साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा: यह क्या है? साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा कैसे खोजें? सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन, सूत्रों की व्युत्पत्ति, उदाहरण।

मैं आपको चीट शीट नहीं लिखने के लिए राजी नहीं करूंगा। लिखना! त्रिकोणमिति पर चीट शीट सहित। बाद में मैंने यह समझाने की योजना बनाई है कि चीट शीट्स की आवश्यकता क्यों होती है और चीट शीट्स कैसे उपयोगी होती हैं। और यहाँ - कैसे नहीं सीखना है, लेकिन कुछ त्रिकोणमितीय सूत्रों को याद रखने की जानकारी। तो - बिना चीट शीट के त्रिकोणमिति!हम याद रखने के लिए संघों का उपयोग करते हैं।

1. जोड़ सूत्र:

कोसाइन हमेशा "जोड़े में जाते हैं": कोसाइन-कोसाइन, साइन-साइन। और एक और बात: कोसाइन "अपर्याप्त" हैं। वे "सब कुछ गलत है", इसलिए वे संकेतों को बदलते हैं: "-" से "+", और इसके विपरीत।

साइनस - "मिश्रण": साइन-कोसाइन, कोसाइन-साइन।

2. योग और अंतर सूत्र:

कोसाइन हमेशा "जोड़े में जाते हैं"। दो कोसाइन - "बन्स" जोड़ने के बाद, हमें कोसाइन की एक जोड़ी मिलती है - "कोलोबोक"। और घटाना, हम निश्चित रूप से कोलोबोक नहीं प्राप्त करेंगे। हमें कुछ सीन्स मिलते हैं। अभी भी माइनस के साथ आगे।

साइनस - "मिश्रण" :

3. किसी गुणनफल को योग और अंतर में बदलने के सूत्र।

हमें कोसाइन का जोड़ा कब मिलता है? कोसाइन जोड़ते समय। इसीलिए

हमें ज्या की जोड़ी कब मिलती है? कोसाइन घटाते समय। यहाँ से:

"मिश्रण" साइन को जोड़कर और घटाकर दोनों प्राप्त किया जाता है। कौन सा अधिक मजेदार है: जोड़ना या घटाना? यह ठीक है, गुना। और सूत्र के लिए जोड़ लें:

कोष्ठक में पहले और तीसरे सूत्र में - राशि। शर्तों के स्थानों की पुनर्व्यवस्था से योग नहीं बदलता है। क्रम केवल दूसरे सूत्र के लिए महत्वपूर्ण है। लेकिन, भ्रमित न होने के लिए, याद रखने में आसानी के लिए, पहले कोष्ठक में तीनों सूत्रों में हम अंतर लेते हैं

और दूसरी बात, योग

आपकी जेब में पालने की चादरें मन की शांति देती हैं: यदि आप सूत्र भूल जाते हैं, तो आप इसे लिख सकते हैं। और वे आत्मविश्वास देते हैं: यदि आप चीट शीट का उपयोग करने में विफल रहते हैं, तो सूत्रों को आसानी से याद किया जा सकता है।

त्रिकोणमितीय कार्यों साइन (sin x) और कोसाइन (cos x) पर संदर्भ डेटा। ज्यामितीय परिभाषा, गुण, रेखांकन, सूत्र। साइन और कोसाइन की तालिका, डेरिवेटिव, इंटीग्रल, श्रृंखला विस्तार, छेदक, व्युत्क्रमज्या। जटिल चर के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ। अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के साथ कनेक्शन।

साइन और कोसाइन की ज्यामितीय परिभाषा

|बीडी|- एक बिंदु पर केन्द्रित वृत्त के चाप की लंबाई ए.
α रेडियन में व्यक्त कोण है।

परिभाषा
साइनसएक त्रिकोणमितीय फलन है जो समकोण त्रिभुज के कर्ण और पाद के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो विपरीत भुजा की लंबाई के अनुपात के बराबर है |BC| कर्ण की लंबाई तक |AC|.

