جدول فرمول های اساسی برای یک انتگرال معین. فرمول های اساسی و روش های ادغام

در مدرسه، بسیاری در حل انتگرال ها شکست می خورند یا با آنها مشکل دارند. این مقاله به شما کمک می کند تا آن را بفهمید، زیرا همه چیز را در آن خواهید یافت. جداول انتگرال ها.

انتگرالیکی از محاسبات و مفاهیم اصلی در حساب دیفرانسیل و انتگرال است. ظهور او دو هدف بود:
هدف اول- تابع را با استفاده از مشتق آن بازیابی کنید.
گل دوم- محاسبه مساحت واقع در فاصله از نمودار تا تابع f (x) روی یک خط مستقیم که a بزرگتر یا مساوی x است بزرگتر یا مساوی b و محور آبسیسا است.

این اهداف ما را به انتگرال های معین و نامعین سوق می دهند. ارتباط بین این انتگرال ها در جستجوی خواص و محاسبه نهفته است. اما همه چیز در جریان است و همه چیز با گذشت زمان تغییر می کند، راه حل های جدیدی پیدا شد، اضافات آشکار شد و بدین وسیله انتگرال های معین و نامعین را به اشکال دیگر ادغام آورد.

چه اتفاقی افتاده است انتگرال نامعین تو پرسیدی. این تابع ضد مشتق F(x) یک متغیر x در بازه a بزرگتر از x بزرگتر از b است. هر تابع F(x) نامیده می شود، در بازه داده شده برای هر نماد x، مشتق برابر با F(x) است. واضح است که F(x) یک پاد مشتق برای f(x) در بازه a بزرگتر از x بزرگتر از b است. از این رو F1(x) = F(x) + C. C - هر ثابت و پاد مشتق برای f(x) در بازه داده شده است. این عبارت برگشت پذیر است، برای تابع f(x) - 2 ضد مشتقات فقط در یک ثابت متفاوت هستند. بر اساس قضیه حساب انتگرال، معلوم می شود که هر پیوسته در بازه a

انتگرال معین به عنوان حدی در مجموع انتگرال درک می شود، یا در موقعیتی از یک تابع معین f(x) تعریف شده در یک خط (a, b) که روی آن ضد مشتق F است، که به معنای تفاوت عبارات آن در انتهای این خط است. F(b) - F(a).

برای وضوح، مطالعه این موضوع، پیشنهاد می کنم ویدیو را تماشا کنید. به تفصیل توضیح می دهد و نحوه یافتن انتگرال ها را نشان می دهد.

هر جدول انتگرال به خودی خود بسیار مفید است، زیرا به حل نوع خاصی از انتگرال کمک می کند.

انواع لوازم التحریر ممکن و غیره. می توانید از طریق فروشگاه آنلاین v-kant.ru خرید کنید. یا فقط لینک لوازم التحریر سامارا (http://v-kant.ru) را دنبال کنید کیفیت و قیمت ها شما را شگفت زده خواهد کرد.

انتگرال های اصلی که هر دانش آموز باید بداند

انتگرال های ذکر شده اساس، اساس پایه ها هستند. البته این فرمول ها را باید به خاطر داشت. هنگام محاسبه انتگرال های پیچیده تر، باید دائماً از آنها استفاده کنید.

به فرمول های (5)، (7)، (9)، (12)، (13)، (17) و (19) توجه ویژه ای داشته باشید. فراموش نکنید که در هنگام ادغام یک ثابت دلخواه C به پاسخ اضافه کنید!

انتگرال یک ثابت

∫ A d x = A x + C (1)

ادغام تابع قدرت

در واقع می توان به فرمول های (5) و (7) اکتفا کرد، اما بقیه انتگرال های این گروه به قدری رایج هستند که ارزش کمی توجه به آنها را دارد.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ورود به سیستم | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n≠ - 1) (7)

انتگرال های تابع نمایی و توابع هذلولی

البته فرمول (8) (شاید راحت ترین برای به خاطر سپردن) را می توان به عنوان یک مورد خاص از فرمول (9) در نظر گرفت. فرمول های (10) و (11) برای انتگرال های سینوس هایپربولیک و کسینوس هذلولی به راحتی از فرمول (8) به دست می آیند، اما بهتر است فقط این روابط را به خاطر بسپارید.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

