قانون توزیع یک متغیر تصادفی x داده شده است. متغیر تصادفی گسسته و تابع توزیع آن

تصادفی گسستهمتغیرها به متغیرهای تصادفی گفته می‌شوند که فقط مقادیری را می‌گیرند که از یکدیگر دور هستند و می‌توان آن‌ها را از قبل شمارش کرد.
قانون توزیع
قانون توزیع یک متغیر تصادفی رابطه ای است که بین مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات متناظر آنها رابطه برقرار می کند.
محدوده توزیع یک متغیر تصادفی گسسته فهرستی از مقادیر ممکن و احتمالات مربوط به آن است.
تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسسته تابع نامیده می شود:
,
که برای هر مقدار آرگومان x این احتمال را تعیین می کند که متغیر تصادفی X مقداری کمتر از این x بگیرد.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته
,
مقدار یک متغیر تصادفی گسسته کجاست. - احتمال پذیرش مقادیر X متغیر تصادفی.
اگر یک متغیر تصادفی مجموعه ای قابل شمارش از مقادیر ممکن را بگیرد، آنگاه:
.
انتظارات ریاضی تعداد وقوع یک رویداد در n آزمایش مستقل:
,

پراکندگی و انحراف معیار یک متغیر تصادفی گسسته
پراکندگی یک متغیر تصادفی گسسته:
یا .
واریانس تعداد وقوع یک رویداد در n کارآزمایی مستقل
,
که در آن p احتمال وقوع رویداد است.
انحراف استاندارد یک متغیر تصادفی گسسته:
.

مثال 1
قانون توزیع احتمال را برای یک متغیر تصادفی گسسته (d.r.v.) X بسازید - عدد k حداقل یک "شش" در n = 8 پرتاب یک جفت تاس. چند ضلعی توزیع را رسم کنید. مشخصه های عددی توزیع (حالت توزیع، انتظار ریاضی M(X)، واریانس D(X)، انحراف معیار s(X)) را بیابید. راه حل:بیایید نماد را معرفی کنیم: رویداد A - "در حین پرتاب یک جفت تاس، شش حداقل یک بار ظاهر شدند." برای یافتن احتمال P(A) = p رویداد A، راحت‌تر است ابتدا احتمال P(Ā) = q رویداد مقابل Ā را پیدا کنید - "هنگام پرتاب یک جفت تاس، شش تاس حتی ظاهر نشدند. یک بار".
از آنجایی که احتمال عدم نمایش "شش" هنگام پرتاب یک قالب 5/6 است، پس با قضیه ضرب احتمال
P(Ā) = q = = .
به ترتیب،
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
آزمایش‌های موجود در مسئله طبق طرح برنولی انجام می‌شود؛ بنابراین، d.r.v. اندازه ایکس- عدد کحذف حداقل یک شش در هنگام پرتاب دو تاس از قانون دوجمله ای توزیع احتمال تبعیت می کند:

که در آن = تعداد ترکیبات از nتوسط ک.

راحت است که محاسبات انجام شده برای این مشکل را در قالب یک جدول ترتیب دهید:
توزیع احتمال d.r.v. ایکس º ک (n = 8; پ = ; q = )

ک
پ.ن(ک)

چند ضلعی (چند ضلعی) توزیع احتمال یک متغیر تصادفی گسسته ایکسدر شکل نشان داده شده است:

برنج. چندضلعی توزیع احتمال d.r.v. ایکس=ک.
خط عمودی انتظارات ریاضی توزیع را نشان می دهد م(ایکس).

اجازه دهید ویژگی های عددی توزیع احتمال d.r.v را پیدا کنیم. ایکس. حالت توزیع 2 است (اینجا پ 8 (2) = 0.2932 حداکثر). انتظارات ریاضی طبق تعریف عبارتند از:
م(ایکس) = = 2,4444,
جایی که xk = کمقدار پذیرفته شده توسط d.r.v است. ایکس. پراکندگی D(ایکس) توزیع ها را با فرمول پیدا می کنیم:
D(ایکس) = = 4,8097.
انحراف استاندارد (RMS):
s( ایکس) = = 2,1931.

مثال 2
متغیر تصادفی گسسته ایکستوسط قانون توزیع ارائه شده است

تابع توزیع F(x) را پیدا کنید و آن را رسم کنید.

راه حل.اگر، پس (مشخصیت سوم).
اگر پس از آن . واقعا، ایکسمی تواند مقدار 1 را با احتمال 0.3 بگیرد.
اگر پس از آن . در واقع، اگر نابرابری را برآورده کند
، آنگاه برابر است با احتمال وقوع رویدادی که می توان آن را زمانی انجام داد ایکسمقدار 1 (احتمال این رویداد 0.3 است) یا مقدار 4 (احتمال این رویداد 0.1 است) را می گیرد. از آنجایی که این دو رویداد با هم ناسازگار هستند، پس بر اساس قضیه جمع، احتمال یک رویداد برابر است با مجموع احتمالات 0.3 + 0.1=0.4. اگر پس از آن . در واقع، واقعه مسلم است، بنابراین، احتمال آن برابر با یک است. بنابراین، تابع توزیع را می توان به صورت تحلیلی به صورت زیر نوشت:

نمودار این تابع:
اجازه دهید احتمالات مربوط به این مقادیر را پیدا کنیم. با این شرایط احتمال خرابی دستگاه ها برابر است: پس احتمالات عملیاتی شدن دستگاه ها در مدت گارانتی برابر است با:




قانون توزیع به شکل زیر است:

تعریف 2.3. یک متغیر تصادفی که با X نشان داده می شود، اگر مجموعه ای محدود یا قابل شمارش از مقادیر را بگیرد، گسسته نامیده می شود. مجموعه یک مجموعه محدود یا قابل شمارش است.

