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Lección "Polígonos. Tipos de polígonos" dentro de la tecnología "Desarrollo del pensamiento crítico a través de la lectura y la escritura"

Tipos de polígonos:

cuadriláteros

cuadriláteros, respectivamente, constan de 4 lados y esquinas.

Los lados y los ángulos que son opuestos entre sí se llaman opuesto.

Las diagonales dividen los cuadriláteros convexos en triángulos (ver figura).

La suma de los ángulos de un cuadrilátero convexo es 360° (usando la fórmula: (4-2)*180°).

paralelogramos

Paralelogramo es un cuadrilátero convexo con lados paralelos opuestos (numerado 1 en la figura).

Los lados y ángulos opuestos en un paralelogramo son siempre iguales.

Y las diagonales en el punto de intersección se dividen por la mitad.

Trapecio

Trapecio es también un cuadrilátero, y trapecio solo dos lados son paralelos, los cuales se llaman jardines. Los otros lados son lados.

El trapezoide en la figura está numerado 2 y 7.

Como en el triángulo:

Si los lados son iguales, entonces el trapezoide es isósceles;

Si uno de los ángulos es recto, entonces el trapezoide es rectangular.

La línea media de un trapezoide es la mitad de la suma de las bases y es paralela a ellas.

Rombo

Rombo es un paralelogramo con todos los lados iguales.

Además de las propiedades de un paralelogramo, los rombos tienen su propia propiedad especial: las diagonales de un rombo son perpendiculares el uno al otro y bisecar las esquinas de un rombo.

En la figura, el rombo tiene el número 5.

Rectángulos

Rectángulo- este es un paralelogramo, en el que cada esquina es una derecha (ver en la figura en el número 8).

Además de las propiedades de un paralelogramo, los rectángulos tienen su propia propiedad especial: las diagonales del rectangulo son iguales.

cuadrícula

Cuadrado es un rectángulo con todos los lados iguales (#4).

Tiene las propiedades de un rectángulo y un rombo (ya que todos los lados son iguales).

En esta lección, comenzaremos un nuevo tema e introduciremos un nuevo concepto para nosotros: un "polígono". Veremos los conceptos básicos asociados con los polígonos: lados, vértices, esquinas, convexidad y no convexidad. Luego probaremos los hechos más importantes, como el teorema de la suma de los ángulos interiores de un polígono, el teorema de la suma de los ángulos exteriores de un polígono. Como resultado, nos acercaremos al estudio de casos especiales de polígonos, que se considerarán en lecciones futuras.

Tema: Cuadrángulos

Lección: Polígonos

En el curso de geometría, estudiamos las propiedades de las formas geométricas y ya hemos considerado las más simples: triángulos y círculos. Al mismo tiempo, también discutimos casos especiales específicos de estas figuras, como triángulos rectángulos, isósceles y regulares. Ahora es el momento de hablar de formas más generales y complejas: polígonos.

Con un caso especial polígonos ya estamos familiarizados: este es un triángulo (ver Fig. 1).

Arroz. 1. Triángulo

El propio nombre ya hace hincapié en que se trata de una figura que tiene tres esquinas. Por lo tanto, en polígono puede haber muchos de ellos, es decir, Mas de tres. Por ejemplo, dibujemos un pentágono (ver Fig. 2), es decir figura con cinco esquinas.

Arroz. 2. Pentágono. Polígono convexo

Definición.Polígono- una figura que consta de varios puntos (más de dos) y el número correspondiente de segmentos que los conectan en serie. Estos puntos se llaman picos polígono y segmentos - fiestas. En este caso, no hay dos lados adyacentes que se encuentren en la misma línea recta y no hay dos lados no adyacentes que se crucen.

Definición.polígono regular es un polígono convexo en el que todos los lados y ángulos son iguales.

Ningún polígono divide el plano en dos regiones: interna y externa. El interior también se conoce como polígono.

En otras palabras, por ejemplo, cuando hablan de un pentágono, se refieren tanto a toda su región interior como a su borde. Y el área interior también incluye todos los puntos que se encuentran dentro del polígono, es decir el punto también pertenece al pentágono (ver Fig. 2).

Los polígonos a veces también se denominan n-ágonos para enfatizar que se está considerando el caso general de tener un número desconocido de esquinas (n piezas).

Definición. Perímetro del polígono es la suma de las longitudes de los lados del polígono.

Ahora necesitamos familiarizarnos con los tipos de polígonos. se dividen en convexo y no convexo. Por ejemplo, el polígono que se muestra en la Fig. 2 es convexo, y en la Fig. 3 no convexos.

