सबसे सरल क्यूइंग सिस्टम के गणितीय मॉडल। कोर्टवर्क: क्यूइंग सिस्टम की मॉडलिंग

लक्ष्य

क्यूइंग नॉलेज की नींव, जिसे कभी-कभी क्यूइंग थ्योरी या क्यूइंग थ्योरी कहा जाता है, उत्पादन प्रबंधन सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। कतारें आम हैं। कार सेवा केंद्र में कार की मरम्मत की प्रतीक्षा करते समय या किसी प्रोफेसर से परामर्श के लिए प्रतीक्षा करते समय वे वर्दी पहन सकते हैं। तालिका क्यूइंग सिस्टम में क्यूइंग के कुछ उदाहरण सूचीबद्ध करती है:

सामग्री उत्पादन प्रबंधन और सेवा क्षेत्र में कतार मॉडल (साथ ही रैखिक प्रोग्रामिंग, सूची प्रबंधन मॉडल, परियोजनाओं के लिए नेटवर्क विश्लेषण विधियों) का उपयोग किया जाता है। कतार की लंबाई, औसत प्रतीक्षा समय, औसत सेवा समय और अन्य कारकों के संदर्भ में कतारों का विश्लेषण करने से हमें यह समझने में मदद मिलती है कि सेवा प्रणाली कैसे व्यवस्थित होती है। एक डॉक्टर के प्रतीक्षालय में एक मरीज की प्रतीक्षा करना और एक मरम्मत की दुकान में एक टूटी हुई ड्रिल को ठीक करने की प्रतीक्षा करना, सेवा प्रबंधन के संदर्भ में बहुत कुछ समान है। दोनों प्रक्रियाएं ग्राहकों की जरूरतों को पूरा करने के लिए मानव संसाधन और उपकरण संसाधनों का उपयोग करती हैं।

एक पेशेवर प्रबंधक, कतारबद्ध प्रणाली में सुधार करने के लिए, सिस्टम के संचालन की लागत और ग्राहकों की प्रतीक्षा से जुड़ी लागतों में होने वाले परिवर्तनों का मूल्यांकन करता है। आप बड़ी संख्या में कर्मचारियों को नियुक्त कर सकते हैं जो ग्राहकों को शीघ्रता से सेवा देंगे। उदाहरण के लिए, एक सुपरमार्केट प्रशासक पीक आवर्स के दौरान विक्रेताओं और कैशियर की संख्या बढ़ाकर कैश रजिस्टर में कतारों को कम कर सकता है। पीक आवर्स के दौरान बैंकों या हवाई अड्डों के कैश डेस्क पर काम करने के लिए अतिरिक्त कर्मचारियों को शामिल किया जा सकता है। हालांकि, प्रतीक्षा समय को कम करना आमतौर पर अतिरिक्त कर्मचारियों के भुगतान के साथ, नौकरियों को बनाने और लैस करने की लागत से जुड़ा होता है। ये खर्च काफी महत्वपूर्ण हो सकते हैं।

आप श्रम लागत पर बचत कर सकते हैं। लेकिन तब ग्राहक सेवा के लिए प्रतीक्षा नहीं कर सकता है या फिर से लौटने की इच्छा खो सकता है। बाद के मामले में, कतारबद्ध प्रणाली को नुकसान उठाना पड़ेगा, जिसे प्रतीक्षा लागत कहा जा सकता है। कुछ सेवा प्रणालियों में, जैसे एंबुलेंस, लंबे समय तक प्रतीक्षा करने से जुड़ी लागत बहुत अधिक हो सकती है। क्यूइंग सिस्टम में सुधार के लिए मुख्य आर्थिक सिद्धांत कुल अपेक्षित लागतों का अनुमान लगाना है, जिसमें सेवा लागत और ग्राहक की प्रतीक्षा के परिणामस्वरूप सिस्टम को होने वाले नुकसान शामिल हैं।

इस अध्याय के कार्यों को पूरा करने के बाद, आप आर्थिक विश्लेषण के लिए निम्नलिखित अवधारणाओं को परिभाषित करने और उनका उपयोग करने में सक्षम होंगे:

कतार प्रणाली;

कतार;

आवेदनों की प्राप्ति की दर;

सेवा की गति;

औसत समय जो एप्लिकेशन कतार में बिताता है;

औसत कतार लंबाई;

औसत समय जो अनुप्रयोग सेवा प्रणाली में व्यतीत करता है;

सेवा प्रणाली में ग्राहकों की औसत संख्या;

सेवा प्रणाली के कामकाज की लागत;

प्रतीक्षा लागत।

मॉडल

क्यूइंग सिस्टम की वर्गीकरण विशेषताएं।

कतारबद्ध प्रणालियों में, तीन मुख्य चरण होते हैं जिनसे प्रत्येक आवेदन गुजरता है:

1) सिस्टम के प्रवेश द्वार पर एक आवेदन की उपस्थिति;

2) कतार पास करना;

3) सेवा प्रक्रिया, जिसके बाद एप्लिकेशन सिस्टम छोड़ देता है।

प्रत्येक चरण में, कुछ विशेषताओं का उपयोग किया जाता है, जिन पर गणितीय मॉडल बनाने से पहले चर्चा की जानी चाहिए।

इनपुट निर्दिष्टीकरण:

1) प्रवेश द्वार पर आवेदनों की संख्या (जनसंख्या का आकार);

2) सेवा प्रणाली में आवेदन प्राप्त करने का तरीका;

3) ग्राहक व्यवहार।

प्रवेश द्वार पर आवेदनों की संख्या।संभावित अनुप्रयोगों की संख्या (जनसंख्या का आकार) या तो अनंत (असीमित जनसंख्या) या परिमित (सीमित जनसंख्या) मानी जा सकती है। यदि सेवा प्रक्रिया की शुरुआत से किसी भी समय में सिस्टम में प्रवेश करने वाले ग्राहकों की संख्या ग्राहकों की संभावित संख्या का एक छोटा सा हिस्सा है, तो इनपुट आबादी को माना जाता है असीमित।अप्रतिबंधित आबादी के उदाहरण: राजमार्गों पर चौकियों से गुजरने वाली कारें, सुपरमार्केट में खरीदारी करने वाले आदि। प्रवेश द्वार पर कतारों के अधिकांश मॉडलों में, अप्रतिबंधित आबादी को माना जाता है।

यदि सिस्टम में प्रवेश करने वाले ग्राहकों की संख्या कतार प्रणाली में पहले से मौजूद ग्राहकों की संख्या के बराबर है, तो जनसंख्या पर विचार किया जाता है सीमित।परिबद्ध जनसंख्या उदाहरण: एक विशिष्ट संगठन के स्वामित्व वाले कंप्यूटर जिन्हें एक मरम्मत की दुकान द्वारा सर्विस दी जा रही है।

सेवा प्रणाली में आवेदन प्राप्त करने का तरीका।एप्लिकेशन एक निश्चित समय के अनुसार सेवा प्रणाली में प्रवेश कर सकते हैं (उदाहरण के लिए, प्रत्येक 15 मिनट में दंत चिकित्सक के पास एक मरीज, प्रत्येक 20 मिनट में असेंबली लाइन पर एक कार) या बेतरतीब ढंग से। ग्राहक विज़िट गिनती अनियमित,अगर वे एक दूसरे से स्वतंत्र हैं और बिल्कुल अप्रत्याशित हैं। अक्सर कतारबद्ध समस्याओं में, प्रति इकाई समय में होने वाली घटनाओं की संख्या का अनुमान पोइसन संभाव्यता वितरण का उपयोग करके लगाया जा सकता है। किसी दी गई आगमन दर के लिए (उदाहरण के लिए, प्रति घंटे दो ग्राहक या प्रति मिनट चार ट्रक), असतत पॉइसन वितरण को निम्न सूत्र द्वारा वर्णित किया गया है:

कहाँ पी(एक्स) -प्रवेश की संभावना एक्ससमय की प्रति इकाई आवेदन;

एक्स -समय की प्रति इकाई अनुप्रयोगों की संख्या;

एल समय की प्रति यूनिट आवेदनों की औसत संख्या है (आवेदनों की प्राप्ति की दर);

संगत संभावनाएँ पी (एक्स)प्वासों वितरण तालिका का उपयोग करके निर्धारित करना आसान है। यदि, उदाहरण के लिए, अनुरोधों की प्राप्ति की औसत दर प्रति घंटे दो ग्राहक है, तो एक घंटे के भीतर सिस्टम में कोई अनुरोध नहीं आने की संभावना 0.135 है, एक अनुरोध की संभावना लगभग 0.27 है, और दो भी लगभग 0.27 हैं, तीन दावे 0.18 की संभावना के साथ दिखाई दे सकते हैं, चार लगभग 0.09 की संभावना के साथ, और इसी तरह। एक घंटे में 9 या अधिक दावों के सिस्टम में प्रवेश करने की संभावना शून्य के करीब है।

व्यवहार में, अनुप्रयोगों के घटित होने की प्रायिकता, निश्चित रूप से हमेशा प्वासों वितरण का अनुसरण नहीं करती है (उनका कोई अन्य वितरण हो सकता है)। इसलिए, यह जांचने के लिए प्रारंभिक अध्ययन की आवश्यकता है कि प्वासों वितरण एक अच्छे सन्निकटन के रूप में काम कर सकता है।

ग्राहक का व्यवहार।अधिकांश कतारबद्ध मॉडल इस धारणा पर आधारित होते हैं कि ग्राहक व्यवहार मानक है, यानी, सिस्टम में प्रवेश करने वाला प्रत्येक ग्राहक एक कतार में प्रवेश करता है, सेवा की प्रतीक्षा करता है, और जब तक सेवा नहीं दी जाती तब तक वह सिस्टम से बाहर नहीं जाता है। दूसरे शब्दों में, एक ग्राहक (मानव या मशीन) जिसने एक कतार में प्रवेश किया है, जब तक कि उसे सेवा नहीं दी जाती है, कतार छोड़ देता है, और एक कतार से दूसरी कतार में चला जाता है।

जीवन बहुत अधिक कठिन है। व्यवहार में, ग्राहक कतार छोड़ सकते हैं क्योंकि यह बहुत लंबी है। एक और स्थिति उत्पन्न हो सकती है: ग्राहक अपनी बारी की प्रतीक्षा कर रहे हैं, लेकिन किसी कारण से वे बिना सेवा के चले जाते हैं। ये मामले कतारबद्ध सिद्धांत के विषय भी हैं, लेकिन यहां पर विचार नहीं किया गया है।

कतार की विशेषताएं:

2) सेवा नियम।

कतार की लंबाई।लंबाई सीमित हो भी सकती है और नहीं भी। कतार की लंबाई (कतार) सीमितयदि किसी कारण से (उदाहरण के लिए, भौतिक सीमाओं के कारण) यह अनिश्चित काल तक नहीं बढ़ सकता है। यदि कतार अपने अधिकतम आकार तक पहुँच जाती है, तो सिस्टम के लिए अगले अनुरोध की अनुमति नहीं है और एक विफलता होती है। कतार की लंबाई सीमित नहीं,यदि कतार में कितने भी आवेदन हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, गैस स्टेशन पर कारों की कतार।

सेवा नियम।अधिकांश वास्तविक प्रणालियाँ पहले-अंदर, पहले-बाहर नियम का उपयोग करती हैं। (फीफो-पेहले आये पेहलॆ गये)। कुछ मामलों में, जैसे अस्पताल के आपातकालीन कक्ष में, इस नियम के अतिरिक्त, विभिन्न प्राथमिकताएं।दिल के दौरे के साथ एक गंभीर रूप से बीमार रोगी की टूटी हुई उंगली वाले रोगी की देखभाल में प्राथमिकता होगी। जिस क्रम में कंप्यूटर प्रोग्राम शुरू किए जाते हैं वह सेवा प्राथमिकता का एक और उदाहरण है।

सेवा प्रक्रिया के लक्षण:

1) सेवा प्रणाली विन्यास (चैनलों की संख्या और सेवा चरणों की संख्या);