نمونه هایی از متغیرهای تصادفی گسسته را در نظر بگیرید.

1. دو سکه یکبار پرتاب می شود. تعداد نشان ها در این آزمایش یک متغیر تصادفی است ایکس. مقادیر ممکن آن 0،1،2 است، یعنی. مجموعه ای محدود است

2. تعداد تماس‌های آمبولانس در یک بازه زمانی مشخص ثبت می‌شود. مقدار تصادفی ایکس- تعداد تماس ها مقادیر احتمالی آن 0، 1، 2، 3، ... است، یعنی. =(0,1,2,3,...) یک مجموعه قابل شمارش است.

3. 25 دانش آموز در گروه هستند. در یک روز، تعداد دانش آموزانی که به کلاس ها آمده اند ثبت می شود - یک متغیر تصادفی ایکس. مقادیر ممکن آن عبارتند از: 0، 1، 2، 3، ...، 25 یعنی. =(0، 1، 2، 3، ...، 25).

اگرچه تمام 25 نفر در مثال 3 نمی توانند کلاس ها را از دست بدهند، اما متغیر تصادفی است ایکسمی تواند این مقدار را بگیرد. این بدان معنی است که مقادیر یک متغیر تصادفی احتمالات متفاوتی دارند.

یک مدل ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته را در نظر بگیرید.

اجازه دهید یک آزمایش تصادفی انجام شود که مربوط به فضای محدود یا قابل شمارش رویدادهای ابتدایی است. اجازه دهید نگاشت این فضا را بر روی مجموعه اعداد واقعی در نظر بگیریم، به عنوان مثال، ما هر رویداد ابتدایی را با یک عدد واقعی مرتبط می‌کنیم. مجموعه اعداد در این مورد می تواند متناهی یا قابل شمارش باشد، یعنی. یا

سیستم زیرمجموعه‌ها که شامل هر زیرمجموعه‌ای از جمله یک نقطه‌ای است، یک جبر از یک مجموعه عددی (به طور محدود یا قابل شمارش) را تشکیل می‌دهد.

از آنجایی که هر رویداد ابتدایی با احتمالات خاصی همراه است p i(در مورد همه متناهی)، و سپس می توانیم به هر مقدار از متغیر تصادفی یک احتمال مشخص نسبت دهیم. p i، به طوری که .

اجازه دهید ایکسیک عدد واقعی دلخواه است. مشخص کن R X (x)احتمال اینکه متغیر تصادفی است ایکسارزشی برابر با ایکس، یعنی P X (x) \u003d P (X \u003d x). سپس تابع R X (x)فقط برای آن ارزش ها می تواند مقادیر مثبت بگیرد ایکس، که به یک مجموعه محدود یا قابل شمارش تعلق دارند و برای تمام مقادیر دیگر، احتمال این مقدار P X (x)=0.

بنابراین مجموعه مقادیر - جبر را به عنوان سیستمی از هر زیر مجموعه و برای هر رویداد تعریف کرده ایم ( X=x) احتمال را مقایسه کرد برای هر، یعنی یک فضای احتمال ایجاد کرد.

به عنوان مثال، فضای رویدادهای ابتدایی آزمایشی که شامل دو بار انداختن یک سکه متقارن است از چهار رویداد ابتدایی تشکیل شده است:

هنگامی که یک سکه دو بار پرتاب شد، دو مشبک از بین رفت. هنگامی که یک سکه دو بار پرتاب شد، دو نشان بیرون افتاد.

روی اولین پرتاب سکه، یک رنده بیرون می‌افتد و روی دوم، یک نشان.

در اولین پرتاب سکه، نشان بیرون افتاد و در دومی، رنده.

اجازه دهید متغیر تصادفی ایکستعداد انصراف های شبکه است. در و مجموعه ای از مقادیر آن تعریف شده است . همه زیر مجموعه های ممکن، از جمله زیر مجموعه های یک نقطه ای، یک جبر را تشکیل می دهند، یعنی. =(Ø، (1)، (2)، (0،1)، (0،2)، (1،2)، (0،1،2)).

احتمال وقوع یک رویداد ( X=x i}, і = 1،2،3، آن را به عنوان احتمال وقوع یک رویداد که نمونه اولیه آن است تعریف می کنیم:

بنابراین، در رویدادهای ابتدایی ( X = x i) یک تابع عددی تنظیم کنید R X، بنابراین .

تعریف 2.4. قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته مجموعه ای از جفت اعداد است (xi، p i)، که x i مقادیر ممکن متغیر تصادفی است، و p i احتمالاتی است که با آن این مقادیر را می گیرد، و .

