مقدار بهینه تابع هدف نامیده می شود. تست هایی برای کنترل دانش فعلی

سطر سوم را به عنصر کلیدی برابر با 5 تقسیم می کنیم، ردیف سوم جدول جدید را به دست می آوریم.

ستون های پایه با ستون های تک مطابقت دارند.

محاسبه مقادیر باقیمانده جدول:

"BP - طرح اساسی":

; ;

"x1": ; ;

"x5": ; .

مقادیر ردیف شاخص غیر منفی است، بنابراین ما جواب بهینه را به دست می آوریم: , ; .

پاسخ:حداکثر سود حاصل از فروش محصولات تولیدی معادل 160/3 واحد با عرضه تنها محصولات نوع دوم به میزان 80/9 واحد تضمین می شود.

کار شماره 2

مسئله برنامه نویسی غیرخطی ارائه شده است. با استفاده از روش تحلیلی نموداری، حداکثر و حداقل تابع هدف را بیابید. تابع لاگرانژ را بنویسید و نشان دهید که شرایط حداقل (حداکثر) کافی در نقاط انتهایی برآورده شده است.

زیرا آخرین رقم رمز 8 است، سپس A=2. B=5.

زیرا رقم ماقبل آخر رمز 1 است، سپس باید کار شماره 1 را انتخاب کنید.

راه حل:

1) مساحتی را که سیستم نابرابری ها تعریف می کند رسم می کنیم.

این ناحیه یک مثلث ABC با مختصات رئوس است: A(0; 2); ب (4؛ 6) و ج (16/3؛ 14/3).

سطوح تابع هدف دایره هایی هستند که در مرکز نقطه (2؛ 5) قرار دارند. مربع های شعاع مقادیر تابع هدف خواهد بود. سپس شکل نشان می دهد که حداقل مقدار تابع هدف در نقطه H به دست می آید، حداکثر مقدار یا در نقطه A یا در نقطه C است.

مقدار تابع هدف در نقطه A: ;

مقدار تابع هدف در نقطه C: ;

به این معنی که حداکثر مقدار تابع در نقطه A(0; 2) به دست می آید و برابر با 13 است.

مختصات نقطه H را پیدا کنیم.

برای انجام این کار، سیستم را در نظر بگیرید:

ó

ó

یک خط مماس بر دایره است اگر معادله یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد. یک معادله درجه دوم یک راه حل منحصر به فرد دارد اگر ممیز 0 باشد.

سپس ; ; - حداقل مقدار تابع.

2) تابع لاگرانژ را برای یافتن حداقل راه حل بنویسید:

در ایکس 1 =2.5; ایکس 2 =4.5 ما گرفتیم:

ó

سیستم راه حلی برای، یعنی. شرایط افراطی کافی برآورده می شود.

ما تابع لاگرانژ را برای یافتن حداکثر جواب می نویسیم:

شرایط کافی برای یک افراطی:

در ایکس 1 =0; ایکس 2 =2 ما گرفتیم:

ó ó

این سیستم همچنین یک راه حل دارد، یعنی. شرایط افراطی کافی برآورده می شود.

پاسخ:حداقل تابع هدف در آن به دست می آید ; ; حداکثر تابع هدف زمانی حاصل می شود که ; .

کار شماره 3

به دو شرکت وجوه در این مبلغ اختصاص یافته است دواحدها زمانی که به مدت یک سال به اولین شرکت اختصاص داده شود ایکسواحدهای وجوهی که درآمد حاصل می کند ک 1 ایکسواحدها و زمانی که به شرکت دوم تخصیص داده شود yواحدهای وجوه، درآمد را فراهم می کند ک 1 yواحدها مانده وجوه در پایان سال برای اولین شرکت برابر است nx، و برای دوم من. چگونه می توان تمام وجوه را در عرض 4 سال تقسیم کرد تا کل درآمد بیشترین باشد؟ با برنامه نویسی پویا مشکل را حل کنید.

i=8، k=1.

A=2200; k 1 = 6; k2=1; n=0.2; m=0.5.

راه حل:

کل دوره 4 ساله به 4 مرحله تقسیم می شود که هر مرحله معادل یک سال است. بیایید مراحل را از سال اول شماره گذاری کنیم. فرض کنید X k و Y k به ترتیب وجوه تخصیص یافته به شرکت های A و B در مرحله k-ام باشند. سپس مجموع X k + Y k =a k کل وجوه استفاده شده در مرحله k - آن مرحله و باقیمانده از مرحله قبلی k - 1 است. در مرحله اول تمام وجوه تخصیص یافته استفاده می شود و 1 =2200 واحد است. درآمدی که در مرحله k و با تخصیص واحدهای X k و Y k دریافت می شود، 6X k + 1Y k خواهد بود. حداکثر درآمد دریافت شده در مراحل آخر را از k شروع کنید - آن مرحله f k (a k) واحد است. بیایید معادله تابعی بلمن را بنویسیم که اصل بهینه بودن را بیان می کند: هر حالت اولیه و راه حل اولیه، راه حل بعدی باید با توجه به حالت به دست آمده در نتیجه حالت اولیه بهینه باشد:

برای هر مرحله، باید مقدار X k و مقدار را انتخاب کنید Y k=aک- ایکسک. با در نظر گرفتن این موضوع، درآمد را در مرحله k-ام پیدا خواهیم کرد:

معادله تابعی بلمن به صورت زیر خواهد بود:

تمام مراحل را در نظر بگیرید، از آخرین مرحله شروع کنید.

(از آنجایی که حداکثر تابع خطی در انتهای بخش در x 4 = a 4 به دست می آید).

ما در صفحه مجموعه ای از راه حل های امکان پذیر را برای سیستم نابرابری های خطی می سازیم و از نظر هندسی حداقل مقدار تابع هدف را پیدا می کنیم.

ما در سیستم مختصات x 1 oh 2 خط می سازیم

نیم صفحه های تعیین شده توسط سیستم را پیدا می کنیم. از آنجایی که نابرابری‌های سیستم برای هر نقطه از نیم صفحه مربوطه برآورده می‌شوند، کافی است آن‌ها را برای هر نقطه بررسی کنیم. از نقطه (0;0) استفاده می کنیم. اجازه دهید مختصات آن را در اولین نابرابری سیستم جایگزین کنیم. زیرا ، سپس نابرابری نیم صفحه ای را تعریف می کند که حاوی نقطه (0;0) نیست. به همین ترتیب، نیم صفحه های باقیمانده را تعریف می کنیم. ما مجموعه ای از راه حل های امکان پذیر را به عنوان بخش مشترک نیم صفحه های به دست آمده پیدا می کنیم - این منطقه سایه دار است.

