प्रथम कोटि के अवकल समीकरण को हल कीजिए। प्रथम कोटि के अवकल समीकरण

एक अंतर समीकरण एक समीकरण है जिसमें एक फ़ंक्शन और उसके एक या अधिक डेरिवेटिव शामिल हैं। अधिकांश व्यावहारिक समस्याओं में, कार्य भौतिक मात्राएं हैं, डेरिवेटिव इन मात्राओं के परिवर्तन की दरों के अनुरूप हैं, और समीकरण उनके बीच के संबंध को निर्धारित करता है।

यह लेख कुछ प्रकार के साधारण अंतर समीकरणों को हल करने के तरीकों पर चर्चा करता है, जिनके समाधान के रूप में लिखा जा सकता है प्राथमिक कार्य, अर्थात्, बहुपद, घातीय, लघुगणकीय और त्रिकोणमितीय कार्य, साथ ही साथ उनके व्युत्क्रम कार्य। इनमें से कई समीकरण वास्तविक जीवन में होते हैं, हालांकि अधिकांश अन्य अंतर समीकरणों को इन विधियों से हल नहीं किया जा सकता है, और उनके लिए उत्तर विशेष कार्यों या शक्ति श्रृंखला के रूप में लिखा जाता है, या संख्यात्मक तरीकों से पाया जाता है।

इस लेख को समझने के लिए, आपको डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस को जानने की जरूरत है, साथ ही आंशिक डेरिवेटिव की कुछ समझ होनी चाहिए। अंतर समीकरणों, विशेष रूप से दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों पर लागू रैखिक बीजगणित की मूल बातें जानने की भी सिफारिश की जाती है, हालांकि अंतर और अभिन्न कलन का ज्ञान उन्हें हल करने के लिए पर्याप्त है।

प्रारंभिक जानकारी

• विभेदक समीकरणों का एक व्यापक वर्गीकरण है। यह लेख बात करता है सामान्य अवकल समीकरण, अर्थात्, उन समीकरणों के बारे में जिनमें एक चर और उसके डेरिवेटिव का एक कार्य शामिल है। साधारण अवकल समीकरणों को समझना और हल करना बहुत आसान है आंशिक अंतर समीकरण, जिसमें कई चर के कार्य शामिल हैं। यह लेख आंशिक अंतर समीकरणों पर विचार नहीं करता है, क्योंकि इन समीकरणों को हल करने के तरीके आमतौर पर उनके विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं।
  • नीचे साधारण अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • नीचे आंशिक अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\आंशिक ^(2)f)(\आंशिक x^(2)))+(\frac (\आंशिक ^(2) )f)(\आंशिक y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• आदेशअंतर समीकरण इस समीकरण में शामिल उच्चतम व्युत्पन्न के क्रम से निर्धारित होता है। उपरोक्त साधारण अंतर समीकरणों में से पहला पहले क्रम का है, जबकि दूसरा दूसरे क्रम का है। डिग्रीअवकल समीकरण की वह उच्चतम घात कहलाती है जिसके लिए इस समीकरण का कोई एक पद ऊपर उठाया जाता है।
  • उदाहरण के लिए, नीचे दिया गया समीकरण तीसरा क्रम और दूसरी शक्ति है।
    • (डी 3 वाई डी एक्स 3) 2 + डी वाई डी एक्स = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (डी) )^(3)y)((\mathrm (डी) )x^(3))) सही)^(2)+(\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))=0)
• अवकल समीकरण है रैखिक अंतर समीकरणयदि फ़ंक्शन और उसके सभी डेरिवेटिव पहली शक्ति में हैं। अन्यथा, समीकरण है गैर रेखीय अंतर समीकरण. रेखीय अवकल समीकरण इस मायने में उल्लेखनीय हैं कि उनके हल से रेखीय संयोजन बनाए जा सकते हैं, जो इस समीकरण के भी हल होंगे।
  • नीचे रेखीय अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
  • नीचे अरैखिक अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। साइन शब्द के कारण पहला समीकरण गैर-रैखिक है।
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \बाएं((\frac ((\mathrm (डी) )x)((\mathrm (डी) )t))\दाएं)^(2)+tx^(2)=0)
• सामान्य निर्णयसाधारण अवकल समीकरण अद्वितीय नहीं है, इसमें शामिल है एकीकरण के मनमाने स्थिरांक. ज्यादातर मामलों में, मनमाने स्थिरांक की संख्या समीकरण के क्रम के बराबर होती है। व्यवहार में, इन स्थिरांकों के मान दिए गए द्वारा निर्धारित किए जाते हैं आरंभिक स्थितियां, अर्थात्, फ़ंक्शन के मूल्यों और इसके डेरिवेटिव पर x = 0. (\displaystyle x=0.)खोजने के लिए आवश्यक प्रारंभिक स्थितियों की संख्या निजी निर्णयअवकल समीकरण, अधिकांश स्थितियों में इस समीकरण की कोटि के बराबर भी होता है।
  • उदाहरण के लिए, यह लेख नीचे दिए गए समीकरण को हल करने पर ध्यान देगा। यह द्वितीय कोटि का रेखीय अवकल समीकरण है। इसके सामान्य समाधान में दो मनमाना स्थिरांक होते हैं। इन स्थिरांकों को खोजने के लिए, प्रारंभिक स्थितियों को जानना आवश्यक है एक्स (0) (\displaystyle x(0))तथा एक्स' (0)। (\displaystyle x"(0).)आमतौर पर प्रारंभिक शर्तें बिंदु पर दी जाती हैं x = 0 , (\displaystyle x=0,)हालांकि यह आवश्यक नहीं है। यह लेख इस बात पर भी विचार करेगा कि दी गई प्रारंभिक स्थितियों के लिए विशेष समाधान कैसे प्राप्त करें।
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2) )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

कदम

भाग 1

पहले क्रम के समीकरण

इस सेवा का उपयोग करते समय, कुछ जानकारी YouTube पर स्थानांतरित की जा सकती है।

1. पहले क्रम के रैखिक समीकरण।यह खंड सामान्य और विशेष मामलों में प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरणों को हल करने की विधियों पर चर्चा करता है, जब कुछ पद शून्य के बराबर होते हैं। चलो बहाना करते हैं वाई = वाई (एक्स), (\displaystyle y=y(x),) पी (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल पी(एक्स))तथा क्यू (एक्स) (\displaystyle q(x))कार्य हैं एक्स । (\displaystyle x.)

   डी वाई डी एक्स + पी (एक्स) वाई = क्यू (एक्स) ))
   

   पी (एक्स) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)गणितीय विश्लेषण के एक मुख्य प्रमेय के अनुसार, किसी फलन के अवकलज का समाकल भी एक फलन होता है। इस प्रकार, इसका समाधान खोजने के लिए केवल समीकरण को एकीकृत करना पर्याप्त है। इस मामले में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि अनिश्चितकालीन अभिन्न की गणना करते समय, एक मनमाना स्थिरांक प्रकट होता है।

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   क्यू (एक्स) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)हम विधि का उपयोग करते हैं चरों का पृथक्करण. इस स्थिति में, विभिन्न चरों को समीकरण के विभिन्न पक्षों में स्थानांतरित किया जाता है। उदाहरण के लिए, आप सभी सदस्यों को से स्थानांतरित कर सकते हैं y (\displaystyle y)एक में, और सभी सदस्यों के साथ एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)समीकरण के दूसरी तरफ। सदस्यों को भी स्थानांतरित किया जा सकता है डी एक्स (\displaystyle (\mathrm (डी) )x)तथा d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), जो व्युत्पन्न भावों में शामिल हैं, हालांकि, यह याद रखना चाहिए कि यह सिर्फ एक सम्मेलन है, जो एक जटिल कार्य को अलग करते समय सुविधाजनक होता है। इन शब्दों की चर्चा, जिन्हें कहा जाता है भिन्नता, इस लेख के दायरे से बाहर है।

   • सबसे पहले, आपको चरों को बराबर चिह्न के विपरीत दिशा में ले जाने की आवश्यकता है।
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • हम समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करते हैं। समाकलन के बाद, मनमाना स्थिरांक दोनों पक्षों में दिखाई देते हैं, जिन्हें समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित किया जा सकता है।
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • उदाहरण 1.1।अंतिम चरण में, हमने नियम का उपयोग किया e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))और बदल दिया ई सी (\प्रदर्शन शैली ई^(सी))पर सी (\displaystyle सी), क्योंकि यह एकीकरण का एक मनमाना स्थिरांक भी है।
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ गणित (डी) )y&=\sin x(\mathrm (डी) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(संरेखित)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)सामान्य समाधान खोजने के लिए, हमने परिचय दिया एकीकृत कारकके एक समारोह के रूप में एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)बाईं ओर को एक सामान्य व्युत्पन्न में कम करने के लिए और इस प्रकार समीकरण को हल करें।

   • दोनों पक्षों को से गुणा करें μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • बाईं ओर को एक सामान्य व्युत्पन्न में कम करने के लिए, निम्नलिखित परिवर्तन किए जाने चाहिए:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (डी) )\mu )((\mathrm (डी) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+\mu py)
   • अंतिम समानता का अर्थ है d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). यह एक एकीकृत कारक है जो किसी भी प्रथम कोटि के रैखिक समीकरण को हल करने के लिए पर्याप्त है। अब हम इस समीकरण को हल करने के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं μ , (\displaystyle \mu ,)हालांकि प्रशिक्षण के लिए सभी मध्यवर्ती गणना करना उपयोगी होता है।
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • उदाहरण 1.2।इस उदाहरण में, हम इस बात पर विचार करते हैं कि दी गई आरंभिक शर्तों के साथ अवकल समीकरण का विशेष हल कैसे खोजा जाए।
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\क्वाड y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln टी)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (डी) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (सी)(t^(2)))\end(संरेखित)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • वाई (टी) = 1 4 टी 2 + 8 टी 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   पहले क्रम के रैखिक समीकरणों को हल करना (इंटुइट - नेशनल ओपन यूनिवर्सिटी द्वारा रिकॉर्ड किया गया)।

2. अरैखिक प्रथम कोटि के समीकरण. इस खंड में, प्रथम कोटि के कुछ अरैखिक अवकल समीकरणों को हल करने की विधियों पर विचार किया गया है। हालांकि ऐसे समीकरणों को हल करने की कोई सामान्य विधि नहीं है, उनमें से कुछ को नीचे दी गई विधियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   डी वाई डी एक्स = एच (एक्स) जी (वाई)। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)यदि समारोह f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))एक चर के कार्यों में विभाजित किया जा सकता है, ऐसा समीकरण कहा जाता है वियोज्य अंतर समीकरण. इस स्थिति में, आप उपरोक्त विधि का उपयोग कर सकते हैं:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (डी) )एक्स)
   • उदाहरण 1.3।
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ start(aligned)\int y(\mathrm (डी) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (डी) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(संरेखित)))

   डी वाई डी एक्स = जी (एक्स, वाई) एच (एक्स, वाई)। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y)))।)चलो बहाना करते हैं जी (एक्स, वाई) (\displaystyle g(x, y))तथा एच (एक्स, वाई) (\displaystyle h(x, y))कार्य हैं एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)तथा वाई। (\displaystyle y.)फिर सजातीय अंतर समीकरणएक समीकरण है जिसमें जी (\displaystyle g)तथा एच (\displaystyle h)हैं सजातीय कार्यसमान डिग्री। अर्थात्, कार्यों को शर्त को पूरा करना चाहिए g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)कहाँ पे के (\डिस्प्लेस्टाइल के)समरूपता की कोटि कहलाती है। किसी भी सजातीय अंतर समीकरण को उपयुक्त द्वारा दिया जा सकता है चर का परिवर्तन (v = y / x (\displaystyle v=y/x)या वी = एक्स / वाई (\displaystyle v=x/y)) वियोज्य चर के साथ एक समीकरण में बदलने के लिए।