انتگرال های اساسی توابع مثلثاتی

اشتباهی که دانش آموزان اغلب مرتکب می شوند: آنها علائم فرمول (12) و (13) را با هم اشتباه می گیرند. به خاطر داشته باشید که مشتق سینوس برابر با کسینوس است، به دلایلی بسیاری از مردم معتقدند که انتگرال تابع sinx برابر با cosx است. این درست نیست! انتگرال سینوس "منهای کسینوس" است، اما انتگرال cosx "فقط سینوس" است:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = گناه x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = - c t g x + C (15)

انتگرال های کاهنده به توابع مثلثاتی معکوس

فرمول (16) که به مماس قوس منتهی می شود، طبیعتاً حالت خاصی از فرمول (17) برای a=1 است. به طور مشابه، (18) یک مورد خاص از (19) است.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a > 0) (19)

انتگرال های پیچیده تر

این فرمول ها نیز مطلوب به خاطر سپردن هستند. آنها همچنین اغلب استفاده می شوند و خروجی آنها نسبتا خسته کننده است.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

قوانین ادغام عمومی

1) انتگرال مجموع دو تابع برابر است با مجموع انتگرال های مربوطه: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) انتگرال اختلاف دو تابع برابر است با اختلاف انتگرال های متناظر: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

به راحتی می توان دریافت که ویژگی (26) به سادگی ترکیبی از ویژگی های (25) و (27) است.

4) انتگرال یک تابع مختلط اگر تابع درونی خطی باشد: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

در اینجا F(x) پاد مشتق تابع f(x) است. توجه داشته باشید که این فرمول فقط زمانی کار می کند که تابع داخلی Ax + B باشد.

مهم: هیچ فرمول جهانی برای انتگرال حاصلضرب دو تابع و همچنین برای انتگرال یک کسری وجود ندارد:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (سی)

البته این بدان معنا نیست که یک کسری یا یک محصول را نمی توان ادغام کرد. فقط هر بار که انتگرالی مانند (30) را می بینید، باید راهی برای "مبارزه کردن" با آن اختراع کنید. در برخی موارد، ادغام بر اساس قطعات به شما کمک می کند، در جایی باید متغیر را تغییر دهید، و گاهی اوقات حتی فرمول های "مدرسه ای" جبر یا مثلثات می توانند کمک کنند.

یک مثال ساده برای محاسبه انتگرال نامعین

مثال 1. انتگرال را بیابید: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

از فرمول های (25) و (26) استفاده می کنیم (انتگرال مجموع یا تفاوت توابع برابر است با مجموع یا تفاضل انتگرال های مربوطه. بدست می آوریم: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

به یاد بیاورید که ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد (فرمول (27)). عبارت به فرم تبدیل می شود

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

حالا بیایید فقط از جدول انتگرال های پایه استفاده کنیم. ما باید فرمول های (3)، (12)، (8) و (1) را اعمال کنیم. بیایید تابع توان، سینوس، توان و ثابت 1 را ادغام کنیم. فراموش نکنید که یک ثابت دلخواه C را در پایان اضافه کنید:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

پس از تحولات ابتدایی، پاسخ نهایی را می گیریم:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

خود را با تمایز آزمایش کنید: مشتق تابع حاصل را بگیرید و مطمئن شوید که با انتگرال اصلی برابر است.

جدول خلاصه انتگرال ها

🔻 A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ورود به سیستم | x | + سی

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0، a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = گناه x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 گناه 2 x d x = - c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C

∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + سی

∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

جدول انتگرال ها (قسمت دوم) را از این لینک دانلود کنید

اگر در دانشگاه درس می خوانید، اگر در ریاضیات عالی (تحلیل ریاضی، جبر خطی، تئوری احتمال، آمار) مشکل دارید، در صورت نیاز به خدمات یک معلم واجد شرایط، به صفحه معلم خصوصی ریاضی بالاتر بروید. بیا با هم مشکلاتت رو حل کنیم!

