गैर-रैखिक समीकरणों का सिद्धांत और आधा विभाजन विधि।

आधा विभाजन विधि

हम मानते हैं कि समीकरण की जड़ों का पृथक्करण एफ(एक्स) = 0 खंड पर भी किया जाता है [ एक, बी] एक जड़ है, जिसे की त्रुटि के साथ परिष्कृत किया जाना चाहिए। जड़ के प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में, हम इस खंड के मध्य को लेते हैं: सी 0= (एक+ बी) / 2 (चित्र 4):

चावल। 4. आधे भाग की विधि।

फिर हम फ़ंक्शन के मूल्य की जांच करते हैं एफ(एक्स) खंडों के सिरों पर [ एक, सी 0] तथा [ सी 0, बी]. खण्डों का, जिसके सिरे पर एफ(एक्स) विभिन्न संकेतों के मान लेता है, जिसमें वांछित जड़ होती है; इसलिए, हम इसे एक नए खंड के रूप में लेते हैं [ एक 1, ख 1] (चित्र 4 में यह खंड है [ एक, सी 0]). खंड का दूसरा भाग [ एक, बी], जिस पर एफ(एक्स) संकेत नहीं बदलता है, हम इसे त्याग देते हैं। रूट के अगले सन्निकटन के रूप में, हम नए खंड के मध्य को लेते हैं
सी 1= (एक 1+ ख 1) / 2, आदि। इस तरह, क-वें सन्निकटन की गणना इस प्रकार की जाती है

प्रत्येक पुनरावृत्ति के बाद, जिस खंड पर रूट स्थित है उसे आधा कर दिया जाता है, और उसके बाद क 2 . में पुनरावृत्तियों कएक बार:

निर्दिष्ट सटीकता तक पहुंचने पर पुनरावृत्ति प्रक्रिया को समाप्त कर दिया जाना चाहिए, यानी। जब शर्त पूरी हो जाती है |x 0 - सी के |< ε

क्योंकि जड़ X 0खंड के अंतर्गत आता है [ एक को, बी के], एक सी केइस खंड का मध्यबिंदु है, तो मान |x 0 - सी के |काटने से लंबाई हमेशा आधी से कम होगी [ एक को, बी के] (चित्र 4 देखें):

इसलिए, शर्त |x 0 - सी के |< ε निष्पादित किया जाएगा यदि

| बी के - एक के |< 2ε

इस प्रकार, स्थिति होने तक पुनरावृत्ति प्रक्रिया को जारी रखा जाना चाहिए | बी के - एक के |< 2ε .

अधिकांश अन्य शोधन विधियों के विपरीत, द्विभाजन विधि हमेशा अभिसरण करती है, अर्थात। बिना शर्त अभिसरण है। इसके अलावा, यह बेहद सरल है, क्योंकि इसमें केवल फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना की आवश्यकता होती है एफ(एक्स) और, इसलिए, किसी भी समीकरण को हल करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

हालांकि, आधा विभाजन विधि काफी धीमी है। प्रत्येक चरण के साथ, अनुमानित मान की त्रुटि आधी हो जाती है, अर्थात।

इसलिए, यह विधि रैखिक अभिसरण वाली एक विधि है।

टिप्पणी. द्विभाजन विधि को पूरे अंतराल पर फ़ंक्शन के बारे में अतिरिक्त जानकारी के ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है [ एक, बी]. उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन को अलग-अलग होने की आवश्यकता नहीं है। यहां तक ​​कि असंतत कार्यों के लिए, मानी गई विधि ने अभिसरण की गारंटी दी है। यदि इस अंतराल पर समीकरण के कई मूल हैं, तो उनमें से एक मूल मिलेगा।

राग विधि

विचाराधीन विधि के साथ-साथ अर्ध-विभाजन की विधि को अंतराल पर जड़ को परिष्कृत करने के लिए डिज़ाइन किया गया है [ एक, बी एफ(एक्स) विभिन्न संकेतों के मान लेता है। अगले सन्निकटन, आधे विभाजन की विधि के विपरीत, खंड के बीच में नहीं, बल्कि बिंदु पर लिया जाता है एक्स, जहां एक सीधी रेखा (जीवा) भुज अक्ष को काटती है, जो बिंदुओं के माध्यम से खींची जाती है लेकिनतथा पर(चित्र 5)।

चावल। 5. जीवाओं की विधि।

हम बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखते हैं लेकिनतथा पर:

भुज अक्ष के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए ( एक्स= X 0, आप= 0) हमें समीकरण मिलता है

पुनरावृति प्रक्रिया को जारी रखने के लिए एक नए अंतराल के रूप में, हम दो में से एक को चुनते हैं [ एक, X 0] तथा [ एक्स 0, बी], जिसके सिरों पर फ़ंक्शन एफ(एक्स) विभिन्न संकेतों के मान लेता है। विचाराधीन मामले के लिए (चित्र 5), हम खंड चुनते हैं [ एक, X 0], इसलिये
एफ (ए) × एफ (एक्स 0)< 0 . अगला पुनरावृत्ति एक नए सन्निकटन को परिभाषित करना है एक्स 1एक जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के रूप में एबी 1एब्सिस्सा अक्ष के साथ, आदि।

