कौन सी संख्याएँ संख्याएँ हैं:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

उत्तर (बेशक गड़बड़ी में!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

अगर आप गौर से देखेंगे तो आपको एक अजीबोगरीब तथ्य नजर आएगा। सवालों से ज्यादा जवाब हैं! खैर, ऐसा होता है... उदाहरण के लिए, 2 6 , 4 3 , 8 2 सभी 64 है।

आइए मान लें कि आपने संख्याओं से परिचित होने की जानकारी पर ध्यान दिया है।) मैं आपको याद दिला दूं कि घातीय समीकरणों को हल करने के लिए, हम आवेदन करते हैं पूरागणितीय ज्ञान का भंडार। निम्न-मध्यम वर्ग से भी शामिल है। आप सीधे हाई स्कूल नहीं गए, है ना?

उदाहरण के लिए, घातीय समीकरणों को हल करते समय, सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर रखना अक्सर मदद करता है (हैलो टू ग्रेड 7!) आइए एक उदाहरण देखें:

3 2x+4 -11 9 x = 210

और फिर, पहली नज़र - आधार पर! डिग्रियों के आधार अलग-अलग हैं ... तीन और नौ। और हम चाहते हैं कि वे वही रहें। ठीक है, इस मामले में इच्छा काफी संभव है!) क्योंकि:

9 x = (3 2) x = 3 2x

डिग्री के साथ क्रियाओं के समान नियमों के अनुसार:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

यह बहुत अच्छा है, आप लिख सकते हैं:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। तो, आगे क्या है !? तीनों को बाहर नहीं फेंका जा सकता ... गतिरोध?

बिल्कुल नहीं। सबसे सार्वभौमिक और शक्तिशाली निर्णय नियम को याद रखना सभीगणित कार्य:

यदि आप नहीं जानते कि क्या करना है, तो वह करें जो आप कर सकते हैं!

तुम देखो, सब कुछ बनता है)।

इस घातीय समीकरण में क्या है कर सकनाकरना? हाँ, बाईं ओर सीधे कोष्ठकों के लिए पूछता है! 3 2x का उभयनिष्ठ गुणक स्पष्ट रूप से इसका संकेत देता है। आइए कोशिश करें, और फिर हम देखेंगे:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

उदाहरण बेहतर और बेहतर होता रहता है!

हमें याद है कि आधारों को खत्म करने के लिए, हमें बिना किसी गुणांक के शुद्ध डिग्री की आवश्यकता होती है। 70 नंबर हमें परेशान करता है। इसलिए हम समीकरण के दोनों पक्षों को 70 से विभाजित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

ओप-पा! सब ठीक हो गया है!

यह अंतिम उत्तर है।

हालाँकि, ऐसा होता है कि समान आधार पर टैक्सीिंग प्राप्त की जाती है, लेकिन उनका परिसमापन नहीं होता है। यह दूसरे प्रकार के चरघातांकी समीकरणों में होता है। आइए इस प्रकार को प्राप्त करें।

घातीय समीकरणों को हल करने में चर का परिवर्तन। उदाहरण।

आइए समीकरण को हल करें:

4 x - 3 2 x +2 = 0

पहला - हमेशा की तरह। चलिए बेस पर चलते हैं। ड्यूस को।

4 x = (2 2) x = 2 2x

हमें समीकरण मिलता है:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

और यहाँ हम लटकेंगे। पिछली तरकीबें काम नहीं करेंगी, चाहे आप इसे कैसे भी घुमाएँ। हमें शस्त्रागार से एक और शक्तिशाली और बहुमुखी तरीके से प्राप्त करना होगा। यह कहा जाता है परिवर्तनीय प्रतिस्थापन।

विधि का सार आश्चर्यजनक रूप से सरल है। एक जटिल आइकन (हमारे मामले में, 2 x) के बजाय, हम एक और, सरल एक (उदाहरण के लिए, टी) लिखते हैं। ऐसा प्रतीत होता है कि अर्थहीन प्रतिस्थापन आश्चर्यजनक परिणाम देता है!) सब कुछ स्पष्ट और समझने योग्य हो जाता है!

तो चलो

फिर 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d टी 2

हम अपने समीकरण में x की सभी शक्तियों को t से प्रतिस्थापित करते हैं:

खैर, यह शुरू हो गया है?) अभी तक द्विघात समीकरणों को नहीं भूले हैं? हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं, हमें मिलता है:

यहाँ, मुख्य बात यह नहीं है कि रुकना है, जैसा कि होता है ... यह अभी तक उत्तर नहीं है, हमें x की आवश्यकता है, t की नहीं। हम एक्स पर लौटते हैं, यानी। एक प्रतिस्थापन बनाना। पहले टी 1 के लिए:

वह है,

एक जड़ मिली। हम दूसरे की तलाश कर रहे हैं, टी 2 से:

उम... लेफ्ट 2 x, राइट 1... एक अड़चन? हाँ, बिलकुल नहीं! यह याद रखने के लिए पर्याप्त है (डिग्री के साथ क्रियाओं से, हाँ ...) कि एकता है कोईसंख्या से शून्य। कोई भी। आपको जो भी चाहिए, हम लगा देंगे। हमें दो चाहिए। साधन:

अब बस इतना ही। 2 जड़ें मिलीं:

यह उत्तर है।

पर घातीय समीकरणों को हल करनाअंत में, कुछ अजीब अभिव्यक्ति कभी-कभी प्राप्त होती है। प्रकार:

सात से, एक साधारण डिग्री के माध्यम से काम नहीं करता है। वे रिश्तेदार नहीं हैं... मैं यहां कैसे हो सकता हूं? कोई भ्रमित हो सकता है ... लेकिन वह व्यक्ति जो इस साइट पर "लघुगणक क्या है?" विषय पढ़ता है। , केवल संयम से मुस्कुराएं और दृढ़ हाथ से बिल्कुल सही उत्तर लिखें:

परीक्षा में कार्य "बी" में ऐसा कोई उत्तर नहीं हो सकता है। एक विशिष्ट संख्या आवश्यक है। लेकिन कार्यों में "सी" - आसानी से।

यह पाठ सबसे सामान्य घातीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण प्रदान करता है। आइए मुख्य को हाइलाइट करें।

व्यावहारिक सुझाव:

1. सबसे पहले हम देखते हैं मैदानडिग्री। आइए देखें कि क्या उन्हें नहीं किया जा सकता है जो उसी।आइए इसे सक्रिय रूप से उपयोग करके करने का प्रयास करें शक्तियों के साथ कार्रवाई।यह मत भूलो कि x के बिना संख्याओं को भी शक्तियों में बदला जा सकता है!

2. हम घातीय समीकरण को उस रूप में लाने का प्रयास करते हैं जब बाएँ और दाएँ हैं जो उसीसंख्या किसी भी डिग्री के लिए। हम उपयोग करते हैं शक्तियों के साथ कार्रवाईऔर गुणनखंडन।संख्याओं में क्या गिना जा सकता है - हम गिनते हैं।

3. यदि दूसरी सलाह काम नहीं करती है, तो हम चर प्रतिस्थापन लागू करने का प्रयास करते हैं। नतीजा एक समीकरण हो सकता है जिसे आसानी से हल किया जा सकता है। बहुधा - वर्ग। या भिन्नात्मक, जो एक वर्ग में भी कम हो जाता है।

4. घातीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको "दृष्टि से" कुछ संख्याओं की डिग्री जानने की आवश्यकता है।

हमेशा की तरह, पाठ के अंत में आपको थोड़ा हल करने के लिए आमंत्रित किया जाता है।) अपने दम पर। सरल से जटिल तक।

घातीय समीकरणों को हल करें:

अधिक मुश्किल:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 एक्स - 8 3 एक्स = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

जड़ों का उत्पाद खोजें:

2 3-x + 2 x = 9

घटित?

खैर, फिर सबसे जटिल उदाहरण (यह हल हो गया है, हालांकि, दिमाग में ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

क्या अधिक दिलचस्प है? तो यहां आपके लिए एक बुरा उदाहरण है। बढ़ी हुई कठिनाई पर काफी खींच रहा है। मैं संकेत दूंगा कि इस उदाहरण में, सभी गणितीय कार्यों को हल करने के लिए सरलता और सबसे सार्वभौमिक नियम बचाता है।)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

विश्राम के लिए एक उदाहरण सरल है):

9 2 एक्स - 4 3 एक्स = 0

और डेज़र्ट के लिए। समीकरण के मूलों का योग ज्ञात कीजिए:

एक्स 3 एक्स - 9एक्स + 7 3 एक्स - 63 = 0

हां हां! यह एक मिश्रित प्रकार का समीकरण है! जिन पर हमने इस पाठ में विचार नहीं किया। और उन्हें क्या माना जाए, उन्हें हल करने की आवश्यकता है!) समीकरण को हल करने के लिए यह पाठ काफी है। खैर, सरलता की जरूरत है ... और हां, सातवीं कक्षा आपकी मदद करेगी (यह एक संकेत है!) ।

उत्तर (अव्यवस्था में, अर्धविराम द्वारा अलग किए गए):

1; 2; 3; 4; कोई समाधान नहीं है; 2; -2; -5; 4; 0.

क्या सब कुछ सफल है? महान।

एक समस्या है? कोई बात नहीं! विशेष खंड 555 में, इन सभी घातीय समीकरणों को विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ हल किया गया है। क्या, क्यों और क्यों। और, ज़ाहिर है, सभी प्रकार के घातीय समीकरणों के साथ काम करने पर अतिरिक्त मूल्यवान जानकारी है। इनके साथ ही नहीं।)

विचार करने के लिए एक आखिरी मजेदार सवाल। इस पाठ में, हमने चरघातांकी समीकरणों के साथ काम किया। मैंने यहाँ ODZ के बारे में एक शब्द भी क्यों नहीं कहा?समीकरणों में यह बहुत महत्वपूर्ण बात है, वैसे...

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