شما نیز ممکن است علاقه مند باشید

ما انتگرال های توابع ابتدایی را فهرست می کنیم که گاهی به آنها جدولی می گویند:

هر یک از فرمول های فوق را می توان با گرفتن مشتق سمت راست ثابت کرد (در نتیجه انتگرال بدست می آید).

روش های یکپارچه سازی

بیایید چند روش اساسی یکپارچه سازی را در نظر بگیریم. این شامل:

1. روش تجزیه(ادغام مستقیم).

این روش مبتنی بر کاربرد مستقیم انتگرال های جدولی و همچنین بر استفاده از ویژگی های 4 و 5 انتگرال نامعین است (یعنی خارج کردن ضریب ثابت از براکت و / یا نمایش انتگرال به عنوان مجموع توابع - گسترش انتگرال به شرایط).

مثال 1به عنوان مثال، برای یافتن (dx/x 4) می‌توانید مستقیماً از انتگرال جدول برای x n dx استفاده کنید. در واقع، (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

بیایید به چند نمونه دیگر نگاه کنیم.

مثال 2برای پیدا کردن، از همان انتگرال استفاده می کنیم:

مثال 3برای پیدا کردن باید بگیرید

مثال 4برای یافتن، انتگرال را در فرم نشان می دهیم و از انتگرال جدول برای تابع نمایی استفاده کنید:

استفاده از براکت گذاری را عامل ثابت در نظر بگیرید.

مثال 5برای مثال بیایید پیدا کنیم . با توجه به آن، دریافت می کنیم

مثال 6بیایید پیدا کنیم. از آنجا که ، از انتگرال جدول استفاده می کنیم گرفتن

همچنین می توانید از پرانتز و انتگرال جدول در دو مثال زیر استفاده کنید:

مثال 7

(ما استفاده می کنیم و );

مثال 8

(ما استفاده می کنیم و ).

بیایید به مثال های پیچیده تری که از انتگرال مجموع استفاده می کنند نگاه کنیم.

مثال 9مثلا پیدا کنیم
. برای اعمال روش بسط در صورت، از فرمول مکعب مجموع  استفاده می کنیم و سپس عبارت چند جمله ای حاصل را بر جمله بر مخرج تقسیم می کنیم.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

لازم به ذکر است که در انتهای راه حل یک ثابت مشترک C نوشته می شود (و نه ثابت های جداگانه در هنگام ادغام هر جمله). در آینده نیز پیشنهاد می‌شود که تا زمانی که عبارت حداقل یک انتگرال نامعین داشته باشد، ثابت‌ها را از ادغام عبارت‌های منفرد در فرآیند حل حذف کنیم (یک ثابت را در انتهای راه حل خواهیم نوشت).

مثال 10بیایید پیدا کنیم . برای حل این مشکل، صورت را فاکتور می کنیم (بعد از آن، می توانیم مخرج را کاهش دهیم).

مثال 11.بیایید پیدا کنیم. در اینجا می توان از هویت های مثلثاتی استفاده کرد.

گاهی اوقات، برای تجزیه یک عبارت به اصطلاح، باید از تکنیک های پیچیده تری استفاده کنید.

مثال 12.بیایید پیدا کنیم . در انتگرال، قسمت صحیح کسر را انتخاب می کنیم . سپس

مثال 13بیایید پیدا کنیم

2. روش جایگزینی متغیر (روش جایگزینی)

این روش بر اساس فرمول زیر است: f(x)dx=f((t))`(t)dt، که در آن x =(t) یک تابع قابل تمایز در بازه در نظر گرفته شده است.

اثبات اجازه دهید مشتقات مربوط به متغیر t را از قسمت چپ و راست فرمول پیدا کنیم.

توجه داشته باشید که در سمت چپ یک تابع پیچیده وجود دارد که آرگومان میانی آن x = (t) است. بنابراین برای افتراق آن نسبت به t ابتدا انتگرال را نسبت به x متمایز می کنیم و سپس مشتق آرگومان میانی را نسبت به t می گیریم.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

مشتق سمت راست:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

از آنجایی که این مشتقات برابر هستند، بر اساس نتیجه قضیه لاگرانژ، بخش های چپ و راست فرمول ثابت شده با مقداری ثابت متفاوت هستند. از آنجایی که انتگرال های نامعین خود تا یک مدت ثابت نامعین تعریف می شوند، این ثابت را می توان در نماد نهایی حذف کرد. اثبات شده است.

