एक निश्चित अभिन्न के लिए बुनियादी सूत्रों की तालिका। बुनियादी सूत्र और एकीकरण के तरीके

स्कूल में, कई समाकलों को हल करने में विफल रहते हैं या उनमें कोई कठिनाई होती है। यह लेख आपको यह पता लगाने में मदद करेगा, क्योंकि इसमें आपको सब कुछ मिल जाएगा। इंटीग्रल की तालिकाएँ.

अभिन्नकलन में प्रमुख गणनाओं और अवधारणाओं में से एक है। उनकी उपस्थिति दो उद्देश्यों के लिए आई:
पहला लक्ष्य- इसके व्युत्पन्न का उपयोग करके फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित करें।
दूसरा गोल- ग्राफ़ से फ़ंक्शन f (x) की दूरी पर एक सीधी रेखा पर स्थित क्षेत्र की गणना जहां x से अधिक या बराबर है, b और भुज अक्ष से अधिक या बराबर है।

ये लक्ष्य हमें निश्चित और अनिश्चित समाकलन की ओर ले जाते हैं। इन इंटीग्रल्स के बीच का संबंध गुणों और गणना की खोज में निहित है। लेकिन सब कुछ बहता है और समय के साथ सब कुछ बदल जाता है, नए समाधान मिल जाते हैं, परिवर्धन प्रकट हो जाते हैं, जिससे एकीकरण के अन्य रूपों में निश्चित और अनिश्चित अभिन्नता आ जाती है।

क्या हुआ है अनिश्चितकालीन अभिन्न आप पूछना। यह अंतराल में एक चर x का प्रतिपक्षी फलन F(x) है जो x से अधिक b से अधिक है। किसी भी संकेतन x के लिए दिए गए अंतराल में कोई फ़ंक्शन F(x) कहा जाता है, व्युत्पन्न F(x) के बराबर है। यह स्पष्ट है कि एफ (एक्स) अंतराल में एफ (एक्स) के लिए एक एंटीडेरिवेटिव है जो बी से अधिक एक्स से अधिक है। अत: F1(x) = F(x) + C. C - दिए गए अंतराल में f(x) के लिए कोई स्थिर और प्रतिकूल है। यह कथन उत्क्रमणीय है, फलन f(x) - 2 के लिए प्रतिअवकलज केवल एक स्थिरांक में भिन्न होते हैं। इंटीग्रल कैलकुलस के प्रमेय के आधार पर, यह पता चलता है कि प्रत्येक अंतराल में निरंतर है

समाकलन परिभाषित करें अभिन्न योगों में एक सीमा के रूप में समझा जाता है, या किसी दिए गए फ़ंक्शन f(x) की स्थिति में कुछ रेखा (ए, बी) पर परिभाषित किया जाता है, जिस पर प्रतिपक्षी एफ होता है, जिसका अर्थ है कि इस रेखा के अंत में इसके भावों का अंतर एफ (बी) - एफ (ए)।

स्पष्टता के लिए, इस विषय का अध्ययन, मैं वीडियो देखने का सुझाव देता हूं। यह विस्तार से बताता है और दिखाता है कि इंटीग्रल कैसे खोजें।

समाकलों की प्रत्येक तालिका अपने आप में बहुत उपयोगी है, क्योंकि यह एक विशेष प्रकार के समाकल को हल करने में मदद करती है।

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प्रिंसिपल इंटीग्रल्स हर छात्र को पता होना चाहिए

सूचीबद्ध इंटीग्रल आधार हैं, नींव का आधार। बेशक, इन सूत्रों को याद रखना चाहिए। अधिक जटिल समाकलों की गणना करते समय, आपको उनका निरंतर उपयोग करना होगा।

सूत्र (5), (7), (9), (12), (13), (17) और (19) पर विशेष ध्यान दें। एकीकृत करते समय उत्तर में मनमाना स्थिरांक C जोड़ना न भूलें!