हम रूट को परिष्कृत करने की प्रक्रिया तब समाप्त करते हैं जब क्रमिक सन्निकटन के बीच की दूरी निर्दिष्ट सटीकता से कम हो जाती है, अर्थात।

एक्स के +1 - एक्स के< ε

टिप्पणी. तार विधि और द्विभाजन विधि बहुत समान हैं। इसके अलावा, उनमें से कुछ मामलों में दूसरा पुनरावृत्ति प्रक्रिया का तेजी से अभिसरण देता है। दोनों विधियों को पूरे अंतराल पर फ़ंक्शन के बारे में अतिरिक्त जानकारी के ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है [ एक, बी]. उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन को अलग-अलग होने की आवश्यकता नहीं है। असंतत कार्यों के लिए भी, मानी गई विधियों ने अभिसरण की गारंटी दी है।

न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा विधि)

न्यूटन की विधि को अंतराल पर जड़ को परिष्कृत करने के लिए भी डिज़ाइन किया गया है [ एक, बी], जिसके सिरों पर फ़ंक्शन एफ(एक्स) विभिन्न संकेतों के मान लेता है। लेकिन यह विधि फ़ंक्शन के बारे में अतिरिक्त जानकारी का उपयोग करती है एफ(एक्स) नतीजतन, उनके पास तेजी से अभिसरण है, लेकिन साथ ही, वे कार्यों के एक संकीर्ण वर्ग पर लागू होते हैं, और उनके अभिसरण की हमेशा गारंटी नहीं होती है।

फ़ंक्शन की जड़ों को अलग करते हुए, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि न्यूटन की विधि के आवेदन के लिए यह आवश्यक है कि फ़ंक्शन मोनोटोनिक और दो बार अलग-अलग हो, और दूसरा व्युत्पन्न च ''(एक्स)इस अंतराल पर चिन्ह नहीं बदलना चाहिए।

न्यूटन विधि में प्राप्त पुनरावृत्ति अनुक्रम का अभिसरण प्रारंभिक सन्निकटन की पसंद पर निर्भर करता है X 0. सामान्य तौर पर, यदि अंतराल [ एक, बी] एक रूट युक्त, और यह ज्ञात है कि फ़ंक्शन एफ(एक्स) इस अंतराल पर मोनोटोन है, फिर प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में X 0आप खंड की सीमा चुन सकते हैं [ एक, बी], जहां समारोह के संकेत मेल खाते हैं एफ(एक्स) और दूसरा व्युत्पन्न च ''(एक्स). प्रारंभिक सन्निकटन का ऐसा विकल्प इस शर्त के तहत न्यूटन की विधि के अभिसरण की गारंटी देता है कि फ़ंक्शन रूट स्थानीयकरण खंड पर मोनोटोनिक है।

आइए जानते हैं मूल का प्रारंभिक सन्निकटन X 0. इस बिंदु पर वक्र पर स्पर्श रेखा खींचे आप= एफ(एक्स) (चित्र 6)। यह स्पर्शरेखा x-अक्ष को एक ऐसे बिंदु पर काटेगी जिसे हम अगला सन्निकटन मानेंगे।

प्रयोगशाला कार्य

एक अरेखीय समीकरण के पृथक मूल की संख्यात्मक खोज

समीकरणों का समाधान - बीजगणितीय या अनुवांशिक - अनुप्रयुक्त विश्लेषण के आवश्यक कार्यों में से एक है, जिसकी आवश्यकता भौतिकी, यांत्रिकी, प्रौद्योगिकी और अन्य क्षेत्रों के कई और विविध वर्गों में उत्पन्न होती है।

चलो समीकरण

एफ (एक्स) = 0. (1)

कोई संख्या एक्स*, फ़ंक्शन को उलटना एफ(एक्स) शून्य करने के लिए, अर्थात्। एक जिसमें एफ(एक्स*) = 0, समीकरण का मूल (1) या फलन का शून्य कहलाता है एफ(एक्स).

समीकरण (1) की वास्तविक जड़ों को संख्यात्मक रूप से खोजने की समस्या आमतौर पर अनुमानित जड़ों को खोजने में होती है, अर्थात। माना क्षेत्र के पर्याप्त रूप से छोटे पड़ोस ढूंढना, जिसमें जड़ का एक मान होता है और आगे, सटीकता की एक निश्चित डिग्री के साथ जड़ों की गणना करना।

1. समारोह एफ(एक्स) खंड पर निरंतर है [ ए, बी] इसके पहले और दूसरे क्रम के डेरिवेटिव के साथ;
2. मूल्यों एफ(एक्स) खंड के सिरों पर अलग-अलग चिन्ह होते हैं ( एफ(एक) * एफ(बी) < 0).

