متغیر تصادفی با توزیع داده می شود. متغیرهای تصادفی گسسته

بر خلاف یک متغیر تصادفی گسسته، متغیرهای تصادفی پیوسته را نمی توان در قالب جدول قانون توزیع آن مشخص کرد، زیرا فهرست کردن و نوشتن تمام مقادیر آن در یک دنباله خاص غیرممکن است. یکی از راه های ممکن برای تعریف متغیر تصادفی پیوسته استفاده از تابع توزیع است.

تعریف. تابع توزیع تابعی است که احتمال اینکه یک متغیر تصادفی مقداری را که روی محور واقعی توسط نقطه ای در سمت چپ نقطه x به تصویر کشیده می شود را تعیین می کند.

گاهی به جای عبارت «تابع توزیع» از عبارت «عملکرد انتگرال» استفاده می شود.

ویژگی های تابع توزیع:

1. مقدار تابع توزیع متعلق به بخش: 0F(x)1 است
2. F(x) یک تابع غیر کاهشی است، یعنی. F(x2)F(x1) اگر x 2 >x 1

نتیجه 1. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی مقدار موجود در بازه (a,b) را بگیرد برابر است با افزایش تابع توزیع در این بازه:

P(aX

مثال 9. یک متغیر تصادفی X توسط یک تابع توزیع داده می شود:

این احتمال را پیدا کنید که در نتیجه آزمایش، X مقداری متعلق به بازه (0؛ 2) بگیرد: P(0

راه حل: از آنجایی که در بازه (0;2) با شرط، F(x)=x/4+1/4، سپس F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. بنابراین P(0

نتیجه 2. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته X یک مقدار معین بگیرد برابر با صفر است.

نتیجه 3. اگر مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی متعلق به بازه (a;b) باشد، آنگاه: 1) F(x)=0 برای xa; 2) F(x)=1 برای xb.
روابط حد زیر معتبر است:

نمودار تابع توزیع در نواری قرار دارد که با خطوط مستقیم y=0، y=1 محدود شده است (اولین ویژگی). با افزایش x در بازه (a;b)، که شامل تمام مقادیر ممکن متغیر تصادفی است، نمودار "بالا می رود". برای xa، مختصات نمودار برابر با صفر است. در xb، مختصات نمودار برابر با یک است:

تصویر 1

مثال 10. یک متغیر تصادفی گسسته X توسط جدول توزیع داده می شود:

ایکس	1	4	8
پ	0.3	0.1	0.6

تابع توزیع را پیدا کنید و نمودار آن را بسازید.
راه حل: تابع توزیع را می توان به صورت تحلیلی به صورت زیر نوشت:

شکل 2

تعریف: چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته X تابع f (x) است - اولین مشتق تابع توزیع F (x): f (x) \u003d F "(x)

از این تعریف برمی‌آید که تابع توزیع ضد مشتق چگالی توزیع است.

قضیه. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته X مقداری متعلق به بازه (a; b) بگیرد برابر با انتگرال معینی از چگالی توزیع است که در محدوده a تا b گرفته شده است:

(8)

خواص چگالی احتمال:

1. چگالی احتمال یک تابع غیر منفی است: f(x)0.
2. انتگرال معین از -∞ تا +∞ چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته برابر است با 1: f(x)dx=1.
3. انتگرال معین از -∞ تا x چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته برابر است با تابع توزیع این متغیر: f(x)dx=F(x)

مثال 11. با توجه به چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی X

این احتمال را پیدا کنید که در نتیجه آزمایش، X مقداری متعلق به بازه (0.5؛ 1) بگیرد.

راه حل: احتمال مطلوب:

اجازه دهید تعریف ویژگی های عددی کمیت های گسسته را به کمیت های پیوسته گسترش دهیم. اجازه دهید یک متغیر تصادفی پیوسته X با چگالی توزیع f(x) داده شود.

تعریف. انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی پیوسته X، که مقادیر ممکن آن متعلق به بخش است، انتگرال معین نامیده می شود:

M(x)=xf(x)dx (9)

اگر مقادیر ممکن به کل محور x تعلق دارند، پس:

M(x)=xf(x)dx (10)

حالت M 0 (X) یک متغیر تصادفی پیوسته X مقدار ممکن آن است که با حداکثر محلی چگالی توزیع مطابقت دارد.

میانه M e (X) یک متغیر تصادفی پیوسته X مقدار ممکن آن است که با برابری تعیین می شود:

P(X e (X))=P(X>M e (X))

تعریف. پراکندگی یک متغیر تصادفی پیوسته، انتظار ریاضی مربع انحراف آن است. اگر مقادیر ممکن X متعلق به بخش باشد، آنگاه:

D(x)=2 f(x)dx (11)
یا
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

اگر مقادیر ممکن به کل محور x تعلق دارند، پس.

متغیر تصادفیمتغیری نامیده می شود که در نتیجه هر آزمون، بسته به دلایل تصادفی، یک مقدار ناشناخته قبلی را به خود می گیرد. متغیرهای تصادفی با حروف بزرگ لاتین نشان داده می شوند: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ براساس نوع آنها، متغیرهای تصادفی می توانند گسستهو مداوم.

متغیر تصادفی گسسته- این یک متغیر تصادفی است که مقادیر آن نمی تواند بیش از قابل شمارش باشد، یعنی محدود یا قابل شمارش. شمارش پذیری به این معنی است که مقادیر یک متغیر تصادفی قابل شمارش است.

مثال 1 . اجازه دهید مثال هایی از متغیرهای تصادفی گسسته را بیاوریم:

الف) تعداد ضربه به هدف با شلیک $n$، در اینجا مقادیر ممکن $0،\ 1،\ \dots،\ n$ هستند.

ب) تعداد نشان هایی که هنگام پرتاب سکه افتادند، در اینجا مقادیر ممکن $0,\ 1,\ \dots,\ n$ هستند.

ج) تعداد کشتی هایی که وارد کشتی شده اند (مجموعه ای از مقادیر قابل شمارش).

د) تعداد تماس هایی که به صرافی می رسد (مجموعه ای از مقادیر قابل شمارش).

1. قانون توزیع احتمال یک متغیر تصادفی گسسته.

یک متغیر تصادفی گسسته $X$ می‌تواند مقادیر $x_1,\dots,\ x_n$ را با احتمالات $p\left(x_1\right),\\dots,\ p\left(x_n\right)$ بگیرد. مطابقت بین این مقادیر و احتمالات آنها نامیده می شود قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته. به عنوان یک قاعده، این مکاتبات با استفاده از جدولی مشخص می شود که در خط اول آن مقادیر $x_1،\dots،\ x_n$ نشان داده شده است و در خط دوم احتمالات مربوط به این مقادیر $ است. p_1،\dots،\ p_n$.

$\begin(آرایه)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(آرایه)$

مثال 2 . اجازه دهید متغیر تصادفی $X$ تعداد نقاط پرتاب شده در هنگام ریختن تاس باشد. چنین متغیر تصادفی $X$ می تواند مقادیر زیر را بگیرد: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. احتمالات همه این مقادیر برابر با 1/6 دلار است. سپس قانون توزیع احتمال برای متغیر تصادفی $X$:

$\begin(آرایه)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(آرایه)$

اظهار نظر. از آنجایی که رویدادهای $1,\ 2,\\dots,\ 6$ یک گروه کامل از رویدادها را در قانون توزیع متغیر تصادفی گسسته $X$ تشکیل می‌دهند، مجموع احتمالات باید برابر با یک باشد، یعنی $\sum( p_i) = 1 دلار.

2. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفیمقدار "مرکزی" آن را مشخص می کند. برای یک متغیر تصادفی گسسته، انتظار ریاضی به عنوان مجموع حاصل از مقادیر $x_1،\dots،\ x_n$ و احتمالات $p_1،\dots،\ p_n$ مربوط به این مقادیر محاسبه می‌شود، به عنوان مثال: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. در ادبیات انگلیسی از علامت دیگری $E\left(X\right)$ استفاده می شود.

