V. سری تغییرات، مقادیر میانگین، تنوع صفت

سری واریاسیونمجموعه ای از مقادیر عددی یک ویژگی است.

ویژگی های اصلی سری تغییرات: v - نوع، p - فراوانی وقوع آن.

انواع سری های واریاسیون:

با توجه به فراوانی وقوع انواع: ساده - نوع یک بار رخ می دهد، وزن دار - نوع دو یا چند بار رخ می دهد.

گزینه ها بر اساس مکان: رتبه بندی شده - گزینه ها به ترتیب نزولی و صعودی مرتب شده اند، بدون رتبه - گزینه ها بدون ترتیب خاصی نوشته می شوند.

با گروه بندی گزینه در گروه ها: گروه بندی شده - گزینه ها در گروه ها ترکیب می شوند، گروه بندی نشده - گزینه ها گروه بندی نمی شوند.

با گزینه های مقدار: پیوسته - گزینه ها به صورت یک عدد صحیح و یک عدد کسری، گسسته - گزینه ها به صورت عدد صحیح بیان می شوند، مختلط - گزینه ها با یک مقدار نسبی یا متوسط ​​نشان داده می شوند.

یک سری متغیر برای محاسبه مقادیر میانگین جمع آوری و ترسیم می شود.

فرم نشانه گذاری سری تغییرات:

8. مقادیر متوسط، انواع، روش محاسبه، کاربرد در مراقبت های بهداشتی

مقادیر متوسط- ویژگی کلی تعمیم دهنده ویژگی های کمی. کاربرد میانگین ها:

1. تشریح سازماندهی کار موسسات پزشکی و ارزیابی فعالیت های آنها:

الف) در پلی کلینیک: شاخص های حجم کار پزشکان، میانگین تعداد ویزیت ها، میانگین تعداد ساکنان در منطقه؛

ب) در بیمارستان: میانگین تعداد روزهای تخت در سال. میانگین مدت اقامت در بیمارستان؛

ج) در مرکز بهداشت، اپیدمیولوژی و بهداشت عمومی: میانگین مساحت (یا ظرفیت مکعب) برای هر نفر، میانگین استانداردهای تغذیه ای (پروتئین ها، چربی ها، کربوهیدرات ها، ویتامین ها، نمک های معدنی، کالری)، هنجارها و استانداردهای بهداشتی و غیره. ;

2. برای توصیف رشد فیزیکی (ویژگی های اصلی آنتروپومتریک مورفولوژیکی و عملکردی).

3. تعیین پارامترهای پزشکی و فیزیولوژیکی بدن در شرایط طبیعی و پاتولوژیک در مطالعات بالینی و تجربی.

4. در تحقیقات علمی خاص.

تفاوت بین مقادیر متوسط ​​و شاخص ها:

1. ضرایب یک ویژگی جایگزین را مشخص می کند که فقط در بخشی از تیم آماری رخ می دهد، که ممکن است اتفاق بیفتد یا نباشد.

مقادیر متوسط ​​علائم ذاتی در همه اعضای تیم را پوشش می دهد، اما به درجات مختلف (وزن، قد، روزهای درمان در بیمارستان).

2. برای اندازه گیری ویژگی های کیفی از ضرایب استفاده می شود. مقادیر متوسط ​​برای صفات کمی متفاوت است.

انواع میانگین ها:

میانگین حسابی، ویژگی های آن - انحراف معیار و خطای متوسط

حالت و میانه مد (Mo)- مربوط به ارزش صفتی است که اغلب در این جمعیت یافت می شود. میانه (من)- مقدار صفت که مقدار متوسط ​​را در این جمعیت اشغال می کند. این سری را با توجه به تعداد مشاهدات به 2 قسمت مساوی تقسیم می کند. مقدار میانگین حسابی (M)- بر خلاف حالت و میانه، بر تمام مشاهدات انجام شده متکی است، بنابراین یک مشخصه مهم برای کل توزیع است.

انواع دیگر میانگین ها که در مطالعات خاص مورد استفاده قرار می گیرند: ریشه میانگین مربع، مکعب، هارمونیک، هندسی، پیش رونده.