بردار و خطی با سطح صفر عمود بر آن می سازیم.

با حرکت خط (5) در جهت بردار، می بینیم که حداکثر نقطه منطقه در نقطه A از تقاطع خط (3) و خط (2) خواهد بود. ما جواب سیستم معادلات را پیدا می کنیم:

بنابراین، به نکته (13;11) رسیدیم و.

با حرکت خط (5) در جهت بردار، می بینیم که حداقل نقطه منطقه در نقطه B از تقاطع خط (1) و خط (4) خواهد بود. ما جواب سیستم معادلات را پیدا می کنیم:

بنابراین، ما به نقطه (6;6) و.

2. یک شرکت مبلمان، کابینت و میز کامپیوتر ترکیبی تولید می کند. تولید آنها به دلیل در دسترس بودن مواد خام (تخته های با کیفیت بالا، اتصالات) و زمان کار ماشین هایی که آنها را پردازش می کنند محدود می شود. هر کابینت به 5 متر مربع تخته نیاز دارد، برای یک میز - 2 متر مربع. یراق آلات 10 دلاری برای یک کابینت و 8 دلار برای یک میز خرج می شود. این شرکت می تواند ماهانه حداکثر 600 متر مربع تخته و لوازم جانبی را با قیمت 2000 دلار از تامین کنندگان خود دریافت کند. برای هر کابینت، 7 ساعت کار ماشینی، برای یک میز - 3 ساعت مورد نیاز است. تنها امکان استفاده از 840 ساعت کارکرد دستگاه در ماه وجود دارد.

اگر یک کابینت 100 دلار و هر میز 50 دلار درآمد داشته باشد، یک شرکت باید چند کابینت ترکیبی و میز کامپیوتر در ماه تولید کند تا سود را به حداکثر برساند؟

• 1. یک مدل ریاضی از مسئله بنویسید و آن را با روش سیمپلکس حل کنید.
• 2. یک مدل ریاضی از مسئله دوگانه بنویسید، حل آن را بر اساس حل اصلی بنویسید.
• 3. تعیین میزان کمبود منابع مورد استفاده و توجیه سودآوری طرح بهینه.
• 4. بسته به استفاده از هر نوع منبع، احتمالات افزایش بیشتر خروجی را بررسی کنید.
• 5. ارزیابی امکان سنجی معرفی نوع جدیدی از محصول - قفسه کتاب، در صورتی که 1 متر مربع تخته و لوازم جانبی به قیمت 5 دلار برای ساخت یک قفسه هزینه شود و 0.25 ساعت کارکرد دستگاه مورد نیاز باشد و سود حاصل از فروش یک قفسه 20 دلار است.
• 1. بیایید یک مدل ریاضی برای این مسئله بسازیم:

با x 1 - حجم تولید کابینت ها و x 2 - حجم تولید جداول را نشان دهید. اجازه دهید یک سیستم از محدودیت ها و یک تابع هدف بسازیم:

با استفاده از روش سیمپلکس مشکل را حل می کنیم. بیایید آن را به شکل متعارف بنویسیم:

بیایید داده های وظیفه را در قالب یک جدول بنویسیم:

میز 1

زیرا اکنون همه دلتاها بزرگتر از صفر هستند، پس افزایش بیشتر در مقدار تابع هدف f غیرممکن است و ما یک طرح بهینه به دست آورده ایم.

مقدمه

مرحله مدرن رشد بشر از این جهت متفاوت است که قرن انرژی با عصر انفورماتیک جایگزین شده است. معرفی فشرده فن آوری های جدید در تمام زمینه های فعالیت های انسانی وجود دارد. یک مشکل واقعی انتقال به جامعه اطلاعاتی وجود دارد که توسعه آموزش باید در اولویت قرار گیرد. ساختار دانش در جامعه نیز در حال تغییر است. دانش بنیادی که به رشد خلاقانه فرد کمک می کند برای زندگی عملی اهمیت فزاینده ای پیدا می کند. سازنده بودن دانش کسب شده، توانایی ساختن آن مطابق با هدف نیز مهم است. بر اساس دانش، منابع اطلاعاتی جدید جامعه شکل می گیرد. شکل‌گیری و کسب دانش جدید باید مبتنی بر روش شناسی دقیق یک رویکرد سیستماتیک باشد که در آن مکان جداگانه‌ای توسط یک رویکرد مدل اشغال شده است. امکانات رویکرد مدل‌سازی هم از نظر مدل‌های رسمی مورد استفاده و هم در روش‌های اجرای روش‌های مدل‌سازی بسیار متنوع است. مدل سازی فیزیکی این امکان را برای سیستم های نسبتاً ساده به دست می آورد.

در حال حاضر نمی‌توان حوزه‌ای از فعالیت‌های انسانی را نام برد که در آن روش‌های مدل‌سازی به یک درجه یا درجات دیگر مورد استفاده قرار نگیرد. این امر به ویژه برای مدیریت سیستم های مختلف صادق است، جایی که اصلی ترین آنها فرآیندهای تصمیم گیری بر اساس اطلاعات دریافتی است.

1. بیان مسئله

تابع هدف حداقل

مشکل یافتن مینیمم تابع هدف برای سیستم قیود مشخص شده توسط چندضلعی تصمیم را مطابق با گزینه شماره 16 کار حل کنید. چند ضلعی تصمیم در شکل 1 نشان داده شده است:

شکل 1 - چند ضلعی راه حل های مسئله

سیستم محدودیت ها و تابع هدف مسئله در زیر ارائه شده است:

حل مشکل با استفاده از روش های زیر ضروری است:

روش گرافیکی برای حل مسائل LP;

روش جبری برای حل مسائل LP;

روش ساده برای حل مسائل LP.

روشی برای یافتن راه حل عملی برای مشکلات LP.

حل مشکل LP دوگانه؛

روش "شاخه ها و مرزها" برای حل مسائل LP عدد صحیح.