ساده ترین شکل تعیین قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته، جدولی است که مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات مربوطه را فهرست می کند:

			…		…
			…		…

به چنین جدولی سری توزیع می گویند. برای بصری بیشتر سریال توزیع، به صورت گرافیکی به تصویر کشیده شده است: روی محور اوهنقطه بگذارید x iو از آنها عمود بر طول بکشید p i. نقاط حاصل به هم متصل شده و چند ضلعی به دست می آید که یکی از اشکال قانون توزیع است (شکل 2.1).

بنابراین، برای تنظیم یک متغیر تصادفی گسسته، باید مقادیر و احتمالات مربوطه را تنظیم کنید.

مثال 2.2.هر بار که یک سکه با یک احتمال رها می شود، پذیرنده نقدی دستگاه فعال می شود آر. وقتی کار کرد، سکه ها پایین نمی آیند. اجازه دهید ایکس- تعداد سکه هایی که باید قبل از فعال شدن پذیرنده نقدی دستگاه کاهش یابد. یک سری توزیع از یک متغیر تصادفی گسسته بسازید ایکس.

راه حل.مقادیر احتمالی یک متغیر تصادفی ایکس: x 1 \u003d 1، x 2 \u003d 2، ...، x k \u003d k، ...بیایید احتمالات این مقادیر را پیدا کنیم: ص 1احتمال این است که کشو پول در اولین فرود کار کند، و p 1 = p; ص 2 -احتمال اینکه دو تلاش انجام شود. برای این کار لازم است: 1) در اولین تلاش، گیرنده پول کار نکند. 2) در تلاش دوم - کار کرد. احتمال این اتفاق است (1-r)r. به همین ترتیب و غیره، . محدوده توزیع ایکسشکل خواهد گرفت

	1	2	3	…	به	…
	آر	qp	q 2 p		q r -1 p

توجه داشته باشید که احتمالات r بهیک تصاعد هندسی با مخرج تشکیل دهید: 1–p=q, q<1, بنابراین این توزیع احتمال نامیده می شود هندسی.

اجازه دهید فرض کنیم که یک مدل ریاضی ساخته شده است آزمایش توسط یک متغیر تصادفی گسسته توصیف شده است ایکس، و محاسبه احتمالات وقوع حوادث دلخواه را در نظر بگیرید.

اجازه دهید یک رویداد دلخواه شامل مجموعه ای محدود یا قابل شمارش از مقادیر باشد x i: A= {x 1، x 2،...، x i، ...) .رویداد آرا می توان به عنوان اتحادی از رویدادهای ناسازگار به شکل : . سپس با استفاده از اصل 3 کلموگروف , ما گرفتیم

از آنجایی که احتمال وقوع حوادث را برابر با احتمال وقوع حوادثی که نمونه اولیه آنها هستند تعیین کرده ایم. این به این معنی است که احتمال هر رویداد ، ، را می توان با فرمول محاسبه کرد ، زیرا این رویداد را می توان به عنوان یک اتحاد از رویدادها نشان داد ، که در آن .

سپس تابع توزیع F(х) = Р(-<Х<х) طبق فرمول پیدا می شود. نتیجه این است که تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسسته ایکسناپیوسته است و در پرش ها افزایش می یابد، یعنی یک تابع پله ای است (شکل 2.2):

اگر مجموعه متناهی باشد، تعداد جمله های فرمول محدود است و اگر قابل شمارش باشد، تعداد عبارت ها نیز قابل شمارش است.

مثال 2.3.دستگاه فنی از دو عنصر تشکیل شده است که مستقل از یکدیگر کار می کنند. احتمال خرابی عنصر اول در زمان T 0.2 و احتمال خرابی عنصر دوم 0.1 است. مقدار تصادفی ایکس- تعداد عناصر شکست خورده در زمان T. تابع توزیع یک متغیر تصادفی را پیدا کنید و نمودار آن را بسازید.

راه حل.فضای رویدادهای ابتدایی آزمایش، که شامل بررسی قابلیت اطمینان دو عنصر از یک دستگاه فنی است، توسط چهار رویداد ابتدایی تعیین می‌شود، , , : - هر دو عنصر در نظم خوبی هستند. - عنصر اول قابل استفاده است، دومی معیوب است. - عنصر اول معیوب است، دومی قابل استفاده است. - هر دو عنصر معیوب هستند. هر یک از رویدادهای ابتدایی را می توان در قالب رویدادهای ابتدایی فضاها بیان کرد و ، جایی که – اولین عنصر قابل سرویس است. - عنصر اول از کار افتاده است. - عنصر دوم قابل استفاده است. - عنصر دوم از کار افتاده است. سپس، و از آنجایی که عناصر دستگاه فنی مستقل از یکدیگر کار می کنند، پس

8. احتمال اینکه مقادیر یک متغیر تصادفی گسسته به بازه تعلق داشته باشد چقدر است؟

ایکس; معنی اف(5)؛ احتمال اینکه متغیر تصادفی است ایکسمقادیر را از بازه دریافت می کند. یک چند ضلعی توزیع بسازید.