Arroz. 3. Polígono no convexo

Definición 1. Polígono llamó convexo, si al trazar una línea recta por cualquiera de sus lados, la totalidad polígono se encuentra sólo a un lado de esta línea. no convexo son todos los demás polígonos.

Es fácil imaginar que al extender cualquier lado del pentágono en la Fig. 2 estará todo a un lado de esta línea recta, es decir él es convexo. Pero al dibujar una línea recta a través del cuadrilátero en la Fig. 3 ya vemos que lo divide en dos partes, es decir él no es convexo.

Pero hay otra definición de la convexidad de un polígono.

Definición 2. Polígono llamó convexo si al elegir dos de sus puntos interiores y conectarlos con un segmento, todos los puntos del segmento son también puntos interiores del polígono.

Una demostración del uso de esta definición se puede ver en el ejemplo de construcción de segmentos en la Fig. 2 y 3.

Definición. Diagonal Un polígono es cualquier segmento que conecta dos vértices no adyacentes.

Para describir las propiedades de los polígonos, hay dos teoremas más importantes sobre sus ángulos: Teorema de la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo y Teorema de la suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo. Considerémoslos.

Teorema. Sobre la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo (norte-gon).

Donde es el número de sus ángulos (lados).

Prueba 1. Representemos en la Fig. 4 n-ágono convexo.

Arroz. 4. N-ágono convexo

Dibuja todas las diagonales posibles desde el vértice. Dividen el n-ágono en triángulos, porque cada uno de los lados del polígono forma un triángulo, excepto los lados adyacentes al vértice. Es fácil ver en la figura que la suma de los ángulos de todos estos triángulos será igual a la suma de los ángulos interiores del n-ágono. Como la suma de los ángulos de cualquier triángulo es , entonces la suma de los ángulos interiores de un n-ágono es:

QED

Prueba 2. También es posible otra prueba de este teorema. Dibujemos un n-ágono similar en la Fig. 5 y conecta cualquiera de sus puntos interiores a todos los vértices.

Arroz. 5.

Obtuvimos una partición de un n-ágono en n triángulos (cuántos lados, cuántos triángulos). La suma de todos sus ángulos es igual a la suma de los ángulos interiores del polígono y la suma de los ángulos en el punto interior, y este es el ángulo. Tenemos:

QED

Probado.

Según el teorema probado, se puede ver que la suma de los ángulos de un n-ágono depende del número de sus lados (sobre n). Por ejemplo, en un triángulo, y la suma de los ángulos es . En un cuadrilátero, y la suma de los ángulos, etc.

Teorema. Sobre la suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo (norte-gon).

Donde es el número de sus esquinas (lados), y , ..., son esquinas externas.

Prueba. Dibujemos un n-ágono convexo en la Fig. 6 y denote sus ángulos internos y externos.

Arroz. 6. N-ágono convexo con esquinas exteriores marcadas

Porque la esquina exterior está conectada a la interior como adyacente, entonces y análogamente para otras esquinas exteriores. Después:

Durante las transformaciones, usamos el teorema ya probado sobre la suma de los ángulos interiores de un n-ágono.

Probado.

Del teorema probado se sigue un hecho interesante de que la suma de los ángulos externos de un n-ágono convexo es igual a en el número de sus ángulos (lados). Por cierto, a diferencia de la suma de ángulos interiores.

Bibliografía

Aleksandrov A. D. etc. Geometría, grado 8. - M.: Educación, 2006.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometría, 8vo grado. - M.: Educación, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometría, 8vo grado. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Profmeter.com.ua ().
Narod.ru ().
Xvatit.com().

Tareas para el hogar

Hay diferentes puntos de vista sobre lo que se considera un polígono. En un curso de geometría escolar, se utiliza una de las siguientes definiciones.

Definición 1

Polígono

es una figura formada por segmentos

para que los segmentos adyacentes(es decir, segmentos adyacentes con un vértice común, por ejemplo, A1A2 y A2A3) no se encuentran en una línea recta, y los segmentos no adyacentes no tienen puntos comunes.

Definición 2

Un polígono cerrado simple se llama polígono.

puntos

llamó vértices del polígono, segmentos

— lados del polígono.

La suma de las longitudes de todos los lados se llama perímetro del polígono.

Un polígono que tiene n vértices (y por lo tanto n lados) se llama n - cuadrado.

Un polígono que se encuentra en un plano se llama plano. Cuando se habla de un polígono, salvo que se indique lo contrario, se entiende que estamos hablando de un polígono plano.

Dos vértices del mismo lado de un polígono se llaman vecino. Por ejemplo, A1 y A2, A5 y A6 son vértices vecinos.