कोसाइन (cos α)समकोण त्रिभुज के कर्ण और पाद के बीच के कोण α पर निर्भर एक त्रिकोणमितीय फलन है, जो आसन्न भुजा की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB| कर्ण की लंबाई तक |AC|.

स्वीकृत पदनाम

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साइन फ़ंक्शन का ग्राफ़, y = sin x

कोसाइन फ़ंक्शन का ग्राफ़, y = cos x

साइन और कोसाइन के गुण

दौरा

कार्य वाई = पाप एक्सऔर वाई = कॉस एक्सएक अवधि के साथ आवधिक 2 π.

समानता

साइन फ़ंक्शन विषम है। कोज्या फलन सम है।

परिभाषा और मूल्यों का क्षेत्र, एक्स्ट्रेमा, वृद्धि, कमी

फलन साइन और कोसाइन उनकी परिभाषा के डोमेन पर निरंतर हैं, अर्थात, सभी x के लिए (निरंतरता का प्रमाण देखें)। उनके मुख्य गुण तालिका (एन - पूर्णांक) में प्रस्तुत किए गए हैं।

	वाई = पाप एक्स	वाई = कॉस एक्स
दायरा और निरंतरता	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
मूल्यों की श्रृंखला	-1 ≤ वाई ≤ 1	-1 ≤ वाई ≤ 1
आरोही
अवरोही
अधिकतम, वाई = 1
न्यूनतम, y = - 1
शून्य, वाई = 0
y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु, x = 0	वाई = 0	वाई = 1

मूल सूत्र

वर्ग साइन और कोसाइन का योग

योग और अंतर के लिए ज्या और कोज्या सूत्र

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साइन और कोसाइन के उत्पाद के लिए सूत्र

योग और अंतर सूत्र

कोसाइन के माध्यम से साइन की अभिव्यक्ति

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साइन के माध्यम से कोसाइन की अभिव्यक्ति

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स्पर्शरेखा के संदर्भ में अभिव्यक्ति

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के लिए, हमारे पास है:
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पर :
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ज्या और कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की तालिका

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए ज्या और कोज्या के मूल्यों को दर्शाती है।

जटिल चर के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ

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यूलर सूत्र

{ -∞ < x < +∞ }

छेदक, व्युत्क्रमज्या

उलटा कार्य

साइन और कोसाइन के व्युत्क्रम कार्य क्रमशः आर्क्साइन और आर्ककोसाइन हैं।

आर्कसिन, आर्कसिन

आर्ककोसाइन, आर्ककोस

संदर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंद्येव, हैंडबुक ऑफ मैथेमेटिक्स फॉर इंजीनियर्स एंड स्टूडेंट्स ऑफ हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस, लैन, 2009।

- निश्चित रूप से त्रिकोणमिति में कार्य होंगे। साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटैंगेंट से भरपूर कठिन फॉर्मूलों की एक बड़ी मात्रा को रटने के लिए त्रिकोणमिति को अक्सर नापसंद किया जाता है। साइट ने पहले ही एक बार यूलर और पील फ़ार्मुलों के उदाहरण का उपयोग करते हुए एक भूले हुए सूत्र को याद रखने की सलाह दी थी।

और इस लेख में हम यह दिखाने की कोशिश करेंगे कि केवल पाँच सबसे सरल त्रिकोणमितीय सूत्रों को जानना और बाकी के बारे में एक सामान्य विचार रखना और रास्ते में उन्हें प्राप्त करना पर्याप्त है। यह डीएनए की तरह है: एक पूर्ण जीवित प्राणी के पूर्ण चित्र अणु में संग्रहीत नहीं होते हैं। इसमें, बल्कि, उपलब्ध अमीनो एसिड से इसे इकट्ठा करने के निर्देश शामिल हैं। तो त्रिकोणमिति में, कुछ सामान्य सिद्धांतों को जानने के बाद, हमें उन सभी आवश्यक सूत्रों के एक छोटे से सेट से मिल जाएगा जिन्हें ध्यान में रखा जाना चाहिए।

हम निम्नलिखित सूत्रों पर भरोसा करेंगे:

राशियों के साइन और कोसाइन के सूत्रों से, यह जानते हुए कि कोसाइन फ़ंक्शन सम है और साइन फ़ंक्शन विषम है, b के लिए -b को प्रतिस्थापित करते हुए, हम अंतर के सूत्र प्राप्त करते हैं:

1. अंतर की ज्या: पाप(ए-बी) = पापएकक्योंकि(-बी)+क्योंकिएकपाप(-बी) = पापएकक्योंकिबी-क्योंकिएकपापबी
2. कोसाइन अंतर: क्योंकि(ए-बी) = क्योंकिएकक्योंकि(-बी)-पापएकपाप(-बी) = क्योंकिएकक्योंकिबी+पापएकपापबी

एक \u003d b को एक ही सूत्र में रखकर, हम दोहरे कोणों के साइन और कोसाइन के सूत्र प्राप्त करते हैं:

1. दोहरे कोण की ज्या: पाप2अ = पाप(ए + ए) = पापएकक्योंकिएक+क्योंकिएकपापएक = 2पापएकक्योंकिएक
2. एक दोहरे कोण का कोसाइन: क्योंकि2अ = क्योंकि(ए + ए) = क्योंकिएकक्योंकिएक-पापएकपापएक = क्योंकि2अ-पाप2अ

अन्य अनेक कोणों के लिए सूत्र इसी प्रकार प्राप्त किए जाते हैं:

1. तिहरे कोण की ज्या: पाप3 ए = पाप(2ए+ए) = पाप2अक्योंकिएक+क्योंकि2अपापएक = (2पापएकक्योंकिएक)क्योंकिएक+(क्योंकि2अ-पाप2अ)पापएक = 2पापएकक्योंकि2अ+पापएकक्योंकि2अ-पाप 3 ए = 3 पापएकक्योंकि2अ-पाप 3 ए = 3 पापएक(1-पाप2अ)-पाप 3 ए = 3 पापएक-4पाप 3 ए
2. एक तिहरे कोण की कोसाइन: क्योंकि3 ए = क्योंकि(2ए+ए) = क्योंकि2अक्योंकिएक-पाप2अपापएक = (क्योंकि2अ-पाप2अ)क्योंकिएक-(2पापएकक्योंकिएक)पापएक = क्योंकि 3ए- पाप2अक्योंकिएक-2पाप2अक्योंकिएक = क्योंकि 3क-3 पाप2अक्योंकिएक = क्योंकि 3 ए-3(1- क्योंकि2अ)क्योंकिएक = 4क्योंकि 3क-3 क्योंकिएक

आगे बढ़ने से पहले, आइए एक समस्या पर विचार करें।
दिया गया है: कोण तीव्र है।
इसकी कोसाइन खोजें अगर
एक छात्र द्वारा दिया गया समाधान:
इसलिये , फिर पापएक= 3,ए क्योंकिएक = 4.
(गणितीय हास्य से)

तो, स्पर्शरेखा की परिभाषा इस फ़ंक्शन को साइन और कोसाइन दोनों से जोड़ती है। लेकिन आप एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं जो केवल कोज्या के साथ स्पर्शरेखा का संबंध बताता है। इसे प्राप्त करने के लिए, हम मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका लेते हैं: पाप 2 एक+क्योंकि 2 एक= 1 और इसे विभाजित करें क्योंकि 2 एक. हम पाते हैं:

तो इस समस्या का समाधान होगा:

(क्योंकि कोण न्यून है, जड़ निकालते समय + चिन्ह लिया जाता है)

योग की स्पर्शरेखा का सूत्र एक और सूत्र है जिसे याद रखना कठिन है। आइए इसे इस तरह आउटपुट करें:

तुरंत आउटपुट और

दोहरे कोण के लिए कोज्या सूत्र से, आप आधे कोण के लिए ज्या और कोज्या सूत्र प्राप्त कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, दोहरे कोण कोज्या सूत्र के बाईं ओर:
क्योंकि2 एक = क्योंकि 2 एक-पाप 2 एक
हम एक इकाई जोड़ते हैं, और दाईं ओर - एक त्रिकोणमितीय इकाई, अर्थात। साइन और कोसाइन के वर्गों का योग।
क्योंकि2अ+1 = क्योंकि2अ-पाप2अ+क्योंकि2अ+पाप2अ
2क्योंकि 2 एक = क्योंकि2 एक+1
व्यक्त क्योंकिएकके माध्यम से क्योंकि2 एकऔर चरों का परिवर्तन करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

चिह्न चतुर्थांश के आधार पर लिया जाता है।

इसी तरह, समानता के बाईं ओर से एक घटाना, और साइन और कोसाइन के वर्गों का योग दाईं ओर से, हम प्राप्त करते हैं:
क्योंकि2अ-1 = क्योंकि2अ-पाप2अ-क्योंकि2अ-पाप2अ
2पाप 2 एक = 1-क्योंकि2 एक

और अंत में, त्रिकोणमितीय कार्यों के योग को एक उत्पाद में बदलने के लिए, हम निम्नलिखित ट्रिक का उपयोग करते हैं। मान लीजिए हमें एक उत्पाद के रूप में ज्या के योग का प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता है पापएक+पापबी. आइए वेरिएबल्स x और y को ऐसे पेश करें कि a = x+y, b+x-y। फिर
पापएक+पापबी = पाप(एक्स + वाई) + पाप(एक्स-वाई) = पापएक्स क्योंकिवाई + क्योंकिएक्स पापवाई + पापएक्स क्योंकिय- क्योंकिएक्स पापवाई = 2 पापएक्स क्योंकिवाई आइए अब x और y को a और b के रूप में व्यक्त करें।

चूँकि a = x+y, b = x-y, तब . इसीलिए

आप तुरंत वापस ले सकते हैं

1. विभाजन सूत्र साइन और कोसाइन के उत्पादमें रकम: पापएकक्योंकिबी = 0.5(पाप(क+ख)+पाप(ए-बी))

हम अनुशंसा करते हैं कि आप ज्या और कोसाइन के योग और अंतर के गुणनफल को गुणनफल में परिवर्तित करने के साथ-साथ ज्या और कोसाइन के गुणनफल को योग में विभाजित करने के लिए सूत्रों का अभ्यास और व्युत्पन्न करें। इन अभ्यासों को करने के बाद, आप त्रिकोणमितीय फ़ार्मुलों को निकालने के कौशल में पूरी तरह से महारत हासिल कर लेंगे और सबसे कठिन नियंत्रण, ओलंपियाड या परीक्षण में भी हार नहीं मानेंगे।

दो कोणों α और β के लिए ज्या और कोसाइन के योग और अंतर के सूत्र आपको संकेतित कोणों के योग से कोणों α + β 2 और α - β 2 के उत्पाद तक जाने की अनुमति देते हैं। हम तुरंत ध्यान देते हैं कि योग और अंतर के साइन और कोसाइन के फॉर्मूले के साथ साइन और कोसाइन के योग और अंतर के फॉर्मूले को भ्रमित न करें। नीचे हम इन सूत्रों को सूचीबद्ध करते हैं, उनकी व्युत्पत्ति देते हैं और विशिष्ट समस्याओं के लिए आवेदन के उदाहरण दिखाते हैं।

Yandex.RTB R-A-339285-1

साइन और कोसाइन के योग और अंतर के लिए सूत्र

आइए लिखते हैं कि ज्या और कोज्या के योग और अंतर के सूत्र कैसे दिखते हैं

साइन के लिए योग और अंतर सूत्र

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

कोसाइन के लिए योग और अंतर सूत्र

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α 2

ये सूत्र किसी भी कोण α और β के लिए मान्य हैं। कोण α + β 2 और α - β 2 क्रमशः, कोण अल्फा और बीटा के आधे-योग और आधे-अंतर कहलाते हैं। हम प्रत्येक सूत्र के लिए एक सूत्रीकरण देते हैं।

ज्या और कोज्या के योग और अंतर सूत्र की परिभाषाएं

दो कोणों की ज्या का योगइन कोणों के आधे योग की साइन और आधे अंतर की कोज्या के गुणनफल के दोगुने के बराबर है।

