L. 2-1 مفاهیم اساسی جبر برداری. عملیات خطی روی بردارها

تجزیه یک بردار بر حسب مبنا.

مفاهیم اساسی جبر برداری

بردار مجموعه ای از تمام قطعات جهت دار با طول و جهت یکسان است
.

خواص:

عملیات خطی بردارها

1.

قانون متوازی الاضلاع:

با امتدو بردار و بردار نامیده می شود ، از مبدأ مشترک خود خارج شده و مورب متوازی الاضلاع است که بر روی بردارها ساخته شده است و مانند طرفین

قانون چند ضلعی:

برای ساختن مجموع هر تعداد بردار، باید ابتدای بردار دوم را در پایان ترم 1، ابتدای بردار سوم را در پایان بردار دوم و غیره قرار دهید. برداری که چند خط حاصل را می بندد حاصل جمع است. آغاز آن مصادف با آغاز اول و پایان آن با پایان آخرین.

خواص:

2.

محصول برداری در هر عدد ، برداری نامیده می شود که شرایط زیر را برآورده کند:
.

خواص:

3.

تفاوتبردارها و بردار تماس برابر با مجموع بردار و بردار مقابل بردار ، یعنی
.

- قانون عنصر مقابل (بردار).

تجزیه یک بردار بر حسب مبنا

مجموع بردارها به روشی منحصر به فرد تعیین می شود
(اما تنها ). عمل معکوس، تجزیه یک بردار به چندین جزء، مبهم است: برای اینکه آن را بدون ابهام نشان دهید، باید جهت هایی را که گسترش بردار در نظر گرفته شده در آن رخ می دهد، نشان داد، یا، همانطور که می گویند، لازم است نشان داده شود. اساس.

هنگام تعیین مبنا، الزام عدم همسطح بودن و غیرهمسطح بودن بردارها ضروری است. برای درک معنای این الزام، باید مفهوم وابستگی خطی و استقلال خطی بردارها را در نظر گرفت.

بیان دلخواه شکل: , نامیده می شود ترکیب خطیبردارها
.

ترکیب خطی چند بردار نامیده می شود ناچیزاگر تمام ضرایب آن برابر با صفر باشد.

بردارها
تماس گرفت وابسته به خط، اگر یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده از این بردارها برابر با صفر باشد:
(1)، ارائه شده است
. اگر برابری (1) فقط برای همه برقرار باشد
به طور همزمان برابر با صفر، سپس بردارهای غیر صفر است
اراده مستقل خطی.

اثبات آن آسان است: هر دو بردار خطی به صورت خطی وابسته هستند و دو بردار غیر خطی مستقل هستند.

اثبات را با ادعای اول شروع می کنیم.

اجازه دهید بردارها و خطی اجازه دهید نشان دهیم که آنها به صورت خطی وابسته هستند. در واقع، اگر آنها خطی باشند، تنها با یک عامل عددی با یکدیگر تفاوت دارند، یعنی.
، از این رو
. از آنجایی که ترکیب خطی به دست آمده کاملاً بی اهمیت است و برابر با "0" است، پس بردارها و وابسته به خط

اکنون دو بردار غیر خطی را در نظر بگیرید و . اجازه دهید ثابت کنیم که آنها به صورت خطی مستقل هستند. ما برهان را با تناقض می سازیم.

ما فرض می کنیم که آنها به صورت خطی وابسته هستند. سپس باید یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده وجود داشته باشد
. بیایید وانمود کنیم که
، سپس
. برابری حاصل به این معنی است که بردارها و بر خلاف فرض اولیه ما، خطی هستند.

به همین ترتیب، می توان ثابت کرد: هر سه بردار همسطح به صورت خطی وابسته هستند و دو بردار غیرهمسطح به صورت خطی مستقل هستند..

با بازگشت به مفهوم مبنا و مسئله بسط یک بردار در یک مبنای خاص، می توان گفت که اساس در صفحه و در فضا از مجموعه ای از بردارهای مستقل خطی تشکیل شده است.چنین مفهومی از یک مبنا کلی است، زیرا برای فضایی با هر تعداد ابعاد قابل اجرا است.

عبارتی مانند:
، تجزیه بردار نامیده می شود توسط بردارها ,…,.

اگر مبنایی را در فضای سه بعدی در نظر بگیریم، تجزیه بردار اساس
اراده
، جایی که
-مختصات برداری.

در مسئله گسترش یک بردار دلخواه در برخی مبانی، عبارت زیر بسیار مهم است: هر برداررا می توان به روشی منحصر به فرد در مبنای داده شده تجزیه کرد
. به عبارت دیگر مختصات
برای هر بردار نسبت به پایه
بدون ابهام تعریف شده است.