روش Gomory برای حل مسائل LP عدد صحیح.

روش بالاش برای حل مسائل بولین LP.

نتایج حل را با روش های مختلف مقایسه کنید تا نتیجه گیری مناسب در مورد کار حاصل شود.

2. حل گرافیکی مسئله برنامه ریزی خطی

روش گرافیکی برای حل مسائل برنامه ریزی خطی در مواردی استفاده می شود که تعداد مجهولات بیش از سه نباشد. برای مطالعه کیفی خواص راه حل ها مناسب است و در ارتباط با روش های دیگر (جبری، شاخه و کران و غیره) استفاده می شود. ایده روش مبتنی بر حل گرافیکی یک سیستم نابرابری های خطی است.

برنج. 2 راه حل گرافیکی مسئله LP

نقطه پایین

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه A1 و A2 می گذرد:

AB: (0;1); (3; 3)

خورشید: (3;3); (4;1)

سی دی: (4;1); (3;0)

EA: (1;0); (0;1)

CF: (0;1); (5; 2)

با محدودیت:

حل مسئله برنامه ریزی خطی به روش جبری سیمپلکس

استفاده از روش جبری برای حل مسئله مستلزم تعمیم نمایش مسئله LP است. سیستم اصلی قیود که به شکل نابرابری ها ارائه می شود، زمانی که محدودیت ها به شکل برابری داده می شوند، به نماد استاندارد تبدیل می شود. تبدیل سیستم محدودیت ها به فرم استاندارد شامل مراحل زیر است:

نابرابری ها را طوری تبدیل کنید که متغیرها و اعضای آزاد در سمت چپ و 0 در سمت راست قرار گیرند، یعنی. که سمت چپ بزرگتر یا مساوی صفر باشد.

متغیرهای اضافی را معرفی کنید که تعداد آنها برابر با تعداد نابرابری های موجود در سیستم محدودیت است.

با معرفی محدودیت‌های اضافی در مورد منفی نبودن متغیرهای اضافه شده، علائم نابرابری را با علائم برابر دقیق جایگزین کنید.

هنگام حل مسئله LP با روش جبری، یک شرط اضافه می شود: تابع هدف باید به حداقل تمایل داشته باشد. اگر این شرط برآورده نشد، لازم است تابع هدف به طور مناسب تبدیل شود (ضرب در -1) و مشکل کمینه سازی حل شود. پس از یافتن راه حل، مقادیر متغیرها را در تابع اصلی جایگزین کرده و مقدار آن را محاسبه کنید.

حل مسئله با استفاده از روش جبری زمانی بهینه در نظر گرفته می شود که مقادیر همه متغیرهای اساسی غیر منفی باشند و ضرایب متغیرهای آزاد در معادله تابع هدف نیز غیرمنفی باشند. در صورت عدم احراز این شرایط، برای دستیابی به محدودیت های فوق، لازم است سیستم نابرابری ها با بیان برخی از متغیرها بر حسب برخی دیگر (تغییر متغیرهای آزاد و پایه) تغییر شکل داده شود. مقدار همه متغیرهای آزاد صفر در نظر گرفته شده است.

روش جبری برای حل مسائل برنامه ریزی خطی یکی از موثرترین روش ها برای حل مسائل با ابعاد کوچک به صورت دستی است. به تعداد زیادی محاسبات حسابی نیاز ندارد. پیاده سازی ماشینی این روش پیچیده تر از مثلاً روش سیمپلکس است، زیرا الگوریتم حل روش جبری تا حدی اکتشافی است و اثربخشی راه حل تا حد زیادی به تجربه شخصی بستگی دارد.

متغیرهای رایگان

خیابان لین - اضافه کردن. کیت

شرایط غیر منفی برآورده می شود، بنابراین، راه حل بهینه پیدا می شود.

3. حل مسئله برنامه ریزی خطی با استفاده از جدول سیمپلکس

راه حل: بیایید با استفاده از جدول سیمپلکس، مسئله را به یک فرم استاندارد برای حل برسانیم.

تمام معادلات سیستم را به شکل زیر کاهش می دهیم:

ما یک جدول ساده می سازیم:

در گوشه بالایی هر خانه جدول ضرایب را از سیستم معادلات وارد می کنیم.

ما حداکثر عنصر مثبت را در ردیف F انتخاب می کنیم، به جز این که ستون کلی خواهد بود.

برای یافتن عنصر کلی، برای همه موارد مثبت یک رابطه ایجاد می کنیم. 3/3; 9/1;- حداقل نسبت در خط x3. از این رو - رشته عمومی و =3 - عنصر عمومی.

=1/=1/3 را پیدا می کنیم. ما گوشه پایین سلول را وارد می کنیم، جایی که عنصر کلی در آن قرار دارد.

در تمام گوشه‌های پایین پر نشده خط کلی، حاصل ضرب مقدار را در گوشه بالایی سلول با وارد می‌کنیم.

گوشه های بالای خط کلی را انتخاب کنید.

در تمام گوشه های پایینی ستون عمومی، حاصل ضرب مقدار را در گوشه بالا با - وارد می کنیم و مقادیر حاصل را انتخاب می کنیم.

سلول های باقیمانده جدول به عنوان محصولات عناصر انتخاب شده مربوطه پر می شوند.

سپس یک جدول جدید می سازیم که در آن تعیین سلول های عناصر ستون و ردیف عمومی معکوس شده است (x2 و x3).

در گوشه بالایی سطر و ستون عمومی قبلی، مقادیری که قبلاً در گوشه پایینی قرار داشتند نوشته شده است.

مجموع مقادیر گوشه های بالا و پایین این سلول ها در جدول قبلی در گوشه بالایی سلول های باقی مانده نوشته شده است.

4. حل مسئله برنامه ریزی خطی با یافتن راه حل عملی

اجازه دهید یک سیستم معادلات جبری خطی داده شود:

می توانیم همه چیز را فرض کنیم، در غیر این صورت معادله مربوطه را در -1 ضرب می کنیم.

ما متغیرهای کمکی را معرفی می کنیم:

ما همچنین یک تابع کمکی را معرفی می کنیم

ما سیستم را تحت محدودیت (2) و شرایط به حداقل می رسانیم.

