दी गई संख्या को दशमलव में बदलें। सामान्य और दशमलव भिन्न और उन पर संक्रियाएँ

काफी संख्या में लोग यह प्रश्न पूछते हैं कि भिन्न को दशमलव भिन्न में कैसे बदला जाए। कई तरीके हैं. किसी विशिष्ट विधि का चुनाव भिन्न के प्रकार पर निर्भर करता है जिसे किसी अन्य रूप में परिवर्तित करने की आवश्यकता होती है, या अधिक सटीक रूप से, उसके हर में मौजूद संख्या पर। हालाँकि, विश्वसनीयता के लिए, यह इंगित करना आवश्यक है कि एक साधारण अंश एक अंश है जो एक अंश और एक हर के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए, 1/2। अधिकतर, अंश और हर के बीच की रेखा तिरछी के बजाय क्षैतिज रूप से खींची जाती है। एक दशमलव अंश को अल्पविराम के साथ एक साधारण संख्या के रूप में लिखा जाता है: उदाहरण के लिए, 1.25; 0.35, आदि.

तो, कैलकुलेटर के बिना किसी अंश को दशमलव में बदलने के लिए आपको यह करना होगा:

सामान्य भिन्न के हर पर ध्यान दें। यदि हर को अंश के समान संख्या से आसानी से 10 तक गुणा किया जा सकता है, तो आपको इस विधि को सबसे सरल के रूप में उपयोग करना चाहिए। उदाहरण के लिए, सामान्य अंश 1/2 को अंश और हर में 5 से आसानी से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप संख्या 5/10 होती है, जिसे पहले से ही दशमलव अंश के रूप में लिखा जा सकता है: 0.5। यह नियम इस तथ्य पर आधारित है कि दशमलव भिन्न के हर में हमेशा एक गोल संख्या होती है: 10, 100, 1000 और इसी तरह। इसलिए, यदि आप किसी भिन्न के अंश और हर को गुणा करते हैं, तो गुणन के परिणामस्वरूप हर में बिल्कुल वही संख्या प्राप्त करना आवश्यक है, भले ही अंश में कुछ भी प्राप्त हो।

सामान्य भिन्न होते हैं, जिनकी गणना गुणन के बाद कुछ कठिनाइयाँ प्रस्तुत करती है। उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करना काफी कठिन है कि हर में उपरोक्त संख्याओं में से एक प्राप्त करने के लिए भिन्न 5/16 को कितना गुणा किया जाना चाहिए। इस मामले में, आपको सामान्य विभाजन का उपयोग करना चाहिए, जो एक कॉलम में किया जाता है। उत्तर दशमलव अंश होना चाहिए, जो स्थानांतरण कार्रवाई के अंत को चिह्नित करेगा। उपरोक्त उदाहरण में, परिणामी संख्या 0.3125 है। यदि स्तंभ गणनाएँ कठिन हैं, तो आप कैलकुलेटर की सहायता के बिना नहीं कर सकते।

अंत में, कुछ सामान्य भिन्न होते हैं जिन्हें दशमलव में नहीं बदला जा सकता। उदाहरण के लिए, सामान्य भिन्न 4/3 को परिवर्तित करते समय, परिणाम 1.33333 होता है, जहां तीन को अनंत काल तक दोहराया जाता है। कैलकुलेटर को भी दोहराए जाने वाले तीन से छुटकारा नहीं मिलेगा। ऐसे कई भिन्न हैं, बस आपको उन्हें जानने की जरूरत है। उपरोक्त स्थिति से बाहर निकलने का एक रास्ता गोलाई हो सकता है, यदि उदाहरण या हल की जा रही समस्या की स्थितियाँ गोलाई की अनुमति देती हैं। यदि स्थितियाँ इसकी अनुमति नहीं देती हैं, और उत्तर बिल्कुल दशमलव अंश के रूप में लिखा जाना चाहिए, तो इसका मतलब है कि उदाहरण या समस्या गलत तरीके से हल की गई थी, और आपको त्रुटि खोजने के लिए कई कदम पीछे जाना चाहिए।

इस प्रकार, भिन्न को दशमलव में बदलना काफी सरल है, और कैलकुलेटर की सहायता के बिना इस कार्य को करना मुश्किल नहीं है। विधि 1 में वर्णित विपरीत चरणों का पालन करके दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित करना और भी आसान है।

वीडियो: छठी कक्षा. भिन्न को दशमलव में बदलना.