معرفی یک پایه در فضا و در یک صفحه امکان اختصاص دادن به هر بردار را فراهم می کند سه (جفت) اعداد را مرتب کرد - مختصات آن. این نتیجه بسیار مهم که برقراری ارتباط بین اجسام هندسی و اعداد را ممکن می سازد، امکان توصیف و مطالعه تحلیلی موقعیت و حرکت اجسام فیزیکی را فراهم می کند.

ترکیب یک نقطه و یک مبنا نامیده می شود دستگاه مختصات.

اگر بردارهای تشکیل دهنده مبنا واحد و دو به دو عمود باشند، سیستم مختصات نامیده می شود. مستطیل شکل،و اساس متعارف.

L. 2-2 محصول بردارها

تجزیه یک بردار بر حسب مبنا

بردار را در نظر بگیرید
، با مختصات آن داده می شود:
.

- اجزای بردار در جهت بردارهای پایه
.

بیان فرم
تجزیه بردار نامیده می شود اساس
.

به روشی مشابه، می توان تجزیه کرد اساس
بردار
:

.

کسینوس های زوایای تشکیل شده توسط بردار در نظر گرفته شده با بردارهای پایه
تماس گرفت کسینوس جهت

;
;
.

حاصل ضرب اسکالر بردارها.

حاصل ضرب اسکالر دو بردار و عددی برابر حاصلضرب مدول های این بردارها با کسینوس زاویه بین آنها نامیده می شود

حاصل ضرب اسکالر دو بردار را می توان حاصل ضرب مدول یکی از این بردارها و پیش بینی متعامد بردار دیگر بر جهت بردار اول در نظر گرفت.
.

خواص:

اگر مختصات بردارها مشخص باشد
و
، سپس با گسترش بردارها از نظر مبنا
:
و
، پیدا کردن

، زیرا
,
، آن

.

.

شرایط عمود بردارها:
.

شرط تطبیق برای رؤسا:
.

ضرب ضربدری بردارها

یا

هنر برداری در هر بردار چنین بردار نامیده می شود
، که شرایط را برآورده می کند:

خواص:

ویژگی‌های جبری در نظر گرفته شده، یافتن یک عبارت تحلیلی برای محصول متقاطع بر حسب مختصات بردارهای تشکیل‌دهنده را به صورت متعارف ممکن می‌سازد.

داده شده:
و
.

زیرا ،
,
,
,
,
,
، آن

. این فرمول را می توان کوتاهتر، به شکل یک تعیین کننده مرتبه سوم نوشت:

.

حاصلضرب مخلوط بردارها

حاصلضرب مخلوط سه بردار ,و عددی برابر با حاصلضرب بردار نامیده می شود
، به صورت اسکالر در بردار ضرب می شود .

برابری زیر درست است:
، بنابراین محصول ترکیبی نوشته می شود
.

همانطور که از تعریف بر می آید، حاصل حاصلضرب مخلوط سه بردار یک عدد است. این عدد معنای هندسی واضحی دارد:

ماژول محصول ترکیبی
برابر با حجم متوازی الاضلاع ساخته شده روی بردارهایی است که به یک مبدأ مشترک کاهش یافته است ,و .

خواص ترکیبی محصول:

اگر بردارها ,,بر اساس ارتونورمال داده می شوند
مختصات آنها، محاسبه محصول مخلوط طبق فرمول انجام می شود

.

در واقع، اگر
، آن

;
;
، سپس
.

اگر بردارها ,,همسطح هستند، سپس حاصل ضرب برداری
عمود بر بردار . و بالعکس، اگر
، پس حجم متوازی الاضلاع صفر است و این تنها در صورتی امکان پذیر است که بردارها همسطح باشند (وابسته خطی).

بنابراین سه بردار همسطح هستند اگر و فقط اگر حاصلضرب مخلوط آنها صفر باشد.

وابستگی خطی و استقلال خطی بردارها.
اساس بردارها. سیستم مختصات افین

یک گاری با شکلات در بین مخاطبان وجود دارد و امروز هر بازدیدکننده یک زوج شیرین - هندسه تحلیلی با جبر خطی - دریافت می کند. این مقاله به طور همزمان به دو بخش از ریاضیات عالی می پردازد و خواهیم دید که چگونه آنها در یک بسته بندی کنار می آیند. استراحت کن، توئیکس بخور! ... لعنتی، خب، بحث مزخرف. اگرچه خوب است، من گل نمی زنم، اما در نهایت، باید نگرش مثبتی برای مطالعه وجود داشته باشد.

وابستگی خطی بردارها, استقلال خطی بردارها, مبنای برداریو اصطلاحات دیگر نه تنها تفسیر هندسی دارند، بلکه بیش از همه معنای جبری دارند. خود مفهوم "بردار" از دیدگاه جبر خطی از همیشه بردار "معمولی" که ما می توانیم در یک صفحه یا در فضا به تصویر بکشیم بسیار دور است. برای اثبات نیازی به جستجوی دور ندارید، سعی کنید بردار فضای پنج بعدی را ترسیم کنید . یا بردار آب و هوا، که من فقط برای آن به Gismeteo رفتم: - دما و فشار اتمسفر، به ترتیب. مثال، البته، از نقطه نظر ویژگی های فضای برداری نادرست است، اما، با این وجود، هیچ کس رسمی کردن این پارامترها را به عنوان یک بردار ممنوع نمی کند. نفس پاییزی...