1. تابع توزیع F(x) یک متغیر تصادفی گسسته شناخته شده است ایکس:

قانون توزیع یک متغیر تصادفی را مشخص کنید ایکسدر قالب یک جدول

1. با توجه به قانون توزیع یک متغیر تصادفی ایکس:

ایکس	–28	–20	–12	–4
پ	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. احتمال اینکه فروشگاه دارای گواهینامه کیفیت برای طیف کامل محصولات باشد 0.7 است. کمیسیون در دسترس بودن گواهینامه ها را در چهار فروشگاه در منطقه بررسی کرد. یک قانون توزیع ایجاد کنید، انتظارات ریاضی و واریانس تعداد فروشگاه‌هایی را که در آن‌ها گواهی کیفیت در طی بررسی یافت نشد، محاسبه کنید.

1. برای تعیین میانگین زمان سوختن لامپ های الکتریکی در دسته ای از 350 جعبه یکسان، از هر جعبه یک لامپ الکتریکی برای آزمایش گرفته شد. اگر مشخص باشد که انحراف استاندارد زمان سوختن لامپ‌های الکتریکی، میانگین زمان سوختن لامپ‌های الکتریکی انتخاب‌شده را با مقدار مطلق کمتر از 7 ساعت، از پایین‌تر تخمین بزنید. در هر جعبه کمتر از 9 ساعت است.

1. در مرکز تلفن، یک اتصال نادرست با احتمال 0.002 رخ می دهد. این احتمال را پیدا کنید که از بین 500 اتصال وجود داشته باشد:

تابع توزیع یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس. توابع و . میانگین، واریانس، حالت و میانه یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید ایکس.

1. دستگاه اتوماتیک غلتک می سازد. اعتقاد بر این است که قطر آنها یک متغیر تصادفی معمولی با مقدار متوسط ​​10 میلی متر است. اگر قطر با احتمال 0.99 در محدوده 9.7 میلی متر تا 10.3 میلی متر باشد، انحراف معیار چقدر است.

نمونه A: 6 9 7 6 4 4

نمونه B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

گزینه 17.

1. از بین 35 قطعه، 7 قطعه غیر استاندارد هستند. احتمال استاندارد بودن دو قسمت انتخاب شده به صورت تصادفی را بیابید.

1. سه تاس بیندازید. این احتمال را پیدا کنید که مجموع نقاط روی صورت های افتاده مضرب 9 باشد.

1. کلمه "ADVENTURE" از کارت هایی تشکیل شده است که روی هر کدام یک حرف نوشته شده است. کارت‌ها با هم مخلوط می‌شوند و یکی یکی بدون برگشت بیرون آورده می‌شوند. این احتمال را پیدا کنید که حروف بیرون آمده به ترتیب شکل یک کلمه را تشکیل دهند: a) ADVENTURE; ب) گرفتن.

1. یک کوزه شامل 6 توپ سیاه و 5 توپ سفید است. 5 توپ به صورت تصادفی کشیده می شود. این احتمال را پیدا کنید که در بین آنها وجود دارد:
1. 2 توپ سفید؛
2. کمتر از 2 توپ سفید؛
3. حداقل یک توپ سیاه

1. آدر یک تست 0.4 است. احتمالات وقایع زیر را بیابید:
1. رویداد آ 3 بار در یک سری از 7 آزمایش مستقل ظاهر می شود.
2. رویداد آحداقل 220 و بیش از 235 بار در یک سری از 400 چالش ظاهر می شود.

1. این کارخانه 5000 محصول باکیفیت را به پایگاه ارسال کرد. احتمال آسیب دیدن هر محصول در حین حمل 0.002 است. این احتمال را پیدا کنید که بیش از 3 محصول در راه آسیب نبینند.

1. کوزه اول شامل 4 توپ سفید و 9 توپ سیاه و کوزه دوم شامل 7 توپ سفید و 3 توپ سیاه است. 3 توپ به طور تصادفی از کوزه اول و 4 توپ از کوزه دوم کشیده می شود احتمال اینکه همه توپ های کشیده شده همرنگ باشند را پیدا کنید.

1. با توجه به قانون توزیع یک متغیر تصادفی ایکس:

انتظارات و واریانس ریاضی آن را محاسبه کنید.

1. 10 مداد در جعبه وجود دارد. 4 مداد به صورت تصادفی کشیده شده است. مقدار تصادفی ایکستعداد مدادهای آبی در میان انتخاب شده است. قانون توزیع آن، گشتاورهای اولیه و مرکزی مرتبه 2 و 3 را بیابید.

1. بخش کنترل فنی 475 محصول را از نظر ایراد بررسی می کند. احتمال معیوب بودن یک محصول 0.05 است. با احتمال 0.95 مرزهایی را پیدا کنید که شامل تعداد محصولات معیوب در بین محصولات آزمایش شده است.

1. در مرکز تلفن، یک اتصال نادرست با احتمال 0.003 رخ می دهد. این احتمال را پیدا کنید که از بین 1000 اتصال وجود داشته باشد:
1. حداقل 4 اتصال نادرست؛
2. بیش از دو اتصال نادرست

1. متغیر تصادفی با تابع چگالی توزیع داده می شود:

تابع توزیع یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس. توابع و . انتظارات ریاضی، واریانس، حالت و میانه یک متغیر تصادفی X را محاسبه کنید.

1. متغیر تصادفی توسط تابع توزیع داده می شود:

1. بر اساس نمونه آوظایف زیر را حل کنید:
1. ساخت یک سری تغییرات؛

میانگین نمونه؛

واریانس نمونه

حالت و میانه؛

نمونه A: 0 0 2 2 1 4

1. محاسبه مشخصات عددی سری تغییرات:

میانگین نمونه؛

واریانس نمونه

· انحراف معیار؛

حالت و میانه؛

نمونه B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

گزینه 18.