शुष्क गणितीय भाषा में, भिन्न एक संख्या है जिसे एक के भाग के रूप में दर्शाया जाता है। मानव जीवन में अंशों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है: हम अंशों का उपयोग पाक व्यंजनों में अनुपात को इंगित करने, प्रतियोगिताओं में दशमलव अंक देने या दुकानों में छूट की गणना करने के लिए करते हैं।

भिन्नों का निरूपण

एक भिन्नात्मक संख्या को लिखने के कम से कम दो रूप होते हैं: दशमलव रूप में या साधारण भिन्न के रूप में। दशमलव रूप में, संख्याएँ 0.5 जैसी दिखती हैं; 0.25 या 1.375. हम इनमें से किसी भी मान को एक साधारण भिन्न के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं:

• 0,5 = 1/2;
• 0,25 = 1/4;
• 1,375 = 11/8.

और अगर हम 0.5 और 0.25 को साधारण भिन्न से दशमलव और पीछे आसानी से बदल दें, तो संख्या 1.375 के मामले में सब कुछ स्पष्ट नहीं है। किसी भी दशमलव संख्या को शीघ्रता से भिन्न में कैसे बदलें? तीन सरल तरीके हैं.

अल्पविराम से छुटकारा

सबसे सरल एल्गोरिदम में किसी संख्या को 10 से गुणा करना शामिल है जब तक कि अंश से अल्पविराम गायब न हो जाए। यह परिवर्तन तीन चरणों में किया जाता है:

स्टेप 1: आरंभ करने के लिए, हम दशमलव संख्या को भिन्न "संख्या/1" के रूप में लिखते हैं, अर्थात, हमें 0.5/1 मिलता है; 0.25/1 और 1.375/1.

चरण दो: इसके बाद नए भिन्नों के अंश और हर को तब तक गुणा करें जब तक कि अंशों से अल्पविराम गायब न हो जाए:

• 0,5/1 = 5/10;
• 0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
• 1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.

चरण 3: हम परिणामी अंशों को सुपाच्य रूप में कम करते हैं:

• 5/10 = 1 × 5 / 2 × 5 = 1/2;
• 25/100 = 1 × 25 / 4 × 25 = 1/4;
• 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8.

संख्या 1.375 को 10 से तीन बार गुणा करना पड़ता था, जो अब बहुत सुविधाजनक नहीं है, लेकिन अगर हमें संख्या 0.000625 को परिवर्तित करने की आवश्यकता है तो हमें क्या करना होगा? इस स्थिति में, हम भिन्नों को परिवर्तित करने की निम्नलिखित विधि का उपयोग करते हैं।

अल्पविराम से छुटकारा पाना और भी आसान

पहली विधि दशमलव से अल्पविराम को "हटाने" के लिए एल्गोरिदम का विस्तार से वर्णन करती है, लेकिन हम इस प्रक्रिया को सरल बना सकते हैं। फिर, हम तीन चरणों का पालन करते हैं।

स्टेप 1: हम गिनते हैं कि दशमलव बिंदु के बाद कितने अंक हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 1.375 में ऐसे तीन अंक हैं, और 0.000625 में छह अंक हैं। इस मात्रा को हम अक्षर n से निरूपित करेंगे।

चरण दो: अब हमें केवल भिन्न को C/10 n के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है, जहां C भिन्न के महत्वपूर्ण अंक हैं (शून्य के बिना, यदि कोई हो), और n दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या है। जैसे:

• संख्या 1.375 के लिए सी = 1375, एन = 3, सूत्र 1375/10 3 = 1375/1000 के अनुसार अंतिम भिन्न;
• संख्या 0.000625 के लिए सी = 625, एन = 6, सूत्र 625/10 6 = 625/1000000 के अनुसार अंतिम भिन्न।

अनिवार्य रूप से, 10n, n शून्य के साथ 1 है, इसलिए आपको दस की घात बढ़ाने की जहमत नहीं उठानी होगी - n शून्य के साथ केवल 1। इसके बाद, शून्य से भरे अंश को कम करने की सलाह दी जाती है।

चरण 3: हम शून्य घटाते हैं और अंतिम परिणाम प्राप्त करते हैं:

• 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8;
• 625/1000000 = 1 × 625/1600 × 625 = 1/1600।

भिन्न 11/8 एक अनुचित भिन्न है क्योंकि इसका अंश इसके हर से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि हम पूरे भाग को अलग कर सकते हैं। इस स्थिति में, हम 11/8 में से 8/8 का पूरा भाग घटाते हैं और शेष 3/8 प्राप्त करते हैं, इसलिए भिन्न 1 और 3/8 जैसा दिखता है।

कान से रूपांतरण

जो लोग दशमलव को सही ढंग से पढ़ सकते हैं, उनके लिए उन्हें बदलने का सबसे आसान तरीका सुनना है। यदि आप 0.025 को "शून्य, शून्य, पच्चीस" के रूप में नहीं बल्कि "25 हजारवें" के रूप में पढ़ते हैं, तो आपको दशमलव को भिन्न में बदलने में कोई समस्या नहीं होगी।

0,025 = 25/1000 = 1/40

इस प्रकार, दशमलव संख्या को सही ढंग से पढ़ने से आप इसे तुरंत भिन्न के रूप में लिख सकते हैं और यदि आवश्यक हो तो इसे कम कर सकते हैं।

दैनिक जीवन में भिन्नों के उपयोग के उदाहरण

पहली नज़र में, सामान्य अंशों का व्यावहारिक रूप से रोजमर्रा की जिंदगी या काम में उपयोग नहीं किया जाता है, और ऐसी स्थिति की कल्पना करना मुश्किल है जब आपको स्कूल के कार्यों के बाहर दशमलव अंश को नियमित अंश में बदलने की आवश्यकता होती है। आइए कुछ उदाहरण देखें.