میانگین حسابیمیانگین سطح جامعه آماری را مشخص می کند.

برای یک سریال ساده که در آن

∑v – گزینه جمع،

n تعداد مشاهدات است.

برای یک سریال وزن دار، که در آن

∑vr مجموع حاصل از هر گزینه و فراوانی وقوع آن است

n تعداد مشاهدات است.

انحراف معیارمیانگین حسابی یا سیگما (σ) تنوع ویژگی را مشخص می کند

- برای یک ردیف ساده

Σd 2 - مجموع مجذورات تفاوت بین میانگین حسابی و هر گزینه (d = │M-V│)

n تعداد مشاهدات است

- برای سریال های وزن دار

∑d 2 p مجموع حاصل ضرب مجذور اختلاف میانگین حسابی و هر گزینه و فراوانی وقوع آن است.

n تعداد مشاهدات است.

درجه تنوع را می توان با مقدار ضریب تغییرات قضاوت کرد
. بیش از 20٪ - تنوع قوی، 10-20٪ - تنوع متوسط، کمتر از 10٪ - تنوع ضعیف.

اگر یک سیگما (M ± 1σ) به میانگین حسابی اضافه و از آن کم شود، در آن صورت با توزیع نرمال، حداقل 68.3 درصد از همه واریانت ها (مشاهدات) در این محدوده قرار خواهند گرفت که هنجار پدیده مورد مطالعه در نظر گرفته می شود. . اگر k 2 ± 2σ باشد، 95.5٪ از تمام مشاهدات در این حدود خواهد بود، و اگر k M ± 3σ، آنگاه 99.7٪ از تمام مشاهدات در این محدوده خواهد بود. بنابراین، انحراف معیار، انحراف معیار است که امکان پیش‌بینی احتمال وقوع چنین مقداری از صفت مورد مطالعه را که در محدوده‌های مشخص شده است، می‌دهد.

میانگین خطای میانگین حسابییا خطای نمایندگی برای سریال های ساده و وزن دار و بر اساس قانون لحظه ها:

.

برای محاسبه مقادیر متوسط، لازم است: همگن بودن مواد، تعداد کافی مشاهدات. اگر تعداد مشاهدات کمتر از 30 باشد، در فرمول های محاسبه σ و m از n-1 استفاده می شود.

هنگام ارزیابی نتیجه به دست آمده با اندازه خطای متوسط، از ضریب اطمینان استفاده می شود که امکان تعیین احتمال پاسخ صحیح را ممکن می کند، یعنی نشان می دهد که خطای نمونه حاصل از خطای واقعی بیشتر نخواهد بود. در نتیجه مشاهده مداوم ساخته شده است. در نتیجه، با افزایش احتمال اطمینان، عرض فاصله اطمینان افزایش می‌یابد که به نوبه خود، اطمینان قضاوت، حمایت از نتیجه به‌دست‌آمده را افزایش می‌دهد.

سری تغییرات - سری‌هایی که در آنها (به ترتیب صعودی یا نزولی) مقایسه می‌شوند. گزینه هاو مربوط به آنها فرکانس ها

واریانت ها عبارت های کمی مجزا از یک ویژگی هستند. با حروف لاتین مشخص شده است V . درک کلاسیک اصطلاح «واریانت» فرض می‌کند که هر مقدار منحصربه‌فرد یک ویژگی، بدون توجه به تعداد تکرارها، یک نوع نامیده می‌شود.

به عنوان مثال، در یک سری متغیر از شاخص های فشار خون سیستولیک که در ده بیمار اندازه گیری شد:

110, 120, 120, 130, 130, 130, 140, 140, 160, 170;

فقط 6 مقدار گزینه هستند:

110, 120, 130, 140, 160, 170.

فرکانس عددی است که نشان می دهد یک گزینه چند بار تکرار شده است. با یک حرف لاتین مشخص می شود پ . مجموع همه فرکانس ها (که البته برابر است با تعداد تمام فرکانس های مطالعه شده) به صورت n.