ویژگی های انتظار$M\چپ(X\راست)$:

1. $M\left(X\right)$ بین کوچکترین و بزرگترین مقادیر متغیر تصادفی $X$ است.
2. انتظار ریاضی از یک ثابت برابر است با خود ثابت، یعنی. $M\left(C\right)=C$.
3. عامل ثابت را می توان از علامت انتظار خارج کرد: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. انتظار ریاضی از مجموع متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع انتظارات ریاضی آنها: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. انتظارات ریاضی حاصلضرب متغیرهای تصادفی مستقل برابر است با حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

مثال 3 . بیایید انتظار ریاضی متغیر تصادفی $X$ را از مثال $2$ پیدا کنیم.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\over (6))=3.5.$$

می توانیم متوجه شویم که $M\left(X\right)$ بین کوچکترین ($1$) و بزرگترین ($6$) مقادیر متغیر تصادفی $X$ قرار دارد.

مثال 4 . مشخص است که انتظار ریاضی متغیر تصادفی $X$ برابر است با $M\left(X\right)=2$. انتظارات ریاضی متغیر تصادفی $3X+5$ را بیابید.

با استفاده از ویژگی های بالا، $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ دریافت می کنیم. cdot 2 +5=11$.

مثال 5 . مشخص است که انتظار ریاضی متغیر تصادفی $X$ برابر است با $M\left(X\right)=4$. انتظارات ریاضی متغیر تصادفی $2X-9$ را پیدا کنید.

با استفاده از ویژگی های بالا، $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ دریافت می کنیم. cdot 4 -9=-1$.

3. پراکندگی یک متغیر تصادفی گسسته.

مقادیر احتمالی متغیرهای تصادفی با انتظارات ریاضی برابر می توانند به طور متفاوتی در اطراف مقادیر متوسط ​​آنها پراکنده شوند. به عنوان مثال، در دو گروه دانش آموزی، میانگین نمره امتحان در تئوری احتمالات 4 بود، اما در یک گروه همه دانش آموزان خوبی بودند و در گروه دیگر - فقط دانش آموزان C و دانش آموزان ممتاز. بنابراین، نیاز به چنین مشخصه عددی یک متغیر تصادفی وجود دارد که گستردگی مقادیر یک متغیر تصادفی را حول انتظارات ریاضی آن نشان دهد. این ویژگی پراکندگی است.

پراکندگی یک متغیر تصادفی گسسته X$ است:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

در ادبیات انگلیسی از علامت $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ استفاده می شود. اغلب واریانس $D\left(X\right)$ با فرمول $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) محاسبه می شود چپ(X \راست)\راست))^2$.

خواص پراکندگی$D\چپ(X\راست)$:

1. پراکندگی همیشه بزرگتر یا مساوی صفر است، یعنی. $D\left(X\راست)\ge 0$.
2. پراکندگی از یک ثابت برابر با صفر است، یعنی. $D\left(C\right)=0$.
3. ضریب ثابت را می توان از علامت پراکندگی خارج کرد، مشروط بر اینکه مربع باشد، یعنی. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. واریانس مجموع متغیرهای تصادفی مستقل برابر است با مجموع واریانس آنها، یعنی. $D\left(X+Y\right)=D\چپ(X\راست)+D\چپ(Y\راست)$.
5. واریانس تفاوت متغیرهای تصادفی مستقل برابر است با مجموع واریانس آنها، یعنی. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

مثال 6 . اجازه دهید واریانس متغیر تصادفی $X$ را از مثال $2$ محاسبه کنیم.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\راست))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\راست))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\راست))^2=((35)\over (12))\تقریبا 2.92.$$

مثال 7 . مشخص است که واریانس متغیر تصادفی $X$ برابر است با $D\left(X\right)=2$. واریانس متغیر تصادفی $4X+1$ را پیدا کنید.

با استفاده از ویژگی های بالا، $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= را پیدا می کنیم 16D\ چپ(X\راست)=16\cdot 2=32$.

مثال 8 . مشخص است که واریانس $X$ برابر است با $D\left(X\right)=3$. واریانس متغیر تصادفی $3-2X$ را پیدا کنید.

با استفاده از ویژگی های بالا، $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= را پیدا می کنیم 4D\ چپ(X\راست)=4\cdot 3=12$.

4. تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسسته.

روش نمایش یک متغیر تصادفی گسسته در قالب یک سری توزیع، تنها روش نیست و مهمتر از همه، جهانی نیست، زیرا یک متغیر تصادفی پیوسته را نمی توان با استفاده از یک سری توزیع مشخص کرد. راه دیگری برای نشان دادن یک متغیر تصادفی وجود دارد - تابع توزیع.

تابع توزیعمتغیر تصادفی $X$ یک تابع $F\left(x\right)$ است که احتمال اینکه متغیر تصادفی $X$ مقداری کمتر از مقدار ثابت $x$، یعنی $F\left(x\) را تعیین می کند. راست)$ )=P\چپ(X< x\right)$

ویژگی های تابع توزیع:

1. $0\le F\چپ(x\راست)\le 1$.
2. احتمال اینکه متغیر تصادفی $X$ مقادیری را از بازه $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ بگیرد برابر است با تفاوت بین مقادیر تابع توزیع در انتهای این بازه : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - بدون کاهش.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x \right)=1\ )$.

مثال 9 . اجازه دهید تابع توزیع $F\left(x\right)$ را برای قانون توزیع متغیر تصادفی گسسته $X$ از مثال $2$ پیدا کنیم.

$\begin(آرایه)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(آرایه)$

اگر $x\le 1$، پس واضح است که $F\left(x\right)=0$ (شامل $x=1$$F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

اگر 1 دلار< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

اگر 2 دلار< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

اگر 3 دلار< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

اگر 4 دلار< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

اگر 5 دلار< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

اگر $x > 6$، آنگاه $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\راست) + P\left(X=4\راست)+P\left(X=5\راست)+P\چپ(X=6\راست)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

بنابراین $F(x)=\left\(\begin(ماتریس)
0،\ در\ x\le 1،\\
1/6، در \ 1< x\le 2,\\
1/3،\ در\ 2< x\le 3,\\
1/2، در \ 3< x\le 4,\\
2/3،\ در\ 4< x\le 5,\\
5/6، \ در \ 4< x\le 5,\\
1،\ برای \ x > 6.
\end(ماتریس)\right.$

4. چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته

یک متغیر تصادفی پیوسته را می توان با استفاده از تابع توزیع مشخص کرد اف(ایکس) . این روش تنظیم تنها راه نیست. یک متغیر تصادفی پیوسته را نیز می توان با استفاده از تابع دیگری به نام چگالی توزیع یا چگالی احتمال (که گاهی اوقات تابع دیفرانسیل نامیده می شود) مشخص کرد.

تعریف 4.1: چگالی توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته ایکستابع را فراخوانی کنید f (ایکس) - اولین مشتق تابع توزیع اف(ایکس) :

f ( ایکس ) = اف "( ایکس ) .

از این تعریف برمی‌آید که تابع توزیع ضد مشتق چگالی توزیع است. توجه داشته باشید که برای توصیف توزیع احتمال یک متغیر تصادفی گسسته، چگالی توزیع قابل اعمال نیست.

احتمال ضربه زدن به یک متغیر تصادفی پیوسته در یک بازه معین

با دانستن چگالی توزیع، می‌توانیم این احتمال را محاسبه کنیم که یک متغیر تصادفی پیوسته مقداری را که متعلق به یک بازه معین است، بگیرد.

قضیه: احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته X مقادیر مربوط به بازه (آ, ب)، برابر است با انتگرال معینی از چگالی توزیع، گرفته شده در محدوده ازآقبل ازب :

اثبات:ما از نسبت استفاده می کنیم

پ(آ ≤ ایکسب) = اف(ب) – اف(آ).

بر اساس فرمول نیوتن-لایب نیتس،

بدین ترتیب،

.

زیرا پ(آ ≤ ایکس ب)= پ(آ ایکس ب) ، سپس ما در نهایت دریافت می کنیم

.

از نظر هندسی، نتیجه را می توان به صورت زیر تفسیر کرد: احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته مقداری متعلق به بازه (آ, ب) برابر است با مساحت ذوزنقه منحنی که توسط محور محدود شده استگاو نر، منحنی توزیعf(ایکس) و مستقیمایکس = آوایکس = ب.

اظهار نظر:به ویژه، اگر f(ایکس) تابع زوج است و انتهای بازه با توجه به مبدا متقارن است، پس

.