काम

तो, आप एक कैंडी स्टोर में काम करते हैं और वजन के हिसाब से हलवा बेचते हैं। उत्पाद को बेचना आसान बनाने के लिए, आप हलवे को किलोग्राम ब्रिकेट में विभाजित करते हैं, लेकिन कुछ खरीदार पूरा किलोग्राम खरीदने के इच्छुक होते हैं। इसलिए, आपको हर बार ट्रीट को टुकड़ों में बांटना होगा। और यदि अगला खरीदार आपसे 0.4 किलोग्राम हलवा मांगता है, तो आप उसे बिना किसी समस्या के आवश्यक भाग बेच देंगे।

0,4 = 4/10 = 2/5

ज़िंदगी

उदाहरण के लिए, मॉडल को अपने इच्छित शेड में रंगने के लिए आपको 12% घोल बनाना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको पेंट और विलायक को मिलाना होगा, लेकिन इसे सही तरीके से कैसे करें? 12% 0.12 का दशमलव अंश है। संख्या को सामान्य भिन्न में बदलें और प्राप्त करें:

0,12 = 12/100 = 3/25

अंशों को जानने से आपको सामग्रियों को सही ढंग से मिलाने और मनचाहा रंग पाने में मदद मिलेगी।

निष्कर्ष

भिन्नों का उपयोग आमतौर पर रोजमर्रा की जिंदगी में किया जाता है, इसलिए यदि आपको बार-बार दशमलव को भिन्न में बदलने की आवश्यकता होती है, तो आप एक ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करना चाहेंगे जो कम अंश के रूप में तुरंत परिणाम प्राप्त कर सकता है।

भिन्न को पूर्ण संख्या या दशमलव में बदला जा सकता है। एक अनुचित भिन्न, जिसका अंश हर से बड़ा है और बिना किसी शेषफल के उससे विभाज्य है, को पूर्ण संख्या में बदल दिया जाता है, उदाहरण के लिए: 20/5। 20 को 5 से विभाजित करें और संख्या 4 प्राप्त करें। यदि भिन्न उचित है, अर्थात अंश हर से कम है, तो इसे एक संख्या (दशमलव भिन्न) में बदलें। आप भिन्नों के बारे में अधिक जानकारी हमारे अनुभाग - से प्राप्त कर सकते हैं।

भिन्न को संख्या में बदलने के तरीके

• किसी भिन्न को किसी संख्या में बदलने का पहला तरीका उस भिन्न के लिए उपयुक्त है जिसे किसी संख्या में बदला जा सकता है जो कि दशमलव भिन्न है। सबसे पहले, आइए जानें कि क्या दिए गए भिन्न को दशमलव भिन्न में बदलना संभव है। ऐसा करने के लिए, आइए हर (वह संख्या जो रेखा के नीचे या ढलान वाली रेखा के दाईं ओर है) पर ध्यान दें। यदि हर को गुणनखंडित किया जा सकता है (हमारे उदाहरण में - 2 और 5), जिसे दोहराया जा सकता है, तो इस भिन्न को वास्तव में अंतिम दशमलव भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5)। यह सामान्य अंश दशमलव स्थानों की एक सीमित संख्या के साथ एक संख्या (दशमलव) में परिवर्तित हो जाएगा। लेकिन भिन्न 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) को अनंत दशमलव स्थानों वाली संख्या में बदल दिया जाएगा। अर्थात्, किसी संख्यात्मक मान की सटीक गणना करते समय, अंतिम दशमलव स्थान निर्धारित करना काफी कठिन होता है, क्योंकि ऐसे चिह्नों की संख्या अनंत होती है। इसलिए, समस्याओं को हल करने के लिए आमतौर पर मान को सौवें या हज़ारवें तक पूर्णांकित करने की आवश्यकता होती है। इसके बाद, आपको अंश और हर दोनों को ऐसी संख्या से गुणा करना होगा ताकि हर से 10, 100, 1000, आदि संख्याएँ उत्पन्न हों। उदाहरण के लिए: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) = 275/1000 = 0.275
• भिन्न को संख्या में बदलने का दूसरा तरीका सरल है: आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा। इस विधि को लागू करने के लिए, हम बस विभाजन करते हैं, और परिणामी संख्या वांछित दशमलव अंश होगी। उदाहरण के लिए, आपको भिन्न 2/15 को एक संख्या में बदलना होगा। 2 को 15 से विभाजित करें। हमें 0.1333... - एक अनंत भिन्न प्राप्त होता है। हम इसे इस प्रकार लिखते हैं: 0.13(3)। यदि भिन्न एक अनुचित भिन्न है, अर्थात, अंश, हर से बड़ा है (उदाहरण के लिए, 345/100), तो इसे एक संख्या में परिवर्तित करने पर पूर्णांक मान या संपूर्ण भिन्नात्मक भाग के साथ दशमलव भिन्न प्राप्त होगा। हमारे उदाहरण में यह 3.45 होगा. 3 2 / 7 जैसे मिश्रित भिन्न को एक संख्या में बदलने के लिए, आपको पहले इसे अनुचित भिन्न में बदलना होगा: (3∙7+2)/7 = 23/7। इसके बाद, 23 को 7 से विभाजित करें और संख्या 3.2857143 प्राप्त करें, जिसे हम घटाकर 3.29 कर देते हैं।