2) रखरखाव मोड।

सेवा प्रणाली विन्यास।सेवा प्रणाली में भिन्न हैं सेवा चैनलों की संख्या।आमतौर पर, चैनलों की संख्या को उन ग्राहकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिन्हें एक ही समय में परोसा जा सकता है, उदाहरण के लिए: हेयरड्रेसर में मास्टर्स की संख्या। उदाहरण एक चैनलसेवा प्रणालियाँ: एक बैंक जिसमें ग्राहक सेवा के लिए एकल खिड़की है, या एक रेस्तरां जो कारों में ग्राहकों को सेवा प्रदान करता है। यदि बैंक में कई सेवा विंडो खुली हैं, ग्राहक सामान्य कतार में प्रतीक्षा कर रहा है और पहली खाली खिड़की पर पहुंचता है, तो हम इसके साथ काम कर रहे हैं मल्टी-चैनलएकल चरण रखरखाव प्रणाली। अधिकांश बैंक, साथ ही डाकघर और हवाई टिकट कार्यालय मल्टी-चैनल सेवा प्रणाली हैं।

एक अन्य विशेषता- चरणों की संख्या(या क्रमिक चरण) सेवाएंएक ग्राहक। सिंगल फेज़ऐसे सिस्टम हैं जिनमें क्लाइंट को एक बिंदु (एक कार्यस्थल पर) में सेवा दी जाती है, फिर सिस्टम छोड़ देता है। एक कार सेवा रेस्तरां जहां वेटर पैसे प्राप्त करता है और कार को ऑर्डर लाता है, एकल-चरण प्रणाली का एक उदाहरण है। यदि एक रेस्तरां में आपको एक स्थान पर ऑर्डर देना है, इसके लिए भुगतान करना है और तीसरे स्थान पर भोजन प्राप्त करना है, तो हम इसके साथ काम कर रहे हैं बहुत अवस्थायाँ का(तीन चरण) रखरखाव प्रणाली।

अंजीर पर। 1 विभिन्न विन्यासों की सेवा प्रणालियों को दिखाता है।

रखरखाव मोड।अनुरोधों की प्राप्ति के तरीके के साथ-साथ सेवा मोड को निरंतर या यादृच्छिक सेवा समय द्वारा चित्रित किया जा सकता है। पर स्थायीप्रत्येक ग्राहक की सेवा करने में समान समय व्यतीत होता है। यह स्थिति एक स्वचालित कार धोने में देखी जा सकती है। हालांकि, अक्सर ऐसी स्थितियां होती हैं जब सेवा का समय होता है अनियमितवितरण। कई मामलों में, यह माना जा सकता है कि सेवा समय वितरण समारोह के साथ एक घातीय वितरण का अनुसरण करता है

एफ(टी ) = पी(टी< टी) =1 - ई-टीएम, जहां आर (टी< टी) संभावना है कि वास्तविक समय टीसेवा अनुरोध निर्दिष्ट मूल्य टी से अधिक नहीं होगा;

एम - समय की प्रति इकाई के लिए आवेदनों की औसत संख्या;

ई \u003d 2.7182 - प्राकृतिक लघुगणक का आधार।

कतार मॉडल के पैरामीटर।क्यूइंग सिस्टम के विश्लेषण में, तकनीकी और आर्थिक विशेषताओं का उपयोग किया जाता है।

निम्नलिखित सबसे अधिक उपयोग किए जाते हैं विशेष विवरण:

1) ग्राहक द्वारा कतार में बिताया गया औसत समय;

2) कतार की औसत लंबाई;

3) सेवा प्रणाली में ग्राहक द्वारा बिताया गया औसत समय (प्रतीक्षा समय और सेवा समय);

4) सेवा प्रणाली में ग्राहकों की औसत संख्या;

5) संभावना है कि सेवा प्रणाली निष्क्रिय हो जाएगी;

6) सिस्टम में ग्राहकों की एक निश्चित संख्या की संभावना।

के बीच आर्थिक विशेषताएं सबसे दिलचस्प निम्नलिखित हैं:

1) लाइन में प्रतीक्षा करने की लागत;

2) प्रणाली में प्रतीक्षा की लागत;

3) रखरखाव की लागत।

क्यूइंग सिस्टम के मॉडल।उपरोक्त विशेषताओं के संयोजन के आधार पर, क्यूइंग सिस्टम के विभिन्न मॉडलों पर विचार किया जा सकता है।

यहां हम कुछ सबसे प्रसिद्ध मॉडलों पर एक नज़र डालेंगे। वे सभी निम्नलिखित सामान्य विशेषताएं साझा करते हैं:

ए) आवेदनों की प्राप्ति की संभावना का जहर वितरण;

बी) मानक ग्राहक व्यवहार;

बी) सेवा नियम फीफो(पहले आओ पहले पाओ);

डी) सेवा का एकमात्र चरण।

मैं। मॉडल ए - एकल-चैनल कतार प्रणाली मॉडल एमएम/ 1 एस प्वासोंअनुप्रयोगों के आने वाले प्रवाह और घातीयसेवा का समय।

एकल चैनल के साथ सबसे आम कतारबद्ध समस्याएं। इस मामले में, ग्राहक एकल सेवा बिंदु के लिए एक कतार बनाते हैं। आइए मान लें कि इस प्रकार की प्रणालियों के लिए निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

1. आवेदन पहले आओ पहले पाओ के आधार पर दिए जाते हैं (फीफो)इसके अलावा, कतार की लंबाई की परवाह किए बिना, प्रत्येक ग्राहक अपनी कतार के अंत तक प्रतीक्षा करता है।

2. अनुप्रयोगों की उपस्थिति स्वतंत्र घटनाएं हैं, हालांकि, समय की प्रति इकाई आने वाले आवेदनों की औसत संख्या अपरिवर्तित है।

3. आवेदन प्राप्त करने की प्रक्रिया प्वासों वितरण द्वारा वर्णित है, और आवेदन असीमित सेट से आते हैं।

4. सेवा समय को एक घातीय संभाव्यता वितरण द्वारा वर्णित किया गया है।

5. सेवा की दर आवेदनों की प्राप्ति की दर से अधिक है।

एल को समय की प्रति इकाई अनुप्रयोगों की संख्या होने दें;

एम समय की प्रति यूनिट सेवा करने वाले ग्राहकों की संख्या है;

पी -सिस्टम में अनुप्रयोगों की संख्या।

फिर कतारबद्ध प्रणाली को नीचे दिए गए समीकरणों द्वारा वर्णित किया गया है।

एम/एम/ प्रणाली का वर्णन करने के लिए सूत्र 1:

- सिस्टम में ग्राहकों की औसत संख्या;

सिस्टम में प्रति ग्राहक औसत सेवा समय (प्रतीक्षा समय और सेवा समय);

कतार में ग्राहकों की औसत संख्या;

कतार में ग्राहक के लिए औसत प्रतीक्षा समय;

सिस्टम लोड के लक्षण (उस समय का अनुपात जिसके दौरान सिस्टम सर्विसिंग में व्यस्त है);

सिस्टम में अनुप्रयोगों की अनुपस्थिति की संभावना;

संभावना है कि सिस्टम में से अधिक शामिल हैं कअनुप्रयोग।

द्वितीय। मॉडल बी - मल्टीचैनल सेवा प्रणाली एम/एम/एस।मल्टीचैनल सिस्टम में, सेवा के लिए दो या दो से अधिक चैनल खुले होते हैं। यह माना जाता है कि ग्राहक सामान्य कतार में प्रतीक्षा करते हैं और पहले मुफ्त सेवा चैनल पर आवेदन करते हैं।

इस तरह के बहु-चैनल एकल-चरण प्रणाली का एक उदाहरण कई बैंकों में देखा जा सकता है: सामान्य कतार से, ग्राहक सेवा के लिए पहली निःशुल्क विंडो पर जाते हैं।

मल्टीचैनल सिस्टम में, अनुरोधों का प्रवाह किसके अधीन होता है? प्वासोंकानून, और सेवा समय - घातीय।पहले आने वाले को पहले परोसा जाता है, और सभी सर्विस चैनल समान गति से काम करते हैं। मॉडल का वर्णन करने वाले सूत्र में,उपयोग करना काफी कठिन है। मल्टी-चैनल क्यूइंग सिस्टम के मापदंडों की गणना करने के लिए, उपयुक्त सॉफ़्टवेयर का उपयोग करना सुविधाजनक है।

जिस समय आवेदन कतार में था;

सिस्टम में एप्लिकेशन द्वारा बिताया गया समय।

तृतीय। मॉडल सी- निरंतर सेवा समय के साथ मॉडल एम/डी/ 1.

कुछ प्रणालियों में है स्थायी,घातीय रूप से वितरित सेवा समय के बजाय। ऐसी प्रणालियों में, ग्राहकों को एक निश्चित अवधि के लिए सेवा दी जाती है, जैसे स्वचालित कार वॉश में। मॉडल के लिए साथसेवा मूल्यों की निरंतर दर के साथ एल क्षऔर wqमॉडल में आधा संबंधित मान ए,सेवा की एक परिवर्तनीय दर के साथ।

मॉडल सी का वर्णन करने वाले सूत्र:

- औसत कतार की लंबाई;

- कतार में औसत प्रतीक्षा समय;

सिस्टम में ग्राहकों की औसत संख्या;

सिस्टम में औसत प्रतीक्षा समय।

चतुर्थ। नमूना डी - सीमित आबादी वाला मॉडल

यदि सेवा प्रणाली के संभावित ग्राहकों की संख्या सीमित,हम एक विशेष मॉडल के साथ काम कर रहे हैं। ऐसा कार्य उत्पन्न हो सकता है, उदाहरण के लिए, जब पाँच मशीनों वाले कारखाने के उपकरण को बनाए रखने की बात आती है।

पहले माने गए तीनों की तुलना में इस मॉडल की ख़ासियत यह है कि वहाँ है परस्पर निर्भरताकतार की लंबाई और आवेदनों की प्राप्ति की दर के बीच।

वी मॉडल ई - सीमित कतार मॉडल। मॉडल पिछले वाले से अलग है जिसमें कतार में स्थानों की संख्या है सीमित।इस मामले में, अनुरोध, जो सिस्टम में आया जब कतार में सभी चैनल और स्थान भरे हुए हैं, सिस्टम को बिना सेवा के छोड़ देता है, अर्थात, अस्वीकार कर दिया जाता है।

सीमित कतार मॉडल के एक विशेष मामले के रूप में, कोई भी विचार कर सकता है विफलता मॉडल,यदि कतार में स्थानों की संख्या शून्य हो जाती है।

क्यूइंग सिस्टम के विभिन्न मॉडलों की तुलनात्मक विशेषताएँ निम्नलिखित तालिका में दी गई हैं।

कतार सिद्धांत

परिचय

क्यूइंग थ्योरी सिस्टम विश्लेषण और संचालन अनुसंधान की एक महत्वपूर्ण शाखा है। यह विभिन्न अनुप्रयोगों में समृद्ध है: कार्यों से। उत्पादन के वैज्ञानिक संगठन के लिए टेलीफोन नेटवर्क के संचालन से जुड़ा हुआ है। इस सिद्धांत का उपयोग किया जाता है जहां कॉल और ग्राहक, सिग्नल और बड़े पैमाने पर उत्पादन के उत्पाद होते हैं, और जहां उत्पादों को सर्विस, संसाधित, स्थानांतरित किया जाता है।

क्यूइंग थ्योरी (QMT) के विचार और तरीके अधिक से अधिक व्यापक होते जा रहे हैं। टीएमटी के संदर्भ में प्रौद्योगिकी, अर्थशास्त्र, सैन्य मामलों, प्राकृतिक विज्ञान के कई कार्यों को निर्धारित और हल किया जा सकता है।