स्थिरांक का समाकलन

∫ ए डी एक्स = ए एक्स + सी (1)

पावर फ़ंक्शन एकीकरण

वास्तव में, कोई अपने आप को सूत्र (5) और (7) तक सीमित कर सकता है, लेकिन इस समूह के बाकी इंटीग्रल इतने सामान्य हैं कि यह उन पर थोड़ा ध्यान देने योग्य है।

∫ x d x = x 2 2 + सी (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = लॉग | एक्स | + सी (5)
∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)

चरघातांकी फलन और अतिपरवलयिक फलन के समाकलन

बेशक, सूत्र (8) (शायद याद रखने के लिए सबसे सुविधाजनक) को सूत्र (9) का एक विशेष मामला माना जा सकता है। सूत्र (10) और (11) हाइपरबोलिक साइन और हाइपरबोलिक कोसाइन के इंटीग्रल के लिए सूत्र (8) से आसानी से प्राप्त होते हैं, लेकिन इन संबंधों को याद रखना बेहतर है।

∫ ई एक्स डी एक्स = ई एक्स + सी (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ एस एच एक्स डी एक्स = सी एच एक्स + सी (10)
∫ सी एच एक्स डी एक्स = एस एच एक्स + सी (11)

त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल अभिन्न अंग

एक गलती जो छात्र अक्सर करते हैं: वे सूत्र (12) और (13) में संकेतों को भ्रमित करते हैं। यह याद रखना कि ज्या का व्युत्पन्न कोज्या के बराबर है, किसी कारण से बहुत से लोग मानते हैं कि sinx फ़ंक्शन का अभिन्न अंग cosx के बराबर है। यह सच नहीं है! साइन का इंटीग्रल "माइनस कोसाइन" है, लेकिन कॉसएक्स का इंटीग्रल "सिर्फ साइन" है:

∫ sin x d x = - cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = - c t g x + C (15)

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों को कम करने वाले इंटीग्रल

सूत्र (16), जो चाप स्पर्शरेखा की ओर जाता है, स्वाभाविक रूप से a=1 के लिए सूत्र (17) का एक विशेष मामला है। इसी तरह, (18) (19) की एक विशेष स्थिति है।

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a arc t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x = आर्कसिन x + C = - आर्ककोस x + C (18)
∫ 1 a 2 - x 2 d x = आर्क्सिन x a + C = - आर्ककोस x a + C (a > 0) (19)

अधिक जटिल अभिन्न

इन सूत्रों को याद रखना भी वांछनीय है। उनका उपयोग भी अक्सर किया जाता है, और उनका आउटपुट काफी थकाऊ होता है।

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | एक्स + एक्स2 + ए2 | + सी (20)
∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln | एक्स + एक्स 2 - ए 2 | + सी (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 चाप x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | एक्स + एक्स2 + ए2 | + सी (ए> 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | एक्स + एक्स 2 - ए 2 | + सी (ए> 0) (24)

सामान्य एकीकरण नियम

1) दो कार्यों के योग का अभिन्न अंग संबंधित इंटीग्रल के योग के बराबर है: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) दो कार्यों के अंतर का अभिन्न अंग संबंधित इंटीग्रल के अंतर के बराबर है: ∫ (f (x) - g (x)) d x = ∫ f (x) d x - ∫ g (x) d x (26)

3) स्थिरांक को समाकल चिह्न से निकाला जा सकता है: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

यह देखना आसान है कि संपत्ति (26) केवल गुणों (25) और (27) का संयोजन है।

4) एक जटिल कार्य का अभिन्न अंग यदि आंतरिक कार्य रैखिक है: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

यहाँ F(x) फलन f(x) के लिए अवकलज है। ध्यान दें कि यह सूत्र केवल तभी काम करता है जब आंतरिक फ़ंक्शन Ax + B हो।

महत्वपूर्ण: दो कार्यों के उत्पाद के अभिन्न अंग के साथ-साथ एक अंश के अभिन्न अंग के लिए कोई सार्वभौमिक सूत्र नहीं है:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (तीस)

इसका मतलब यह नहीं है कि एक अंश या उत्पाद को एकीकृत नहीं किया जा सकता है। यह सिर्फ इतना है कि हर बार जब आप एक अभिन्न (30) देखते हैं, तो आपको इसके साथ "लड़ाई" करने का एक तरीका ईजाद करना होगा। कुछ मामलों में, भागों द्वारा एकीकरण आपकी मदद करेगा, कहीं न कहीं आपको चर में बदलाव करना होगा, और कभी-कभी बीजगणित या त्रिकोणमिति के "स्कूल" सूत्र भी मदद कर सकते हैं।

अनिश्चितकालीन अभिन्न की गणना के लिए एक सरल उदाहरण

उदाहरण 1. समाकल ज्ञात कीजिए: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

हम सूत्र (25) और (26) का उपयोग करते हैं (कार्यों के योग या अंतर का समाकलन संगत समाकलों के योग या अंतर के बराबर होता है। हमें मिलता है: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 डी एक्स

