पिरामिड के आयतन का सूत्र त्रिभुज कोण के रूप में। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के आयतन के सूत्र

सबसे सरल वॉल्यूमेट्रिक आंकड़ों में से एक त्रिकोणीय पिरामिड है, क्योंकि इसमें सबसे छोटी संख्या में चेहरे होते हैं जिससे अंतरिक्ष में एक आकृति बनाई जा सकती है। इस लेख में, हम उन सूत्रों पर विचार करेंगे जिनके साथ आप त्रिकोणीय नियमित पिरामिड का आयतन ज्ञात कर सकते हैं।

त्रिकोणीय पिरामिड

सामान्य परिभाषा के अनुसार, एक पिरामिड एक बहुभुज होता है, जिसके सभी शीर्ष एक बिंदु से जुड़े होते हैं जो इस बहुभुज के तल में स्थित नहीं होता है। यदि उत्तरार्द्ध एक त्रिभुज है, तो पूरी आकृति को त्रिभुजाकार पिरामिड कहा जाता है।

माना पिरामिड में एक आधार (त्रिकोण) और तीन पार्श्व फलक (त्रिकोण) होते हैं। वह बिंदु जहाँ तीन भुजाएँ जुड़ी होती हैं, आकृति का शीर्ष कहलाता है। इस शीर्ष से आधार पर गिरा हुआ लंबवत पिरामिड की ऊंचाई है। यदि आधार के साथ लंबवत का प्रतिच्छेदन बिंदु आधार पर त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से मेल खाता है, तो वे एक नियमित पिरामिड की बात करते हैं। अन्यथा, यह ढलान होगा।

जैसा कि कहा गया है, एक त्रिभुजाकार पिरामिड का आधार एक सामान्य त्रिभुज हो सकता है। हालांकि, अगर यह समबाहु है, और पिरामिड ही सीधा है, तो वे सही त्रि-आयामी आकृति के बारे में बात करते हैं।

प्रत्येक के 4 फलक, 6 किनारे और 4 शीर्ष हैं। यदि सभी किनारों की लंबाई समान हो, तो ऐसी आकृति चतुष्फलक कहलाती है।

सामान्य प्रकार

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड लिखने से पहले, हम एक सामान्य प्रकार के पिरामिड के लिए इस भौतिक मात्रा के लिए एक व्यंजक देते हैं। यह अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है:

यहाँ S o आधार का क्षेत्रफल है, h आकृति की ऊँचाई है। यह समानता पिरामिड बहुभुज के किसी भी प्रकार के आधार के साथ-साथ शंकु के लिए भी मान्य होगी। यदि आधार पर एक त्रिभुज है जिसकी भुजा की लंबाई a और ऊँचाई h o कम है, तो आयतन का सूत्र इस प्रकार लिखा जाएगा:

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के आयतन के सूत्र

त्रिभुज के आधार पर एक समबाहु त्रिभुज होता है। यह ज्ञात है कि इस त्रिभुज की ऊंचाई इसकी भुजा की लंबाई से समानता से संबंधित है:

पिछले पैराग्राफ में लिखे गए त्रिकोणीय पिरामिड के आयतन के सूत्र में इस अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

वी = 1/6*ए*एच ओ *एच = √3/12*ए 2 *एच।

एक त्रिकोणीय आधार के साथ एक नियमित पिरामिड का आयतन आधार के किनारे की लंबाई और आकृति की ऊंचाई का एक फलन है।

चूँकि किसी भी नियमित बहुभुज को एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है जिसकी त्रिज्या विशिष्ट रूप से बहुभुज की भुजा की लंबाई निर्धारित करती है, तो यह सूत्र संबंधित त्रिज्या r के पदों में लिखा जा सकता है:

यह सूत्र पिछले एक से प्राप्त करना आसान है, यह देखते हुए कि त्रिभुज की भुजा a की लंबाई के माध्यम से परिचालित वृत्त की त्रिज्या r अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित की जाती है:

टेट्राहेड्रोन की मात्रा निर्धारित करने का कार्य

आइए हम दिखाते हैं कि विशिष्ट ज्यामिति समस्याओं को हल करने में उपरोक्त सूत्रों का उपयोग कैसे किया जाता है।