در مثال ما، فرکانس ها مقادیر زیر را خواهند داشت:
• برای نوع 110 فرکانس P = 1 (مقدار 110 در یک بیمار رخ می دهد)،
• برای واریانت 120 فرکانس P = 2 (مقدار 120 در دو بیمار رخ می دهد)،
• برای واریانت 130 فرکانس P = 3 (مقدار 130 در سه بیمار رخ می دهد)،
• برای واریانت 140 فرکانس P = 2 (مقدار 140 در دو بیمار رخ می دهد)،
• برای واریانت 160 فرکانس P = 1 (مقدار 160 در یک بیمار رخ می دهد)،
• برای نوع 170 فرکانس P = 1 (مقدار 170 در یک بیمار رخ می دهد)،

انواع سری های واریاسیون:

1. ساده- این یک سری است که در آن هر گزینه فقط یک بار رخ می دهد (همه فرکانس ها برابر با 1 هستند).
2. معلق- مجموعه ای که در آن یک یا چند گزینه به طور مکرر رخ می دهد.

سری تغییرات برای توصیف آرایه های بزرگی از اعداد استفاده می شود؛ در این شکل است که داده های جمع آوری شده اکثر مطالعات پزشکی در ابتدا ارائه می شود. به منظور مشخص کردن سری تغییرات، شاخص های خاصی از جمله مقادیر متوسط، شاخص های تغییرپذیری (به اصطلاح پراکندگی)، شاخص های نمایندگی داده های نمونه محاسبه می شود.

شاخص های سری تغییرات

1) میانگین حسابی یک شاخص تعمیم دهنده است که اندازه صفت مورد مطالعه را مشخص می کند. میانگین حسابی به صورت نشان داده می شود م ، رایج ترین نوع میانگین است. میانگین حسابی به عنوان نسبت مجموع مقادیر شاخص های همه واحدهای مشاهده به تعداد همه مورد بررسی محاسبه می شود. روش محاسبه میانگین حسابی برای یک سری تغییرات ساده و وزنی متفاوت است.

فرمول محاسبه میانگین حسابی ساده:

فرمول محاسبه میانگین وزنی حسابی:

M = Σ(V * P)/ n

​2) حالت - یک مقدار متوسط ​​دیگر از سری تغییرات، مربوط به بیشترین نوع تکرار شده است. یا به عبارت دیگر، این گزینه ای است که با بالاترین فرکانس مطابقت دارد. تعیین شده به عنوان مو . حالت فقط برای سری های وزنی محاسبه می شود، زیرا در سری های ساده هیچ یک از گزینه ها تکرار نمی شود و همه فرکانس ها برابر با یک هستند.

به عنوان مثال، در سری تغییرات مقادیر ضربان قلب:

80, 84, 84, 86, 86, 86, 90, 94;

مقدار حالت 86 است، زیرا این نوع 3 بار رخ می دهد، بنابراین فرکانس آن بالاترین است.

​

3) میانه - مقدار گزینه، تقسیم سری تغییرات به نصف: در هر دو طرف آن تعداد مساوی گزینه وجود دارد. میانه، و همچنین میانگین حسابی و حالت، به مقادیر میانگین اشاره دارد. تعیین شده به عنوان من

4) انحراف معیار (مترادف: انحراف معیار، انحراف سیگما، سیگما) - اندازه گیری تغییرپذیری سری تغییرات. این یک شاخص جدایی ناپذیر است که همه موارد انحراف یک نوع از میانگین را ترکیب می کند. در واقع به این سوال پاسخ می دهد: گزینه ها چقدر و چند وقت یکبار از میانگین حسابی پراکنده می شوند. با یک حرف یونانی نشان داده شده است σ ("سیگما").