قانون یافتن راه حل امکان پذیر: برای یافتن راه حل عملی برای سیستم (1)، شکل (3) را تحت محدودیت (2) کمینه می کنیم، به عنوان مجهولات آزاد، xj را به عنوان مجهولات پایه در نظر می گیریم.

هنگام حل یک مسئله با روش سیمپلکس، دو حالت ممکن است پیش بیاید:

min f=0، پس تمام i باید برابر با صفر باشد. و مقادیر حاصل از xj یک راه حل عملی برای سیستم (1) خواهد بود.

min f>0، یعنی سیستم اصلی راه حل عملی ندارد.

سیستم منبع:

از شرط مسئله مبحث قبل استفاده می شود.

بیایید متغیرهای اضافی اضافه کنیم:

یک راه حل قابل قبول برای مسئله اصلی یافت می شود: x1 = 3، x2 = 3، F = -12. بر اساس راه حل امکان پذیر به دست آمده، با استفاده از روش سیمپلکس، راه حل بهینه برای مسئله اصلی را پیدا می کنیم. برای انجام این کار، با حذف سطر و سطر با تابع هدف وظیفه کمکی، یک جدول سیمپلکس جدید از جدول به دست آمده در بالا می سازیم:

با تجزیه و تحلیل جدول سیمپلکس ساخته شده، می بینیم که راه حل بهینه برای مسئله اصلی قبلاً پیدا شده است (عناصر در ردیف مربوط به تابع هدف منفی هستند). بنابراین، راه حل عملی یافت شده هنگام حل مسئله کمکی با راه حل بهینه مسئله اصلی منطبق است:

6. مسئله دوگانه برنامه ریزی خطی

سیستم اولیه محدودیت ها و تابع هدف مسئله در شکل زیر نشان داده شده است.

با محدودیت:

راه حل: ما سیستم محدودیت ها را به فرم استاندارد می آوریم:

وظیفه دوتایی به این شکل به نظر می رسد:

مشکل دوگانه با روش سیمپلکس حل خواهد شد.

اجازه دهید تابع هدف را طوری تبدیل کنیم که مسئله کمینه سازی حل شود و سیستم محدودیت ها را به شکل استاندارد برای حل با روش سیمپلکس بنویسیم.

y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 +y3 + y4+ y5)

y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)

Ф = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??دقیقه

اجازه دهید جدول سیمپلکس اولیه را برای حل مسئله LP دوگانه بسازیم.

مرحله دوم روش سیمپلکس

بنابراین، در مرحله سوم روش سیمپلکس، جواب بهینه مسئله کمینه سازی با نتایج زیر بدست آمد: y2 = -7 /8، y1 = -11/8، Ф = 12. برای یافتن مقدار تابع هدف مسئله دوگانه، مقادیر یافت شده متغیرهای پایه و آزاد را با تابع بیشینه سازی جایگزین می کنیم:

Фmax = - Фmin = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12

از آنجایی که مقدار تابع هدف مسایل مستقیم و دوگانه یکسان است، راه حل مسئله مستقیم پیدا می شود و برابر با 12 است.

Fmin \u003d Fmax \u003d -12

7. حل مسئله برنامه ریزی خطی اعداد صحیح با استفاده از روش "شاخه ها و کرانه ها".

اجازه دهید مسئله اصلی را به گونه‌ای تبدیل کنیم که هنگام حل با روش‌های مرسوم، شرط عدد صحیح برآورده نشود.

چند ضلعی اولیه راه حل های یک مسئله برنامه نویسی عدد صحیح.

اجازه دهید یک سیستم جدید از قیود برای چندضلعی حل تبدیل شده بسازیم.

ما سیستم قیود را به صورت تساوی می نویسیم، برای حل به روش جبری.

در نتیجه راه حل، طرح کار بهینه پیدا شد: x1 = 9/4، x2 = 5/2، F = -41/4. این راه حل شرایط یکپارچگی تنظیم شده در مشکل را برآورده نمی کند. ما چند ضلعی حل اصلی را به دو ناحیه تقسیم می کنیم، منطقه 3 را از آن جدا نمی کنیم

چند ضلعی راه حل های مسئله تغییر کرد

اجازه دهید سیستم های جدیدی از محدودیت ها را برای مناطق تشکیل شده از چندضلعی حل بسازیم. ناحیه سمت چپ چهار ضلعی (ذوزنقه) است. سیستم محدودیت برای ناحیه سمت چپ چند ضلعی حل در زیر ارائه شده است.

سیستم محدودیت برای منطقه چپ

ناحیه سمت راست نشان دهنده نقطه C است.

سیستم محدودیت ها برای منطقه تصمیم گیری درست در زیر ارائه شده است.

سیستم های محدودیت جدید دو مشکل فرعی هستند که باید مستقل از یکدیگر حل شوند. بیایید مشکل برنامه نویسی عدد صحیح را برای ناحیه سمت چپ چند ضلعی حل حل کنیم.

در نتیجه راه حل، طرح کار بهینه پیدا شد: x1 = 3، x2 = 3، F = -12. این طرح شرایط متغیرهای عدد صحیح در مسئله را برآورده می کند و می تواند به عنوان طرح مرجع بهینه برای مسئله برنامه ریزی خطی عدد صحیح اصلی در نظر گرفته شود. انجام راه حل برای منطقه راه حل مناسب بی معنی است. شکل زیر پیشرفت حل مسئله برنامه ریزی خطی عدد صحیح را به صورت درختی نشان می دهد.

درس حل مسئله برنامه ریزی خطی عدد صحیح به روش گوموری.

در بسیاری از کاربردهای عملی، مسئله برنامه ریزی اعداد صحیح بسیار مورد توجه است، که در آن سیستمی از نابرابری های خطی و شکل خطی ارائه می شود.

لازم است یک جواب عدد صحیح از سیستم (1) پیدا شود که تابع هدف F را به حداقل برساند و همه ضرایب اعداد صحیح هستند.

یکی از روش های حل مسئله برنامه نویسی عدد صحیح توسط Gomory ارائه شد. ایده روش استفاده از روش های برنامه ریزی خطی پیوسته، به ویژه روش سیمپلکس است.

1) با استفاده از روش سیمپلکس، راه حل مسئله (1)، (2) تعیین می شود که برای آن شرط صحیح بودن جواب حذف می شود. اگر معلوم شد که راه حل عدد صحیح است، راه حل مورد نظر برای مسئله عدد صحیح نیز پیدا می شود.