याद रखें कि स्थिरांक को समाकल चिह्न (सूत्र (27)) से निकाला जा सकता है। अभिव्यक्ति रूप में परिवर्तित हो जाती है

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

अब आइए मूल समाकलों की तालिका का उपयोग करें। हमें सूत्र (3), (12), (8) और (1) लागू करने की आवश्यकता होगी। आइए पावर फ़ंक्शन, साइन, एक्सपोनेंट और निरंतर 1 को एकीकृत करें। अंत में एक मनमानी स्थिरांक सी जोड़ना न भूलें:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

प्राथमिक परिवर्तनों के बाद, हमें अंतिम उत्तर मिलता है:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

विभेदन के साथ स्वयं को परखें: परिणामी फलन का अवकलज लें और सुनिश्चित करें कि यह मूल समाकलन के बराबर है।

इंटीग्रल की सारांश तालिका

∫ ए डी एक्स = ए एक्स + सी

∫ x d x = x 2 2 + सी

∫ x 2 d x = x 3 3 + सी

∫ 1 x d x = 2 x + सी

∫ 1 x d x = लॉग | एक्स | +सी

∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1)

∫ ई एक्स डी एक्स = ई एक्स + सी

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ एस एच एक्स डी एक्स = सी एच एक्स + सी

∫ सी एच एक्स डी एक्स = एस एच एक्स + सी

∫ sin x d x = - cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = - c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a arc t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 d x = आर्कसिन x + C = - आर्ककोस x + सी

∫ 1 a 2 - x 2 d x = आर्क्सिन x a + C = - आर्ककोस x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | एक्स + एक्स2 + ए2 | +सी

∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln | एक्स + एक्स 2 - ए 2 | +सी

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 आर्कसिन x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | एक्स + एक्स2 + ए2 | + सी (ए> 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | एक्स + एक्स 2 - ए 2 | + सी (ए> 0)

इंटीग्रल की तालिका (भाग II) इस लिंक से डाउनलोड करें

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हम प्रारंभिक कार्यों के अभिन्नों को सूचीबद्ध करते हैं, जिन्हें कभी-कभी सारणीबद्ध कहा जाता है:

उपरोक्त सूत्रों में से कोई भी सही पक्ष के व्युत्पन्न को ले कर सिद्ध किया जा सकता है (परिणामस्वरूप, पूर्णांक प्राप्त किया जाएगा)।

एकीकरण के तरीके

आइए एकीकरण के कुछ बुनियादी तरीकों पर विचार करें। इसमे शामिल है:

1. अपघटन विधि(प्रत्यक्ष एकीकरण).

यह विधि सारणीबद्ध अभिन्नों के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग पर आधारित है, साथ ही अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण 4 और 5 के अनुप्रयोग पर आधारित है (अर्थात, निरंतर कारक को कोष्ठक से बाहर निकालना और / या कार्यों के योग के रूप में पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करना - इंटीग्रैंड को शर्तों में विस्तारित करना)।

उदाहरण 1उदाहरण के लिए, (dx/x 4) को खोजने के लिए आप सीधे x n dx के लिए टेबल इंटीग्रल का उपयोग कर सकते हैं। दरअसल, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

आइए कुछ और उदाहरण देखें।

उदाहरण 2खोजने के लिए, हम उसी अभिन्न का उपयोग करते हैं:

उदाहरण 3खोजने के लिए आपको लेने की जरूरत है

उदाहरण 4खोजने के लिए, हम फॉर्म में इंटीग्रैंड का प्रतिनिधित्व करते हैं और एक्सपोनेंशियल फंक्शन के लिए टेबल इंटीग्रल का उपयोग करें:

स्थिर कारक को ब्रैकेट करने के उपयोग पर विचार करें।

उदाहरण 5आइए, उदाहरण के लिए खोजें . इसे ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

उदाहरण 6पता लगाते हैं। क्योंकि , हम टेबल इंटीग्रल का उपयोग करते हैं पाना

आप निम्न दो उदाहरणों में कोष्ठकों और तालिका समाकलनों का भी उपयोग कर सकते हैं:

उदाहरण 7

(हम उपयोग करते हैं और );

उदाहरण 8

(हम उपयोग करते हैं और ).