نه، من شما را با تئوری خسته نمی کنم، فضاهای برداری خطی، وظیفه این است که فهمیدنتعاریف و قضایا اصطلاحات جدید (وابستگی خطی، استقلال، ترکیب خطی، مبنا و ...) برای همه بردارها از نظر جبری قابل استفاده است، اما مثال هایی به صورت هندسی ارائه خواهد شد. بنابراین، همه چیز ساده، در دسترس و بصری است. علاوه بر مسائل هندسه تحلیلی، برخی از وظایف معمول جبر را نیز در نظر خواهیم گرفت. برای تسلط بر مطالب، توصیه می شود با درس ها آشنا شوید وکتور برای آدمکو چگونه تعیین کننده را محاسبه کنیم؟

وابستگی و استقلال خطی بردارهای صفحه.
سیستم مختصات پایه و افین

صفحه میز کامپیوتر خود را در نظر بگیرید (فقط یک میز، میز کنار تخت، کف، سقف، هر چیزی که دوست دارید). وظیفه شامل اقدامات زیر خواهد بود:

1) پایه هواپیما را انتخاب کنید. به طور کلی، میز یک طول و عرض دارد، بنابراین به طور مستقیم واضح است که دو بردار برای ساختن پایه مورد نیاز است. واضح است که یک بردار کافی نیست، سه بردار زیاد است.

2) بر اساس مبنای انتخاب شده تنظیم سیستم مختصات(شبکه مختصات) برای اختصاص مختصات به همه موارد روی میز.

تعجب نکنید، در ابتدا توضیحات روی انگشتان خواهد بود. علاوه بر این، در مال شما. لطفا قرار دهید انگشت اشاره دست چپروی لبه میز به طوری که به مانیتور نگاه کند. این یک بردار خواهد بود. اکنون قرار دهید انگشت کوچک دست راستروی لبه میز به همین ترتیب - به طوری که به صفحه نمایشگر هدایت شود. این یک بردار خواهد بود. لبخند بزنید، عالی به نظر می رسید! در مورد بردارها چه می توان گفت؟ بردارهای داده خطی، که به معنی به صورت خطیاز طریق یکدیگر بیان می شود:
، خوب، یا برعکس: ، جایی که یک عدد غیر صفر است.

تصویری از این عمل را در درس مشاهده می کنید. وکتور برای آدمک، جایی که قانون ضرب بردار در عدد را توضیح دادم.

آیا انگشتان شما اساس صفحه میز کامپیوتر را تعیین می کنند؟ بدیهی است که نه. بردارهای خطی به سمت جلو و عقب حرکت می کنند تنهاجهت، در حالی که یک هواپیما دارای طول و عرض است.

چنین بردارهایی نامیده می شوند وابسته به خط.

ارجاع: کلمات "خطی"، "خطی" بیانگر این واقعیت است که در معادلات، عبارات ریاضی، مربع، مکعب، توان های دیگر، لگاریتم، سینوس و غیره وجود ندارد. فقط عبارات و وابستگی های خطی (درجه 1) وجود دارد.

دو بردار صفحه وابسته به خطاگر و فقط در صورتی که هم خط باشند.

انگشتان خود را روی میز روی میز بزنید تا هر زاویه ای بین آنها وجود داشته باشد به جز 0 یا 180 درجه. دو بردار صفحهبه صورت خطی نهوابستگی دارند اگر و فقط اگر هم خطی نباشند. بنابراین، اساس دریافت می شود. لازم نیست خجالت بکشید که پایه با بردارهای غیر عمود با طول های مختلف "مورب" است. به زودی خواهیم دید که نه تنها زاویه 90 درجه برای ساخت آن مناسب است و نه تنها بردارهای واحد با طول مساوی.

هربردار هواپیما تنها راهاز نظر پایه گسترش یافته است:
، اعداد واقعی کجا هستند. اعداد نامیده می شوند مختصات برداریدر این مبنا

این را هم می گویند برداردر فرم ارائه شده است ترکیب خطیبردارهای پایه. یعنی بیان نامیده می شود تجزیه برداریاساسیا ترکیب خطیبردارهای پایه

به عنوان مثال، می توان گفت که یک بردار در یک پایه متعامد از صفحه منبسط شده است، یا می توان گفت که به صورت ترکیبی خطی از بردارها نشان داده شده است.

فرمول بندی کنیم تعریف پایهبه طور رسمی: پایه هواپیمایک جفت بردار مستقل خطی (غیر خطی) است، ، که در آن هربردار صفحه ترکیبی خطی از بردارهای پایه است.