भिन्न को संख्या में बदलने का सबसे आसान तरीका कैलकुलेटर या अन्य कंप्यूटिंग डिवाइस का उपयोग करना है। पहले हम भिन्न के अंश को इंगित करते हैं, फिर "विभाजन" आइकन वाला बटन दबाते हैं और हर दर्ज करते हैं। ''='' कुंजी दबाने के बाद हमें वांछित संख्या प्राप्त होती है।

प्राथमिक विद्यालय में पहले से ही, छात्रों को भिन्नों का सामना करना पड़ता है। और फिर वे हर विषय में दिखाई देते हैं। आप इन नंबरों के साथ कार्यों को नहीं भूल सकते। इसलिए, आपको साधारण और दशमलव भिन्नों के बारे में सारी जानकारी जानना आवश्यक है। ये अवधारणाएँ जटिल नहीं हैं, मुख्य बात यह है कि हर चीज़ को क्रम से समझना है।

भिन्नों की आवश्यकता क्यों है?

हमारे चारों ओर की दुनिया संपूर्ण वस्तुओं से बनी है। इसलिए, शेयरों की कोई आवश्यकता नहीं है. लेकिन रोजमर्रा की जिंदगी लगातार लोगों को वस्तुओं और चीजों के हिस्सों के साथ काम करने के लिए प्रेरित करती है।

उदाहरण के लिए, चॉकलेट में कई टुकड़े होते हैं। ऐसी स्थिति पर विचार करें जहां उसकी टाइल बारह आयतों से बनी है। यदि आप इसे दो भागों में विभाजित करते हैं, तो आपको 6 भाग मिलते हैं। इसे आसानी से तीन भागों में विभाजित किया जा सकता है। लेकिन पांच लोगों को पूरी संख्या में चॉकलेट के टुकड़े देना संभव नहीं होगा।

वैसे, ये टुकड़े पहले से ही भिन्न हैं। और उनके आगे के विभाजन से अधिक जटिल संख्याएँ सामने आती हैं।

"अंश" क्या है?

यह एक इकाई के भागों से बनी संख्या है। बाह्य रूप से, यह क्षैतिज या स्लैश द्वारा अलग की गई दो संख्याओं जैसा दिखता है। इस विशेषता को भिन्नात्मक कहा जाता है। सबसे ऊपर (बायीं ओर) लिखी संख्या को अंश कहा जाता है। नीचे (दाएं) जो है वह हर है।

मूलतः, स्लैश एक विभाजन चिन्ह बन जाता है। अर्थात् अंश को भाज्य और हर को भाजक कहा जा सकता है।

वहां कौन-कौन से भिन्न हैं?

गणित में केवल दो प्रकार होते हैं: साधारण और दशमलव भिन्न। स्कूली बच्चे प्राथमिक विद्यालय में सबसे पहले भिन्नों से परिचित होते हैं, उन्हें बस "अंश" कहते हैं। बाद वाला 5वीं कक्षा में सीखा जाएगा। तभी ये नाम सामने आते हैं.

सामान्य भिन्न वे सभी भिन्न हैं जिन्हें एक रेखा से अलग की गई दो संख्याओं के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, 4/7. दशमलव एक संख्या है जिसमें भिन्नात्मक भाग में एक स्थितीय अंकन होता है और इसे पूर्ण संख्या से अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 4.7. छात्रों को यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि दिए गए दो उदाहरण पूरी तरह से अलग-अलग संख्याएँ हैं।

प्रत्येक साधारण भिन्न को दशमलव के रूप में लिखा जा सकता है। यह कथन लगभग हमेशा विपरीत रूप से सत्य होता है। ऐसे नियम हैं जो आपको दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न के रूप में लिखने की अनुमति देते हैं।

इस प्रकार के भिन्नों के क्या उपप्रकार होते हैं?

