समतल पर सीधी रेखा की सबसे सरल समस्याएँ। रेखाओं की सापेक्ष स्थिति

आइए हमें एक निश्चित सीधी रेखा दी जाए, जो एक रैखिक समीकरण द्वारा परिभाषित हो, और एक बिंदु, जो इसके निर्देशांक (x0, y0) द्वारा परिभाषित हो और इस रेखा पर न हो। एक ऐसा बिंदु ढूंढना आवश्यक है जो किसी दी गई सीधी रेखा के बारे में दिए गए बिंदु के सममित हो, यानी, यदि विमान मानसिक रूप से इस सीधी रेखा के साथ आधे में झुका हुआ है तो इसके साथ मेल खाएगा।

निर्देश

1. यह स्पष्ट है कि दोनों बिंदु - दिए गए और वांछित - एक ही रेखा पर स्थित होने चाहिए, और यह रेखा दिए गए बिंदु के लंबवत होनी चाहिए। इस प्रकार, समस्या का पहला भाग एक ऐसी रेखा के समीकरण की खोज करना है जो किसी दी गई रेखा पर लंबवत होगी और साथ ही किसी दिए गए बिंदु से होकर गुजरेगी।

2. एक सीधी रेखा को दो प्रकार से निर्दिष्ट किया जा सकता है। एक रेखा का विहित समीकरण इस तरह दिखता है: Ax + By + C = 0, जहां A, B और C स्थिरांक हैं। आप एक रैखिक फ़ंक्शन का उपयोग करके एक सीधी रेखा भी निर्धारित कर सकते हैं: y = kx + b, जहां k कोणीय घातांक है, b विस्थापन है। ये दो विधियां विनिमेय हैं, और आप एक से दूसरे में जा सकते हैं। यदि Ax + By + C = 0, तो y = – (Ax + C)/B. दूसरे शब्दों में, एक रैखिक फलन y = kx + b में, कोणीय घातांक k = -A/B, और विस्थापन b = -C/B है। मौजूदा कार्य के लिए, सीधी रेखा के विहित समीकरण के आधार पर तर्क करना अधिक आरामदायक है।

3. यदि दो रेखाएँ एक दूसरे के लंबवत हैं, और पहली रेखा का समीकरण Ax + By + C = 0 है, तो दूसरी रेखा का समीकरण Bx – Ay + D = 0 जैसा दिखना चाहिए, जहाँ D एक स्थिरांक है। डी के एक निश्चित मान का पता लगाने के लिए, यह अतिरिक्त रूप से जानना आवश्यक है कि लंबवत रेखा किस बिंदु से होकर गुजरती है। इस मामले में, यह बिंदु (x0, y0) है। नतीजतन, D को समानता को संतुष्ट करना होगा: Bx0 - Ay0 + D = 0, यानी, D = Ay0 - Bx0।

4. लंबवत रेखा की खोज हो जाने के बाद, दिए गए रेखा के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक की गणना करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. इसका समाधान संख्याएँ (x1, y1) देगा, जो निर्देशांक के रूप में कार्य करता है रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु.

5. वांछित बिंदु ज्ञात रेखा पर स्थित होना चाहिए, और प्रतिच्छेदन बिंदु से इसकी दूरी प्रतिच्छेदन बिंदु से बिंदु (x0, y0) की दूरी के बराबर होनी चाहिए। बिंदु (x0, y0) के सममित बिंदु के निर्देशांक इस प्रकार समीकरणों की प्रणाली को हल करके पाए जा सकते हैं: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. लेकिन आप इसे आसानी से कर सकते हैं. यदि बिंदु (x0, y0) और (x, y) बिंदु (x1, y1) से समान दूरी पर हैं, और तीनों बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो: x - x1 = x1 - x0,y - y1 = y1 – y0 परिणामस्वरूप, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. इन मानों को पहली प्रणाली के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करके और अभिव्यक्तियों को सरल बनाकर, यह सुनिश्चित करना आसान है कि इसका दाहिना भाग बाएँ के समान हो जाए। इसके अलावा, पहले समीकरण पर आगे विचार करने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि यह ज्ञात है कि बिंदु (x0, y0) और (x1, y1) इसे संतुष्ट करते हैं, और बिंदु (x, y) स्पष्ट रूप से एक ही रेखा पर स्थित है .

समस्या का निरूपण. किसी बिंदु के सममित बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए विमान के सापेक्ष.

समाधान योजना.

1. उस सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो किसी दिए गए तल पर लंबवत है और बिंदु से होकर गुजरती है . चूँकि एक सीधी रेखा किसी दिए गए विमान के लंबवत होती है, तो विमान के सामान्य वेक्टर को इसके दिशा वेक्टर के रूप में लिया जा सकता है, अर्थात।

.

अत: सीधी रेखा का समीकरण होगा

.

2. बिंदु खोजें एक सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन और विमान (समस्या 13 देखें)।

3. बिंदु उस खंड का मध्यबिंदु है जहां बिंदु है बिंदु के सममित बिंदु है , इसीलिए

समस्या 14. समतल के सापेक्ष बिंदु के सममित बिंदु का पता लगाएं।

किसी दिए गए तल के लंबवत बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण होगा:

.

आइए रेखा और तल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।

कहाँ - एक रेखा और एक समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु, इसलिए खंड का मध्य है

वे। .

सजातीय समतल निर्देशांक. विमान पर एफ़िन परिवर्तन।

होने देना एम एक्सऔर पर

एम(एक्स, परमॅई (एक्स, पर, 1) अंतरिक्ष में (चित्र 8)।

मॅई (एक्स, पर

मॅई (एक्स, पर हू.

(एचएक्स, हाई, एच), एच  0,

टिप्पणी

एच(उदाहरण के लिए, एच

दरअसल, विचार कर रहे हैं एच

टिप्पणी

उदाहरण 1।

बी) एक कोण पर (चित्र 9)।

पहला कदम.

दूसरा चरण.कोण  द्वारा घुमाएँ

संबंधित परिवर्तन का मैट्रिक्स।

तीसरा चरण.वेक्टर ए(ए) में स्थानांतरण, बी)

संबंधित परिवर्तन का मैट्रिक्स।

उदाहरण 3

 x-अक्ष के अनुदिश और

पहला कदम.

संबंधित परिवर्तन का मैट्रिक्स।

दूसरा चरण.

तीसरा चरण.