هنگامی که اندازه جمعیت بیش از 30 واحد باشد، انحراف معیار با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

برای جمعیت های کوچک - 30 واحد مشاهده یا کمتر - انحراف استاندارد با استفاده از یک فرمول متفاوت محاسبه می شود:

روش گروه بندی همچنین به شما امکان اندازه گیری را می دهد تغییر(تغییرپذیری، نوسان) علائم. با تعداد نسبتاً کمی از واحدهای جمعیتی، تغییرات بر اساس یک سری واحدهای رتبه بندی شده که جمعیت را تشکیل می دهند اندازه گیری می شود. ردیف نامیده می شود رتبه بندی شده استاگر واحدها در ویژگی صعودی (نزولی) مرتب شوند.

با این حال، سری های رتبه بندی شده نسبتاً نشان دهنده زمانی هستند که یک ویژگی مقایسه ای از تغییرات مورد نیاز باشد. علاوه بر این، در بسیاری از موارد باید با مجموعات آماری متشکل از تعداد زیادی واحد سر و کار داشت که عملاً نمایش آنها در قالب یک سری خاص دشوار است. در این راستا، برای آشنایی اولیه اولیه با داده های آماری و به ویژه برای تسهیل در مطالعه تغییرات نشانه ها، معمولاً پدیده ها و فرآیندهای مورد مطالعه در گروه ها ترکیب شده و نتایج گروه بندی در قالب جداول گروهی ترسیم می شود. .

اگر در جدول گروه فقط دو ستون وجود داشته باشد - گروه ها با توجه به ویژگی انتخاب شده (گزینه ها) و تعداد گروه ها (فرکانس ها یا فرکانس ها) نامیده می شود. نزدیک توزیع

محدوده توزیع -ساده‌ترین نوع گروه‌بندی ساختاری بر اساس یک ویژگی، که در یک جدول گروهی با دو ستون حاوی انواع و فرکانس‌های ویژگی نمایش داده می‌شود. در بسیاری از موارد، با چنین گروه بندی ساختاری، i.e. با تدوین سری های توزیع، مطالعه مواد اولیه آماری آغاز می شود.

گروه بندی ساختاری در قالب یک سری توزیع می تواند به یک گروه بندی ساختاری واقعی تبدیل شود اگر گروه های انتخاب شده نه تنها با فرکانس ها، بلکه با سایر شاخص های آماری نیز مشخص شوند. هدف اصلی سری های توزیع، بررسی تنوع ویژگی ها است. تئوری سری های توزیع به طور مفصل توسط آمار ریاضی توسعه یافته است.

سری های توزیع به دو دسته تقسیم می شوند نسبتی(گروه بندی بر اساس ویژگی های اسنادی، به عنوان مثال، تقسیم جمعیت بر اساس جنس، ملیت، وضعیت تاهل و غیره) و متغیر(گروه بندی بر اساس ویژگی های کمی).

سری واریاسیونیک جدول گروهی است که شامل دو ستون است: گروه بندی واحدها بر اساس یک ویژگی کمی و تعداد واحدها در هر گروه. فواصل در سری تغییرات معمولاً مساوی و بسته تشکیل می شوند. سری تغییرات گروه بندی زیر از جمعیت روسیه از نظر میانگین درآمد نقدی سرانه است (جدول 3.10).

جدول 3.10

توزیع جمعیت روسیه بر اساس درآمد سرانه متوسط ​​در سالهای 2004-2009

گروه های جمعیت بر اساس میانگین درآمد نقدی سرانه، روبل/ماه	جمعیت در گروه، بر حسب درصد از کل
8 000,1-10 000,0
10 000,1-15 000,0
15 000,1-25 000,0
بیش از 25000.0
همه جمعیت

سری های متغیر به نوبه خود به گسسته و بازه ای تقسیم می شوند. گسستهسری‌های تنوع، انواع ویژگی‌های گسسته را ترکیب می‌کنند که در محدوده‌های باریک متفاوت هستند. نمونه ای از یک سری تغییرات گسسته، توزیع خانواده های روسی بر اساس تعداد فرزندان آنها است.

فاصلهسری های متغیر انواعی از ویژگی های پیوسته یا ویژگی های گسسته را ترکیب می کنند که در محدوده وسیعی تغییر می کنند. سری فاصله، سری متغیر توزیع جمعیت روسیه بر حسب متوسط ​​درآمد نقدی سرانه است.