مثال.با توجه به چگالی احتمال یک متغیر تصادفی ایکس

احتمال اینکه در نتیجه آزمون را بیابید ایکسمقادیر مربوط به بازه (0.5؛ 1) را می گیرد.

راه حل:احتمال مورد نظر

.

یافتن تابع توزیع از چگالی توزیع شناخته شده

دانستن چگالی توزیع f(ایکس) ، می توانیم تابع توزیع را پیدا کنیم اف(ایکس) طبق فرمول

.

واقعا، اف(ایکس) = پ(ایکس ایکس) = پ(-∞ ایکس ایکس) .

از این رو،

.

بدین ترتیب، با دانستن چگالی توزیع، می توانید تابع توزیع را پیدا کنید. البته از تابع توزیع شناخته شده می توان چگالی توزیع را پیدا کرد، برای مثال:

f(ایکس) = اف"(ایکس).

مثال.تابع توزیع را برای چگالی توزیع معین پیدا کنید:

راه حل:بیایید از فرمول استفاده کنیم

اگر ایکس ≤ آ، آن f(ایکس) = 0 از این رو، اف(ایکس) = 0 . اگر a، سپس f(x) = 1/(b-a),

از این رو،

.

اگر ایکس > ب، آن

.

بنابراین، تابع توزیع مورد نظر

اظهار نظر:ما تابع توزیع یک متغیر تصادفی توزیع شده یکنواخت را به دست آورده ایم (به توزیع یکنواخت مراجعه کنید).

ویژگی های چگالی توزیع

خاصیت 1:چگالی توزیع یک تابع غیر منفی است:

f ( ایکس ) ≥ 0 .

خاصیت 2:انتگرال نامناسب چگالی توزیع در محدوده -∞ تا ∞ برابر با یک است:

.

اظهار نظر:نمودار چگالی توزیع نامیده می شود منحنی توزیع.

اظهار نظر:چگالی توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته قانون توزیع نیز نامیده می شود.

مثال.چگالی توزیع یک متغیر تصادفی به شکل زیر است:

پارامتر ثابت را پیدا کنید آ.

راه حل:چگالی توزیع باید شرط را برآورده کند، بنابراین ما نیاز به برابری داریم

.

از اینجا
. بیایید انتگرال نامعین را پیدا کنیم:

.

ما انتگرال نامناسب را محاسبه می کنیم:

بنابراین، پارامتر مورد نیاز

.

معنی احتمالی چگالی توزیع

اجازه دهید اف(ایکس) تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته است ایکس. با تعریف چگالی توزیع، f(ایکس) = اف"(ایکس) ، یا

تفاوت اف(ایکس+∆х) -اف(ایکس) این احتمال را تعیین می کند ایکسمقدار متعلق به بازه را می گیرد (ایکس, ایکس+∆х). بنابراین، حد نسبت احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته مقداری متعلق به بازه را بگیرد. (ایکس, ایکس+∆х)، به طول این بازه (در ∆х→0) برابر با مقدار چگالی توزیع در نقطه است ایکس.

بنابراین تابع f(ایکس) چگالی توزیع احتمال را برای هر نقطه تعیین می کند ایکس. از حساب دیفرانسیل مشخص است که افزایش یک تابع تقریباً برابر است با دیفرانسیل تابع، یعنی.

زیرا اف"(ایکس) = f(ایکس) و dx = ∆ ایکس، آن اف(ایکس+∆ ایکس) - اف(ایکس) ≈ f(ایکس)∆ ایکس.

معنای احتمالی این برابری به شرح زیر است: احتمال اینکه یک متغیر تصادفی مقداری متعلق به بازه (ایکس, ایکس+∆ ایکس) تقریبا برابر است با حاصل ضرب چگالی احتمال در نقطه x و طول بازه ∆х.

از نظر هندسی، این نتیجه را می توان چنین تفسیر کرد: احتمال اینکه یک متغیر تصادفی مقداری متعلق به بازه (ایکس, ایکس+∆ ایکس، تقریباً برابر با مساحت مستطیل با پایه ∆х و ارتفاع استf(ایکس).

5. توزیع های معمولی متغیرهای تصادفی گسسته

5.1. توزیع برنولی

تعریف 5.1: مقدار تصادفی ایکس، که دو مقدار می گیرد 1 و 0 با احتمالات ("موفقیت") پو ("شکست") q، نامیده میشود برنولی:

, جایی که ک=0,1.

5.2. توزیع دو جمله ای

بذار تولید بشه n آزمایشات مستقل، که در هر یک از آنها یک رویداد آممکن است ظاهر شود یا نباشد. احتمال وقوع یک رویداد در همه آزمایش‌ها ثابت و برابر است پ(از این رو احتمال عدم ظهور وجود دارد q = 1 - پ).

یک متغیر تصادفی را در نظر بگیرید ایکس- تعداد وقوع رویداد آدر این تست ها مقدار تصادفی ایکسارزش ها را می گیرد 0,1,2,… nبا احتمالات محاسبه شده با فرمول برنولی: ، جایی که ک = 0,1,2,… n.

تعریف 5.2: دو جمله ایتوزیع احتمال تعیین شده توسط فرمول برنولی نامیده می شود.

مثال.سه تیر به سمت هدف شلیک می شود و احتمال اصابت هر شلیک 0.8 است. یک متغیر تصادفی در نظر می گیریم ایکس- تعداد ضربه به هدف. سری توزیع آن را پیدا کنید.

راه حل:مقدار تصادفی ایکسارزش ها را می گیرد 0,1,2,3 با احتمالات محاسبه شده با فرمول برنولی، که در آن n = 3, پ = 0,8 (احتمال ضربه) q = 1 - 0,8 = = 0,2 (احتمال گم شدن).

بنابراین، سری توزیع به شکل زیر است:

از فرمول برنولی برای مقادیر بزرگ استفاده کنید nبنابراین، محاسبه احتمالات مربوطه بسیار دشوار است، از قضیه لاپلاس محلی استفاده می شود، که به فرد اجازه می دهد تا احتمال وقوع یک رویداد را تقریباً پیدا کند. کیک بار در nآزمایشات در صورتی که تعداد آزمایشات به اندازه کافی زیاد باشد.

قضیه لاپلاس محلی: در صورت احتمال پوقوع یک رویداد آ
که رویداد آ ظاهر خواهد شد nدقیقا تست میکنه کبار، تقریباً برابر (هر چه دقیق تر، بیشتر n) مقدار تابع
, جایی که
, .

یادداشت 1:جداول حاوی مقادیر تابع
, در پیوست 1 آورده شده است و
. تابع چگالی توزیع نرمال استاندارد است (به توزیع نرمال مراجعه کنید).

مثال:احتمال وقوع رویداد را بیابید آ دقیقا میاد 80 یک بار در 400 آزمایشات در صورتی که احتمال وقوع این رویداد در هر آزمایش برابر باشد 0,2.

راه حل:با شرط n = 400, ک = 80, پ = 0,2 , q = 0,8 . اجازه دهید مقدار تعیین شده توسط داده های مسئله را محاسبه کنیم ایکس:
. با توجه به جدول ضمیمه 1 در می یابیم
. سپس احتمال مورد نظر خواهد بود:

اگر می خواهید احتمال وقوع یک رویداد را محاسبه کنید آظاهر خواهد شد nحداقل تست می کند ک 1 یک بار و نه بیشتر ک 2 بار، پس باید از قضیه انتگرال لاپلاس استفاده کنید:

قضیه انتگرال لاپلاس: در صورت احتمال پوقوع یک رویداد آدر هر آزمون ثابت و متفاوت از صفر و یک است، سپس احتمال که رویداد آ ظاهر خواهد شد nتست ها از ک 1 قبل از ک 2 بار، تقریبا برابر با انتگرال معین

, جایی که
و
.

به عبارت دیگر، احتمال وقوع یک رویداد آ ظاهر خواهد شد nتست ها از ک 1 قبل از ک 2 بار، تقریباً برابر است

جایی که
, و .

نکته 2:تابع
تابع لاپلاس نامیده می شود (به توزیع نرمال مراجعه کنید). جداول حاوی مقادیر تابع , در پیوست 2 آورده شده است و
.

مثال:احتمال اینکه در میان 400 قطعات انتخاب شده به صورت تصادفی از 70 تا 100 قسمت برداشته می شوند، در صورتی که احتمال عدم موفقیت قطعه از بررسی کنترل کیفیت برابر باشد. 0,2.