हम अंततः इसे प्राप्त कर लेंगे

टिप्पणी

[आर],[डी],[एम],[टी],

होने देना एम- निर्देशांक के साथ विमान का मनमाना बिंदु एक्सऔर पर, किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली के सापेक्ष गणना की गई। इस बिंदु के सजातीय निर्देशांक एक साथ गैर-शून्य संख्याओं x 1, x 2, x 3 का कोई त्रिक हैं, जो निम्नलिखित संबंधों द्वारा दी गई संख्याओं x और y से संबंधित हैं:

कंप्यूटर ग्राफ़िक्स समस्याओं को हल करते समय, सजातीय निर्देशांक आमतौर पर निम्नानुसार दर्ज किए जाते हैं: एक मनमाने बिंदु पर एम(एक्स, पर) विमान को एक बिंदु दिया गया है मॅई (एक्स, पर, 1) अंतरिक्ष में (चित्र 8)।

ध्यान दें कि मूल बिंदु, बिंदु 0(0, 0, 0) को बिंदु से जोड़ने वाली रेखा पर एक मनमाना बिंदु मॅई (एक्स, पर, 1), रूप की संख्याओं के त्रिगुण द्वारा दिया जा सकता है (hx, hy, h)।

निर्देशांक hx, hy वाला वेक्टर बिंदु 0 (0, 0, 0) और को जोड़ने वाली सीधी रेखा का दिशा वेक्टर है मॅई (एक्स, पर, 1). यह रेखा z = 1 तल को बिंदु (x, y, 1) पर काटती है, जो निर्देशांक तल के बिंदु (x, y) को विशिष्ट रूप से परिभाषित करती है। हू.

इस प्रकार, निर्देशांक (x, y) के साथ एक मनमाना बिंदु और प्रपत्र की संख्याओं के त्रिगुणों के एक सेट के बीच

(एचएक्स, हाई, एच), एच  0,

एक (एक-से-एक) पत्राचार स्थापित किया गया है जो हमें इस बिंदु के नए निर्देशांक के रूप में संख्याओं hx, hy, h पर विचार करने की अनुमति देता है।

टिप्पणी

प्रक्षेप्य ज्यामिति में व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले, सजातीय निर्देशांक तथाकथित अनुचित तत्वों (अनिवार्य रूप से वे जिनमें प्रक्षेप्य विमान परिचित यूक्लिडियन विमान से भिन्न होता है) का प्रभावी ढंग से वर्णन करना संभव बनाते हैं। प्रस्तुत सजातीय निर्देशांक द्वारा प्रदान की गई नई संभावनाओं के बारे में अधिक विवरण इस अध्याय के चौथे खंड में चर्चा की गई है।

सजातीय निर्देशांक के लिए प्रक्षेप्य ज्यामिति में, निम्नलिखित अंकन स्वीकार किया जाता है:

x:y:1, या, अधिक सामान्यतः, X1:x2:x3

(याद रखें कि यहाँ यह नितांत आवश्यक है कि संख्याएँ x 1, x 2, x 3 एक ही समय में शून्य न हों)।

सरलतम समस्याओं को हल करते समय भी सजातीय निर्देशांक का उपयोग सुविधाजनक हो जाता है।

उदाहरण के लिए, पैमाने में परिवर्तन से संबंधित मुद्दों पर विचार करें। यदि डिस्प्ले डिवाइस केवल पूर्णांकों के साथ काम करता है (या यदि आपको केवल पूर्णांकों के साथ काम करने की आवश्यकता है), तो एक मनमाने मूल्य के लिए एच(उदाहरण के लिए, एच= 1) सजातीय निर्देशांक वाला एक बिंदु

कल्पना करना असंभव है. हालाँकि, h के उचित विकल्प के साथ, यह सुनिश्चित करना संभव है कि इस बिंदु के निर्देशांक पूर्णांक हैं। विशेष रूप से, हमारे पास विचाराधीन उदाहरण के लिए h = 10 है

आइए एक और मामले पर विचार करें। परिवर्तन परिणामों को अंकगणितीय अतिप्रवाह की ओर ले जाने से रोकने के लिए, निर्देशांक (80000 40000 1000) वाले एक बिंदु के लिए, आप उदाहरण के लिए, h=0.001 ले सकते हैं। परिणामस्वरूप हमें (80 40 1) प्राप्त होता है।

दिए गए उदाहरण गणना करते समय सजातीय निर्देशांक का उपयोग करने की उपयोगिता दिखाते हैं। हालाँकि, कंप्यूटर ग्राफिक्स में सजातीय निर्देशांक पेश करने का मुख्य उद्देश्य ज्यामितीय परिवर्तनों के अनुप्रयोग में उनकी निस्संदेह सुविधा है।

सजातीय निर्देशांक और तीसरे क्रम के आव्यूहों के त्रिगुणों का उपयोग करके, किसी समतल के किसी भी एफ़िन परिवर्तन का वर्णन किया जा सकता है।

दरअसल, विचार कर रहे हैं एच= 1, दो प्रविष्टियों की तुलना करें: प्रतीक * और निम्नलिखित, मैट्रिक्स के साथ चिह्नित:

यह देखना आसान है कि अंतिम संबंध के दाईं ओर के भावों को गुणा करने के बाद, हमें सूत्र (*) और सही संख्यात्मक समानता 1=1 दोनों प्राप्त होते हैं।

टिप्पणी

कभी-कभी साहित्य में एक और संकेतन का उपयोग किया जाता है - स्तंभ संकेतन:

यह अंकन उपरोक्त पंक्ति-दर-पंक्ति अंकन के समतुल्य है (और ट्रांसपोज़िंग द्वारा इसे प्राप्त किया जाता है)।

एक मनमाना एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन मैट्रिक्स के तत्वों का कोई स्पष्ट ज्यामितीय अर्थ नहीं होता है। इसलिए, इस या उस मैपिंग को लागू करने के लिए, यानी किसी दिए गए ज्यामितीय विवरण के अनुसार संबंधित मैट्रिक्स के तत्वों को खोजने के लिए, विशेष तकनीकों की आवश्यकता होती है। आमतौर पर, इस मैट्रिक्स का निर्माण, विचाराधीन समस्या की जटिलता और ऊपर वर्णित विशेष मामलों के अनुसार, कई चरणों में विभाजित है।

प्रत्येक चरण में, एक मैट्रिक्स खोजा जाता है जो उपरोक्त मामलों ए, बी, सी या डी में से एक या दूसरे से मेल खाता है, जिसमें अच्छी तरह से परिभाषित ज्यामितीय गुण होते हैं।

आइए हम संगत तृतीय-क्रम आव्यूहों को लिखें।

ए. रोटेशन मैट्रिक्स

बी. फैलाव मैट्रिक्स

बी. प्रतिबिंब मैट्रिक्स

डी. स्थानांतरण मैट्रिक्स (अनुवाद)

आइए विमान के एफ़िन परिवर्तनों के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1।

बिंदु A (a) के चारों ओर एक घूर्णन मैट्रिक्स का निर्माण करेंबी) एक कोण पर (चित्र 9)।

पहला कदम.निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ घूर्णन के केंद्र को संरेखित करने के लिए वेक्टर - ए (-ए, -बी) में स्थानांतरण;