نکته اساسی در تعریف این واقعیت است که بردارها گرفته شده اند به ترتیب خاصی. پایه ها این دو پایه کاملا متفاوت هستند! همانطور که می گویند انگشت کوچک دست چپ را نمی توان به جای انگشت کوچک دست راست برد.

ما اساس را فهمیدیم، اما تنظیم شبکه مختصات و اختصاص مختصات به هر آیتم روی میز کامپیوتر شما کافی نیست. چرا کافی نیست؟ بردارها آزاد هستند و در کل هواپیما سرگردان هستند. پس چگونه مختصات را به آن نقاط کوچک جدول کثیف که از آخر هفته های وحشی باقی مانده اند اختصاص می دهید؟ یک نقطه شروع مورد نیاز است. و چنین نقطه مرجعی برای همه آشناست - مبدأ مختصات. آشنایی با سیستم مختصات:

من با سیستم "مدرسه" شروع می کنم. در حال حاضر در درس مقدماتی وکتور برای آدمکمن برخی از تفاوت‌های بین یک سیستم مختصات مستطیلی و یک پایه متعارف را برجسته کردم. این هم تصویر استاندارد:

هنگام صحبت در مورد سیستم مختصات مستطیلی، سپس اغلب آنها به معنای مبدا، محورهای مختصات و مقیاس در امتداد محورها هستند. سعی کنید "سیستم مختصات مستطیلی" را در موتور جستجو تایپ کنید، خواهید دید که بسیاری از منابع به شما در مورد محورهای مختصات آشنا از کلاس پنجم تا ششم و نحوه رسم نقاط در یک هواپیما به شما می گویند.

از سوی دیگر، این تصور به وجود می‌آید که یک سیستم مختصات مستطیلی را می‌توان به‌خوبی بر اساس یک پایه متعارف تعریف کرد. و تقریباً همینطور است. جمله بندی به این صورت است:

اصل و نسب، و متعارفمجموعه پایه سیستم مختصات دکارتی هواپیما . یعنی یک سیستم مختصات مستطیلی قطعابا یک نقطه و دو بردار متعامد واحد تعریف می شود. به همین دلیل است که نقشه ای را که در بالا ارائه کردم مشاهده می کنید - در مسائل هندسی، هم بردارها و هم محورهای مختصات اغلب (اما دور از همیشه) ترسیم می شوند.

من فکر می کنم همه با کمک یک نقطه (منشا) و یک مبنای متعارف می فهمند هر نقطه از هواپیما و هر بردار هواپیمامختصات را می توان اختصاص داد. به بیان تصویری، "همه چیز در هواپیما را می توان شماره گذاری کرد."

آیا بردارهای مختصات باید واحد باشند؟ نه، آنها می توانند طول دلخواه غیر صفر داشته باشند. یک نقطه و دو بردار متعامد با طول غیر صفر دلخواه را در نظر بگیرید:

چنین مبنایی نامیده می شود قائم. مبدأ مختصات با بردارها شبکه مختصات را مشخص می کند و هر نقطه از صفحه، هر بردار مختصات خود را در مبنای داده شده دارد. به عنوان مثال، یا. ناراحتی آشکار این است که بردارهای مختصات به طور کلیطول های متفاوتی غیر از وحدت دارند. اگر طول ها برابر با یک باشند، آنگاه مبنای متعارف معمولی به دست می آید.

! توجه داشته باشید : در پایه متعامد و همچنین در زیر در پایه های افین صفحه و فضا واحدهایی در امتداد محورها در نظر گرفته می شود. مشروط. به عنوان مثال، یک واحد روی آبسیسا شامل 4 سانتی‌متر، یک واحد روی مختصات حاوی 2 سانتی‌متر است. این اطلاعات برای تبدیل مختصات «غیر استاندارد» به «سانتی‌مترهای معمول ما» در صورت لزوم کافی است.

و سوال دوم که در واقع قبلاً پاسخ داده شده است - آیا زاویه بین بردارهای پایه لزوماً برابر با 90 درجه است؟ نه! همانطور که تعریف می گوید، بردارهای پایه باید باشند فقط غیر خطی. بر این اساس، زاویه می تواند هر چیزی به جز 0 و 180 درجه باشد.

نقطه ای در هواپیما به نام اصل و نسب، و غیر خطیبردارها ، تنظیم سیستم مختصات وابسته هواپیما :

گاهی اوقات این سیستم مختصات نامیده می شود مایلسیستم. نقاط و بردارها به عنوان نمونه در نقاشی نشان داده شده اند:

همانطور که می دانید، سیستم مختصات affine حتی کمتر راحت است، فرمول های طول بردارها و بخش ها که در قسمت دوم درس در نظر گرفتیم، در آن کار نمی کنند. وکتور برای آدمک، بسیاری از فرمول های خوشمزه مربوط به حاصل ضرب اسکالر بردارها. اما قوانین جمع بردارها و ضرب یک بردار در یک عدد معتبر است، فرمول های تقسیم یک بخش از این نظر و همچنین برخی از انواع دیگر مسائل که به زودی بررسی خواهیم کرد.