1. از بین 10 بلیط بخت آزمایی، 2 بلیط برنده هستند. این احتمال را پیدا کنید که یکی از پنج بلیطی که به صورت تصادفی کشیده شده اند برنده باشد.

1. سه تاس بیندازید. احتمال اینکه مجموع نقاط نورد شده بیشتر از 15 باشد را پیدا کنید.

1. کلمه "PERIMETER" از کارت هایی تشکیل شده است که روی هر کدام یک حرف نوشته شده است. کارت‌ها با هم مخلوط می‌شوند و یکی یکی بدون برگشت بیرون آورده می‌شوند. احتمال اینکه حروف خارج شده از یک کلمه تشکیل شود را بیابید: الف) PERIMETER; ب) متر.

1. یک کوزه شامل 5 توپ سیاه و 7 توپ سفید است. 5 توپ به صورت تصادفی کشیده می شود. این احتمال را پیدا کنید که در بین آنها وجود دارد:
1. 4 توپ سفید؛
2. کمتر از 2 توپ سفید؛
3. حداقل یک توپ سیاه

1. احتمال وقوع یک رویداد آدر یک آزمون 0.55 است. احتمالات وقایع زیر را بیابید:
1. رویداد آ 3 بار در یک سری از 5 چالش ظاهر می شود.
2. رویداد آحداقل 130 و بیش از 200 بار در یک سری از 300 چالش ظاهر می شود.

1. احتمال نشت در قوطی کنسرو 0.0005 است. احتمال نشتی دو شیشه از 2000 شیشه را پیدا کنید.

1. کوزه اول شامل 4 توپ سفید و 8 توپ سیاه و گلدان دوم شامل 7 توپ سفید و 4 توپ سیاه است. 2 توپ به طور تصادفی از کوزه اول و 3 توپ به طور تصادفی از کوزه دوم کشیده می شود. احتمال اینکه همه توپ های کشیده شده همرنگ باشند را پیدا کنید.

1. در میان قطعات وارد شده برای مونتاژ، از دستگاه اول 0.1٪ معیوب است، از دوم - 0.2٪، از سوم - 0.25٪، از چهارم - 0.5٪. بهره وری ماشین ها بر این اساس به صورت 4:3:2:1 مرتبط است. بخشی که به صورت تصادفی گرفته شد استاندارد بود. احتمال اینکه آیتم در اولین ماشین ساخته شده است را بیابید.

1. با توجه به قانون توزیع یک متغیر تصادفی ایکس:

انتظارات و واریانس ریاضی آن را محاسبه کنید.

1. یک برقکار سه لامپ دارد که هر کدام ایراد دارد به احتمال 0.1 .. لامپ ها به پریز پیچ می شوند و جریان وصل می شود. هنگامی که جریان روشن می شود، لامپ معیوب بلافاصله می سوزد و لامپ دیگری جایگزین می شود. قانون توزیع، انتظارات ریاضی و واریانس تعداد لامپ های آزمایش شده را بیابید.

1. احتمال اصابت به هدف برای هر 900 شلیک مستقل 0.3 است. با استفاده از نابرابری چبیشف، احتمال اصابت حداقل 240 بار و حداکثر 300 بار به هدف را تخمین بزنید.

1. در مرکز تلفن، یک اتصال نادرست با احتمال 0.002 رخ می دهد. این احتمال را پیدا کنید که در بین 800 اتصال وجود داشته باشد:
1. حداقل سه اتصال نادرست؛
2. بیش از چهار اتصال نادرست

1. متغیر تصادفی با تابع چگالی توزیع داده می شود:

تابع توزیع متغیر تصادفی X را بیابید. نمودارهای توابع و . میانگین، واریانس، حالت و میانه یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید ایکس.

1. متغیر تصادفی توسط تابع توزیع داده می شود:

1. بر اساس نمونه آوظایف زیر را حل کنید:
1. ساخت یک سری تغییرات؛
2. محاسبه فرکانس های نسبی و انباشته؛
3. یک تابع توزیع تجربی بسازید و نمودار آن را بسازید.
4. محاسبه مشخصات عددی سری تغییرات:

میانگین نمونه؛

واریانس نمونه

· انحراف معیار؛

حالت و میانه؛

نمونه A: 4 7 6 3 3 4

1. برای نمونه B، مسائل زیر را حل کنید:
1. ساخت یک سری تغییرات گروهی.
2. ساخت یک هیستوگرام و یک چند ضلعی از فرکانس ها.
3. محاسبه مشخصات عددی سری تغییرات:

میانگین نمونه؛

واریانس نمونه

· انحراف معیار؛

حالت و میانه؛

نمونه B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

گزینه 19.

1. 16 زن و 5 مرد در محل کار می کنند. 3 نفر با توجه به تعداد پرسنل به صورت تصادفی انتخاب شدند. این احتمال را پیدا کنید که همه افراد انتخاب شده مرد باشند.

2. چهار سکه پرتاب می شود. احتمال اینکه فقط دو سکه دارای نشان باشند را پیدا کنید.