Un segmento de recta que une dos vértices no adyacentes se llama polígono diagonal.

Calcula cuántas diagonales tiene un polígono.

De cada uno de los n vértices del polígono salen n-3 diagonales

(hay n vértices en total. No contamos el vértice en sí y dos vértices vecinos que no forman una diagonal con este vértice. Para el vértice A1, por ejemplo, no tenemos en cuenta el propio A1 y los vértices vecinos A2 y A3 ).

Así, cada uno de los n vértices corresponde a n-3 diagonales. Dado que una diagonal se refiere a dos vértices a la vez, para encontrar el número de diagonales de un polígono, el producto n (n-3) debe dividirse por la mitad.

Por lo tanto, n-gon tiene

diagonales

Cualquier polígono divide el plano en dos partes: las regiones interior y exterior del polígono. También se llama polígono a la figura formada por un polígono y su interior.

Secciones: Matemáticas

Materia, edad de los estudiantes: geometría, grado 9

El propósito de la lección: el estudio de los tipos de polígonos.

Tarea de aprendizaje: actualizar, ampliar y generalizar el conocimiento de los estudiantes sobre polígonos; formar una idea de los "componentes" de un polígono; realizar un estudio del número de elementos constitutivos de polígonos regulares (desde un triángulo hasta n-gon);

Tarea en desarrollo: desarrollar la capacidad de analizar, comparar, sacar conclusiones, desarrollar habilidades computacionales, habla matemática oral y escrita, memoria, así como independencia en actividades de pensamiento y aprendizaje, la capacidad de trabajar en parejas y grupos; desarrollar actividades de investigación y educación;

Tarea educativa: cultivar la independencia, la actividad, la responsabilidad por la tarea asignada, la perseverancia en el logro de la meta.

Durante las clases: una cita está escrita en la pizarra

“La naturaleza habla el lenguaje de las matemáticas, las letras de este lenguaje… las cifras matemáticas”. G. Gallilei

Al comienzo de la lección, la clase se divide en grupos de trabajo (en nuestro caso, la división en grupos de 4 personas cada uno; el número de miembros del grupo es igual al número de grupos de preguntas).

1. Etapa de llamada-

Metas:

a) actualizar los conocimientos de los estudiantes sobre el tema;

b) el despertar del interés por el tema objeto de estudio, la motivación de cada alumno por las actividades de aprendizaje.

Recepción: El juego "¿Crees que...", organización del trabajo con texto.

Formas de trabajo: frontal, grupal.

"Crees eso…."

1. ... la palabra "polígono" indica que todas las figuras de esta familia tienen "muchas esquinas"?

2. … un triángulo pertenece a una gran familia de polígonos, distinguidos entre muchas formas geométricas diferentes en el plano?

3. …¿es un cuadrado un octágono regular (cuatro lados + cuatro esquinas)?

Hoy en la lección hablaremos sobre polígonos. Aprendemos que esta figura está delimitada por una línea quebrada cerrada, que a su vez puede ser simple, cerrada. Hablemos del hecho de que los polígonos son planos, regulares, convexos. Uno de los polígonos planos es un triángulo con el que está familiarizado desde hace mucho tiempo (puede mostrar a los estudiantes carteles que representan polígonos, una línea discontinua, mostrar sus diversos tipos, también puede usar TCO).

2. Etapa de comprensión

Finalidad: obtención de nueva información, su comprensión, selección.

Recepción: zigzag.

Formas de trabajo: individual->pareja->grupo.

Cada grupo recibe un texto sobre el tema de la lección, y el texto está diseñado de tal manera que incluye tanto información ya conocida por los estudiantes como información completamente nueva. Junto con el texto, los estudiantes reciben preguntas, cuyas respuestas se deben encontrar en este texto.

Polígonos. Tipos de polígonos.

¿Quién no ha oído hablar del misterioso Triángulo de las Bermudas, donde barcos y aviones desaparecen sin dejar rastro? Pero el triángulo que nos es familiar desde la infancia está lleno de muchas cosas interesantes y misteriosas.

Además de los tipos de triángulos que ya conocemos, divididos por lados (escaleno, isósceles, equilátero) y ángulos (ángulo agudo, obtusángulo, rectángulo), el triángulo pertenece a una gran familia de polígonos que se distinguen de muchos diferentes formas geométricas en el plano.

La palabra "polígono" indica que todas las figuras de esta familia tienen "muchos rincones". Pero esto no es suficiente para caracterizar la figura.