2) در غیر این صورت، اگر مقداری از مختصات یک عدد صحیح نباشد، راه حل به دست آمده از مسئله از نظر احتمال وجود جواب عدد صحیح (وجود نقاط صحیح در یک چندوجهی قابل قبول) بررسی می شود.

اگر در هر خطی با یک عضو آزاد کسری، همه ضرایب دیگر اعداد صحیح باشند، آنگاه هیچ اعداد صحیح، نقطه‌ای در یک چندوجهی قابل قبول وجود ندارد و مشکل برنامه‌نویسی اعداد صحیح راه‌حلی ندارد.

در غیر این صورت، یک محدودیت خطی اضافی معرفی می‌شود که بخشی را از چندوجهی قابل قبول قطع می‌کند که برای یافتن راه‌حلی برای یک مشکل برنامه‌نویسی عدد صحیح، امیدبخش نیست.

3) برای ایجاد یک محدودیت خطی اضافی، ردیف l را با یک عضو آزاد کسری انتخاب کنید و محدودیت اضافی را یادداشت کنید.

که در آن و به ترتیب، بخش های کسری از ضرایب و آزاد هستند

عضو اجازه دهید یک متغیر کمکی را در محدودیت (3) معرفی کنیم:

اجازه دهید ضرایب و در محدودیت (4) را تعیین کنیم:

که و به ترتیب نزدیکترین اعداد صحیح پایین برای و هستند.

گوموری ثابت کرد که تعداد محدودی از این مراحل منجر به یک مسئله برنامه ریزی خطی می شود که راه حل آن عدد صحیح و در نتیجه مطلوب است.

راه حل: سیستم قیود خطی و تابع هدف را به شکل متعارف کاهش می دهیم:

اجازه دهید راه حل بهینه سیستم قیود خطی را تعیین کنیم و به طور موقت شرط عدد صحیح را کنار بگذاریم. برای این کار از روش سیمپلکس استفاده می کنیم. جداول زیر به طور متوالی راه حل اولیه مسئله را ارائه می دهند و تبدیلات جدول اصلی برای به دست آوردن راه حل بهینه برای مسئله آورده شده است:

حل مسائل LP Boolean به روش بالاش.

نوع خود را برای مسئله برنامه ریزی خطی عدد صحیح با متغیرهای بولی با در نظر گرفتن قوانین زیر بنویسید: مسئله از حداقل 5 متغیر، حداقل 4 قید استفاده می کند، ضرایب محدودیت و تابع هدف خودسرانه انتخاب می شوند، اما در چنین حالتی روشی که سیستم محدودیت سازگار است. وظیفه حل ZCLP با متغیرهای بولی با استفاده از الگوریتم بالاش و تعیین کاهش پیچیدگی محاسباتی در رابطه با حل مسئله با جستجوی جامع است.

اجرای محدودیت ها

مقدار F

محدودیت فیلتر:

محاسبه کاهش تعیین

حل مسئله با روش جستجوی جامع 6*25=192 عبارت محاسبه شده است. حل مسئله با روش بالاش 3*6+(25-3)=47 عبارت محاسبه شده است. کاهش کل در پیچیدگی محاسبات در رابطه با حل مسئله با روش جستجوی جامع است.

نتیجه

فرآیند طراحی سیستم‌های اطلاعاتی که فناوری اطلاعات جدید را پیاده‌سازی می‌کنند، دائماً در حال بهبود است. سیستم های پیچیده به طور فزاینده ای در کانون توجه مهندسان سیستم قرار می گیرند که استفاده از مدل های فیزیکی را دشوار می کند و اهمیت مدل های ریاضی و شبیه سازی کامپیوتری سیستم ها را افزایش می دهد. مدل سازی ماشین به ابزاری موثر برای تحقیق و طراحی سیستم های پیچیده تبدیل شده است. ارتباط مدل های ریاضی به دلیل انعطاف پذیری، کفایت فرآیندهای واقعی، هزینه پایین پیاده سازی بر اساس رایانه های شخصی مدرن، به طور مداوم در حال افزایش است. فرصت‌های بیشتر و بیشتری برای کاربر، یعنی متخصص در سیستم‌های مدل‌سازی با استفاده از فناوری رایانه فراهم می‌شود. استفاده از مدل‌سازی به‌ویژه در مراحل اولیه طراحی سیستم‌های خودکار، زمانی که هزینه تصمیم‌های اشتباه بسیار مهم است، مؤثر است.

ابزارهای محاسباتی مدرن این امکان را به وجود آورده است که پیچیدگی مدل‌های مورد استفاده در مطالعه سیستم‌ها را به میزان قابل توجهی افزایش دهد، ساخت مدل‌های ترکیبی، تحلیلی و شبیه‌سازی با در نظر گرفتن طیف وسیعی از عواملی که در سیستم‌های واقعی اتفاق می‌افتد، ممکن شده است. یعنی استفاده از مدل هایی که برای پدیده های مورد مطالعه مناسب تر هستند.

ادبیات:

1. لیاشچنکو I.N. برنامه نویسی خطی و غیر خطی / I.N. Lyashchenko، E.A. Karagodova، N.V. Chernikova، N.Z. Shor. - ک .: "دبیرستان"، 1975، 372 ص.

2. دستورالعمل اجرای پروژه درسی در رشته "ریاضیات کاربردی" برای دانش آموزان تخصص "سیستم ها و شبکه های کامپیوتری" فرم های آموزش تمام وقت و نیمه وقت / گردآوری شده توسط: I.A. Balakireva، A.V. Skatkov - سواستوپل: انتشارات SevNTU، 2003. - 15 ص.

3. راهنمای مطالعه رشته "ریاضیات کاربردی"، بخش "روش های جستجوی جهانی و کمینه سازی یک بعدی" / Comp. A.V. Skatkov، I.A. Balakireva، L.A. Litvinova - سواستوپل: انتشارات SevGTU، 2000. - 31s.

4. دستورالعمل برای مطالعه رشته "ریاضیات کاربردی" برای دانش آموزان تخصص "سیستم ها و شبکه های کامپیوتری" بخش "حل مسائل برنامه ریزی خطی عدد صحیح" فرم های آموزش تمام وقت و مکاتبه / گردآوری شده توسط: I.A. Balakireva، A.V. Skatkov - سواستوپل : انتشارات SevNTU، 2000. - 13 p.