आइए अधिक जटिल उदाहरण देखें जो समाकल योग का उपयोग करते हैं।

उदाहरण 9उदाहरण के लिए, आइए खोजें
. अंश में विस्तार विधि को लागू करने के लिए, हम योग घन सूत्र  का उपयोग करते हैं, और फिर परिणामी बहुपद पद को भाजक द्वारा पद से विभाजित करते हैं।

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समाधान के अंत में एक आम निरंतर सी लिखा जाता है (और प्रत्येक शब्द को एकीकृत करते समय अलग-अलग नहीं)। भविष्य में, जब तक अभिव्यक्ति में कम से कम एक अनिश्चित अभिन्न (हम समाधान के अंत में एक स्थिरांक लिखेंगे) हल करने की प्रक्रिया में अलग-अलग शब्दों के एकीकरण से स्थिरांक को छोड़ने का प्रस्ताव है।

उदाहरण 10पता लगाते हैं . इस समस्या को हल करने के लिए, हम अंश का गुणनखंडन करते हैं (उसके बाद, हम हर को कम कर सकते हैं)।

उदाहरण 11।पता लगाते हैं। त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग यहां किया जा सकता है।

कभी-कभी, किसी व्यंजक को शब्दों में विघटित करने के लिए, आपको अधिक जटिल तकनीकों का उपयोग करना पड़ता है।

उदाहरण 12।पता लगाते हैं . इंटीग्रैंड में, हम अंश के पूर्णांक भाग का चयन करते हैं . तब

उदाहरण 13पता लगाते हैं

2. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि (प्रतिस्थापन विधि)

यह विधि निम्न सूत्र पर आधारित है: f(x)dx=f((t))`(t)dt, जहां x =(t) माने गए अंतराल पर अलग-अलग कार्य है।

सबूत। आइए सूत्र के बाएँ और दाएँ भागों से चर t के संबंध में डेरिवेटिव खोजें।

ध्यान दें कि बाईं ओर एक जटिल कार्य है जिसका मध्यवर्ती तर्क x = (t) है। इसलिए, इसे t के संबंध में विभेदित करने के लिए, हम पहले x के संबंध में समाकल को विभेदित करते हैं, और फिर हम t के संबंध में मध्यवर्ती तर्क का अवकलज लेते हैं।

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

दाईं ओर का व्युत्पन्न:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

चूंकि ये डेरिवेटिव समान हैं, लैग्रेंज के प्रमेय के एक परिणाम के अनुसार, सूत्र के बाएं और दाएं भाग कुछ स्थिरांक से भिन्न साबित होते हैं। चूँकि अनिश्चित समाकल स्वयं अनिश्चित काल तक परिभाषित होते हैं, इस स्थिरांक को अंतिम अंकन में छोड़ा जा सकता है। सिद्ध किया हुआ।

चर का एक सफल परिवर्तन हमें मूल अभिन्न को सरल बनाने की अनुमति देता है, और सरलतम मामलों में इसे सारणीबद्ध रूप से कम करता है। इस पद्धति के आवेदन में, रैखिक और गैर-रैखिक प्रतिस्थापन के तरीके प्रतिष्ठित हैं।

ए) रैखिक प्रतिस्थापन विधिआइए एक उदाहरण देखें।

उदाहरण 1
. मान लीजिए = 1 – 2x, तब

डीएक्स = डी (आधा - ½ टी) = - ½ डीटी

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि नए चर को स्पष्ट रूप से नहीं लिखा जाना चाहिए। ऐसे मामलों में कोई अंतर के संकेत के तहत एक समारोह के परिवर्तन की बात करता है, या अंतर के संकेत के तहत स्थिरांक और चर के परिचय की बात करता है, अर्थात। हे निहित चर प्रतिस्थापन.

उदाहरण 2उदाहरण के लिए, आइए cos(3x + 2)dx ज्ञात करें। अंतर के गुणों के अनुसार dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), फिरcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)पाप(3x + 2) +सी।

दोनों माने गए उदाहरणों में, रैखिक प्रतिस्थापन t=kx+b(k0) का उपयोग इंटीग्रल को खोजने के लिए किया गया था।

सामान्य स्थिति में, निम्नलिखित प्रमेय मान्य है।

रैखिक प्रतिस्थापन प्रमेय. मान लीजिए F(x) फलन f(x) के लिए कुछ अवकलज है। फिरf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, जहां k और b कुछ स्थिरांक हैं, k0.