   • उदाहरण 1.4।एकरूपता का उपरोक्त विवरण अस्पष्ट लग सकता है। आइए इस अवधारणा को एक उदाहरण के साथ देखें।
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^) (3))(y^(2)x)))
     • आरंभ करने के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह समीकरण गैर-रैखिक है वाई। (\displaystyle y.)हम यह भी देखते हैं कि इस मामले में चरों को अलग करना असंभव है। हालांकि, यह अंतर समीकरण सजातीय है, क्योंकि अंश और हर दोनों 3 की शक्ति के साथ सजातीय हैं। इसलिए, हम चर में परिवर्तन कर सकते हैं वी = वाई / एक्स। (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x) ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (डी) )वी)((\mathrm (डी) )x))x+v)
     • डी वी डी एक्स एक्स = −1 वी 2। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (डी) )v)((\mathrm (डी) )x))x=-(\frac (1)(v^(2)))।)नतीजतन, हमारे पास एक समीकरण है वी (\displaystyle v)साझा चर के साथ।
     • v (x) = − 3 लॉग ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   डी वाई डी एक्स = पी (एक्स) वाई + क्यू (एक्स) वाई एन। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)यह बरनौली अवकल समीकरण- पहली डिग्री का एक विशेष प्रकार का अरेखीय समीकरण, जिसका समाधान प्राथमिक कार्यों का उपयोग करके लिखा जा सकता है।

   • समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा कीजिये (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • हम बाईं ओर एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियम का उपयोग करते हैं और समीकरण को एक रैखिक समीकरण में बदल देते हैं y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)जिसे उपरोक्त विधियों द्वारा हल किया जा सकता है।
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (डी) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (डी)) एक्स)) = 0।)यह कुल अंतर समीकरण. तथाकथित को खोजना आवश्यक है संभावित समारोह φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), जो शर्त को पूरा करता है d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • इस शर्त को पूरा करने के लिए यह जरूरी है कुल व्युत्पन्न. कुल व्युत्पन्न अन्य चरों पर निर्भरता को ध्यान में रखता है। कुल व्युत्पन्न की गणना करने के लिए φ (\displaystyle \varphi )पर एक्स , (\displaystyle x,)हम मानते हैं कि y (\displaystyle y)पर भी निर्भर हो सकता है एक्स । (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\आंशिक \varphi) )(\आंशिक x))+(\frac (\आंशिक \varphi )(\आंशिक y))(\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x)))
   • तुलना करने वाले शब्द हमें देते हैं M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))तथा एन (एक्स, वाई) = ∂ φ ∂ वाई। (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).)यह कई चर वाले समीकरणों के लिए एक विशिष्ट परिणाम है, जहां चिकनी कार्यों के मिश्रित डेरिवेटिव एक दूसरे के बराबर होते हैं। कभी-कभी इस मामले को कहा जाता है क्लेराट की प्रमेय. इस स्थिति में, अंतर समीकरण कुल अंतरों में एक समीकरण है, यदि निम्न स्थिति संतुष्ट होती है:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • कुल अंतरों में समीकरणों को हल करने की विधि कई डेरिवेटिव्स की उपस्थिति में संभावित कार्यों को खोजने के समान है, जिसकी हम संक्षेप में चर्चा करेंगे। पहले हम एकीकृत करते हैं एम (\डिस्प्लेस्टाइल एम)पर एक्स । (\displaystyle x.)क्यों कि एम (\डिस्प्लेस्टाइल एम)एक समारोह है और एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स), तथा वाई , (\displaystyle y,)समाकलन करते समय, हमें एक अपूर्ण फलन मिलता है φ , (\displaystyle \varphi ,)के रूप में लेबल किया गया φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). परिणाम में निर्भर भी शामिल है y (\displaystyle y)एकीकरण की निरंतरता।
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (डी) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • इसके बाद पाना है सी (वाई) (\डिस्प्लेस्टाइल सी(वाई))आप परिणामी फ़ंक्शन के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न ले सकते हैं वाई , (\displaystyle y,)परिणाम की बराबरी करें एन (एक्स, वाई) (\displaystyle N(x, y))और एकीकृत करें। कोई पहले एकीकृत भी कर सकता है एन (\displaystyle N), और उसके बाद आंशिक व्युत्पन्न लें एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स), जो हमें एक मनमाना कार्य खोजने की अनुमति देगा डी (एक्स)। (\displaystyle d(x).)दोनों विधियाँ उपयुक्त हैं, और आमतौर पर एकीकरण के लिए सरल कार्य को चुना जाता है।
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ आंशिक (\tilde (\varphi )))(\आंशिक y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • उदाहरण 1.5।आप आंशिक डेरिवेटिव ले सकते हैं और सत्यापित कर सकते हैं कि नीचे दिया गया समीकरण कुल अंतर समीकरण है।
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (डी)) )y)((\mathrm (डी) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x, y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi) &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (डी) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\आंशिक) \varphi )(\आंशिक y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(संरेखित)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • यदि अंतर समीकरण कुल अंतर समीकरण नहीं है, तो कुछ मामलों में आप एक एकीकृत कारक पा सकते हैं जो आपको इसे कुल अंतर समीकरण में बदलने की अनुमति देगा। हालांकि, इस तरह के समीकरण व्यवहार में शायद ही कभी उपयोग किए जाते हैं, और हालांकि एकीकृत कारक मौजूद, लगता है ऐसा होता है आसान नहीं है, इसलिए इस लेख में इन समीकरणों पर विचार नहीं किया गया है।

भाग 2

दूसरे क्रम के समीकरण

1. निरंतर गुणांक वाले सजातीय रैखिक अंतर समीकरण।इन समीकरणों का व्यवहार में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, इसलिए उनका समाधान सर्वोपरि है। इस मामले में, हम सजातीय कार्यों के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, लेकिन इस तथ्य के बारे में कि समीकरण के दाईं ओर 0 है। अगले भाग में, हम दिखाएंगे कि कैसे संबंधित विजातीयविभेदक समीकरण। नीचे ए (\displaystyle a)तथा बी (\displaystyle b)स्थिरांक हैं।

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+by=0)
   

   विशेषता समीकरण. यह विभेदक समीकरण इस मायने में उल्लेखनीय है कि इसे बहुत आसानी से हल किया जा सकता है यदि आप इस बात पर ध्यान दें कि इसके समाधानों में क्या गुण होने चाहिए। यह समीकरण से देखा जा सकता है कि y (\displaystyle y)और इसके डेरिवेटिव एक दूसरे के आनुपातिक हैं। पिछले उदाहरणों से, जिन पर प्रथम-क्रम समीकरणों के खंड में विचार किया गया था, हम जानते हैं कि केवल चरघातांकी फलन में ही यह गुण होता है। इसलिए, सामने रखना संभव है ansatz(एक शिक्षित अनुमान) दिए गए समीकरण का हल क्या होगा।

   • समाधान एक चरघातांकी फलन का रूप ले लेगा ई आर एक्स , (\displaystyle e^(rx),)कहाँ पे आर (\displaystyle r)एक स्थिरांक है जिसका मान ज्ञात करना है। इस फ़ंक्शन को समीकरण में प्रतिस्थापित करें और निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करें
     • ई आर एक्स (आर 2 + ए आर + बी) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • यह समीकरण इंगित करता है कि घातीय फलन और बहुपद का गुणनफल शून्य होना चाहिए। यह ज्ञात है कि डिग्री के किसी भी मान के लिए प्रतिपादक शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि बहुपद शून्य के बराबर है। इस प्रकार, हमने अवकल समीकरण को हल करने की समस्या को बीजगणितीय समीकरण को हल करने की एक बहुत ही सरल समस्या में बदल दिया है, जिसे दिए गए अवकल समीकरण के लिए अभिलक्षणिक समीकरण कहा जाता है।
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • हमारी दो जड़ें हैं। चूँकि यह अवकल समीकरण रैखिक है, इसका व्यापक हल आंशिक हलों का एक रैखिक संयोजन है। चूंकि यह दूसरे क्रम का समीकरण है, हम जानते हैं कि यह है वास्तव मेंसामान्य समाधान, और कोई अन्य नहीं हैं। इसके लिए एक अधिक कठोर औचित्य समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता पर प्रमेयों में निहित है, जो पाठ्यपुस्तकों में पाया जा सकता है।
   • गणना करने के लिए दो समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं या नहीं, यह जांचने का एक उपयोगी तरीका है Wronskian. Wronskian डब्ल्यू (\डिस्प्लेस्टाइल डब्ल्यू)- यह मैट्रिक्स का निर्धारक है, जिसके स्तंभों में कार्य और उनके क्रमिक डेरिवेटिव हैं। रैखिक बीजगणित प्रमेय में कहा गया है कि व्रोनस्कियन में कार्य रैखिक रूप से निर्भर हैं यदि व्रोनस्कियन शून्य के बराबर है। इस खंड में, हम यह सुनिश्चित करके परीक्षण कर सकते हैं कि क्या दो समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, यह सुनिश्चित करके कि व्रोनस्कियन गैर-शून्य है। पैरामीटर भिन्नता विधि द्वारा निरंतर गुणांक वाले गैर-समरूप अंतर समीकरणों को हल करने में व्रोनस्कियन महत्वपूर्ण है।
     • डब्ल्यू = | y 1 y 2 y 1′ y 2′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • रैखिक बीजगणित के संदर्भ में, दिए गए अंतर समीकरण के सभी समाधानों का सेट एक सदिश स्थान बनाता है जिसका आयाम अंतर समीकरण के क्रम के बराबर होता है। इस स्थान में, कोई एक आधार चुन सकता है रैखिक रूप से स्वतंत्रएक दूसरे से निर्णय। यह इस तथ्य के कारण संभव है कि function वाई (एक्स) (\displaystyle y(x))वैध रैखिक ऑपरेटर. यौगिक हैरैखिक ऑपरेटर, क्योंकि यह अलग-अलग कार्यों के स्थान को सभी कार्यों के स्थान में बदल देता है। समीकरणों को ऐसे मामलों में सजातीय कहा जाता है जहां कुछ रैखिक ऑपरेटर के लिए एल (\डिस्प्लेस्टाइल एल)समीकरण का हल खोजना आवश्यक है एल [वाई] = 0. (\displaystyle एल[y]=0.)

   आइए अब कुछ विशिष्ट उदाहरणों की ओर मुड़ें। क्रम में कमी पर अनुभाग में विशेषता समीकरण की कई जड़ों के मामले पर थोड़ी देर बाद विचार किया जाएगा।

   अगर जड़ें आर ± (\displaystyle r_(\pm ))भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं, अवकल समीकरण का निम्नलिखित हल है

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   दो जटिल जड़ें।यह बीजगणित के मौलिक प्रमेय से अनुसरण करता है कि वास्तविक गुणांक वाले बहुपद समीकरणों के समाधान की जड़ें वास्तविक हैं या संयुग्मी जोड़े हैं। इसलिए, यदि जटिल संख्या r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta )विशेषता समीकरण की जड़ है, तो r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta )इस समीकरण का मूल भी है। इस प्रकार, समाधान को रूप में लिखा जा सकता है c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)हालाँकि, यह एक जटिल संख्या है और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में अवांछनीय है।

   • इसके बजाय आप उपयोग कर सकते हैं यूलर सूत्र e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), जो आपको त्रिकोणमितीय कार्यों के रूप में समाधान लिखने की अनुमति देता है:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ बीटा x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • अब आप निरंतर के बजाय कर सकते हैं सी 1 + सी 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))लिखो सी 1 (\displaystyle c_(1)), और अभिव्यक्ति i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))द्वारा प्रतिस्थापित सी 2। (\displaystyle c_(2).)उसके बाद हमें निम्नलिखित समाधान मिलता है:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2) \ पाप \ बीटा x))
   • समाधान को आयाम और चरण के संदर्भ में लिखने का एक और तरीका है, जो शारीरिक समस्याओं के लिए बेहतर अनुकूल है।
   • उदाहरण 2.1।आइए, दी गई आरंभिक शर्तों के साथ नीचे दिए गए अवकल समीकरण का हल ज्ञात करें। इसके लिए प्राप्त किए गए घोल को लेना आवश्यक है, साथ ही इसके व्युत्पन्न, और उन्हें प्रारंभिक स्थितियों में स्थानापन्न करें, जो हमें मनमाना स्थिरांक निर्धारित करने की अनुमति देगा।
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (डी) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (डी) )x)((\mathrm (डी) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )मैं)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • एक्स ′ (टी) = - 3 2 ई - 3 टी / 2 (सी 1 कॉस ⁡ 31 2 टी + सी 2 पाप ⁡ 31 2 टी) + ई - 3 टी / 2 (- 31 2 सी 1 पाप ⁡ 31 2 टी + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\बाएं(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(संरेखित)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   निरंतर गुणांक वाले nवें क्रम के अवकल समीकरणों को हल करना (Intuit - National Open University द्वारा रिकॉर्ड किया गया)।

