समाधान के साथ चौथा क्रम निर्धारक उदाहरण। निर्धारक की गणना

समस्या का निरूपण

कार्य में उपयोगकर्ता को संख्यात्मक विधियों की मूल अवधारणाओं, जैसे कि निर्धारक और व्युत्क्रम मैट्रिक्स, और उनकी गणना करने के विभिन्न तरीकों से परिचित कराना शामिल है। इस सैद्धान्तिक प्रतिवेदन में सर्वप्रथम सरल एवं सुलभ भाषा में मूल अवधारणाओं एवं परिभाषाओं का परिचय दिया गया है, जिसके आधार पर आगे शोध किया जाता है। उपयोगकर्ता को संख्यात्मक विधियों और रेखीय बीजगणित के क्षेत्र में विशेष ज्ञान नहीं हो सकता है, लेकिन इस कार्य के परिणामों का उपयोग करने में आसानी से सक्षम होगा। स्पष्टता के लिए, सी ++ प्रोग्रामिंग भाषा में लिखे गए कई तरीकों से मैट्रिक्स निर्धारक की गणना के लिए एक कार्यक्रम दिया गया है। रिपोर्ट के लिए चित्र बनाने के लिए कार्यक्रम का उपयोग प्रयोगशाला स्टैंड के रूप में किया जाता है। और रेखीय बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीकों का भी अध्ययन किया जा रहा है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करने की व्यर्थता सिद्ध होती है, इसलिए, पेपर समीकरणों की गणना किए बिना उन्हें हल करने के लिए अधिक इष्टतम तरीके प्रदान करता है। यह समझाया गया है कि निर्धारकों और व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए इतने सारे अलग-अलग तरीके क्यों हैं और उनकी कमियों का विश्लेषण किया जाता है। निर्धारक की गणना में त्रुटियों पर भी विचार किया जाता है और प्राप्त सटीकता का अनुमान लगाया जाता है। रूसी शब्दों के अलावा, उनके अंग्रेजी समकक्षों का उपयोग काम में यह समझने के लिए भी किया जाता है कि पुस्तकालयों में संख्यात्मक प्रक्रियाओं के लिए किन नामों की खोज की जाए और उनके मापदंडों का क्या मतलब है।

बुनियादी परिभाषाएँ और सरल गुण

सिद्ध

आइए हम किसी भी कोटि के वर्ग आव्यूह के सारणिक की परिभाषा से परिचित कराते हैं। यह परिभाषा होगी आवर्तक, अर्थात, यह स्थापित करने के लिए कि ऑर्डर मैट्रिक्स का निर्धारक क्या है, आपको पहले से ही पता होना चाहिए कि ऑर्डर मैट्रिक्स का निर्धारक क्या है। यह भी ध्यान दें कि सारणिक केवल वर्ग आव्यूहों के लिए ही मौजूद होता है।

वर्ग आव्यूह के निर्धारक को या det द्वारा निरूपित किया जाएगा।

परिभाषा 1. सिद्धस्क्वायर मैट्रिक्स द्वितीय क्रम संख्या कहलाती है .

सिद्ध क्रम के वर्ग आव्यूह को संख्या कहते हैं

जहां पहली पंक्ति और संख्या के साथ कॉलम को हटाकर मैट्रिक्स से प्राप्त ऑर्डर मैट्रिक्स का निर्धारक है।

स्पष्टता के लिए, हम लिखते हैं कि आप चौथे क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना कैसे कर सकते हैं:

टिप्पणी।परिभाषा के आधार पर तीसरे क्रम से ऊपर मैट्रिक्स के निर्धारकों की वास्तविक गणना असाधारण मामलों में उपयोग की जाती है। एक नियम के रूप में, गणना अन्य एल्गोरिदम के अनुसार की जाती है, जिस पर बाद में चर्चा की जाएगी और जिसके लिए कम कम्प्यूटेशनल कार्य की आवश्यकता होती है।

टिप्पणी।परिभाषा 1 में, यह कहना अधिक सटीक होगा कि निर्धारक वर्ग क्रम मैट्रिसेस के सेट पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है और संख्याओं के सेट में मान लेता है।

टिप्पणी।साहित्य में, "निर्धारक" शब्द के बजाय, "निर्धारक" शब्द का भी उपयोग किया जाता है, जिसका अर्थ समान होता है। "निर्धारक" शब्द से पदनाम प्रकट हुआ।

आइए निर्धारकों के कुछ गुणों पर विचार करें, जिन्हें हम अभिकथनों के रूप में सूत्रबद्ध करते हैं।

कथन 1।मैट्रिक्स को स्थानांतरित करते समय, निर्धारक नहीं बदलता है, अर्थात।

कथन 2।वर्ग मैट्रिसेस के उत्पाद का निर्धारक कारकों के निर्धारकों के उत्पाद के बराबर होता है, अर्थात।

कथन 3।यदि मैट्रिक्स में दो पंक्तियों की अदला-बदली की जाती है, तो इसका निर्धारक चिन्ह बदल जाएगा।

कथन 4।यदि एक मैट्रिक्स में दो समान पंक्तियाँ हैं, तो इसका निर्धारक शून्य है।

भविष्य में, हमें तार जोड़ने और एक स्ट्रिंग को एक संख्या से गुणा करने की आवश्यकता होगी। हम इन ऑपरेशंस को रो (कॉलम) पर उसी तरह से परफॉर्म करेंगे जैसे रो मेट्रिसेस (कॉलम मैट्रिसेस) पर ऑपरेशंस करते हैं, यानी एलिमेंट बाय एलिमेंट। परिणाम एक पंक्ति (स्तंभ) होगा, जो एक नियम के रूप में, मूल मैट्रिक्स की पंक्तियों से मेल नहीं खाता है। पंक्तियों (स्तंभों) को जोड़ने और उन्हें एक संख्या से गुणा करने के संचालन की उपस्थिति में, हम पंक्तियों (स्तंभों) के रैखिक संयोजनों के बारे में भी बात कर सकते हैं, अर्थात् संख्यात्मक गुणांक वाले योग।

कथन 5।यदि किसी मैट्रिक्स की पंक्ति को किसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो उसके निर्धारक को उस संख्या से गुणा किया जाएगा।

कथन 6।यदि मैट्रिक्स में एक शून्य पंक्ति है, तो इसका निर्धारक शून्य है।

कथन 7.यदि मैट्रिक्स की पंक्तियों में से एक संख्या के गुणा के बराबर है (पंक्तियाँ आनुपातिक हैं), तो मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य है।

कथन 8.मैट्रिक्स में i-वें पंक्ति को दिखने दें। फिर, जहां i-th रो को रो से रिप्लेस करके मैट्रिक्स से मैट्रिक्स प्राप्त किया जाता है, और i-th रो को रो से रिप्लेस करके मैट्रिक्स प्राप्त किया जाता है।

कथन 9।यदि मैट्रिक्स की पंक्तियों में से एक को दूसरे में जोड़ा जाता है, एक संख्या से गुणा किया जाता है, तो मैट्रिक्स का निर्धारक नहीं बदलेगा।

कथन 10।यदि मैट्रिक्स की पंक्तियों में से एक इसकी अन्य पंक्तियों का एक रैखिक संयोजन है, तो मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य है।

परिभाषा 2। बीजगणितीय जोड़एक मैट्रिक्स तत्व को एक संख्या के बराबर कहा जाता है, जहां i-th पंक्ति और j-th कॉलम को हटाकर मैट्रिक्स से प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक होता है। एक मैट्रिक्स तत्व के बीजगणितीय पूरक द्वारा निरूपित किया जाता है।

उदाहरण।होने देना . तब

टिप्पणी।बीजगणितीय जोड़ का उपयोग करते हुए, 1 निर्धारक की परिभाषा इस प्रकार लिखी जा सकती है:

कथन 11। एक मनमानी स्ट्रिंग में निर्धारक का अपघटन।

मैट्रिक्स निर्धारक सूत्र को संतुष्ट करता है

उदाहरण।गणना .

समाधान।आइए तीसरी पंक्ति में विस्तार का उपयोग करें, यह अधिक लाभदायक है, क्योंकि तीसरी पंक्ति में तीन में से दो संख्याएँ शून्य हैं। पाना

कथन 12.क्रम के एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए, हमारे पास संबंध है .