3. पहला और दूसरा डेरिवेटिव एफ"(एक्स) तथा एफ ""(एक्स) पूरे खंड में एक निश्चित चिह्न बनाए रखें।

शर्तें 1) और 2) गारंटी देते हैं कि अंतराल पर [ ए, बी] कम से कम एक जड़ है, और यह 3 से अनुसरण करता है) कि एफ(एक्स) इस अंतराल पर एकरस है और इसलिए मूल अद्वितीय होगा।

समीकरण की जड़ खोजने की समस्या एफ(एक्स) = 0 पुनरावृत्त विधि द्वारा दो चरण होते हैं:

1. जड़ पृथक्करण- जड़ या उस खंड के अनुमानित मूल्य का पता लगाना;

2. अनुमानित जड़ों का शोधन- उन्हें सटीकता की एक निश्चित डिग्री तक लाना।

फ़ंक्शन के संकेतों की स्थापना के साथ जड़ों को अलग करने की प्रक्रिया शुरू होती है एफ(एक्स) सीमा में एक्स=एकतथा एक्स=बीअपने अस्तित्व के क्षेत्र में अंक।

उदाहरण 1 . समीकरण की जड़ों को अलग करें:

एक्स 3 – 6एक्स + 2 = 0 (2)

आइए एक अनुमानित आरेख बनाएं:

एक्स	- ∞	- 3	- 1				+ ∞
एफ(एक्स)	–	–	+	+	–	+	+

इसलिए, समीकरण (2) के तीन वास्तविक मूल अंतराल [-3, -1], और में पड़े हैं।

जड़ों का अनुमानित मान ( प्रारंभिक अनुमान) को समस्या के भौतिक अर्थ से भी जाना जा सकता है, विभिन्न प्रारंभिक डेटा के साथ एक समान समस्या को हल करने से, या ग्राफिक रूप से पाया जा सकता है।

इंजीनियरिंग अभ्यास में सामान्य ग्राफिक तरीकाअनुमानित जड़ों का निर्धारण।

इस बात को ध्यान में रखते हुए कि समीकरण (1) के वास्तविक मूल फलन के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं एफ(एक्स) x-अक्ष के साथ, यह फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने के लिए पर्याप्त है एफ(एक्स) और चौराहे के बिंदुओं को चिह्नित करें एफ(एक्स) अक्ष के साथ ओह,या अक्ष पर निशान ओहएक जड़ वाले खंड।

मान लीजिए कि समीकरण का मूल (1) अंतराल पर अलग है [ एक, बी]. प्रारंभिक सन्निकटन को परिष्कृत करने की पुनरावृत्तीय प्रक्रिया एक्स 0 सटीक समाधान के लिए क्रमिक रूप से पिछले एक (पिछले वाले) से बाद के सन्निकटन को प्राप्त करना शामिल है। ऐसे प्रत्येक चरण को कहा जाता है यात्रा. एक विधि या किसी अन्य का आवेदन उपलब्ध प्रारंभिक सन्निकटन पर निर्भर करता है एक्स 0 फ़ंक्शन डेरिवेटिव की जड़, अस्तित्व और चिकनाई के लिए एफ(एक्स) पुनरावृत्तियों के परिणामस्वरूप, जड़ के अनुमानित मूल्यों का एक क्रम पाया जाता है एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन।यदि ये मान पुनरावृत्तियों की संख्या में वृद्धि के साथ हैं एनजड़ के सही मूल्य तक पहुंचें, फिर वे कहते हैं कि पुनरावृत्त प्रक्रिया अभिसरण.

पुनरावृत्त विधियों में, गणना के अंत के मानदंड को चुनना महत्वपूर्ण है। यदि समारोह एफ(एक्स) विचाराधीन क्षेत्र में धीरे-धीरे परिवर्तन होता है, अर्थात्। निरपेक्ष मूल्य में व्युत्पन्न एकता से कम है, तो शर्त की पूर्ति द्वारा पुनरावृत्त प्रक्रिया को समाप्त किया जाना चाहिए

| एक्स के +1 – एक्सकश्मीर |< ε ,

कहाँ पे एक्सक , एक्स के+1 - मूल के क्रमिक सन्निकटन, ε > 0 पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अंत की निर्दिष्ट सटीकता है। यदि फ़ंक्शन जल्दी से बदलता है, अर्थात।

| एफ(एक्स) | 1, तो स्थिति होने पर पुनरावृत्त प्रक्रिया को समाप्त कर दिया जाना चाहिए

| एफ(एक्स के) | < ε .

आधा विभाजन विधि

यह विधि खंड पर समीकरण (1) के वास्तविक मूल की गणना के लिए सबसे सरल पुनरावृत्ति विधियों में से एक है [ α , β ]. यह तब लागू होता है जब एफ(एक्स) निरंतर है [ α , β ] और इस खंड के सिरों पर विभिन्न संकेतों के मूल्यों को ग्रहण करता है, अर्थात।

एफ(α )एफ(β ) < 0.