दो कोणों की ज्या का अंतरइन कोणों के आधे अंतर की ज्या और आधे योग के कोसाइन के गुणनफल के दोगुने के बराबर है।

दो कोणों के कोसाइन का योगइन कोणों के आधे योग के कोसाइन और आधे अंतर के कोसाइन के गुणनफल के दोगुने के बराबर है।

दो कोणों के कोसाइन का अंतरएक ऋणात्मक चिह्न के साथ लिए गए इन कोणों के अर्ध-योग और अर्ध-अंतर के कोसाइन के गुणनफल के दोगुने के बराबर है।

साइन और कोसाइन के योग और अंतर के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति

दो कोणों के साइन और कोसाइन के योग और अंतर के सूत्र निकालने के लिए योग सूत्रों का उपयोग किया जाता है। हम उन्हें नीचे प्रस्तुत करते हैं

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β

हम स्वयं कोणों को आधे योग और आधे अंतर के योग के रूप में भी दर्शाते हैं।

α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 - α 2 + β 2

हम sin और cos के योग और अंतर सूत्रों की व्युत्पत्ति के लिए सीधे आगे बढ़ते हैं।

साइन के योग के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

sin α + sin β के योग में, हम α और β को ऊपर दिए गए इन कोणों के व्यंजकों से प्रतिस्थापित करते हैं। प्राप्त

पाप α + पाप β = पाप α + β 2 + α - β 2 + पाप α + β 2 - α - β 2

अब हम पहले व्यंजक पर योग सूत्र लागू करते हैं, और दूसरे व्यंजक पर कोण अंतर का ज्या सूत्र (उपरोक्त सूत्र देखें)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 कॉस α - β 2

शेष सूत्र निकालने के चरण समान हैं।

ज्या के अंतर के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 कॉस α + β 2

कोसाइन के योग के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 कॉस α - β 2

कोज्या अंतर सूत्र की व्युत्पत्ति

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 पाप α - β 2

व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के उदाहरण

आरंभ करने के लिए, हम इसमें विशिष्ट कोण मानों को प्रतिस्थापित करके किसी एक सूत्र की जाँच करेंगे। चलो α = π 2 , β = π 6 । आइए इन कोणों की ज्याओं के योग के मान की गणना करें। सबसे पहले, हम त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल मूल्यों की तालिका का उपयोग करते हैं, और फिर हम ज्याओं के योग के लिए सूत्र लागू करते हैं।

उदाहरण 1. दो कोणों की ज्या के योग के सूत्र की जाँच करना

α \u003d π 2, β \u003d π 6 पाप π 2 + पाप π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 पाप π 2 + पाप π 6 \u003d 2 पाप π 2 + π 6 2 कॉस π 2 - π 6 2 \u003d 2 पाप π 3 कॉस π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

आइए अब उस मामले पर विचार करें जब कोणों के मान तालिका में प्रस्तुत मूल मूल्यों से भिन्न होते हैं। मान लीजिए α = 165°, β = 75°। आइए हम इन कोणों की साइन के बीच के अंतर के मान की गणना करें।

उदाहरण 2. ज्या अंतर सूत्र को लागू करना

α = 165 °, β = 75 ° पाप α - पाप β = पाप 165 ° - पाप 75 ° पाप 165 - पाप 75 = 2 पाप 165 ° - पाप 75 ° 2 cos 165 ° + पाप 75 ° 2 = = 2 पाप 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

ज्या और कोज्या के योग और अंतर के सूत्रों का उपयोग करके, आप योग या अंतर से त्रिकोणमितीय कार्यों के उत्पाद तक जा सकते हैं। अक्सर इन सूत्रों को योग से गुणनफल में संक्रमण के लिए सूत्र कहा जाता है। साइन और कोसाइन के योग और अंतर के सूत्र त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने और त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करने में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