Una línea discontinua A 1 A 2 ... A n es una figura que consta de puntos A 1, A 2, ... A n y segmentos A 1 A 2, A 2 A 3, ... que los conectan. Los puntos se denominan vértices de la polilínea y los segmentos se denominan vínculos de la polilínea. (Figura 1)

Una línea discontinua se llama simple si no tiene autointersecciones (Fig. 2,3).

Una línea quebrada se dice cerrada si sus extremos coinciden. La longitud de una línea discontinua es la suma de las longitudes de sus enlaces (Fig. 4).

Una línea quebrada cerrada simple se llama polígono si sus enlaces adyacentes no se encuentran en la misma línea recta (Fig. 5).

Sustituye la palabra "polígono" en lugar de la parte "muchos" por un número específico, por ejemplo 3. Obtendrás un triángulo. O 5. Entonces - un pentágono. Tenga en cuenta que hay tantos ángulos como lados, por lo que estas figuras bien podrían llamarse multilaterales.

Los vértices de la polilínea se denominan vértices del polígono y los enlaces de la polilínea se denominan lados del polígono.

El polígono divide el plano en dos regiones: interna y externa (Fig. 6).

Un polígono plano o región poligonal es una parte finita de un plano delimitado por un polígono.

Dos vértices de un polígono que son extremos del mismo lado se llaman vecinos. Los vértices que no son extremos de un lado no son adyacentes.

Un polígono con n vértices y por lo tanto n lados se llama n-ágono.

Aunque el número más pequeño de lados de un polígono es 3. Pero los triángulos, al conectarse entre sí, pueden formar otras formas, que a su vez también son polígonos.

Los segmentos que conectan vértices no vecinos de un polígono se llaman diagonales.

Un polígono se dice convexo si se encuentra en un semiplano con respecto a cualquier línea que contiene su lado. En este caso, se considera que la propia línea recta pertenece al semiplano.

El ángulo de un polígono convexo en un vértice dado es el ángulo formado por sus lados que convergen en ese vértice.

Demostremos el teorema (sobre la suma de los ángulos de un n-ágono convexo): La suma de los ángulos de un n-ágono convexo es igual a 180 0 *(n - 2).

Prueba. En el caso n=3 el teorema es válido. Sea А 1 А 2 …А n un polígono convexo dado y n>3. Dibujemos diagonales en él (desde un vértice). Como el polígono es convexo, estas diagonales lo dividen en n - 2 triángulos. La suma de los ángulos del polígono es igual a la suma de los ángulos de todos estos triángulos. La suma de los ángulos de cada triángulo es 180 0, y el número de estos triángulos es n - 2. Por lo tanto, la suma de los ángulos de un ángulo n convexo A 1 A 2 ... A n es 180 0 * ( n - 2). El teorema ha sido probado.

El ángulo exterior de un polígono convexo en un vértice dado es el ángulo adyacente al ángulo interior del polígono en ese vértice.

Un polígono convexo se llama regular si todos los lados son iguales y todos los ángulos son iguales.

Entonces, el cuadrado se puede llamar de otra manera: un cuadrilátero regular. Los triángulos equiláteros también son regulares. Tales figuras han sido durante mucho tiempo de interés para los maestros que decoraban los edificios. Hicieron hermosos patrones, por ejemplo, en el parquet. Pero no todos los polígonos regulares podrían usarse para formar parquet. El parquet no se puede formar a partir de octágonos regulares. El hecho es que tienen cada ángulo igual a 135 0. Y si cualquier punto es el vértice de dos de esos octágonos, entonces tendrán 270 0, y no hay ningún lugar para que quepa el tercer octágono: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Pero suficiente para un cuadrado. Por lo tanto, es posible plegar el parquet a partir de octágonos y cuadrados regulares.

Las estrellas son correctas. Nuestra estrella de cinco puntas es una estrella pentagonal regular. Y si rotas el cuadrado alrededor del centro 45 0, obtienes una estrella octogonal regular.

1 grupo

¿Qué es una línea discontinua? Explica qué son los vértices y los enlaces de una polilínea.

¿Qué línea discontinua se llama simple?

¿Qué línea discontinua se llama cerrada?

¿Qué es un polígono? ¿Cómo se llaman los vértices de un polígono? ¿Cuáles son los lados de un polígono?

2 grupo

¿Qué es un polígono plano? Da ejemplos de polígonos.

¿Qué es n-gon?

Explica qué vértices del polígono son adyacentes y cuáles no.

¿Cuál es la diagonal de un polígono?

3 grupo

¿Qué es un polígono convexo?

Explique qué esquinas del polígono son externas y cuáles internas.