2. पदावनति आदेश।जब एक रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान ज्ञात हो, तब अवकल समीकरणों को हल करने के लिए ऑर्डर रिडक्शन एक विधि है। इस पद्धति में समीकरण के क्रम को एक से कम करना शामिल है, जो पिछले अनुभाग में वर्णित विधियों का उपयोग करके समीकरण को हल करने की अनुमति देता है। उपाय जानते हैं। आदेश को कम करने का मुख्य विचार नीचे दिए गए फॉर्म में एक समाधान खोजना है, जहां फ़ंक्शन को परिभाषित करना आवश्यक है वी (एक्स) (\displaystyle v(x)), इसे अंतर समीकरण और खोज में प्रतिस्थापित करना वी (एक्स)। (\displaystyle v(x).)आइए विचार करें कि निरंतर गुणांक और कई जड़ों के साथ अंतर समीकरण को हल करने के लिए क्रम में कमी का उपयोग कैसे किया जा सकता है।

   
   

   एकाधिक जड़ेंनिरंतर गुणांक के साथ सजातीय अंतर समीकरण। याद रखें कि दूसरे क्रम के समीकरण में दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान होने चाहिए। यदि अभिलाक्षणिक समीकरण के अनेक मूल हैं, तो हलों का समुच्चय नहींएक स्थान बनाता है क्योंकि ये समाधान रैखिक रूप से निर्भर हैं। इस मामले में, एक दूसरा रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान खोजने के लिए क्रम में कमी का उपयोग किया जाना चाहिए।

   • बता दें कि चारित्रिक समीकरण के कई मूल हैं आर (\displaystyle r). हम मानते हैं कि दूसरा समाधान इस रूप में लिखा जा सकता है वाई (एक्स) = ई आर एक्स वी (एक्स) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), और इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करें। इस मामले में, फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न के साथ शब्द के अपवाद के साथ, अधिकांश शर्तें वी , (\displaystyle v,)कम कर दिया जाएगा।
     • v″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • उदाहरण 2.2।निम्नलिखित समीकरण दिया गया है, जिसके कई मूल हैं r = − 4. (\displaystyle r=-4.)प्रतिस्थापित करते समय, अधिकांश शर्तें रद्द कर दी जाती हैं।
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e - 4 x y '= v' (x) e - 4 x - 4 v (x) e - 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x) )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x) \ अंत (संरेखित)))
     • v″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(गठबंधन) )v""e^(-4x)&-(\रद्द करें (8v"e^(-4x)))+(\रद्द करें (16ve^(-4x)))\\&+(\रद्द करें (8v"ई ^(-4x)))-(\रद्द (32ve^(-4x)))+(\रद्द करें (16ve^(-4x)))=0\end(संरेखित)))
   • स्थिर गुणांक वाले अवकल समीकरण के लिए हमारे ansatz की तरह, इस मामले में केवल दूसरा अवकलज शून्य के बराबर हो सकता है। हम दो बार एकीकृत करते हैं और इसके लिए वांछित अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं वी (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • तब अचर गुणांक वाले अवकल समीकरण का व्यापक हल, यदि अभिलाक्षणिक समीकरण के अनेक मूल हों, तो उसे निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है। सुविधा के लिए, आप याद रख सकते हैं कि रैखिक स्वतंत्रता प्राप्त करने के लिए, बस दूसरे पद को गुणा करना पर्याप्त है एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स). समाधानों का यह सेट रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और इस प्रकार हमें इस समीकरण के सभी समाधान मिल गए हैं।
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+q(x)y=0.)समाधान ज्ञात होने पर आदेश में कमी लागू होती है y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), जो समस्या कथन में पाया या दिया जा सकता है।

   • हम फॉर्म में समाधान ढूंढ रहे हैं y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))और इसे इस समीकरण में प्लग करें:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • क्यों कि y 1 (\displaystyle y_(1))सभी शर्तों के साथ अंतर समीकरण का समाधान है वी (\displaystyle v)सिकुड़ रहे हैं। नतीजतन, यह बनी हुई है पहला क्रम रैखिक समीकरण. इसे और अधिक स्पष्ट रूप से देखने के लिए, आइए चरों को बदलें डब्ल्यू (एक्स) = वी' (एक्स) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (डी) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • यदि अभिन्नों की गणना की जा सकती है, तो हमें प्राथमिक कार्यों के संयोजन के रूप में सामान्य समाधान मिलता है। अन्यथा, समाधान को अभिन्न रूप में छोड़ा जा सकता है।

3. कौशी-यूलर समीकरण।कौशी-यूलर समीकरण दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का एक उदाहरण है चरगुणांक, जिनके सटीक समाधान हैं। इस समीकरण का व्यवहार में उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांक में लाप्लास समीकरण को हल करने के लिए।

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+by=0)
   

   विशेषता समीकरण।जैसा कि आप देख सकते हैं, इस अंतर समीकरण में, प्रत्येक शब्द में एक शक्ति कारक होता है, जिसकी डिग्री संबंधित व्युत्पन्न के क्रम के बराबर होती है।

   • इस प्रकार, कोई प्रपत्र में समाधान खोजने का प्रयास कर सकता है y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)कहाँ परिभाषित करना है एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन), ठीक वैसे ही जैसे हम अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण के लिए चरघातांकी फलन के रूप में समाधान खोज रहे थे। विभेदीकरण और प्रतिस्थापन के बाद, हम प्राप्त करते हैं
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • विशेषता समीकरण का उपयोग करने के लिए, हमें यह मान लेना चाहिए x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). दूरसंचार विभाग x = 0 (\displaystyle x=0)बुलाया नियमित एकवचन बिंदुअंतर समीकरण। घात श्रेणी का उपयोग करके अवकल समीकरणों को हल करते समय ऐसे बिंदु महत्वपूर्ण होते हैं। इस समीकरण की दो जड़ें हैं, जो अलग और वास्तविक, एकाधिक या जटिल संयुग्मी हो सकती हैं।
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))

   दो भिन्न वास्तविक जड़ें।अगर जड़ें n ± (\displaystyle n_(\pm ))वास्तविक और भिन्न हैं, तो अवकल समीकरण के हल का निम्न रूप है:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   दो जटिल जड़ें।यदि विशेषता समीकरण की जड़ें हैं n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i)समाधान एक जटिल कार्य है।

   • हल को एक वास्तविक फलन में बदलने के लिए, हम चरों में परिवर्तन करते हैं x = e t , (\displaystyle x=e^(t),)वह है t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)और यूलर सूत्र का प्रयोग करें। मनमाना स्थिरांक परिभाषित करते समय इसी तरह की क्रियाएं पहले की गई थीं।
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • तो सामान्य समाधान के रूप में लिखा जा सकता है
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   एकाधिक जड़ें।दूसरा रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान प्राप्त करने के लिए, क्रम को फिर से कम करना आवश्यक है।

   • इसमें काफी संगणना लगती है, लेकिन सिद्धांत वही है: हम स्थानापन्न करते हैं वाई = वी (एक्स) वाई 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))एक समीकरण में जिसका पहला समाधान है y 1 (\displaystyle y_(1)). कटौती के बाद, निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • के संबंध में यह प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है वी' (एक्स)। (\displaystyle v"(x).)उसका समाधान है वी (एक्स) = सी 1 + सी 2 एलएन ⁡ एक्स। (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)इस प्रकार, समाधान को निम्न रूप में लिखा जा सकता है। यह याद रखना बहुत आसान है - दूसरा रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान प्राप्त करने के लिए, आपको केवल एक अतिरिक्त पद की आवश्यकता है ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. स्थिर गुणांकों के साथ असमांगी रेखीय अवकल समीकरण।असमघात समीकरणों का रूप होता है एल [y (x) ] = f (x), (\displaystyle L=f(x),)कहाँ पे f (x) (\displaystyle f(x))- तथाकथित स्वतंत्र सदस्य. अवकल समीकरणों के सिद्धांत के अनुसार, इस समीकरण का सामान्य हल अध्यारोपण है निजी निर्णय y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))तथा अतिरिक्त समाधान वाई सी (एक्स)। (\displaystyle y_(c)(x).)हालाँकि, इस मामले में, एक विशेष समाधान का मतलब प्रारंभिक स्थितियों द्वारा दिया गया समाधान नहीं है, बल्कि एक ऐसा समाधान है जो असमानता (मुक्त सदस्य) की उपस्थिति के कारण होता है। पूरक समाधान संगत सजातीय समीकरण का समाधान है जिसमें f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)सामान्य समाधान इन दो समाधानों का सुपरपोजिशन है, क्योंकि एल [वाई पी + वाई सी] = एल [वाई पी] + एल [वाई सी] = एफ (एक्स) (\displaystyle L=L+L=f(x)), और तबसे एल [वाई सी] = 0, (\डिस्प्लेस्टाइल एल=0,)ऐसा अध्यारोपण वास्तव में एक सामान्य समाधान है।

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+by=f(x))
   

   अनिश्चित गुणांक की विधि।अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां मुक्त पद घातीय, त्रिकोणमितीय, अतिशयोक्तिपूर्ण या शक्ति कार्यों का संयोजन होता है। केवल इन कार्यों को रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव की सीमित संख्या की गारंटी है। इस भाग में, हम समीकरण का एक विशेष हल प्राप्त करेंगे।

   • शर्तों की तुलना करें f (x) (\displaystyle f(x))निरंतर कारकों की अनदेखी करने की शर्तों के साथ। तीन मामले संभव हैं।
     • कोई समान सदस्य नहीं हैं।इस मामले में, एक विशेष समाधान y p (\displaystyle y_(p))शब्दों का एक रैखिक संयोजन होगा y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) सदस्य शामिल है एक्स एन (\displaystyle x^(n)) और से एक सदस्य वाई सी , (\displaystyle y_(c),) कहाँ पे एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन) शून्य या एक सकारात्मक पूर्णांक है, और यह शब्द विशेषता समीकरण के एकल मूल से मेल खाता है।इस मामले में y p (\displaystyle y_(p))समारोह का एक संयोजन शामिल होगा x n + 1 h (x), (\displaystyle x^(n+1)h(x),)इसके रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव, साथ ही साथ अन्य शर्तें f (x) (\displaystyle f(x))और उनके रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव।
     • f (x) (\displaystyle f(x)) सदस्य शामिल है एच (एक्स), (\डिस्प्लेस्टाइल एच(एक्स),) जो एक कार्य है एक्स एन (\displaystyle x^(n)) और से एक सदस्य वाई सी , (\displaystyle y_(c),) कहाँ पे एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन) 0 या धनात्मक पूर्णांक के बराबर है, और यह शब्द इससे मेल खाता है विभिन्नविशेषता समीकरण की जड़।इस मामले में y p (\displaystyle y_(p))फ़ंक्शन का एक रैखिक संयोजन है x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(कहाँ पे s (\displaystyle s)- जड़ की बहुलता) और इसके रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव, साथ ही फ़ंक्शन के अन्य सदस्य f (x) (\displaystyle f(x))और इसके रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव।
   • चलो लिखो y p (\displaystyle y_(p))उपरोक्त शर्तों के एक रैखिक संयोजन के रूप में। एक रैखिक संयोजन में इन गुणांकों के कारण, इस विधि को "अनिश्चित गुणांकों की विधि" कहा जाता है। में निहित लोगों की उपस्थिति पर वाई सी (\displaystyle y_(c))मनमाना स्थिरांक की उपस्थिति के कारण उनके सदस्यों को त्याग दिया जा सकता है वाई सी। (\displaystyle y_(c).)उसके बाद हम स्थानापन्न करते हैं y p (\displaystyle y_(p))एक समीकरण में और शर्तों की समानता।
   • हम गुणांक निर्धारित करते हैं। इस स्तर पर, बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की जाती है, जिसे आमतौर पर बिना किसी विशेष समस्या के हल किया जा सकता है। इस प्रणाली का समाधान प्राप्त करना संभव बनाता है y p (\displaystyle y_(p))और इस तरह समीकरण को हल करें।
   • उदाहरण 2.3।एक असमांगी विभेदक समीकरण पर विचार करें जिसके मुक्त पद में रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव की एक सीमित संख्या होती है। ऐसे समीकरण का एक विशेष समाधान अनिश्चित गुणांकों की विधि द्वारा पाया जा सकता है।
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 ए ई 3 टी - 25 बी कॉस ⁡ 5 टी - 25 सी पाप ⁡ 5 टी + 6 ए ई 3 टी + 6 बी कॉस ⁡ 5 टी + 6 सी पाप ⁡ 5 टी = 2 ई 3 टी - कॉस ⁡ 5 टी ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(गठबंधन)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A) =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ अंत (मामले)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   लैग्रेंज विधि।लाग्रेंज विधि, या मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि, विषम अंतर समीकरणों को हल करने के लिए एक अधिक सामान्य विधि है, विशेष रूप से उन मामलों में जहां मुक्त पद में रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव की एक सीमित संख्या नहीं होती है। उदाहरण के लिए, मुक्त सदस्यों के साथ टैन ⁡ x (\displaystyle \tan x)या x − n (\displaystyle x^(-n))एक विशेष समाधान खोजने के लिए, लैग्रेंज विधि का उपयोग करना आवश्यक है। लाग्रेंज विधि का उपयोग चर गुणांक वाले अवकल समीकरणों को हल करने के लिए भी किया जा सकता है, हालांकि इस मामले में, कॉची-यूलर समीकरण के अपवाद के साथ, इसका उपयोग कम बार किया जाता है, क्योंकि प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में अतिरिक्त समाधान आमतौर पर व्यक्त नहीं किया जाता है।