تغییر موفقیت آمیز متغیر به ما امکان می دهد انتگرال اصلی را ساده کنیم و در ساده ترین موارد آن را به جدولی کاهش دهیم. در کاربرد این روش روش های جایگزینی خطی و غیرخطی متمایز می شود.

الف) روش جایگزینی خطیبیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال 1
. Lett= 1 – 2x، سپس

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

لازم به ذکر است که لازم نیست متغیر جدید به صراحت نوشته شود. در چنین مواردی از تبدیل یک تابع تحت علامت دیفرانسیل صحبت می شود، یا از معرفی ثابت ها و متغیرها تحت علامت دیفرانسیل، یعنی. O جایگزینی متغیر ضمنی.

مثال 2برای مثال، بیایید cos(3x + 2)dx را پیدا کنیم. با ویژگی های دیفرانسیل dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2)، سپسcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3) sin (3x + 2) +C.

در هر دو مثال مورد بررسی، از جایگزینی خطی t=kx+b(k0) برای یافتن انتگرال ها استفاده شد.

در حالت کلی، قضیه زیر صادق است.

قضیه جانشینی خطی. فرض کنید F(x) یک پاد مشتق برای تابع f(x) باشد. سپسf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C، که در آن k و b چند ثابت هستند،k0.

اثبات

با تعریف انتگرال f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. عامل ثابت k را برای علامت انتگرال خارج می کنیم: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. حال می‌توانیم قسمت‌های چپ و راست تساوی را بر k تقسیم کنیم و ادعایی را به دست آوریم که باید تا نماد یک جمله ثابت ثابت شود.

این قضیه بیان می کند که اگر عبارت (kx+b) در تعریف انتگرال f(x)dx= F(x) + C جایگزین شود، این امر منجر به ظاهر شدن یک عامل اضافی 1/k در مقابل می شود. از ضد مشتق.

با استفاده از قضیه اثبات شده، مثال های زیر را حل می کنیم.

مثال 3

بیایید پیدا کنیم . در اینجا kx+b= 3 –x، یعنی k= -1،b= 3. سپس

مثال 4

بیایید پیدا کنیم. در اینجا kx+b= 4x+ 3، یعنی k= 4،b= 3. سپس

مثال 5

بیایید پیدا کنیم . در اینجا kx+b= -2x+ 7، یعنی k= -2،b= 7. سپس

.

مثال 6بیایید پیدا کنیم
. در اینجا kx+b= 2x+ 0، یعنی k= 2،b= 0.

.

نتیجه به دست آمده را با مثال 8 که با روش تجزیه حل شد مقایسه می کنیم. با حل همین مشکل با روشی دیگر به جواب رسیدیم
. بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم: بنابراین، این عبارات با یک عبارت ثابت با یکدیگر تفاوت دارند ، یعنی پاسخ های دریافت شده با یکدیگر تناقض ندارند.

مثال 7بیایید پیدا کنیم
. یک مربع کامل در مخرج انتخاب می کنیم.

در برخی موارد، تغییر متغیر انتگرال را مستقیماً به جدولی کاهش نمی دهد، اما می تواند با ایجاد امکان استفاده از روش تجزیه در مرحله بعد، حل را ساده کند.

مثال 8مثلا پیدا کنیم . t=x+2 را جایگزین کنید، سپس dt=d(x+2) =dx را جایگزین کنید. سپس

,

که در آن C \u003d C 1 - 6 (هنگامی که به جای t عبارت (x + 2) را جایگزین می کنیم، به جای دو عبارت اول، ½x 2 -2x - 6 دریافت می کنیم.

مثال 9بیایید پیدا کنیم
. بگذارید t= 2x+ 1، سپس dt= 2dx;dx=½dt;x= (t– 1)/2.

به جای t عبارت (2x + 1) را جایگزین می کنیم، براکت ها را باز می کنیم و موارد مشابه را می دهیم.

توجه داشته باشید که در فرآیند تبدیل ما به یک ترم ثابت دیگر منتقل شدیم، زیرا گروه اصطلاحات ثابت در فرآیند تبدیل ها را می توان حذف کرد.