3. کلمه «روانشناسی» از کارتهایی تشکیل شده است که روی هر کدام یک حرف نوشته شده است. کارت‌ها با هم مخلوط می‌شوند و یکی یکی بدون برگشت بیرون آورده می‌شوند. احتمال اینکه حروف خارج شده از یک کلمه تشکیل شود را بیابید: الف) روانشناسی. ب) کارکنان.

4. یک گلدان حاوی 6 توپ سیاه و 7 توپ سفید است. 5 توپ به صورت تصادفی کشیده می شود. این احتمال را پیدا کنید که در بین آنها وجود دارد:

آ. 3 توپ سفید؛

ب کمتر از 3 توپ سفید؛

ج. حداقل یک توپ سفید

5. احتمال وقوع آدر یک تست 0.5 است. احتمالات وقایع زیر را بیابید:

آ. رویداد آ 3 بار در یک سری از 5 آزمایش مستقل ظاهر می شود.

ب رویداد آحداقل 30 و بیش از 40 بار در یک سری 50 چالش ظاهر می شود.

6. 100 دستگاه با قدرت یکسان وجود دارد که به طور مستقل از یکدیگر در یک حالت کار می کنند که درایو آنها به مدت 0.8 ساعت کاری روشن است. احتمال اینکه در هر زمان معینی بین 70 تا 86 ماشین روشن باشد چقدر است؟

7. کوزه اول شامل 4 توپ سفید و 7 گلوله سیاه و کوزه دوم شامل 8 توپ سفید و 3 توپ سیاه است. 4 توپ به طور تصادفی از کوزه اول و 1 توپ از کوزه دوم کشیده می شود. این احتمال را پیدا کنید که در بین توپ های کشیده شده فقط 4 توپ سیاه وجود دارد.

8. هر روز سه مارک خودرو در حجم به نمایندگی خودرو تحویل داده می شود: Moskvich - 40%; "Oka" - 20٪؛ "ولگا" - 40 درصد از کل خودروهای وارداتی. در بین خودروهای نام تجاری Moskvich، 0.5٪ دارای دستگاه ضد سرقت هستند، Oka - 0.01٪، Volga - 0.1٪. احتمال اینکه خودرویی که برای تست گرفته شده است دارای یک دستگاه ضد سرقت باشد را بیابید.

9. اعداد و به طور تصادفی در بخش انتخاب می شوند. احتمال اینکه این اعداد نابرابری ها را برآورده کنند را بیابید.

10. قانون توزیع یک متغیر تصادفی داده شده است ایکس:

ایکس
پ	0,1	0,2	0,3	0,4

تابع توزیع یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس; معنی اف(2)؛ احتمال اینکه متغیر تصادفی است ایکسمقادیر را از بازه دریافت خواهد کرد. یک چند ضلعی توزیع بسازید.

قانون توزیع و خصوصیات

مقادیر تصادفی

متغیرهای تصادفی، طبقه بندی آنها و روش های توصیف.

مقدار تصادفی کمیتی است که در نتیجه آزمایش می تواند یک یا مقدار دیگری را به خود بگیرد، اما کدام یک از قبل شناخته شده نیست. بنابراین، برای یک متغیر تصادفی، فقط مقادیری را می توان مشخص کرد که لزوماً در نتیجه آزمایش یکی از آنها را می گیرد. به این مقادیر به عنوان مقادیر احتمالی متغیر تصادفی اشاره خواهد شد. از آنجایی که یک متغیر تصادفی به طور کمی نتیجه تصادفی یک آزمایش را مشخص می کند، می توان آن را به عنوان یک مشخصه کمی یک رویداد تصادفی در نظر گرفت.

متغیرهای تصادفی معمولاً با حروف بزرگ الفبای لاتین، به عنوان مثال، X..Y..Z و مقادیر احتمالی آنها با حروف کوچک مربوطه نشان داده می شوند.

سه نوع متغیر تصادفی وجود دارد:

گسسته؛ مداوم؛ مختلط.

گسستهچنین متغیر تصادفی نامیده می شود که تعداد مقادیر ممکن آن مجموعه ای قابل شمارش را تشکیل می دهد. به نوبه خود، مجموعه قابل شمارش مجموعه ای است که عناصر آن قابل شماره گذاری هستند. کلمه "گسسته" از کلمه لاتین discretus گرفته شده است که به معنای "ناپیوسته، متشکل از بخش های جداگانه" است.

مثال 1. یک متغیر تصادفی گسسته تعداد قطعات معیوب X در یک دسته از nfl است. در واقع، مقادیر ممکن این متغیر تصادفی یک سری اعداد صحیح از 0 تا n است.

مثال 2. یک متغیر تصادفی گسسته تعداد شلیک های قبل از اولین ضربه به هدف است. در اینجا، مانند مثال 1، مقادیر ممکن را می توان شماره گذاری کرد، اگرچه در حالت محدود، مقدار ممکن یک عدد بی نهایت بزرگ است.

مداوممتغیر تصادفی نامیده می شود که مقادیر ممکن آن به طور مداوم یک بازه مشخص از محور عددی را پر می کند که گاهی اوقات فاصله وجود این متغیر تصادفی نامیده می شود. بنابراین، در هر بازه محدود وجود، تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی پیوسته بی نهایت زیاد است.