संबंधित परिवर्तन का मैट्रिक्स।

दूसरा चरण.कोण  द्वारा घुमाएँ

संबंधित परिवर्तन का मैट्रिक्स।

तीसरा चरण.वेक्टर ए(ए) में स्थानांतरण, बी)घूर्णन के केंद्र को उसकी पिछली स्थिति में लौटाना;

संबंधित परिवर्तन का मैट्रिक्स।

आइए आव्यूहों को उसी क्रम में गुणा करें जिस क्रम में वे लिखे गए हैं:

परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि वांछित परिवर्तन (मैट्रिक्स नोटेशन में) इस तरह दिखेगा:

परिणामी मैट्रिक्स के तत्वों (विशेषकर अंतिम पंक्ति में) को याद रखना इतना आसान नहीं है। साथ ही, तीनों गुणित आव्यूहों में से प्रत्येक का निर्माण संबंधित मानचित्रण के ज्यामितीय विवरण से आसानी से किया जा सकता है।

उदाहरण 3

खिंचाव गुणांक के साथ एक खिंचाव मैट्रिक्स का निर्माण करें x-अक्ष के अनुदिश और कोटि अक्ष के अनुदिश और बिंदु A(a, b) पर केंद्र के साथ।

पहला कदम.निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ स्ट्रेचिंग सेंटर को संरेखित करने के लिए वेक्टर -ए(-ए, -बी) में स्थानांतरण;

संबंधित परिवर्तन का मैट्रिक्स।

दूसरा चरण.क्रमशः गुणांक  और  के साथ समन्वय अक्षों के साथ खिंचाव; परिवर्तन मैट्रिक्स का रूप है

तीसरा चरण.तनाव के केंद्र को उसकी पिछली स्थिति में वापस लाने के लिए वेक्टर ए(ए, बी) पर स्थानांतरण; संबंधित परिवर्तन का मैट्रिक्स -

आव्यूहों को उसी क्रम में गुणा करना

हम अंततः इसे प्राप्त कर लेंगे

टिप्पणी

इसी तरह से तर्क करना, यानी प्रस्तावित परिवर्तन को मैट्रिक्स द्वारा समर्थित चरणों में तोड़ना[आर],[डी],[एम],[टी], कोई भी इसके ज्यामितीय विवरण से किसी भी एफ़िन परिवर्तन का मैट्रिक्स बना सकता है।

शिफ्ट को जोड़ द्वारा कार्यान्वित किया जाता है, और स्केलिंग और रोटेशन को गुणन द्वारा कार्यान्वित किया जाता है।

स्केलिंग परिवर्तन (फैलाव) मूल के सापेक्ष रूप है:

या मैट्रिक्स रूप में:

कहाँ डीएक्स,डीयकुल्हाड़ियों के साथ स्केलिंग कारक हैं, और

- स्केलिंग मैट्रिक्स।

जब D > 1, विस्तार होता है, जब 0<=D<1- сжатие

घूर्णन परिवर्तन उत्पत्ति के सापेक्ष रूप है:

या मैट्रिक्स रूप में:

जहां φ घूर्णन का कोण है, और

- रोटेशन मैट्रिक्स.

टिप्पणी:रोटेशन मैट्रिक्स के कॉलम और पंक्तियाँ परस्पर ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर हैं। वास्तव में, पंक्ति सदिशों की लंबाई का वर्ग एक के बराबर होता है:

cosφ cosφ+sinφ synφ = 1 और (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

और पंक्ति सदिशों का अदिश गुणनफल है

cosφ (-sinφ) + synφ cosφ= 0.

चूँकि सदिशों का अदिश गुणनफल होता है ए · बी = |ए| ·| बी| ·cosψ, कहाँ | ए| - वेक्टर लंबाई ए, |बी| - वेक्टर लंबाई बी, और ψ उनके बीच सबसे छोटा सकारात्मक कोण है, तो लंबाई 1 के दो पंक्ति वैक्टर के अदिश उत्पाद की समानता 0 से यह पता चलता है कि उनके बीच का कोण 90 ° है।

ओह-ओह-ओह-ओह-ओह... ठीक है, यह कठिन है, जैसे कि वह खुद को एक वाक्य पढ़ रहा हो =) हालांकि, आराम बाद में मदद करेगा, खासकर जब से मैंने आज उपयुक्त सामान खरीदा है। इसलिए, आइए पहले खंड पर आगे बढ़ें, मुझे आशा है कि लेख के अंत तक मैं प्रसन्नचित्त मूड बनाए रखूंगा।

दो सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति

यह वह स्थिति है जब श्रोता समवेत स्वर में गाते हैं। दो सीधी रेखाएँ हो सकती हैं:

1) मिलान;

2) समानांतर रहें: ;

3) या एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करें: .

नौसिखियों के लिए सहायता : कृपया गणितीय प्रतिच्छेदन चिन्ह याद रखें, यह बहुत बार दिखाई देगा। अंकन का अर्थ है कि रेखा रेखा के साथ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।

दो रेखाओं की सापेक्ष स्थिति कैसे ज्ञात करें?

आइए पहले मामले से शुरू करें:

दो रेखाएँ संपाती होती हैं यदि और केवल यदि उनके संगत गुणांक आनुपातिक हों, अर्थात, एक संख्या "लैम्ब्डा" ऐसी है जिससे समानताएं संतुष्ट होती हैं

आइए सीधी रेखाओं पर विचार करें और संबंधित गुणांकों से तीन समीकरण बनाएं:। प्रत्येक समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि, इसलिए, ये रेखाएँ संपाती हैं।

दरअसल, यदि समीकरण के सभी गुणांक -1 से गुणा करें (चिह्न बदलें), और समीकरण के सभी गुणांक 2 से घटाने पर आपको वही समीकरण प्राप्त होता है:।

दूसरा मामला, जब रेखाएँ समानांतर हों:

दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि और केवल यदि उनके चरों के गुणांक आनुपातिक हों: , लेकिन.

उदाहरण के तौर पर, दो सीधी रेखाओं पर विचार करें। हम चरों के लिए संगत गुणांकों की आनुपातिकता की जाँच करते हैं:

हालाँकि, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि.

और तीसरा मामला, जब रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं:

दो रेखाएँ तभी प्रतिच्छेद करती हैं जब उनके चरों के गुणांक आनुपातिक न हों, अर्थात्, "लैम्ब्डा" का कोई ऐसा मूल्य नहीं है जिससे समानताएँ संतुष्ट हों

तो, सीधी रेखाओं के लिए हम एक प्रणाली बनाएंगे:

पहले समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि, और दूसरे समीकरण से:, जिसका अर्थ है प्रणाली असंगत है(कोई समाधान नहीं). इस प्रकार, चरों के गुणांक आनुपातिक नहीं हैं।

निष्कर्ष: रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं

व्यावहारिक समस्याओं में, आप अभी चर्चा की गई समाधान योजना का उपयोग कर सकते हैं। वैसे, यह संरेखता के लिए वैक्टर की जाँच के लिए एल्गोरिदम की बहुत याद दिलाता है, जिसे हमने कक्षा में देखा था सदिशों की रैखिक (इन)निर्भरता की अवधारणा। सदिशों का आधार. लेकिन एक अधिक सभ्य पैकेजिंग भी है:

उदाहरण 1

रेखाओं की सापेक्ष स्थिति ज्ञात कीजिए:

समाधानसीधी रेखाओं के दिशा सदिशों के अध्ययन के आधार पर:

ए) समीकरणों से हम रेखाओं के दिशा सदिश ज्ञात करते हैं: .