5. آکولیچ آی.ال. برنامه نویسی ریاضی در مثال ها و وظایف:

6. Proc. کمک هزینه اقتصاد دانشجویی متخصص. دانشگاه ها.-م.: بالاتر. مدرسه، 1986.- 319s., ill.

7. Andronov S.A. روش های طراحی بهینه: متن سخنرانی / SPbGUAP. SPb., 2001. 169 p.: ill.

اسناد مشابه

الگوریتم حل مسائل برنامه ریزی خطی به روش سیمپلکس. ساخت مدل ریاضی مسئله برنامه ریزی خطی. حل مسئله برنامه نویسی خطی در اکسل. یافتن سود و برنامه تولید بهینه.

مقاله ترم، اضافه شده در 2012/03/21


حل مسائل گرافیکی ترسیم یک مدل ریاضی تعیین حداکثر مقدار تابع هدف. حل با روش سیمپلکس با مبنای مصنوعی یک مسئله برنامه ریزی خطی متعارف. بررسی بهینه بودن راه حل.

تست، اضافه شده در 2016/04/05


مبانی نظری برنامه ریزی خطی. مسائل برنامه ریزی خطی، روش های حل. تجزیه و تحلیل راه حل بهینه. حل مسئله برنامه ریزی خطی تک شاخصی بیان مشکل و ورود داده ها. مراحل ساخت مدل و راه حل.

مقاله ترم، اضافه شده در 12/09/2008


ساخت یک مدل ریاضی. انتخاب، توجیه و شرح روش حل مسئله مستقیم برنامه ریزی خطی به روش سیمپلکس با استفاده از جدول سیمپلکس. فرمول بندی و حل یک مسئله دوگانه. تجزیه و تحلیل مدل برای حساسیت.

مقاله ترم، اضافه شده 10/31/2014


ساخت یک مدل ریاضی به منظور به حداکثر رساندن سود شرکت، یک راه حل گرافیکی برای مشکل. حل مشکل با استفاده از افزونه SOLVER. تجزیه و تحلیل تغییرات در ذخایر منابع. تعیین حدود تغییر در ضرایب تابع هدف.

مقاله ترم، اضافه شده 12/17/2014


برنامه نویسی ریاضی برنامه ریزی خطی. مسائل برنامه ریزی خطی روش گرافیکی برای حل مسئله برنامه ریزی خطی. فرمول بندی اقتصادی مسئله برنامه ریزی خطی. ساخت یک مدل ریاضی.

مقاله ترم، اضافه شده 10/13/2008


حل مسئله برنامه نویسی خطی با روش گرافیکی، تایید آن در MS Excel. تجزیه و تحلیل ساختار داخلی حل مسئله در برنامه. بهینه سازی طرح تولید حل مسئله به روش سیمپلکس سیستم نوبت دهی چند کاناله

تست، اضافه شده در 2012/05/02


حل مسئله برنامه ریزی خطی به روش سیمپلکس: تنظیم مسئله، ساخت مدل اقتصادی و ریاضی. حل مسئله حمل و نقل با روش پتانسیل ها: ساخت طرح مرجع اولیه، تعیین مقدار بهینه آن.

تست، اضافه شده در 04/11/2012


بیان مسئله برنامه ریزی غیرخطی. تعیین نقاط ثابت و نوع آنها. ساخت خطوط تراز، نمودار سه بعدی تابع هدف و محدودیت ها. حل گرافیکی و تحلیلی مسئله. راهنمای کاربر و طرح الگوریتم.

مقاله ترم، اضافه شده 12/17/2012


تجزیه و تحلیل حل مسئله برنامه ریزی خطی. روش سیمپلکس با استفاده از جداول سیمپلکس. مدلسازی و حل مسائل LP در کامپیوتر. تفسیر اقتصادی راه حل بهینه مسئله. فرمول ریاضی مسئله حمل و نقل.

اگر در یک مسئله برنامه ریزی خطی فقط دو متغیر وجود داشته باشد، می توان آن را به صورت گرافیکی حل کرد.

یک مسئله برنامه ریزی خطی را با دو متغیر در نظر بگیرید و :
(1.1) ;
(1.2)
در اینجا، اعداد دلخواه هستند. وظیفه می تواند هم یافتن حداکثر (حداکثر) و هم یافتن حداقل (min) باشد. در نظام محدودیت ها هم نشانه ها و هم نشانه ها می تواند وجود داشته باشد.

ساخت حوزه راه حل های امکان پذیر

روش گرافیکی برای حل مسئله (1) به شرح زیر است.
ابتدا محورهای مختصات را رسم کرده و مقیاس را انتخاب می کنیم. هر یک از نابرابری های سیستم محدودیت (1.2) یک نیم صفحه محدود شده توسط خط مربوطه را تعریف می کند.

بنابراین اولین نابرابری
(1.2.1)
یک نیم صفحه محدود به یک خط را تعریف می کند. در یک طرف این خط، و در طرف دیگر. در مستقیم ترین خط. برای اینکه بفهمیم نابرابری (1.2.1) از کدام طرف ارضا می شود، نقطه دلخواه را انتخاب می کنیم که روی خط قرار ندارد. سپس مختصات این نقطه را در (1.2.1) جایگزین می کنیم. اگر نابرابری برقرار باشد، نیم صفحه حاوی نقطه انتخاب شده است. اگر نابرابری برآورده نشود، نیم صفحه در سمت دیگر قرار دارد (شامل نقطه انتخاب شده نیست). نیم صفحه ای را که برای آن نابرابری (1.2.1) برآورده شده است، سایه می زنیم.

ما همین کار را برای نابرابری های باقیمانده سیستم (1.2) انجام می دهیم. بنابراین ما نیم صفحه های سایه دار را دریافت می کنیم. نقاط حوزه راه حل های قابل قبول همه نابرابری ها را برآورده می کند (1.2). بنابراین، از نظر گرافیکی، مساحت راه‌حل‌های امکان‌پذیر (ODD) محل تلاقی تمام نیم صفحه‌های ساخته شده است. ما ODR را سایه می زنیم. این یک چند ضلعی محدب است که وجوه آن متعلق به خطوط ساخته شده است. همچنین، ODR می تواند یک شکل محدب نامحدود، یک قطعه، یک پرتو یا یک خط مستقیم باشد.