و نتیجه این است که راحت‌ترین حالت خاص از یک سیستم مختصات افین، سیستم مستطیلی دکارتی است. بنابراین، او، خودش، اغلب باید دیده شود. ... با این حال، همه چیز در این زندگی نسبی است - موقعیت های زیادی وجود دارد که در آنها مناسب است یک مورب (یا موارد دیگر، برای مثال، قطبی) دستگاه مختصات. بله، و انسان نماها ممکن است چنین سیستم هایی را بچشند =)

بیایید به بخش عملی آن برویم. تمام مشکلات این درس هم برای یک سیستم مختصات مستطیلی و هم برای حالت کلی آفین معتبر است. در اینجا هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد، تمام مطالب حتی برای یک دانش آموز در دسترس است.

چگونه می توان هم خطی بردارهای صفحه را تعیین کرد؟

چیز معمولی به منظور دو بردار صفحه خطی هستند، لازم و کافی است که مختصات مربوطه آنها متناسب باشداساساً، این یک اصلاح مختص به مختصات از رابطه آشکار است.

مثال 1

الف) بررسی کنید که آیا بردارها خطی هستند یا خیر .
ب) آیا بردارها مبنایی را تشکیل می دهند؟ ?

راه حل:
الف) بررسی کنید که آیا برای بردارها وجود دارد یا خیر ضریب تناسب، به طوری که برابری ها برآورده شوند:

من قطعاً در مورد نسخه "foppish" استفاده از این قانون به شما خواهم گفت که در عمل کاملاً خوب عمل می کند. ایده این است که فوراً یک نسبت ترسیم کنید و ببینید آیا درست است یا خیر:

بیایید نسبتی از نسبت مختصات مربوط به بردارها ایجاد کنیم:

کوتاه می کنیم:
بنابراین، مختصات مربوطه متناسب هستند، بنابراین،

رابطه می تواند ایجاد شود و بالعکس، این یک گزینه معادل است:

برای خودآزمایی، می توان از این واقعیت استفاده کرد که بردارهای خطی به صورت خطی از طریق یکدیگر بیان می شوند. در این مورد برابری هایی وجود دارد . اعتبار آنها را می توان به راحتی از طریق عملیات ابتدایی با بردارها بررسی کرد:

ب) دو بردار مسطح اگر خطی نباشند (مستقل خطی) پایه را تشکیل می دهند. ما بردارها را برای همخطی بودن بررسی می کنیم . بیایید یک سیستم ایجاد کنیم:

از معادله اول نتیجه می شود که از معادله دوم نتیجه می شود که یعنی سیستم ناسازگار است(بدون راه حل). بنابراین، مختصات متناظر بردارها متناسب نیستند.

نتیجه: بردارها به صورت خطی مستقل هستند و پایه را تشکیل می دهند.

نسخه ساده شده راه حل به این صورت است:

نسبت را از مختصات مربوطه بردارها بسازید :
از این رو، این بردارها به صورت خطی مستقل هستند و مبنایی را تشکیل می دهند.

معمولاً بازبینان این گزینه را رد نمی کنند، اما در مواردی که برخی مختصات برابر با صفر هستند، مشکل ایجاد می شود. مثل این: . یا مثل این: . یا مثل این: . چگونه می توان از طریق نسبت در اینجا کار کرد؟ (واقعا نمی توان بر صفر تقسیم کرد). به همین دلیل است که من راه حل ساده شده را "فوپیش" نامیدم.

پاسخ:الف) ، ب) فرم.

یک مثال خلاقانه کوچک برای یک راه حل مستقل:

مثال 2

در چه مقدار از بردارهای پارامتر خطی خواهد بود؟

در حل نمونه، پارامتر از طریق نسبت پیدا می شود.

یک روش جبری ظریف برای بررسی بردارها برای همخطی بودن وجود دارد. بیایید دانش خود را سیستماتیک کنیم و فقط آن را به عنوان نقطه پنجم اضافه کنیم:

برای دو بردار صفحه، عبارات زیر معادل هستند:

2) بردارها اساس را تشکیل می دهند.
3) بردارها خطی نیستند.

+ 5) دترمینان، متشکل از مختصات این بردارها، غیر صفر است.

به ترتیب، عبارات مقابل زیر معادل هستند:
1) بردارها به صورت خطی وابسته هستند.
2) بردارها مبنایی را تشکیل نمی دهند.
3) بردارها خطی هستند.
4) بردارها را می توان به صورت خطی از طریق یکدیگر بیان کرد.
+ 5) تعیین کننده، متشکل از مختصات این بردارها، برابر با صفر است..