ب) روش جایگزینی غیر خطیبیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال 1
. بگذارید t= -x 2. علاوه بر این، می توان x را بر حسب t بیان کرد، سپس یک عبارت برای dx پیدا کرد و تغییری از متغیر را در انتگرال مورد نظر پیاده کرد. اما در این حالت انجام غیر از این آسان تر است. dt=d(-x 2) = -2xdx را پیدا کنید. توجه داشته باشید که عبارت xdx فاکتوری از انتگرال انتگرال مورد نظر است. ما آن را از برابری حاصل از xdx= - ½dt بیان می کنیم. سپس

چهار روش اصلی ادغام در زیر ذکر شده است.

1) قانون ادغام مجموع یا تفاوت
.
در اینجا و زیر، u، v، w توابعی از متغیر ادغام x هستند.

2) خارج کردن ثابت از علامت انتگرال.
فرض کنید c ثابت مستقل از x باشد. سپس می توان آن را از علامت انتگرال خارج کرد.

3) روش جایگزینی متغیر
انتگرال نامعین را در نظر بگیرید.
اگر امکان انتخاب چنین تابعی وجود دارد (ایکس)از x، بنابراین
,
پس از تغییر متغیر t = φ(x) داریم
.

4) فرمول ادغام توسط قطعات
,
که در آن u و v توابعی از متغیر ادغام هستند.

هدف نهایی از محاسبه انتگرال های نامعین این است که از طریق تبدیل ها، انتگرال داده شده را به ساده ترین انتگرال ها برسانیم که انتگرال های جدولی نامیده می شوند. انتگرال های جدول بر حسب توابع ابتدایی با استفاده از فرمول های شناخته شده بیان می شوند.
جدول انتگرال ها >>> را ببینید

مثال

انتگرال نامعین را محاسبه کنید

راه حل

توجه داشته باشید که انتگرال حاصل جمع و تفاضل سه جمله است:
، و .
روش را اعمال می کنیم 1 .

علاوه بر این، توجه می‌کنیم که انتگرال‌های انتگرال‌های جدید در ثابت‌ها ضرب می‌شوند 5, 4, و 2 ، به ترتیب. روش را اعمال می کنیم 2 .

در جدول انتگرال ها فرمول را پیدا می کنیم
.
تنظیم n = 2 ، انتگرال اول را پیدا می کنیم.

اجازه دهید انتگرال دوم را در فرم بازنویسی کنیم
.
متوجه می شویم که. سپس

بیایید از روش سوم استفاده کنیم. تغییر متغیر t = φ را انجام می دهیم (x) = ورود x.
.
در جدول انتگرال ها فرمول را پیدا می کنیم

از آنجایی که متغیر ادغام را می توان با هر حرفی نشان داد، پس

اجازه دهید انتگرال سوم را در فرم بازنویسی کنیم
.
ما فرمول یکپارچه سازی توسط قطعات را اعمال می کنیم.
اجازه دهید .
سپس
;
;

;
;
.

بالاخره داریم
.
اصطلاحات را با x جمع آوری کنید 3 .
.

پاسخ

منابع:
N.M. گونتر، R.O. کوزمین، مجموعه مسائل در ریاضیات عالی، لان، 2003.

تابع پاد مشتق و انتگرال نامعین

واقعیت 1. ادغام مخالف تمایز است، یعنی بازیابی یک تابع از مشتق شناخته شده این تابع. عملکرد به این ترتیب بازیابی شد اف(ایکس) نامیده میشود اولیهبرای عملکرد f(ایکس).

تعریف 1. تابع اف(ایکس f(ایکس) در یک فاصله زمانی ایکس، اگر برای همه مقادیر ایکساز این فاصله برابری اف "(ایکس)=f(ایکس) یعنی این تابع f(ایکس) مشتق تابع ضد مشتق است اف(ایکس). .

به عنوان مثال، تابع اف(ایکس) = گناه ایکس ضد مشتق برای تابع است f(ایکس) = cos ایکس در کل خط اعداد، زیرا برای هر مقدار x (گناه ایکس)" = (cos ایکس) .