سری های متغیر گسسته اغلب در عمل استفاده نمی شوند. در همین حال، تدوین آنها دشوار نیست، زیرا ترکیب گروه ها توسط انواع خاصی که ویژگی های گروه بندی مورد مطالعه در واقع دارند تعیین می شود.

سری های متغیر فاصله ای گسترده تر هستند. در جمع آوری آنها، سؤال دشواری از تعداد گروه ها و همچنین اندازه فواصل زمانی که باید ایجاد شود مطرح می شود.

اصول حل این مسئله در فصل روش شناسی ساخت گروه بندی های آماری تنظیم شده است (به بند 3.3 مراجعه کنید).

سری‌های تنوع وسیله‌ای برای جمع‌کردن یا فشرده‌سازی اطلاعات مختلف به شکل فشرده هستند؛ از آنها می‌توان برای قضاوت نسبتاً واضح در مورد ماهیت تنوع، برای مطالعه تفاوت‌های نشانه‌های پدیده‌های موجود در مجموعه مورد مطالعه استفاده کرد. اما مهم‌ترین اهمیت سری‌های متغیر این است که بر اساس آنها ویژگی‌های تعمیم‌دهنده ویژه تغییرات محاسبه می‌شود (به فصل 7 مراجعه کنید).

متغیرسری توزیع نامیده می شود که بر مبنای کمی ساخته شده است. مقادیر ویژگی های کمی در واحدهای فردی جمعیت ثابت نیست، کم و بیش با یکدیگر متفاوت است.

تغییر- نوسان، تغییرپذیری مقدار ویژگی در واحدهای جمعیت. مقادیر عددی مجزای صفت موجود در جمعیت مورد مطالعه نامیده می شود گزینه هاارزش های. ناکافی بودن مقدار متوسط ​​برای توصیف کامل جمعیت، تکمیل مقادیر متوسط ​​با شاخص هایی را ضروری می کند که ارزیابی معمولی بودن این میانگین ها را با اندازه گیری نوسان (تغییر) صفت مورد مطالعه امکان پذیر می کند.

وجود تنوع به دلیل تأثیر تعداد زیادی از عوامل در تشکیل سطح صفت است. این عوامل با نیروی نابرابر و در جهات مختلف عمل می کنند. شاخص های تنوع برای توصیف اندازه گیری تنوع صفت استفاده می شود.

وظایف مطالعه آماری تغییرات:

• 1) مطالعه ماهیت و درجه تنوع علائم در واحدهای فردی جمعیت.
• 2) تعیین نقش عوامل فردی یا گروه های آنها در تنوع ویژگی های خاص جمعیت.

در آمار، روش های خاصی برای مطالعه تغییرات، بر اساس استفاده از یک سیستم شاخص، استفاده می شود. باکه با آن تغییرات اندازه گیری می شود.

مطالعه تنوع ضروری است. اندازه گیری تغییرات هنگام انجام مشاهده نمونه، تحلیل همبستگی و واریانس و غیره ضروری است. Ermolaev O.Yu. آمار ریاضی برای روانشناسان: کتاب درسی [متن] / O.Yu. ارمولایف. - M.: انتشارات فلینت موسسه روانشناسی و اجتماعی مسکو، 2012. - 335 ص.

با توجه به درجه تنوع، می توان همگنی جمعیت، ثبات ارزش های فردی ویژگی ها و معمولی بودن میانگین را قضاوت کرد. بر اساس آنها، شاخص های نزدیکی رابطه بین علائم، شاخص هایی برای ارزیابی دقت مشاهده انتخابی ایجاد می شود.

تنوع در فضا و تنوع در زمان وجود دارد.

تنوع در فضا به عنوان نوسان مقادیر یک ویژگی در واحدهای جمعیت که قلمروهای جداگانه را نشان می دهد درک می شود. منظور از تغییر در زمان، تغییر در مقادیر ویژگی در دوره های زمانی مختلف است.