विधि की कम्प्यूटेशनल योजना. रेखा खंड [ α , β ] आधे में विभाजित है और यदि एफ≠ 0, फिर आधे में से किसी एक को चुनें , , जिसके अंत में फ़ंक्शन एफ(एक्स) विभिन्न संकेतों के मान लेता है (जड़ इसमें है)। परिणामी खंड को फिर से आधे में विभाजित किया जाता है और वर्णित क्रियाओं को तब तक दोहराया जाता है जब तक कि पुनरावृत्त प्रक्रिया की दी गई सटीकता के साथ एक रूट प्राप्त नहीं हो जाता। शर्त पूरी होने पर प्रक्रिया समाप्त हो जाती है

| एक्स के +1 – एक्सकश्मीर |< ε .

पुनरावृत्तियों की संख्या कद्विभाजन विधि में सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

क≈ .

उदाहरण 1. समीकरण के मूल की गणना करने के लिए द्विभाजन विधि का प्रयोग करें

एक्स 3 + 3एक्स 2 – 1 = 0 (2)

खंड पर 0.01 की सटीकता के साथ।

हम विधि की प्रयोज्यता के लिए शर्तों की जांच करते हैं। समारोह एफ(एक्स) एक तीसरी डिग्री बहुपद (निरंतर) है और एफ(0)एफ(1) < 0.

हम क्रमिक रूप से जड़ के सन्निकटन की गणना करते हैं और सटीकता के लिए उनकी जांच करते हैं:

एक्स 0 = 0		एफ(0)= – 1	[ –, + ]
एक्स 1 = 1	|0 – 1| > 0,01	एफ(1)=3
एक्स 2 = 0,5	|1 – 0,5|> 0,01	एफ(0,5)= – 0,125
एक्स 3 = 0,75	|0,5 – 0,75|> 0,01	एफ(0,75)≈1,109
एक्स 4 = 0,625	|0,5 – 0,625|> 0,01	एफ(0,625)≈0,416
एक्स 5 = 0,5625	|0,5 – 0,5625|> 0,01	एफ(0,5625)≈0,127
एक्स 6 = 0,53125	|0,5 – 0,53125|> 0,01	एफ(0,53125)≈ – 0,0034
एक्स 7 = 0,546875	|0,53125 – 0,546875|> 0,01	एफ(0, 546875)≈0,0608
एक्स 8 = 0,5390625	|0,53125 – 0,5390625|≤ 0,01	एफ(0, 5390625)≈0,0284

आइए हम मूल के परिष्कृत मान के लिए मान लें

आधा विभाजन विधि(अन्य नामों: द्विभाजन विधि, द्विभाजन विधि) समीकरण को हल करने के लिए एफ(एक्स) = 0 इस प्रकार है। बता दें कि फलन निरंतर है और खंड के सिरों पर ले जाता है
[एक, बी] विभिन्न चिह्नों के मान, तो अंतराल में जड़ समाहित है ( एक, बी) हम अंतराल को दो हिस्सों में विभाजित करते हैं और फिर हम आधे पर विचार करेंगे जिसके सिरों पर फ़ंक्शन विभिन्न संकेतों के मान लेता है। हम इस नए खंड को फिर से दो बराबर भागों में विभाजित करते हैं और उनमें से वह चुनते हैं जिसमें मूल होता है। यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि अगले खंड की लंबाई आवश्यक त्रुटि मान से कम न हो जाए। द्विभाजन विधि एल्गोरिथ्म का अधिक कठोर विवरण:

1) गणना करें एक्स = (एक+ बी)/2; गणना करना एफ(एक्स);

2) अगर एफ(एक्स) = 0, फिर चरण 5 पर जाएँ;

3) अगर एफ(एक्स)∙एफ(एक) < 0, то बी = एक्स, अन्यथा एक = एक्स;

4) अगर | बी – एक| > , आइटम 1 पर जाएं;

5) आउटपुट वैल्यू एक्स;

उदाहरण 2.4. 0.01 की सटीकता के साथ द्विभाजन विधि द्वारा परिशोधित करें समीकरण की जड़ ( एक्स- 1) 3 = 0, खंड से संबंधित।

कार्यक्रम में समाधान एक्सेल:

1) कोशिकाओं में ए 1:एफ 4 हम अंकन, प्रारंभिक मान और सूत्र प्रस्तुत करते हैं, जैसा कि तालिका 2.3 में दिखाया गया है।

2) हम प्रत्येक सूत्र को दसवीं पंक्ति तक भरने वाले मार्कर के साथ निचली कोशिकाओं में कॉपी करते हैं, अर्थात। बी 4 - पहले बी 10, सी 4 - पहले सी 10, डी 3 - पहले डी 10, इ 4 - पहले इ 10, एफ 3 - पहले एफ 10.