कथन 13।पंक्तियों के लिए तैयार किए गए निर्धारक के सभी गुण (कथन 1 - 11) स्तंभों के लिए भी मान्य हैं, विशेष रूप से, जे-वें स्तंभ में निर्धारक का अपघटन मान्य है और समानता पर ।

कथन 14.त्रिकोणीय मैट्रिक्स का निर्धारक इसके मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर है।

परिणाम।पहचान मैट्रिक्स का निर्धारक एक के बराबर है।

निष्कर्ष।ऊपर सूचीबद्ध गुण अपेक्षाकृत कम मात्रा में गणना के साथ पर्याप्त उच्च ऑर्डर के मैट्रिक्स के निर्धारकों को ढूंढना संभव बनाते हैं। गणना एल्गोरिथ्म निम्नलिखित है।

एक कॉलम में शून्य बनाने के लिए एल्गोरिथम।आदेश निर्धारक की गणना करने के लिए इसे आवश्यक होने दें। यदि , तो पहली पंक्ति और किसी भी अन्य पंक्ति की अदला-बदली करें जिसमें पहला तत्व शून्य नहीं है। नतीजतन, निर्धारक विपरीत चिह्न के साथ नए मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होगा। यदि प्रत्येक पंक्ति का पहला तत्व शून्य के बराबर है, तो मैट्रिक्स में एक शून्य स्तंभ है और कथन 1, 13 के अनुसार, इसका निर्धारक शून्य के बराबर है।

तो, हम मानते हैं कि पहले से ही मूल मैट्रिक्स में। पहली पंक्ति को अपरिवर्तित छोड़ दें। आइए दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को संख्या से गुणा करके जोड़ते हैं। फिर दूसरी पंक्ति का पहला तत्व बराबर होगा .

नई दूसरी पंक्ति के शेष तत्वों को , द्वारा दर्शाया जाएगा। कथन 9 के अनुसार नए मैट्रिक्स का निर्धारक बराबर है। पहली पंक्ति को संख्या से गुणा करें और इसे तीसरी पंक्ति में जोड़ें। नई तीसरी पंक्ति का पहला तत्व बराबर होगा

नई तीसरी पंक्ति के शेष तत्वों को , द्वारा दर्शाया जाएगा। कथन 9 के अनुसार नए मैट्रिक्स का निर्धारक बराबर है।

हम स्ट्रिंग्स के पहले तत्वों के बजाय शून्य प्राप्त करने की प्रक्रिया जारी रखेंगे। अंत में, हम पहली पंक्ति को एक संख्या से गुणा करते हैं और इसे अंतिम पंक्ति में जोड़ते हैं। परिणाम एक मैट्रिक्स है, जिसे द्वारा निरूपित किया जाता है, जिसका रूप है

और । मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए, हम पहले कॉलम में विस्तार का उपयोग करते हैं

के बाद से

ऑर्डर मैट्रिक्स का निर्धारक दाईं ओर है। हम उस पर एक ही एल्गोरिथ्म लागू करते हैं, और मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना ऑर्डर मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना के लिए कम हो जाएगी। प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक हम दूसरे क्रम के निर्धारक तक नहीं पहुंच जाते, जिसकी गणना परिभाषा द्वारा की जाती है।

यदि मैट्रिक्स में कोई विशिष्ट गुण नहीं है, तो प्रस्तावित एल्गोरिथम की तुलना में गणना की मात्रा को महत्वपूर्ण रूप से कम करना संभव नहीं है। इस एल्गोरिथ्म का एक और अच्छा पक्ष यह है कि बड़े ऑर्डर के मैट्रिसेस के निर्धारकों की गणना करने के लिए कंप्यूटर के लिए प्रोग्राम लिखना आसान है। निर्धारकों की गणना के लिए मानक कार्यक्रमों में, इस एल्गोरिथ्म का उपयोग कंप्यूटर गणनाओं में राउंडिंग त्रुटियों और इनपुट डेटा त्रुटियों के प्रभाव को कम करने से जुड़े मामूली परिवर्तनों के साथ किया जाता है।

उदाहरण।गणना मैट्रिक्स निर्धारक .

समाधान।पहली पंक्ति अपरिवर्तित छोड़ दी गई है। दूसरी पंक्ति में हम पहले को जोड़ते हैं, संख्या से गुणा करते हैं:

निर्धारक नहीं बदलता है। तीसरी पंक्ति में हम पहले को जोड़ते हैं, संख्या से गुणा करते हैं:

निर्धारक नहीं बदलता है। चौथी पंक्ति में हम पहले को जोड़ते हैं, संख्या से गुणा करते हैं:

निर्धारक नहीं बदलता है। नतीजतन, हमें मिलता है

उसी एल्गोरिदम का उपयोग करके, हम ऑर्डर 3 के मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करते हैं, जो दाईं ओर है। हम पहली पंक्ति को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, दूसरी पंक्ति में हम पहले को जोड़ते हैं, संख्या से गुणा करते हैं :

तीसरी पंक्ति में हम पहले को जोड़ते हैं, संख्या से गुणा करते हैं :

नतीजतन, हमें मिलता है

उत्तर। .

टिप्पणी।यद्यपि परिकलनों में भिन्नों का उपयोग किया गया था, परिणाम एक पूर्णांक था। दरअसल, निर्धारकों के गुणों और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि मूल संख्याएं पूर्णांक हैं, भिन्नों के साथ संक्रियाओं से बचा जा सकता है। लेकिन इंजीनियरिंग अभ्यास में, संख्याएँ बहुत कम पूर्णांक होती हैं। इसलिए, एक नियम के रूप में, निर्धारक के तत्व दशमलव अंश होंगे और गणनाओं को सरल बनाने के लिए किसी भी चाल का उपयोग करने की सलाह नहीं दी जाती है।

उलटा मैट्रिक्स

परिभाषा 3।मैट्रिक्स कहा जाता है उलटा मैट्रिक्सवर्ग मैट्रिक्स के लिए यदि .

यह परिभाषा से अनुसरण करता है कि उलटा मैट्रिक्स मैट्रिक्स के समान क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स होगा (अन्यथा उत्पादों में से एक या परिभाषित नहीं किया जाएगा)।

मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रकार, यदि मौजूद है, तो।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि मैट्रिक्स मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है, अर्थात। मेट्रिसेस और एक दूसरे के व्युत्क्रम या परस्पर व्युत्क्रम कहे जा सकते हैं।

यदि किसी मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य है, तो इसका व्युत्क्रम मौजूद नहीं है।

चूंकि उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए यह महत्वपूर्ण है कि मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है या नहीं, हम निम्नलिखित परिभाषाओं का परिचय देते हैं।

परिभाषा 4।चलो वर्ग मैट्रिक्स कहते हैं पतितया विशेष मैट्रिक्स, अगर गैर पतितया नॉनसिंगुलर मैट्रिक्स, अगर ।

कथन।यदि एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है, तो यह अद्वितीय है।

कथन।यदि एक वर्ग मैट्रिक्स अप्रचलित है, तो इसका व्युत्क्रम मौजूद है और (1) जहाँ तत्वों में बीजगणितीय योग हैं।

प्रमेय।एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है अगर और केवल अगर मैट्रिक्स गैर-एकवचन है, उलटा मैट्रिक्स अद्वितीय है, और सूत्र (1) मान्य है।

टिप्पणी।व्युत्क्रम मैट्रिक्स सूत्र में बीजगणितीय परिवर्धन द्वारा कब्जा किए गए स्थानों पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए: पहला सूचकांक संख्या दिखाता है कॉलम, और दूसरा नंबर है पंक्तियां, जिसमें परिकलित बीजगणितीय पूरक लिखा जाना चाहिए।

उदाहरण। .