   • मान लीजिए कि समाधान का निम्न रूप है। इसका व्युत्पन्न दूसरी पंक्ति में दिया गया है।
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • चूंकि प्रस्तावित समाधान में शामिल है दोअज्ञात मात्रा, लगाना आवश्यक है अतिरिक्तस्थि‍ति। हम इस अतिरिक्त शर्त को निम्नलिखित रूप में चुनते हैं:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • अब हम दूसरा समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। सदस्यों को प्रतिस्थापित और पुनर्वितरित करने के बाद, आप सदस्यों को एक साथ समूहित कर सकते हैं वी 1 (\displaystyle v_(1))और सदस्यों से वी 2 (\displaystyle v_(2)). ये शर्तें रद्द कर दी गई हैं क्योंकि y 1 (\displaystyle y_(1))तथा y 2 (\displaystyle y_(2))संगत समांगी समीकरण के हल हैं। नतीजतन, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(संरेखित)))
   • इस प्रणाली को फॉर्म के मैट्रिक्स समीकरण में बदला जा सकता है A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),)जिसका समाधान है x = ए − 1 ख। (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) )।)मैट्रिक्स के लिए 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)व्युत्क्रम मैट्रिक्स को निर्धारक द्वारा विभाजित करके, विकर्ण तत्वों की अनुमति देकर, और ऑफ-विकर्ण तत्वों के चिह्न को उलट कर पाया जाता है। वास्तव में, इस मैट्रिक्स का निर्धारक व्रोनस्कियन है।
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ - y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ अंत(pmatrix))(\शुरू(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • के लिए भाव वी 1 (\displaystyle v_(1))तथा वी 2 (\displaystyle v_(2))नीचे सूचीबद्ध हैं। आदेश में कमी विधि के रूप में, इस मामले में एकीकरण के दौरान एक मनमाना स्थिरांक प्रकट होता है, जिसमें अंतर समीकरण के सामान्य समाधान में एक अतिरिक्त समाधान शामिल होता है।
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (डी) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (एक्स) (\mathrm (डी)) एक्स)
   
   नेशनल ओपन यूनिवर्सिटी इंटुइट का व्याख्यान "निरंतर गुणांक के साथ एन-वें क्रम के रैखिक अंतर समीकरण"।

प्रायोगिक उपयोग

विभेदक समीकरण एक फ़ंक्शन और उसके एक या अधिक डेरिवेटिव के बीच संबंध स्थापित करते हैं। चूंकि इस तरह के रिश्ते बहुत आम हैं, अंतर समीकरणों को व्यापक रूप से विभिन्न प्रकार के क्षेत्रों में व्यापक आवेदन मिला है, और चूंकि हम चार आयामों में रहते हैं, ये समीकरण अक्सर अंतर समीकरण होते हैं निजीडेरिवेटिव। यह खंड इस प्रकार के कुछ सबसे महत्वपूर्ण समीकरणों पर चर्चा करता है।

• घातीय वृद्धि और क्षय।रेडियोधर्मी क्षय। चक्रवृद्धि ब्याज। रासायनिक प्रतिक्रियाओं की दर। रक्त में दवाओं की एकाग्रता। असीमित जनसंख्या वृद्धि। न्यूटन-रिचमैन कानून। वास्तविक दुनिया में, ऐसी कई प्रणालियाँ हैं जिनमें किसी भी समय वृद्धि या क्षय की दर उस समय की मात्रा के समानुपाती होती है, या एक मॉडल द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित की जा सकती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इस अंतर समीकरण का समाधान, घातीय कार्य, गणित और अन्य विज्ञानों में सबसे महत्वपूर्ण कार्यों में से एक है। अधिक आम तौर पर, नियंत्रित जनसंख्या वृद्धि के तहत, सिस्टम में अतिरिक्त शर्तें शामिल हो सकती हैं जो विकास को सीमित करती हैं। नीचे दिए गए समीकरण में, स्थिरांक के (\डिस्प्लेस्टाइल के)शून्य से अधिक या कम हो सकता है।
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• हार्मोनिक कंपन।शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी दोनों में, हार्मोनिक थरथरानवाला इसकी सरलता और एक साधारण पेंडुलम जैसे अधिक जटिल प्रणालियों के अनुमान के लिए व्यापक अनुप्रयोग के कारण सबसे महत्वपूर्ण भौतिक प्रणालियों में से एक है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, हार्मोनिक दोलनों को एक समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है जो हुक के नियम के माध्यम से एक भौतिक बिंदु की स्थिति को उसके त्वरण से संबंधित करता है। इस मामले में अवमंदन और प्रेरक बलों को भी ध्यान में रखा जा सकता है। नीचे दिए गए भाव में x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- समय व्युत्पन्न एक्स , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta )एक पैरामीटर है जो भिगोना बल का वर्णन करता है, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- प्रणाली की कोणीय आवृत्ति, एफ (टी) (\displaystyle एफ(टी))समय पर निर्भर प्रेरक शक्ति है। हार्मोनिक ऑसिलेटर इलेक्ट्रोमैग्नेटिक ऑसिलेटरी सर्किट में भी मौजूद होता है, जहां इसे मैकेनिकल सिस्टम की तुलना में अधिक सटीकता के साथ लागू किया जा सकता है।
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x = एफ (टी))
• बेसेल समीकरण।बेसल डिफरेंशियल इक्वेशन का उपयोग भौतिकी के कई क्षेत्रों में किया जाता है, जिसमें तरंग समीकरण, लाप्लास समीकरण और श्रोडिंगर समीकरण का समाधान शामिल है, विशेष रूप से बेलनाकार या गोलाकार समरूपता की उपस्थिति में। चर गुणांकों के साथ यह दूसरे क्रम का अंतर समीकरण कौशी-यूलर समीकरण नहीं है, इसलिए इसके समाधान प्राथमिक कार्यों के रूप में नहीं लिखे जा सकते हैं। बेसेल समीकरण के समाधान बेसेल फलन हैं, जिनका इस तथ्य के कारण अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है कि वे कई क्षेत्रों में उपयोग किए जाते हैं। नीचे दिए गए भाव में α (\displaystyle \alpha )एक स्थिर है जो मेल खाता है गणबेसेल कार्य करता है।
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (डी) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) वाई = 0)
• मैक्सवेल के समीकरण।लोरेंत्ज़ बल के साथ, मैक्सवेल के समीकरण शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स का आधार बनाते हैं। इलेक्ट्रिक के लिए ये चार आंशिक अंतर समीकरण हैं ई (आर, टी) (\displaystyle (\mathbf (ई) )((\mathbf (आर)),टी))और चुंबकीय बी (आर, टी) (\displaystyle (\mathbf (बी) )((\mathbf (आर)),टी))खेत। नीचे दिए गए भावों में ρ = ρ (आर, टी) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- चार्ज का घनत्व, जे = जे (आर, टी) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))वर्तमान घनत्व है, और ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))तथा μ 0 (\displaystyle \mu _(0))क्रमशः विद्युत और चुंबकीय स्थिरांक हैं।
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla \cdot) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (ई) )&=-(\frac (\आंशिक (\mathbf (बी) ))(\आंशिक टी))\\\नाबला \बार (\mathbf (बी) )&=\mu _(0)(\ गणितबीएफ (जे) )+\म्यू _(0)\एप्सिलॉन _(0)(\frac (\आंशिक (\mathbf (ई) ))(\आंशिक टी))\अंत(संरेखित)))
• श्रोडिंगर समीकरण।क्वांटम यांत्रिकी में, श्रोडिंगर समीकरण गति का मूल समीकरण है जो तरंगों के कार्य में परिवर्तन के अनुसार कणों की गति का वर्णन करता है। Ψ = Ψ (आर, टी) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))समय के साथ। गति के समीकरण व्यवहार द्वारा वर्णित है हैमिल्टनियन एच ^ (\डिस्प्लेस्टाइल (\हैट(एच))) - ऑपरेटर, जो सिस्टम की ऊर्जा का वर्णन करता है। भौतिकी में श्रोडिंगर समीकरण के प्रसिद्ध उदाहरणों में से एक गैर-सापेक्षतावादी कण के लिए समीकरण है, जो क्षमता के अधीन है वी (आर, टी) (\displaystyle वी((\mathbf (आर)),टी)). कई प्रणालियों का वर्णन समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण द्वारा किया जाता है, जिसमें समीकरण बाईं ओर होता है ई Ψ , (\displaystyle E\Psi ,)कहाँ पे ई (\displaystyle ई)कण की ऊर्जा है। नीचे दिए गए भावों में ℏ (\displaystyle \hbar )घटी हुई प्लैंक स्थिरांक है।
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (- ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• तरंग समीकरण।तरंगों के बिना भौतिकी और प्रौद्योगिकी की कल्पना करना असंभव है, वे सभी प्रकार की प्रणालियों में मौजूद हैं। सामान्य तौर पर, तरंगों का वर्णन नीचे दिए गए समीकरण द्वारा किया जाता है, जिसमें यू = यू (आर, टी) (\displaystyle u=u((\mathbf (आर)), टी))वांछित कार्य है, और सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी)- प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित स्थिरांक। डी'अलेम्बर्ट सबसे पहले खोज करने वाले थे कि एक-आयामी मामले के लिए तरंग समीकरण का समाधान है कोईतर्क के साथ कार्य करें x − c t (\displaystyle x-ct), जो दाईं ओर फैलने वाली मनमानी लहर का वर्णन करता है। एक-आयामी मामले के लिए सामान्य समाधान तर्क के साथ दूसरे फ़ंक्शन के साथ इस फ़ंक्शन का एक रैखिक संयोजन है एक्स + सी टी (\displaystyle x+ct), जो बाईं ओर फैलने वाली तरंग का वर्णन करता है। यह समाधान दूसरी पंक्ति में प्रस्तुत किया गया है।
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • यू (एक्स, टी) = एफ (एक्स - सी टी) + जी (एक्स + सी टी) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• नेवियर-स्टोक्स समीकरण।नेवियर-स्टोक्स समीकरण तरल पदार्थों की गति का वर्णन करते हैं। चूंकि विज्ञान और प्रौद्योगिकी के लगभग हर क्षेत्र में तरल पदार्थ मौजूद हैं, ये समीकरण मौसम की भविष्यवाणी, विमान डिजाइन, समुद्री धाराओं और कई अन्य अनुप्रयोगों के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं। नेवियर-स्टोक्स समीकरण गैर-रैखिक आंशिक अंतर समीकरण हैं, और ज्यादातर मामलों में उन्हें हल करना बहुत मुश्किल होता है, क्योंकि गैर-रैखिकता अशांति की ओर ले जाती है, और संख्यात्मक तरीकों से एक स्थिर समाधान प्राप्त करने के लिए, बहुत छोटे में विभाजन कोशिकाओं की आवश्यकता होती है, जिसके लिए महत्वपूर्ण कंप्यूटिंग शक्ति की आवश्यकता होती है। हाइड्रोडायनामिक्स में व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, अशांत प्रवाह को मॉडल करने के लिए समय औसत जैसे तरीकों का उपयोग किया जाता है। इससे भी अधिक बुनियादी प्रश्न, जैसे गैर-रैखिक आंशिक अंतर समीकरणों के अस्तित्व और समाधान की विशिष्टता, जटिल समस्याएं हैं, और तीन आयामों में नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता को साबित करना सहस्राब्दी की गणितीय समस्याओं में से एक है। . नीचे असम्पीडित द्रव प्रवाह समीकरण और निरंतरता समीकरण हैं।
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u)) ) )(\आंशिक t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\आंशिक \रो )(\आंशिक t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• कई अवकल समीकरणों को केवल उपरोक्त विधियों से हल नहीं किया जा सकता है, विशेष रूप से पिछले खंड में उल्लिखित। यह तब लागू होता है जब समीकरण में परिवर्तनशील गुणांक होते हैं और यह कॉची-यूलर समीकरण नहीं है, या जब समीकरण गैर-रैखिक है, कुछ दुर्लभ मामलों को छोड़कर। हालाँकि, उपरोक्त विधियाँ आपको कई महत्वपूर्ण अंतर समीकरणों को हल करने की अनुमति देती हैं जो अक्सर विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में सामने आती हैं।
• भेदभाव के विपरीत, जो आपको किसी भी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की अनुमति देता है, प्राथमिक कार्यों में कई अभिव्यक्तियों का अभिन्न अंग व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसलिए, जहां असंभव है वहां इंटीग्रल की गणना करने की कोशिश में समय बर्बाद न करें। इंटीग्रल की तालिका देखें। यदि एक अंतर समीकरण का समाधान प्रारंभिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, तो कभी-कभी इसे अभिन्न रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, और इस मामले में कोई फर्क नहीं पड़ता कि इस अभिन्न की गणना विश्लेषणात्मक रूप से की जा सकती है या नहीं।