टीएमटी की उपस्थिति, सबसे पहले, टेलीफोनी के लागू मुद्दों के लिए है, जिसमें बड़ी संख्या में स्वतंत्र या कमजोर रूप से निर्भर स्रोतों (टेलीफोन एक्सचेंजों के ग्राहक) के कारण, अनुप्रयोगों (कॉल) का प्रवाह स्पष्ट रूप से यादृच्छिक है। एक निश्चित औसत के आसपास यादृच्छिक उतार-चढ़ाव (उतार-चढ़ाव) इस मामले में मानदंड से कुछ विचलन का परिणाम नहीं है, बल्कि पूरी प्रक्रिया में निहित एक पैटर्न है। दूसरी ओर, टेलीफोन एक्सचेंजों के काम की स्थिरता, अच्छे सांख्यिकीय डेटा प्राप्त करने की संभावना ने इस सेवा प्रक्रिया में निहित मुख्य विशेषताओं की पहचान करने के लिए आवश्यक शर्तें बनाईं।

पहली बार डेन एके ने इस ओर ध्यान आकर्षित किया और शोध किया। एरलांग। इस क्षेत्र में उनका मुख्य कार्य 1908-1921 का है। उस समय से, एरलांग द्वारा सामने रखी गई समस्याओं में रुचि काफी बढ़ गई है। 1927 - 1928 में मोलिना और फ्राया की रचनाएँ दिखाई दीं, बाद में 1930 - 1932 में - पोलाचेक, ए.एन. कोलमोगोरोवा, ए.वाई.ए. खिनचिन।

यह कहा जाना चाहिए कि टीएमटी के पहले कार्य काफी सरल थे और अंतिम विश्लेषणात्मक निर्भरता प्राप्त करने की अनुमति दी। ओह, विकास टीएमटी के आवेदन के दायरे को बढ़ाने की रेखा के साथ-साथ इसके सामने आने वाले कार्यों को जटिल बनाने की रेखा के साथ चला गया। यह पता चला कि टेलीफ़ोन-प्रकार की समस्याएं अनुसंधान के विभिन्न क्षेत्रों में उत्पन्न होती हैं: प्राकृतिक विज्ञान में। प्रौद्योगिकी में, परिवहन में, सैन्य मामलों में, उत्पादन के संगठन आदि में।

23. क्यूइंग सिस्टम

मानव व्यावहारिक गतिविधि के कई क्षेत्रों में, हमें अपेक्षा की स्थिति में रहने की आवश्यकता का सामना करना पड़ता है। इसी तरह की स्थिति टिकट कार्यालयों में, बड़े हवाई अड्डों पर कतारों में उत्पन्न होती है, जब विमान परिचारक उड़ान भरने या उतरने की अनुमति की प्रतीक्षा कर रहे होते हैं, टेलीफोन एक्सचेंजों पर सब्सक्राइबर लाइन जारी होने की प्रतीक्षा कर रहे होते हैं, मरम्मत की दुकानों में मशीन टूल्स और उपकरणों की मरम्मत की प्रतीक्षा कर रहे होते हैं। , आपूर्ति और विपणन संगठनों के गोदामों में वाहनों को उतारने या चढ़ाने की प्रतीक्षा में। इन सभी मामलों में हम सामूहिक चरित्र और सेवा के साथ काम कर रहे हैं। कतारबद्ध सिद्धांत ऐसी स्थितियों के अध्ययन से संबंधित है।

कतार सिद्धांत- लागू गणित का क्षेत्र जो उत्पादन, सेवा, प्रबंधन प्रणालियों में प्रक्रियाओं के विश्लेषण से संबंधित है जिसमें सजातीय घटनाओं को कई बार दोहराया जाता है, उदाहरण के लिए, उपभोक्ता सेवा उद्यमों में; सूचना प्राप्त करने, संसाधित करने और प्रसारित करने की प्रणालियों में; स्वचालित उत्पादन लाइनें, आदि।

कतारबद्ध सिद्धांत का विषय अनुरोधों के प्रवाह की प्रकृति, सेवा चैनलों की संख्या, एकल चैनल के प्रदर्शन और कुशल सेवा के बीच संबंध स्थापित करना है ताकि इन प्रक्रियाओं को नियंत्रित करने के सर्वोत्तम तरीके खोजे जा सकें।

23.1। एसएमओ की अवधारणा

क्यूइंग सिस्टम (क्यूएस) के सिद्धांत में, सर्विस्ड ऑब्जेक्ट को एक आवश्यकता कहा जाता है। सामान्य स्थिति में, एक आवश्यकता को आमतौर पर कुछ जरूरतों को पूरा करने के अनुरोध के रूप में समझा जाता है, उदाहरण के लिए, ग्राहक के साथ बात करना, हवाई जहाज उतरना, टिकट खरीदना, गोदाम में सामग्री प्राप्त करना।

आवश्यकताओं की पूर्ति करने वाले साधन कहलाते हैं सेवारत उपकरण या सेवा चैनल . उदाहरण के लिए, इनमें टेलीफोन चैनल, लैंडिंग स्ट्रिप्स, मास्टर रिपेयरमैन, टिकट क्लर्क, ठिकानों और गोदामों में लोडिंग और अनलोडिंग पॉइंट शामिल हैं।

समान सेवा उपकरणों के एक सेट को कहा जाता है कतार प्रणाली . ऐसी प्रणालियाँ टेलीफोन एक्सचेंज, हवाई क्षेत्र, टिकट कार्यालय, मरम्मत की दुकानें, गोदाम और आपूर्ति और विपणन संगठनों के ठिकाने आदि हो सकते हैं।

क्यूएस सिद्धांत का मुख्य कार्य सेवा प्रणाली के संचालन के तरीके और सेवा की प्रक्रिया में होने वाली घटनाओं का अध्ययन करना है। तो, सेवा प्रणाली की विशेषताओं में से एक कतार में आवश्यकता द्वारा व्यतीत किया गया समय है। जाहिर है, सेवा उपकरणों की संख्या बढ़ाकर इस समय को कम किया जा सकता है। हालांकि, प्रत्येक अतिरिक्त डिवाइस को कुछ भौतिक लागतों की आवश्यकता होती है, जबकि सेवा आवश्यकताओं की कमी के कारण सेवा उपकरण का निष्क्रिय समय बढ़ जाता है, जो एक नकारात्मक घटना भी है। नतीजतन, क्यूएस के सिद्धांत में, अनुकूलन समस्याएं उत्पन्न होती हैं: सेवा उपकरणों के डाउनटाइम से जुड़ी न्यूनतम लागत पर सेवा के एक निश्चित स्तर (कतार में अधिकतम कमी या ग्राहकों की हानि) को कैसे प्राप्त किया जाए।

स्रोत।एक स्रोत को एक उपकरण या सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है जिससे अनुरोध सेवा के लिए सिस्टम में प्रवेश करता है। स्रोत को अनंत या परिमित कहा जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि इसमें अनंत या परिमित संख्या में आवश्यकताएँ हैं या नहीं। हम हमेशा मानेंगे कि स्रोत उत्पन्न करने वाली आवश्यकताएं अटूट हैं। उदाहरण के लिए, हालांकि कुछ टेलीफोन एक्सचेंज के ग्राहकों की संख्या सीमित है, हम मानते हैं कि वे एक अनंत स्रोत बनाते हैं।

आने वाली धारा।स्रोत से सेवा में आने वाली आवश्यकताएँ आने वाले प्रवाह का निर्माण करती हैं। आवश्यकता को ही किसी आवश्यकता की संतुष्टि के अनुरोध के रूप में देखा जा सकता है। आने वाली धाराओं के कई उदाहरण हैं। यह कंप्यूटर में प्रोसेसिंग के लिए प्राप्त सूचना का प्रवाह है; एटीएस के लिए आवेदनों का प्रवाह; स्टूडियो में आने वाले ग्राहकों का प्रवाह और पॉलीक्लिनिक में आने वाले मरीज, बंदरगाह पर आने वाले जहाजों का प्रवाह; दुश्मन के विमान और निशाने पर उड़ने वाली मिसाइलें आदि।

सेवा प्रणाली।एक सेवा प्रणाली को सेवा कार्यों को करने वाले तकनीकी साधनों या उत्पादन कर्मियों (विभिन्न प्रतिष्ठानों, उपकरणों, उपकरणों, सुरंगों, रनवे, संचार लाइनों, विक्रेताओं, श्रमिकों या कर्मचारियों की टीमों, कैशियर, आदि) के एक सेट के रूप में समझा जाता है। उपरोक्त सभी, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एक नाम "सर्विस चैनल" (सर्विसिंग डिवाइस) से एकजुट है। सिस्टम की संरचना चैनलों (उपकरणों, लाइनों) की संख्या से निर्धारित होती है। चैनलों की संख्या के अनुसार, सिस्टम को सिंगल-चैनल और मल्टी-चैनल में विभाजित किया जा सकता है।

निवर्तमान धारा।बहिर्वाह सेवा के बाद सिस्टम छोड़ने वाले अनुरोधों का प्रवाह है। इसमें ऐसे अनुरोध शामिल हो सकते हैं जो बिना सर्विस किए ही सिस्टम से चले गए हों।

इनकमिंग फ्लो, सर्विसिंग के परिणामस्वरूप सर्विसिंग सिस्टम की कार्यप्रणाली, आउटगोइंग फ्लो मात्रात्मक विवरण के अधीन हैं। क्यूइंग प्रक्रिया का गणितीय अध्ययन करने के लिए, क्यूइंग सिस्टम को पूरी तरह से परिभाषित करना आवश्यक है। इसका आमतौर पर मतलब है:

- इनपुट स्ट्रीम सेटिंग।यहां हमारे पास आवश्यकताओं की प्राप्ति की औसत तीव्रता और उनकी प्राप्ति के सांख्यिकीय मॉडल (यानी, सिस्टम में आवश्यकताओं की प्राप्ति के क्षणों के वितरण का नियम) दोनों को ध्यान में रखते हैं;

- सेवा तंत्र की स्थापना।इसका अर्थ यह निर्दिष्ट करना है कि सेवा की अनुमति कब दी जाती है, एक ही समय में कितने अनुरोध किए जा सकते हैं और सेवा कितने समय तक चलती है। अंतिम संपत्ति आमतौर पर सेवा अवधि (सेवा समय वितरण कानून) के सांख्यिकीय वितरण की विशेषता होती है;

- सेवा अनुशासन असाइनमेंट।इसका मतलब यह है कि सेवा के लिए कतार (यदि कोई हो) से एक अनुरोध का चयन करने के तरीके को निर्दिष्ट करना। अपने सरलतम रूप में, सेवा अनुशासन आवश्यकताओं को प्राप्त करने के क्रम में पूरा करना है (एक उचित सिद्धांत), लेकिन कई अन्य संभावनाएं हैं।

सिस्टम का कार्य भी इसके अलग-अलग हिस्सों के बीच बातचीत का एक प्रसिद्ध विवरण प्रदान करता है।

जब प्रणाली पर्याप्त रूप से पूरी तरह से परिभाषित होती है, तो गणितीय मॉडल के निर्माण का आधार होता है। यदि गणितीय मॉडल कमोबेश पर्याप्त रूप से वास्तविक प्रणाली को दर्शाता है, तो यह सिस्टम के कामकाज की मुख्य विशेषताओं को प्राप्त करने की अनुमति देता है। बेशक, मॉडल व्यावहारिक स्थिति को बहुत सरल करता है, लेकिन यह क्यूइंग सिद्धांत के गणितीय तरीकों से अलग नहीं होता है और मामलों की स्थिति लागू गणित के अन्य क्षेत्रों में मामलों की स्थिति से भिन्न नहीं होती है।

कतारबद्ध प्रणालीया कतार सिद्धांतसंभाव्यता सिद्धांत में उत्पत्ति वाला विषय है। लेकिन वास्तविक दुनिया के लिए आवेदन में ऐसी प्रणालियों का अध्ययन (और उनमें से कई हैं: कैश डेस्क के साथ एक स्टोर या ट्रेन स्टेशन, ऑपरेटरों के साथ एक गोदाम, हेयरड्रेसर और अस्पताल, कंप्यूटर नेटवर्क, मशीन टूल्स और समायोजक, स्वचालित टेलीफोन एक्सचेंज सिस्टम, आदि) आमतौर पर "संचालन अनुसंधान" और "अर्थशास्त्र में गणितीय तरीके" विषयों के ढांचे के भीतर होता है, इसलिए हम इस खंड में क्यूएस समाधान के उदाहरण देते हैं।