समाधान।निर्धारक ढूँढना

चूंकि , तब मैट्रिक्स गैर-डीजेनरेट है, और इसके लिए व्युत्क्रम मौजूद है। बीजगणितीय जोड़ ढूँढना:

हम पाए गए बीजगणितीय योगों को रखकर व्युत्क्रम मैट्रिक्स की रचना करते हैं ताकि पहला सूचकांक स्तंभ से मेल खाता हो, और दूसरा पंक्ति से: (2)

परिणामी मैट्रिक्स (2) समस्या का उत्तर है।

टिप्पणी।पिछले उदाहरण में, उत्तर को इस प्रकार लिखना अधिक सटीक होगा:
(3)

हालाँकि, अंकन (2) अधिक कॉम्पैक्ट है और इसके साथ आगे की गणना, यदि कोई हो, करना अधिक सुविधाजनक है। इसलिए, उत्तर को (2) के रूप में लिखना बेहतर है यदि आव्यूहों के अवयव पूर्णांक हैं। और इसके विपरीत, यदि मैट्रिक्स के तत्व दशमलव अंश हैं, तो विपरीत मैट्रिक्स को बिना किसी कारक के लिखना बेहतर है।

टिप्पणी।उलटा मैट्रिक्स ढूंढते समय, आपको अंतिम मैट्रिक्स में बीजगणितीय जोड़ों की व्यवस्था के लिए बहुत सारी गणनाएं और असामान्य नियम करना पड़ता है। इसलिए, त्रुटि की उच्च संभावना है। त्रुटियों से बचने के लिए, आपको एक जांच करनी चाहिए: मूल मैट्रिक्स के उत्पाद को एक या दूसरे क्रम में अंतिम रूप से गणना करें। यदि परिणाम एक पहचान मैट्रिक्स है, तो उलटा मैट्रिक्स सही पाया जाता है। अन्यथा, आपको एक त्रुटि देखने की आवश्यकता है।

उदाहरण।एक मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए .

समाधान। - मौजूद।

उत्तर: .

निष्कर्ष।सूत्र (1) द्वारा व्युत्क्रम आव्यूह ज्ञात करने के लिए बहुत अधिक गणनाओं की आवश्यकता होती है। चौथे क्रम और उच्चतर के आव्यूहों के लिए, यह अस्वीकार्य है। उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए वास्तविक एल्गोरिदम बाद में दिया जाएगा।

गॉस पद्धति का उपयोग करके निर्धारक और व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करना

गॉस विधि का उपयोग निर्धारक और व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए किया जा सकता है।

अर्थात्, मैट्रिक्स निर्धारक det के बराबर है।

गाऊसी उन्मूलन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करके उलटा मैट्रिक्स पाया जाता है:

आइडेंटिटी मैट्रिक्स का j-th कॉलम कहां है, वांछित वेक्टर है।

परिणामी समाधान वैक्टर - फॉर्म, जाहिर है, मैट्रिक्स के कॉलम, चूंकि।

निर्धारक के लिए सूत्र

1. यदि मैट्रिक्स निरर्थक है, तो और (प्रमुख तत्वों का उत्पाद)।

उनकी गणना के तरीके

परिभाषा. अभिव्यक्ति

चतुर्थ कोटि का निर्धारक कहलाता है। इस निर्धारक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

जहाँ i-th पंक्ति और j-th कॉलम के चौराहे पर तत्व का गौण है, इस तत्व का बीजगणितीय पूरक है।

योग चिह्न का उपयोग करके सूत्र (6) लिखा जा सकता है:

, (7)

जहां मैं = 1,2,3,4।

सूत्र (7) को तत्वों द्वारा निर्धारक का विस्तार कहा जाता है

मैं-वीं पंक्ति। आप जे-वें कॉलम के तत्वों पर निर्धारक के अपघटन को भी लिख सकते हैं:

(8)

जहां जे = 1,2,3,4।

निर्धारक के क्रम को कम करने की विधि निर्धारकों के गुणों का उपयोग करके निर्धारक की पंक्ति या स्तंभ के सभी तत्वों में से एक को शून्य करने पर आधारित है।

उदाहरण 11।गणना निर्धारक

.

समाधान. आइए पहली पंक्ति के तत्वों को दूसरी पंक्ति के तत्वों में जोड़ें:

.

पहली पंक्ति के तत्वों को (-2) से गुणा करें और उन्हें तीसरी पंक्ति के तत्वों में जोड़ें:

.

पहली पंक्ति के तत्वों को (-1) से गुणा करें और उन्हें चौथी पंक्ति के तत्वों में जोड़ें:

.

आइए पहले कॉलम के तत्वों द्वारा परिणामी निर्धारक का विस्तार करें

आइए पहली दो पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें, जबकि निर्धारक का चिह्न विपरीत में बदल जाएगा, उसी समय हम निर्धारक के चिह्न से परे तीसरे स्तंभ के 3 तत्वों का सामान्य कारक निकालेंगे:

.

पहली पंक्ति के तत्वों को (-2) से गुणा करें और दूसरी पंक्ति के तत्वों में जोड़ें:

.

हम दूसरी पंक्ति के तत्वों द्वारा परिणामी निर्धारक का विस्तार करते हैं

उदाहरण 12।गणना निर्धारक .

समाधान. आइए पहली और दूसरी पंक्तियों की अदला-बदली करें, और संपत्ति 2 के अनुसार, निर्धारक का चिह्न विपरीत में बदल जाएगा:

.

सबसे पहले, हम पहली पंक्ति के तत्वों को (-2) से गुणा करते हैं और उन्हें दूसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों में जोड़ते हैं, और फिर हम पहली पंक्ति के तत्वों को (-3) से गुणा करते हैं और उन्हें के तत्वों में जोड़ते हैं तीसरी पंक्ति, हमें मिलती है:

.

हम दूसरी पंक्ति के तत्वों को चौथी पंक्ति के तत्वों में जोड़ते हैं:

.

तीसरी पंक्ति के तत्वों को (-1) से गुणा करें और उन्हें चौथी पंक्ति के तत्वों में जोड़ें:

.

हमें एक त्रिकोणीय निर्धारक मिलता है, जिसका मूल्य मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर होता है।

उदाहरण 13. गणना निर्धारक

.

समाधान।तीसरी पंक्ति के तत्वों द्वारा निर्धारक का विस्तार करें

तीसरे क्रम के प्राप्त निर्धारकों की गणना त्रिभुज नियम के अनुसार की जा सकती है

स्वतंत्र निर्णय के लिए कार्य।

1. निर्धारकों की गणना करें:

2. समीकरण हल करें:

3. असमानताओं को हल करें:

4. निर्धारकों की गणना करें:

उत्तर: 1।ए) 7; बी) 26; सी) 0; डी) 0; ई) 30। 2 . ए) 5; बी) 2; दो पर;

जी) 3 . ए) बी) वी) डी) [-1; 7]। 4 . ए) -24; बी) -40; 9 पर; डी) 57; ई) -5; च) 1; जी) 1; ज) 55; मैं) 30; जे) 48; के) 0; एम) -1004; मी)150।

मैट्रिक्स

बुनियादी अवधारणाओं

परिभाषा. एक मैट्रिक्स संख्याओं की एक आयताकार तालिका है जिसमें समान लंबाई की m पंक्तियाँ और समान लंबाई के n कॉलम होते हैं, जिसे इस प्रकार लिखा जाता है

(9)

या, संक्षेप में, , कहाँ , (अर्थात। ) - लाइन नंबर, (वे। ) स्तंभ संख्या है, संख्याओं को मैट्रिक्स तत्व कहा जाता है। मैट्रिक्स को आकार मैट्रिक्स कहा जाता है और लिखा जाता है। उदाहरण के लिए। , .

परिभाषा. दो मैट्रिक्स और एक दूसरे के बराबर हैं यदि उनके आकार समान हैं, और उनके संबंधित तत्व समान हैं, अर्थात , अगर , कहाँ .

उदाहरण के लिए। चूँकि मैट्रिक्स के आयाम समान हैं और संबंधित तत्व समान हैं, इसलिए मैट्रिसेस और समान हैं, अर्थात।

परिभाषा. एक मैट्रिक्स जिसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है, एक वर्ग मैट्रिक्स कहलाती है। एक वर्ग आकार के मैट्रिक्स को n-th ऑर्डर मैट्रिक्स कहा जाता है।

उदाहरण के लिए। वे। दूसरे क्रम का मैट्रिक्स दिया।

परिभाषा. एक वर्ग मैट्रिक्स जिसमें मुख्य विकर्ण के तत्वों को छोड़कर सभी तत्व शून्य के बराबर होते हैं, विकर्ण कहलाते हैं।

आव्यूह - विकर्ण।

परिभाषा. एक विकर्ण मैट्रिक्स जिसमें मुख्य विकर्ण का प्रत्येक तत्व एक के बराबर होता है, पहचान मैट्रिक्स कहलाता है। यह एक पत्र के साथ चिह्नित है।

या .

परिभाषा. एक वर्ग मैट्रिक्स को त्रिकोणीय कहा जाता है यदि मुख्य विकर्ण (या मुख्य विकर्ण के नीचे) के ऊपर स्थित सभी तत्व शून्य के बराबर हैं।

या त्रिकोणीय मैट्रिसेस हैं।

ऑर्डर n के वर्ग मैट्रिक्स की एक महत्वपूर्ण विशेषता इसका निर्धारक (या निर्धारक) है, जिसे या द्वारा दर्शाया जाता है। .