راه حل:با شرط n = 400, پ = 0,2 , q = 0,8, ک 1 = 70, ک 2 = 100 . اجازه دهید حد پایین و بالای ادغام را محاسبه کنیم:

;
.

بنابراین، ما داریم:

با توجه به جدول ضمیمه 2 متوجه می شویم که
و
. سپس احتمال مورد نیاز این است:

نکته 3:در یک سری آزمایشات مستقل (وقتی n بزرگ است، p کوچک است)، از فرمول پواسون دقیقا k بار برای محاسبه احتمال وقوع یک رویداد استفاده می شود (به توزیع پواسون مراجعه کنید).

5.3. توزیع پواسون

تعریف 5.3: یک متغیر تصادفی گسسته نامیده می شود سم،اگر قانون توزیع آن به شکل زیر باشد:

, جایی که
و
(مقدار ثابت).

نمونه هایی از متغیرهای تصادفی پواسون:

تعداد تماس با یک ایستگاه خودکار در یک بازه زمانی تی.

تعداد ذرات واپاشی برخی از مواد رادیواکتیو در یک دوره زمانی معین تی.

تعداد تلویزیون هایی که در یک بازه زمانی وارد کارگاه می شوند تیدر شهر بزرگ .

تعداد اتومبیل هایی که به خط توقف یک تقاطع در یک شهر بزرگ می رسند .

یادداشت 1:جداول ویژه برای محاسبه این احتمالات در پیوست 3 آورده شده است.

نکته 2:در یک سری آزمایشات مستقل (زمانی که nعالی، پکوچک) برای محاسبه احتمال وقوع یک رویداد دقیقا کپس از استفاده از فرمول پواسون:
, جایی که
, یعنی میانگین تعداد وقوع رویدادها ثابت می ماند.

نکته 3:اگر یک متغیر تصادفی وجود داشته باشد که بر اساس قانون پواسون توزیع شده باشد، پس لزوماً یک متغیر تصادفی وجود دارد که بر اساس قانون نمایی توزیع شده است و بالعکس (به توزیع نمایی مراجعه کنید).

مثال.کارخانه به پایگاه فرستاده شد 5000 محصولات با کیفیت خوب احتمال اینکه محصول در حمل و نقل آسیب ببیند برابر است 0,0002 . این احتمال را پیدا کنید که دقیقاً سه مورد غیرقابل استفاده به پایه برسد.

راه حل:با شرط n = 5000, پ = 0,0002, ک = 3. بیایید پیدا کنیم λ: λ = np= 5000 0.0002 = 1.

طبق فرمول پواسون، احتمال مورد نظر برابر است با:

, که در آن متغیر تصادفی ایکس- تعداد محصولات معیوب

5.4. توزیع هندسی

اجازه دهید آزمایشات مستقلی انجام شود که در هر کدام از آنها احتمال وقوع یک رویداد وجود دارد آبرابر است با پ(0p

q = 1 - پ. آزمایشات به محض ظاهر شدن رویداد به پایان می رسد آ. بنابراین، اگر یک رویداد آدر ظاهر شد کآزمون -ام، سپس در آزمون قبلی ک – 1 در تست ها ظاهر نشد.

با نشان دادن ایکسمتغیر تصادفی گسسته - تعداد آزمایشاتی که باید قبل از اولین وقوع رویداد انجام شود آ. بدیهی است که مقادیر ممکن است ایکساعداد طبیعی x 1 \u003d 1، x 2 \u003d 2، ... هستند.

اجازه دهید اولین ک-1 رویداد آزمایشی آنیامد، اما کآزمون ام ظاهر شد. احتمال این "رویداد پیچیده" با توجه به قضیه ضرب احتمالات رویدادهای مستقل، پ (ایکس = ک) = q ک -1 پ.

تعریف 5.4: یک متغیر تصادفی گسسته دارد توزیع هندسیاگر قانون توزیع آن به شکل زیر باشد:

پ ( ایکس = ک ) = q ک -1 پ , جایی که
.

یادداشت 1:با فرض اینکه ک = 1,2,… ، با جمله اول یک تصاعد هندسی بدست می آوریم پو مخرج q (0q. به همین دلیل توزیع را هندسی می نامند.

نکته 2:ردیف
همگرا می شود و مجموع آن برابر با یک است. در واقع، مجموع سریال است
.

مثال.اسلحه تا اولین ضربه به سمت هدف شلیک می کند. احتمال اصابت به هدف پ = 0,6 . احتمال وقوع ضربه در شلیک سوم را پیدا کنید.

راه حل:با شرط پ = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, ک = 3. احتمال مورد نظر برابر است با:

پ (ایکس = 3) = 0,4 2 0.6 = 0.096.

5.5. توزیع فرا هندسی

مشکل زیر را در نظر بگیرید. اجازه دهید مهمانی خارج شود نمحصولات موجود ماستاندارد (من). به صورت تصادفی از مهمانی انتخاب شده است nمحصولات (هر محصول را می توان با همان احتمال حذف کرد)، و محصول انتخاب شده قبل از انتخاب محصول بعدی به دسته بازگردانده نمی شود (بنابراین، فرمول برنولی در اینجا قابل استفاده نیست).

با نشان دادن ایکسمتغیر تصادفی - عدد مترمحصولات استاندارد در میان nانتخاب شد. سپس مقادیر ممکن ایکس 0، 1، 2،… دقیقه بیایید به آنها برچسب بزنیم و ... توسطمقادیر متغیر مستقل (Fonds)، از دکمه ( فصل ...

مجموعه آموزشی و روش شناسی برای رشته "کارگاه روانشناسی عمومی"

مجتمع آموزشی و روش شناسی

... روش شناختی دستورالعمل ها توسطانجام کار عملی 5.1 روشمندتوصیه ها توسطاجرای پروژه های آموزشی 5.2 روشمندتوصیه ها توسط... حساسیت) یک بعدیو چند بعدی ... تصادفیجزء در اندازه... با بخش"کارایی...

مجتمع آموزشی و روشی در رشته فیزیک (نام)

مجتمع آموزشی و روش شناسی

... بخش هادر کتاب های درسی حل مسئله توسطهر موضوع پیچیدگی روشمند دستورالعمل هابه کارهای آزمایشگاهی توسط ... تصادفیو خطای اندازه گیری ابزاری 1.8 موضوعات کارهای کنترلی و روش شناختی دستورالعمل ها توسط... ذره در یک بعدیسوراخ بالقوه ...

دستورالعمل کارهای آزمایشگاهی در رشته انفورماتیک

رهنمودها

... روشمند دستورالعمل هابه کارهای آزمایشگاهی توسط ... اندازه، و بیشترین مقدار مقادیر... آرایه تصادفیاعداد... 3.0 4.0 3.0 -2.5 14.3 16.2 18.0 1.0 a) یک بعدیآرایه ب) آرایه دو بعدی شکل. 2- فایل های ... در شرح داده شده است بخشاجرا پس از ...

9. متغیر تصادفی پیوسته، مشخصات عددی آن

یک متغیر تصادفی پیوسته را می توان با استفاده از دو تابع مشخص کرد. تابع توزیع احتمال انتگرالی یک متغیر تصادفی Xتابع تعریف شده توسط تساوی نامیده می شود
.

تابع انتگرال یک روش کلی برای تعیین متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته ارائه می دهد. در مورد یک متغیر تصادفی پیوسته. همه رویدادها: احتمال یکسانی دارند، برابر با افزایش تابع انتگرال در این بازه، به عنوان مثال، برای یک متغیر تصادفی گسسته ارائه شده در مثال 26، داریم:

بنابراین، نمودار تابع انتگرال تابع مورد بررسی، اتحاد دو پرتو و سه قطعه موازی با محور Ox است.

مثال 27. یک متغیر تصادفی پیوسته X توسط تابع توزیع احتمال انتگرال داده می شود

.

نموداری از تابع انتگرال بسازید و این احتمال را بیابید که در نتیجه آزمایش، متغیر تصادفی X مقداری در بازه (0.5؛ 1.5) بگیرد.

راه حل. در فاصله زمانی
نمودار خط مستقیم y \u003d 0 است. در بازه 0 تا 2 - سهمی داده شده توسط معادله
. در فاصله زمانی
نمودار خط مستقیم y = 1 است.