من بسیار، بسیار امیدوارم که در حال حاضر شما تمام اصطلاحات و عباراتی را که با آنها مواجه شده است درک کرده باشید.

بیایید نگاهی دقیق تر به نکته جدید، پنجم بیندازیم: دو بردار صفحه خطی هستند اگر و فقط در صورتی که تعیین کننده متشکل از مختصات بردارهای داده شده برابر با صفر باشد.: البته برای استفاده از این قابلیت باید بتوانید تعیین کننده ها را پیدا کنید.

تصمیم خواهیم گرفتمثال 1 به روش دوم:

الف) تعیین کننده را که از مختصات بردارها تشکیل شده است محاسبه کنید :
، بنابراین این بردارها خطی هستند.

ب) دو بردار مسطح اگر خطی نباشند (مستقل خطی) پایه را تشکیل می دهند. اجازه دهید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردارها را محاسبه کنیم :
، از این رو بردارها به صورت خطی مستقل هستند و یک پایه را تشکیل می دهند.

پاسخ:الف) ، ب) فرم.

بسیار فشرده تر و زیباتر از راه حل با نسبت به نظر می رسد.

با کمک مواد در نظر گرفته شده، می توان نه تنها همخطی بردارها را تعیین کرد، بلکه موازی بودن قطعات، خطوط مستقیم را نیز اثبات کرد. چند مشکل با اشکال هندسی خاص را در نظر بگیرید.

مثال 3

رئوس یک چهارضلعی داده شده است. ثابت کنید که چهارضلعی متوازی الاضلاع است.

اثبات: نیازی به ایجاد نقشه در مسئله نیست، زیرا راه حل صرفاً تحلیلی خواهد بود. تعریف متوازی الاضلاع را به خاطر بسپار:
متوازی الاضلاع چهار ضلعی نامیده می شود که در آن اضلاع مقابل به صورت جفتی موازی هستند.

بنابراین لازم است ثابت شود:
1) موازی بودن اضلاع مقابل و;
2) توازی اضلاع مقابل و .

ما ثابت می کنیم:

1) بردارها را بیابید:

2) بردارها را بیابید:

نتیجه همان بردار است ("طبق مدرسه" - بردارهای برابر). خطی بودن کاملاً واضح است، اما بهتر است با چیدمان درست تصمیم بگیرید. تعیین کننده را که از مختصات بردارها تشکیل شده است محاسبه کنید:
، بنابراین این بردارها خطی هستند و .

نتیجه: اضلاع مقابل یک چهار ضلعی به صورت جفتی موازی هستند، بنابراین طبق تعریف متوازی الاضلاع است. Q.E.D.

ارقام خوب و متفاوت تر:

مثال 4

رئوس یک چهارضلعی داده شده است. ثابت کنید که چهارضلعی ذوزنقه است.

برای فرمول دقیق تر اثبات، البته بهتر است که تعریف ذوزنقه را بدست آوریم، اما کافی است فقط به یاد بیاوریم که چگونه به نظر می رسد.

این یک وظیفه برای تصمیم گیری مستقل است. راه حل کامل در پایان درس.

و اکنون زمان آن رسیده است که به آرامی از هواپیما به فضا حرکت کنیم:

چگونه می توان هم خطی بردارهای فضایی را تعیین کرد؟

قانون بسیار شبیه است. برای هم خطی بودن دو بردار فضایی لازم و کافی است که مختصات متناظر آنها متناسب با.

مثال 5

دریابید که آیا بردارهای فضای زیر هم خط هستند:

آ) ؛
ب)
V)

راه حل:
الف) بررسی کنید که آیا ضریب تناسبی برای مختصات مربوط به بردارها وجود دارد یا خیر:

سیستم هیچ راه حلی ندارد، به این معنی که بردارها خطی نیستند.

"ساده شده" با بررسی نسبت ساخته می شود. در این مورد:
- مختصات مربوطه متناسب نیستند، به این معنی که بردارها هم خط نیستند.

پاسخ:بردارها خطی نیستند.

ب-ج) اینها نکاتی برای تصمیم گیری مستقل هستند. از دو طریق آن را امتحان کنید.

روشی برای بررسی بردارهای فضایی برای همخطی بودن وجود دارد و از طریق یک تعیین کننده مرتبه سوم، این روش در مقاله پوشش داده شده است. ضرب ضربدری بردارها.

همانند حالت صفحه، از ابزارهای در نظر گرفته شده می توان برای مطالعه موازی قطعات و خطوط فضایی استفاده کرد.

به بخش دوم خوش آمدید:

وابستگی خطی و استقلال بردارهای فضایی سه بعدی.
مبانی فضایی و سیستم مختصات وابسته

بسیاری از نظم هایی که در هواپیما در نظر گرفته ایم برای فضا نیز معتبر خواهد بود. من سعی کردم خلاصه نظریه را به حداقل برسانم، زیرا سهم شیر از اطلاعات قبلاً جویده شده است. با این وجود، توصیه می کنم که قسمت مقدماتی را با دقت مطالعه کنید، زیرا اصطلاحات و مفاهیم جدیدی ظاهر می شوند.