परिभाषा।एक वर्ग मैट्रिक्स जिसका निर्धारक शून्य नहीं है, यानी , गैर-पतित कहा जाता है। अन्यथा, मैट्रिक्स को पतित कहा जाता है।

उदाहरण के लिए,

आव्यूह ए- पतित।

आव्यूह में- गैर पतित।

परिभाषा. एक मैट्रिक्स, जिसके सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, को शून्य कहा जाता है और इसे O अक्षर से निरूपित किया जाता है।

मैट्रिक्स कैलकुस में, मैट्रिक्स ओ और ई अंकगणित में संख्या 0 और 1 की भूमिका निभाते हैं।

परिभाषा. एक पंक्ति युक्त मैट्रिक्स को पंक्ति मैट्रिक्स कहा जाता है।

आकार का एक मैट्रिक्स, जिसमें एक संख्या होती है, इस संख्या से पहचाना जाता है, अर्थात 3 है।

परिभाषा. किसी दिए गए से प्रत्येक पंक्ति को उसी संख्या वाले कॉलम के साथ बदलकर प्राप्त मैट्रिक्स को दिए गए मैट्रिक्स को ट्रांसपोज़्ड कहा जाता है। मनोनीत।

अगर , वह , अगर , वह .

ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स में निम्नलिखित संपत्ति है: .

उच्च गणित में समस्याओं को हल करने के क्रम में अक्सर यह आवश्यक होता है मैट्रिक्स निर्धारक की गणना करें. मैट्रिक्स निर्धारक रैखिक बीजगणित, विश्लेषणात्मक ज्यामिति, गणितीय विश्लेषण और उच्च गणित की अन्य शाखाओं में प्रकट होता है। इस प्रकार, कोई भी निर्धारकों को हल करने के कौशल के बिना नहीं कर सकता। इसके अलावा, स्व-परीक्षण के लिए, आप निर्धारक कैलकुलेटर को मुफ्त में डाउनलोड कर सकते हैं, यह आपको यह नहीं सिखाएगा कि निर्धारकों को स्वयं कैसे हल किया जाए, लेकिन यह बहुत सुविधाजनक है, क्योंकि पहले से ही सही उत्तर जानना हमेशा फायदेमंद होता है!

मैं निर्धारक की एक सख्त गणितीय परिभाषा नहीं दूंगा, और सामान्य तौर पर, मैं गणितीय शब्दावली को कम करने की कोशिश करूंगा, इससे अधिकांश पाठकों के लिए यह आसान नहीं होगा। इस लेख का उद्देश्य आपको दूसरे, तीसरे और चौथे क्रम के निर्धारकों को हल करना सिखाना है। सभी सामग्री को एक सरल और सुलभ रूप में प्रस्तुत किया गया है, और यहां तक ​​​​कि उच्च गणित में एक पूर्ण (खाली) केतली, सामग्री के सावधानीपूर्वक अध्ययन के बाद, निर्धारकों को सही ढंग से हल करने में सक्षम होगी।

व्यवहार में, अक्सर आप दूसरे क्रम का निर्धारक पा सकते हैं, उदाहरण के लिए: , और तीसरे क्रम का निर्धारक, उदाहरण के लिए: .

चौथा क्रम निर्धारक भी कोई प्राचीन वस्तु नहीं है, और हम इस पाठ के अंत में इसके बारे में बात करेंगे।

मुझे आशा है कि हर कोई निम्नलिखित को समझता है:निर्धारक के अंदर संख्याएँ अपने आप रहती हैं, और किसी घटाव का कोई सवाल ही नहीं है! आप संख्याओं की अदला-बदली नहीं कर सकते!

(विशेष रूप से, किसी निर्धारक की पंक्तियों या स्तंभों के अपने चिह्न में परिवर्तन के साथ जोड़ीदार क्रमपरिवर्तन करना संभव है, लेकिन अक्सर यह आवश्यक नहीं है - अगला पाठ देखें एक निर्धारक के गुण और उसके क्रम को कम करना)

इस प्रकार, यदि कोई निर्धारक दिया गया है, तो इसके अंदर कुछ भी मत छुओ!

नोटेशन: यदि एक मैट्रिक्स दिया गया है , तो इसके निर्धारक को द्वारा निरूपित किया जाता है। इसके अलावा, बहुत बार निर्धारक को लैटिन अक्षर या ग्रीक द्वारा निरूपित किया जाता है।

1)निर्धारक को हल करने (खोजने, प्रकट करने) का क्या अर्थ है?निर्धारक की गणना करने के लिए संख्या का पता लगाना है। उपरोक्त उदाहरणों में प्रश्न चिह्न पूरी तरह से साधारण संख्याएँ हैं।

2) अब यह पता लगाना बाकी है इस नंबर का पता कैसे लगाएं?ऐसा करने के लिए, आपको कुछ नियमों, सूत्रों और एल्गोरिदम को लागू करने की आवश्यकता है, जिन पर अब चर्चा की जाएगी।

आइए निर्धारक "दो" से "दो" से शुरू करें:

यह कम से कम विश्वविद्यालय में उच्च गणित का अध्ययन करने के समय के लिए याद किया जाना चाहिए।

आइए तुरंत एक उदाहरण देखें:

तैयार। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि संकेतों को भ्रमित न करें।

तीन बटा तीन मैट्रिक्स निर्धारक 8 तरीकों से खोला जा सकता है, उनमें से 2 सामान्य हैं और 6 सामान्य हैं।

आइए दो सरल तरीकों से शुरू करें

"दो बटा दो" निर्धारक के समान, "तीन बटा तीन" निर्धारक को सूत्र का उपयोग करके विस्तारित किया जा सकता है:

सूत्र लंबा है और असावधानी के कारण गलती करना आसान है। शर्मनाक गलतियों से कैसे बचें? इसके लिए, निर्धारक की गणना के लिए दूसरी विधि का आविष्कार किया गया था, जो वास्तव में पहले के साथ मेल खाता है। इसे सारस विधि या "समानांतर पट्टियां" विधि कहा जाता है।
लब्बोलुआब यह है कि पहले और दूसरे कॉलम को निर्धारक के दाईं ओर जिम्मेदार ठहराया जाता है और रेखाओं को पेंसिल से सावधानीपूर्वक खींचा जाता है:

"लाल" विकर्णों पर स्थित कारक "प्लस" चिन्ह के साथ सूत्र में शामिल हैं।
"नीले" विकर्णों पर स्थित कारक एक ऋण चिह्न के साथ सूत्र में शामिल हैं:

उदाहरण:

दो समाधानों की तुलना करें। यह देखना आसान है कि यह समान है, बस दूसरे मामले में सूत्र के कारकों को थोड़ा पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि गलती करने की संभावना बहुत कम होती है।

अब निर्धारक की गणना करने के छह सामान्य तरीकों पर विचार करें

सामान्य क्यों? क्योंकि अधिकांश मामलों में, निर्धारकों को इस तरह से खोलने की आवश्यकता होती है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, तीन बटा तीन निर्धारक में तीन कॉलम और तीन पंक्तियाँ हैं।
आप सारणिक का विस्तार करके उसे हल कर सकते हैं किसी पंक्ति पर या किसी स्तंभ पर.
इस प्रकार, यह 6 तरीकों से निकलता है, जबकि सभी मामलों में उपयोग किया जाता है उसी प्रकार काकलन विधि।

मैट्रिक्स निर्धारक पंक्ति (स्तंभ) तत्वों के उत्पादों और संबंधित बीजगणितीय योगों के योग के बराबर है। डरावना? सब कुछ बहुत सरल है, हम एक अवैज्ञानिक, लेकिन समझने योग्य दृष्टिकोण का उपयोग करेंगे, जो गणित से दूर रहने वाले व्यक्ति के लिए भी सुलभ है।

निम्नलिखित उदाहरण में, हम सारणिक का विस्तार करेंगे पहली पंक्ति पर.
ऐसा करने के लिए, हमें संकेतों के एक मैट्रिक्स की आवश्यकता है: . यह देखना आसान है कि संकेत कंपित हैं।

ध्यान! संकेतों का मैट्रिक्स मेरा अपना आविष्कार है। यह अवधारणा वैज्ञानिक नहीं है, इसे असाइनमेंट के अंतिम डिजाइन में उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है, यह केवल निर्धारक की गणना के लिए एल्गोरिदम को समझने में आपकी सहायता करती है।

मैं पहले पूरा समाधान दूंगा। दोबारा, हम अपने प्रयोगात्मक निर्धारक लेते हैं और गणना करते हैं:

और मुख्य प्रश्न: इसे "तीन बटा तीन" निर्धारक से कैसे प्राप्त करें:
?