कालानुक्रमिक क्रम में शुरू करना बेहतर है, क्योंकि उनका अध्ययन किया जाता है। सामान्य भिन्न पहले आते हैं। उनमें से, 5 उप-प्रजातियों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

सही। इसका अंश सदैव हर से छोटा होता है।

गलत। इसका अंश इसके हर से बड़ा या उसके बराबर है।

कम करने योग्य/अघुलनशील। यह या तो सही या ग़लत हो सकता है। एक और महत्वपूर्ण बात यह है कि क्या अंश और हर में सामान्य गुणनखंड हैं। यदि हैं तो भिन्न के दोनों भागों को उनसे विभाजित करना अर्थात् घटाना आवश्यक है।

मिश्रित। एक पूर्णांक को इसके सामान्य नियमित (अनियमित) भिन्नात्मक भाग को सौंपा गया है। इसके अलावा, यह हमेशा बाईं ओर होता है।

समग्र। यह दो भिन्नों को एक दूसरे से विभाजित करने पर बनता है। अर्थात् इसमें एक साथ तीन भिन्नात्मक रेखाएँ होती हैं।

दशमलव भिन्नों के केवल दो उपप्रकार होते हैं:

परिमित, अर्थात जिसका भिन्नात्मक भाग सीमित है (जिसका अंत है);

अनंत - एक संख्या जिसके अंक दशमलव बिंदु के बाद समाप्त नहीं होते (उन्हें अंतहीन रूप से लिखा जा सकता है)।

दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में कैसे बदलें?

यदि यह एक सीमित संख्या है, तो नियम के आधार पर एक जुड़ाव लागू किया जाता है - जैसा मैं सुनता हूं, वैसा ही लिखता हूं। यानी, आपको इसे सही ढंग से पढ़ने और लिखने की ज़रूरत है, लेकिन अल्पविराम के बिना, लेकिन एक भिन्नात्मक पट्टी के साथ।

आवश्यक हर के बारे में संकेत के रूप में, आपको यह याद रखना होगा कि यह हमेशा एक और कई शून्य होता है। आपको उत्तरार्द्ध में से उतने ही लिखने की आवश्यकता है जितने कि प्रश्न में संख्या के भिन्नात्मक भाग में अंक हैं।

दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में कैसे परिवर्तित करें यदि उनका पूर्णांक भाग गायब है, अर्थात शून्य के बराबर है? उदाहरण के लिए, 0.9 या 0.05. निर्दिष्ट नियम को लागू करने के बाद, यह पता चलता है कि आपको शून्य पूर्णांक लिखने की आवश्यकता है। लेकिन इसका संकेत नहीं दिया गया है. जो कुछ बचा है वह भिन्नात्मक भागों को लिखना है। पहली संख्या का हर 10 होगा, दूसरे का हर 100 होगा। यानी, दिए गए उदाहरणों में उत्तर के रूप में निम्नलिखित संख्याएँ होंगी: 9/10, 5/100। इसके अलावा, यह पता चला है कि बाद वाले को 5 से कम किया जा सकता है। इसलिए, इसका परिणाम 1/20 के रूप में लिखा जाना चाहिए।

यदि किसी दशमलव अंश का पूर्णांक भाग शून्य से भिन्न है तो आप उसे साधारण भिन्न में कैसे परिवर्तित कर सकते हैं? उदाहरण के लिए, 5.23 या 13.00108. दोनों उदाहरणों में पूरा भाग पढ़ा जाता है और उसका मान लिखा जाता है। पहले मामले में यह 5 है, दूसरे में यह 13 है। फिर आपको भिन्नात्मक भाग पर आगे बढ़ने की जरूरत है। उनके साथ भी यही ऑपरेशन किया जाना है। पहला नंबर 23/100 दिखाई देता है, दूसरा - 108/100000। दूसरे मान को फिर से कम करने की जरूरत है। उत्तर निम्नलिखित मिश्रित भिन्न देता है: 5 23/100 और 13 27/25000।

अनंत दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में कैसे बदलें?

यदि यह गैर-आवधिक है, तो ऐसा ऑपरेशन संभव नहीं होगा। यह तथ्य इस तथ्य के कारण है कि प्रत्येक दशमलव अंश हमेशा या तो एक परिमित या आवधिक भिन्न में परिवर्तित हो जाता है।

ऐसे भिन्न के साथ आप केवल इतना ही कर सकते हैं कि उसे गोल कर लें। लेकिन तब दशमलव लगभग उस अनंत के बराबर होगा। इसे पहले से ही सामान्य में बदला जा सकता है। लेकिन विपरीत प्रक्रिया: दशमलव में परिवर्तित करने से कभी भी प्रारंभिक मान नहीं मिलेगा। अर्थात् अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित नहीं किया जाता है। इसे याद रखने की जरूरत है.