यह ज्ञात है कि चतुष्फलक के किनारे की लंबाई 7 सेमी है। एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड-चतुष्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए।

याद रखें कि टेट्राहेड्रोन एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड है जिसमें सभी आधार एक दूसरे के बराबर होते हैं। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के आयतन के सूत्र का उपयोग करने के लिए, आपको दो मात्राओं की गणना करने की आवश्यकता है:

• त्रिभुज की भुजा की लंबाई;
• आंकड़ा ऊंचाई।

पहला मान समस्या की स्थिति से जाना जाता है:

ऊंचाई निर्धारित करने के लिए, आकृति में दिखाए गए चित्र पर विचार करें।

अंकित त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है जहाँ कोण ABC 90° है। AC भुजा कर्ण है, जिसकी लंबाई a है। सरल ज्यामितीय तर्क से, यह दिखाया जा सकता है कि भुजा BC की लंबाई है:

ध्यान दें कि BC की लंबाई त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है।

एच \u003d एबी \u003d (एसी 2 - बीसी 2) \u003d (ए 2 - ए 2/3) \u003d ए * √ (2/3)।

अब आप h और a को आयतन के संगत सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

वी = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 ।

इस प्रकार, हमने एक चतुष्फलक के आयतन का सूत्र प्राप्त किया है। यह देखा जा सकता है कि आयतन केवल पसली की लंबाई पर निर्भर करता है। यदि हम समस्या की स्थिति से मूल्य को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें उत्तर मिलता है:

वी \u003d 2 / 12 * 7 3 ≈ 40.42 सेमी 3.

यदि हम इस मान की तुलना एक समान किनारे वाले घन के आयतन से करते हैं, तो हम पाते हैं कि चतुष्फलक का आयतन 8.5 गुना कम है। यह इंगित करता है कि टेट्राहेड्रोन एक कॉम्पैक्ट आकृति है, जिसे कुछ प्राकृतिक पदार्थों में महसूस किया जाता है। उदाहरण के लिए, मीथेन अणु टेट्राहेड्रल है, और हीरे में प्रत्येक कार्बन परमाणु टेट्राहेड्रोन बनाने के लिए चार अन्य परमाणुओं से जुड़ा होता है।

समरूप पिरामिड के साथ समस्या

आइए एक जिज्ञासु ज्यामितीय समस्या को हल करें। मान लें कि एक त्रिकोणीय नियमित पिरामिड है जिसमें कुछ मात्रा V 1 है। एक पिरामिड समरूप प्राप्त करने के लिए इस आकृति के आकार को कितनी बार कम किया जाना चाहिए, जिसका आयतन मूल से तीन गुना छोटा हो?

आइए मूल नियमित पिरामिड के लिए सूत्र लिखकर समस्या को हल करना शुरू करें:

वी 1 \u003d 3 / 12 * ए 1 2 * एच 1।

मान लीजिए कि समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक आकृति का आयतन इसके मापदंडों को गुणांक k से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। हमारे पास है:

वी 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 ।

चूंकि आंकड़ों के आयतन का अनुपात शर्त से ज्ञात होता है, हम गुणांक k का मान प्राप्त करते हैं:

के \u003d (वी 2 / वी 1) \u003d (1/3) 0.693।

ध्यान दें कि हमने एक मनमाने प्रकार के पिरामिड के लिए गुणांक k का समान मान प्राप्त किया होगा, न कि केवल एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के लिए।

परिभाषा। बगल का चहेरा- यह एक त्रिभुज है जिसमें एक कोण पिरामिड के शीर्ष पर स्थित होता है, और इसका विपरीत भाग आधार (बहुभुज) के किनारे से मेल खाता है।

परिभाषा। पार्श्व पसलियांपार्श्व चेहरों के सामान्य पक्ष हैं। एक पिरामिड में उतने ही किनारे होते हैं जितने एक बहुभुज में कोने होते हैं।

परिभाषा। पिरामिड ऊंचाईपिरामिड के शीर्ष से आधार तक गिराया गया एक लंबवत है।

परिभाषा। एपोथेम- यह पिरामिड के पार्श्व चेहरे का लंबवत है, जो पिरामिड के शीर्ष से आधार के किनारे तक उतारा जाता है।