तो, "तीन बटा तीन" निर्धारक तीन छोटे निर्धारकों को हल करने के लिए नीचे आता है, या जैसा कि उन्हें भी कहा जाता है, नाबालिगों. मैं इस शब्द को याद रखने की सलाह देता हूं, खासकर जब से यह यादगार है: मामूली - छोटा।

जैसे ही निर्धारक के विस्तार की विधि का चयन किया जाता है पहली पंक्ति परजाहिर है, सब कुछ इसके चारों ओर घूमता है:

तत्वों को आमतौर पर बाएं से दाएं देखा जाता है (या ऊपर से नीचे अगर कोई कॉलम चुना जाएगा)

आइए चलते हैं, पहले हम स्ट्रिंग के पहले तत्व से निपटते हैं, जो कि इकाई के साथ है:

1) हम संकेतों के मैट्रिक्स से संबंधित चिह्न लिखते हैं:

2) फिर हम तत्व को ही लिखते हैं:

3) उस पंक्ति और स्तंभ को मानसिक रूप से पार करें जिसमें पहला तत्व है:

शेष चार संख्याएँ निर्धारक "दो बटा दो" बनाती हैं, जिसे कहा जाता है अवयस्कदिया गया तत्व (इकाई)।

हम लाइन के दूसरे तत्व को पास करते हैं।

4) हम संकेतों के मैट्रिक्स से संबंधित चिह्न लिखते हैं:

5) फिर हम दूसरा तत्व लिखते हैं:

6) दूसरे तत्व वाली पंक्ति और स्तंभ को मानसिक रूप से पार करें:

खैर, पहली पंक्ति का तीसरा तत्व। कोई मौलिकता नहीं

7) हम संकेतों के मैट्रिक्स से संबंधित चिह्न लिखते हैं:

8) तीसरा तत्व लिखिए:

9) मानसिक रूप से उस पंक्ति और स्तंभ को पार करें जिसमें तीसरा तत्व है:

शेष चार अंक एक छोटे निर्धारक में लिखे गए हैं।

शेष चरण कठिन नहीं हैं, क्योंकि हम पहले से ही जानते हैं कि "दो बटा दो" निर्धारकों की गणना कैसे करें। संकेतों को भ्रमित मत करो!

इसी तरह, सारणिक का विस्तार किसी भी पंक्ति या किसी स्तंभ पर किया जा सकता है।स्वाभाविक रूप से, सभी छह मामलों में उत्तर समान है।

निर्धारक "फोर बाय फोर" की गणना उसी एल्गोरिथम का उपयोग करके की जा सकती है।
इस मामले में, संकेतों का मैट्रिक्स बढ़ेगा:

निम्नलिखित उदाहरण में, मैंने निर्धारक का विस्तार किया चौथे कॉलम पर:

और यह कैसे हुआ, इसे अपने आप जानने की कोशिश करें। अधिक जानकारी बाद में आएगी। यदि कोई निर्धारक को अंत तक हल करना चाहता है, तो सही उत्तर है: 18. प्रशिक्षण के लिए, निर्धारक को किसी अन्य कॉलम या अन्य पंक्ति में खोलना बेहतर है।

अभ्यास करना, प्रकट करना, गणना करना यह बहुत अच्छा और उपयोगी है। लेकिन आप एक बड़े निर्धारक पर कितना समय व्यतीत करेंगे? क्या कोई तेज़ और अधिक विश्वसनीय तरीका नहीं है? मेरा सुझाव है कि आप दूसरे पाठ में निर्धारकों की गणना के लिए प्रभावी तरीकों से परिचित हों - एक निर्धारक के गुण। निर्धारक के क्रम को कम करना।

ध्यान से!

दूसरा क्रम मुख्य विकर्ण बनाने वाली संख्याओं के गुणनफल और पार्श्व विकर्ण पर संख्याओं के गुणनफल के अंतर के बराबर एक संख्या है, आप निर्धारक के निम्नलिखित पद पा सकते हैं:; ; ; deta(निर्धारक)।

.

उदाहरण:
.

तीसरे क्रम के मैट्रिक्स का निर्धारकएक संख्या या एक गणितीय व्यंजक कहा जाता है, जिसकी गणना निम्न नियम के अनुसार की जाती है

तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना करने का सबसे सरल तरीका नीचे से पहली दो पंक्तियों के निर्धारक को जोड़ना है।

संख्याओं की गठित तालिका में, मुख्य विकर्ण पर और मुख्य के समानांतर विकर्णों पर तत्वों को गुणा किया जाता है, उत्पाद के परिणाम का संकेत नहीं बदलता है। गणना का अगला चरण द्वितीयक विकर्ण और उसके समानांतर तत्वों का एक समान गुणन है। उत्पाद परिणामों के संकेत उलटे हैं। फिर परिणामी छह पद जोड़ें।

उदाहरण:

कुछ पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों द्वारा निर्धारक का अपघटन।

अवयस्क एम आईतत्व और आईजीस्क्वायर मैट्रिक्स एनिर्धारक कहा जाता है, जो मैट्रिक्स के तत्वों से बना होता है ए, हटाने के बाद शेष मैं-ओह रेखा और जे-वाँ स्तंभ।

उदाहरण के लिए, एक तत्व के लिए एक नाबालिग एक 21तीसरा क्रम मैट्रिसेस
एक निर्धारक होगा
.

हम कहेंगे कि तत्व और आईजीयदि एक समान स्थिति रखता है मैं + जे(पंक्ति और स्तंभ संख्याओं का योग जिसके चौराहे पर यह तत्व स्थित है) - एक सम संख्या, एक विषम स्थान, यदि मैं + जे- विषम संख्या।

बीजगणितीय जोड़ और आईजीतत्व और आईजीस्क्वायर मैट्रिक्स एअभिव्यक्ति कहते हैं (या संबंधित माइनर का मान, "+" चिह्न के साथ लिया जाता है यदि मैट्रिक्स तत्व एक सम स्थान पर है, और "-" चिह्न के साथ यदि तत्व विषम स्थान रखता है)।

उदाहरण:

एक 23= 4;

- एक तत्व का बीजगणितीय पूरक एक 22= 1.

लाप्लास प्रमेय। निर्धारक कुछ पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों के उत्पादों और उनके संबंधित बीजगणितीय जोड़ के योग के बराबर है।

आइए तीसरे क्रम के निर्धारक के उदाहरण से स्पष्ट करें। आप निम्न प्रकार से पहली पंक्ति पर विस्तार करके तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना कर सकते हैं

इसी तरह, आप किसी भी पंक्ति या स्तंभ पर विस्तार करके तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना कर सकते हैं। सारणिक को पंक्ति (या स्तंभ) के साथ विस्तारित करना सुविधाजनक है जिसमें अधिक शून्य हैं।

उदाहरण:

इस प्रकार, तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना 3 दूसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के लिए कम हो जाती है। सामान्य स्थिति में, कोई वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना कर सकता है एन-वाँ क्रम, इसे गणना में कम करना एननिर्धारक ( एन-1) वें क्रम

टिप्पणी।दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के तरीकों के समान, उच्च क्रम के निर्धारकों की गणना करने का कोई सरल तरीका नहीं है। इसलिए, तीसरे क्रम से ऊपर के निर्धारकों की गणना के लिए केवल अपघटन विधि का उपयोग किया जा सकता है।

उदाहरण. चौथे क्रम निर्धारक की गणना करें।

तीसरी पंक्ति के तत्वों द्वारा निर्धारक का विस्तार करें

निर्धारकों के गुण:

1. यदि इसकी पंक्तियों को स्तंभों से बदल दिया जाए और इसके विपरीत, तो निर्धारक नहीं बदलेगा।

2. दो सन्निकट पंक्तियों (स्तंभों) की अनुमति देते समय, निर्धारक चिह्न को विपरीत में बदल देता है।

3. दो समान पंक्तियों (स्तंभों) वाला निर्धारक 0 है।

4. सारणिक की किसी पंक्ति (स्तंभ) के सभी अवयवों का उभयनिष्ठ गुणनखंड सारणिक के चिह्न से निकाला जा सकता है।