, जिसका अर्थ है कि सदिश संरेख नहीं हैं और रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

बस किसी मामले में, मैं चौराहे पर संकेतों वाला एक पत्थर रखूंगा:

बाकी लोग पत्थर पर कूदते हैं और आगे बढ़ते हैं, सीधे काशी द इम्मोर्टल की ओर =)

बी) रेखाओं के दिशा सदिश ज्ञात कीजिए:

रेखाओं का दिशा सदिश समान है, जिसका अर्थ है कि वे या तो समानांतर हैं या संपाती हैं। यहां निर्धारक को गिनने की कोई आवश्यकता नहीं है।

यह स्पष्ट है कि अज्ञात के गुणांक आनुपातिक हैं, और।

आइए जानें कि क्या समानता सत्य है:

इस प्रकार,

ग) रेखाओं के दिशा सदिश ज्ञात कीजिए:

आइए इन सदिशों के निर्देशांकों से बने निर्धारक की गणना करें:
, इसलिए, दिशा सदिश संरेख हैं। रेखाएँ या तो समानांतर होती हैं या संपाती होती हैं।

आनुपातिकता गुणांक "लैम्ब्डा" को सीधे कोलिनियर दिशा वैक्टर के अनुपात से देखना आसान है। हालाँकि, इसे स्वयं समीकरणों के गुणांकों के माध्यम से भी पाया जा सकता है: .

अब आइए जानें कि क्या समानता सत्य है। दोनों मुक्त पद शून्य हैं, इसलिए:

परिणामी मान इस समीकरण को संतुष्ट करता है (सामान्य तौर पर कोई भी संख्या इसे संतुष्ट करती है)।

इस प्रकार, रेखाएँ मेल खाती हैं।

उत्तर:

बहुत जल्द आप मौखिक रूप से चर्चा की गई समस्या को कुछ ही सेकंड में शाब्दिक रूप से हल करना सीख जाएंगे (या पहले ही सीख चुके हैं)। इस संबंध में, मुझे स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ भी पेश करने का कोई मतलब नहीं दिखता; ज्यामितीय नींव में एक और महत्वपूर्ण ईंट रखना बेहतर है:

किसी दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा कैसे बनाएं?

इस सरलतम कार्य की अज्ञानता के लिए, नाइटिंगेल द रॉबर गंभीर रूप से दंडित करता है।

उदाहरण 2

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। बिंदु से गुजरने वाली समानांतर रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।

समाधान: आइए अज्ञात रेखा को अक्षर से निरूपित करें। स्थिति उसके बारे में क्या कहती है? सीधी रेखा बिंदु से होकर गुजरती है। और यदि रेखाएँ समानांतर हैं, तो यह स्पष्ट है कि सीधी रेखा "त्से" का दिशा वेक्टर भी सीधी रेखा "डी" के निर्माण के लिए उपयुक्त है।

हम समीकरण से दिशा वेक्टर निकालते हैं:

उत्तर:

उदाहरण ज्यामिति सरल दिखती है:

विश्लेषणात्मक परीक्षण में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1) हम जाँचते हैं कि रेखाओं का दिशा सदिश समान है (यदि रेखा के समीकरण को ठीक से सरल नहीं किया गया है, तो सदिश संरेख होंगे)।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है।

ज्यादातर मामलों में, विश्लेषणात्मक परीक्षण आसानी से मौखिक रूप से किया जा सकता है। दोनों समीकरणों को देखें, और आप में से कई लोग बिना किसी रेखांकन के तुरंत ही रेखाओं की समानता निर्धारित कर लेंगे।

आज स्वतंत्र समाधान के उदाहरण रचनात्मक होंगे। क्योंकि आपको अभी भी बाबा यगा से प्रतिस्पर्धा करनी होगी, और वह, आप जानते हैं, सभी प्रकार की पहेलियों की प्रेमी है।

उदाहरण 3

यदि रेखा के समांतर किसी बिंदु से होकर गुजरने वाली रेखा के लिए एक समीकरण लिखें

इसे हल करने का एक तर्कसंगत और उतना तर्कसंगत तरीका नहीं है। सबसे छोटा रास्ता पाठ के अंत में है।

हमने समानांतर रेखाओं के साथ थोड़ा काम किया और बाद में उन पर लौटेंगे। संपाती रेखाओं का मामला कम दिलचस्प है, तो आइए एक ऐसी समस्या पर विचार करें जो स्कूली पाठ्यक्रम से आपको बहुत परिचित है:

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे ज्ञात करें?

अगर सीधा है बिंदु पर प्रतिच्छेद करें, तो इसके निर्देशांक समाधान हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली

रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे ज्ञात करें? सिस्टम को हल करें.

हेयर यू गो दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का ज्यामितीय अर्थ- ये एक समतल पर दो प्रतिच्छेदी (अक्सर) रेखाएँ होती हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए

समाधान: हल करने के दो तरीके हैं - ग्राफिकल और विश्लेषणात्मक।

ग्राफ़िकल विधि में केवल दी गई रेखाएँ खींचना और चित्र से सीधे प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाना है:

यहाँ हमारी बात है: . जांचने के लिए, आपको रेखा के प्रत्येक समीकरण में इसके निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना चाहिए, उन्हें वहां और वहां दोनों जगह फिट होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु के निर्देशांक प्रणाली का एक समाधान हैं। मूलतः, हमने एक ग्राफ़िकल समाधान पर ध्यान दिया रैखिक समीकरणों की प्रणालीदो समीकरणों, दो अज्ञात के साथ।

बेशक, ग्राफ़िकल विधि ख़राब नहीं है, लेकिन इसमें ध्यान देने योग्य नुकसान भी हैं। नहीं, बात यह नहीं है कि सातवीं कक्षा के छात्र इस तरह निर्णय लेते हैं, बात यह है कि एक सही और सटीक ड्राइंग बनाने में समय लगेगा। इसके अलावा, कुछ सीधी रेखाओं का निर्माण करना इतना आसान नहीं है, और प्रतिच्छेदन बिंदु स्वयं नोटबुक शीट के बाहर तीसवें साम्राज्य में कहीं स्थित हो सकता है।

इसलिए, विश्लेषणात्मक पद्धति का उपयोग करके प्रतिच्छेदन बिंदु की खोज करना अधिक समीचीन है। आइए सिस्टम को हल करें:

प्रणाली को हल करने के लिए, समीकरणों को पद-दर-पद जोड़ने की विधि का उपयोग किया गया था। प्रासंगिक कौशल विकसित करने के लिए, एक सबक लें समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें?