همچنین ممکن است این مورد پیش بیاید که نیم صفحه ها حاوی نقاط مشترک نیستند. سپس دامنه راه حل های قابل قبول مجموعه خالی است. این مشکل هیچ راه حلی ندارد.

می توانید روش را ساده کنید. شما نمی توانید هر نیم صفحه را سایه بزنید، اما ابتدا تمام خطوط را بسازید
(2)
بعد، یک نقطه دلخواه را انتخاب کنید که به هیچ یک از این خطوط تعلق ندارد. مختصات این نقطه را با سیستم نامساوی (1.2) جایگزین کنید. اگر همه نابرابری‌ها برآورده شوند، مساحت راه‌حل‌های امکان‌پذیر توسط خطوط ساخته شده محدود می‌شود و شامل نقطه انتخابی می‌شود. منطقه محلول های قابل قبول را در امتداد مرزهای خطوط سایه می زنیم تا نقطه انتخاب شده را شامل شود.

اگر حداقل یک نابرابری ارضا نشد، نقطه دیگری را انتخاب کنید. و به همین ترتیب تا زمانی که یک نقطه پیدا شود که مختصات آن سیستم (1.2) را برآورده کند.

یافتن منتهی الیه تابع هدف

بنابراین، ما یک منطقه سایه دار از راه حل های امکان پذیر (ODR) داریم. توسط یک خط شکسته متشکل از قطعات و پرتوهای متعلق به خطوط ساخته شده محدود شده است (2). ODR همیشه یک مجموعه محدب است. این می تواند یک مجموعه محدود یا یک مجموعه نامحدود در امتداد برخی جهت ها باشد.

اکنون می‌توانیم به دنبال حداکثر تابع هدف باشیم
(1.1) .

برای انجام این کار، هر عددی را انتخاب کنید و یک خط مستقیم بسازید
(3) .
برای سهولت ارائه بیشتر، فرض می کنیم که این خط مستقیم از ODS عبور می کند. در این خط مستقیم، تابع هدف ثابت و برابر است. چنین خط مستقیمی را خط تراز تابع می نامند. این خط هواپیما را به دو نیم صفحه تقسیم می کند. در یک نیم هواپیما
.
در نیمه دیگر هواپیما
.
یعنی در یک طرف خط مستقیم (3) تابع هدف افزایش می یابد. و هر چه نقطه را از خط (3) دورتر کنیم، مقدار آن بیشتر می شود. در طرف دیگر خط مستقیم (3)، تابع هدف کاهش می یابد. و هر چه نقطه را از خط (3) به سمت دیگر دور کنیم، مقدار آن کوچکتر می شود. اگر خطی موازی با خط (3) رسم کنیم، خط جدید نیز خط سطح تابع هدف خواهد بود، اما با مقدار متفاوت.

بنابراین، برای یافتن حداکثر مقدار تابع هدف، لازم است یک خط مستقیم موازی با خط مستقیم (3)، تا حد امکان از آن در جهت افزایش مقادیر و عبور از آن رسم شود. حداقل یک نقطه از ODT. برای یافتن حداقل مقدار تابع هدف، باید یک خط مستقیم به موازات خط مستقیم (3) و تا حد امکان از آن در جهت کاهش مقادیر و عبور از حداقل یک نقطه رسم کرد. از ODT.

اگر ODE نامحدود باشد، ممکن است موردی ایجاد شود که چنین خط مستقیمی را نتوان ترسیم کرد. یعنی هر چقدر هم که خط مستقیم را از خط تراز (3) در جهت افزایش (کاهش) برداریم، خط مستقیم همیشه از ODR عبور خواهد کرد. در این مورد، می تواند خودسرانه بزرگ (کوچک) باشد. بنابراین، هیچ مقدار حداکثر (حداقل) وجود ندارد. مشکل راه حلی ندارد.

حالتی را در نظر بگیرید که خط انتهایی موازی با یک خط دلخواه شکل (3) از یک راس چند ضلعی ODD عبور کند. از روی نمودار مختصات این راس را مشخص می کنیم. سپس حداکثر (حداقل) مقدار تابع هدف با فرمول تعیین می شود:
.
راه حل مشکل این است
.

همچنین ممکن است موردی وجود داشته باشد که خط مستقیم با یکی از وجوه ODS موازی باشد. سپس خط از دو راس چند ضلعی ODD عبور می کند. مختصات این رئوس را تعیین می کنیم. برای تعیین حداکثر (حداقل) مقدار تابع هدف، می توانید از مختصات هر یک از این رئوس استفاده کنید:
.
مشکل بی نهایت راه حل دارد. راه حل هر نقطه ای است که در قسمت بین نقاط و از جمله نقاط خود و .

نمونه ای از حل مسئله برنامه ریزی خطی با روش گرافیکی

وظیفه

این شرکت لباس هایی از دو مدل A و B تولید می کند. از سه نوع پارچه استفاده می شود. برای ساخت یک مدل لباس، پارچه نوع اول 2 متر، نوع دوم 1 متر، نوع سوم 2 متر پارچه مورد نیاز است. برای ساخت یک لباس مدل B، پارچه نوع اول 3 متر، نوع دوم 1 متر، پارچه نوع سوم 2 متر مورد نیاز است. موجودی پارچه نوع اول 21 متر، نوع دوم - 10 متر، نوع سوم - 16 متر است. عرضه یک محصول از نوع A 400 den درآمد به همراه دارد. واحد، یک محصول از نوع B - 300 den. واحدها

یک برنامه تولیدی تهیه کنید که بیشترین درآمد را برای شرکت فراهم کند. مشکل را گرافیکی حل کنید.

راه حل

متغیرها را بگذارید و به ترتیب تعداد لباس های تولید شده مدل A و B را نشان دهید. سپس مقدار بافت استفاده شده از نوع اول خواهد بود:
(متر)
مقدار پارچه استفاده شده از نوع دوم عبارت است از:
(متر)
مقدار پارچه استفاده شده از نوع سوم عبارت است از:
(متر)
از آنجایی که تعداد لباس های تولید شده نمی تواند منفی باشد، پس
و .
درآمد حاصل از لباس های تولید شده به شرح زیر خواهد بود:
(واحدهای واحد)

سپس مدل اقتصادی-ریاضی مسئله به شکل زیر است:

ما آن را به صورت گرافیکی حل می کنیم.
محورهای مختصات و .