तालिका 2.3

	ए	बी	सी	डी	इ	एफ
		च (ए) =	=(1-बी3)^3
	क	एक	एक्स	एफ (एक्स)	बी	बी ० ए
		0,95	=(बी3+ई3)/2	=(1-सी3)^3	1,1	=ई3-बी3
		=IF(D3=0,C3, IF(C$1*D3 .)<0;B3;C3))			=IF(C$1*D3>0, E3,C3)

गणना परिणाम तालिका में दिए गए हैं। 2.4. कॉलम में एफअंतराल लंबाई मानों की जाँच करना बी – एक. यदि मान 0.01 से कम है, तो इस पंक्ति में दिए गए त्रुटि के साथ रूट का अनुमानित मान पाया गया था। आवश्यक सटीकता प्राप्त करने में 5 पुनरावृत्तियों का समय लगा। तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने के बाद 0.01 के भीतर मूल का अनुमानित मान 1.0015625 1.00 है।

तालिका 2.4

	ए	बी	सी	डी	इ	एफ
		च (ए) =	0,000125
	क	एक	एक्स	एफ (एक्स)	बी	बी ० ए
		0,95	1,025	-2ई-05	1,1	0,15
		0,95	0,9875	2ई-06	1,025	0,075
		0,9875	1,00625	-2ई-07	1,025	0,0375
		0,9875	0,996875	3.1ई-08	1,00625	0,0187
		0,996875	1,0015625	-4ई-09	1,00625	0,0094
		0,996875	0,9992188	4.8E-10	1,0015625	0,0047
		0,99921875	1,0003906	-6ई-11	1,0015625	0,0023
		0,99921875	0,9998047	7.5ई-12	1,000390625	0,0012

उपरोक्त एल्गोरिथ्म "रूट हिटिंग" के संभावित मामले को ध्यान में रखता है, अर्थात। समानता एफ(एक्स) अगले चरण में शून्य करने के लिए। यदि उदाहरण 2.3 में हम खंड लेते हैं, तो पहले चरण में हम मूल तक पहुँचते हैं एक्स= 1. दरअसल, हम सेल में लिखते हैं बी 3 मान 0.9। फिर परिणामों की तालिका 2.5 का रूप लेगी (केवल 2 पुनरावृत्तियां दी गई हैं)।

तालिका 2.5

	ए	बी	सी	डी	इ	एफ
		च (ए) =	0,001
	क	एक	एक्स	एफ (एक्स)	बी	बी ० ए
		0,9			1,1	0,2

आइए प्रोग्राम में बनाएं एक्सेलअंतर्निहित भाषा का उपयोग करके अर्ध विभाजन विधि द्वारा समीकरण को हल करने के लिए उपयोगकर्ता-परिभाषित फ़ंक्शन f(x) और bisect(a, b, eps) मूल दृश्य. उनका विवरण नीचे दिया गया है:

फंक्शन एफ (बायवल एक्स)

समारोह द्विभाजित (ए, बी, ईपीएस)

1 एक्स = (ए + बी) / 2

अगर f(x) = 0 तो 5 . पर जाएं

अगर एफ (एक्स) * एफ (ए)< 0 Then

अगर Abs(a - b) > eps तो 1 . पर जाएं

फ़ंक्शन f(x) समीकरण के बाईं ओर परिभाषित करता है, और फ़ंक्शन
द्विभाजित(a, b, eps) समीकरण के मूल को समद्विभाजित करता है एफ(एक्स) = 0. ध्यान दें कि फ़ंक्शन bisect(a, b, eps) फ़ंक्शन f(x) के लिए कॉल का उपयोग करता है। उपयोगकर्ता द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन बनाने के लिए यहां एक एल्गोरिदम दिया गया है:

1) मेनू कमांड "टूल्स - मैक्रो - एडिटर" निष्पादित करें मूल दृश्य". खिड़की " माइक्रोसॉफ्ट विजुअल बेसिक". अगर इस प्रोग्राम में फाइल एक्सेलमैक्रोज़ या यूज़र-डिफ़ाइंड फ़ंक्शंस या प्रक्रियाएँ अभी तक नहीं बनाई गई हैं, यह विंडो चित्र 2.4 में दिखाई गई विंडो की तरह दिखेगी।

2) मेनू कमांड "इन्सर्ट - मॉड्यूल" निष्पादित करें और फ़ंक्शन प्रोग्राम के टेक्स्ट दर्ज करें, जैसा कि चित्र 2.5 में दिखाया गया है।

अब प्रोग्राम शीट के सेल में एक्सेलआप सूत्रों में बनाए गए कार्यों का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आइए एक सेल में प्रवेश करें डी 18 सूत्र

द्विभाजित(0.95;1;0.00001),

तब हमें 0.9999993896 का मान मिलता है।

एक और समीकरण (एक अलग बाईं ओर के साथ) को हल करने के लिए, आपको "टूल्स - मैक्रो - संपादक" कमांड का उपयोग करके संपादक विंडो पर जाने की आवश्यकता है मूल दृश्य» और केवल फ़ंक्शन f(x) के विवरण को फिर से लिखें। उदाहरण के लिए, आइए 0.001 की सटीकता के साथ समीकरण sin5 . का मूल खोजें एक्स+एक्स 2 - 1 = 0, अंतराल से संबंधित (0.4; 0.5)। ऐसा करने के लिए, फ़ंक्शन का विवरण बदलें