सबूत।

अभिन्न f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C की परिभाषा के अनुसार। Hod(kx+b)= (kx+b) dx=kdx. हम अभिन्न चिह्न के लिए निरंतर कारक k निकालते हैं: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C। अब हम समानता के बाएँ और दाएँ भागों को k से विभाजित कर सकते हैं और एक स्थिर शब्द के अंकन तक सिद्ध होने के लिए अभिकथन प्राप्त कर सकते हैं।

इस प्रमेय में कहा गया है कि यदि समीकरण (kx+b) को समाकल f(x)dx= F(x) + C की परिभाषा में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो इससे सामने एक अतिरिक्त कारक 1/k दिखाई देगा प्रति-व्युत्पन्न का।

सिद्ध प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित उदाहरणों को हल करते हैं।

उदाहरण 3

पता लगाते हैं . यहाँ kx+b= 3 –x, यानी k= -1,b= 3. तब

उदाहरण 4

पता लगाते हैं। यहाँ kx+b= 4x+ 3, यानी k= 4,b= 3. फिर

उदाहरण 5

पता लगाते हैं . यहाँ kx+b= -2x+ 7, यानी k= -2,b= 7. फिर

.

उदाहरण 6पता लगाते हैं
. यहाँ kx+b= 2x+ 0, यानी k= 2,b= 0।

.

आइए प्राप्त परिणाम की तुलना उदाहरण 8 से करें, जिसे अपघटन विधि द्वारा हल किया गया था। उसी समस्या को दूसरी विधि से हल करने पर हमें उत्तर मिल गया
. आइए परिणामों की तुलना करें: इस प्रकार, ये भाव एक दूसरे से एक स्थिर शब्द से भिन्न होते हैं , अर्थात। प्राप्त प्रतिक्रियाएं एक दूसरे का खंडन नहीं करती हैं।

उदाहरण 7पता लगाते हैं
. हम भाजक में एक पूर्ण वर्ग का चयन करते हैं।

कुछ मामलों में, चर का परिवर्तन अभिन्न को सीधे एक तालिका में कम नहीं करता है, लेकिन यह अगले चरण में अपघटन विधि को लागू करना संभव बनाकर समाधान को सरल बना सकता है।

उदाहरण 8उदाहरण के लिए, आइए खोजें . t=x+ 2 को बदलें, फिर dt=d(x+ 2) =dx. तब

,

जहाँ C \u003d C 1 - 6 (जब t के बजाय एक्सप्रेशन (x + 2) को प्रतिस्थापित किया जाता है, तो पहले दो शब्दों के बजाय, हमें ½x 2 -2x - 6 मिलता है)।

उदाहरण 9पता लगाते हैं
. मान लीजिए t= 2x+ 1, फिर dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t-1)/2।

हम t के बजाय अभिव्यक्ति (2x + 1) को प्रतिस्थापित करते हैं, कोष्ठक खोलते हैं और समान देते हैं।

ध्यान दें कि परिवर्तनों की प्रक्रिया में हम एक और स्थिर पद पर चले गए, क्योंकि परिवर्तनों की प्रक्रिया में निरंतर पदों के समूह को छोड़ा जा सकता है।

बी) गैर रेखीय प्रतिस्थापन की विधिआइए एक उदाहरण देखें।

उदाहरण 1
. माना t= -x 2 । इसके अलावा, कोई x को t के संदर्भ में व्यक्त कर सकता है, फिर dx के लिए एक अभिव्यक्ति खोज सकता है और आवश्यक अभिन्न में चर के परिवर्तन को लागू कर सकता है। लेकिन इस मामले में अन्यथा करना आसान है। डीटी = डी (-x 2) = -2xdx खोजें। ध्यान दें कि एक्सप्रेशन xdx आवश्यक इंटीग्रल के इंटीग्रैंड का एक कारक है। हम इसे परिणामी समानता xdx= - ½dt से व्यक्त करते हैं। तब

चार मुख्य एकीकरण विधियाँ नीचे सूचीबद्ध हैं।

1) योग या अंतर एकीकरण नियम।
.
यहाँ और नीचे, u, v, w समाकलन चर x के फलन हैं।

2) पूर्णांक चिह्न से स्थिरांक निकालना।
मान लीजिए c एक स्थिरांक है जो x से स्वतंत्र है। फिर इसे अभिन्न चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है।

3) परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि।
अनिश्चितकालीन अभिन्न पर विचार करें।
यदि ऐसा कोई फ़ंक्शन φ चुनना संभव है (एक्स)एक्स से, इसलिए
,
तब, चर t = φ(x) को बदलने के बाद, हमारे पास है
.

4) भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र।
,
जहां यू और वी एकीकरण चर के कार्य हैं।

अनिश्चित इंटीग्रल की गणना का अंतिम लक्ष्य, परिवर्तन के माध्यम से, दिए गए इंटीग्रल को सरलतम इंटीग्रल में लाना है, जिसे टेबल इंटीग्रल कहा जाता है। टेबल इंटीग्रल को सुप्रसिद्ध सूत्रों का उपयोग करते हुए प्रारंभिक कार्यों के रूप में व्यक्त किया जाता है।
इंटीग्रल की तालिका >>> देखें

उदाहरण

अनिश्चितकालीन अभिन्न की गणना करें

समाधान

ध्यान दें कि इंटीग्रैंड तीन शब्दों का योग और अंतर है:
, और ।
हम विधि लागू करते हैं 1 .

इसके अलावा, हम ध्यान देते हैं कि नए इंटीग्रल्स के इंटीग्रैंड्स को स्थिरांक से गुणा किया जाता है 5, 4, और 2 , क्रमश। हम विधि लागू करते हैं 2 .

इंटीग्रल की तालिका में हम सूत्र पाते हैं
.
सेटिंग एन = 2 , हम पहला अभिन्न पाते हैं।

आइए फॉर्म में दूसरे इंटीग्रल को फिर से लिखें
.
हम देखते हैं कि। तब

आइए तीसरी विधि का उपयोग करें। हम चर t = φ का परिवर्तन करते हैं (एक्स) = लॉग एक्स.
.
इंटीग्रल की तालिका में हम सूत्र पाते हैं

चूंकि एकीकरण के चर को किसी भी अक्षर से निरूपित किया जा सकता है, तब

आइए तीसरे समाकल को रूप में फिर से लिखें
.
हम भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र को लागू करते हैं।
होने देना ।
तब
;
;

;
;
.

अंत में हमारे पास है
.
एक्स के साथ शर्तें लीजिए 3 .
.

उत्तर

संदर्भ:
एन.एम. गुंथर, आर.ओ. कुज़मिन, उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह, लैन, 2003।

एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन और अनिश्चितकालीन अभिन्न

तथ्य 1। एकीकरण, विभेदीकरण के विपरीत है, अर्थात्, इस फ़ंक्शन के ज्ञात व्युत्पन्न से फ़ंक्शन की बहाली। समारोह इस तरह से बहाल हो गया एफ(एक्स) कहा जाता है प्राचीनसमारोह के लिए एफ(एक्स).

परिभाषा 1. कार्य एफ(एक्स एफ(एक्स) कुछ अंतराल पर एक्स, यदि सभी मूल्यों के लिए एक्सइस अंतराल से समानता एफ "(एक्स)=एफ(एक्स), यानी यह फंक्शन एफ(एक्स) प्रतिपक्षी क्रिया का व्युत्पन्न है एफ(एक्स). .

उदाहरण के लिए, समारोह एफ(एक्स) = पाप एक्स समारोह के लिए प्रतिपक्षी है एफ(एक्स) = कॉस एक्स संपूर्ण संख्या रेखा पर, क्योंकि x के किसी भी मान के लिए (पाप एक्स)" = (कोस एक्स) .

परिभाषा 2। एक समारोह का अनिश्चितकालीन अभिन्न एफ(एक्स) इसके सभी प्रतिपक्षी का संग्रह है. यह संकेतन का उपयोग करता है

∫

एफ(एक्स)डीएक्स

,

चिन्ह कहाँ है ∫ अभिन्न चिह्न, कार्य कहा जाता है एफ(एक्स) एक पूर्णांक है, और एफ(एक्स)डीएक्स अभिन्न है।

इस प्रकार, यदि एफ(एक्स) के लिए कुछ प्रतिकूल है एफ(एक्स) , वह

∫

एफ(एक्स)डीएक्स = एफ(एक्स) +सी

कहाँ सी - मनमाना स्थिर (स्थिर)।

किसी फलन के प्रतिअवकलजों के समुच्चय को अनिश्चित समाकल के रूप में समझने के लिए, निम्नलिखित सादृश्य उपयुक्त है। एक दरवाजा होने दो (एक पारंपरिक लकड़ी का दरवाजा)। इसका कार्य "एक द्वार बनना" है। दरवाजा किससे बना है? एक पेड़ से। इसका मतलब यह है कि इंटीग्रैंड के एंटीडेरिवेटिव्स का सेट "टू बी ए डोर", यानी इसका अनिश्चितकालीन इंटीग्रल, फंक्शन "टू बी ए ट्री + सी" है, जहां सी एक स्थिरांक है, जो इस संदर्भ में निरूपित कर सकता है, के लिए उदाहरण के लिए, एक पेड़ की प्रजाति। जिस तरह एक दरवाजा कुछ औजारों के साथ लकड़ी का बना होता है, उसी तरह एक फंक्शन का डेरिवेटिव एंटीडेरिवेटिव फंक्शन का "बना" होता है सूत्र जिसे हमने व्युत्पन्न का अध्ययन करके सीखा .