احتمال اینکه متغیر تصادفی X در نتیجه آزمون مقداری در بازه (0.5؛ 1.5) بگیرد با فرمول پیدا می شود.

بدین ترتیب، .

ویژگی های تابع توزیع احتمال انتگرال:

قانون توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته به راحتی با استفاده از تابع دیگری مشخص می شود، یعنی: توابع چگالی احتمال
.

احتمال اینکه مقدار گرفته شده توسط متغیر تصادفی X در بازه قرار گیرد
، با برابری تعیین می شود
.

نمودار تابع نامیده می شود منحنی توزیع. از نظر هندسی، احتمال سقوط یک متغیر تصادفی X در بازه برابر با مساحت ذوزنقه منحنی منحنی مربوطه است که توسط منحنی توزیع، محور Ox و خطوط مستقیم محدود شده است.
.

ویژگی های تابع چگالی احتمال:

9.1. ویژگی های عددی متغیرهای تصادفی پیوسته

ارزش مورد انتظار(مقدار متوسط) یک متغیر تصادفی پیوسته X با برابری تعریف می شود
.

M(X) با نشان داده می شود آ. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته دارای خواصی شبیه به متغیرهای گسسته است:

پراکندگیمتغیر تصادفی گسسته X انتظار ریاضی انحراف مجذور متغیر تصادفی از انتظار ریاضی آن است، یعنی. . برای یک متغیر تصادفی پیوسته، واریانس با داده می شود
.

پراکندگی دارای خواص زیر است:

آخرین ویژگی برای یافتن واریانس یک متغیر تصادفی پیوسته بسیار راحت است.

مفهوم انحراف معیار نیز به همین ترتیب معرفی شده است. RMS پیوستهمتغیر تصادفی X جذر واریانس نامیده می شود، یعنی.
.

مثال 28. یک متغیر تصادفی پیوسته X توسط تابع چگالی احتمال داده می شود
در بازه (10;12)، خارج از این بازه مقدار تابع 0 است. 1) مقدار پارامتر را پیدا کنید. آ، 2) انتظار ریاضی M(X)، واریانس
، انحراف معیار، 3) تابع انتگرال
و نمودارهایی از توابع انتگرال و دیفرانسیل بسازید.

1). برای یافتن پارامتر آاز فرمول استفاده کنید
. ما گرفتیم . بدین ترتیب،
.

2). برای یافتن انتظارات ریاضی، از فرمول استفاده می کنیم: , که از آن نتیجه می شود
.

ما پراکندگی را با استفاده از فرمول پیدا خواهیم کرد:
، یعنی .

بیایید انحراف معیار را با فرمول پیدا کنیم: از جایی که آن را دریافت می کنیم
.

3). تابع انتگرال بر حسب تابع چگالی احتمال به صورت زیر بیان می شود:
. از این رو،
در
، = 0 برای
و = 1 در
.

نمودارهای این توابع در شکل نشان داده شده است. 4. و شکل 5.

Fig.4 Fig.5.

9.2. توزیع احتمال یکنواخت یک متغیر تصادفی پیوسته

توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته X به طور مساویاگر چگالی احتمال آن در این بازه ثابت باشد و در خارج از این بازه برابر با صفر باشد، یعنی. . نشان دادن آن در این مورد آسان است
.

اگر فاصله
پس از آن در بازه موجود است
.

مثال 29.یک رویداد متشکل از یک سیگنال آنی باید بین ساعت 1 بعد از ظهر تا 5 بعد از ظهر رخ دهد. زمان انتظار سیگنال یک متغیر تصادفی X است. احتمال ثابت شدن سیگنال بین ساعت دو و سه بعد از ظهر را پیدا کنید.

راه حل. متغیر تصادفی X توزیع یکنواختی دارد و با فرمول متوجه می شویم که احتمال اینکه سیگنال بین ساعت 2 تا 3 بعد از ظهر باشد برابر است با
.

در ادبیات آموزشی و سایر ادبیات، اغلب در ادبیات از طریق نشان داده می شود
.

9.3. توزیع احتمال عادی یک متغیر تصادفی پیوسته

توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته نرمال نامیده می شود اگر قانون توزیع احتمال آن توسط چگالی احتمال تعیین شود.
. برای چنین مقادیری آ- ارزش مورد انتظار،
- انحراف معیار.

قضیه. احتمال سقوط یک متغیر تصادفی پیوسته با توزیع نرمال در یک بازه معین
با فرمول تعیین می شود
، جایی که
تابع لاپلاس است.

نتیجه این قضیه قاعده سه سیگما است، یعنی. تقریباً مطمئن است که یک متغیر تصادفی پیوسته و معمولی توزیع شده X مقادیر خود را در بازه زمانی می گیرد.
. این قانون از فرمول گرفته شده است
، که یک مورد خاص از قضیه فرمول بندی شده است.

مثال 30.طول عمر تلویزیون یک متغیر تصادفی X، مشمول قانون توزیع عادی، با مدت گارانتی 15 سال و انحراف استاندارد 3 سال است. احتمال دوام تلویزیون از 10 تا 20 سال را پیدا کنید.

راه حل. با توجه به شرط مسئله، انتظار ریاضی آ= 15، انحراف استاندارد.

بیایید پیدا کنیم . بنابراین، احتمال کارکرد تلویزیون از 10 تا 20 سال بیش از 0.9 است.

9.4 نابرابری چبیشف

رخ می دهد لم چبیشف. اگر یک متغیر تصادفی X فقط مقادیر غیر منفی را بگیرد و انتظار ریاضی داشته باشد، برای هر مثبت V
.

با در نظر گرفتن این که به عنوان مجموع احتمالات رویدادهای متضاد، آن را به دست می آوریم
.

قضیه چبیشف. اگر متغیر تصادفی X دارای واریانس محدود باشد
و انتظار ریاضی M(X)، سپس برای هر مثبت نابرابری
.

از آنجا نتیجه می گیرد که
.

مثال 31.دسته ای از قطعات ساخته شده است. طول متوسط ​​قطعات 100 سانتی متر و انحراف استاندارد 0.4 سانتی متر است. احتمال اینکه طول قطعه ای که به طور تصادفی گرفته می شود حداقل 99 سانتی متر باشد را از زیر تخمین بزنید. و بیش از 101 سانتی متر نباشد.

راه حل. پراکندگی انتظار ریاضی 100 است. بنابراین، برای تخمین احتمال رخداد در نظر گرفته شده از زیر
ما نابرابری چبیشف را اعمال می کنیم که در آن
، سپس
.

10. عناصر آمار ریاضی

جامعه آماریمجموعه ای از اشیاء یا پدیده های همگن را نام ببرید. عدد پعناصر این مجموعه را حجم مجموعه می گویند. مقادیر مشاهده شده ویژگی X نامیده می شود گزینه ها. اگر گزینه ها به ترتیب صعودی هستند، پس سری تغییرات گسسته. در مورد گروه بندی، گزینه بر اساس فواصل به دست می آید سری تغییرات بازه ای. زیر فرکانس tمقادیر ویژگی تعداد اعضای جمعیت را با یک نوع معین درک می کنند.

نسبت فراوانی به اندازه جامعه آماری نامیده می شود فراوانی نسبیامضا کردن:
.

نسبت بین انواع سری های متغیر و فرکانس آنها نامیده می شود توزیع آماری نمونه. یک نمایش گرافیکی از یک توزیع آماری می تواند باشد چند ضلعیفرکانس ها

مثال 32.با مصاحبه با 25 دانشجوی سال اول، اطلاعات زیر در مورد سن آنها به دست آمد:
. توزیع آماری دانش آموزان بر اساس سن را تهیه کنید، دامنه تغییرات را بیابید، یک چند ضلعی فرکانس بسازید و مجموعه ای از توزیع های فرکانس های نسبی را جمع آوری کنید.

راه حل. با استفاده از داده های به دست آمده در طول بررسی، توزیع آماری نمونه را تشکیل می دهیم

محدوده نمونه تغییرات 23 - 17 = 6 است. برای ساختن چند ضلعی فرکانس، نقاط را با مختصات بسازید.
و آنها را به صورت سری وصل کنید.

سری توزیع فرکانس های نسبی به شکل زیر است:

10.1 مشخصات عددی سری تغییرات

اجازه دهید نمونه با سری توزیع فرکانس ویژگی X داده شود:

مجموع همه فرکانس ها است پ.