एक नए विवरण के लिए

f = पाप(5 * x) + x^2 - 1

फिर सेल में डी 18 हमें 0.441009521 का मान मिलता है (इस परिणाम की तुलना अंतराल के मूल मान (0.4; 0.5) से करें, उदाहरण 2.3 में पाया गया!)।

कार्यक्रम में आधा भाग विधि द्वारा समीकरण को हल करना MathCADएक फ़ंक्शन सबरूटीन बनाएं बाइसेक(एफ, एक, बी, ), जहां:

एफ-समीकरण के बाईं ओर संबंधित फ़ंक्शन नाम एफ(एक्स) = 0;

एक, बी- खंड के बाएँ और दाएँ छोर [ एक, बी];

ε जड़ के अनुमानित मान की सटीकता है।

कार्यक्रम में उदाहरण का समाधान MathCAD:

1) प्रोग्राम चलाएँ मठकाड।हम फ़ंक्शन की परिभाषा पेश करते हैं बाइसेक(एफ, एक, बी, ). ऐसा करने के लिए, कीबोर्ड और ग्रीक सिंबल टूलबार का उपयोग करके, हम टाइप करते हैं बाइसेक(एफ, एक, बी, ):=. "प्रोग्रामिंग" टूलबार पर असाइनमेंट साइन ":=" के बाद, माउस पॉइंटर के साथ बाएं बटन "लाइन जोड़ें" पर क्लिक करें। असाइनमेंट साइन के बाद एक वर्टिकल लाइन दिखाई देगी। इसके बाद, प्रोग्राम का पाठ दर्ज करें, जो नीचे दिखाया गया है, "प्रोग्रामिंग" टूलबार का उपयोग करके "←" चिह्न दर्ज करने के लिए, लूप ऑपरेटर जबकि, ऑपरेटर टूटनाऔर सशर्त ऑपरेटर यदि अन्यथा.

2) हम फ़ंक्शन की परिभाषा पेश करते हैं एफ(एक्स):=sin(5*x)+x^2–1, और फिर फ़ंक्शन का उपयोग करके रूट के मान की गणना करें बाइसेकदिए गए मानों के लिए:
बाइसेक(एफ, -0.8,–0.7,0.0001)=. "=" चिह्न के बाद, प्रोग्राम द्वारा परिकलित मूल मान स्वतः -0.7266601563 दिखाई देगा। हम इसी तरह बाकी जड़ों की गणना करते हैं।

नीचे शीट है MathCADफ़ंक्शन परिभाषा के साथ बाइसेक(एफ, एक, बी, ) और गणना:

हम भाषा में कार्यक्रम प्रस्तुत करते हैं सी++ समीकरण को हल करने के लिए एफ(एक्स) = 0 द्विभाजन विधि द्वारा:

#शामिल

#शामिल

डबल एफ (डबल एक्स);

टाइपपीफ डबल (* पीएफ) (डबल);

डबल बाइसेक (पीएफ एफ, डबल ए, डबल बी, डबल ईपीएस);

डबल ए, बी, एक्स, ईपीएस; पीएफ पीएफ;

अदालत<< "\n a = "; cin >>ए;

अदालत<< "\n b = "; cin >>ख;

अदालत<< "\n eps = "; cin >> ईपीएस;

एक्स = बाइसेक (पीएफ, ए, बी, ईपीएस); अदालत<< "\n x = " << x;

अदालत<< "\n Press any key & Enter "; cin >>ए;

डबल एफ (डबल एक्स) (

आर = पाप(5*x)+x*x-1;

डबल बाइसेक (पीएफ एफ, डबल ए, डबल बी, डबल ईपीएस) (

करो (एक्स = (ए + बी) / 2;

अगर (एफ (एक्स) == 0) ब्रेक;

अगर (एफ (एक्स) * एफ (ए)<0) b = x;

) जबकि (फैब्स (बी-ए)> ईपीएस);

कार्यक्रम में समारोह एफ(एक्स) समीकरण को हल करने के लिए परिभाषित किया गया है

पाप5 एक्स+एक्स 2 – 1 = 0

उदाहरण 2.3 से। 0.00001 की सटीकता के साथ अंतराल (0.4; 0.5) की जड़ निर्धारित करने के कार्यक्रम का परिणाम नीचे प्रस्तुत किया गया है (कंप्यूटर स्क्रीन):

कोई भी कुंजी दबाएं और दर्ज करें

परिणाम देखने के लिए रुकने के लिए अंतिम पंक्ति की आवश्यकता है।

होने देना एफ(एक्स) पर एक सतत कार्य है [ एक; बी], .

न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा विधि)

होने देना एफ(एक्स) अंतराल पर लगातार दो बार अवकलनीय फलन है [ एक; बी],
,
तथा
साइन को न बदलें [ एक; बी].

द्वारा निरूपित करें खंड का अंत जहां संकेत
तथा
मिलान। सटीक मूल के क्रमिक सन्निकटन सीसूत्र द्वारा खोजें

के लिये
.