चेतावनी

• दिखावटविभेदक समीकरण भ्रामक हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, नीचे दो प्रथम-क्रम अवकल समीकरण दिए गए हैं। इस आलेख में वर्णित विधियों का उपयोग करके पहला समीकरण आसानी से हल किया जाता है। पहली नज़र में, एक मामूली बदलाव y (\displaystyle y)पर y 2 (\displaystyle y^(2))दूसरे समीकरण में इसे अरैखिक बना देता है और इसे हल करना बहुत कठिन हो जाता है।
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

पहला आदेश, जिसका मानक रूप $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$ है, जहां $P\left(x\right)$ एक सतत कार्य है, रैखिक सजातीय कहा जाता है। नाम "रैखिक" को इस तथ्य से समझाया गया है कि अज्ञात फ़ंक्शन $y$ और इसका पहला व्युत्पन्न $y"$ समीकरण में रैखिक रूप से प्रवेश करता है, अर्थात पहली डिग्री तक। "सजातीय" नाम को इस तथ्य से समझाया गया है कि शून्य समीकरण के दाईं ओर है।

इस प्रकार के अवकल समीकरण को चरों के पृथक्करण की विधि द्वारा हल किया जा सकता है। आइए इसे मानक विधि के रूप में प्रस्तुत करें: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$, कहा पे $f_(1) \left(x\right)=-P\left(x\right) $ और $f_(2) \बाएं(y\दाएं)=y$।

आइए अभिन्न $I_(1) =\int f_(1) \बाएं(x\दाएं)\cdot dx =-\int P\बाएं(x\दाएं)\cdot dx $ की गणना करें।

इंटीग्रल $I_(2) =\int \frac(dy)(f_(2) \left(y\right)) =\int \frac(dy)(y) =\ln \left|y\right| $।

हम सामान्य समाधान $\ln \बाएं|y\दाएं|+\int P\बाएं(x\दाएं)\cdot dx =\ln \बाएं|C_(1) \दाएं|$ लिखते हैं, जहां $\ln \ बाएँ |C_(1) \दाएँ|$ एक मनमाना स्थिरांक है, जिसे आगे के परिवर्तनों के लिए सुविधाजनक रूप में लिया गया है।

आइए परिवर्तन करते हैं:

\[\ln \बाएं|y\दाएं|-\ln \बाएं|C_(1) \दाएं|=-\int P\बाएं(x\दाएं)\cdot dx ; \ln \frac(\बाएं|y\दाहिने|)(\बाएं|C_(1) \दाएं|) =-\int P\बाएं(x\दाएं)\cdot dx .\]

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: . यह समानता बदले में $y=\pm C_(1) \cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ के बराबर है।

एक स्वेच्छ स्थिरांक $C=\pm C_(1) $ को प्रतिस्थापित करके, हम रैखिक सजातीय अवकल समीकरण का सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $।

समीकरण $f_(2) \left(y\right)=y=0$ को हल करने पर, हम एकवचन समाधान पाते हैं। एक साधारण जांच से, हम सुनिश्चित करते हैं कि फ़ंक्शन $y=0$ दिए गए अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान है।

हालांकि, वही समाधान सामान्य समाधान $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ से $C=0$ सेट करके प्राप्त किया जा सकता है।

तो अंतिम परिणाम है: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $।

प्रथम-क्रम रैखिक सजातीय अंतर समीकरण को हल करने की सामान्य विधि को निम्नलिखित एल्गोरिथम के रूप में दर्शाया जा सकता है:

1. इस समीकरण को हल करने के लिए, इसे पहले $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$ विधि के मानक रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। यदि यह हासिल नहीं किया गया था, तो इस अंतर समीकरण को हल किया जाना चाहिए एक और तरीका।
2. इंटीग्रल $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $ की गणना करें।
3. हम सामान्य समाधान $y=C\cdot e^(-I) $ के रूप में लिखते हैं और, यदि आवश्यक हो, तो सरल रूपांतरण करते हैं।

कार्य 1

अवकल समीकरण $y"+3\cdot x^(2) \cdot y=0$ का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

हमारे पास मानक रूप में पहले क्रम का एक रैखिक सजातीय समीकरण है जिसके लिए $P\बाएं(x\दाएं)=3\cdot x^(2) $।

समाकल $I=\int 3\cdot x^(2) \cdot dx =x^(3) $ की गणना करें।

सामान्य समाधान है: $y=C\cdot e^(-x^(3) ) $।

प्रथम कोटि के रेखीय असमघात अवकल समीकरण

परिभाषा

एक प्रथम-क्रम अंतर समीकरण जिसे $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$ के मानक रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां $P\left(x\right) $ और $ Q\left(x\right)$ - ज्ञात निरंतर कार्यों को एक रैखिक विषम अंतर समीकरण कहा जाता है। नाम "असमान" इस तथ्य से समझाया गया है कि अंतर समीकरण का दाहिना भाग गैर-शून्य है।

एक जटिल रेखीय विषम अवकल समीकरण के हल को दो सरल अवकल समीकरणों के हल में घटाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, वांछित फ़ंक्शन $y$ को दो सहायक फ़ंक्शंस $u$ और $v$ के उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, अर्थात, $y=u\cdot v$ डालें।

हम स्वीकृत प्रतिस्थापन को अलग करते हैं: $\frac(dy)(dx) =\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) $। हम परिणामी अभिव्यक्ति को इस अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot u\cdot v= Q\ बाएँ(x\दाएं)$ या $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \बाएं [\frac(dv)(dx) +P\बाएं (x\दाएं)\cdot v\ दाएं] = क्यू \ बाएं (एक्स \ दाएं) $।

ध्यान दें कि यदि $y=u\cdot v$ स्वीकार किया जाता है, तो उत्पाद $u\cdot v$ के हिस्से के रूप में सहायक कार्यों में से एक को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है। हम एक सहायक फ़ंक्शन $v$ चुनते हैं ताकि वर्ग कोष्ठक में अभिव्यक्ति गायब हो जाए। ऐसा करने के लिए, फ़ंक्शन $v$ के संबंध में अंतर समीकरण $\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v=0$ को हल करने के लिए पर्याप्त है और इसके लिए सबसे सरल विशेष चुनें समाधान $v=v\बाएं (x \दाएं)$ गैर-शून्य। यह अवकल समीकरण रैखिक सजातीय है और इसे उपरोक्त विधि से हल किया जाता है।

हम परिणामी समाधान $v=v\left(x\right)$ को इस अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि अब वर्ग कोष्ठक में अभिव्यक्ति शून्य के बराबर है, और हम एक और अंतर समीकरण प्राप्त करते हैं, लेकिन अब सहायक फ़ंक्शन $u$: $\ frac(du)(dx) \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$ के संबंध में। इस अंतर समीकरण को $\frac(du)(dx) =\frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) $ के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसके बाद यह स्पष्ट हो जाता है कि यह एक स्वीकार करता है प्रत्यक्ष एकीकरण। इस अंतर समीकरण के लिए, $u=u\left(x,\; C\right)$ के रूप में एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है।

अब हम $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ के रूप में इस प्रथम-क्रम रैखिक विषम अंतर समीकरण का सामान्य समाधान पा सकते हैं।

पहले क्रम के एक रेखीय विषम अंतर समीकरण को हल करने की सामान्य विधि को निम्नलिखित एल्गोरिथम के रूप में दर्शाया जा सकता है:

1. इस समीकरण को हल करने के लिए, इसे पहले $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$ विधि के मानक रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। यदि यह हासिल नहीं किया जाता है, तो इस अंतर समीकरण को एक अलग तरीके से हल किया जाना चाहिए।
2. अभिन्न $I_(1) =\int P\बाएं(x\दाएं)\cdot dx $ की गणना करें, विशेष समाधान $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ के रूप में लिखें, रूपांतरणों को सरल बनाना निष्पादित करें और $v\left(x\right)$ के लिए सबसे सरल गैर-शून्य संस्करण चुनें।
3. हम अभिन्न $I_(2) =\int \frac(Q\बाएं(x\दाएं))(v\बाएं(x\दाएं)) \cdot dx $ की गणना करते हैं, जिसके बाद हम अभिव्यक्ति को $u\बाएं लिखते हैं (x, C\right)=I_(2) +C$.
4. हम $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ के रूप में इस रेखीय अमानवीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान लिखते हैं और, यदि आवश्यक हो, तो सरल रूपांतरण करते हैं।

कार्य 2

अवकल समीकरण $y"-\frac(y)(x) =3\cdot x$ का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

हमारे पास मानक रूप में पहले क्रम का एक रैखिक अमानवीय समीकरण है जिसके लिए $P\बाएं(x\दाएं)=-\frac(1)(x) $ और $Q\बाएं(x\दाएं)=3\cdot एक्स $।

समाकलन की गणना करें $I_(1) =\int P\बाएं(x\दाएं)\cdot dx =-\int \frac(1)(x) \cdot dx=-\ln \बाएं|x\दाएं| $।

हम $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ के रूप में एक विशेष समाधान लिखते हैं और सरल परिवर्तन करते हैं: $v\left(x\right)=e^(\ln \left|x \ सही|) $; $ \ ln v \ बाएँ (x \ दाएँ) = \ ln \ बाएँ | x \ दाएँ | $; $v\बाएं(x\दाएं)=\बाएं|x\दाएं|$. हम $v\left(x\right)$ के लिए सबसे सरल गैर-शून्य संस्करण चुनते हैं: $v\left(x\right)=x$।

समाकल $I_(2) =\int \frac(Q\बाएं(x\दाएं))(v\बाएं(x\दाएं)) \cdot dx =\int \frac(3\cdot x)(x) की गणना करें \ cdot dx=3\cdot x $.