एक अनंत आवर्त भिन्न को साधारण भिन्न के रूप में कैसे लिखें?

इन संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद हमेशा एक या अधिक अंक होते हैं जिन्हें दोहराया जाता है। इन्हें काल कहा जाता है. उदाहरण के लिए, 0.3(3). यहाँ "3" आवर्त में है। उन्हें तर्कसंगत के रूप में वर्गीकृत किया गया है क्योंकि उन्हें साधारण भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है।

जिन लोगों ने आवधिक भिन्नों का सामना किया है वे जानते हैं कि वे शुद्ध या मिश्रित हो सकते हैं। पहले मामले में, अवधि तुरंत अल्पविराम से शुरू होती है। दूसरे में, भिन्नात्मक भाग कुछ संख्याओं से शुरू होता है, और फिर दोहराव शुरू होता है।

वह नियम जिसके द्वारा आपको एक अनंत दशमलव को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखना होगा, संकेतित दो प्रकार की संख्याओं के लिए भिन्न होगा। शुद्ध आवर्त भिन्नों को साधारण भिन्नों के रूप में लिखना काफी आसान है। परिमित लोगों की तरह, उन्हें परिवर्तित करने की आवश्यकता है: अंश में अवधि लिखें, और हर संख्या 9 होगी, जिसे अवधि में अंकों की संख्या जितनी बार दोहराया जाएगा।

उदाहरण के लिए, 0,(5). संख्या में पूर्णांक भाग नहीं है, इसलिए आपको तुरंत भिन्नात्मक भाग से शुरुआत करने की आवश्यकता है। अंश के रूप में 5 और हर के रूप में 9 लिखें। यानी उत्तर भिन्न 5/9 होगा।

मिश्रित साधारण दशमलव आवर्त भिन्न को लिखने का नियम।

अवधि की लंबाई देखें. हर में कितने 9 होंगे।

हर को लिखें: पहले नौ, फिर शून्य।

अंश निर्धारित करने के लिए, आपको दो संख्याओं का अंतर लिखना होगा। दशमलव बिंदु के बाद की सभी संख्याएँ, अवधि सहित, छोटी कर दी जाएंगी। कटौती योग्य - यह बिना किसी अवधि के है।

उदाहरण के लिए, 0.5(8) - आवधिक दशमलव भिन्न को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखें। अवधि से पहले भिन्नात्मक भाग में एक अंक होता है। तो एक शून्य होगा. आवर्त में भी एक ही संख्या है - 8. अर्थात् नौ ही एक है। यानी आपको हर में 90 लिखना होगा.

अंश निर्धारित करने के लिए, आपको 58 में से 5 घटाना होगा। परिणाम 53 होगा। उदाहरण के लिए, आपको उत्तर 53/90 लिखना होगा।

भिन्नों को दशमलव में कैसे बदला जाता है?

सबसे सरल विकल्प एक संख्या है जिसका हर संख्या 10, 100, आदि है। फिर हर को आसानी से हटा दिया जाता है, और भिन्नात्मक और पूर्णांक भागों के बीच एक अल्पविराम लगा दिया जाता है।

ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब हर आसानी से 10, 100 आदि में बदल जाता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 5, 20, 25। उन्हें क्रमशः 2, 5 और 4 से गुणा करना पर्याप्त है। आपको बस हर को ही नहीं, बल्कि अंश को भी उसी संख्या से गुणा करना होगा।

अन्य सभी मामलों के लिए, एक सरल नियम उपयोगी है: अंश को हर से विभाजित करें। इस मामले में, आपको दो संभावित उत्तर मिल सकते हैं: एक परिमित या एक आवधिक दशमलव अंश।

साधारण भिन्नों के साथ संक्रियाएँ

जोड़ना और घटाना

छात्र दूसरों की तुलना में उनसे पहले परिचित हो जाते हैं। इसके अलावा, पहले भिन्नों के हर समान होते हैं, और फिर उनके अलग-अलग होते हैं। इस योजना में सामान्य नियमों को कम किया जा सकता है।

हरों का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

सभी साधारण भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणनखंड लिखें।

अंश और हर को उनके लिए निर्दिष्ट कारकों से गुणा करें।

भिन्नों के अंशों को जोड़ें (घटाएँ) और उभयनिष्ठ हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

यदि मीनूएंड का अंश उपट्रेंड से कम है, तो हमें यह पता लगाना होगा कि क्या हमारे पास मिश्रित संख्या है या उचित भिन्न है।

पहले मामले में, आपको पूरे हिस्से में से एक उधार लेना होगा। भिन्न के अंश में हर जोड़ें। और फिर घटाव करो.