حال به جای صفحه میز کامپیوتر، فضای سه بعدی را بررسی می کنیم. ابتدا بیایید پایه آن را ایجاد کنیم. کسی اکنون در داخل خانه است، کسی در خارج از منزل است، اما در هر صورت، ما نمی توانیم از سه بعد فاصله بگیریم: عرض، طول و ارتفاع. بنابراین، سه بردار فضایی برای ساخت پایه مورد نیاز است. یک یا دو بردار کافی نیست، چهارمی اضافی است.

و دوباره روی انگشتان گرم می شویم. لطفا دست خود را بالا ببرید و در جهات مختلف دراز کنید انگشت شست، اشاره و وسط. این ها بردار خواهند بود، در جهت های مختلف نگاه می کنند، طول های متفاوتی دارند و زوایای متفاوتی بین خود دارند. تبریک می گوییم، اساس فضای سه بعدی آماده است! به هر حال، لازم نیست این را به معلمان نشان دهید، مهم نیست که چگونه انگشتان خود را بچرخانید، اما نمی توانید از تعاریف دور شوید =)

در ادامه یک سوال مهم می پرسیم، آیا هر سه بردار اساس یک فضای سه بعدی را تشکیل می دهند? لطفا سه انگشت خود را محکم روی میز کامپیوتر فشار دهید. چی شد؟ سه بردار در یک صفحه قرار دارند و تقریباً یکی از اندازه‌گیری‌ها - ارتفاع را از دست داده‌ایم. چنین بردارهایی هستند هم صفحهو کاملا بدیهی است که اساس فضای سه بعدی ایجاد نشده است.

لازم به ذکر است که بردارهای همسطح لزومی ندارد که در یک صفحه قرار بگیرند، آنها می توانند در صفحات موازی باشند (فقط این کار را با انگشتان خود انجام ندهید، فقط سالوادور دالی به این شکل خارج شد =)).

تعریف: بردارها نامیده می شوند هم صفحهاگر صفحه ای وجود داشته باشد که با آن موازی باشند. در اینجا منطقی است که اضافه کنیم که اگر چنین صفحه ای وجود نداشته باشد، بردارها همسطح نخواهند بود.

سه بردار همسطح همیشه به صورت خطی وابسته هستند، یعنی به صورت خطی از طریق یکدیگر بیان می شوند. برای سادگی، دوباره تصور کنید که آنها در یک صفحه قرار دارند. اولا، بردارها نه تنها همسطح هستند، بلکه می توانند هم خط باشند، سپس هر بردار را می توان از طریق هر بردار بیان کرد. در حالت دوم، اگر برای مثال، بردارها هم خط نباشند، بردار سوم از طریق آنها به روشی منحصر به فرد بیان می شود: (و چرا از مطالب بخش قبل به راحتی می توان حدس زد).

عکس آن نیز صادق است: سه بردار غیرهمسطح همیشه به صورت خطی مستقل هستند، یعنی به هیچ وجه از طریق یکدیگر بیان نمی شوند. و بدیهی است که تنها چنین بردارهایی می توانند اساس یک فضای سه بعدی را تشکیل دهند.

تعریف: اساس فضای سه بعدیسه بردار مستقل خطی (غیر همسطح) نامیده می شود، به ترتیب خاصی گرفته شده است، در حالی که هر بردار از فضا تنها راهدر مبنای داده شده گسترش می یابد، که در آن مختصات بردار در مبنای داده شده است

به عنوان یادآوری، همچنین می توانید بگویید که یک بردار به صورت نمایش داده می شود ترکیب خطیبردارهای پایه

مفهوم یک سیستم مختصات دقیقاً به همان شکلی که برای حالت صفحه معرفی شده است، یک نقطه و هر سه بردار مستقل خطی کافی است:

اصل و نسب، و غیر همسطحبردارها به ترتیب خاصی گرفته شده است، تنظیم سیستم مختصات وابسته فضای سه بعدی :

البته، شبکه مختصات "مورب" و ناخوشایند است، اما، با این وجود، سیستم مختصات ساخته شده به ما اجازه می دهد تا قطعامختصات هر بردار و مختصات هر نقطه در فضا را تعیین کنید. مشابه هواپیما، در سیستم مختصات افین فضا، برخی از فرمول هایی که قبلا ذکر کردم کار نمی کنند.