क्यूइंग सिस्टम के कार्य उन वस्तुओं से निपटते हैं जहां हैं: ए) अनुप्रयोगों की कतार (ग्राहक, कॉल, विज़िटर, सिग्नल इत्यादि) और बी) उन्हें संसाधित करने के लिए सीमित संख्या में चैनल (ऑपरेटर, कैशियर, डॉक्टर, ट्रांजिस्टर, आदि।) पी।)। गणितीय रूप से, सिस्टम की दक्षता और प्रमुख प्रदर्शन संकेतकों की गणना करना संभव है, जो वास्तविक दुनिया में सबसे सही, किफायती, लाभदायक और सुविधाजनक तरीके से काम करने की अनुमति देगा।

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क्यूएस समाधान के नि: शुल्क उदाहरण (क्यूइंग सिस्टम)

कार्य 1।रेलवे टिकट एजेंसी को टेलीफोन कॉल के प्रवाह की तीव्रता, जिसके पास एक टेलीफोन है, प्रति घंटे 16 कॉल है। टिकट ऑर्डर करने की अवधि 2.4 मिनट है। इस क्यूएस के सापेक्ष और पूर्ण थ्रूपुट और विफलता की संभावना (फोन व्यस्त) निर्धारित करें। कम से कम 0.75 होने के लिए संबंधित थ्रूपुट के लिए एजेंसी में कितने फोन होने चाहिए।

कार्य 2।कतार प्रणाली एक टिकट कार्यालय है जिसमें एक खिड़की और एक असीमित कतार है। टिकट कार्यालय अंक ए और बी के लिए टिकट बेचता है। बिंदु ए के लिए टिकट खरीदने के इच्छुक यात्री 20 मिनट में औसतन तीन आते हैं, बिंदु बी तक - 20 मिनट में दो। यात्रियों का प्रवाह सबसे सरल है। कैशियर 10 मिनट में औसतन तीन यात्रियों की सेवा करता है। सेवाकाल अनुकरणीय है। अंतिम संभावनाओं की गणना करें P0, P2, P3, सिस्टम में और कतार में अनुप्रयोगों की औसत संख्या, सिस्टम में आवेदन के रहने का औसत समय, आवेदन के कतार में रहने का औसत समय।

कार्य 3।लंबी दूरी के कॉल सेंटर में चार टेलीफोन सेट हैं। बातचीत के लिए औसतन प्रति दिन 320 अनुरोध प्राप्त होते हैं। बातचीत की औसत अवधि 5 मिनट है। कतार की लंबाई 6 ग्राहकों से अधिक नहीं होनी चाहिए। अनुरोधों और सेवाओं का प्रवाह सबसे सरल है। स्थिर मोड में कॉल सेंटर की सेवा विशेषताओं का निर्धारण करें (चैनल डाउनटाइम संभावना, विफलता संभावना, सेवा संभावना, व्यस्त चैनलों की औसत संख्या, कतार में आवेदनों की औसत संख्या, सिस्टम में अनुप्रयोगों की औसत संख्या, निरपेक्ष थ्रूपुट, सापेक्ष थ्रूपुट, कतार में आवेदन का औसत समय, सिस्टम में आवेदन का औसत समय, सेवा के तहत आवेदन का औसत समय)।

पिछले व्याख्यान में माना जाता है, क्यूइंग सिस्टम (क्यूएस) में असतत राज्यों और निरंतर समय के साथ एक मार्कोव यादृच्छिक प्रक्रिया होती है।

कतारबद्ध प्रणाली - ये ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें सेवा अनुरोध यादृच्छिक समय पर प्राप्त होते हैं, जबकि प्राप्त अनुरोधों को सिस्टम में उपलब्ध सेवा चैनलों का उपयोग करके सेवा दी जाती है।

क्यूइंग सिस्टम के उदाहरण हैं:

• बैंकों, उद्यमों में निपटान और कैश नोड्स;
• व्यक्तिगत कंप्यूटर जो कुछ समस्याओं को हल करने के लिए आने वाले अनुप्रयोगों या आवश्यकताओं को पूरा करते हैं;
• कार सर्विस स्टेशन; गैस स्टेशन;
• ऑडिट फर्म;
• उद्यमों की वर्तमान रिपोर्टिंग की स्वीकृति और सत्यापन में शामिल कर निरीक्षण विभाग;
• टेलीफोन एक्सचेंज, आदि।

	समुद्री मील	आवश्यकताएं
अस्पताल	अर्दली	मरीजों
उत्पादन
एयरपोर्ट	रनवे निकलता है पंजीकरण बिंदु	यात्रियों

क्यूएस ऑपरेशन की योजना पर विचार करें (चित्र 1)। सिस्टम में एक अनुरोध जनरेटर, एक डिस्पैचर और एक सेवा नोड, एक विफलता लेखा नोड (टर्मिनेटर, अनुरोध विध्वंसक) शामिल हैं। एक सर्विस नोड में आम तौर पर कई सर्विस चैनल हो सकते हैं।

चावल। 1

1. आवेदन जनरेटर – एक वस्तु जो अनुप्रयोगों को उत्पन्न करती है: एक सड़क, स्थापित इकाइयों के साथ एक कार्यशाला। इनपुट है आवेदन प्रवाह(स्टोर में ग्राहकों का प्रवाह, मरम्मत के लिए टूटी हुई इकाइयों (कारों, मशीन टूल्स) का प्रवाह, अलमारी में आगंतुकों का प्रवाह, गैस स्टेशनों पर कारों का प्रवाह, आदि)।
2. डिस्पैचर - एक व्यक्ति या उपकरण जो जानता है कि टिकट के साथ क्या करना है। एक नोड जो सेवा चैनलों के अनुरोधों को नियंत्रित और निर्देशित करता है। डिस्पैचर:

• आवेदन स्वीकार करता है;
• यदि सभी चैनल व्यस्त हों तो एक कतार बनाता है;
• उन्हें सेवा चैनलों, यदि कोई हो, के लिए निर्देशित करता है;
• आवेदनों को अस्वीकार करता है (विभिन्न कारणों से);
• निःशुल्क चैनलों के बारे में सेवा नोड से जानकारी प्राप्त करता है;
• सिस्टम समय का ट्रैक रखता है।

1. कतार - अनुरोध संचायक। कतार मौजूद नहीं हो सकती है।
2. सेवा नोड सेवा चैनलों की एक सीमित संख्या के होते हैं। प्रत्येक चैनल में 3 अवस्थाएँ होती हैं: मुक्त, व्यस्त, निष्क्रिय। यदि सभी चैनल व्यस्त हैं, तो आप एक रणनीति के साथ आ सकते हैं कि आवेदन को किसके पास स्थानांतरित किया जाए।
3. इनकार सेवा से तब होता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं (उनमें से कुछ काम नहीं कर सकते हैं)।

क्यूएस में इन मूल तत्वों के अलावा, कुछ स्रोत निम्नलिखित घटकों को भी अलग करते हैं:

टर्मिनेटर - लेनदेन को नष्ट करने वाला;

गोदाम - संसाधनों और तैयार उत्पादों का भंडारण;

लेखा खाता - "पोस्टिंग" प्रकार के संचालन करने के लिए;

प्रबंधक - संसाधनों का प्रबंधक;

सीएमओ वर्गीकरण

पहला विभाजन (कतारों की उपस्थिति से):

• विफलताओं के साथ सीएमओ;
• कतार में लगे सीएमओ।

में नाकामयाब रहे सीएमओएक अनुरोध जो उस समय आता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं, अस्वीकार कर दिया जाता है, क्यूएस छोड़ देता है, और आगे सेवा नहीं दी जाती है।

में कतार में लगे सीएमओएक एप्लिकेशन जो ऐसे समय में आता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं, छोड़ता नहीं है, लेकिन कतार में लग जाता है और सेवा के अवसर की प्रतीक्षा करता है।

कतारों के साथ क्यूएसकतार कैसे व्यवस्थित की जाती है, इसके आधार पर उन्हें विभिन्न प्रकारों में विभाजित किया जाता है - सीमित या सीमित नहीं. प्रतिबंध कतार की लंबाई और प्रतीक्षा समय, "सेवा अनुशासन" दोनों से संबंधित हो सकते हैं।

इसलिए, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित क्यूएस पर विचार किया जाता है:

• अधीर अनुरोधों के साथ क्यूएस (कतार की लंबाई और सेवा का समय सीमित है);
• प्राथमिकता सेवा के साथ क्यूएस, यानी कुछ आवेदन बिना बारी के दिए जाते हैं, आदि।

कतार प्रतिबंध प्रकारों को जोड़ा जा सकता है।

एक अन्य वर्गीकरण सीएमओ को अनुप्रयोगों के स्रोत के अनुसार विभाजित करता है। सिस्टम स्वयं या कुछ बाहरी वातावरण जो सिस्टम से स्वतंत्र रूप से मौजूद हैं, एप्लिकेशन (आवश्यकताएं) उत्पन्न कर सकते हैं।

स्वाभाविक रूप से, सिस्टम द्वारा उत्पन्न अनुरोधों का प्रवाह सिस्टम और उसकी स्थिति पर निर्भर करेगा।

इसके अलावा, एसएमओ में बांटा गया है खुलासीएमओ व बंद किया हुआएसएमओ।

एक खुले QS में, अनुप्रयोगों के प्रवाह की विशेषताएँ स्वयं QS की स्थिति पर निर्भर नहीं करती हैं (कितने चैनल व्यस्त हैं)। एक बंद क्यूएस में, वे निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक कर्मचारी मशीनों के एक समूह की सेवा करता है जिसे समय-समय पर समायोजन की आवश्यकता होती है, तो मशीनों से "आवश्यकताओं" के प्रवाह की तीव्रता इस बात पर निर्भर करती है कि उनमें से कितने पहले से ही अच्छे क्रम में हैं और समायोजन की प्रतीक्षा कर रहे हैं।

एक बंद प्रणाली का एक उदाहरण: एक उद्यम में एक खजांची द्वारा वेतन जारी करना।

चैनलों की संख्या से, क्यूएस में बांटा गया है:

• एक चैनल;
• मल्टीचैनल।

कतार प्रणाली के लक्षण

किसी भी प्रकार की कतार प्रणाली की मुख्य विशेषताएं हैं:

• आने वाली आवश्यकताओं या सेवा अनुरोधों की इनपुट स्ट्रीम;
• कतार अनुशासन;
• सेवा तंत्र।

आवश्यकताएँ इनपुट स्ट्रीम

इनपुट स्ट्रीम का वर्णन करने के लिए, आपको सेट करने की आवश्यकता है एक संभाव्य कानून जो सेवा आवश्यकताओं की प्राप्ति के क्षणों के अनुक्रम को निर्धारित करता है,और प्रत्येक नियमित प्राप्ति में ऐसे दावों की संख्या इंगित करें। इस मामले में, एक नियम के रूप में, वे "आवश्यकताओं की प्राप्ति के क्षणों के संभाव्य वितरण" की अवधारणा के साथ काम करते हैं। यहां आप अभिनय कर सकते हैं एकल और समूह आवश्यकताओं (प्रत्येक उत्तरोत्तर प्राप्ति में ऐसे दावों की संख्या). बाद के मामले में, हम आम तौर पर समांतर समूह सेवा के साथ कतारबद्ध प्रणाली के बारे में बात कर रहे हैं।

ए आई- आवश्यकताओं के बीच आगमन का समय - स्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर;

ई (ए)माध्य (MO) आगमन समय है;

λ=1/ई(ए)- आवश्यकताओं की प्राप्ति की तीव्रता;

इनपुट स्ट्रीम विशेषताएं:

1. एक संभाव्य कानून जो सेवा आवश्यकताओं की प्राप्ति के क्षणों के अनुक्रम को निर्धारित करता है।
2. मल्टिकास्ट प्रवाहों के लिए प्रत्येक अगले आगमन में अनुरोधों की संख्या।