تعریف 2. انتگرال نامعین یک تابع f(ایکس) مجموعه ای از تمام ضد مشتقات آن است. این از علامت گذاری استفاده می کند

∫

f(ایکس)dx

,

علامت کجاست ∫ علامت انتگرال، تابع نامیده می شود f(ایکس) یک انتگرال است و f(ایکس)dx انتگرال است.

بنابراین، اگر اف(ایکس) مقداری ضد مشتق برای است f(ایکس) ، آن

∫

f(ایکس)dx = اف(ایکس) +سی

جایی که سی - ثابت دلخواه (ثابت).

برای درک معنای مجموعه ضد مشتقات یک تابع به عنوان یک انتگرال نامعین، قیاس زیر مناسب است. بگذار یک در (یک در چوبی سنتی) باشد. کارکرد آن «دری بودن» است. درب از چه چیزی ساخته شده است؟ از یک درخت این بدان معنی است که مجموعه ضد مشتقات انتگرال "دری بودن"، یعنی انتگرال نامعین آن، تابع "درخت بودن + C" است، که در آن C یک ثابت است، که در این زمینه می تواند نشان دهد، برای به عنوان مثال، یک گونه درخت. همانطور که یک در با برخی ابزارها از چوب ساخته می شود، مشتق تابع از تابع ضد مشتق با "ساخته شده" است. فرمولی که با مطالعه مشتق یاد گرفتیم .

سپس جدول کارکردهای اشیاء رایج و ابتدایی مربوط به آنها ("در بودن" - "درخت بودن" ، "قاشقی بودن" - "فلزی بودن" و غیره) شبیه جدول است. انتگرال های نامعین اساسی که در زیر آورده شده است. جدول انتگرال های نامعین، توابع رایج را فهرست می کند، که نشان دهنده پاد مشتق هایی است که این توابع از آنها ساخته شده اند. به عنوان بخشی از مشکلات یافتن یک انتگرال نامعین، چنین انتگرال هایی آورده شده است که می توانند مستقیماً بدون تلاش ویژه، یعنی طبق جدول انتگرال های نامعین، ادغام شوند. در مسائل پیچیده تر، ابتدا باید انتگرال را تبدیل کرد تا بتوان از انتگرال های جدولی استفاده کرد.

واقعیت 2. برای بازیابی یک تابع به عنوان یک پاد مشتق، باید یک ثابت دلخواه (ثابت) را در نظر بگیریم. سیو برای اینکه فهرستی از پاد مشتق‌ها با ثابت‌های مختلف از 1 تا بی‌نهایت ننویسید، باید مجموعه‌ای از پاد مشتق‌ها را با ثابت دلخواه بنویسید. سی، مانند این: 5 ایکس³+C. بنابراین، یک ثابت دلخواه (ثابت) در بیان ضد مشتق گنجانده شده است، زیرا ضد مشتق می تواند یک تابع باشد، به عنوان مثال، 5 ایکس³+4 یا 5 ایکس³+3 و هنگام تمایز 4 یا 3 یا هر ثابت دیگر ناپدید می شود.

ما مشکل ادغام را برای یک تابع معین تنظیم می کنیم f(ایکس) چنین تابعی را پیدا کنید اف(ایکس), مشتق آنبرابر است با f(ایکس).

مثال 1مجموعه پاد مشتق های یک تابع را بیابید

راه حل. برای این تابع، ضد مشتق تابع است

تابع اف(ایکس) برای تابع ضد مشتق نامیده می شود f(ایکس) اگر مشتق اف(ایکس) برابر است با f(ایکس)، یا، که همان چیزی است، دیفرانسیل اف(ایکس) برابر است با f(ایکس) dx، یعنی

(2)

بنابراین، تابع برای تابع ضد مشتق است. با این حال، این تنها ضد مشتق برای . آنها نیز توابع هستند

جایی که بایک ثابت دلخواه است. این را می توان با تمایز تأیید کرد.

بنابراین، اگر یک ضد مشتق برای یک تابع وجود داشته باشد، برای آن یک مجموعه نامتناهی از ضد مشتق ها وجود دارد که با یک جمع ثابت تفاوت دارند. تمام آنتی مشتق های یک تابع به شکل بالا نوشته می شوند. این از قضیه زیر حاصل می شود.