दूसरे में छोटी संख्या में से बड़ी संख्या घटाने का नियम लागू करना आवश्यक है। यानी सबट्रेंड के मॉड्यूल से मीनूएंड के मॉड्यूल को घटाएं और जवाब में "-" चिन्ह लगाएं।

जोड़ (घटाने) के परिणाम को ध्यान से देखिये। यदि आपको अनुचित भिन्न मिलता है, तो आपको संपूर्ण भाग का चयन करना होगा। अर्थात् अंश को हर से भाग दें।

गुणन और भाग

उन्हें निष्पादित करने के लिए भिन्नों को एक सामान्य हर में बदलने की आवश्यकता नहीं है। इससे कार्रवाई करना आसान हो जाता है. लेकिन फिर भी उनसे अपेक्षा की जाती है कि आप नियमों का पालन करें।

भिन्नों को गुणा करते समय, आपको अंश और हर में संख्याओं को देखना होगा। यदि किसी अंश और हर में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो तो उन्हें कम किया जा सकता है।

अंशों को गुणा करें.

हरों को गुणा करें.

यदि परिणाम एक कम करने योग्य अंश है, तो इसे फिर से सरलीकृत किया जाना चाहिए।

विभाजित करते समय, आपको पहले भाग को गुणन से बदलना होगा, और भाजक (दूसरा अंश) को व्युत्क्रम भिन्न से बदलना होगा (अंश और हर को बदलें)।

फिर गुणा की तरह आगे बढ़ें (बिंदु 1 से शुरू करके)।

उन कार्यों में जहां आपको किसी पूर्ण संख्या से गुणा (विभाजित) करने की आवश्यकता होती है, बाद वाली संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में लिखा जाना चाहिए। अर्थात्, 1 के हर के साथ। फिर ऊपर बताए अनुसार कार्य करें।



दशमलव के साथ संचालन

जोड़ना और घटाना

बेशक, आप दशमलव को हमेशा भिन्न में बदल सकते हैं। और पहले से बताई गई योजना के अनुसार कार्य करें। लेकिन कभी-कभी इस अनुवाद के बिना कार्य करना अधिक सुविधाजनक होता है। फिर उनके जोड़-घटाव के नियम बिल्कुल एक जैसे होंगे.

संख्या के भिन्नात्मक भाग में, अर्थात् दशमलव बिंदु के बाद, अंकों की संख्या को बराबर करें। इसमें शून्य की लुप्त संख्या जोड़ें।

भिन्नों को इस प्रकार लिखें कि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे हो।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह जोड़ें (घटाएँ)।

अल्पविराम हटाएँ.

गुणन और भाग

गौरतलब है कि आपको यहां शून्य जोड़ने की जरूरत नहीं है. भिन्नों को वैसे ही छोड़ देना चाहिए जैसे वे उदाहरण में दिए गए हैं। और फिर योजना के अनुसार चलें.

गुणा करने के लिए, आपको अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए भिन्नों को एक के नीचे एक लिखना होगा।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह गुणा करें.

उत्तर में अल्पविराम लगाएं, उत्तर के दाएँ छोर से उतने अंक गिनें जितने दोनों कारकों के भिन्नात्मक भागों में हों।

विभाजित करने के लिए, आपको पहले भाजक को बदलना होगा: इसे एक प्राकृतिक संख्या बनाना होगा। अर्थात्, भाजक के भिन्नात्मक भाग में कितने अंक हैं, इसके आधार पर इसे 10, 100 आदि से गुणा करें।

लाभांश को उसी संख्या से गुणा करें।

दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें।

अपने उत्तर में उस समय अल्पविराम लगाएं जब पूरे भाग का विभाजन समाप्त हो जाए।



यदि एक उदाहरण में दोनों प्रकार के भिन्न हों तो क्या होगा?

हाँ, गणित में अक्सर ऐसे उदाहरण मिलते हैं जिनमें आपको साधारण और दशमलव भिन्नों पर संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है। ऐसे कार्यों में दो संभावित समाधान हैं. आपको निष्पक्ष रूप से संख्याओं को तौलना होगा और इष्टतम संख्या को चुनना होगा।

पहला तरीका: साधारण दशमलवों को निरूपित करें

यदि विभाजन या अनुवाद के परिणामस्वरूप परिमित भिन्न प्राप्त होते हैं तो यह उपयुक्त है। यदि कम से कम एक संख्या आवधिक भाग देती है, तो यह तकनीक निषिद्ध है। इसलिए, भले ही आपको साधारण भिन्नों के साथ काम करना पसंद न हो, फिर भी आपको उन्हें गिनना होगा।

दूसरा तरीका: दशमलव भिन्नों को साधारण के रूप में लिखें

यदि दशमलव बिंदु के बाद के भाग में 1-2 अंक हों तो यह तकनीक सुविधाजनक हो जाती है। यदि उनमें से अधिक हैं, तो आप एक बहुत बड़े सामान्य अंश के साथ समाप्त हो सकते हैं और दशमलव अंकन कार्य को तेज और गणना करने में आसान बना देगा। इसलिए, आपको हमेशा कार्य का गंभीरता से मूल्यांकन करने और सबसे सरल समाधान विधि चुनने की आवश्यकता है।