میانگین حسابی نمونهبه مقدار تماس بگیرید
.

پراکندگییا معیاری از پراکندگی مقادیر ویژگی X در رابطه با میانگین حسابی آن مقدار است
. انحراف معیار را جذر پراکندگی می نامند. .

نسبت انحراف معیار به میانگین حسابی نمونه که به صورت درصد بیان می شود، نامیده می شود. ضریب تغییر:
.

تابع توزیع فرکانس نسبی تجربیتابعی را فراخوانی می کنیم که برای هر مقدار فرکانس نسبی یک رویداد را تعیین می کند
، یعنی
، جایی که - تعداد گزینه ها، کوچکتر ایکس، آ پ- اندازهی نمونه.

مثال 33.در شرایط مثال 32 مشخصه های عددی را بیابید
.

راه حل. میانگین حسابی نمونه را با استفاده از فرمول پیدا کنید، سپس .

واریانس ویژگی X با فرمول پیدا می شود: , i.e. انحراف معیار نمونه است
. ضریب تغییرات است
.

10.2. تخمین احتمال با فرکانس نسبی. فاصله اطمینان

بگذار برگزار شود پآزمایشات مستقلی که در هر یک از آنها احتمال وقوع رویداد A ثابت و برابر است آر. در این حالت، احتمال اینکه فرکانس نسبی با احتمال وقوع رویداد A در هر آزمون در قدر مطلق متفاوت باشد، تقریباً برابر با دو برابر مقدار تابع انتگرال لاپلاس است:
.

تخمین فاصلهچنین ارزیابی را فراخوانی کنید که توسط دو عدد تعیین می شود که انتهای بازه ای هستند که پارامتر تخمینی جامعه آماری را پوشش می دهند.

فاصله اطمینانفاصله ای نامیده می شود که با یک احتمال اطمینان معین پارامتر برآوردی جامعه آماری را پوشش می دهد. با توجه به فرمولی که در آن کمیت مجهول را جایگزین می کنیم آربه مقدار تقریبی آن به دست آمده از داده های نمونه، به دست می آوریم:
. این فرمول برای تخمین احتمال با فرکانس نسبی استفاده می شود. شماره
و
پایین و به ترتیب بالا نامیده می شود مرزهای اعتماد، - خطای حاشیه ای برای یک سطح اطمینان معین
.

مثال 34. کف کارخانه لامپ های برق تولید می کند. هنگام بررسی 625 لامپ، 40 لامپ معیوب بود. با احتمال اطمینان 0.95 مرزهایی را که در آن درصد لامپ های معیوب تولید شده توسط کارخانه کارخانه به دست آمده است را بیابید.

راه حل. با توجه به وظیفه. ما از فرمول استفاده می کنیم
. مطابق جدول 2 پیوست، مقدار آرگومان pi را پیدا می کنیم که در آن مقدار تابع لاپلاس انتگرال 0.475 است. ما آن را دریافت می کنیم
. بدین ترتیب، . بنابراین با احتمال 95/0 می توان گفت که سهم عیوب تولید شده توسط کارگاه زیاد است یعنی از 2/6 تا 6/6 درصد متغیر است.

10.3. تخمین پارامترها در آمار

اجازه دهید ویژگی کمی X کل جمعیت مورد مطالعه (جمعیت عمومی) دارای توزیع نرمال باشد.

اگر انحراف معیار مشخص باشد، بازه اطمینانی که انتظارات ریاضی را پوشش می دهد آ

، جایی که پحجم نمونه است، - میانگین حسابی نمونه، تیآرگومان تابع لاپلاس انتگرال است که برای آن
. در همان زمان، تعداد
دقت تخمین نامیده می شود.

اگر انحراف معیار ناشناخته باشد، با توجه به داده های نمونه، می توان یک متغیر تصادفی ساخت که دارای توزیع دانشجویی با پ– 1 درجه آزادی که تنها با یک پارامتر تعیین می شود پو به مجهولات وابسته نیست آو . توزیع دانش آموز حتی برای نمونه های کوچک
برآوردهای کاملاً رضایت بخشی را ارائه می دهد. سپس فاصله اطمینانی که انتظارات ریاضی را پوشش می دهد آاین ویژگی با یک احتمال اطمینان داده شده، از شرط پیدا می شود

، جایی که S ریشه اصلاح شده میانگین مربع است، - ضریب دانش آموز، با توجه به داده ها پیدا می شود
از جدول 3 پیوست

فاصله اطمینانی که انحراف استاندارد این ویژگی را با احتمال اطمینان پوشش می دهد، با فرمول های زیر پیدا می شود: و، که در آن
در جدول مقادیر قرار دارد q مطابق با .

10.4. روش های آماری برای بررسی وابستگی بین متغیرهای تصادفی

وابستگی همبستگی Y به X وابستگی عملکردی میانگین شرطی است از جانب ایکس.معادله
معادله رگرسیون Y روی X را نشان می دهد و
- معادله رگرسیون X بر روی Y.

وابستگی همبستگی می تواند خطی و منحنی باشد. در مورد وابستگی همبستگی خطی، معادله خط مستقیم رگرسیون به شکل زیر است:
، جایی که شیب آخط رگرسیون مستقیم Y روی X ضریب رگرسیون نمونه Y روی X نامیده می شود و نشان داده می شود
.

برای نمونه های کوچک، داده ها گروه بندی نمی شوند، پارامترها
با روش حداقل مربعات از سیستم معادلات عادی بدست می آیند:

، جایی که پتعداد مشاهدات مقادیر جفت کمیت های مرتبط با یکدیگر است.

نمونه ضریب همبستگی خطی تنگی رابطه بین Y و X را نشان می دهد. ضریب همبستگی با فرمول بدست می آید
، علاوه بر این
، برای مثال:

معادله نمونه رگرسیون خط مستقیم Y روی X به شکل زیر است:

.

با تعداد زیادی مشاهدات از علائم X و Y، یک جدول همبستگی با دو ورودی، با مقدار یکسان، گردآوری شده است. ایکسمشاهده شده بار، همان مقدار درمشاهده شده بار، همان جفت
مشاهده شده یک بار.

مثال 35.جدول مشاهدات علائم X و Y ارائه شده است.

معادله نمونه رگرسیون خط مستقیم Y را روی X پیدا کنید.

راه حل. رابطه بین صفات مورد مطالعه را می توان با معادله خط مستقیم رگرسیون Y بر روی X بیان کرد: . برای محاسبه ضرایب معادله، جدول محاسباتی را تهیه می کنیم:

شماره مشاهده

فصل 6. متغیرهای تصادفی پیوسته.

§ 1. تابع چگالی و توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته.

مجموعه مقادیر یک متغیر تصادفی پیوسته غیرقابل شمارش است و معمولاً مقداری بازه محدود یا نامتناهی را نشان می دهد.

یک متغیر تصادفی x(w) داده شده در فضای احتمال (W, S, P) نامیده می شود مداوم(کاملاً پیوسته) W اگر یک تابع غیر منفی وجود داشته باشد به طوری که برای هر x، تابع توزیع Fx(x) را می توان به عنوان یک انتگرال نشان داد.

تابع نامیده می شود چگالی توزیع احتمال.

ویژگی های تابع چگالی توزیع از این تعریف به دست می آید:

1..gif" width="97" height="51">

3. در نقاط پیوستگی، چگالی توزیع برابر است با مشتق تابع توزیع: .

4. چگالی توزیع قانون توزیع یک متغیر تصادفی را تعیین می کند، زیرا احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در بازه را تعیین می کند:

5. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته مقدار مشخصی بگیرد صفر است: . بنابراین، برابری های زیر صادق است:

نمودار تابع چگالی توزیع نامیده می شود منحنی توزیع، و مساحت محدود شده توسط منحنی توزیع و محور x برابر با یک است. سپس، از نظر هندسی، مقدار تابع توزیع Fx(x) در نقطه x0 ناحیه ای است که توسط منحنی توزیع و محور x محدود شده و در سمت چپ نقطه x0 قرار دارد.

وظیفه 1.تابع چگالی یک متغیر تصادفی پیوسته به شکل زیر است:

ثابت C را تعیین کنید، تابع توزیع Fx(x) را بسازید و احتمال را محاسبه کنید.

راه حل.ثابت C از شرطی که داریم به دست می آید:

از آنجا C=3/8.