हम व्यंजक $u\left(x,C\right)=I_(2) +C=3\cdot x+C$ लिखते हैं।

अंत में, हम $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, यानी $y=\left(3\) के रूप में इस रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान लिखते हैं। सीडॉट एक्स + सी \ राइट) \ सीडीओटी एक्स $।

मुझे लगता है कि हमें डिफरेंशियल इक्वेशन जैसे शानदार गणितीय उपकरण के इतिहास से शुरुआत करनी चाहिए। सभी डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस की तरह, इन समीकरणों का आविष्कार न्यूटन ने 17वीं शताब्दी के अंत में किया था। उन्होंने अपनी इस खोज को इतना महत्वपूर्ण माना कि उन्होंने संदेश को भी एन्क्रिप्ट किया, जिसका आज कुछ इस तरह अनुवाद किया जा सकता है: "प्रकृति के सभी नियमों को अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित किया गया है।" यह अतिशयोक्ति लग सकता है, लेकिन यह सच है। इन समीकरणों द्वारा भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान के किसी भी नियम का वर्णन किया जा सकता है।

डिफरेंशियल इक्वेशन के सिद्धांत के विकास और निर्माण में एक बड़ा योगदान गणितज्ञ यूलर और लैग्रेंज ने किया था। पहले से ही 18 वीं शताब्दी में, उन्होंने विश्वविद्यालयों के वरिष्ठ पाठ्यक्रमों में अब जो कुछ भी पढ़ा है, उसे खोजा और विकसित किया।

विभेदक समीकरणों के अध्ययन में एक नया मील का पत्थर हेनरी पॉइनकेयर के लिए धन्यवाद शुरू हुआ। उन्होंने "अंतर समीकरणों का गुणात्मक सिद्धांत" बनाया, जिसने एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत के संयोजन में, टोपोलॉजी - अंतरिक्ष के विज्ञान और इसके गुणों की नींव में महत्वपूर्ण योगदान दिया।

अवकल समीकरण क्या होते हैं?

बहुत से लोग एक वाक्यांश से डरते हैं हालांकि, इस लेख में हम इस बहुत ही उपयोगी गणितीय उपकरण के पूरे सार का विस्तार करेंगे, जो वास्तव में उतना जटिल नहीं है जितना नाम से लगता है। प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों के बारे में बात करना शुरू करने के लिए, आपको पहले उन मूल अवधारणाओं से परिचित होना चाहिए जो स्वाभाविक रूप से इस परिभाषा से संबंधित हैं। आइए अंतर से शुरू करें।

अंतर

बहुत से लोग इस अवधारणा को स्कूल से जानते हैं। हालाँकि, आइए इसे करीब से देखें। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की कल्पना करें। हम इसे इस हद तक बढ़ा सकते हैं कि इसका कोई भी खंड एक सीधी रेखा का रूप ले ले। इस पर हम दो बिंदु लेते हैं जो एक दूसरे के असीम रूप से निकट हैं। उनके निर्देशांक (x या y) के बीच का अंतर एक अतिसूक्ष्म मान होगा। इसे एक अंतर कहा जाता है और इसे dy (y से अंतर) और dx (x से अंतर) के संकेतों द्वारा दर्शाया जाता है। यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है कि अंतर एक परिमित मूल्य नहीं है, और यह इसका अर्थ और मुख्य कार्य है।

और अब निम्नलिखित तत्व पर विचार करना आवश्यक है, जो एक अवकल समीकरण की अवधारणा को समझाने में हमारे लिए उपयोगी होगा। यह एक व्युत्पन्न है।

यौगिक

हम सभी ने शायद इस अवधारणा को स्कूल में सुना है। व्युत्पन्न को किसी फ़ंक्शन की वृद्धि या कमी की दर कहा जाता है। हालाँकि, इस परिभाषा का अधिकांश हिस्सा समझ से बाहर हो जाता है। आइए अंतर के संदर्भ में व्युत्पन्न की व्याख्या करने का प्रयास करें। आइए एक फ़ंक्शन के एक अतिसूक्ष्म खंड पर वापस जाएं जिसमें दो बिंदु हैं जो एक दूसरे से न्यूनतम दूरी पर हैं। लेकिन इस दूरी के लिए भी, फ़ंक्शन कुछ राशि से बदलने का प्रबंधन करता है। और इस परिवर्तन का वर्णन करने के लिए, वे एक व्युत्पन्न के साथ आए, जिसे अन्यथा अंतर के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है: f (x) "=df / dx।

अब व्युत्पन्न के मूल गुणों पर विचार करना उचित है। उनमें से केवल तीन हैं:

1. योग या अंतर के व्युत्पन्न को डेरिवेटिव के योग या अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है: (a+b)"=a"+b" और (a-b)"=a"-b"।
2. दूसरा गुण गुणन से संबंधित है। एक उत्पाद का व्युत्पन्न एक समारोह के उत्पादों और दूसरे के व्युत्पन्न का योग है: (a*b)"=a"*b+a*b"।
3. अंतर के व्युत्पन्न को निम्नलिखित समानता के रूप में लिखा जा सकता है: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 ।

ये सभी गुण प्रथम कोटि के अवकल समीकरणों का हल ज्ञात करने में हमारे लिए उपयोगी होंगे।

आंशिक डेरिवेटिव भी हैं। मान लें कि हमारे पास एक फ़ंक्शन z है जो चर x और y पर निर्भर करता है। इस फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, x के संबंध में, हमें चर y को एक स्थिरांक के रूप में लेना होगा और बस अंतर करना होगा।

अभिन्न

एक अन्य महत्वपूर्ण अवधारणा अभिन्न है। वास्तव में, यह व्युत्पन्न का प्रत्यक्ष विपरीत है। समाकल कई प्रकार के होते हैं, लेकिन सरलतम अवकल समीकरणों को हल करने के लिए हमें सबसे तुच्छ की आवश्यकता होती है

तो, मान लें कि हमारे पास x पर f की कुछ निर्भरता है। हम इससे समाकलन लेते हैं और फलन F (x) (अक्सर अवकलज कहा जाता है) प्राप्त करते हैं, जिसका व्युत्पन्न मूल फलन के बराबर होता है। इस प्रकार F(x)"=f(x)। यह भी अनुसरण करता है कि व्युत्पन्न का अभिन्न मूल कार्य के बराबर है।

अवकल समीकरणों को हल करते समय, समाकल के अर्थ और कार्य को समझना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि समाधान खोजने के लिए आपको उन्हें अक्सर लेना होगा।

समीकरण उनकी प्रकृति के आधार पर भिन्न होते हैं। अगले भाग में, हम प्रथम कोटि के अवकल समीकरणों के प्रकारों पर विचार करेंगे, और फिर हम सीखेंगे कि उन्हें कैसे हल किया जाए।

अंतर समीकरणों की कक्षाएं

"Diffura" उनमें शामिल डेरिवेटिव के क्रम के अनुसार विभाजित हैं। इस प्रकार, पहला, दूसरा, तीसरा और अधिक क्रम है। उन्हें कई वर्गों में भी विभाजित किया जा सकता है: साधारण और आंशिक डेरिवेटिव।

इस लेख में, हम प्रथम कोटि के साधारण अवकल समीकरणों पर विचार करेंगे। हम निम्नलिखित अनुभागों में उदाहरणों और उन्हें हल करने के तरीकों पर भी चर्चा करेंगे। हम केवल ODE पर विचार करेंगे, क्योंकि ये सबसे सामान्य प्रकार के समीकरण हैं। साधारण को उप-प्रजातियों में विभाजित किया गया है: वियोज्य चर, सजातीय और विषम के साथ। इसके बाद, आप सीखेंगे कि वे एक-दूसरे से कैसे भिन्न हैं, और उन्हें हल करना सीखें।

इसके अलावा, इन समीकरणों को जोड़ा जा सकता है, ताकि बाद में हमें पहले क्रम के अंतर समीकरणों की एक प्रणाली मिल सके। हम ऐसी प्रणालियों पर भी विचार करेंगे और सीखेंगे कि उन्हें कैसे हल किया जाए।

हम केवल पहले आदेश पर ही विचार क्यों कर रहे हैं? क्योंकि आपको एक साधारण से शुरुआत करने की आवश्यकता है, और एक लेख में अंतर समीकरणों से संबंधित हर चीज का वर्णन करना असंभव है।

वियोज्य चर समीकरण

ये शायद सबसे सरल प्रथम-क्रम अंतर समीकरण हैं। इनमें ऐसे उदाहरण शामिल हैं जिन्हें इस तरह लिखा जा सकता है: y "=f (x) * f (y)। इस समीकरण को हल करने के लिए, हमें अंतर के अनुपात के रूप में व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक सूत्र की आवश्यकता है: y" = dy / dx। इसका उपयोग करके, हमें निम्न समीकरण प्राप्त होता है: dy/dx=f(x)*f(y). अब हम मानक उदाहरणों को हल करने की विधि की ओर मुड़ सकते हैं: हम चर को भागों में विभाजित करेंगे, अर्थात, हम y चर के साथ सब कुछ उस भाग में स्थानांतरित कर देंगे जहाँ dy स्थित है, और हम x चर के साथ भी ऐसा ही करेंगे। हमें इस रूप का एक समीकरण प्राप्त होता है: dy/f(y)=f(x)dx, जिसे दोनों भागों के समाकलों को लेकर हल किया जाता है। निरंतर के बारे में मत भूलना, जिसे अभिन्न लेने के बाद सेट किया जाना चाहिए।

किसी भी "अंतर" का समाधान y (हमारे मामले में) पर x की निर्भरता का एक कार्य है या, यदि कोई संख्यात्मक स्थिति है, तो उत्तर एक संख्या के रूप में है। आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करते हुए पूरे समाधान पर एक नज़र डालें:

हम विभिन्न दिशाओं में चर स्थानांतरित करते हैं:

अब हम समाकलन लेते हैं। उन सभी को इंटीग्रल की एक विशेष तालिका में पाया जा सकता है। और हमें मिलता है:

लॉग (वाई) = -2 * कॉस (एक्स) + सी

यदि आवश्यक हो, तो हम "y" को "x" के फलन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। अब हम कह सकते हैं कि यदि कोई शर्त नहीं दी गई है तो हमारा अवकल समीकरण हल हो गया है। एक शर्त दी जा सकती है, उदाहरण के लिए, y(n/2)=e. फिर हम बस इन चरों के मान को समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं और स्थिरांक का मान ज्ञात करते हैं। हमारे उदाहरण में, यह 1 के बराबर है।

पहले क्रम के सजातीय अंतर समीकरण

अब चलिए और अधिक कठिन भाग पर चलते हैं। पहले क्रम के सजातीय अंतर समीकरणों को सामान्य रूप में निम्नानुसार लिखा जा सकता है: y "= z (x, y)। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दो चर का दाहिना हाथ का कार्य सजातीय है, और इसे दो निर्भरताओं में विभाजित नहीं किया जा सकता है। : z पर x और z पर y. जांचें कि समीकरण सजातीय है या नहीं काफी सरल है: हम प्रतिस्थापन x=k*x और y=k*y बनाते हैं। अब हम सभी k को रद्द कर देते हैं। यदि इन सभी अक्षरों को कम कर दिया गया है , तो समीकरण सजातीय है और आप इसे हल करने के लिए सुरक्षित रूप से आगे बढ़ सकते हैं। आगे देखते हुए, कहते हैं: इन उदाहरणों को हल करने का सिद्धांत भी बहुत सरल है।

हमें एक प्रतिस्थापन करने की आवश्यकता है: y=t(x)*x, जहां t कुछ फ़ंक्शन है जो x पर भी निर्भर करता है। फिर हम व्युत्पन्न व्यक्त कर सकते हैं: y"=t"(x)*x+t। यह सब हमारे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने और इसे सरल बनाने के लिए, हमें वियोज्य चर t और x के साथ एक उदाहरण मिलता है। हम इसे हल करते हैं और निर्भरता टी (एक्स) प्राप्त करते हैं। जब हमें यह मिल गया, तो हम बस y=t(x)*x को अपने पिछले प्रतिस्थापन में स्थानापन्न करते हैं। तब हमें x पर y की निर्भरता प्राप्त होती है।

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए एक उदाहरण देखें: x*y"=y-x*e y/x ।

जब एक प्रतिस्थापन के साथ जाँच की जाती है, तो सब कुछ कम हो जाता है। तो समीकरण वास्तव में सजातीय है। अब हम एक और प्रतिस्थापन करते हैं जिसके बारे में हमने बात की थी: y=t(x)*x और y"=t"(x)*x+t(x)। सरलीकरण के बाद, हमें निम्नलिखित समीकरण मिलते हैं: t "(x) * x \u003d -e t। हम परिणामी उदाहरण को अलग-अलग चर के साथ हल करते हैं और प्राप्त करते हैं: e -t \u003dln (C * x)। हमें केवल t को बदलने की आवश्यकता है। y / x के साथ (क्योंकि यदि y \u003d t * x, तो t \u003d y / x), और हमें उत्तर मिलता है: e -y / x \u003d ln (x * C)।

पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरण

यह एक और व्यापक विषय पर विचार करने का समय है। हम प्रथम कोटि के विषम अवकल समीकरणों का विश्लेषण करेंगे। वे पिछले दो से कैसे भिन्न हैं? आइए इसका पता लगाते हैं। सामान्य रूप में पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों को निम्नानुसार लिखा जा सकता है: y "+ g (x) * y \u003d z (x)। यह स्पष्ट करने योग्य है कि z (x) और g (x) स्थिर मान हो सकते हैं। .