परिभाषा। विकर्ण खंड- यह पिरामिड के शीर्ष और आधार के विकर्ण से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड का एक खंड है।

परिभाषा। सही पिरामिड- यह एक पिरामिड है जिसमें आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऊंचाई आधार के केंद्र तक उतरती है।

पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र

सूत्र। पिरामिड मात्राआधार क्षेत्र और ऊंचाई के माध्यम से:

पिरामिड गुण

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, और आधार का केंद्र वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है। साथ ही, ऊपर से गिरा हुआ लम्ब आधार (वृत्त) के केंद्र से होकर गुजरता है।

यदि सभी पार्श्व पसलियां समान हैं, तो वे समान कोणों पर आधार तल की ओर झुकी हुई हैं।

पार्श्व पसलियाँ समान होती हैं जब वे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, या यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

यदि पक्ष के चेहरे एक कोण पर आधार के तल पर झुके हुए हैं, तो पिरामिड के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को इसके केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

यदि पार्श्व फलक एक कोण पर आधार तल की ओर झुके हों, तो पार्श्व फलकों के एपोथेम बराबर होते हैं।

एक नियमित पिरामिड के गुण

1. पिरामिड का शीर्ष आधार के सभी कोनों से समान दूरी पर है।

2. सभी किनारे बराबर हैं।

3. सभी पार्श्व पसलियां आधार से समान कोण पर झुकी हुई हैं।

4. सभी पक्षों के एपोथेम समान हैं।

5. सभी भुजाओं के फलकों का क्षेत्रफल बराबर होता है।

6. सभी फलकों में एक ही द्विफलक (सपाट) कोण होते हैं।

7. पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है। वर्णित गोले का केंद्र किनारों के बीच से गुजरने वाले लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

8. एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है। उत्कीर्ण गोले का केंद्र किनारे और आधार के बीच के कोण से निकलने वाले द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

9. यदि खुदा हुआ गोले का केंद्र परिचालित गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो शीर्ष पर समतल कोणों का योग π या इसके विपरीत होता है, एक कोण π / n के बराबर होता है, जहाँ n संख्या होती है पिरामिड के आधार पर कोणों का।

गोले के साथ पिरामिड का संबंध

पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है जब पिरामिड के आधार पर एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र पिरामिड के पार्श्व किनारों के मध्य बिंदुओं से लंबवत गुजरने वाले विमानों के प्रतिच्छेदन का बिंदु होगा।

किसी भी त्रिकोणीय या नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन हमेशा किया जा सकता है।

एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमान एक बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र होगा।

शंकु के साथ पिरामिड का संबंध

एक शंकु को पिरामिड में अंकित कहा जाता है यदि उसके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार में अंकित हो।

एक शंकु को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के एपोथेम्स समान हों।

एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर परिबद्ध कहा जाता है यदि उसके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार के चारों ओर परिबद्ध हो।

पिरामिड के चारों ओर एक शंकु का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हों।

एक सिलेंडर के साथ पिरामिड का कनेक्शन

एक पिरामिड को एक सिलेंडर में खुदा हुआ कहा जाता है यदि पिरामिड का शीर्ष सिलेंडर के एक आधार पर स्थित होता है, और पिरामिड का आधार सिलेंडर के दूसरे आधार में खुदा होता है।

यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, तो एक सिलेंडर को पिरामिड के चारों ओर परिचालित किया जा सकता है।

परिभाषा। काटे गए पिरामिड (पिरामिडल प्रिज्म)- यह एक पॉलीहेड्रॉन है जो पिरामिड के आधार और आधार के समानांतर एक सेक्शन प्लेन के बीच स्थित होता है। इस प्रकार पिरामिड का एक बड़ा आधार और एक छोटा आधार होता है जो बड़े के समान होता है। पार्श्व चेहरे ट्रेपेज़ॉइड हैं।

परिभाषा। त्रिकोणीय पिरामिड (टेट्राहेड्रॉन)- यह एक पिरामिड है जिसमें तीन फलक और आधार मनमाना त्रिभुज हैं।

एक चतुष्फलक के चार फलक और चार शीर्ष और छह किनारे होते हैं, जहां किन्हीं दो किनारों का कोई उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होता है लेकिन स्पर्श नहीं करते हैं।

प्रत्येक शीर्ष में तीन फलक और किनारे होते हैं जो बनते हैं त्रिफलक कोण.