5. यदि किसी अन्य कॉलम (पंक्ति) के संबंधित तत्वों को किसी संख्या से गुणा करके उसके किसी एक कॉलम (पंक्तियों) के तत्वों में जोड़ा जाता है तो निर्धारक नहीं बदलेगा।

एक निर्धारक की अवधारणा रैखिक बीजगणित के दौरान मुख्य में से एक है। यह अवधारणा केवल वर्ग मैट्रिक्स में निहित है, और यह लेख इस अवधारणा के लिए समर्पित है। यहाँ हम उन आव्यूहों के निर्धारकों के बारे में बात करेंगे जिनके अवयव वास्तविक (या सम्मिश्र) संख्याएँ हैं। इस मामले में, निर्धारक एक वास्तविक (या जटिल) संख्या है। आगे की सभी प्रस्तुति निर्धारक की गणना कैसे करें और इसके क्या गुण हैं, इस सवाल का जवाब होगा।

सबसे पहले, हम मैट्रिक्स तत्वों के क्रमपरिवर्तन के उत्पादों के योग के रूप में n द्वारा ऑर्डर n के वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक की परिभाषा देते हैं। इस परिभाषा के आधार पर, हम पहले, दूसरे और तीसरे क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना के लिए सूत्र लिखते हैं और कई उदाहरणों के समाधानों का विस्तार से विश्लेषण करते हैं।

अगला, हम निर्धारक के गुणों की ओर मुड़ते हैं, जिसे हम बिना प्रमाण के प्रमेय के रूप में तैयार करेंगे। यहाँ, निर्धारक की गणना करने की एक विधि एक पंक्ति या स्तंभ के तत्वों पर इसके विस्तार के माध्यम से प्राप्त की जाएगी। यह विधि क्रम 3 के मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना को 3 से 3 या उससे कम क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना के लिए कम कर देती है। कई उदाहरणों के समाधान दिखाना सुनिश्चित करें।

अंत में, हम गॉस विधि द्वारा निर्धारक की गणना पर ध्यान केन्द्रित करते हैं। यह विधि 3 से 3 से अधिक क्रम के मैट्रिसेस के निर्धारकों को खोजने के लिए अच्छी है क्योंकि इसमें कम कम्प्यूटेशनल प्रयास की आवश्यकता होती है। हम उदाहरणों के समाधान का भी विश्लेषण करेंगे।

पेज नेविगेशन।

मैट्रिक्स निर्धारक की परिभाषा, परिभाषा द्वारा मैट्रिक्स निर्धारक की गणना।

हम कई सहायक अवधारणाओं को याद करते हैं।

परिभाषा।

आदेश का क्रमचय nसंख्याओं का एक क्रमित सेट कहा जाता है, जिसमें n तत्व होते हैं।

n अवयव वाले समुच्चय के लिए, n! क्रम n के क्रमपरिवर्तन का (n भाज्य)। क्रमपरिवर्तन केवल तत्वों के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होते हैं।

उदाहरण के लिए, तीन संख्याओं वाले एक सेट पर विचार करें: . हम सभी क्रमपरिवर्तन लिखते हैं (कुल छह हैं, चूंकि ):

परिभाषा।

क्रम n के क्रमचय में उलटाइंडेक्स पी और क्यू की कोई भी जोड़ी कहा जाता है, जिसके लिए क्रमचय का पी-वें तत्व क्यू-वें से अधिक है।

पिछले उदाहरण में, क्रमचय 4 , 9 , 7 का व्युत्क्रम p=2 , q=3 है, क्योंकि क्रमचय का दूसरा तत्व 9 है और तीसरे तत्व से बड़ा है, जो 7 है। क्रमचय 9 , 7 , 4 का प्रतिलोम तीन जोड़े होंगे: p=1 , q=2 (9>7 ); p=1 , q=3 (9>4 ) और p=2 , q=3 (7>4 )।

हम एक क्रमचय में व्युत्क्रमों की संख्या में अधिक रुचि लेंगे, न कि स्वयं व्युत्क्रमण में।

वास्तविक (या जटिल) संख्याओं के क्षेत्र में क्रम n बटा n का एक वर्ग मैट्रिक्स होने दें। सेट के क्रम n के सभी क्रमपरिवर्तनों का सेट होने दें। सेट में n है! क्रमपरिवर्तन। आइए सेट के kवें क्रमचय को , और kth क्रमपरिवर्तन में व्युत्क्रमों की संख्या को . के रूप में निरूपित करते हैं।

परिभाषा।

मैट्रिक्स निर्धारकऔर इसके बराबर एक संख्या है .

आइए इस सूत्र का शब्दों में वर्णन करें। क्रम n बटा n के एक वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक n युक्त योग है! शर्तें। प्रत्येक शब्द मैट्रिक्स के एन तत्वों का एक उत्पाद है, और प्रत्येक उत्पाद में प्रत्येक पंक्ति से और मैट्रिक्स ए के प्रत्येक स्तंभ से एक तत्व होता है। एक गुणांक (-1) kवें पद से पहले प्रकट होता है यदि उत्पाद में मैट्रिक्स A के तत्वों को पंक्ति संख्या द्वारा क्रमबद्ध किया जाता है, और स्तंभ संख्याओं के सेट के kवें क्रमपरिवर्तन में व्युत्क्रमों की संख्या विषम होती है।

मैट्रिक्स ए के निर्धारक को आमतौर पर के रूप में दर्शाया जाता है, और det(A) का भी उपयोग किया जाता है। आप यह भी सुन सकते हैं कि निर्धारक को निर्धारक कहा जाता है।

इसलिए, .

इससे पता चलता है कि पहले क्रम के मैट्रिक्स का निर्धारक इस मैट्रिक्स का तत्व है।

द्वितीय-क्रम वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना - सूत्र और उदाहरण।

सामान्य तौर पर लगभग 2 बाय 2।

इस मामले में n=2 , इसलिए n!=2!=2 ।

.

अपने पास

इस प्रकार, हमने 2 से 2 क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त किया है, इसका रूप है .

उदाहरण।

आदेश देना।

समाधान।

हमारे उदाहरण में। हम परिणामी सूत्र लागू करते हैं :

तीसरे क्रम के एक वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना - सूत्र और उदाहरण।

आइए एक वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजें सामान्य तौर पर लगभग 3 बाय 3।

इस मामले में n=3 , इसलिए n!=3!=6 ।

सूत्र को लागू करने के लिए आवश्यक डेटा को तालिका के रूप में व्यवस्थित करते हैं .

अपने पास

इस प्रकार, हमने 3 से 3 क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त किया है, इसका रूप है

इसी प्रकार, 4 गुणा 4, 5 गुणा 5 और उच्चतर क्रम के आव्यूहों के निर्धारकों की गणना के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं। वे बहुत भारी दिखेंगे।

उदाहरण।

स्क्वायर मैट्रिक्स के कंप्यूट निर्धारक लगभग 3 से 3।

समाधान।

हमारे उदाहरण में

हम तीसरे क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए परिणामी सूत्र लागू करते हैं:

दूसरे और तीसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना के सूत्र बहुत बार उपयोग किए जाते हैं, इसलिए हम अनुशंसा करते हैं कि आप उन्हें याद रखें।

एक मैट्रिक्स निर्धारक के गुण, गुणों का उपयोग करके एक मैट्रिक्स निर्धारक की गणना।

उपरोक्त परिभाषा के आधार पर, निम्नलिखित सत्य हैं। मैट्रिक्स निर्धारक गुण.