برای ساخت تابع توزیع Fx(x)، توجه داشته باشید که بازه، محدوده آرگومان x (محور عدد) را به سه قسمت تقسیم می‌کند: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264 "height="49">

زیرا چگالی x در نیم محور صفر است. در مورد دوم

در نهایت، در آخرین مورد، زمانی که x>2،

از آنجایی که چگالی در نیم محور ناپدید می شود. بنابراین، تابع توزیع به دست می آید

احتمال با فرمول محاسبه کنید بدین ترتیب،

§ 2. ویژگی های عددی یک متغیر تصادفی پیوسته

ارزش مورد انتظاربرای متغیرهای تصادفی توزیع شده پیوسته با فرمول https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src="> تعیین می شود.

اگر انتگرال سمت راست کاملاً همگرا شود.

پراکندگی x را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد ، و همچنین، مانند حالت گسسته، طبق فرمول https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

تمام ویژگی های انتظار و واریانس ارائه شده در فصل 5 برای متغیرهای تصادفی گسسته برای متغیرهای تصادفی پیوسته نیز معتبر است.

وظیفه 2. برای متغیر تصادفی x از مسئله 1، انتظار و واریانس ریاضی را محاسبه کنید .

راه حل.

و این یعنی

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

برای نمودار چگالی توزیع یکنواخت، شکل 1 را ببینید. .

شکل 6.2. تابع توزیع و چگالی توزیع. قانون یکسان

تابع توزیع Fx(x) یک متغیر تصادفی توزیع شده یکنواخت است

Fx(x)=

انتظارات و پراکندگی ریاضی؛ .

توزیع نمایی (نمایی).یک متغیر تصادفی پیوسته x که مقادیر غیرمنفی می گیرد دارای توزیع نمایی با پارامتر l>0 است اگر چگالی توزیع احتمال متغیر تصادفی برابر باشد.

px(x)=

برنج. 6.3. تابع توزیع و چگالی توزیع قانون نمایی.

تابع توزیع توزیع نمایی شکل دارد

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> و اگر چگالی توزیع آن برابر باشد

.

مجموعه همه متغیرهای تصادفی توزیع شده بر اساس قانون عادی با پارامترها و پارامترها با نشان داده می شود.

تابع توزیع یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال است

.

برنج. 6.4. تابع توزیع و چگالی توزیع قانون نرمال

پارامترهای توزیع نرمال انتظار ریاضی هستند https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

در مورد خاصی که https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> توزیع نرمال نامیده می شود استاندارد، و کلاس چنین توزیع هایی تعیین شده است https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">،

در حالی که تابع توزیع

چنین انتگرالی را نمی توان به صورت تحلیلی محاسبه کرد (در "تربیعات" گرفته نمی شود)، و بنابراین جداول برای تابع جمع آوری می شود. تابع مربوط به تابع لاپلاس است که در فصل 4 معرفی شد

,

رابطه زیر . در مورد مقادیر دلخواه پارامترها https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> تابع توزیع متغیر تصادفی با استفاده از رابطه به تابع لاپلاس مرتبط است:

.

بنابراین، احتمال سقوط یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال در یک بازه را می توان با فرمول محاسبه کرد.

.

یک متغیر تصادفی غیرمنفی x در صورتی که لگاریتم آن h=lnx از قانون نرمال پیروی کند، log-normally توزیع شده نامیده می شود. انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال log Mx= و Dx= است.

وظیفه 3.اجازه دهید یک مقدار تصادفی داده شود https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

راه حل.اینجا و https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

توزیع لاپلاستوسط تابع fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> تنظیم می شود و کشش gx=3 است.

شکل 6.5. تابع چگالی توزیع لاپلاس.

متغیر تصادفی x بر روی آن توزیع می شود قانون وایبول، اگر تابع چگالی توزیع برابر با https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53"> داشته باشد.

توزیع Weibull از زمان عملکرد بدون خرابی بسیاری از دستگاه های فنی پیروی می کند. در وظایف این پروفایل، یک مشخصه مهم میزان شکست (میزان مرگ و میر) l(t) عناصر مورد مطالعه سن t است که با رابطه l(t)= تعیین می شود. اگر a=1 باشد، توزیع وایبول به یک توزیع نمایی تبدیل می شود و اگر a=2 به توزیع به اصطلاح تبدیل می شود. ریلی.

انتظارات ریاضی از توزیع Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">، جایی که Г(а) اویلر است. تابع. .

در مسائل مختلف آمار کاربردی، اغلب با توزیع های به اصطلاح «قطع» مواجه می شویم. به عنوان مثال، مقامات مالیاتی علاقه مند به توزیع درآمد آن دسته از افرادی هستند که درآمد سالانه آنها از آستانه مشخص c0 که توسط قوانین مالیاتی تعیین شده است، تجاوز می کند. این توزیع‌ها تقریباً مشابه توزیع پارتو هستند. توزیع پارتوتوسط توابع داده شده است

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> متغیر تصادفی x و تابع متمایز یکنواخت ..gif" width="200" height="51">

اینجا https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

وظیفه 4.متغیر تصادفی به طور یکنواخت در بازه توزیع می شود. چگالی یک متغیر تصادفی را پیدا کنید.

راه حل.از شرط مسئله بر می آید که

بعد، تابع تابعی یکنواخت و قابل تمایز روی بازه است و تابع معکوس دارد ، که مشتق آن برابر است، بنابراین،

§ 5. یک جفت متغیر تصادفی پیوسته

اجازه دهید دو متغیر تصادفی پیوسته x و h داده شوند. سپس جفت (x, h) یک نقطه "تصادفی" را در صفحه تعیین می کند. یک جفت (x,h) نامیده می شود بردار تصادفییا متغیر تصادفی دو بعدی

تابع توزیع مشترکمتغیرهای تصادفی x و h و تابع F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> نامیده می شود. تراکم مفصلتوزیع احتمال متغیرهای تصادفی x و h تابعی است به طوری که .

منظور از این تعریف از چگالی توزیع مشترک به شرح زیر است. احتمال اینکه یک "نقطه تصادفی" (x، h) به یک منطقه در یک صفحه سقوط کند به عنوان حجم یک شکل سه بعدی محاسبه می شود - یک استوانه "منحنی" محدود به سطح https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

ساده ترین مثال از توزیع مشترک دو متغیر تصادفی، دو بعدی است توزیع یکنواخت روی مجموعهآ. اجازه دهید یک مجموعه محدود M با مساحت داده شود. به عنوان توزیع جفت (x, h) با چگالی مشترک زیر تعریف می شود:

وظیفه 5.بگذارید یک بردار تصادفی دو بعدی (x,h) به طور یکنواخت در داخل مثلث توزیع شود. احتمال نامساوی x>h را محاسبه کنید.

راه حل.مساحت مثلث نشان داده شده برابر است با (شکل شماره؟ را ببینید). بر اساس تعریف توزیع یکنواخت دو بعدی، چگالی مشترک متغیرهای تصادفی x,h برابر است با

رویداد با مجموعه مطابقت دارد در هواپیما، یعنی نیمه هواپیما. سپس احتمال

در نیم صفحه B، چگالی اتصال در خارج از مجموعه برابر با صفر است https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. بنابراین ، نیم صفحه B به دو مجموعه تقسیم می شود و https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> و انتگرال دوم است. صفر است، زیرا چگالی اتصال در آنجا صفر است. از همین رو

اگر چگالی توزیع مشترک برای جفت (x, h) داده شود، چگالی و اجزای x و h نامیده می شوند. تراکم های خصوصیو با فرمول های زیر محاسبه می شوند:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

برای متغیرهای تصادفی توزیع شده پیوسته با چگالی px(x)، ph(y)، استقلال به این معنی است که

وظیفه 6.در شرایط مسئله قبلی مشخص کنید که آیا اجزای بردار تصادفی x و h مستقل هستند؟

راه حل. اجازه دهید چگالی جزئی و . ما داریم:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

بدیهی است که در مورد ما https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> چگالی مشترک x و h و j(x، y) تابعی از دو آرگومان است

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

وظیفه 7.در شرایط مسئله قبلی محاسبه کنید.

راه حل.با توجه به فرمول فوق داریم:

.