चतुष्फलक के शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्र से जोड़ने वाले खंड को कहते हैं चतुष्फलक की माध्यिका(जीएम)।

बिमीडियनविपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड कहलाता है जो स्पर्श नहीं करते (KL)।

एक चतुष्फलक के सभी द्विमाध्यक और माध्यिकाएँ एक बिंदु (S) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस मामले में, बिमीडियन आधे में विभाजित होते हैं, और मध्य ऊपर से शुरू होने वाले 3: 1 के अनुपात में होते हैं।

परिभाषा। झुका हुआ पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें किनारों में से एक आधार के साथ एक अधिक कोण (β) बनाता है।

परिभाषा। आयताकार पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एक पक्ष का फलक आधार के लंबवत होता है।

परिभाषा। एक्यूट एंगल्ड पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से अधिक है।

परिभाषा। अधिक पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई से आधे से भी कम है।

परिभाषा। नियमित चतुष्फलकएक चतुष्फलक जिसके चार फलक समबाहु त्रिभुज हैं। यह पांच नियमित बहुभुजों में से एक है। एक नियमित चतुष्फलक में, सभी द्विफलकीय कोण (फलकों के बीच) और त्रिफलक कोण (एक शीर्ष पर) बराबर होते हैं।

परिभाषा। आयताकार चतुष्फलकएक चतुष्फलक कहलाता है जिसके शीर्ष पर तीन किनारों के बीच एक समकोण होता है (किनारे लंबवत होते हैं)। तीन चेहरे बनते हैं आयताकार त्रिभुज कोणऔर फलक समकोण त्रिभुज हैं, और आधार एक मनमाना त्रिभुज है। किसी भी चेहरे का एपोथेम उस आधार के आधे हिस्से के बराबर होता है जिस पर एपोटेम गिरता है।

परिभाषा। आइसोहेड्रल टेट्राहेड्रोनएक चतुष्फलक कहलाता है जिसमें भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं, और आधार एक नियमित त्रिभुज होता है। ऐसे चतुष्फलक के फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा। ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोनएक चतुष्फलक कहलाता है जिसमें ऊपर से विपरीत फलक तक कम की गई सभी ऊंचाईयां (लंबवत) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

परिभाषा। तारा पिरामिडएक बहुफलक जिसका आधार एक तारा होता है, कहलाता है।

परिभाषा। bipyramid- एक पॉलीहेड्रॉन जिसमें दो अलग-अलग पिरामिड होते हैं (पिरामिड को भी काटा जा सकता है), जिसमें एक सामान्य आधार होता है, और कोने बेस प्लेन के विपरीत किनारों पर स्थित होते हैं।

पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, आपको कई सूत्रों को जानना होगा। आइए उन पर विचार करें।

पिरामिड का आयतन कैसे ज्ञात करें - पहला तरीका

एक पिरामिड का आयतन उसके आधार की ऊँचाई और क्षेत्रफल का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। वी = 1/3 * एस * एच। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि पिरामिड की ऊंचाई 10 सेमी है, और इसके आधार का क्षेत्रफल 25 सेमी 2 है, तो आयतन V \u003d 1/3 * 25 * 10 \u003d 1 के बराबर होगा। /3 * 250 \u003d 83.3 सेमी 3

पिरामिड का आयतन कैसे ज्ञात करें - दूसरी विधि

यदि एक नियमित बहुभुज पिरामिड के आधार पर स्थित है, तो इसका आयतन निम्न सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: V \u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n), जहाँ a बहुभुज की भुजा है। आधार, और n इसकी भुजाओं की संख्या है। उदाहरण के लिए: आधार एक नियमित षट्भुज है, अर्थात n = 6। चूंकि यह नियमित है, इसलिए इसकी सभी भुजाएँ समान हैं, अर्थात सभी बराबर हैं। मान लीजिए a = 10 और h - 15। हम सूत्र में संख्याएँ डालते हैं और हमें अनुमानित उत्तर मिलता है - 1299 सेमी 3