برای مطالعه تغییرات در سری توزیع، همه انواع مقادیر ویژگی ها به ترتیب صعودی یا نزولی مرتب می شوند. به این فرآیند رتبه بندی سری می گویند.

ساده ترین نشانه های تنوع هستند حداقل و حداکثر- کوچکترین و بزرگترین مقدار صفت در مجموع. تعداد تکرارهای انواع مختلف مقادیر ویژگی را فرکانس تکرار (fi) می گویند. جایگزینی فرکانس ها با فرکانس ها راحت است - wi. فرکانس - یک شاخص نسبی فرکانس، که می تواند در کسری از یک واحد یا درصد بیان شود و به شما امکان می دهد سری های تغییرات را با تعداد متفاوتی از مشاهدات مقایسه کنید. با فرمول بیان می شود:

که در آن Xmax، Xmin - مقادیر حداکثر و حداقل ویژگی در مجموع؛ n تعداد گروه هاست.

برای اندازه گیری تنوع یک صفت، از شاخص های مطلق و نسبی مختلفی استفاده می شود. شاخص های مطلق تغییرات شامل دامنه تغییرات، میانگین انحراف خطی، واریانس، انحراف استاندارد است. شاخص های نسبی نوسان شامل ضریب نوسان، انحراف خطی نسبی، ضریب تغییرات است.

نمونه ای از یافتن یک سری تغییرات

ورزش.برای این نمونه:

• الف) یک سری تغییرات را پیدا کنید.
• ب) تابع توزیع را بسازید.

شماره = 42. موارد نمونه:

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

راه حل.

• الف) ساخت یک سری تغییرات رتبه بندی شده:
  • 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
• ب) ساخت یک سری تغییرات گسسته.

بیایید تعداد گروه های سری تغییرات را با استفاده از فرمول استرجس محاسبه کنیم:

بیایید تعداد گروه ها را برابر با 7 در نظر بگیریم.

با دانستن تعداد گروه ها، مقدار فاصله را محاسبه می کنیم:

برای راحتی ساخت جدول، تعداد گروه ها را برابر با 8 می گیریم، فاصله زمانی 1 خواهد بود.

برنج. 1 حجم فروش کالا توسط فروشگاه برای مدت زمان معین

(تعریف یک سری متغیر؛ اجزای یک سری متغیر؛ سه شکل از یک سری متغیر؛ مصلحت ساختن یک سری بازه ای؛ نتایجی که می توان از سری ساخته شده به دست آورد)

سری تغییرات دنباله ای از تمام عناصر یک نمونه است که به ترتیب غیر کاهشی مرتب شده اند. همان عناصر تکرار می شود

متغیر - اینها سری هایی هستند که بر اساس کمی ساخته شده اند.

سری های توزیع متغیر از دو عنصر تشکیل شده است: انواع و فرکانس ها:

واریانت ها مقادیر عددی یک صفت کمی در سری تغییرات توزیع هستند. آنها می توانند مثبت یا منفی، مطلق یا نسبی باشند. بنابراین، هنگام گروه بندی شرکت ها بر اساس نتایج فعالیت اقتصادی، گزینه ها مثبت هستند - این سود است و اعداد منفی - این ضرر است.

فرکانس ها تعداد انواع مختلف یا هر گروه از سری تغییرات هستند، یعنی. اینها اعدادی هستند که نشان می دهند چند وقت یکبار گزینه های خاص در یک سری توزیع رخ می دهند. مجموع همه فرکانس ها حجم جمعیت نامیده می شود و با تعداد عناصر کل جمعیت تعیین می شود.

فرکانس ها فرکانس هایی هستند که به صورت مقادیر نسبی بیان می شوند (کسری از واحدها یا درصد). مجموع فرکانس ها برابر با یک یا 100 درصد است. جایگزینی فرکانس ها با فرکانس ها امکان مقایسه سری های متغیر با تعداد مشاهدات مختلف را فراهم می کند.

سه شکل از سری تغییرات وجود دارد:سری های رتبه بندی شده، سری های گسسته و سری های بازه ای.