قضیه (گزاره رسمی واقعیت 2).اگر اف(ایکس) ضد مشتق برای تابع است f(ایکس) در یک فاصله زمانی ایکس، سپس هر ضد مشتق دیگری برای f(ایکس) در همان بازه را می توان به عنوان نشان داد اف(ایکس) + سی، جایی که بایک ثابت دلخواه است.

در مثال زیر به جدول انتگرال ها می پردازیم که در پاراگراف 3 بعد از ویژگی های انتگرال نامعین آورده خواهد شد. ما این کار را قبل از آشنایی با کل جدول انجام می دهیم تا ماهیت موارد بالا مشخص شود. و بعد از جدول و خصوصیات، در هنگام ادغام از آنها به طور کامل استفاده خواهیم کرد.

مثال 2مجموعه ای از ضد مشتقات را بیابید:

راه حل. مجموعه‌ای از توابع ضد مشتق را می‌یابیم که این توابع از آنها "ساخته شده‌اند". هنگام ذکر فرمول از جدول انتگرال ها، فعلاً فقط بپذیرید که چنین فرمول هایی وجود دارد و جدول انتگرال های نامعین را به طور کامل کمی بیشتر مطالعه می کنیم.

1) استفاده از فرمول (7) از جدول انتگرال ها برای n= 3، می گیریم

2) با استفاده از فرمول (10) از جدول انتگرال ها برای n= 1/3، داریم

3) از آنجایی که

سپس طبق فرمول (7) در n= -1/4 پیدا کنید

زیر علامت انتگرال، خود تابع را نمی نویسند f، و محصول آن توسط دیفرانسیل dx. این کار در درجه اول برای نشان دادن اینکه کدام متغیر ضد مشتق جستجو می شود انجام می شود. مثلا،

, ;

در اینجا در هر دو مورد انتگرال برابر است با ، اما انتگرالهای نامعین آن در موارد در نظر گرفته شده متفاوت هستند. در حالت اول این تابع به عنوان تابعی از یک متغیر در نظر گرفته می شود ایکس، و در دوم - به عنوان تابعی از z .

فرآیند یافتن انتگرال نامعین یک تابع را یکپارچه سازی آن تابع می نامند.

معنای هندسی انتگرال نامعین

بگذارید برای پیدا کردن یک منحنی لازم باشد y=F(x)و ما قبلاً می دانیم که مماس شیب مماس در هر یک از نقاط آن یک تابع معین است. f(x)ابسیس این نقطه

با توجه به معنای هندسی مشتق، مماس شیب مماس در یک نقطه معین از منحنی y=F(x)برابر با مقدار مشتق است F"(x). بنابراین، ما باید چنین تابعی را پیدا کنیم F(x)، برای کدام F"(x)=f(x). عملکرد مورد نیاز در کار F(x)مشتق شده از f(x). شرط مسئله نه با یک منحنی، بلکه توسط خانواده ای از منحنی ها برآورده می شود. y=F(x)- یکی از این منحنی ها و هر منحنی دیگری را می توان از طریق انتقال موازی در امتداد محور به دست آورد. اوه.

بیایید نمودار تابع ضد مشتق را نام ببریم f(x)منحنی انتگرال اگر F"(x)=f(x)، سپس نمودار تابع y=F(x)یک منحنی انتگرال است.

واقعیت 3. انتگرال نامعین از نظر هندسی با خانواده همه منحنی های انتگرال نشان داده می شود. مانند تصویر زیر فاصله هر منحنی از مبدا توسط یک ثابت دلخواه (ثابت) ادغام تعیین می شود سی.

خواص انتگرال نامعین

واقعیت 4. قضیه 1. مشتق یک انتگرال نامعین برابر با انتگرال و دیفرانسیل آن برابر با انتگرال است.

واقعیت 5. قضیه 2. انتگرال نامعین دیفرانسیل یک تابع f(ایکس) برابر تابع است f(ایکس) تا یک مدت ثابت ، یعنی

(3)

قضایای 1 و 2 نشان می دهد که تمایز و ادغام عملیات معکوس متقابل هستند.

واقعیت 6. قضیه 3. عامل ثابت در انتگرال را می توان از علامت انتگرال نامعین خارج کرد. ، یعنی