फिर
समीकरण (1) का सटीक मूल है।

कंप्यूटिंग प्रक्रिया आमतौर पर तब रुक जाती है जब
निर्दिष्ट सटीकता से कम हो जाता है ε . हालाँकि, यह शर्त कड़ाई से गारंटी नहीं दे सकती है कि निर्दिष्ट सटीकता हासिल की गई है। पूर्ण आश्वासन के लिए, आप अनुभाग की शुरुआत में बताए अनुसार सटीकता की जांच कर सकते हैं। यदि सटीकता हासिल नहीं की जाती है, तो आपको पुनरावृत्तियों को कुछ और बार दोहराने की आवश्यकता है।

सेकेंट विधि

कुछ प्रारंभिक सन्निकटन होने दें . हमें सूत्र द्वारा एक और बिंदु मिलता है
, कहाँ पे एच- कम संख्या। हम मान लेंगे कि हमने विधि के कई चरणों को पूरा कर लिया है, और इस बिंदु पर हमारे पास दो क्रमिक सन्निकटन हैं तथा
सटीक जड़ तक (प्रारंभिक अवस्था में, यह है तथा ) फिर अगला सन्निकटन सूत्र द्वारा पाया जाता है

,

प्रक्रिया उसी मानदंड के अनुसार रुकती है जैसे न्यूटन की विधि में होती है।

पुनरावृत्ति विधि

पुनरावृति विधि में मूल समीकरण (1) को तुल्य समीकरण में बदल दिया जाता है
. प्रारंभिक अनुमान चुनें . प्रत्येक अगला सन्निकटन सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है
,
प्रक्रिया उसी मानदंड के अनुसार रुकती है जैसे न्यूटन की विधि में होती है। विधि अभिसरण होगी, अर्थात। सीमा असमानता होने पर मूल के सटीक मान के बराबर है
और प्रारंभिक सन्निकटन जड़ के काफी करीब है।

तरीकों के फायदे और नुकसान

द्विभाजन विधि को जड़ लेने की आवश्यकता होती है, और उच्च सटीकता प्राप्त करने के लिए, फ़ंक्शन को कई बार गणना करना पड़ता है। इस पद्धति में निर्दिष्ट सटीकता प्राप्त करने की गारंटी है।

न्यूटन की विधि में बहुत तेज अभिसरण (द्विघात अभिसरण) है, अर्थात।

,

कहाँ पे सी- जड़ का सटीक मूल्य; एमफ़ंक्शन के आधार पर कुछ स्थिर है। मोटे तौर पर, कुछ पुनरावृत्ति से शुरू होकर, प्रत्येक पुनरावृत्ति पर सही दशमलव स्थानों की संख्या दोगुनी हो जाएगी।

न्यूटन की विधि के अभिसरण की गारंटी के लिए कुछ शर्तों की आवश्यकता होती है। सामान्यतया, इन स्थितियों की जाँच किए बिना न्यूटन की विधि के अनुसार गणना शुरू करना संभव है, लेकिन तब अभिसरण नहीं देखा जा सकता है।

सेकेंट विधि सुचारू कार्यों के लिए न्यूटन की विधि के करीब एक अभिसरण दर प्रदान करती है। इसे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना की आवश्यकता नहीं है। यदि प्रारंभिक बिंदु को जड़ से दूर ले जाया जाता है, तो कोई अभिसरण नहीं हो सकता है।

पुनरावृत्ति विधि एक अभिसरण दर न्यूटन की विधि की तुलना में बहुत कम देती है। अभिसरण की उपस्थिति में, अनुमान
, कहाँ पे
- संख्याएं,
,
;सीजड़ का सटीक मूल्य है। मात्रा एम, क्यूफ़ंक्शन पर निर्भर करता है और पुनरावृत्ति संख्या पर निर्भर नहीं करता है। यदि
1 के करीब, तो क्यूभी 1 के करीब है और विधि का अभिसरण धीमा होगा। आप शर्तों की जाँच किए बिना पुनरावृत्ति गिनती शुरू कर सकते हैं
तथा . इस मामले में, प्रक्रिया भिन्न हो सकती है, और फिर उत्तर प्राप्त नहीं होगा।

सूचीबद्ध तरीकों के अलावा, एक गैर-रेखीय समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए कई विधियां हैं। MATHCAD में, रूट फ़ंक्शन प्रारूप में है
सेकेंट विधि का उपयोग करता है, और यदि यह वांछित परिणाम नहीं देता है, तो मुलर विधि। उत्तरार्द्ध में, सेकेंट विधि के विपरीत, प्रत्येक चरण में दो अतिरिक्त बिंदु लिए जाते हैं, फ़ंक्शन के ग्राफ़ को तीन बिंदुओं से गुजरने वाले एक परवलय द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु को अगले सन्निकटन के रूप में लिया जाता है बैल. प्रारूप में रूट फ़ंक्शन में रूट ( एफ(एक्स), एक्स, एक, बी) रिडर और ब्रेंट की विधियों का उपयोग किया जाता है। MATHCAD में एक बहुपद की जड़ों को खोजने के लिए, लैगुएरे विधि का उपयोग किया जाता है।