مثال 3. یک متغیر تصادفی پیوسته، مصرف برق در شرکت برای یک ماه است.

مثال 4. یک متغیر تصادفی پیوسته خطا در اندازه گیری ارتفاع با استفاده از ارتفاع سنج است. از اصل عملکرد ارتفاع سنج معلوم شود که خطا در محدوده 0 تا 2 متر است، بنابراین فاصله زمانی وجود این متغیر تصادفی فاصله بین 0 تا 2 متر است.

قانون توزیع متغیرهای تصادفی

یک متغیر تصادفی در صورتی کاملاً مشخص در نظر گرفته می‌شود که مقادیر ممکن آن در محور عددی نشان داده شود و قانون توزیع ایجاد شود.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی رابطه ای نامیده می شود که بین مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات مربوطه رابطه برقرار می کند.

به یک متغیر تصادفی گفته می شود که بر اساس یک قانون معین توزیع می شود یا تابع یک قانون توزیع معین است. تعدادی از احتمالات، یک تابع توزیع، یک چگالی احتمال، یک تابع مشخصه به عنوان قوانین توزیع استفاده می شود.

قانون توزیع یک توصیف احتمالی کامل از یک متغیر تصادفی را ارائه می دهد. طبق قانون توزیع، می توان قبل از تجربه قضاوت کرد که کدام مقادیر ممکن از یک متغیر تصادفی بیشتر ظاهر می شود و کدام یک کمتر.

برای یک متغیر تصادفی گسسته، قانون توزیع را می توان به صورت جدول، تحلیلی (به صورت فرمول) و گرافیکی ارائه کرد.

ساده ترین شکل تعیین قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته یک جدول (ماتریس) است که تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات مربوط به آنها را به ترتیب صعودی فهرست می کند.

به چنین جدولی مجموعه ای از توزیع یک متغیر تصادفی گسسته می گویند. 1

رویدادهای X 1 , X 2 ,..., X n شامل این واقعیت است که در نتیجه آزمون متغیر تصادفی X به ترتیب مقادیر x 1 , x 2 ,... x n را می گیرد. ، ناسازگار و تنها موارد ممکن هستند (زیرا جدول تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی را فهرست می کند)، یعنی. یک گروه کامل تشکیل دهید بنابراین، مجموع احتمالات آنها برابر با 1 است. بنابراین، برای هر متغیر تصادفی گسسته

(این واحد به نوعی بین مقادیر متغیر تصادفی توزیع می شود، از این رو اصطلاح "توزیع" نامیده می شود).

یک سری توزیع را می توان به صورت گرافیکی نمایش داد اگر مقادیر یک متغیر تصادفی در امتداد محور آبسیسا و احتمالات مربوط به آنها در امتداد محور ارتین رسم شوند. اتصال نقاط به دست آمده یک خط شکسته را تشکیل می دهد که چند ضلعی یا چندضلعی توزیع احتمال نامیده می شود (شکل 1).

مثالقرعه کشی انجام می شود: یک ماشین به ارزش 5000 den. واحد 4 تلوزیون 250 د. واحد، 5 دستگاه VCR به ارزش 200 den. واحدها در مجموع، 1000 بلیط به قیمت 7 دانه فروخته می شود. واحدها قانون توزیع برنده خالص دریافت شده توسط شرکت کننده در قرعه کشی که یک بلیط خریداری کرده است را تنظیم کنید.

راه حل. مقادیر احتمالی متغیر تصادفی X - برنده خالص هر بلیط - 0-7 = -7 den است. واحدها (اگر بلیط برنده نشد)، 200-7 = 193، 250-7 = 243، 5000-7 = 4993 den. واحدها (اگر بلیط به ترتیب برنده VCR، تلویزیون یا ماشین شود). با توجه به اینکه از 1000 بلیط تعداد غیر برنده ها 990 و برنده های مشخص شده به ترتیب 5، 4 و 1 می باشد و با استفاده از تعریف کلاسیک احتمال به دست می آوریم.

در این صفحه نمونه هایی از حل آموزشی را جمع آوری کرده ایم مشکلات روی متغیرهای تصادفی گسسته. این یک بخش نسبتاً گسترده است: قوانین توزیع مختلف (دو جمله ای، هندسی، فوق هندسی، پواسون و دیگران)، ویژگی ها و ویژگی های عددی مورد مطالعه قرار می گیرند، نمایش های گرافیکی را می توان برای هر سری توزیع ساخت: یک چند ضلعی (چند ضلعی) از احتمالات، یک تابع توزیع. .

در زیر نمونه هایی از تصمیم گیری در مورد متغیرهای تصادفی گسسته را مشاهده می کنید که در آنها لازم است دانش بخش های قبلی نظریه احتمال را برای ترسیم قانون توزیع به کار گرفته و سپس انتظارات ریاضی، واریانس، انحراف معیار را محاسبه کنید، تابع توزیع بسازید. ، به سوالات مربوط به DSV و غیره پاسخ دهید.

مثال هایی برای قوانین توزیع احتمال رایج:

ماشین حساب برای ویژگی های DSV

• محاسبه انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار DSV.