نشان دادن مثلث به صورت

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. چگالی مجموع دو متغیر تصادفی پیوسته

بگذارید x و h متغیرهای تصادفی مستقل با چگالی باشند https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. چگالی متغیر تصادفی x + h از فرمول محاسبه می شود پیچیدگی ها

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. چگالی جمع را محاسبه کنید.

راه حل.از آنجایی که x و h بر اساس قانون نمایی با پارامتر توزیع می شوند، چگالی آنها برابر است با

از این رو،

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

اگر x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">منفی است و بنابراین . بنابراین، اگر https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

به این ترتیب، به پاسخ رسیدیم:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> معمولاً با پارامترهای 0 و 1 توزیع می شود. متغیرهای تصادفی x1 و x2 مستقل و نرمال هستند. توزیع هایی با پارامترهای a1 و a2 به ترتیب ثابت کنید x1 + x2 دارای توزیع نرمال است متغیرهای تصادفی x1، x2، ... xn توزیع شده و مستقل هستند و تابع چگالی توزیع یکسانی دارند.

.

تابع توزیع و چگالی توزیع کمیت ها را پیدا کنید:

a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; ب) h(2) = max(x1,x2, ... xn)

متغیرهای تصادفی x1, x2, ... xn مستقل هستند و به طور یکنواخت در بازه [а, b] توزیع می شوند. توابع توزیع و توابع چگالی توزیع کمیت ها را بیابید

x(1) = min(x1,x2, ... xn) و x(2)= max(x1, x2, ...xn).

ثابت کنید که M https://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

متغیر تصادفی بر اساس قانون کوشی توزیع می شود: الف) ضریب a; ب) تابع توزیع؛ ج) احتمال برخورد به بازه (-1، 1). نشان دهید که انتظار x وجود ندارد. متغیر تصادفی با پارامتر l (l>0) از قانون لاپلاس تبعیت می کند: ضریب a را پیدا کنید. ساخت نمودارهای چگالی توزیع و تابع توزیع. Mx و Dx را پیدا کنید. یافتن احتمالات رویدادها (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

فرمولی برای چگالی توزیع بنویسید، Mx و Dx را پیدا کنید.

وظایف محاسباتی

یک نقطه تصادفی A دارای توزیع یکنواخت در دایره ای به شعاع R است. انتظار ریاضی و واریانس فاصله r نقطه تا مرکز دایره را پیدا کنید. نشان دهید که مقدار r2 به طور یکنواخت بر روی قطعه توزیع شده است.

چگالی توزیع یک متغیر تصادفی به شکل زیر است:

ثابت C، تابع توزیع F(x) و احتمال را محاسبه کنید چگالی توزیع یک متغیر تصادفی به شکل زیر است:

ثابت C، تابع توزیع F(x) و احتمال را محاسبه کنید چگالی توزیع یک متغیر تصادفی به شکل زیر است:
ثابت C، تابع توزیع F(x)، واریانس و احتمال را محاسبه کنید. متغیر تصادفی تابع توزیع دارد

چگالی یک متغیر تصادفی، انتظارات ریاضی، واریانس و احتمال را محاسبه کنید بررسی کنید که تابع =
می تواند تابع توزیع یک متغیر تصادفی باشد. مشخصه های عددی این کمیت را پیدا کنید: Mx و Dx. متغیر تصادفی به طور یکنواخت در بخش توزیع شده است. چگالی توزیع را بنویسید. تابع توزیع را پیدا کنید. احتمال ضربه زدن به یک متغیر تصادفی را در بخش و بر روی قطعه پیدا کنید. چگالی توزیع x است

.

ثابت c، چگالی توزیع h = و احتمال را بیابید

P (0.25

زمان کار کامپیوتر بر اساس یک قانون نمایی با پارامتر l = 0.05 (شکست در ساعت) توزیع می شود، یعنی تابع چگالی دارد.

p(x) = .

حل یک مشکل خاص نیاز به کارکرد بدون مشکل دستگاه به مدت 15 دقیقه دارد. اگر در حین حل مشکل خرابی رخ دهد، خطا فقط در پایان راه حل شناسایی می شود و دوباره مشکل حل می شود. پیدا کنید: الف) احتمال اینکه هیچ شکستی در حین حل مسئله رخ ندهد. ب) میانگین زمانی که مشکل حل خواهد شد.

میله ای به طول 24 سانتی متر به دو قسمت تقسیم می شود. فرض می کنیم که نقطه شکست به طور یکنواخت در تمام طول میله توزیع شده است. طول متوسط ​​بیشتر میله چقدر است؟ یک قطعه به طول 12 سانتی متر به طور تصادفی به دو قسمت تقسیم می شود. نقطه برش به طور مساوی در طول کل بخش توزیع می شود. طول متوسط ​​بخش کوچکی از بخش چقدر است؟ متغیر تصادفی به طور یکنواخت در بازه توزیع می شود. چگالی توزیع یک متغیر تصادفی را بیابید a) h1 = 2x + 1; ب) h2 = -ln(1-x); ج) h3 = .

نشان دهید که اگر x تابع توزیع پیوسته دارد

F(x) = P(x

تابع چگالی و تابع توزیع مجموع دو کمیت مستقل x و h را با قوانین توزیع یکنواخت بر روی فواصل و به ترتیب بیابید. متغیرهای تصادفی x و h مستقل هستند و به ترتیب در فواصل و به طور یکنواخت توزیع می شوند. چگالی مجموع x+h را محاسبه کنید. متغیرهای تصادفی x و h مستقل هستند و به ترتیب در فواصل و به طور یکنواخت توزیع می شوند. چگالی مجموع x+h را محاسبه کنید. متغیرهای تصادفی x و h مستقل هستند و به ترتیب در فواصل و به طور یکنواخت توزیع می شوند. چگالی مجموع x+h را محاسبه کنید. متغیرهای تصادفی مستقل هستند و دارای توزیع نمایی با چگالی هستند . چگالی توزیع مجموع آنها را بیابید. توزیع مجموع متغیرهای تصادفی مستقل x و h را بیابید، که در آن x توزیع یکنواخت در بازه، و h دارای توزیع نمایی با پارامتر l است. P را پیدا کنید اگر x دارای: الف) توزیع نرمال با پارامترهای a و s2 باشد. ب) توزیع نمایی با پارامتر l. ج) توزیع یکنواخت در بازه [-1;1]. توزیع مشترک x،h مجذور یکنواخت است
K = (x, y): |x| +|y|2 پوند). احتمال را پیدا کنید . آیا x و h مستقل هستند؟ یک جفت متغیر تصادفی x و h به طور یکنواخت در داخل مثلث K= توزیع شده است. چگالی x و h را محاسبه کنید. آیا این متغیرهای تصادفی مستقل هستند؟ احتمال را پیدا کنید. متغیرهای تصادفی x و h مستقل هستند و به طور یکنواخت در فواصل و [-1،1] توزیع می شوند. احتمال را پیدا کنید. یک متغیر تصادفی دو بعدی (x, h) به طور یکنواخت در یک مربع با رئوس (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) توزیع شده است. مقدار تابع توزیع مشترک را در نقطه (1، -1) بیابید. بردار تصادفی (x,h) به طور یکنواخت در داخل دایره ای به شعاع 3 در مرکز مبدا توزیع شده است. یک عبارت برای چگالی توزیع مشترک بنویسید. تعیین کنید که آیا این متغیرهای تصادفی وابسته هستند یا خیر. احتمال را محاسبه کنید. یک جفت متغیر تصادفی x و h به طور یکنواخت در داخل یک ذوزنقه با رئوس در نقاط (6.0-)، (3.4-)، (3.4)، (6.0) توزیع شده است. چگالی توزیع مشترک برای این جفت متغیر تصادفی و چگالی اجزا را بیابید. آیا x و h وابسته هستند؟ یک جفت تصادفی (x,h) به طور مساوی در داخل نیم دایره توزیع شده است. چگالی x و h را بیابید، وابستگی آنها را بررسی کنید. چگالی مشترک دو متغیر تصادفی x و h است .
چگالی های x,h را پیدا کنید. سوال وابستگی x و h را بررسی کنید. یک جفت تصادفی (x,h) به طور یکنواخت در مجموعه توزیع شده است. چگالی x و h را بیابید، وابستگی آنها را بررسی کنید. M(xh) را پیدا کنید. متغیرهای تصادفی x و h مستقل هستند و بر اساس قانون نمایی با پارامتر Find توزیع می شوند.