आधा विभाजन विधि (विधि को बोलजानो विधि या द्विभाजन विधि के रूप में भी जाना जाता है) एक गैर-रेखीय समीकरणों को हल करने के तरीकों की और समीकरण की एक जड़ वाले अंतराल के क्रमिक संकुचन पर आधारित है। निर्दिष्ट सटीकता तक पहुंचने तक पुनरावृत्ति प्रक्रिया को अंजाम दिया जाता है।

मान लीजिए कि एक समीकरण दिया गया है और एक खंड को इस तरह परिभाषित किया गया है कि इस खंड में समीकरण का एक ही मूल है। फिर, दिए गए सेगमेंट के सिरों पर, फ़ंक्शन में वे मान होते हैं जो साइन में विपरीत होते हैं: . खंड के सिरों पर फ़ंक्शन मानों के संकेतों के विपरीत कई तरीकों से निर्धारित किया जा सकता है। इनमें से कई तरीकों में से एक है खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मानों को गुणा करना और गुणन के परिणाम की शून्य से तुलना करके उत्पाद का चिह्न निर्धारित करना:

.

खंड को प्रारंभिक अनिश्चितता अंतराल कहा जाता है, क्योंकि यह ज्ञात है कि जड़ उसी का है, लेकिन उसका स्थान आवश्यक सटीकता के साथ निर्धारित नहीं किया गया है।

रूट की स्थिति को परिष्कृत करने की प्रक्रिया में एक दूसरे में नेस्टेड सेगमेंट के अनुक्रम का निर्माण होता है, जिनमें से प्रत्येक में समीकरण की जड़ होती है। ऐसा करने के लिए, वर्तमान अनिश्चितता अंतराल का मध्य पाया जाता है, और जिसके सिरों पर फ़ंक्शन के अलग-अलग संकेत होते हैं, उसे अगले अनिश्चितता अंतराल के रूप में दो संभावित लोगों में से चुना जाता है।

प्रक्रिया तब समाप्त होती है जब वर्तमान अनिश्चितता अंतराल की लंबाई निर्दिष्ट मान से कम हो जाती है, जो रूट खोजने की सटीकता को निर्दिष्ट करती है। अंतिम अनिश्चितता अंतराल के मध्य को मूल के अनुमानित मान के रूप में लिया जाता है।

विधि में रैखिक लेकिन बिना शर्त अभिसरण है, और प्रत्येक पुनरावृत्ति के लिए इसकी त्रुटि आधी है:

इस संबंध से, हम पुनरावृत्तियों की संख्या का अनुमान लगा सकते हैंक निर्दिष्ट सटीकता प्राप्त करने के लिए:

परिणामी सूत्र से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि प्रारंभिक अंतराल की लंबाई से सटीकता प्राप्त करने के लिए, लगभग दस पुनरावृत्तियों को करना आवश्यक है।

विधि के फायदों में यह तथ्य भी शामिल होना चाहिए कि यह आपको किसी भी मान के लिए किसी भी निरंतर कार्यों के समीकरण की एक सरल जड़ खोजने की अनुमति देता है जैसे कि .

विधि के नुकसान यह हैं कि इसे गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणालियों के लिए सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता है और इसका उपयोग बहुलता की जड़ों को खोजने के लिए भी नहीं किया जा सकता है।

द्विभाजन विधि का उपयोग करके एक गैर-रेखीय समीकरण की जड़ खोजने के लिए एल्गोरिदम।

1. मूल पृथक्करण विधियों में से किसी एक का उपयोग करके प्रारंभिक अनिश्चितता अंतराल का पता लगाएं।गणना त्रुटि सेट करें (छोटी सकारात्मक संख्या ) और प्रारंभिक पुनरावृत्ति चरण () .

2. वर्तमान अनिश्चितता अंतराल के मध्य का पता लगाएं:

3. बिंदुओं पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करना आवश्यक है, तथा। इसके बाद, आपको दो स्थितियों की जांच करने की आवश्यकता है:

अगर शर्त पूरी होती है , तो वांछित जड़ बाएँ खंड पुट के अंदर है, ;

अगर शर्त पूरी होती है , तो वांछित जड़ दाएँ खंड के अंदर है, लें , .

नतीजतन, एक नया अनिश्चितता अंतराल पाया जाता है, जिस पर समीकरण की वांछित जड़ स्थित होती है:

4. हम निर्दिष्ट सटीकता के लिए नए खंड की जांच करते हैं, इस मामले में:

यदि नए खंड की लंबाई निर्दिष्ट सटीकता से कम है, तो पुनरावृत्ति प्रक्रिया समाप्त हो जाती है। जड़ का अनुमानित मान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

यदि नए खंड की लंबाई आवश्यक सटीकता तक नहीं पहुंचती है, तो पुनरावृत्ति प्रक्रिया को जारी रखना और विचाराधीन एल्गोरिदम के चरण 2 पर जाना आवश्यक है।