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इस लेख में, हम एक व्यापक नज़र डालेंगे। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं समानताएं हैं जो साइन, कोज्या, स्पर्शरेखा और एक कोण की कोटिस्पर्श रेखा के बीच संबंध स्थापित करती हैं, और आपको ज्ञात अन्य के माध्यम से इनमें से किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को खोजने की अनुमति देती हैं।

हम मुख्य त्रिकोणमितीय पहचानों को तुरंत सूचीबद्ध करते हैं, जिनका हम इस लेख में विश्लेषण करेंगे। हम उन्हें एक तालिका में लिखते हैं, और नीचे हम इन सूत्रों की व्युत्पत्ति देते हैं और आवश्यक स्पष्टीकरण देते हैं।

पेज नेविगेशन।

एक कोण के ज्या और कोसाइन के बीच संबंध

कभी-कभी वे उपरोक्त तालिका में सूचीबद्ध मुख्य त्रिकोणमितीय पहचानों के बारे में नहीं, बल्कि एक एकल के बारे में बात करते हैं बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचानमेहरबान . इस तथ्य के लिए स्पष्टीकरण काफी सरल है: मूल त्रिकोणमितीय पहचान से इसके दोनों भागों को क्रमशः और समानता से विभाजित करने के बाद समानताएं प्राप्त की जाती हैं। तथा ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, और cotangent की परिभाषाओं से पालन करें। हम निम्नलिखित पैराग्राफ में इस पर अधिक विस्तार से चर्चा करेंगे।

अर्थात्, यह वह समानता है जो विशेष रुचि की है, जिसे मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान का नाम दिया गया था।

मूल त्रिकोणमितीय पहचान को सिद्ध करने से पहले, हम इसका सूत्रीकरण देते हैं: एक कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों का योग समान रूप से एक के बराबर होता है। अब इसे साबित करते हैं।

बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान बहुत बार उपयोग की जाती है त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों का परिवर्तन. यह एक कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों के योग को एक से बदलने की अनुमति देता है। कम अक्सर नहीं, मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग उल्टे क्रम में किया जाता है: इकाई को किसी भी कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों के योग से बदल दिया जाता है।

साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श

रूप के एक कोण के साइन और कोसाइन के साथ स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श को जोड़ने वाली पहचान और तुरंत ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाओं का पालन करें। वास्तव में, परिभाषा के अनुसार, ज्या y की कोटि है, कोसाइन x का भुज है, स्पर्शरेखा भुज के लिए कोटि का अनुपात है, अर्थात, , और cotangent कोटि के भुज का अनुपात है, अर्थात, .

पहचान की इस स्पष्टता के कारण और अक्सर स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाएँ भुज और कोटि के अनुपात के माध्यम से नहीं, बल्कि साइन और कोसाइन के अनुपात के माध्यम से दी जाती हैं। तो एक कोण की स्पर्शरेखा इस कोण के साइन से कोसाइन का अनुपात है, और कॉटेंजेंट कोसाइन से साइन का अनुपात है।

इस खंड को समाप्त करने के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहचान और ऐसे सभी कोणों के लिए होल्ड करें जिनके लिए उनमें त्रिकोणमितीय फलन अर्थपूर्ण हों। तो सूत्र किसी भी अन्य के लिए मान्य है (अन्यथा भाजक शून्य होगा, और हमने विभाजन को शून्य से परिभाषित नहीं किया है), और सूत्र - सभी के लिए, से भिन्न, जहाँ z कोई है।

स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के बीच संबंध

पिछले दो की तुलना में एक और भी अधिक स्पष्ट त्रिकोणमितीय पहचान, एक कोण के स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श को जोड़ने वाली पहचान है . यह स्पष्ट है कि यह के अलावा किसी भी कोण के लिए होता है, अन्यथा या तो स्पर्शरेखा या कोटिस्पर्श परिभाषित नहीं होता है।

सूत्र का प्रमाण बहुत आसान। परिभाषा के अनुसार और कहाँ से . सबूत को थोड़े अलग तरीके से अंजाम दिया जा सकता था। चूंकि और , फिर .

तो, एक कोण की स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श रेखा, जिस पर वे समझ में आते हैं, है।