¿Qué es un polígono regular? Da ejemplos de polígonos regulares.

4 grupo

¿Cuál es la suma de los ángulos de un n-ágono convexo? Pruébalo.

Los estudiantes trabajan con el texto, buscan respuestas a las preguntas planteadas, luego de lo cual se forman grupos de expertos, en los que se trabaja sobre los mismos temas: los estudiantes resaltan lo principal, elaboran un resumen de apoyo, presentan información en uno de los formas gráficas. Al finalizar el trabajo, los estudiantes regresan a sus grupos de trabajo.

3. Etapa de reflexión -

a) evaluación de su conocimiento, desafío al siguiente paso de conocimiento;

b) comprensión y apropiación de la información recibida.

Recepción: trabajo de investigación.

Formas de trabajo: individual->pareja->grupo.

Los grupos de trabajo son expertos en las respuestas a cada uno de los apartados de las preguntas propuestas.

Volviendo al grupo de trabajo, el experto presenta a los demás miembros del grupo con las respuestas a sus preguntas. En el grupo hay un intercambio de información de todos los miembros del grupo de trabajo. Así, en cada grupo de trabajo, gracias al trabajo de los expertos, se forma una idea general sobre el tema en estudio.

Trabajo de investigación de los estudiantes: completar la tabla.

polígonos regulares	Dibujo	Número de lados	Número de picos	Suma de todos los ángulos internos	Grado medida int. ángulo	Medida en grados del ángulo externo	Número de diagonales
a) un triangulo
B) cuadrilátero
B) cinco paredes
D) hexágono
E) n-ágono

Resolver problemas interesantes sobre el tema de la lección.

En el cuadrilátero, dibuja una línea para que lo divida en tres triángulos.
¿Cuántos lados tiene un polígono regular, cada uno de cuyos ángulos interiores es igual a 135 0 ?
En cierto polígono, todos los ángulos interiores son iguales entre sí. ¿La suma de los ángulos interiores de este polígono puede ser: 360 0 , 380 0 ?

Resumiendo la lección. Grabación de tareas.

Tema: "Polígonos. Tipos de polígonos"

Grado 9

SL №20

Profesor: Kharitonovich T.I. El propósito de la lección: el estudio de los tipos de polígonos.

Tarea de desarrollo: desarrollar la capacidad de analizar, comparar, sacar conclusiones, desarrollar habilidades computacionales, habla matemática oral y escrita, memoria, así como independencia en actividades de pensamiento y aprendizaje, la capacidad de trabajar en parejas y grupos; desarrollar actividades de investigación y educación;

Tarea educativa: cultivar la independencia, la actividad, la responsabilidad por la tarea asignada, la perseverancia en el logro de la meta.

Equipamiento: pizarra interactiva (presentación)

durante las clases

Mostrar presentación: "Polígonos"

“La naturaleza habla el lenguaje de las matemáticas, las letras de este lenguaje… las cifras matemáticas”. G. Gallilei

Al comienzo de la lección, la clase se divide en grupos de trabajo (en nuestro caso, división en 3 grupos)

1. Etapa de llamada-

a) actualizar los conocimientos de los estudiantes sobre el tema;

b) el despertar del interés por el tema objeto de estudio, la motivación de cada alumno por las actividades de aprendizaje.

Recepción: El juego "¿Crees que...", organización del trabajo con texto.

Formas de trabajo: frontal, grupal.

"Crees eso…."

1. ... la palabra "polígono" indica que todas las figuras de esta familia tienen "muchas esquinas"?

2. … ¿pertenece un triángulo a una gran familia de polígonos que se distinguen de una variedad de formas geométricas en un plano?

3. …¿es un cuadrado un octágono regular (cuatro lados + cuatro esquinas)?

2. Etapa de comprensión

Finalidad: obtención de nueva información, su comprensión, selección.

Recepción: zigzag.

Formas de trabajo: individual->pareja->grupo.

Polígonos. Tipos de polígonos.

La palabra "polígono" indica que todas las figuras de esta familia tienen "muchos rincones". Pero esto no es suficiente para caracterizar la figura.

Una línea discontinua A1A2…An es una figura que consta de los puntos A1,A2,…An y los segmentos A1A2, A2A3,… que los conectan. Los puntos se denominan vértices de la polilínea y los segmentos se denominan vínculos de la polilínea. (FIGURA 1)

Una línea discontinua se llama simple si no tiene autointersecciones (Fig. 2,3).

Una línea quebrada se dice cerrada si sus extremos coinciden. La longitud de una línea discontinua es la suma de las longitudes de sus enlaces (Fig. 4)