तब सामान्य वस्तुओं के कार्यों की तालिका और उनके संबंधित आदिम ("एक दरवाजा होना" - "एक पेड़ होना", "एक चम्मच होना" - "एक धातु होना", आदि) की तालिका के समान है बुनियादी अनिश्चितकालीन अभिन्न, जो नीचे दिया जाएगा। अनिश्चित समाकलों की तालिका सामान्य कार्यों को सूचीबद्ध करती है, जो उन प्रतिपक्षी को दर्शाती है जिनसे ये कार्य "निर्मित" होते हैं। एक अनिश्चित अभिन्न को खोजने की समस्याओं के हिस्से के रूप में, ऐसे इंटीग्रैंड्स दिए गए हैं जिन्हें विशेष प्रयासों के बिना सीधे एकीकृत किया जा सकता है, अर्थात अनिश्चितकालीन इंटीग्रल की तालिका के अनुसार। अधिक जटिल समस्याओं में, इंटीग्रैंड को पहले रूपांतरित किया जाना चाहिए ताकि सारणीबद्ध इंटीग्रल का उपयोग किया जा सके।

तथ्य 2। एक फ़ंक्शन को एक प्रतिपक्षी के रूप में पुनर्स्थापित करते हुए, हमें एक मनमाना स्थिरांक (स्थिर) को ध्यान में रखना चाहिए सी, और 1 से अनंत तक अलग-अलग स्थिरांक वाले एंटीडेरिवेटिव्स की सूची न लिखने के लिए, आपको मनमाने स्थिरांक वाले एंटीडेरिवेटिव्स का एक सेट लिखना होगा सी, इस प्रकार : 5 एक्स³+सी। इसलिए, एक अनियंत्रित स्थिरांक (स्थिर) को प्रतिपक्षी की अभिव्यक्ति में शामिल किया गया है, क्योंकि प्रतिपक्षी एक कार्य हो सकता है, उदाहरण के लिए, 5 एक्स³+4 या 5 एक्स³+3 और 4 या 3 का अवकलन करने पर या कोई अन्य स्थिरांक गायब हो जाता है।

हम एकीकरण समस्या निर्धारित करते हैं: किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स) ऐसा फ़ंक्शन खोजें एफ(एक्स), जिसका व्युत्पन्नके बराबर है एफ(एक्स).

उदाहरण 1किसी फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव्स का सेट खोजें

समाधान। इस फ़ंक्शन के लिए, एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन है

समारोह एफ(एक्स) को फंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव कहा जाता है एफ(एक्स) यदि व्युत्पन्न एफ(एक्स) के बराबर है एफ(एक्स), या, जो एक ही बात है, अंतर एफ(एक्स) के बराबर है एफ(एक्स) डीएक्स, अर्थात।

(2)

इसलिए, फलन फलन के लिए अवकलज है। हालांकि, यह के लिए केवल विरोधी व्युत्पन्न नहीं है। वे कार्य भी हैं

कहाँ साथएक मनमाना स्थिरांक है। इसे विभेदीकरण द्वारा सत्यापित किया जा सकता है।

इस प्रकार, यदि किसी फ़ंक्शन के लिए एक एंटीडेरिवेटिव है, तो इसके लिए एंटीडेरिवेटिव्स का एक अनंत सेट होता है जो निरंतर योग से भिन्न होता है। एक समारोह के लिए सभी प्रतिपक्षी उपरोक्त रूप में लिखे गए हैं। यह निम्नलिखित प्रमेय से निकलता है।

प्रमेय (तथ्य 2 का औपचारिक कथन)।अगर एफ(एक्स) फ़ंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव है एफ(एक्स) कुछ अंतराल पर एक्स, फिर के लिए कोई अन्य प्रतिपक्षी एफ(एक्स) उसी अंतराल पर प्रतिनिधित्व किया जा सकता है एफ(एक्स) + सी, कहाँ साथएक मनमाना स्थिरांक है।

निम्नलिखित उदाहरण में, हम पहले से ही इंटीग्रल की तालिका की ओर मुड़ते हैं, जो अनिश्चित इंटीग्रल के गुणों के बाद पैराग्राफ 3 में दी जाएगी। हम पूरी तालिका से परिचित होने से पहले ऐसा करते हैं, ताकि उपरोक्त का सार स्पष्ट हो। और तालिका और गुणों के बाद, हम उन्हें एकीकृत करते समय उनकी संपूर्णता में उपयोग करेंगे।