उत्तर:

जाँच तुच्छ है - प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक को सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।

उदाहरण 5

यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं तो उनका प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। कार्य को कई चरणों में विभाजित करना सुविधाजनक है। स्थिति के विश्लेषण से पता चलता है कि यह आवश्यक है:
1) सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।
2) सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।
3) रेखाओं की सापेक्ष स्थिति ज्ञात कीजिए।
4) यदि रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करें।

एक क्रिया एल्गोरिदम का विकास कई ज्यामितीय समस्याओं के लिए विशिष्ट है, और मैं बार-बार इस पर ध्यान केंद्रित करूंगा।

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर:

पाठ के दूसरे भाग तक पहुंचने से पहले एक जोड़ी जूते भी खराब नहीं हुए थे:

लम्बवत रेखायें। एक बिंदु से एक रेखा की दूरी.
सीधी रेखाओं के बीच का कोण

आइए एक विशिष्ट और बहुत महत्वपूर्ण कार्य से शुरुआत करें। पहले भाग में, हमने सीखा कि इसके समानांतर एक सीधी रेखा कैसे बनाई जाती है, और अब मुर्गे की टांगों पर झोपड़ी 90 डिग्री घूम जाएगी:

किसी दिए गए पर लंबवत रेखा कैसे बनाएं?

उदाहरण 6

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। बिंदु से गुजरने वाली रेखा पर लंबवत एक समीकरण लिखें।

समाधान: शर्त से पता चलता है कि. रेखा का निर्देशन सदिश ढूंढ़ना अच्छा रहेगा। चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं, चाल सरल है:

समीकरण से हम सामान्य वेक्टर को "हटाते हैं":, जो सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर होगा।

आइए एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण बनाएं:

उत्तर:

आइए ज्यामितीय रेखाचित्र का विस्तार करें:

हम्म्म... नारंगी आकाश, नारंगी समुद्र, नारंगी ऊँट।

समाधान का विश्लेषणात्मक सत्यापन:

1) हम समीकरणों से दिशा सदिश निकालते हैं और मदद से सदिशों का अदिश गुणनफलहम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि रेखाएँ वास्तव में लंबवत हैं:।

वैसे, आप सामान्य वैक्टर का उपयोग कर सकते हैं, यह और भी आसान है।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है .

परीक्षण, फिर से, मौखिक रूप से करना आसान है।

उदाहरण 7

यदि समीकरण ज्ञात है तो लंब रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए और अवधि.

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। समस्या में कई क्रियाएं होती हैं, इसलिए बिंदुवार समाधान तैयार करना सुविधाजनक होता है।

हमारी रोमांचक यात्रा जारी है:

बिंदु से रेखा की दूरी

हमारे सामने नदी की एक सीधी पट्टी है और हमारा काम सबसे छोटे रास्ते से उस तक पहुँचना है। कोई बाधा नहीं है, और सबसे इष्टतम मार्ग लंबवत के साथ आगे बढ़ना होगा। अर्थात्, एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी लंब खंड की लंबाई है।

ज्यामिति में दूरी को पारंपरिक रूप से ग्रीक अक्षर "rho" द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए: - बिंदु "em" से सीधी रेखा "de" तक की दूरी।

बिंदु से रेखा की दूरी सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

उदाहरण 8

एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात कीजिए

समाधान: आपको बस सूत्र में संख्याओं को सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापित करना और गणना करना है:

उत्तर:

आइए चित्र बनाएं:

बिंदु से रेखा तक की पाई गई दूरी बिल्कुल लाल खंड की लंबाई के बराबर है। यदि आप 1 इकाई के पैमाने पर चेकर पेपर पर एक चित्र बनाते हैं। = 1 सेमी (2 सेल), तो दूरी एक साधारण रूलर से मापी जा सकती है।

आइए उसी ड्राइंग के आधार पर एक अन्य कार्य पर विचार करें:

कार्य उस बिंदु के निर्देशांक ढूंढना है जो सीधी रेखा के सापेक्ष बिंदु के सममित है . मैं चरणों को स्वयं निष्पादित करने का सुझाव देता हूं, लेकिन मैं मध्यवर्ती परिणामों के साथ समाधान एल्गोरिदम की रूपरेखा तैयार करूंगा:

1) एक ऐसी रेखा खोजें जो रेखा पर लंबवत हो।

2) रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए: .

इस पाठ में दोनों क्रियाओं पर विस्तार से चर्चा की गई है।

3) बिंदु खंड का मध्यबिंदु है। हम मध्य और एक सिरे के निर्देशांक जानते हैं। द्वारा किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक के लिए सूत्रहम देखतें है ।

यह जांचना एक अच्छा विचार होगा कि दूरी भी 2.2 इकाई है।

यहां गणना में कठिनाइयां उत्पन्न हो सकती हैं, लेकिन टावर में एक माइक्रोकैलकुलेटर एक बड़ी मदद है, जो आपको सामान्य अंशों की गणना करने की अनुमति देता है। मैंने तुम्हें कई बार सलाह दी है और फिर भी तुम्हें सलाह दूँगा।

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें?

उदाहरण 9

दो समानान्तर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

यह आपके लिए स्वयं निर्णय लेने का एक और उदाहरण है। मैं आपको थोड़ा संकेत देता हूँ: इसे हल करने के अनंत तरीके हैं। पाठ के अंत में डीब्रीफिंग, लेकिन स्वयं अनुमान लगाने का प्रयास करना बेहतर होगा, मुझे लगता है कि आपकी सरलता अच्छी तरह से विकसित थी।

दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण

हर कोना एक चौखट है:


ज्यामिति में, दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को छोटा कोण माना जाता है, जिससे यह स्वचालित रूप से पता चलता है कि यह अधिक कोण नहीं हो सकता है। चित्र में, लाल चाप द्वारा दर्शाए गए कोण को प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण नहीं माना जाता है। और उसका "हरा" पड़ोसी या विपरीत दिशा में उन्मुख"रास्पबेरी" कोने.

यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो चारों कोणों में से किसी एक को उनके बीच का कोण माना जा सकता है।

कोण किस प्रकार भिन्न हैं? अभिविन्यास। सबसे पहले, जिस दिशा में कोण को "स्क्रॉल" किया जाता है वह मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है। दूसरे, एक नकारात्मक उन्मुख कोण को ऋण चिह्न के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए यदि।

मैंने तुम्हें यह क्यों बताया? ऐसा लगता है कि हम कोण की सामान्य अवधारणा से काम चला सकते हैं। तथ्य यह है कि जिन सूत्रों से हम कोण ज्ञात करेंगे उनका परिणाम आसानी से नकारात्मक हो सकता है, और इससे आपको आश्चर्य नहीं होना चाहिए। ऋण चिह्न वाला कोण कोई बुरा नहीं है, और इसका एक बहुत ही विशिष्ट ज्यामितीय अर्थ होता है। ड्राइंग में, एक नकारात्मक कोण के लिए, एक तीर (घड़ी की दिशा) के साथ इसके अभिविन्यास को इंगित करना सुनिश्चित करें।

दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें?दो कार्य सूत्र हैं:

उदाहरण 10

रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

समाधानऔर विधि एक

आइए सामान्य रूप में समीकरणों द्वारा परिभाषित दो सीधी रेखाओं पर विचार करें:

अगर सीधा है लंबवत नहीं, वह उन्मुखीउनके बीच के कोण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

आइए हम हर पर पूरा ध्यान दें - यह बिल्कुल यही है अदिश उत्पादसीधी रेखाओं के दिशा सदिश:

यदि, तो सूत्र का हर शून्य हो जाता है, और सदिश लंबकोणीय होंगे और रेखाएँ लंबवत होंगी। इसीलिए सूत्रीकरण में सीधी रेखाओं की गैर-लंबवतता के बारे में आरक्षण दिया गया था।

उपरोक्त के आधार पर, समाधान को दो चरणों में औपचारिक बनाना सुविधाजनक है:

1) आइए रेखाओं के दिशा सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना करें:
, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ लंबवत नहीं हैं।

2) सूत्र का उपयोग करके सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करें:

व्युत्क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करके स्वयं कोण ज्ञात करना आसान है। इस मामले में, हम आर्कटेंजेंट की विषमता का उपयोग करते हैं (देखें)। प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण):

उत्तर:

आपके उत्तर में, हम कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना की गई सटीक मान, साथ ही अनुमानित मान (अधिमानतः डिग्री और रेडियन दोनों में) इंगित करते हैं।

खैर, माइनस, माइनस, कोई बड़ी बात नहीं। यहाँ एक ज्यामितीय चित्रण है:

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कोण नकारात्मक अभिविन्यास वाला निकला, क्योंकि समस्या कथन में पहला नंबर एक सीधी रेखा है और कोण का "अनस्क्रूइंग" ठीक इसके साथ शुरू हुआ।

यदि आप वास्तव में एक सकारात्मक कोण प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको रेखाओं को स्वैप करना होगा, यानी दूसरे समीकरण से गुणांक लेना होगा , और पहले समीकरण से गुणांक लें। संक्षेप में, आपको प्रत्यक्ष से शुरुआत करने की आवश्यकता है .

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को हमेशा दो गैर-समानांतर विमानों के चौराहे की रेखा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यदि एक तल का समीकरण दूसरे तल का समीकरण है, तो रेखा का समीकरण इस प्रकार दिया जाता है

यहाँ गैर समरेख
. इन समीकरणों को कहा जाता है सामान्य समीकरण सीधे अंतरिक्ष में.

रेखा के विहित समीकरण

किसी दी गई रेखा पर या उसके समानांतर स्थित कोई भी शून्येतर सदिश इस रेखा का दिशा सदिश कहलाता है।

अगर बात मालूम हो
सीधी रेखा और उसका दिशा सदिश
, तो रेखा के विहित समीकरणों का रूप है:

. (9)

एक रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण

मान लीजिए कि रेखा के विहित समीकरण दिए गए हैं

.

यहां से, हम रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण प्राप्त करते हैं:

(10)

ये समीकरण किसी रेखा और समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए उपयोगी होते हैं।

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण
और
इसका रूप है:

.

सीधी रेखाओं के बीच का कोण

सीधी रेखाओं के बीच का कोण

और

उनके दिशा सदिशों के बीच के कोण के बराबर। इसलिए, इसकी गणना सूत्र (4) का उपयोग करके की जा सकती है:

समानांतर रेखाओं के लिए शर्त:

.

विमानों के लंबवत होने की शर्त:

एक रेखा से एक बिंदु की दूरी

पी मान लीजिए कि बिंदु दिया गया है
और सीधा

.

रेखा के विहित समीकरणों से हमें बिंदु ज्ञात होता है
, एक रेखा से संबंधित, और इसकी दिशा वेक्टर
. फिर बिंदु की दूरी
एक सीधी रेखा से सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई के बराबर होती है और
. इस तरह,

.

रेखाओं के प्रतिच्छेदन के लिए शर्त

दो गैर-समानांतर रेखाएँ

,

यदि और केवल यदि प्रतिच्छेद करें

.

एक सीधी रेखा और एक तल की सापेक्ष स्थिति.

सीधी लाइन दी जाए
और विमान. कोना उनके बीच सूत्र द्वारा पाया जा सकता है

.

समस्या 73.रेखा के विहित समीकरण लिखिए

(11)

समाधान. रेखा (9) के विहित समीकरण लिखने के लिए, रेखा से संबंधित किसी भी बिंदु और रेखा के दिशा वेक्टर को जानना आवश्यक है।

आइए वेक्टर खोजें , इस रेखा के समानांतर। चूँकि यह इन तलों के सामान्य सदिशों के लंबवत होना चाहिए, अर्थात।

,
, वह

.

सीधी रेखा के सामान्य समीकरणों से हमारे पास वह है
,
. तब

.

बिंदु के बाद से
किसी रेखा पर कोई भी बिंदु, तो उसके निर्देशांक को रेखा के समीकरणों को संतुष्ट करना होगा और उनमें से एक को निर्दिष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए,
, हम सिस्टम (11) से अन्य दो निर्देशांक पाते हैं:

यहाँ से,
.

इस प्रकार, वांछित रेखा के विहित समीकरणों का रूप है:

या
.

समस्या 74.

और
.

समाधान।पहली पंक्ति के विहित समीकरणों से बिंदु के निर्देशांक ज्ञात होते हैं
रेखा से संबंधित, और दिशा वेक्टर के निर्देशांक
. दूसरी पंक्ति के विहित समीकरणों से बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात होते हैं
और दिशा वेक्टर के निर्देशांक
.

समांतर रेखाओं के बीच की दूरी बिंदु की दूरी के बराबर होती है
दूसरी सीधी रेखा से. इस दूरी की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

.

आइए वेक्टर के निर्देशांक ज्ञात करें
.

आइए वेक्टर उत्पाद की गणना करें
:

.

समस्या 75.एक बिंदु खोजें सममित बिंदु
अपेक्षाकृत सीधा

.