ما یک خط مستقیم می سازیم.
در .
در .
از میان نقاط (0؛ 7) و (10.5؛ 0) یک خط مستقیم می کشیم.

ما یک خط مستقیم می سازیم.
در .
در .
از میان نقاط (0؛ 10) و (10؛ 0) یک خط مستقیم می کشیم.

ما یک خط مستقیم می سازیم.
در .
در .
از میان نقاط (0; 8) و (8; 0) یک خط مستقیم می کشیم.

منطقه را طوری سایه می زنیم که نقطه (2؛ 2) در قسمت سایه دار بیفتد. چهارضلعی OABC را می گیریم.

(P1.1) .
در .
در .
از میان نقاط (0; 4) و (3; 0) یک خط مستقیم می کشیم.

علاوه بر این، توجه می کنیم که از آنجایی که ضرایب برای و تابع هدف مثبت است (400 و 300)، پس با افزایش و افزایش می یابد. یک خط مستقیم به موازات خط مستقیم (A1.1) می کشیم، تا حد امکان از آن در جهت افزایش، و از حداقل یک نقطه از چهار ضلعی OABC عبور می کند. چنین خط مستقیمی از نقطه C می گذرد. ​​از روی ساخت، مختصات آن را تعیین می کنیم.
.

راه حل مشکل: ;

پاسخ

.
یعنی برای به دست آوردن بیشترین درآمد باید 8 لباس مدل A بسازید که درآمد در این حالت 3200 den خواهد بود. واحدها

مثال 2

وظیفه

حل یک مسئله برنامه ریزی خطی با استفاده از روش گرافیکی.

راه حل

ما آن را به صورت گرافیکی حل می کنیم.
محورهای مختصات و .

ما یک خط مستقیم می سازیم.
در .
در .
از طریق نقاط (0; 6) و (6; 0) یک خط مستقیم می کشیم.

ما یک خط مستقیم می سازیم.
از اینجا.
در .
در .
از میان نقاط (3; 0) و (7; 2) یک خط مستقیم می کشیم.

ما یک خط مستقیم می سازیم.
یک خط مستقیم (محور آبسیسا) می سازیم.

دامنه راه حل های قابل قبول (DDR) توسط خطوط مستقیم ساخته شده محدود می شود. برای اینکه بفهمیم از کدام طرف، متوجه می شویم که نقطه متعلق به ODT است، زیرا سیستم نابرابری ها را برآورده می کند:

منطقه را در امتداد مرزهای خطوط ساخته شده سایه می زنیم تا نقطه (4؛ 1) در قسمت سایه دار بیفتد. مثلث ABC را می گیریم.

ما یک خط سطح دلخواه از تابع هدف می سازیم، برای مثال،
.
در .
در .
یک خط مستقیم از طریق نقاط (0; 6) و (4; 0) می کشیم.
از آنجایی که تابع هدف با افزایش و افزایش می یابد، یک خط مستقیم به موازات خط تراز و تا حد امکان از آن در جهت افزایش و عبور از حداقل یک نقطه از مثلث ABC رسم می کنیم. چنین خط مستقیمی از نقطه C می گذرد. ​​از روی ساخت، مختصات آن را تعیین می کنیم.
.

راه حل مشکل: ;

پاسخ

مثال عدم راه حل

وظیفه

مشکل برنامه ریزی خطی را به صورت گرافیکی حل کنید. حداکثر و حداقل مقدار تابع هدف را بیابید.

راه حل

ما مشکل را به صورت گرافیکی حل می کنیم.
محورهای مختصات و .

ما یک خط مستقیم می سازیم.
در .
در .
از طریق نقاط (0; 8) و (2.667; 0) یک خط مستقیم می کشیم.

ما یک خط مستقیم می سازیم.
در .
در .
از میان نقاط (0; 3) و (6; 0) یک خط مستقیم می کشیم.

ما یک خط مستقیم می سازیم.
در .
در .
از میان نقاط (3; 0) و (6; 3) یک خط مستقیم می کشیم.

خطوط و محورهای مختصات هستند.

دامنه راه حل های قابل قبول (SDR) توسط خطوط مستقیم ساخته شده و محورهای مختصات محدود می شود. برای اینکه بفهمیم از کدام طرف، متوجه می شویم که نقطه متعلق به ODT است، زیرا سیستم نابرابری ها را برآورده می کند:

منطقه را طوری سایه می زنیم که نقطه (3; 3) در قسمت سایه دار بیفتد. یک ناحیه نامحدود می گیریم که با خط شکسته ABCDE محدود شده است.

ما یک خط سطح دلخواه از تابع هدف می سازیم، برای مثال،
(P3.1) .
در .
در .
از طریق نقاط (0; 7) و (7; 0) یک خط مستقیم می کشیم.
از آنجایی که ضرایب در و مثبت هستند، پس با افزایش و افزایش می یابد.

برای یافتن حداکثر، باید یک خط موازی، تا حد امکان در جهت افزایش و عبور از حداقل یک نقطه از منطقه ABCDE رسم کنید. با این حال، از آنجایی که منطقه در سمت مقادیر بزرگ و نامحدود است، نمی توان چنین خط مستقیمی را ترسیم کرد. هر خط مستقیمی که بکشیم همیشه نقاطی در منطقه وجود خواهد داشت که در جهت افزایش و . بنابراین، حداکثر وجود ندارد. شما می توانید آن را به اندازه ای که می خواهید بزرگ کنید.

ما به دنبال حداقل ها هستیم. یک خط مستقیم به موازات خط مستقیم (A3.1) و تا حد امکان از آن در جهت کاهش رسم می کنیم و حداقل از یک نقطه از منطقه ABCDE عبور می کنیم. چنین خط مستقیمی از نقطه C می گذرد. ​​از روی ساخت، مختصات آن را تعیین می کنیم.
.
حداقل مقدار تابع هدف:

پاسخ

حداکثر مقدار وجود ندارد.
حداقل ارزش
.