उदाहरण 2एंटीडेरिवेटिव्स के सेट खोजें:

समाधान। हम प्रतिपक्षी कार्यों के सेट पाते हैं जिनसे ये कार्य "बनते" हैं। अभिन्नों की तालिका से सूत्रों का उल्लेख करते समय, अभी के लिए, स्वीकार करें कि ऐसे सूत्र हैं, और हम अनिश्चितकालीन अभिन्नों की तालिका का पूर्ण रूप से अध्ययन करेंगे।

1) के लिए इंटीग्रल की तालिका से सूत्र (7) लागू करना एन= 3, हम प्राप्त करते हैं

2) के लिए इंटीग्रल की तालिका से सूत्र (10) का उपयोग करना एन= 1/3, हमारे पास है

3) चूंकि

फिर सूत्र (7) के अनुसार एन= -1/4 खोजें

समाकल चिह्न के अंतर्गत, वे स्वयं फलन नहीं लिखते हैं एफ, और इसका उत्पाद अंतर द्वारा डीएक्स. यह मुख्य रूप से यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि किस चर को प्रतिपक्षी के लिए खोजा जा रहा है। उदाहरण के लिए,

, ;

यहाँ दोनों मामलों में समाकलन के बराबर है, लेकिन विचाराधीन मामलों में इसके अनिश्चित समाकल भिन्न हैं। पहले मामले में, इस फ़ंक्शन को एक चर के फ़ंक्शन के रूप में माना जाता है एक्स, और दूसरे में - के एक समारोह के रूप में जेड .

किसी फलन का अनिश्चित समाकल ज्ञात करने की प्रक्रिया को उस फलन का समाकलन कहते हैं।

अनिश्चितकालीन अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ

वक्र खोजने के लिए इसे आवश्यक होने दें वाई = एफ (एक्स)और हम पहले से ही जानते हैं कि इसके प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा एक दिया हुआ फलन है च (एक्स)इस बिन्दु का भुज।

व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ के अनुसार, वक्र पर दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा वाई = एफ (एक्स)व्युत्पन्न के मूल्य के बराबर एफ"(एक्स). तो, हमें ऐसे फ़ंक्शन को खोजने की जरूरत है एफ (एक्स), जिसके लिए एफ "(एक्स) = एफ (एक्स). कार्य में आवश्यक कार्य एफ (एक्स)से लिया गया है च (एक्स). समस्या की स्थिति एक वक्र से नहीं, बल्कि वक्रों के एक परिवार द्वारा संतुष्ट होती है। वाई = एफ (एक्स)- इन वक्रों में से एक और अक्ष के साथ समानांतर अनुवाद द्वारा इससे कोई अन्य वक्र प्राप्त किया जा सकता है ओए.

के एंटीडेरिवेटिव फंक्शन के ग्राफ को कॉल करते हैं च (एक्स)अभिन्न वक्र। अगर एफ "(एक्स) = एफ (एक्स), फिर फ़ंक्शन का ग्राफ़ वाई = एफ (एक्स)एक अभिन्न वक्र है।

तथ्य 3। अनिश्चितकालीन अभिन्न ज्यामितीय रूप से सभी अभिन्न वक्रों के परिवार द्वारा दर्शाया गया है जैसा कि नीचे चित्र में है। उत्पत्ति से प्रत्येक वक्र की दूरी एकीकरण के एक मनमाने स्थिरांक (स्थिर) द्वारा निर्धारित की जाती है सी.

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण

तथ्य 4। प्रमेय 1। एक अनिश्चित अभिन्न का व्युत्पन्न इंटीग्रैंड के बराबर है, और इसका अंतर इंटीग्रैंड के बराबर है।

तथ्य 5। प्रमेय 2। एक समारोह के अंतर का अनिश्चितकालीन अभिन्न एफ(एक्स) कार्य के बराबर है एफ(एक्स) एक स्थिर अवधि तक , अर्थात।

(3)

प्रमेय 1 और 2 दिखाते हैं कि अवकलन और समाकलन परस्पर विपरीत संक्रियाएँ हैं।

तथ्य 6। प्रमेय 3। अभिन्न में निरंतर कारक को अनिश्चितकालीन अभिन्न के संकेत से बाहर निकाला जा सकता है , अर्थात।