समाधान. आइए हम किसी दी गई रेखा पर लंबवत और एक बिंदु से गुजरने वाले विमान का समीकरण लिखें . इसके सामान्य वेक्टर के रूप में आप एक सीधी रेखा का निर्देशन सदिश ले सकते हैं। तब
. इस तरह,

आइए एक बिंदु खोजें
इस रेखा और समतल P का प्रतिच्छेदन बिंदु। ऐसा करने के लिए, हम समीकरणों (10) का उपयोग करके रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखते हैं, हमें मिलता है

इस तरह,
.

होने देना
बिंदु से बिंदु सममित
इस पंक्ति के सापेक्ष. फिर इंगित करें
मध्य
. किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना हम खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक के लिए सूत्रों का उपयोग करते हैं:

,
,
.

इसलिए,
.

समस्या 76.एक रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण लिखिए
और

ए) एक बिंदु के माध्यम से
;

बी) विमान के लंबवत।

समाधान।आइए हम इस रेखा के सामान्य समीकरण लिखें। ऐसा करने के लिए, दो समानताओं पर विचार करें:

इसका मतलब यह है कि वांछित विमान जनरेटर के साथ विमानों के एक बंडल से संबंधित है और इसका समीकरण फॉर्म (8) में लिखा जा सकता है:

क) आइए खोजें
और इस शर्त से कि विमान बिंदु से होकर गुजरता है
, इसलिए, इसके निर्देशांक को विमान के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। आइए बिंदु के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें
विमानों के एक समूह के समीकरण में:

मूल्य मिला
आइए इसे समीकरण (12) में प्रतिस्थापित करें। हमें वांछित तल का समीकरण प्राप्त होता है:

ख) आइए खोजें
और इस शर्त से कि वांछित विमान विमान के लंबवत है। किसी दिए गए विमान का सामान्य वेक्टर
, वांछित विमान का सामान्य वेक्टर (विमानों के समूह का समीकरण देखें (12)।

दो सदिश लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि उनका बिंदु गुणनफल शून्य हो। इस तरह,

आइए पाए गए मान को प्रतिस्थापित करें
विमानों के एक समूह के समीकरण में (12)। हमें वांछित तल का समीकरण प्राप्त होता है:

स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं

समस्या 77.रेखाओं के समीकरण को विहित रूप में लाएँ:

1)
2)

समस्या 78.एक रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखिए
, अगर:

1)
,
; 2)
,
.

समस्या 79. बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण लिखिए
एक सीधी रेखा के लंबवत

समस्या 80.एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा के समीकरण लिखिए
विमान के लंबवत.

समस्या 81.सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करें:

1)
और
;

2)
और

समस्या 82.समांतर रेखाएँ सिद्ध करें:

और
.

समस्या 83.रेखाओं की लंबता सिद्ध करें:

और

समस्या 84.बिंदु दूरी की गणना करें
सीधी रेखा से:

1)
; 2)
.

समस्या 85.समांतर रेखाओं के बीच की दूरी की गणना करें:

और
.

समस्या 86. रेखा के समीकरणों में
पैरामीटर परिभाषित करें ताकि यह रेखा रेखा के साथ प्रतिच्छेद करे और उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु ज्ञात करें।

समस्या 87. दिखाओ कि यह सीधा है
विमान के समानांतर
, और सीधी रेखा
इस विमान में स्थित है.

समस्या 88. एक बिंदु खोजें सममित बिंदु विमान के सापेक्ष
, अगर:

1)
, ;

2)
, ;.

समस्या 89.एक बिंदु से गिराए गए लम्ब का समीकरण लिखिए
सीधे
.

समस्या 90. एक बिंदु खोजें सममित बिंदु
अपेक्षाकृत सीधा
.

कार्य उस बिंदु के निर्देशांक ढूंढना है जो सीधी रेखा के सापेक्ष बिंदु के सममित है . मैं चरणों को स्वयं निष्पादित करने का सुझाव देता हूं, लेकिन मैं मध्यवर्ती परिणामों के साथ समाधान एल्गोरिदम की रूपरेखा तैयार करूंगा:

1) एक ऐसी रेखा खोजें जो रेखा पर लंबवत हो।

2) रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए: .

इस पाठ में दोनों क्रियाओं पर विस्तार से चर्चा की गई है।

3) बिंदु खंड का मध्यबिंदु है। हम मध्य और एक सिरे के निर्देशांक जानते हैं। द्वारा किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक के लिए सूत्रहम देखतें है ।

यह जांचना एक अच्छा विचार होगा कि दूरी भी 2.2 इकाई है।

यहां गणना में कठिनाइयां उत्पन्न हो सकती हैं, लेकिन टावर में एक माइक्रोकैलकुलेटर एक बड़ी मदद है, जो आपको सामान्य अंशों की गणना करने की अनुमति देता है। मैंने तुम्हें कई बार सलाह दी है और फिर भी तुम्हें सलाह दूँगा।

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें?

उदाहरण 9

दो समानान्तर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

यह आपके लिए स्वयं निर्णय लेने का एक और उदाहरण है। मैं आपको थोड़ा संकेत देता हूँ: इसे हल करने के अनंत तरीके हैं। पाठ के अंत में डीब्रीफिंग, लेकिन स्वयं अनुमान लगाने का प्रयास करना बेहतर होगा, मुझे लगता है कि आपकी सरलता अच्छी तरह से विकसित थी।

दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण

हर कोना एक चौखट है:


ज्यामिति में, दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को छोटा कोण माना जाता है, जिससे यह स्वचालित रूप से पता चलता है कि यह अधिक कोण नहीं हो सकता है। चित्र में, लाल चाप द्वारा दर्शाए गए कोण को प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण नहीं माना जाता है। और उसका "हरा" पड़ोसी या विपरीत दिशा में उन्मुख"रास्पबेरी" कोने.

यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो चारों कोणों में से किसी एक को उनके बीच का कोण माना जा सकता है।

कोण किस प्रकार भिन्न हैं? अभिविन्यास। सबसे पहले, जिस दिशा में कोण को "स्क्रॉल" किया जाता है वह मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है। दूसरे, एक नकारात्मक उन्मुख कोण को ऋण चिह्न के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए यदि।

मैंने तुम्हें यह क्यों बताया? ऐसा लगता है कि हम कोण की सामान्य अवधारणा से काम चला सकते हैं। तथ्य यह है कि जिन सूत्रों से हम कोण ज्ञात करेंगे उनका परिणाम आसानी से नकारात्मक हो सकता है, और इससे आपको आश्चर्य नहीं होना चाहिए। ऋण चिह्न वाला कोण कोई बुरा नहीं है, और इसका एक बहुत ही विशिष्ट ज्यामितीय अर्थ होता है। ड्राइंग में, एक नकारात्मक कोण के लिए, एक तीर (घड़ी की दिशा) के साथ इसके अभिविन्यास को इंगित करना सुनिश्चित करें।

दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें?दो कार्य सूत्र हैं:

उदाहरण 10

रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

समाधानऔर विधि एक

आइए सामान्य रूप में समीकरणों द्वारा परिभाषित दो सीधी रेखाओं पर विचार करें:

अगर सीधा है लंबवत नहीं, वह उन्मुखीउनके बीच के कोण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

आइए हम हर पर पूरा ध्यान दें - यह बिल्कुल यही है अदिश उत्पादसीधी रेखाओं के दिशा सदिश:

यदि, तो सूत्र का हर शून्य हो जाता है, और सदिश लंबकोणीय होंगे और रेखाएँ लंबवत होंगी। इसीलिए सूत्रीकरण में सीधी रेखाओं की गैर-लंबवतता के बारे में आरक्षण दिया गया था।

उपरोक्त के आधार पर, समाधान को दो चरणों में औपचारिक बनाना सुविधाजनक है:

1) आइए रेखाओं के दिशा सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना करें:

2) सूत्र का उपयोग करके सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करें:

व्युत्क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करके स्वयं कोण ज्ञात करना आसान है। इस मामले में, हम आर्कटेंजेंट की विषमता का उपयोग करते हैं (देखें)। प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण):

उत्तर:

आपके उत्तर में, हम कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना की गई सटीक मान, साथ ही अनुमानित मान (अधिमानतः डिग्री और रेडियन दोनों में) इंगित करते हैं।

खैर, माइनस, माइनस, कोई बड़ी बात नहीं। यहाँ एक ज्यामितीय चित्रण है:

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कोण नकारात्मक अभिविन्यास वाला निकला, क्योंकि समस्या कथन में पहला नंबर एक सीधी रेखा है और कोण का "अनस्क्रूइंग" ठीक इसके साथ शुरू हुआ।

यदि आप वास्तव में एक सकारात्मक कोण प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको रेखाओं को स्वैप करना होगा, यानी दूसरे समीकरण से गुणांक लेना होगा , और पहले समीकरण से गुणांक लें। संक्षेप में, आपको प्रत्यक्ष से शुरुआत करने की आवश्यकता है .

मैं इसे छिपाऊंगा नहीं, मैं खुद ही क्रम में सीधी रेखाओं का चयन करता हूं ताकि कोण सकारात्मक हो जाए। यह अधिक सुंदर है, लेकिन इससे अधिक कुछ नहीं।

अपने समाधान की जांच करने के लिए, आप एक चाँदा ले सकते हैं और कोण माप सकते हैं।

विधि दो

यदि सीधी रेखाएँ ढलान वाले समीकरणों द्वारा दी गई हैं और लंबवत नहीं, वह उन्मुखीउनके बीच का कोण सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

रेखाओं की लंबवतता की स्थिति समानता द्वारा व्यक्त की जाती है, जिससे, वैसे, लंबवत रेखाओं के कोणीय गुणांक के बीच एक बहुत ही उपयोगी संबंध उत्पन्न होता है:, जिसका उपयोग कुछ समस्याओं में किया जाता है।

समाधान एल्गोरिथ्म पिछले पैराग्राफ के समान है। लेकिन पहले, आइए अपनी सीधी रेखाओं को आवश्यक रूप में फिर से लिखें:

इस प्रकार, ढलान हैं:

1) आइए जाँच करें कि क्या रेखाएँ लंबवत हैं:
, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ लंबवत नहीं हैं।

2) सूत्र का प्रयोग करें:

उत्तर:

जब सीधी रेखाओं के समीकरण प्रारंभ में कोणीय गुणांक के साथ निर्दिष्ट किए जाते हैं तो दूसरी विधि का उपयोग करना उचित होता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि कम से कम एक सीधी रेखा कोटि अक्ष के समानांतर है, तो सूत्र बिल्कुल भी लागू नहीं होता है, क्योंकि ऐसी सीधी रेखाओं के लिए ढलान परिभाषित नहीं है (लेख देखें) समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण).

एक तीसरा उपाय भी है. विचार यह है कि पाठ में चर्चा किए गए सूत्र का उपयोग करके रेखाओं के दिशा सदिशों के बीच के कोण की गणना की जाए वैक्टर का डॉट उत्पाद:

यहां हम अब किसी उन्मुख कोण के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, बल्कि "सिर्फ एक कोण" के बारे में बात कर रहे हैं, यानी परिणाम निश्चित रूप से सकारात्मक होगा। समस्या यह है कि अंत में आपको एक अधिक कोण (वह नहीं जिसकी आपको आवश्यकता है) प्राप्त हो सकता है। इस मामले में, आपको एक आरक्षण करना होगा कि सीधी रेखाओं के बीच का कोण एक छोटा कोण है, और परिणामी आर्क कोसाइन को "पाई" रेडियंस (180 डिग्री) से घटाएं।

जो लोग चाहें वे समस्या का समाधान तीसरे तरीके से कर सकते हैं। लेकिन मैं अभी भी एक उन्मुख कोण के साथ पहले दृष्टिकोण पर बने रहने की सलाह देता हूं, इस कारण से कि यह व्यापक है।

उदाहरण 11

रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। इसे दो तरह से सुलझाने की कोशिश करें.

किसी तरह परी कथा रास्ते में ही ख़त्म हो गई... क्योंकि कोई काशी द इम्मोर्टल नहीं है। वहाँ मैं हूँ, और मैं विशेष रूप से उत्तेजित नहीं हूँ। सच कहूँ तो, मुझे लगा कि लेख बहुत लम्बा होगा। लेकिन मैं अभी भी अपनी हाल ही में खरीदी गई टोपी और चश्मा लेकर सितंबर झील के पानी में तैरने जाऊंगा। थकान और नकारात्मक ऊर्जा से पूरी तरह छुटकारा दिलाता है।

जल्द ही फिर मिलेंगे!

और याद रखें, बाबा यगा को रद्द नहीं किया गया है =)

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 3:समाधान : आइए रेखा का दिशा सदिश ज्ञात करें :

आइए बिंदु का उपयोग करके वांछित रेखा का समीकरण बनाएं और दिशा वेक्टर . चूँकि दिशा वेक्टर का एक निर्देशांक शून्य है, समीकरण। आइए इसे इस रूप में फिर से लिखें:

उत्तर :

उदाहरण 5:समाधान :
1) एक रेखा का समीकरण आइए दो बिंदु बनाएं :

2) एक रेखा का समीकरण आइए दो बिंदु बनाएं :

3) चरों के लिए संगत गुणांक आनुपातिक नहीं: , जिसका अर्थ है कि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
4) एक बिंदु खोजें :


टिप्पणी : यहां सिस्टम के पहले समीकरण को 5 से गुणा किया जाता है, फिर दूसरे को पहले समीकरण से पद दर पद घटाया जाता है।
उत्तर :