और अब एक उदाहरण: y" - y*x=x 2 ।

हल करने के दो तरीके हैं, और हम क्रम में दोनों का विश्लेषण करेंगे। पहला स्वेच्छ अचरों के विचरण की विधि है।

इस तरह से समीकरण को हल करने के लिए, आपको पहले दाहिने पक्ष को शून्य के बराबर करना होगा और परिणामी समीकरण को हल करना होगा, जो भागों को स्थानांतरित करने के बाद रूप ले लेगा:

ln|y|=x 2 /2 + सी;

वाई \u003d ई एक्स 2/2 * वाई सी \u003d सी 1 * ई एक्स 2/2।

अब हमें अचर C 1 को फलन v(x) से बदलने की आवश्यकता है, जिसे हमें ज्ञात करना है।

आइए व्युत्पन्न बदलें:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 ।

आइए इन भावों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2।

यह देखा जा सकता है कि बाईं ओर दो शर्तें रद्द कर दी गई हैं। यदि किसी उदाहरण में ऐसा नहीं हुआ, तो आपने कुछ गलत किया है। चलो जारी रखते है:

वी" * ई x2/2 = x 2।

अब हम सामान्य समीकरण को हल करते हैं जिसमें हमें चरों को अलग करने की आवश्यकता होती है:

डीवी/डीएक्स=x 2 /ई x2/2 ;

डीवी = एक्स 2 * ई - एक्स 2/2 डीएक्स।

इंटीग्रल निकालने के लिए, हमें यहाँ भागों द्वारा इंटीग्रेशन लागू करना होगा। हालाँकि, यह हमारे लेख का विषय नहीं है। यदि आप रुचि रखते हैं, तो आप सीख सकते हैं कि इस तरह की कार्रवाइयाँ स्वयं कैसे करें। यह मुश्किल नहीं है, और पर्याप्त कौशल और देखभाल के साथ इसमें ज्यादा समय नहीं लगता है।

आइए हम विषम समीकरणों को हल करने की दूसरी विधि की ओर मुड़ें: बर्नौली विधि। कौन सा दृष्टिकोण तेज़ और आसान है आप पर निर्भर है।

इसलिए, इस विधि से समीकरण को हल करते समय, हमें एक प्रतिस्थापन करने की आवश्यकता है: y=k*n। यहाँ k और n कुछ x-निर्भर फलन हैं। फिर व्युत्पन्न इस तरह दिखेगा: y"=k"*n+k*n"। हम दोनों प्रतिस्थापनों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

के" * एन + के * एन "+ एक्स * के * एन = एक्स 2।

समूहीकरण:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 ।

अब हमें कोष्ठक में जो है उसे शून्य के बराबर करने की आवश्यकता है। अब, यदि हम दो परिणामी समीकरणों को मिलाते हैं, तो हमें प्रथम-क्रम अवकल समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है जिसे हल करने की आवश्यकता होती है:

हम पहली समानता को एक साधारण समीकरण के रूप में हल करते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको चर को अलग करने की आवश्यकता है:

हम अभिन्न लेते हैं और प्राप्त करते हैं: ln(n)=x 2 /2। फिर, अगर हम एन व्यक्त करते हैं:

अब हम परिणामी समानता को सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

के "* ई x2/2 \u003d x 2।

और रूपांतरित होने पर, हमें पहली विधि की तरह ही समानता मिलती है:

डीके = एक्स 2/ई x2/2।

हम आगे की कार्रवाइयों का विश्लेषण भी नहीं करेंगे। यह कहा जाना चाहिए कि पहले क्रम के अंतर समीकरणों को हल करने से पहले महत्वपूर्ण कठिनाइयों का कारण बनता है। हालांकि, विषय में गहरी तल्लीनता के साथ, यह बेहतर और बेहतर होने लगता है।

अवकल समीकरणों का प्रयोग कहाँ किया जाता है?

भौतिकी में विभेदक समीकरणों का बहुत सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि लगभग सभी बुनियादी कानून अंतर के रूप में लिखे गए हैं, और जो सूत्र हम देखते हैं वे इन समीकरणों का समाधान हैं। रसायन विज्ञान में, उनका उपयोग उसी कारण से किया जाता है: बुनियादी नियम उनसे प्राप्त होते हैं। जीव विज्ञान में, विभेदक समीकरणों का उपयोग सिस्टम के व्यवहार को मॉडल करने के लिए किया जाता है, जैसे शिकारी-शिकार। उनका उपयोग सूक्ष्मजीवों के एक उपनिवेश के प्रजनन मॉडल बनाने के लिए भी किया जा सकता है।

अंतर समीकरण जीवन में कैसे मदद करेंगे?

इस प्रश्न का उत्तर सरल है: बिलकुल नहीं। यदि आप वैज्ञानिक या इंजीनियर नहीं हैं, तो वे आपके लिए उपयोगी होने की संभावना नहीं है। हालांकि, सामान्य विकास के लिए, यह जानने में कोई दिक्कत नहीं है कि अंतर समीकरण क्या है और इसे कैसे हल किया जाता है। और फिर एक बेटे या बेटी का सवाल "अंतर समीकरण क्या है?" आपको भ्रमित नहीं करेगा। खैर, अगर आप एक वैज्ञानिक या इंजीनियर हैं, तो आप खुद ही किसी भी विज्ञान में इस विषय के महत्व को समझ सकते हैं। लेकिन सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अब प्रश्न "पहले क्रम के अंतर समीकरण को कैसे हल किया जाए?" आप हमेशा उत्तर दे सकते हैं। सहमत हूँ, यह हमेशा अच्छा होता है जब आप समझते हैं कि लोग क्या समझने से डरते हैं।

सीखने में मुख्य समस्याएं

इस विषय को समझने में मुख्य समस्या कार्यों को एकीकृत करने और विभेद करने का खराब कौशल है। यदि आप डेरिवेटिव और इंटीग्रल लेने में अच्छे नहीं हैं, तो यह शायद अधिक सीखने, एकीकरण और भेदभाव के विभिन्न तरीकों में महारत हासिल करने के लायक है, और उसके बाद ही लेख में वर्णित सामग्री का अध्ययन करने के लिए आगे बढ़ें।

कुछ लोग आश्चर्यचकित होते हैं जब वे सीखते हैं कि डीएक्स को स्थानांतरित किया जा सकता है, क्योंकि पहले (स्कूल में) यह कहा गया था कि अंश डाई / डीएक्स अविभाज्य है। यहां आपको डेरिवेटिव पर साहित्य पढ़ने और यह समझने की आवश्यकता है कि यह असीम मात्राओं का अनुपात है जिसे समीकरणों को हल करते समय हेरफेर किया जा सकता है।

बहुत से लोग तुरंत यह महसूस नहीं करते हैं कि प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों का समाधान अक्सर एक कार्य या एक अभिन्न अंग होता है जिसे नहीं लिया जा सकता है, और यह भ्रम उन्हें बहुत परेशानी देता है।

बेहतर समझ के लिए और क्या अध्ययन किया जा सकता है?

विशेष पाठ्यपुस्तकों के साथ डिफरेंशियल कैलकुलस की दुनिया में आगे की तल्लीनता शुरू करना सबसे अच्छा है, उदाहरण के लिए, गैर-गणितीय विशिष्टताओं के छात्रों के लिए कैलकुलस पर। तब आप अधिक विशिष्ट साहित्य की ओर बढ़ सकते हैं।

यह कहने योग्य है कि अवकल समीकरणों के अतिरिक्त, समाकल समीकरण भी होते हैं, इसलिए आपके पास प्रयास करने के लिए और अध्ययन करने के लिए हमेशा कुछ न कुछ होगा।

निष्कर्ष

हम आशा करते हैं कि इस लेख को पढ़ने के बाद आपको यह पता चल गया होगा कि अवकल समीकरण क्या होते हैं और उन्हें सही तरीके से कैसे हल किया जाता है।

वैसे भी गणित जीवन में किसी न किसी रूप में हमारे काम आता है। यह तर्क और ध्यान विकसित करता है, जिसके बिना हर व्यक्ति हाथों के बिना होता है।

फॉर्म का पहला क्रम समीकरण a 1 (x) y "+ a 0 (x) y \u003d b (x) को रैखिक अंतर समीकरण कहा जाता है। यदि b (x) ≡ 0 तब समीकरण को सजातीय कहा जाता है, अन्यथा - विजातीय. एक रेखीय अंतर समीकरण के लिए, अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय का एक अधिक ठोस रूप है।

सेवा कार्य. समाधान की जांच के लिए एक ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग किया जा सकता है सजातीय और गैर-सजातीय रैखिक अंतर समीकरणजैसे y"+y=b(x) ।

=

चर प्रतिस्थापन y=u*v का प्रयोग करें
मनमानी निरंतर भिन्नता विधि का प्रयोग करें
वाई के लिए एक विशेष समाधान खोजें ( ) = .

एक समाधान प्राप्त करने के लिए, मूल अभिव्यक्ति को इस रूप में कम किया जाना चाहिए: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) । उदाहरण के लिए, y"-exp(x)=2*y के लिए यह y"-2 *y=exp(x) होगा।

प्रमेय. चलो a 1 (x), a 0 (x), b(x) अंतराल [α,β], a 1 ≠0 पर ∀x∈[α,β] के लिए निरंतर रहें। फिर किसी भी बिंदु (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β] के लिए, समीकरण का एक अनूठा समाधान है जो शर्त y(x 0) = y 0 को संतुष्ट करता है और पूरे अंतराल [α पर परिभाषित किया गया है , बी]।
एक सजातीय रैखिक अवकल समीकरण a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 पर विचार करें।
चरों को अलग करने पर, हम प्राप्त करते हैं, या, दोनों भागों को एकीकृत करते हुए, अंकन exp(x) = e x को ध्यान में रखते हुए अंतिम संबंध, रूप में लिखा गया है

आइए अब हम संकेतित रूप में समीकरण का एक हल खोजने का प्रयास करें, जिसमें स्थिरांक C के स्थान पर फलन C(x) को प्रतिस्थापित किया गया है, अर्थात् रूप में

इस समाधान को मूल समाधान में प्रतिस्थापित करके, आवश्यक परिवर्तनों के बाद, हम प्राप्त करते हैं बाद को एकीकृत करना, हमारे पास है

जहाँ C 1 कोई नया नियतांक है। C(x) के लिए परिणामी व्यंजक को प्रतिस्थापित करके, हम अंततः मूल रेखीय समीकरण का हल प्राप्त करते हैं
.