मैट्रिक्स A का निर्धारक ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स A T के निर्धारक के बराबर है, अर्थात।

उदाहरण।

मैट्रिक्स निर्धारक सुनिश्चित करें ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर है।

समाधान।

आइए 3 बटा 3 क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:



हम मैट्रिक्स ए को स्थानांतरित करते हैं:


ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें:



दरअसल, ट्रांसपोज्ड मैट्रिक्स का निर्धारक मूल मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होता है।

यदि एक वर्ग मैट्रिक्स में कम से कम एक पंक्ति (स्तंभों में से एक) के सभी तत्व शून्य हैं, तो ऐसे मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर होता है।

उदाहरण।

जांचें कि मैट्रिक्स निर्धारक क्रम 3 बटा 3 शून्य है।

समाधान।




दरअसल, शून्य कॉलम वाले मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य होता है।

यदि आप एक वर्ग मैट्रिक्स में किन्हीं दो पंक्तियों (स्तंभों) की अदला-बदली करते हैं, तो परिणामी मैट्रिक्स का निर्धारक मूल एक के विपरीत होगा (अर्थात, चिन्ह बदल जाएगा)।

उदाहरण।

क्रम 3 बटा 3 के दो वर्ग आव्यूह दिए गए हैं और . दिखाएँ कि उनके निर्धारक विपरीत हैं।

समाधान।

आव्यूह बी को मैट्रिक्स ए से तीसरी पंक्ति को पहले के साथ और पहले को तीसरे के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है। मानी गई संपत्ति के अनुसार, ऐसे मेट्रिसेस के निर्धारक चिन्ह में भिन्न होने चाहिए। आइए एक प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके निर्धारकों की गणना करके इसकी जाँच करें।



वास्तव में, ।

यदि किसी वर्ग आव्यूह में कम से कम दो पंक्तियाँ (दो स्तंभ) समान हों, तो इसका निर्धारक शून्य के बराबर होता है।

उदाहरण।

दिखाएँ कि मैट्रिक्स निर्धारक शून्य के बराबर।

समाधान।

इस मैट्रिक्स में, दूसरा और तीसरा कॉलम समान हैं, इसलिए, विचार की गई संपत्ति के अनुसार, इसका निर्धारक शून्य के बराबर होना चाहिए। चलो पता करते हैं।



वास्तव में, दो समान स्तंभों वाले मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य होता है।

यदि एक वर्ग मैट्रिक्स में किसी भी पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्वों को किसी संख्या k से गुणा किया जाता है, तो परिणामी मैट्रिक्स का निर्धारक मूल मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होगा, जिसे k से गुणा किया जाएगा। उदाहरण के लिए,



उदाहरण।

सिद्ध कीजिए कि मैट्रिक्स निर्धारक मैट्रिक्स के निर्धारक के तीन गुणा के बराबर है .

समाधान।

मैट्रिक्स बी के पहले कॉलम के तत्व मैट्रिक्स ए के पहले कॉलम के संगत तत्वों से 3 से गुणा करके प्राप्त किए जाते हैं। फिर, माना संपत्ति के आधार पर, समानता धारण करनी चाहिए। आइए मैट्रिसेस ए और बी के निर्धारकों की गणना करके इसकी जांच करें।



अत: जो सिद्ध होना था।

टिप्पणी।

मैट्रिक्स और निर्धारक की अवधारणाओं को भ्रमित या भ्रमित न करें! एक मैट्रिक्स के निर्धारक की मानी जाने वाली संपत्ति और एक मैट्रिक्स को एक संख्या से गुणा करने का संचालन एक ही चीज़ से बहुत दूर है।
, लेकिन .

यदि एक वर्ग मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्व s शब्दों का योग हैं (s एक से अधिक प्राकृतिक संख्या है), तो ऐसे मैट्रिक्स का निर्धारक मैट्रिक्स के निर्धारकों के योग के बराबर होगा मूल एक, यदि पंक्ति (स्तंभ) के तत्व एक समय में एक शब्द छोड़ते हैं। उदाहरण के लिए,


उदाहरण।

सिद्ध कीजिए कि किसी आव्यूह का निर्धारक, आव्यूहों के निर्धारकों के योग के बराबर होता है .

समाधान।

हमारे उदाहरण में , इसलिए, मैट्रिक्स निर्धारक, समानता की मानी जाने वाली संपत्ति के कारण . हम सूत्र का उपयोग करके क्रम 2 से 2 के आव्यूहों के संगत निर्धारकों की गणना करके इसकी जांच करते हैं .


प्राप्त परिणामों से यह देखा जा सकता है . यह प्रमाण को पूरा करता है।

यदि हम मैट्रिक्स की कुछ पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों को दूसरी पंक्ति (स्तंभ) के संबंधित तत्वों में जोड़ते हैं, एक मनमाना संख्या k से गुणा करते हैं, तो परिणामी मैट्रिक्स का निर्धारक मूल मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होगा।

उदाहरण।

सुनिश्चित करें कि यदि मैट्रिक्स के तीसरे स्तंभ के तत्व इस मैट्रिक्स के दूसरे कॉलम के संबंधित तत्वों को (-2) से गुणा करें, और मैट्रिक्स के पहले कॉलम के संबंधित तत्वों को जोड़ें, एक मनमाना वास्तविक संख्या से गुणा करें, फिर परिणामी मैट्रिक्स का निर्धारक बराबर होगा मूल मैट्रिक्स का निर्धारक।

समाधान।

यदि हम निर्धारक की मानी हुई संपत्ति से शुरू करते हैं, तो समस्या में इंगित सभी परिवर्तनों के बाद प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक मैट्रिक्स ए के निर्धारक के बराबर होगा।

सबसे पहले, हम मूल मैट्रिक्स A के निर्धारक की गणना करते हैं:



अब मैट्रिक्स ए के आवश्यक परिवर्तन करते हैं।

आइए मैट्रिक्स के तीसरे कॉलम के तत्वों को मैट्रिक्स के दूसरे कॉलम के संबंधित तत्वों में जोड़ें, पहले उन्हें (-2) से गुणा करके। उसके बाद, मैट्रिक्स दिखेगा:


परिणामी मैट्रिक्स के तीसरे कॉलम के तत्वों के लिए, हम पहले कॉलम के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ते हैं:


परिणामी मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें और सुनिश्चित करें कि यह मैट्रिक्स ए के निर्धारक के बराबर है, अर्थात -24:



एक वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक उनके द्वारा किसी भी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों के उत्पादों का योग है बीजगणितीय जोड़.



यहाँ मैट्रिक्स तत्व का बीजगणितीय पूरक है।

यह संपत्ति 3 से 3 से अधिक ऑर्डर के मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना करने की अनुमति देती है, उन्हें ऑर्डर मैट्रिसेस के कई निर्धारकों के योग में घटाकर एक कम कर देती है। दूसरे शब्दों में, यह किसी भी क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना के लिए एक पुनरावर्ती सूत्र है। हम अनुशंसा करते हैं कि आप इसे इसकी लगातार प्रयोज्यता के कारण याद रखें।

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण।

4 को 4 से क्रमित करें, इसका विस्तार करें

• तीसरी पंक्ति के तत्वों द्वारा,
• दूसरे कॉलम के तत्वों द्वारा।

समाधान।

हम तीसरी पंक्ति के तत्वों द्वारा निर्धारक का विस्तार करने के सूत्र का उपयोग करते हैं



अपने पास



इसलिए क्रम 4 बटा 4 के आव्यूह के निर्धारक को खोजने की समस्या को क्रम 3 बटा 3 के आव्यूहों के तीन निर्धारकों की गणना में घटा दिया गया:



प्राप्त मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम परिणाम पर पहुँचते हैं:


हम दूसरे कॉलम के तत्वों द्वारा निर्धारक का विस्तार करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं


और हम उसी तरह कार्य करते हैं।

हम तीसरे क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना का विस्तार से वर्णन नहीं करेंगे।



उदाहरण।

गणना मैट्रिक्स निर्धारक लगभग 4 से 4।

समाधान।

आप किसी भी स्तंभ या किसी भी पंक्ति के तत्वों में मैट्रिक्स निर्धारक को विघटित कर सकते हैं, लेकिन उस पंक्ति या स्तंभ को चुनना अधिक फायदेमंद होता है जिसमें शून्य तत्वों की सबसे बड़ी संख्या होती है, क्योंकि इससे अनावश्यक गणनाओं से बचने में मदद मिलेगी। आइए पहली पंक्ति के तत्वों द्वारा निर्धारक का विस्तार करें:



हम ज्ञात सूत्र के अनुसार 3 से 3 क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना करते हैं:



हम परिणामों को प्रतिस्थापित करते हैं और वांछित मूल्य प्राप्त करते हैं


उदाहरण।

गणना मैट्रिक्स निर्धारक लगभग 5 से 5।

समाधान।

मैट्रिक्स की चौथी पंक्ति में सभी पंक्तियों और स्तंभों के बीच शून्य तत्वों की सबसे बड़ी संख्या है, इसलिए मैट्रिक्स निर्धारक को चौथी पंक्ति के तत्वों द्वारा ठीक से विस्तारित करने की सलाह दी जाती है, क्योंकि इस मामले में हमें कम गणना की आवश्यकता होती है।



क्रम 4 से 4 के मैट्रिसेस के प्राप्त निर्धारक पिछले उदाहरणों में पाए गए थे, इसलिए हम तैयार किए गए परिणामों का उपयोग करेंगे:



उदाहरण।

गणना मैट्रिक्स निर्धारक लगभग 7 से 7।

समाधान।

किसी भी पंक्ति या स्तंभ के तत्वों द्वारा निर्धारक को विघटित करने के लिए आपको तुरंत जल्दी नहीं करना चाहिए। यदि आप मैट्रिक्स को करीब से देखते हैं, तो आप देखेंगे कि मैट्रिक्स की छठी पंक्ति के तत्वों को दूसरी पंक्ति के संगत तत्वों को दो से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है। अर्थात्, यदि हम दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों को (-2) से गुणा करके छठी पंक्ति के तत्वों में जोड़ते हैं, तो सातवीं संपत्ति के कारण निर्धारक नहीं बदलेगा, और परिणामी मैट्रिक्स की छठी पंक्ति में शामिल होंगे शून्य। ऐसे मैट्रिक्स का निर्धारक दूसरी संपत्ति द्वारा शून्य के बराबर है।

उत्तर:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विचार की गई संपत्ति किसी भी क्रम के मैट्रिसेस के निर्धारकों की गणना करने की अनुमति देती है, हालांकि, किसी को बहुत सारे कम्प्यूटेशनल ऑपरेशन करने पड़ते हैं। ज्यादातर मामलों में, गॉस विधि द्वारा तीसरे से अधिक ऑर्डर के मैट्रिसेस के निर्धारक को ढूंढना अधिक फायदेमंद होता है, जिस पर हम नीचे विचार करेंगे।

एक वर्ग मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों के उत्पादों का योग और दूसरी पंक्ति (स्तंभ) के संबंधित तत्वों के बीजगणितीय पूरक शून्य के बराबर है।


उदाहरण।

दिखाएँ कि मैट्रिक्स के तीसरे स्तंभ के तत्वों के उत्पादों का योग पहले कॉलम के संबंधित तत्वों के बीजगणितीय पूरक पर शून्य के बराबर है।

समाधान।




एक ही क्रम के वर्ग मैट्रिसेस के उत्पाद का निर्धारक उनके निर्धारकों के उत्पाद के बराबर होता है, अर्थात , जहाँ m एक से बड़ी प्राकृतिक संख्या है, A k , k=1,2,…,m समान क्रम के वर्ग आव्यूह हैं।

उदाहरण।

सुनिश्चित करें कि दो मैट्रिक्स के उत्पाद का निर्धारक और उनके निर्धारकों के उत्पाद के बराबर है।

समाधान।

आइए पहले मैट्रिक्स A और B के निर्धारकों का गुणनफल ज्ञात करें:


अब मैट्रिक्स गुणन करते हैं और परिणामी मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करते हैं:



इस प्रकार, जिसे दिखाया जाना था।

गॉस विधि द्वारा मैट्रिक्स निर्धारक की गणना।

आइए हम इस विधि का सार बताते हैं। प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, मैट्रिक्स ए को इस तरह से घटाया जाता है कि पहले कॉलम में सभी तत्व शून्य हो जाते हैं (यह हमेशा संभव है यदि मैट्रिक्स ए का निर्धारक गैर-शून्य है)। हम इस प्रक्रिया का वर्णन थोड़ी देर बाद करेंगे, लेकिन अब हम बताएंगे कि ऐसा क्यों किया जाता है। पहले स्तंभ के तत्वों पर निर्धारक का सरलतम विस्तार प्राप्त करने के लिए शून्य तत्व प्राप्त किए जाते हैं। मैट्रिक्स ए के इस तरह के परिवर्तन के बाद, आठवीं संपत्ति को ध्यान में रखते हुए और , हम प्राप्त करते हैं

कहाँ - माइनर (n-1)-वाँ क्रम, मैट्रिक्स ए से इसकी पहली पंक्ति और पहले कॉलम के तत्वों को हटाकर प्राप्त किया गया।

जिस मैट्रिक्स से माइनर मेल खाता है, उसके साथ पहले कॉलम में शून्य तत्व प्राप्त करने की समान प्रक्रिया की जाती है। और इसी तरह निर्धारक की अंतिम गणना तक।

अब यह प्रश्न का उत्तर देना बाकी है: "पहले कॉलम में अशक्त तत्व कैसे प्राप्त करें"?

आइए क्रियाओं के एल्गोरिदम का वर्णन करें।

यदि , तो मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के तत्वों को k वीं पंक्ति के संगत तत्वों में जोड़ा जाता है, जिसमें . (यदि अपवाद के बिना मैट्रिक्स ए के पहले कॉलम के सभी तत्व शून्य हैं, तो इसका निर्धारक दूसरी संपत्ति से शून्य है और गॉसियन विधि की आवश्यकता नहीं है)। इस तरह के परिवर्तन के बाद, "नया" तत्व शून्य से भिन्न होगा। सातवीं संपत्ति के कारण "नया" मैट्रिक्स का निर्धारक मूल मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होगा।

अब हमारे पास एक मैट्रिक्स है जिसमें . जब दूसरी पंक्ति के तत्वों के लिए, हम पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को जोड़ते हैं, से गुणा करते हैं, तीसरी पंक्ति के तत्वों के लिए, पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करते हैं। और इसी तरह। अंत में, n वीं पंक्ति के तत्वों के लिए, हम पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ते हैं। तो रूपांतरित मैट्रिक्स ए प्राप्त किया जाएगा, जिसके पहले कॉलम के सभी तत्व, को छोड़कर, शून्य होंगे। परिणामी मैट्रिक्स का निर्धारक सातवीं संपत्ति के कारण मूल मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होगा।

आइए एक उदाहरण को हल करते समय विधि का विश्लेषण करें, ताकि यह स्पष्ट हो जाए।

उदाहरण।

क्रम 5 बटा 5 के मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें .

समाधान।

आइए गॉस पद्धति का उपयोग करें। आइए मैट्रिक्स ए को रूपांतरित करें ताकि इसके पहले कॉलम के सभी तत्व, को छोड़कर, शून्य हो जाएं।

चूंकि तत्व प्रारंभ में है, तो हम मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के तत्वों को संबंधित तत्वों में जोड़ते हैं, उदाहरण के लिए, दूसरी पंक्ति, चूंकि:

"~" चिह्न का अर्थ समानता है।

अब हम दूसरी पंक्ति के तत्वों को पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों से गुणा करके जोड़ते हैं , तीसरी पंक्ति के तत्वों के लिए - पहली पंक्ति के संगत तत्वों से गुणा , और इसी तरह छठी पंक्ति तक आगे बढ़ें:

हम पाते हैं

मैट्रिक्स के साथ हम पहले कॉलम में शून्य तत्व प्राप्त करने के लिए समान प्रक्रिया अपनाते हैं:

इस तरह,

अब हम मैट्रिक्स के साथ रूपांतरण करते हैं :

टिप्पणी।

गॉस विधि द्वारा मैट्रिक्स परिवर्तन के किसी चरण में, ऐसी स्थिति उत्पन्न हो सकती है जब मैट्रिक्स की अंतिम कुछ पंक्तियों के सभी तत्व शून्य हो जाते हैं। यह निर्धारक की समानता शून्य के बारे में बात करेगा।

संक्षेप।

एक वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक जिसके तत्व संख्याएँ हैं, एक संख्या है। हमने निर्धारक की गणना करने के तीन तरीकों पर विचार किया है:

1. मैट्रिक्स तत्वों के संयोजन के उत्पादों के योग के माध्यम से;
2. मैट्रिक्स की पंक्ति या स्तंभ के तत्वों द्वारा निर्धारक के विस्तार के माध्यम से;
3. मैट्रिक्स को ऊपरी त्रिकोणीय (गॉस विधि द्वारा) कम करने की विधि।

क्रम 2 बटा 2 और 3 बटा 3 के आव्यूहों के निर्धारकों की गणना के लिए सूत्र प्राप्त किए गए।

हमने मैट्रिक्स निर्धारक के गुणों का विश्लेषण किया है। उनमें से कुछ आपको जल्दी से समझने की अनुमति देते हैं कि निर्धारक शून्य है।

3 से 3 से अधिक क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना करते समय, गॉस विधि का उपयोग करने की सलाह दी जाती है: मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तन करें और इसे ऊपरी त्रिकोणीय एक में लाएं। ऐसे मैट्रिक्स का निर्धारक मुख्य विकर्ण पर सभी तत्वों के उत्पाद के बराबर होता है।