कतार अनुशासन

कतार - सेवा के लिए प्रतीक्षारत आवश्यकताओं का एक सेट।

कतार का एक नाम है।

कतार अनुशासन उस सिद्धांत को निर्धारित करता है जिसके अनुसार सेवा प्रणाली के इनपुट पर आने वाले अनुरोध कतार से सेवा प्रक्रिया से जुड़े होते हैं। सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला कतार अनुशासन निम्नलिखित नियमों द्वारा परिभाषित किया गया है:

• पहले आओ पहले पाओ;

फर्स्ट इन फर्स्ट आउट (FIFO)

कतार का सबसे आम प्रकार।

ऐसी कतार का वर्णन करने के लिए कौन सी डेटा संरचना उपयुक्त है? सरणी खराब (सीमित) है। आप एक सूची संरचना का उपयोग कर सकते हैं।

सूची की शुरुआत और अंत है। सूची में प्रविष्टियाँ हैं। एक प्रविष्टि एक सूची सेल है। एप्लिकेशन सूची के अंत में आता है, और सूची की शुरुआत से सेवा के लिए चुना जाता है। प्रविष्टि में एप्लिकेशन का विवरण और एक लिंक (इसके पीछे कौन है इसका एक सूचकांक) शामिल है। इसके अलावा, यदि कतार में समय सीमा है, तो समय सीमा भी निर्दिष्ट की जानी चाहिए।

आप, प्रोग्रामर के रूप में, सूचियों को दो तरफा, एक तरफा बनाने में सक्षम होना चाहिए।

सूची कार्रवाई:

• पूंछ में डालें;
• शुरू से ले लो;
• टाइमआउट के बाद सूची से हटाएं।
• अंतिम आओ, पहले पाओ LIFO (कारतूस क्लिप, रेलवे स्टेशन पर डेड एंड, पूरी कार में चला गया)।

एक संरचना जिसे STACK के रूप में जाना जाता है। एक सरणी या सूची संरचना द्वारा वर्णित किया जा सकता है;

• अनुप्रयोगों का यादृच्छिक चयन;
• प्राथमिकता मानदंड द्वारा आवेदनों का चयन।

अन्य बातों के अलावा, प्रत्येक एप्लिकेशन को प्राथमिकता के स्तर से चिह्नित किया जाता है और आगमन पर कतार के अंत में नहीं, बल्कि उसके प्राथमिकता समूह के अंत में रखा जाता है। डिस्पैचर प्राथमिकता के आधार पर सॉर्ट करता है।

कतार की विशेषताएं

• परिसीमनइंतज़ार का समयसेवा घटना का क्षण (सेवा के लिए सीमित प्रतीक्षा समय के साथ एक कतार है, जो "स्वीकार्य कतार की लंबाई" की अवधारणा से जुड़ी है);
• कतार की लंबाई।

सेवा तंत्र

सेवा तंत्र सेवा प्रक्रिया की विशेषताओं और सेवा प्रणाली की संरचना से ही निर्धारित होता है। रखरखाव प्रक्रियाओं में शामिल हैं:

• सेवा चैनलों की संख्या ( एन);
• सेवा प्रक्रिया की अवधि (आवश्यकताओं के सेवा समय का संभाव्य वितरण);
• ऐसी प्रत्येक प्रक्रिया (समूह अनुप्रयोगों के लिए) के कार्यान्वयन के परिणामस्वरूप संतुष्ट आवश्यकताओं की संख्या;
• सेवारत चैनल की विफलता की संभावना;
• सेवा प्रणाली संरचना।

सेवा प्रक्रिया की विशेषताओं के विश्लेषणात्मक विवरण के लिए, "आवश्यकताओं के सेवा समय के संभाव्य वितरण" की अवधारणा का उपयोग किया जाता है।

सी- सेवा का समय मैंवें आवश्यकता;

ई (एस)- औसत सेवा समय;

μ=1/ई(एस)- सेवा आवश्यकताओं की गति।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी एप्लिकेशन की सर्विसिंग का समय एप्लिकेशन की प्रकृति या क्लाइंट की आवश्यकताओं और सर्विसिंग सिस्टम की स्थिति और क्षमताओं पर निर्भर करता है। कुछ मामलों में इसे ध्यान में रखना भी आवश्यक है सेवा चैनल विफलता संभावनाएक निश्चित सीमित समय अंतराल के बाद। इस विशेषता को क्यूएस में प्रवेश करने वाली विफलताओं की एक धारा के रूप में तैयार किया जा सकता है और अन्य सभी अनुप्रयोगों पर प्राथमिकता दी जा सकती है।

क्यूएस उपयोग कारक

एनμ - सिस्टम में सर्विस रेट जब सभी सर्विस डिवाइस व्यस्त हों।

ρ=λ/( एनμ) कहा जाता है क्यूएस उपयोग कारक , दिखाता है कि सिस्टम संसाधनों का कितना उपयोग किया जा रहा है।

सेवा प्रणाली संरचना

सेवा प्रणाली की संरचना सेवा चैनलों (तंत्र, उपकरण, आदि) की संख्या और पारस्परिक व्यवस्था द्वारा निर्धारित की जाती है। सबसे पहले, इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि एक सेवा प्रणाली में एक सेवा चैनल नहीं, बल्कि कई सेवा चैनल हो सकते हैं; इस तरह की एक प्रणाली एक साथ कई आवश्यकताओं को पूरा करने में सक्षम है। इस मामले में, सभी सेवा चैनल समान सेवाएं प्रदान करते हैं, और इसलिए, यह तर्क दिया जा सकता है कि वहाँ है समानांतर सेवा .

उदाहरण। स्टोर में कैश रजिस्टर।

सेवा प्रणाली में कई अलग-अलग प्रकार के सेवा चैनल शामिल हो सकते हैं जिनके माध्यम से प्रत्येक सेवा की आवश्यकता को पूरा करना होगा, अर्थात सेवा प्रणाली में आवश्यकताओं को पूरा करने की प्रक्रियाओं को क्रमिक रूप से लागू किया जाता है . सेवा तंत्र अनुरोधों की आउटगोइंग (सेवा) स्ट्रीम की विशेषताओं को परिभाषित करता है।

उदाहरण। चिकित्सा आयोग।

संयुक्त सेवा - बचत बैंक में सर्विसिंग डिपॉजिट: पहले कंट्रोलर, फिर कैशियर। एक नियम के रूप में, प्रति कैशियर 2 नियंत्रक।

इसलिए, किसी भी क्यूइंग सिस्टम की कार्यक्षमता निम्नलिखित मुख्य कारकों द्वारा निर्धारित की जाती है :

• सेवा अनुरोध (एकल या समूह) की प्राप्ति के क्षणों का संभाव्य वितरण;
• आवश्यकताओं स्रोत क्षमता;
• सेवा अवधि समय का संभाव्य वितरण;
• सेवा प्रणाली विन्यास (समानांतर, सीरियल या समानांतर-सीरियल सेवा);
• सेवारत चैनलों की संख्या और प्रदर्शन;
• कतार अनुशासन।

क्यूएस के कामकाज की प्रभावशीलता के लिए मुख्य मानदंड

जैसा क्यूइंग सिस्टम के कामकाज की प्रभावशीलता के लिए मुख्य मानदंड हल की जा रही समस्या की प्रकृति के आधार पर, निम्न हो सकते हैं:

• प्राप्त आवेदन की तत्काल सेवा की संभावना (पी सेवा = के अवलोकन / के पोस्ट);
• प्राप्त आवेदन की सेवा से इनकार करने की संभावना (पी ओटीके = के ओटीके / के पोस्ट);

यह स्पष्ट है कि R obl + P otk =1।

प्रवाह, देरी, सेवा। पोलासेक-खिनचिन सूत्र

देरी - क्यूएस सेवा मानदंडों में से एक, सेवा की प्रत्याशा में अनुरोध द्वारा बिताया गया समय।

डी मैं- अनुरोध कतार में देरी मैं;

डब्ल्यू आई \u003d डी आई + एस आई- आवश्यकता की प्रणाली में बिताया गया समय मैं.

(प्रायिकता 1 के साथ) कतार में एक अनुरोध की स्थापित औसत देरी है;

(प्रायिकता 1 के साथ) क्यूएस (प्रतीक्षा) में आवश्यक स्थिर-अवस्था औसत समय है।

क्यू(टी) -एक समय में कतार में अनुरोधों की संख्या टी;

एल (टी)– एक समय में सिस्टम में ग्राहकों की संख्या टी(क्यू(टी)साथ ही उन आवश्यकताओं की संख्या जो उस समय सेवा में हैं टी।

फिर घातांक (यदि कोई हो)

(प्रायिकता 1 के साथ) कतार में अनुरोधों की स्थिर-अवस्था समय-औसत संख्या है;

(प्रायिकता 1 के साथ) सिस्टम में अनुरोधों की स्थिर-अवस्था समय-औसत संख्या है।

ध्यान दें कि ρ<1 – обязательное условие существования डी, डब्ल्यू, क्यूऔर एलकतार प्रणाली में।

अगर हमें याद है कि ρ= λ/( एनμ), तो यह स्पष्ट है कि यदि अनुरोधों की प्राप्ति की तीव्रता से अधिक है एनμ, फिर ρ>1, और यह स्वाभाविक है कि सिस्टम अनुप्रयोगों के ऐसे प्रवाह से निपटने में सक्षम नहीं होगा, और इसलिए, कोई बात नहीं कर सकता डी, डब्ल्यू, क्यूऔर एल

क्यूइंग सिस्टम के लिए सबसे सामान्य और आवश्यक परिणाम में संरक्षण समीकरण शामिल हैं

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सिस्टम के प्रदर्शन के मूल्यांकन के लिए उपरोक्त मानदंड को क्यूइंग सिस्टम के लिए विश्लेषणात्मक रूप से गणना की जा सकती है एम/एम/एन(एन>1), यानी ग्राहकों और सेवा के मार्कोव प्रवाह के साथ सिस्टम। के लिए एम/जी/एल किसी भी वितरण के लिए जीऔर कुछ अन्य प्रणालियों के लिए। सामान्य तौर पर, आगमन के बीच समय का वितरण, सेवा समय का वितरण, या दोनों एक विश्लेषणात्मक समाधान संभव होने के लिए घातीय (या एक प्रकार का k-वें क्रम घातीय Erlang वितरण) होना चाहिए।

इसके अलावा, आप इस तरह की विशेषताओं के बारे में भी बात कर सकते हैं:

• सिस्टम का पूर्ण थ्रूपुट - А=Р सेवा *λ;
• सिस्टम के सापेक्ष थ्रूपुट -

एक विश्लेषणात्मक समाधान का एक और दिलचस्प (और उदाहरणात्मक) उदाहरण – कतार प्रणाली के लिए स्थिर-अवस्था औसत कतार विलंब की गणना एम/जी/ 1 सूत्र के अनुसार:

.