पिरामिड का आयतन कैसे ज्ञात करें - तीसरा तरीका

यदि एक समबाहु त्रिभुज पिरामिड के आधार पर स्थित है, तो इसका आयतन निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है: V = ha 2 /4√3, जहाँ a समबाहु त्रिभुज की भुजा है। उदाहरण के लिए: पिरामिड की ऊंचाई 10 सेमी है, आधार का किनारा 5 सेमी है। आयतन V \u003d 10 * 25 / 4 √ 3 \u003d 250 / 4 3 के बराबर होगा। आमतौर पर, इसमें क्या हुआ हर की गणना नहीं की जाती है और उसी रूप में छोड़ दिया जाता है। आप अंश और हर दोनों को 4√3 से गुणा करके 1000√3/48 प्राप्त कर सकते हैं। कम करने पर हमें 125√ 3/6 सेमी 3 मिलता है।

पिरामिड का आयतन कैसे ज्ञात करें - चौथा तरीका

यदि एक वर्ग पिरामिड के आधार पर स्थित है, तो उसका आयतन निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है: V = 1/3*h*a 2, जहाँ a वर्ग की भुजाएँ हैं। उदाहरण के लिए: ऊंचाई - 5 सेमी, वर्ग की भुजा - 3 सेमी। वी \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 सेमी 3

पिरामिड का आयतन कैसे ज्ञात करें - पाँचवाँ तरीका

यदि पिरामिड एक चतुष्फलक है, अर्थात इसके सभी फलक समबाहु त्रिभुज हैं, तो आप निम्न सूत्र का उपयोग करके पिरामिड का आयतन ज्ञात कर सकते हैं: V = a 3 2/12, जहाँ a चतुष्फलक का एक किनारा है। उदाहरण के लिए: टेट्राहेड्रोन एज \u003d 7. वी \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 \u003d 343 सेमी 3

शब्द "पिरामिड" मिस्र में राजसी दिग्गजों के साथ अनजाने में जुड़ा हुआ है, ईमानदारी से फिरौन की शांति बनाए रखता है। शायद इसीलिए पिरामिड को हर कोई, यहां तक ​​कि बच्चे भी, अनजाने में पहचान लेते हैं।

हालाँकि, आइए इसे एक ज्यामितीय परिभाषा देने का प्रयास करें। आइए हम विमान पर कई बिंदुओं (A1, A2,..., An) की कल्पना करें और एक और (E) जो इससे संबंधित नहीं है। इसलिए, यदि बिंदु E (शीर्ष) बिंदु A1, A2, ..., An (आधार) से बने बहुभुज के शीर्षों से जुड़ा है, तो आपको एक बहुफलक प्राप्त होता है, जिसे पिरामिड कहा जाता है। जाहिर है, पिरामिड के आधार पर बहुभुज में किसी भी संख्या में शिखर हो सकते हैं, और उनकी संख्या के आधार पर, पिरामिड को त्रिभुज और चतुर्भुज, पंचकोणीय आदि कहा जा सकता है।

यदि आप पिरामिड को करीब से देखते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाएगा कि इसे अलग तरह से क्यों परिभाषित किया गया है - आधार पर एक बहुभुज के साथ एक ज्यामितीय आकृति के रूप में, और एक सामान्य शीर्ष द्वारा साइड चेहरों के रूप में एकजुट त्रिकोण।

चूंकि पिरामिड एक स्थानिक आकृति है, इसलिए इसकी एक ऐसी मात्रात्मक विशेषता भी है, क्योंकि इसकी गणना पिरामिड के आधार और इसकी ऊंचाई के उत्पाद के प्रसिद्ध बराबर तिहाई से की जाती है:

पिरामिड का आयतन, सूत्र प्राप्त करते समय, शुरू में एक त्रिकोणीय के लिए गणना की जाती है, एक आधार के रूप में एक समान आधार और ऊंचाई वाले त्रिकोणीय प्रिज्म के आयतन के लिए इस मान से संबंधित एक निरंतर अनुपात के रूप में, जो कि यह पता चला है, इस मात्रा से तीन गुना अधिक है।