سری رتبه بندی شده توزیع واحدهای فردی جمعیت به ترتیب صعودی یا نزولی صفت مورد مطالعه است. رتبه بندی تقسیم داده های کمی را به گروه ها آسان می کند، بلافاصله کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک ویژگی را شناسایی می کند، مقادیری را که اغلب تکرار می شوند برجسته می کند.

اشکال دیگر سری تغییرات جداول گروهی هستند که با توجه به ماهیت تغییرات در مقادیر صفت مورد مطالعه گردآوری شده‌اند. با ماهیت تنوع، علائم گسسته (ناپیوسته) و پیوسته متمایز می شوند.

سری گسسته چنین سری متغیری است که ساخت آن بر اساس نشانه هایی با تغییر ناپیوسته (نشانه های گسسته) است. مورد دوم شامل دسته تعرفه، تعداد فرزندان خانواده، تعداد کارکنان شرکت و غیره است. این علائم فقط می توانند تعداد محدودی از مقادیر مشخص را بگیرند.

یک سری تغییرات گسسته جدولی است که از دو ستون تشکیل شده است. ستون اول مقدار خاص ویژگی را نشان می دهد، و دوم - تعداد واحدهای جمعیت با مقدار خاصی از ویژگی.

اگر علامتی دارای تغییر مداوم باشد (میزان درآمد، تجربه کاری، هزینه دارایی های ثابت یک شرکت و غیره که می تواند هر مقداری را در محدوده خاصی داشته باشد)، باید یک سری تغییرات بازه ای برای این علامت ساخته شود.

جدول گروه در اینجا نیز دارای دو ستون است. اولی مقدار ویژگی را در بازه "از - به" (گزینه ها) نشان می دهد، دوم - تعداد واحدهای موجود در بازه (فرکانس).

فرکانس (تکرار تکرار) - تعداد تکرارهای یک نوع خاص از مقادیر مشخصه، نشان داده شده با fi، و مجموع فرکانس ها برابر با حجم جامعه مورد مطالعه، نشان داده شده است.

جایی که k تعداد گزینه های مقدار ویژگی است

اغلب، جدول با ستونی تکمیل می شود که در آن فرکانس های انباشته S محاسبه می شود، که نشان می دهد چند واحد از جمعیت دارای ارزش ویژگی هستند که بیشتر از این مقدار نیست.

یک سری توزیع متغیر گسسته سری‌ای است که در آن گروه‌ها بر اساس ویژگی‌ای تشکیل می‌شوند که به طور گسسته متفاوت است و فقط مقادیر صحیح را می‌گیرد.

سری تغییرات بازه‌ای توزیع مجموعه‌ای است که در آن صفت گروه‌بندی، که اساس گروه‌بندی را تشکیل می‌دهد، می‌تواند هر مقداری را در یک بازه مشخص، از جمله مقادیر کسری، بگیرد.

یک سری تغییرات بازه ای مجموعه مرتب شده ای از فواصل تغییرات مقادیر یک متغیر تصادفی با فرکانس های مربوطه یا فرکانس مقادیر کمیت است که در هر یک از آنها قرار می گیرد.

ساخت یک سری توزیع بازه‌ای، اول از همه، با تغییرات پیوسته از یک صفت، و همچنین اگر یک تغییر گسسته در یک محدوده وسیع ظاهر شود، مصلحت است. تعداد گزینه ها برای یک ویژگی گسسته بسیار زیاد است.

در حال حاضر می توان چندین نتیجه از این مجموعه گرفت. برای مثال، عنصر متوسط ​​یک سری تغییرات (میانگین) می تواند تخمینی از محتمل ترین نتیجه یک اندازه گیری باشد. اولین و آخرین عنصر سری تغییرات (یعنی حداقل و حداکثر عنصر نمونه) پراکندگی عناصر نمونه را نشان می دهد. گاهی اوقات، اگر اولین یا آخرین عنصر بسیار متفاوت از بقیه نمونه باشد، با توجه به اینکه این مقادیر در نتیجه نوعی شکست فاحش، به عنوان مثال، فناوری به دست آمده اند، از نتایج اندازه گیری حذف می شوند.