همانطور که همه می توانند حدس بزنند، آشناترین و راحت ترین مورد خاص یک سیستم مختصات افین است سیستم مختصات فضایی مستطیلی:

نقطه ای در فضا نامیده می شود اصل و نسب، و متعارفمجموعه پایه سیستم مختصات دکارتی فضا . عکس آشنا:

قبل از انجام کارهای عملی، دوباره اطلاعات را سیستماتیک می کنیم:

برای سه بردار فضایی، عبارات زیر معادل هستند:
1) بردارها به صورت خطی مستقل هستند.
2) بردارها اساس را تشکیل می دهند.
3) بردارها همسطح نیستند.
4) بردارها را نمی توان به صورت خطی از طریق یکدیگر بیان کرد.
5) تعیین کننده، متشکل از مختصات این بردارها، با صفر متفاوت است.

به نظر من اظهارات مخالف قابل درک است.

وابستگی خطی / استقلال بردارهای فضا به طور سنتی با استفاده از تعیین کننده بررسی می شود (مورد 5). کارهای عملی باقیمانده ماهیت جبری مشخصی خواهند داشت. وقت آن است که یک چوب هندسی را به میخ آویزان کنید و چوب بیسبال جبر خطی را به کار بگیرید:

سه بردار فضاییهمسطح هستند اگر و فقط در صورتی که تعیین کننده متشکل از مختصات بردارهای داده شده برابر با صفر باشد: .

توجه شما را به یک نکته ظریف فنی کوچک جلب می کنم: مختصات بردارها را می توان نه تنها در ستون ها، بلکه در ردیف ها نیز نوشت (مقدار تعیین کننده از این تغییر نخواهد کرد - به ویژگی های تعیین کننده ها مراجعه کنید). اما در ستون ها بسیار بهتر است، زیرا برای حل برخی از مشکلات عملی مفیدتر است.

برای آن دسته از خوانندگانی که روش‌های محاسبه تعیین‌کننده‌ها را کمی فراموش کرده‌اند، یا شاید اصلاً جهت‌گیری ضعیفی داشته باشند، یکی از قدیمی‌ترین درس‌های خود را توصیه می‌کنم: چگونه تعیین کننده را محاسبه کنیم؟

مثال 6

بررسی کنید که آیا بردارهای زیر اساس یک فضای سه بعدی را تشکیل می دهند:

راه حل: در واقع کل راه حل به محاسبه دترمینان می رسد.

الف) تعیین کننده را که از مختصات بردارها تشکیل شده است محاسبه کنید (تعیین کننده در خط اول بسط می یابد):

یعنی بردارها به صورت خطی مستقل هستند (همسطح نیستند) و اساس یک فضای سه بعدی را تشکیل می دهند.

پاسخ: این بردارها اساس را تشکیل می دهند

ب) این نقطه ای برای تصمیم گیری مستقل است. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

همچنین وظایف خلاقانه وجود دارد:

مثال 7

در چه مقدار از پارامتر بردارها همسطح خواهند بود؟

راه حل: بردارها همسطح هستند اگر و فقط در صورتی که تعیین کننده متشکل از مختصات بردارهای داده شده برابر با صفر باشد:

در اصل، حل یک معادله با یک دترمینال مورد نیاز است. ما مانند بادبادک ها در جربوآها به صفرها پرواز می کنیم - سودآورترین آن است که تعیین کننده را در خط دوم باز کنیم و فوراً از شر معایب خلاص شویم:

ما ساده سازی های بیشتری انجام می دهیم و ماده را به ساده ترین معادله خطی کاهش می دهیم:

پاسخ: در

بررسی اینجا آسان است، برای این کار باید مقدار حاصل را با تعیین کننده اصلی جایگزین کنید و مطمئن شوید که با بازگشایی آن

در خاتمه، بیایید یک مسئله معمولی دیگر را در نظر بگیریم که بیشتر ماهیت جبری دارد و به طور سنتی در درس جبر خطی گنجانده شده است. آنقدر رایج است که سزاوار یک موضوع جداگانه است:

ثابت کنید که 3 بردار اساس یک فضای سه بعدی را تشکیل می دهند
و مختصات بردار 4 را در مبنای داده شده بیابید

مثال 8

بردارها داده شده است. نشان دهید که بردارها اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند و مختصات بردار را در این مبنا پیدا کنید.

راه حل: اول به شرط بپردازیم. بر اساس شرط، چهار بردار داده شده است، و همانطور که می بینید، آنها قبلاً مختصاتی دارند. اساس چیست - ما علاقه ای نداریم. و نکته زیر جالب است: سه بردار ممکن است پایه جدیدی را تشکیل دهند. و مرحله اول کاملاً مشابه جواب مثال 6 است، باید بررسی شود که آیا بردارها واقعاً مستقل خطی هستند یا خیر:

تعیین کننده را که از مختصات بردارها تشکیل شده است محاسبه کنید:

، از این رو بردارها به صورت خطی مستقل هستند و اساس یک فضای سه بعدی را تشکیل می دهند.

! مهم : مختصات برداری لزومابنویس به ستون هاتعیین کننده، نه رشته ها. در غیر این صورت، در الگوریتم حل بعدی سردرگمی وجود خواهد داشت.