रूस में, इस सूत्र को पोलासेक सूत्र के रूप में जाना जाता है। – खिनचिन, विदेशों में यह सूत्र रॉस के नाम से जुड़ा है।

इस प्रकार, यदि ई (एस)अधिक मूल्य है, तो अधिभार (इस मामले में मापा जाता है डी) बड़ा होगा; जिसकी अपेक्षा की जानी है। सूत्र एक कम स्पष्ट तथ्य को भी प्रकट करता है: सेवा समय वितरण में परिवर्तनशीलता बढ़ने पर भीड़ भी बढ़ जाती है, भले ही औसत सेवा समय समान रहता है। सहज रूप से, इसे निम्नानुसार समझाया जा सकता है: सेवा समय यादृच्छिक चर का विचरण एक बड़ा मान ले सकता है (चूंकि यह सकारात्मक होना चाहिए), यानी एकमात्र सेवा उपकरण लंबे समय तक व्यस्त रहेगा, जिससे वृद्धि होगी कतार में।

कतारबद्ध सिद्धांत का विषयक्यूइंग सिस्टम की कार्यक्षमता और इसके कामकाज की दक्षता को निर्धारित करने वाले कारकों के बीच संबंध स्थापित करना है। ज्यादातर मामलों में, क्यूइंग सिस्टम का वर्णन करने वाले सभी पैरामीटर यादृच्छिक चर या कार्य हैं, इसलिए इन प्रणालियों को स्टोकेस्टिक सिस्टम कहा जाता है।

अनुप्रयोगों (आवश्यकताओं) के प्रवाह की यादृच्छिक प्रकृति, साथ ही सामान्य मामले में, सेवा की अवधि इस तथ्य की ओर ले जाती है कि क्यूइंग सिस्टम में एक यादृच्छिक प्रक्रिया होती है। यादृच्छिक प्रक्रिया की प्रकृति से क्यूइंग सिस्टम (क्यूएस) में होने वाले विशिष्ट हैं मार्कोव और गैर-मार्कोव सिस्टम . मार्कोव सिस्टम में, अनुरोधों का इनकमिंग फ्लो और सर्विस्ड रिक्वेस्ट (दावों) का आउटगोइंग फ्लो पोइसन हैं। प्वासों प्रवाह कतार प्रणाली के गणितीय मॉडल का वर्णन और निर्माण करना आसान बनाता है। इन मॉडलों में काफी सरल समाधान हैं, इसलिए कतारबद्ध सिद्धांत के अधिकांश प्रसिद्ध अनुप्रयोग मार्कोव योजना का उपयोग करते हैं। गैर-मार्कोवियन प्रक्रियाओं के मामले में, क्यूइंग सिस्टम का अध्ययन करने की समस्याएं बहुत अधिक जटिल हो जाती हैं और कंप्यूटर का उपयोग करके सांख्यिकीय मॉडलिंग, संख्यात्मक विधियों के उपयोग की आवश्यकता होती है।

गणितीय (अमूर्त) वस्तु, जिसके तत्व हैं (चित्र 2.1):

• सेवा के लिए आवेदनों (आवश्यकताओं) का इनपुट (आने वाला) प्रवाह;
• सेवा उपकरण (चैनल);
• सेवा की प्रतीक्षा में आवेदनों की कतार;
• सेवित अनुरोधों का आउटपुट (आउटगोइंग) प्रवाह;
• सेवा व्यवधान के बाद पश्चातवर्ती देखभाल के लिए अनुरोधों का प्रवाह;
• असेवित अनुरोधों का प्रवाह।

आवेदन(अनुरोध, आवश्यकता, कॉल, क्लाइंट, संदेश, पैकेज) - क्यूएस में प्रवेश करने वाली वस्तु और डिवाइस में सेवा की आवश्यकता होती है। समय के रूप में वितरित लगातार अनुप्रयोगों का सेट अनुप्रयोगों का इनपुट प्रवाह।

चावल। 2.1।

सेवा उपकरण(डिवाइस, डिवाइस, चैनल, लाइन, टूल, कार, राउटर, आदि) - क्यूएस तत्व, जिसका उद्देश्य सेवा अनुरोधों के लिए है।

सेवा- कुछ समय के लिए सर्विस डिवाइस में अनुरोध में देरी।

सेवा अवधि- डिवाइस में एप्लिकेशन का विलंब समय (सेवा)।

भंडारण युक्ति(बफ़र, इनपुट बफ़र, आउटपुट बफ़र) - सर्विंग डिवाइस के सामने एप्लिकेशन के लिए प्रतीक्षा करने के लिए स्थानों का एक सेट। प्रतीक्षा स्थलों की संख्या- भंडारण क्षमता।

सीएमओ द्वारा प्राप्त आवेदन दो राज्यों में हो सकता है:

• 1) सेवा(डिवाइस में);
• 2) अपेक्षाएं(संचायक में), यदि सभी डिवाइस अन्य अनुरोधों को पूरा करने में व्यस्त हैं।

संचायक में दावे और सेवा फॉर्म का इंतजार कतारअनुप्रयोग। सेवा की प्रतीक्षा में संचायक में आवेदनों की संख्या - कतार की लंबाई।

बफरिंग अनुशासन(कतारबद्ध अनुशासन) - ड्राइव (बफर) में आने वाले अनुप्रयोगों को दर्ज करने का नियम।

सेवा अनुशासन- डिवाइस में सेवा के लिए कतार से अनुरोधों का चयन करने का नियम।

प्राथमिकता- संचायक में प्रवेश करने या अन्य वर्गों के अनुप्रयोगों के संबंध में एक वर्ग के उपकरण अनुप्रयोगों में सर्विसिंग के लिए कतार से चयन करने के लिए प्रीमेप्टिव अधिकार (संसाधनों पर कब्जा करने के लिए)।

कई क्यूइंग सिस्टम हैं जो संरचनात्मक और कार्यात्मक संगठन में भिन्न हैं। साथ ही, कई मामलों में क्यूएस प्रदर्शन संकेतकों की गणना के लिए विश्लेषणात्मक तरीकों के विकास में कई प्रतिबंध और धारणाएं शामिल हैं जो अध्ययन के तहत क्यूएस के सेट को संकीर्ण करती हैं। इसीलिए मनमाना जटिल संरचना QS के लिए कोई सामान्य विश्लेषणात्मक मॉडल नहीं है।

क्यूएस विश्लेषणात्मक मॉडल समीकरणों या सूत्रों का एक सेट है जो आने वाले प्रवाह और सेवा चैनलों, बफरिंग और सेवा विषयों के ज्ञात मापदंडों के आधार पर इसके संचालन और प्रदर्शन संकेतकों के दौरान सिस्टम राज्यों की संभावनाओं को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

यदि QS में होने वाली प्रक्रियाएं मार्कोवियन हैं (अनुप्रयोगों का प्रवाह सबसे सरल है, सेवा समय घातीय रूप से वितरित किया जाता है) तो QS के विश्लेषणात्मक मॉडलिंग में बहुत सुविधा होती है। इस मामले में, क्यूएस में सभी प्रक्रियाओं को सामान्य अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है, और सीमित मामले में - स्थिर राज्यों के लिए - रैखिक बीजगणितीय समीकरणों द्वारा और, गणितीय सॉफ़्टवेयर पैकेजों में उपलब्ध किसी भी तरीके से हल करके, चयनित प्रदर्शन संकेतक निर्धारित करते हैं। .

IM सिस्टम में, QS को लागू करते समय, निम्नलिखित प्रतिबंध और धारणाएँ स्वीकार की जाती हैं:

• आवेदन प्रणाली में प्रवेश किया हाथों हाथअगर कतार में कोई अनुरोध नहीं है और डिवाइस मुफ़्त है तो सेवा में आ जाता है;
• किसी भी समय रखरखाव के लिए डिवाइस में ही हो सकता है एकआवेदन पत्र;
• डिवाइस में किसी भी अनुरोध की सेवा समाप्त होने के बाद, तत्काल सर्विसिंग के लिए कतार से अगले अनुरोध का चयन किया जाता है, अर्थात डिवाइस निष्क्रिय नहीं रहतायदि कतार में कम से कम एक आवेदन है;
• क्यूएस में आवेदनों की प्राप्ति और उनकी सेवा की अवधि सिस्टम में पहले से मौजूद आवेदनों की संख्या या किसी अन्य कारकों पर निर्भर नहीं करती है;
• सर्विसिंग अनुरोधों की अवधि सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुरोधों की तीव्रता पर निर्भर नहीं करती है।

आइए क्यूएस के कुछ तत्वों पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

अनुप्रयोगों का इनपुट (आने वाला) प्रवाह। घटनाओं का प्रवाहएक के बाद एक सजातीय घटनाओं का एक क्रम कहा जाता है और कुछ में घटित होता है, आम तौर पर बोलना, अनियमितसमय में अंक। यदि घटना दावों की उपस्थिति में होती है, तो हमारे पास है आवेदन प्रवाह।सामान्य स्थिति में अनुप्रयोगों के प्रवाह का वर्णन करने के लिए, समय अंतराल t = सेट करना आवश्यक है टी के - टी के -1निकटवर्ती क्षणों के बीच टी के _ केऔर टी केक्रम संख्या के साथ आवेदनों की प्राप्ति को - 1 और कोक्रमश: (को - 1, 2, ...; टी 0 - 0 - समय का प्रारंभिक क्षण)।

अनुप्रयोग प्रवाह की मुख्य विशेषता इसकी है एक्स तीव्रता- समय की प्रति यूनिट क्यूएस इनपुट पर पहुंचने वाले आवेदनों की औसत संख्या। मूल्य टी = 1/Xको परिभाषित करता है लगातार दो आदेशों के बीच औसत समय अंतराल।

प्रवाह कहा जाता है नियतात्मकयदि समय अंतराल टी सेआसन्न अनुप्रयोगों के बीच कुछ पूर्व-ज्ञात मान लेते हैं। यदि अंतराल समान हैं (एक्स से= टी सभी के लिए के = 1, 2, ...), तो धारा कहलाती है नियमित।अनुरोधों के नियमित प्रवाह के पूर्ण विवरण के लिए, प्रवाह की तीव्रता निर्धारित करना पर्याप्त है एक्सया अंतराल t = का मान 1/X.

एक धारा जिसमें समय अंतराल होता है एक्स केआसन्न अनुप्रयोगों के बीच यादृच्छिक चर कहलाते हैं अनियमित।सामान्य मामले में अनुप्रयोगों के एक यादृच्छिक प्रवाह के पूर्ण विवरण के लिए, प्रत्येक समय अंतराल के लिए वितरण कानून एफ एफसी (एक्स एफसी) निर्धारित करना आवश्यक है एक्स के, के = 1,2,....

रैंडम स्ट्रीम जिसमें सभी समय अंतराल एक्स बी एक्स 2,... आसन्न लगातार ग्राहकों के बीच वितरण कार्यों FjCij द्वारा वर्णित स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं), F 2 (x 2), ... क्रमशः, एक प्रवाह कहा जाता है सीमित प्रभाव।

यादृच्छिक धारा कहलाती है आवर्तक,यदि सभी समय अंतराल एक्सबीटी 2, ... अनुप्रयोगों के बीच वितरित इसी कानून के तहतएफ (टी)। कई आवर्ती धाराएँ हैं। प्रत्येक वितरण नियम अपना आवर्ती प्रवाह उत्पन्न करता है। आवर्ती धाराओं को अन्यथा पाम स्ट्रीम के रूप में जाना जाता है।

अगर तीव्रता एक्सऔर क्रमिक अनुरोधों के बीच अंतरालों का वितरण नियम F(t) समय के साथ नहीं बदलता है, तो अनुरोधों के प्रवाह को कहा जाता है अचलअन्यथा, आवेदन प्रवाह है गैर स्थिर।

अगर समय के हर पल में टी के QS के इनपुट पर केवल एक ग्राहक दिखाई दे सकता है, फिर ग्राहकों का प्रवाह कहा जाता है साधारण।यदि एक से अधिक अनुप्रयोग किसी भी समय प्रकट हो सकते हैं, तो अनुप्रयोगों का प्रवाह है असाधारण,या समूह।

अनुरोधों के प्रवाह को प्रवाह कहा जाता है कोई परिणाम नहीं,यदि आवेदन प्राप्त होते हैं ध्यान दिए बगैरएक दूसरे से, यानी अगले आवेदन की प्राप्ति का क्षण इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि इस क्षण से पहले कब और कितने आवेदन प्राप्त हुए हैं।

बिना प्रभाव के एक स्थिर सामान्य प्रवाह को कहा जाता है सबसे आसान।

सरलतम प्रवाह में अनुरोधों के बीच समय अंतराल टी के अनुसार वितरित किया जाता है घातीय (उदाहरणात्मक) कानून:बंटन फलन के साथ F(t) = 1 - ई ~ एम;वितरण घनत्व / (एफ) = हे ~ "एल,कहाँ एक्स > 0 - वितरण पैरामीटर - अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता।

सबसे सरल प्रवाह को अक्सर कहा जाता है पोइसन।नाम इस तथ्य से आता है कि इस प्रवाह के लिए घटना की प्रायिकता P fc (At) ठीक है कोएक निश्चित समय अंतराल के लिए अनुरोध निर्धारित किया जाता है पॉसों का नियम:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्वासों प्रवाह, सबसे सरल के विपरीत, हो सकता है:

• अचल,अगर तीव्रता एक्ससमय के साथ नहीं बदलता;
• अस्थिर,यदि प्रवाह दर समय पर निर्भर करती है: एक्स=>। (टी)।

उसी समय, सबसे सरल प्रवाह, परिभाषा के अनुसार, हमेशा स्थिर होता है।

क्यूइंग मॉडल का विश्लेषणात्मक अध्ययन अक्सर अनुरोधों के सरलतम प्रवाह की धारणा के तहत किया जाता है, जो इसमें निहित कई उल्लेखनीय विशेषताओं के कारण होता है।

1. प्रवाह का योग (एकीकरण)। क्यूएस सिद्धांत में सबसे सरल प्रवाह संभाव्यता सिद्धांत में सामान्य वितरण कानून के समान है: एक प्रवाह की सीमा के लिए संक्रमण जो कि मनमाना विशेषताओं के साथ प्रवाह का योग है, जिसमें शब्दों की संख्या में अनंत वृद्धि होती है और उनकी तीव्रता में कमी होती है। सबसे सरल प्रवाह के लिए।

जोड़ एनतीव्रता के साथ स्वतंत्र स्थिर सामान्य प्रवाह एक्स एक्स एक्स 2 ,..., एक्सएनतीव्रता के साथ सबसे सरल प्रवाह बनाता है

एक्स = वाई, ^ आईबशर्ते कि जोड़े गए प्रवाह अधिक हों या

कुल प्रवाह पर समान रूप से कम प्रभाव। व्यवहार में, कुल प्रवाह सरलतम के करीब है एन > 5. तो जब स्वतंत्र सरलतम प्रवाहों का योग करते हैं, तो कुल प्रवाह सबसे सरल होगाकिसी भी मूल्य के लिए एन।

• 2. प्रवाह की संभाव्य दुर्लभता। संभाव्य(लेकिन गैर नियतात्मक) दुर्लभता सबसे सरल प्रवाहआवेदन, जिसमें कोई भी आवेदन बेतरतीब ढंग से कुछ संभावना के साथ आरअन्य अनुप्रयोगों को बाहर रखा गया है या नहीं, इस पर ध्यान दिए बिना प्रवाह से बाहर रखा गया है, गठन की ओर जाता है सबसे सरल प्रवाहतीव्रता के साथ एक्स* = पीएक्स,कहाँ एक्स- प्रारंभिक प्रवाह की तीव्रता। तीव्रता के साथ बहिष्कृत अनुप्रयोगों का प्रवाह एक्स ** = (1 - पी) एक्स- वही प्रोटोजोआप्रवाह।
• 3. दक्षता। यदि सेवारत चैनल (उपकरण) तीव्रता के साथ अनुरोधों के सरलतम प्रवाह के लिए डिज़ाइन किए गए हैं एक्स,फिर अन्य प्रकार के प्रवाह (समान तीव्रता के साथ) की सर्विसिंग कम दक्षता के साथ प्रदान की जाएगी।
• 4. सादगी। अनुप्रयोगों के सबसे सरल प्रवाह की धारणा कई गणितीय मॉडल को मापदंडों पर क्यूएस संकेतकों की निर्भरता को स्पष्ट रूप से प्राप्त करने की अनुमति देती है। अनुरोधों के सरलतम प्रवाह के लिए विश्लेषणात्मक परिणामों की सबसे बड़ी संख्या प्राप्त की गई थी।

अनुप्रयोग प्रवाह वाले मॉडलों का विश्लेषण जो सरलतम से भिन्न होते हैं, आमतौर पर गणितीय गणनाओं को जटिल बनाते हैं और हमेशा एक स्पष्ट विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त करने की अनुमति नहीं देते हैं। इस विशेषता के कारण "सरलतम" प्रवाह को इसका नाम मिला।

ऐप्लिकेशन के पास सेवा शुरू करने के अलग-अलग अधिकार हो सकते हैं। इस मामले में, आवेदन कहा जाता है विषम।सेवा की शुरुआत में दूसरों पर अनुप्रयोगों के कुछ प्रवाह के लाभ प्राथमिकताओं द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

इनपुट स्ट्रीम की एक महत्वपूर्ण विशेषता है भिन्नता का गुणांक

जहाँ टी int - अंतराल की लंबाई की गणितीय अपेक्षा; हे- अंतराल x int (यादृच्छिक चर) की लंबाई का मानक विचलन।

सरलतम प्रवाह के लिए (a = -, m = -) हमारे पास v = 1 है। अधिकांश के लिए

वास्तविक प्रवाह 0

सेवा चैनल (उपकरण)। चैनल की मुख्य विशेषता सेवा की अवधि है।

सेवा अवधि- डिवाइस में एप्लिकेशन द्वारा बिताया गया समय - सामान्य स्थिति में, मान यादृच्छिक होता है। क्यूएस के गैर-समान भार के मामले में, विभिन्न वर्गों के अनुरोधों के लिए सेवा समय वितरण कानूनों या केवल औसत मूल्यों से भिन्न हो सकता है। इस मामले में, आमतौर पर यह माना जाता है कि प्रत्येक वर्ग के अनुरोधों का सेवा समय स्वतंत्र है।

अक्सर, चिकित्सक मानते हैं कि सर्विसिंग अनुरोधों की अवधि वितरित की जाती है घातीय कानूनजो विश्लेषणात्मक गणनाओं को बहुत सरल करता है। यह इस तथ्य के कारण है कि समय अंतराल के घातीय वितरण वाले सिस्टम में होने वाली प्रक्रियाएं हैं मार्कोवप्रक्रियाएं:

जहां सी - सेवा तीव्रता,यहाँ पी = _--; टी 0 बीएसएल - गणित-

सेवा के लिए टिक प्रतीक्षा समय।

घातीय वितरण के अतिरिक्त, एरलांग/सी-वितरण, हाइपरएक्सपोनेंशियल वितरण, त्रिकोणीय वितरण, और कुछ अन्य हैं। इससे हमें भ्रमित नहीं होना चाहिए, क्योंकि यह दिखाया गया है कि क्यूएस दक्षता मानदंड का मूल्य सेवा समय वितरण कानून के रूप पर बहुत कम निर्भर करता है।

QS के अध्ययन में, सेवा का सार, सेवा की गुणवत्ता, ध्यान से बाहर हो जाती है।

चैनल हो सकते हैं बिल्कुल विश्वसनीयवे। असफल मत हो। बल्कि इसे अध्ययन में स्वीकार किया जा सकता है। चैनलों के पास हो सकता है परम विश्वसनीयता।इस मामले में, QS मॉडल कहीं अधिक जटिल है।

क्यूएस दक्षता न केवल इनपुट स्ट्रीम और सर्विस चैनल के मापदंडों पर निर्भर करती है, बल्कि उस क्रम पर भी निर्भर करती है जिसमें आने वाले अनुरोधों की सेवा की जाती है, अर्थात। अनुप्रयोगों के प्रवाह को प्रबंधित करने के तरीकों से जब वे सिस्टम में प्रवेश करते हैं और सेवा के लिए भेजे जाते हैं।

अनुप्रयोगों के प्रवाह को प्रबंधित करने के तरीके विषयों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

• बफरिंग;
• सेवा।

बफ़रिंग और रखरखाव विषयों को निम्नलिखित मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:

• विभिन्न वर्गों के अनुप्रयोगों के बीच प्राथमिकताओं की उपलब्धता;
• अनुप्रयोगों को कतार से बाहर धकेलने के लिए एक विधि (बफरिंग विषयों के लिए) और सेवा अनुरोधों को निर्दिष्ट करना (सेवा विषयों के लिए);
• सेवा अनुरोधों को पूर्वनिर्धारित करने या चुनने का नियम;
• प्राथमिकताओं को बदलने की क्षमता।

सूचीबद्ध सुविधाओं के अनुसार बफरिंग विषयों (कतारबद्ध) के वर्गीकरण का एक प्रकार अंजीर में दिखाया गया है। 2.2।

निर्भर करना उपलब्धताया प्राथमिकताओं की कमीविभिन्न वर्गों के अनुप्रयोगों के बीच, सभी बफ़रिंग विषयों को दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है: गैर-प्राथमिकता और प्राथमिकता।

द्वारा अनुप्रयोगों को भंडारण से बाहर धकेलने की विधिबफ़रिंग विषयों के निम्नलिखित वर्गों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

• क्राउडिंग आउट रिक्वेस्ट के बिना - वे रिक्वेस्ट जो सिस्टम में आए और पाया कि ड्राइव पूरी तरह से भरी हुई है, वे खो गए हैं;
• इस वर्ग के आवेदन के विस्थापन के साथ, अर्थात प्राप्त आवेदन के समान वर्ग;
• सबसे कम प्राथमिकता वाले वर्ग से आवेदन के विस्थापन के साथ;
• कम प्राथमिकता वाले वर्गों के समूह से आवेदन के विस्थापन के साथ।

चावल। 2.2।

बफ़रिंग विषय निम्नलिखित का उपयोग कर सकते हैं संचायक से अनुरोध निकालने के नियम:

• आकस्मिक विस्थापन;
• अंतिम आदेश का बहिष्कार, यानी बाद में सिस्टम में प्रवेश किया;
• एक "लंबे" आदेश को क्राउड आउट करना, अर्थात संचायक में पहले से प्राप्त सभी आवेदनों की तुलना में अधिक समय तक स्थित है।

अंजीर पर। 2.3 बफ़रिंग के विषयों के लिए समान सुविधाओं के अनुसार सर्विसिंग अनुप्रयोगों के लिए विषयों का वर्गीकरण दिखाता है।

कभी-कभी मॉडलों में भंडारण क्षमता असीमित मानी जाती है, हालांकि एक वास्तविक प्रणाली में यह सीमित होती है। इस तरह की धारणा उचित है जब भंडारण क्षमता अतिप्रवाह के कारण वास्तविक प्रणाली में ऑर्डर खोने की संभावना 10_3 से कम है। इस मामले में, अनुरोधों के प्रदर्शन पर अनुशासन का व्यावहारिक रूप से कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

निर्भर करना उपलब्धताया प्राथमिकताओं की कमीविभिन्न वर्गों के अनुरोधों के बीच, सभी सेवा विषयों, साथ ही बफरिंग विषयों को दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है: गैर-प्राथमिकता वाले और प्राथमिकता वाले।

द्वारा सर्विस टिकट कैसे असाइन किए जाते हैंसेवा विषयों को विषयों में विभाजित किया जा सकता है:

• एकल मोड;
• समूह मोड;
• संयुक्त मोड।

चावल। 2.3।

सेवा विषयों में एकल मोडसेवा हर बार केवल एक सौंपाअनुरोध, जिसके लिए पिछले अनुरोध की सेवा समाप्त होने के बाद कतारों को स्कैन किया जाता है।

सेवा विषयों में समूह मोडसेवा हर बार आवेदनों का एक समूह सौंपा गया हैएक कतार, जिसके लिए पहले से निर्दिष्ट समूह के सभी अनुरोधों को पूरा करने के बाद ही कतारों को स्कैन किया जाता है। टिकटों के नए असाइन किए गए समूह में दी गई कतार के सभी टिकट शामिल हो सकते हैं। असाइन किए गए समूह अनुरोध कतार से क्रमिक रूप से चुना गयाऔर डिवाइस द्वारा सर्विस की जाती है, जिसके बाद निर्दिष्ट सेवा अनुशासन के अनुसार सेवा के लिए दूसरी कतार के अनुप्रयोगों के अगले समूह को असाइन किया जाता है।

संयुक्त मोड- एकल और समूह मोड का संयोजन, जब अनुरोध कतार का हिस्सा एकल मोड में और दूसरा भाग - समूह मोड में संसाधित किया जाता है।

सेवा विषय निम्नलिखित सेवा अनुरोध चयन नियमों का उपयोग कर सकते हैं।

गैर प्राथमिकता(एप्लिकेशन में प्रारंभिक सेवा विशेषाधिकार नहीं हैं - संसाधन कैप्चर):