उदाहरण। समीकरण y" + 2y = 4x को हल करें। संबंधित सजातीय समीकरण y" + 2y = 0 पर विचार करें। इसे हल करने पर हमें y = Ce -2 x प्राप्त होता है। अब हम y = C(x)e -2 x के रूप में मूल समीकरण का हल ढूंढ रहे हैं। y और y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास C"(x) = 4xe 2 x है, जहां से C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 और y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x मूल समीकरण का व्यापक हल है। यह समाधान, y 1 (x) = 2x-1 - बल b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - वस्तु की उचित गति के तहत वस्तु की गति।

उदाहरण #2। प्रथम कोटि के अवकल समीकरण y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।
यह एक विषम समीकरण है। चलिए चरों में बदलाव करते हैं: y=u v, y" = u"v + uv"।
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x or u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
समाधान में दो चरण होते हैं:
1. यू(3vtg(3x)+v") = 0
2. यू "वी \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
1. u=0 के बराबर करें, 3v tg(3x)+v" = 0 के लिए समाधान खोजें
रूप में प्रस्तुत करें: v" = -3v tg(3x)

समाकलित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

एलएन (वी) = एलएन (cos (3x))
वी = कॉस (3x)
2. वी को जानना, यू को स्थिति से खोजें: यू "वी \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
यू" = 2/पाप 2 2x
समाकलित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
शर्त y=u v से हम पाते हैं:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) या y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)

शैक्षिक संस्थान "बेलारूसी राज्य

कृषि अकादमी"

उच्च गणित विभाग

पहला क्रम विभेदक समीकरण

लेखा छात्रों के लिए व्याख्यान सारांश

शिक्षा का पत्राचार रूप (एनआईएसपीओ)

गोर्की, 2013

प्रथम कोटि के अवकल समीकरण

एक अंतर समीकरण की अवधारणा। सामान्य और विशेष समाधान

विभिन्न परिघटनाओं का अध्ययन करते समय, अक्सर एक ऐसा कानून खोजना संभव नहीं होता है जो स्वतंत्र चर और वांछित फ़ंक्शन को सीधे जोड़ता है, लेकिन वांछित फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के बीच संबंध स्थापित करना संभव है।

स्वतंत्र चर, वांछित फलन और उसके अवकलजों को जोड़ने वाला संबंध कहलाता है अंतर समीकरण :

यहां एक्सएक स्वतंत्र चर है, वाईवांछित कार्य है,
वांछित फ़ंक्शन के डेरिवेटिव हैं। इस मामले में, संबंध (1) को कम से कम एक व्युत्पन्न की उपस्थिति की आवश्यकता होती है।

अवकल समीकरण का क्रम समीकरण में उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है।

अंतर समीकरण पर विचार करें

. (2)

चूँकि इस समीकरण में केवल प्रथम कोटि का अवकलज शामिल है, तो इसे कहा जाता है प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है।

यदि समीकरण (2) को व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है और इस रूप में लिखा जा सकता है

, (3)

तब ऐसे समीकरण को प्रसामान्य रूप में प्रथम कोटि अवकल समीकरण कहते हैं।

कई मामलों में फॉर्म के समीकरण पर विचार करना समीचीन होता है

जिसे कहा जाता है अवकलन रूप में लिखा गया प्रथम-क्रम अवकल समीकरण।

इसलिये
, तो समीकरण (3) के रूप में लिखा जा सकता है
या
, जहां कोई गिन सकता है
तथा
. इसका मतलब है कि समीकरण (3) को समीकरण (4) में बदल दिया गया है।

हम समीकरण (4) को रूप में लिखते हैं
. फिर
,
,
, जहां कोई गिन सकता है
, अर्थात। फॉर्म (3) का एक समीकरण प्राप्त होता है। इस प्रकार, समीकरण (3) और (4) समतुल्य हैं।

अवकल समीकरण को हल करके (2) या (3) किसी भी फंक्शन को कहा जाता है
, जो इसे समीकरण (2) या (3) में प्रतिस्थापित करते समय इसे एक पहचान में बदल देता है:

या
.

अवकल समीकरण के सभी हल ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है एकीकरण , और समाधान ग्राफ
विभेदक समीकरण कहा जाता है अभिन्न वक्र यह समीकरण।

यदि अवकल समीकरण का हल निहित रूप में प्राप्त होता है
, तो कहा जाता है अभिन्न दिए गए अंतर समीकरण।

सामान्य समाधान प्रथम कोटि का अवकल समीकरण फलनों का परिवार है
, मनमाना स्थिरांक पर निर्भर करता है से, जिनमें से प्रत्येक एक मनमानी स्थिरांक के किसी भी स्वीकार्य मूल्य के लिए दिए गए अंतर समीकरण का समाधान है से. इस प्रकार, अवकल समीकरण के अपरिमित हल होते हैं।

निजी निर्णय अवकल समीकरण एक स्वेच्छ स्थिरांक के विशिष्ट मान के लिए सामान्य हल सूत्र से प्राप्त हल कहलाता है से, समेत
.

कॉची समस्या और इसकी ज्यामितीय व्याख्या

समीकरण (2) के अपरिमित हल हैं। इस सेट में से एक हल निकालने के लिए, जिसे एक विशेष समाधान कहा जाता है, कुछ अतिरिक्त शर्तों को निर्दिष्ट किया जाना चाहिए।

दी गई शर्तों के तहत समीकरण (2) का विशेष समाधान खोजने की समस्या कहलाती है कॉची समस्या . यह समस्या अवकल समीकरणों के सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण में से एक है।

कॉची समस्या का सूत्रीकरण इस प्रकार किया गया है: समीकरण (2) के सभी हलों में से एक ऐसा हल ज्ञात कीजिए
जिसमें समारोह
एक दिया गया संख्यात्मक मान लेता है यदि स्वतंत्र चर एक्स एक दिया गया संख्यात्मक मान लेता है , अर्थात।

,
, (5)

कहाँ पे डीसमारोह का डोमेन है
.

अर्थ बुलाया समारोह का प्रारंभिक मूल्य , एक – स्वतंत्र चर का प्रारंभिक मूल्य . स्थिति (5) कहलाती है आरंभिक दशा या कौशी हालत .

एक ज्यामितीय दृष्टिकोण से, अंतर समीकरण (2) के लिए कॉची समस्या को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: समीकरण (2) के समाकल वक्रों के समुच्चय से उस वक्र का चयन कीजिए जो दिए गए बिंदु से होकर जाता है
.

वियोज्य चर के साथ विभेदक समीकरण

अंतर समीकरणों के सबसे सरल प्रकारों में से एक प्रथम-क्रम अंतर समीकरण है जिसमें वांछित कार्य नहीं होता है:

. (6)

मान लें कि
, हम समीकरण को रूप में लिखते हैं
या
. अंतिम समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
या

. (7)

इस प्रकार, (7) समीकरण (6) का एक व्यापक हल है।

उदाहरण 1 . अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान . हम समीकरण को रूप में लिखते हैं
या
. हम परिणामी समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं:
,
. चलो अंत में लिखो
.

उदाहरण 2 . समीकरण का हल ज्ञात कीजिए
इस शर्त पर
.

समाधान . आइए समीकरण का सामान्य समाधान खोजें:
,
,
,
. शर्त से
,
. सामान्य समाधान में स्थानापन्न:
या
. हम सामान्य समाधान के सूत्र में एक मनमाना स्थिरांक के पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं:
. यह अवकल समीकरण का विशेष हल है जो दी गई शर्त को संतुष्ट करता है।

समीकरण

(8)

बुलाया एक प्रथम-क्रम अंतर समीकरण जिसमें एक स्वतंत्र चर नहीं होता है . हम इसे फॉर्म में लिखते हैं
या
. हम अंतिम समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं:
या
- समीकरण का सामान्य समाधान (8)।

उदाहरण . समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान . हम इस समीकरण को रूप में लिखते हैं:
या
. फिर
,
,
,
. इस तरह,
इस समीकरण का सामान्य हल है।

समीकरण टाइप करें

(9)

चरों के पृथक्करण का उपयोग करके एकीकृत। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं
, और फिर, गुणन और विभाजन की संक्रियाओं का उपयोग करके, हम इसे ऐसे रूप में लाते हैं कि एक भाग में केवल का कार्य शामिल होता है एक्सऔर अंतर डीएक्स, और दूसरे भाग में - का एक कार्य परऔर अंतर डीवाई. ऐसा करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करना होगा डीएक्सऔर विभाजित करें
. नतीजतन, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

, (10)

जिसमें चर एक्सतथा परअलग। हम समीकरण (10) के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं:
. परिणामी संबंध समीकरण (9) का सामान्य अभिन्न है।

उदाहरण 3 . समीकरण को एकीकृत करें
.

समाधान . समीकरण को रूपांतरित करें और चरों को अलग करें:
,
. आइए एकीकृत करें:
,
या इस समीकरण का सामान्य अभिन्न है।
.

मान लीजिए कि समीकरण को रूप में दिया गया है

ऐसा समीकरण कहा जाता है वियोज्य चर के साथ प्रथम-क्रम अंतर समीकरण सममित रूप में।

चरों को अलग करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित किया जाना चाहिए
:

. (12)

परिणामी समीकरण कहा जाता है अलग अंतर समीकरण . हम समीकरण (12) को एकीकृत करते हैं:

.(13)

संबंध (13) अवकल समीकरण (11) का सामान्य समाकल है।

उदाहरण 4 . अंतर समीकरण को एकीकृत करें।

समाधान . हम समीकरण को रूप में लिखते हैं

और दोनों भागों को विभाजित करें
,
. परिणामी समीकरण:
एक अलग चर समीकरण है। आइए इसे एकीकृत करें:

,
,

,
. अंतिम समानता दिए गए अवकल समीकरण का सामान्य समाकल है।

उदाहरण 5 . अवकल समीकरण का विशेष हल ज्ञात कीजिए
, स्थिति को संतुष्ट करना
.

समाधान . मान लें कि
, हम समीकरण को रूप में लिखते हैं
या
. आइए चरों को अलग करें:
. आइए इस समीकरण को एकीकृत करें:
,
,
. परिणामी संबंध इस समीकरण का सामान्य समाकल है। शर्त से
. सामान्य अभिन्न में स्थानापन्न करें और खोजें से:
,से=1। फिर अभिव्यक्ति
दिए गए अवकल समीकरण का एक विशेष हल है, जिसे एक विशेष समाकल के रूप में लिखा जाता है।

पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरण

समीकरण

(14)

बुलाया प्रथम कोटि का रेखीय अवकल समीकरण . अज्ञात समारोह
और इसके व्युत्पन्न इस समीकरण और कार्यों में रैखिक रूप से प्रवेश करते हैं
तथा
निरंतर।

यदि एक
, फिर समीकरण

(15)

बुलाया रैखिक सजातीय . यदि एक
, तो समीकरण (14) कहा जाता है रैखिक विषम .

समीकरण (14) का समाधान खोजने के लिए, आमतौर पर उपयोग किया जाता है प्रतिस्थापन विधि (बर्नौली) , जिसका सार इस प्रकार है।

समीकरण (14) का हल दो फलनों के गुणनफल के रूप में खोजा जाएगा

, (16)

कहाँ पे
तथा
- कुछ निरंतर कार्य। स्थानापन्न
और व्युत्पन्न
समीकरण में (14):

समारोह विइस तरह से चुना जाएगा कि स्थिति
. फिर
. इस प्रकार, समीकरण (14) का हल खोजने के लिए, अंतर समीकरणों की प्रणाली को हल करना आवश्यक है

प्रणाली का पहला समीकरण एक रेखीय सजातीय समीकरण है और इसे चरों के पृथक्करण की विधि द्वारा हल किया जा सकता है:
,
,
,
,
. एक विशेषता के रूप में
सजातीय समीकरण के विशेष समाधानों में से कोई एक ले सकता है, अर्थात पर से=1:
. सिस्टम के दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करें:
या
।फिर
. इस प्रकार, प्रथम-क्रम रैखिक अंतर समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है
.

उदाहरण 6 . प्रश्न हल करें
.

समाधान . हम फॉर्म में समीकरण का हल ढूंढेंगे
. फिर
. समीकरण में स्थानापन्न:

या
. समारोह विइस तरह से चुनें कि समानता
. फिर
. हम इनमें से पहले समीकरण को चरों के पृथक्करण की विधि द्वारा हल करते हैं:
,
,
,
,. समारोह विदूसरे समीकरण में स्थानापन्न करें:
,
,
,
. इस समीकरण का सामान्य हल है
.

ज्ञान के आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न

एक अंतर समीकरण क्या है?

अंतर समीकरण का क्रम क्या है?

किस अवकल समीकरण को प्रथम कोटि का अवकल समीकरण कहा जाता है?

अवकलन रूप में प्रथम-क्रम अंतर समीकरण कैसे लिखा जाता है?

अवकल समीकरण का हल क्या है?

एक अभिन्न वक्र क्या है?

प्रथम कोटि के अवकल समीकरण का सामान्य हल क्या है?

अवकल समीकरण का विशेष हल क्या है?

प्रथम कोटि के अवकल समीकरण के लिए कौशी समस्या का सूत्रीकरण कैसे किया जाता है?

कौची समस्या की ज्यामितीय व्याख्या क्या है?

अलग करने योग्य चर के साथ एक अंतर समीकरण को सममित रूप में कैसे लिखा जाता है?

किस समीकरण को प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण कहा जाता है?

प्रथम-क्रम रैखिक अंतर समीकरण को हल करने के लिए किस विधि का उपयोग किया जा सकता है और इस पद्धति का सार क्या है?

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य

वियोज्य चर के साथ अंतर समीकरणों को हल करें:

एक)
; बी)
;

में)
; जी)
.

2. प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरणों को हल कीजिए:

एक)
; बी)
; में)
;

जी)
; इ)
.