حل مشکلات مربوط به DSV

توزیع های نزدیک به هندسی

وظیفه 1.در مسیر خودرو 4 چراغ راهنمایی وجود دارد که هر کدام با احتمال 0.5 حرکت بیشتر خودرو را ممنوع می کند. تعداد توزیع تعداد چراغ های راهنمایی که قبل از اولین توقف از خودرو عبور کرده است را بیابید. انتظار و واریانس ریاضی این متغیر تصادفی چقدر است؟

وظیفه 2.شکارچی قبل از اولین ضربه به بازی شلیک می کند، اما موفق می شود بیش از چهار شلیک کند. اگر احتمال اصابت یک شلیک به هدف 0.7 باشد، قانون توزیع تعداد دفعات را بنویسید. واریانس این متغیر تصادفی را پیدا کنید.

وظیفه 3.تیرانداز با داشتن 3 فشنگ تا اولین ضربه به سمت هدف شلیک می کند. احتمال زدن شلیک اول، دوم و سوم به ترتیب 0.6، 0.5، 0.4 است. S.V. $\xi$ - تعداد کارتریج های باقی مانده. یک سری توزیع از یک متغیر تصادفی را کامپایل کنید، انتظارات ریاضی، واریانس، انحراف استاندارد r.v. را پیدا کنید، تابع توزیع r.v. را بسازید، $P(|\xi-m| \le \sigma$ را پیدا کنید.

وظیفه 4.جعبه شامل 7 قطعه استاندارد و 3 قطعه معیوب می باشد. قطعات به صورت متوالی خارج می شوند تا زمانی که نمونه استاندارد ظاهر شود، بدون برگرداندن آنها. $\xi$ - تعداد قطعات معیوب بازیابی شده.
یک قانون توزیع برای یک متغیر تصادفی گسسته $\xi$ بنویسید، انتظارات ریاضی، واریانس، انحراف معیار آن را محاسبه کنید، یک چند ضلعی توزیع و یک نمودار از تابع توزیع رسم کنید.

وظایف با رویدادهای مستقل

وظیفه 5. 3 دانش آموز به امتحان مجدد در تئوری احتمال آمدند. احتمال قبولی نفر اول در امتحان 0.8، دومی 0.7، سومی 0.9 است. سری توزیع متغیر تصادفی $\xi$ تعداد دانش آموزانی که امتحان را پس داده اند پیدا کنید، نموداری از تابع توزیع بسازید، $M(\xi)، D(\xi)$ را پیدا کنید.

وظیفه 6.احتمال اصابت به هدف با یک شلیک 0.8 است و با هر شلیک 0.1 کاهش می یابد. در صورت شلیک سه شلیک، قانون توزیع تعداد ضربه به هدف را ترسیم کنید. انتظارات ریاضی، واریانس و S.K.O را پیدا کنید. این متغیر تصادفی تابع توزیع را رسم کنید.

وظیفه 7. 4 گلوله به سمت هدف شلیک می شود. در این حالت احتمال ضربه به صورت زیر افزایش می یابد: 0.2، 0.4، 0.6، 0.7. قانون توزیع متغیر تصادفی $X$ - تعداد بازدیدها را پیدا کنید. احتمال X \ge 1$ را پیدا کنید.

وظیفه 8.دو سکه متقارن پرتاب می شود، تعداد نشان های دو طرف بالای سکه ها شمرده می شود. ما یک متغیر تصادفی گسسته $X$ را در نظر می گیریم - تعداد نشان های هر دو سکه. قانون توزیع متغیر تصادفی $X$ را بنویسید، انتظارات ریاضی آن را پیدا کنید.

سایر وظایف و قوانین توزیع DSV

وظیفه 9.دو بسکتبالیست سه شوت به سبد می زنند. احتمال ضربه زدن برای بازیکن اول بسکتبال 0.6 و برای نفر دوم - 0.7 است. اجازه دهید X$ تفاوت بین تعداد پرتاب های موفق بازیکنان اول و دوم بسکتبال باشد. سری توزیع، حالت و تابع توزیع متغیر تصادفی $X$ را بیابید. یک چند ضلعی توزیع بسازید و تابع توزیع را رسم کنید. انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار را محاسبه کنید. احتمال رویداد $(-2 \lt X \le 1)$ را بیابید.

وظیفه 10.تعداد کشتی‌های غیر مقیمی که روزانه برای بارگیری در یک بندر خاص وارد می‌شوند، مقدار تصادفی X$ است که به شرح زیر است:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
الف) مطمئن شوید که سری توزیع تنظیم شده است،
ب) تابع توزیع متغیر تصادفی $X$ را پیدا کنید،
ج) در صورت ورود بیش از سه کشتی در روز معین، بنابر نیاز به استخدام راننده و لودر اضافی، بندر مسئولیت هزینه ها را بر عهده می گیرد. احتمال اینکه بندر متحمل هزینه های اضافی شود چقدر است؟
د) انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار متغیر تصادفی $X$ را پیدا کنید.

وظیفه 11. 4 تاس بیندازید. انتظار ریاضی از مجموع تعداد نقاطی را که روی همه وجوه قرار می گیرد را بیابید.

وظیفه 12.دو بازیکن به نوبت یک سکه پرتاب می کنند تا اولین نشان رسمی ظاهر شود. بازیکنی که نشانش بیرون بیفتد 1 روبل از بازیکن دیگر دریافت می کند. انتظارات ریاضی سود هر بازیکن را بیابید.