और चूंकि किसी भी पिरामिड को त्रिकोणीय में विभाजित किया गया है, और इसकी मात्रा सबूत में किए गए निर्माणों पर निर्भर नहीं है, उपरोक्त मात्रा सूत्र की वैधता स्पष्ट है।

सभी पिरामिडों के बीच अलग खड़े होना सही है, जिसमें आधार निहित है। जहाँ तक, यह आधार के केंद्र में "समाप्त" होना चाहिए।

आधार पर एक अनियमित बहुभुज के मामले में, आधार के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको आवश्यकता होगी:

• इसे त्रिकोण और वर्गों में तोड़ दें;

• उनमें से प्रत्येक के क्षेत्र की गणना करें;

• प्राप्त डेटा जोड़ें।

पिरामिड के आधार पर एक नियमित बहुभुज के मामले में, इसके क्षेत्र की गणना तैयार सूत्रों का उपयोग करके की जाती है, इसलिए एक नियमित पिरामिड की मात्रा की गणना बहुत सरलता से की जाती है।

उदाहरण के लिए, एक चतुर्भुज पिरामिड की मात्रा की गणना करने के लिए, यदि यह नियमित है, तो आधार पर एक नियमित चतुर्भुज (वर्ग) के किनारे की लंबाई वर्ग है और, पिरामिड की ऊंचाई से गुणा करके, परिणामी उत्पाद को विभाजित किया जाता है तीन।

पिरामिड के आयतन की गणना अन्य मापदंडों का उपयोग करके की जा सकती है:

• पिरामिड और इसकी कुल सतह के क्षेत्र में खुदी हुई गेंद की त्रिज्या के उत्पाद के एक तिहाई के रूप में;

• दो मनमाने ढंग से लिए गए क्रॉसिंग किनारों और समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बीच की दूरी के उत्पाद के दो तिहाई के रूप में जो शेष चार किनारों के मध्य बिंदु बनाता है।

पिरामिड के आयतन की गणना भी उस स्थिति में की जाती है जब इसकी ऊँचाई एक किनारे के किनारों के साथ मेल खाती है, यानी आयताकार पिरामिड के मामले में।

पिरामिडों की बात करें तो पिरामिड को आधार के समानांतर समतल से काटकर प्राप्त किए गए काटे गए पिरामिडों की उपेक्षा नहीं की जा सकती है। उनका आयतन लगभग पूरे पिरामिड के आयतन और कटे हुए शीर्ष के बीच के अंतर के बराबर है।

पिरामिड का पहला खंड, हालांकि अपने आधुनिक रूप में बिल्कुल नहीं, लेकिन हमें ज्ञात प्रिज्म की मात्रा के 1/3 के बराबर, डेमोक्रिटस द्वारा पाया गया था। आर्किमिडीज ने अपनी गिनती पद्धति को "बिना सबूत" कहा, क्योंकि डेमोक्रिटस ने पिरामिड के पास असीम रूप से पतली, समान प्लेटों से बनी आकृति के रूप में संपर्क किया था।

वेक्टर बीजगणित ने इसके लिए इसके कोने के निर्देशांक का उपयोग करते हुए, पिरामिड का आयतन खोजने के प्रश्न को "संबोधित" किया। सदिश a,b,c के त्रिक पर बना पिरामिड दिए गए सदिशों के मिश्रित गुणनफल के मापांक के छठे भाग के बराबर होता है।

यहां हम आयतन की अवधारणा से संबंधित उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे। ऐसे कार्यों को हल करने के लिए, आपको पिरामिड के आयतन का सूत्र पता होना चाहिए:

एस

एच - पिरामिड की ऊंचाई

आधार कोई भी बहुभुज हो सकता है। लेकिन परीक्षा के अधिकांश कार्यों में, स्थिति, एक नियम के रूप में, सही पिरामिड के बारे में है। मैं आपको इसकी एक विशेषता की याद दिलाता हूं:

एक नियमित पिरामिड के शीर्ष को उसके आधार के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है

नियमित त्रिकोणीय, चतुर्भुज और हेक्सागोनल पिरामिड के प्रक्षेपण को देखें (शीर्ष दृश्य):

आप ब्लॉग पर कर सकते हैं, जहाँ पिरामिड का आयतन ज्ञात करने से संबंधित कार्यों को निपटाया गया था।कार्यों पर विचार करें:

27087. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी आधार भुजाएँ 1 के बराबर हों और जिसकी ऊँचाई तीन के मूल के बराबर हो।

एस- पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच- पिरामिड की ऊंचाई

पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यह एक नियमित त्रिभुज है। हम सूत्र का उपयोग करते हैं - एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उनके बीच के कोण की ज्या द्वारा आसन्न भुजाओं के आधे उत्पाद के बराबर होता है, जिसका अर्थ है:

उत्तर: 0.25

27088. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसकी आधार भुजाएँ 2 के बराबर हों और आयतन तीन के मूल के बराबर हो।

पिरामिड की ऊँचाई और उसके आधार की विशेषताओं जैसी अवधारणाएँ आयतन सूत्र द्वारा संबंधित हैं:

एस- पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच- पिरामिड की ऊंचाई

हम आयतन को ही जानते हैं, हम आधार का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं, क्योंकि त्रिभुज की भुजाएँ, जो कि आधार है, ज्ञात हैं। इन मूल्यों को जानकर हम आसानी से ऊँचाई ज्ञात कर सकते हैं।

आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं - एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उनके बीच के कोण की ज्या द्वारा आसन्न भुजाओं के आधे उत्पाद के बराबर होता है, जिसका अर्थ है:

इस प्रकार, इन मानों को आयतन सूत्र में प्रतिस्थापित करके, हम पिरामिड की ऊँचाई की गणना कर सकते हैं:

ऊंचाई तीन है।

उत्तर: 3

27109. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में, ऊंचाई 6 है, किनारे का किनारा 10 है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

पिरामिड के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस- पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच- पिरामिड की ऊंचाई

हम ऊंचाई जानते हैं। आपको आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा। मैं आपको याद दिला दूं कि एक नियमित पिरामिड का शीर्ष उसके आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आधार एक वर्ग है। हम इसका विकर्ण ज्ञात कर सकते हैं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें (नीले रंग में हाइलाइट किया गया):

वर्ग के केंद्र को बिंदु B से जोड़ने वाला खंड एक पैर है, जो वर्ग के आधे विकर्ण के बराबर है। हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इस पैर की गणना कर सकते हैं:

तो BD = 16. चतुर्भुज क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करें:

फलस्वरूप:

इस प्रकार, पिरामिड का आयतन है:

उत्तर: 256

27178. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में, ऊंचाई 12 है, मात्रा 200 है। इस पिरामिड के किनारे का पता लगाएं।

पिरामिड की ऊंचाई और उसका आयतन ज्ञात है, इसलिए हम वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं, जो कि आधार है। एक वर्ग का क्षेत्रफल जानकर हम उसका विकर्ण ज्ञात कर सकते हैं। इसके अलावा, एक समकोण त्रिभुज पर विचार करने के बाद, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पार्श्व किनारे की गणना करते हैं:

वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (पिरामिड का आधार):

वर्ग के विकर्ण की गणना करें। चूँकि इसका क्षेत्रफल 50 है, तो भुजा पचास के मूल के बराबर होगी, और पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

बिंदु O विकर्ण BD को आधे में विभाजित करता है, इसलिए समकोण त्रिभुज का पैर OB = 5 है।

इस प्रकार, हम गणना कर सकते हैं कि पिरामिड का पार्श्व किनारा किसके बराबर है:

उत्तर: 13

245353. आकृति में दिखाए गए पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए। इसका आधार एक बहुभुज है जिसकी आसन्न भुजाएँ लंबवत हैं, और एक भुजा का किनारा आधार के तल के लंबवत है और 3 के बराबर है।

जैसा कि बार-बार कहा गया है - पिरामिड के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस- पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच- पिरामिड की ऊंचाई

आधार से लंबवत पार्श्व किनारा तीन है, जिसका अर्थ है कि पिरामिड की ऊंचाई तीन है। पिरामिड का आधार एक बहुभुज है जिसका क्षेत्रफल है:

इस तरह:

उत्तर: 27

27086. पिरामिड का आधार 3 और 4 भुजाओं वाला एक आयत है। इसका आयतन 16 है। इस पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।