• पहले आओ पहले पाओ सेवा फीफो (पहले में -पहले बाहर,पेहले आये पेहलॆ गये)
• रिवर्स सेवा- मोड में कतार से आवेदन का चयन किया जाता है लिफो (आखरी अंदर - पहले बाहर,अंतिम अंदर प्रथम बाहर)
• यादृच्छिक सेवा- मोड में कतार से आवेदन का चयन किया जाता है हाशिया (अनियमित- बेतरतीब);
• चक्रीय सेवा- क्रम 1, 2 में ड्राइव के चक्रीय मतदान की प्रक्रिया में अनुप्रयोगों का चयन किया जाता है, एचसाथ एच- ड्राइव की संख्या), जिसके बाद निर्दिष्ट अनुक्रम दोहराया जाता है;

प्राथमिकता(एप्लिकेशन में प्रारंभिक सेवा के लिए विशेषाधिकार हैं - संसाधन कैप्चर):

• साथ सापेक्ष प्राथमिकताएँ- यदि किसी अनुरोध की वर्तमान सर्विसिंग के दौरान, उच्च प्राथमिकताओं वाले अनुरोध सिस्टम में प्रवेश करते हैं, तो वर्तमान अनुरोध की सर्विसिंग, बिना प्राथमिकता के भी बाधित नहीं होती है, और प्राप्त अनुरोधों को कतार में भेज दिया जाता है; जब कतार से एक नया सेवा अनुरोध चुना जाता है, तो सापेक्ष प्राथमिकताएँ केवल आवेदन की वर्तमान सेवा के अंत में एक भूमिका निभाती हैं।
• साथ पूर्ण प्राथमिकताएँ- उच्च प्राथमिकता वाला अनुरोध प्राप्त होने पर, निम्न प्राथमिकता वाले अनुरोध की सेवा बाधित हो जाती है और प्राप्त अनुरोध को सर्विसिंग के लिए भेज दिया जाता है; एक बाधित एप्लिकेशन को कतार में वापस किया जा सकता है या सिस्टम से हटाया जा सकता है; यदि आवेदन कतार में वापस आ गया है, तो इसकी आगे की सेवा बाधित स्थान या नए सिरे से की जा सकती है;
• सह मिश्रित प्राथमिकताएँ- व्यक्तिगत अनुप्रयोगों की सेवा के लिए कतार में प्रतीक्षा समय पर सख्त प्रतिबंध के लिए उन्हें पूर्ण प्राथमिकताओं के असाइनमेंट की आवश्यकता होती है; नतीजतन, कम प्राथमिकता वाले आवेदनों के लिए प्रतीक्षा समय अस्वीकार्य रूप से बड़ा हो सकता है, हालांकि अलग-अलग अनुप्रयोगों में प्रतीक्षा समय का मार्जिन होता है; सभी प्रकार के अनुरोधों पर प्रतिबंधों को पूरा करने के लिए, पूर्ण प्राथमिकताओं के साथ, कुछ अनुरोधों को सापेक्ष प्राथमिकताएँ सौंपी जा सकती हैं, और बाकी को गैर-प्राथमिकता मोड में परोसा जा सकता है;
• साथ वैकल्पिक प्राथमिकताएं- सापेक्ष प्राथमिकताओं का एक एनालॉग, प्राथमिकता को केवल एक कतार के अनुरोधों के समूह की वर्तमान सर्विसिंग के पूरा होने और सर्विसिंग के लिए एक नए समूह के असाइनमेंट के क्षणों में ध्यान में रखा जाता है;
• अनुसूचित सेवा- अलग-अलग वर्गों (अलग-अलग स्टोरेज में स्थित) के दावों को एक निश्चित शेड्यूल के अनुसार सेवा के लिए चुना जाता है जो आवेदनों की कतारों के मतदान के क्रम को निर्दिष्ट करता है, उदाहरण के लिए, तीन वर्गों के अनुप्रयोगों (स्टोर) के मामले में, शेड्यूल देख सकता है जैसे (2, 1, 3, 3, 1, 2) या (1, 2, 3, 3, 2, 1)।

कंप्यूटर आईएम सिस्टम में, एक नियम के रूप में, अनुशासन डिफ़ॉल्ट रूप से लागू होता है फीफो।हालांकि, उनके पास ऐसे उपकरण हैं जो उपयोगकर्ता को शेड्यूल के अनुसार आवश्यक सेवा विषयों को व्यवस्थित करने का अवसर प्रदान करते हैं।

सीएमओ द्वारा प्राप्त आवेदनों को वर्गों में बांटा गया है। क्यूएस में, जो एक अमूर्त गणितीय मॉडल है, आवेदन विभिन्न वर्गों के हैंइस घटना में कि वे सिम्युलेटेड वास्तविक प्रणाली में निम्न में से कम से कम एक विशेषता से भिन्न हैं:

• सेवा की अवधि;
• प्राथमिकताएं।

यदि आवेदन सेवा अवधि और प्राथमिकताओं में भिन्न नहीं हैं, तो उन्हें एक ही वर्ग के अनुप्रयोगों द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसमें वे विभिन्न स्रोतों से आते हैं।

मिश्रित प्राथमिकताओं वाले सेवा विषयों के गणितीय विवरण के लिए, हम उपयोग करते हैं प्राथमिकता मैट्रिक्स,जो एक वर्ग आव्यूह Q = (q, ;), मैं, जे - 1,..., I, I - सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुप्रयोगों की कक्षाओं की संख्या।

तत्व क्यू (जेमैट्रिक्स वर्ग अनुरोधों की प्राथमिकता निर्धारित करता है मैंवर्ग अनुप्रयोगों के संबंध में; और निम्न मान ले सकते हैं:

• 0 - कोई प्राथमिकता नहीं;
• 1 - सापेक्ष प्राथमिकता;
• 2 - पूर्ण प्राथमिकता।

प्राथमिकता मैट्रिक्स के तत्वों को निम्नलिखित को पूरा करना चाहिए आवश्यकताएं:

• क्यू एन= 0, चूंकि समान वर्ग के अनुरोधों के बीच कोई प्राथमिकता निर्धारित नहीं की जा सकती है;
• अगर क्यू (जे = 1 या 2 फिर क्यू^ = 0, क्योंकि if वर्ग अनुप्रयोग मैंवर्ग अनुरोधों पर वरीयता लें जे,तब बाद वाला वर्ग के दावों पर वरीयता नहीं ले सकता मैं (मैं, जे = 1, ..., मैं)।

निर्भर करना प्राथमिकताओं को बदलने के अवसरसिस्टम के संचालन के दौरान, बफरिंग और सर्विसिंग के प्राथमिकता वाले विषयों को दो वर्गों में बांटा गया है:

• 1) साथ स्थिर प्राथमिकताएं,जो समय के साथ नहीं बदलता;
• 2) साथ गतिशील प्राथमिकताएं,जो विभिन्न कारकों के आधार पर सिस्टम के संचालन के दौरान बदल सकता है, उदाहरण के लिए, जब एक वर्ग के आवेदनों की कतार की लंबाई का एक निश्चित महत्वपूर्ण मूल्य होता है जिसमें प्राथमिकता नहीं होती है या कम प्राथमिकता होती है, तो इसे उच्च दिया जा सकता है प्राथमिकता।

IM कंप्यूटर सिस्टम में, आवश्यक रूप से एक तत्व (ऑब्जेक्ट) होता है, जिसके माध्यम से और केवल इसके माध्यम से, मॉडल में अनुरोध दर्ज किए जाते हैं। डिफ़ॉल्ट रूप से, दर्ज किए गए सभी एप्लिकेशन गैर-प्राथमिकता वाले होते हैं। लेकिन अनुक्रम 1, 2, ... में प्राथमिकताओं को असाइन करने की संभावनाएं हैं, जिसमें मॉडल के निष्पादन के दौरान, यानी गतिकी में।

निवर्तमान धाराक्यूएस छोड़ने वाले सेवा अनुरोधों का प्रवाह है। वास्तविक प्रणालियों में, अनुप्रयोग कई QS से गुजरते हैं: पारगमन संचार, उत्पादन पाइपलाइन, आदि। इस मामले में, आउटगोइंग स्ट्रीम अगले QS के लिए इनकमिंग स्ट्रीम है।

पहले QS की आने वाली धारा, बाद के QS से होकर गुजरती है, विकृत होती है, और यह विश्लेषणात्मक मॉडलिंग को जटिल बनाती है। हालांकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि सबसे सरल इनपुट स्ट्रीम और एक्सपोनेंशियल सर्विस के साथ(वे। मार्कोव सिस्टम में) आउटपुट स्ट्रीम भी सबसे सरल है।यदि सेवा समय में गैर-घातीय वितरण है, तो आउटगोइंग स्ट्रीम न केवल सरल नहीं है, बल्कि पुनरावर्ती भी नहीं है।

ध्यान दें कि आउटगोइंग अनुरोधों के बीच का समय अंतराल सेवा अंतराल के समान नहीं है। आखिरकार, यह पता चल सकता है कि अगली सेवा के अंत के बाद, क्यूएस अनुप्रयोगों की कमी के कारण कुछ समय के लिए निष्क्रिय है। इस मामले में, आउटगोइंग फ्लो अंतराल में QS का निष्क्रिय समय और डाउनटाइम के बाद आने वाले पहले अनुरोध का सेवा अंतराल शामिल होता है।

QS में, सर्विस्ड अनुरोधों के आउटगोइंग प्रवाह के अलावा, हो सकता है असेवित अनुरोधों का प्रवाह।यदि ऐसा क्यूएस एक आवर्तक प्रवाह प्राप्त करता है, और सेवा घातीय है, तो सेवा से वंचित ग्राहकों का प्रवाह भी आवर्तक होता है।

मुफ्त चैनल कतारें। मल्टी-चैनल क्यूएस में, मुफ्त चैनलों की कतारें बनाई जा सकती हैं। निःशुल्क चैनलों की संख्या एक यादृच्छिक मान है। शोधकर्ताओं की रुचि इस यादृच्छिक चर की विभिन्न विशेषताओं में हो सकती है। आमतौर पर, यह प्रति सर्वेक्षण अंतराल और उनके लोड कारकों पर सेवा द्वारा कब्जा किए गए चैनलों की औसत संख्या है।

जैसा कि हमने पहले उल्लेख किया है, वास्तविक वस्तुओं में, अनुरोधों को क्रमिक रूप से कई क्यूएस में सेवा दी जाती है।

क्रमिक रूप से परस्पर जुड़े QS का एक परिमित सेट जो उनमें परिचालित होने वाले अनुप्रयोगों को संसाधित करता है, कहलाता है कतारबद्ध नेटवर्क (सेमो) (चित्र 2.4, ए)।

चावल। 2.4।

सेमो भी कहा जाता है मल्टीफ़ेज़ क्यूएस।

हम बाद में QEMO IM के निर्माण के एक उदाहरण पर विचार करेंगे।

QS के मुख्य तत्व नोड्स (U) और अनुरोध (G) के स्रोत (जनरेटर) हैं।

गांठनेटवर्क एक क्यूइंग सिस्टम हैं।

स्रोत- नेटवर्क में प्रवेश करने वाले अनुप्रयोगों का एक जनरेटर और नेटवर्क नोड्स में सेवा के कुछ चरणों की आवश्यकता होती है।

क्यूईएमओ की सरलीकृत छवि के लिए एक ग्राफ का उपयोग किया जाता है।

सेमो की गिनती करें- एक निर्देशित ग्राफ (डिग्राफ), जिसके कोने QEM नोड्स के अनुरूप हैं, और आर्क्स नोड्स (चित्र। 2.4, बी) के बीच अनुप्रयोगों के संक्रमण का प्रतिनिधित्व करते हैं।

इसलिए, हमने QS की मूल अवधारणाओं पर विचार किया है। लेकिन आईएम के लिए कंप्यूटर सिस्टम के विकास और उनके सुधार में, वर्तमान में क्यूएस के विश्लेषणात्मक मॉडलिंग में निहित विशाल रचनात्मक क्षमता का भी आवश्यक रूप से उपयोग किया जाता है।

इस रचनात्मक क्षमता की बेहतर धारणा के लिए, पहले सन्निकटन के रूप में, आइए क्यूएस मॉडल के वर्गीकरण पर ध्यान दें।