उनका उपयोग अत्यंत व्यापक रूप से किया जाता है, और मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में, चाहे वह वैज्ञानिक और व्यावहारिक कंप्यूटिंग हो, विभिन्न उपकरणों का विकास और संचालन, आर्थिक गणना आदि हो। विभिन्न कारणों से इसे क्रियान्वित करना प्रायः आवश्यक हो जाता है दशमलव रूपांतरण, साथ ही विपरीत प्रक्रिया भी। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समान परिवर्तनअपेक्षाकृत आसानी से और कुछ नियमों और तकनीकों के अनुसार तैयार किए जाते हैं जो गणित में कई सैकड़ों वर्षों से मौजूद हैं।

दशमलव भिन्न को अभाज्य भिन्न में बदलना

दशमलव रूपांतरण"साधारण" अंश में यह काफी आसान और सरल है। ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित तकनीक का उपयोग किया जाता है: मूल संख्या के दशमलव बिंदु के दाईं ओर स्थित संख्या को नए अंश के अंश के रूप में लिया जाता है; संख्या दस को हर के रूप में उपयोग किया जाता है, संख्या के बराबर घात के लिए अंश के अंकों का. जहाँ तक शेष सम्पूर्ण भाग का प्रश्न है, वह अपरिवर्तित रहता है। यदि पूर्णांक भाग शून्य के बराबर है, तो परिवर्तन के बाद इसे छोड़ दिया जाता है।

उदाहरण 1

पचास दशमलव पच्चीस, पचास दशमलव एक के बराबर होता है और पच्चीस को एक सौ से विभाजित करने पर पचास दशमलव एक चौथाई के बराबर होता है।

भिन्न को दशमलव में बदलना

भिन्न को दशमलव में बदलनावास्तव में, इसका उलटा है दशमलव भिन्न को अभाज्य भिन्न में परिवर्तित करना. इसके कार्यान्वयन में भी कोई कठिनाई नहीं होती है और वास्तव में, यह एक काफी सरल अंकगणितीय ऑपरेशन है। के लिए भिन्न को दशमलव में बदलेंआपको कुछ नियमों के अनुसार अंश को उसके हर से विभाजित करना होगा।

उदाहरण 1

अमल करने की जरूरत है अंश रूपांतरणपाँच आठवाँ इंच दशमलव.

पाँच को आठ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है दशमलवशून्य दशमलव छह सौ पच्चीस हजारवाँ।

=

0.625

भिन्न को दशमलव में बदलने के परिणाम को पूर्णांकित करना

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि, जैसी प्रक्रिया के विपरीत दशमलव रूपांतरण, यह प्रक्रिया अक्सर अनिश्चित काल तक चल सकती है। ऐसे मामलों में वे कहते हैं कि प्रक्रिया का परिणाम भिन्न को दशमलव में परिवर्तित करनासटीक नहीं हो सकता. हालाँकि, अभ्यास से पता चलता है कि अधिकांश मामलों में, बिल्कुल सटीक परिणाम प्राप्त करने की आवश्यकता नहीं होती है। एक नियम के रूप में, विभाजन प्रक्रिया तब समाप्त होती है जब वह पहले से ही उन दशमलव अंशों के मान प्राप्त कर लेती है जो प्रत्येक विशिष्ट मामले में व्यावहारिक रुचि के होते हैं।

उदाहरण 1

आपको एक किलोग्राम वजन वाले मक्खन के टुकड़े को बराबर वजन के नौ टुकड़ों में काटने की जरूरत है। इस प्रक्रिया को करते समय, यह पता चलता है कि उनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान 1/9 किलोग्राम है। यदि सभी नियमों के अनुसार किया जाए परिवर्तनयह सामान्य अंशवी दशमलव अंश, तो यह पता चलता है कि परिणामी भागों में से प्रत्येक का द्रव्यमान शून्य पूर्णांक और एक किलोग्राम की अवधि में एक के बराबर है।

अंकगणित में दिए गए मानक नियमों के अनुसार पूर्णांकन किया जाता है: यदि "खारिज" अंकों में से पहले का मान 5 या अधिक है, तो अंतिम महत्वपूर्ण अंकों में एक की वृद्धि की जाती है। अन्यथा यह अपरिवर्तित रहता है.

उदाहरण 2

अंश परिवर्तित करेंएक आठवें से दशमलव अंश तक।

जब किसी को आठ से विभाजित किया जाता है, तो परिणाम शून्य दशमलव एक सौ पच्चीस हजारवां होता है, या पूर्णांकित - शून्य दशमलव तेरह सौवां होता है।