Cálculo del segundo límite destacable. Calculadora online Resolver límites

El término "límite notable" se utiliza ampliamente en libros de texto y material didáctico para denotar identidades importantes que ayudan significativamente simplifica tu trabajo en encontrar límites.

Sino ser capaz de traer su límite de lo notable, es necesario examinarlo detenidamente, porque no se encuentran en forma directa, sino a menudo en forma de consecuencias, equipadas con términos y factores adicionales. Sin embargo, primero la teoría, luego los ejemplos, ¡y lo lograrás!

El primer límite maravilloso.

¿Apreciado? Añadir a marcadores

El primer límite notable se escribe de la siguiente manera (incertidumbre de la forma $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

Corolarios del primer límite destacable

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

Soluciones de ejemplo: 1 límite maravilloso

Ejemplo 1. Calcula el límite $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

Solución. El primer paso es siempre el mismo: sustituimos el valor límite $x=0$ en la función y obtenemos:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Hemos obtenido una incertidumbre de la forma $\left[\frac(0)(0)\right]$, que debe revelarse. Si te fijas bien, el límite original es muy parecido al primero destacable, pero no es el mismo. Nuestra tarea es llevarlo a la similitud. Transformémoslo así: mire la expresión debajo del seno, haga lo mismo en el denominador (en términos relativos, multiplique y divida por $3x$), luego reduzca y simplifique:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

Arriba está exactamente el primer límite destacable: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y ))(y)=1, \text( hizo un reemplazo condicional ) y=3x. $$ Respuesta: $3/8$.

Ejemplo 2. Calcula el límite $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

Solución. Sustituimos el valor límite $x=0$ en la función y obtenemos:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$

Obtuvimos una incertidumbre de la forma $\left[\frac(0)(0)\right]$. Transformemos el límite usando el primer límite maravilloso (¡tres veces!) en simplificación:

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

Respuesta: $9/16$.

Ejemplo 3. Encuentra el límite $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

Solución.¿Qué pasa si hay una expresión compleja bajo la función trigonométrica? No importa, aquí procedemos de la misma manera. Primero, verifiquemos el tipo de incertidumbre, sustituyamos $x=0$ en la función y obtenemos:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Obtuvimos una incertidumbre de la forma $\left[\frac(0)(0)\right]$. Multiplica y divide por $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \izquierda[\frac(0)(0)\derecha] = $$

Nuevamente tenemos incertidumbre, pero en este caso es sólo una fracción. Reduzcamos el numerador y el denominador en $x$:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ fracción(3)(5). $$

Respuesta: $3/5$.

Segundo límite maravilloso

El segundo límite notable se escribe de la siguiente manera (incertidumbre de la forma $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(o) \quad \lim\limits_( x\a 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

Consecuencias del segundo límite destacable

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\a 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

Ejemplos de soluciones: 2 límite maravilloso

Ejemplo 4. Encuentra el límite $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

Solución. Comprobemos el tipo de incertidumbre, sustituyamos $x=\infty$ en la función y obtenemos:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

Obtuvimos una incertidumbre de la forma $\left$. El límite puede reducirse a la segunda cosa destacable. Convirtamos:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

La expresión entre paréntesis es en realidad el segundo límite notable $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, solo $t= - 3x/2$, entonces

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

Respuesta:$e^(-2/3)$.

Ejemplo 5. Encuentra el límite $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ ps

Solución. Sustituimos $x=\infty$ en la función y obtenemos una incertidumbre de la forma $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. Y necesitamos $\left$. Entonces, comencemos transformando la expresión entre paréntesis:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\right)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) =$$

La expresión entre paréntesis es en realidad el segundo límite notable $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, solo $t= \ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, por lo tanto

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Hay varios límites notables, pero los más famosos son el primer y segundo límites notables. Lo destacable de estos límites es que se utilizan ampliamente y con su ayuda se pueden encontrar otros límites que se encuentran en numerosos problemas. Esto es lo que haremos en la parte práctica de esta lección. Para resolver problemas reduciéndolos al primer o segundo límite notable, no es necesario revelar las incertidumbres contenidas en ellos, ya que los grandes matemáticos han deducido durante mucho tiempo los valores de estos límites.

El primer límite destacable Se llama límite de la relación del seno de un arco infinitesimal al mismo arco, expresado en medida en radianes:

Pasemos a resolver problemas en el primer límite destacable. Nota: si hay una función trigonométrica debajo del signo de límite, este es un signo casi seguro de que esta expresión se puede reducir al primer límite destacable.

Ejemplo 1. Encuentra el límite.

Solución. Sustitución en lugar X cero conduce a la incertidumbre:

.

El denominador es seno, por tanto, la expresión se puede llevar al primer límite notable. Comencemos la transformación:

.

El denominador es el seno de tres X, pero el numerador tiene solo una X, lo que significa que necesitas obtener tres X en el numerador. ¿Para qué? para presentar 3 X = a y obtener la expresión.

Y llegamos a una variación del primer límite destacable:

porque no importa qué letra (variable) en esta fórmula esté en lugar de X.

Multiplicamos X por tres e inmediatamente dividimos:

.

De acuerdo con el primer límite notable observado, reemplazamos la expresión fraccionaria:

Ahora finalmente podemos resolver este límite:

.

Ejemplo 2. Encuentra el límite.

Solución. La sustitución directa nuevamente conduce a la incertidumbre de “cero dividido por cero”:

.

Para obtener el primer límite notable, es necesario que la x bajo el signo del seno en el numerador y solo la x en el denominador tengan el mismo coeficiente. Sea este coeficiente igual a 2. Para hacer esto, imagine el coeficiente actual para x como se muestra a continuación, realizando operaciones con fracciones, obtenemos:

.

Ejemplo 3. Encuentra el límite.

Solución. Al sustituir, obtenemos nuevamente la incertidumbre “cero dividido por cero”:

.

Probablemente ya entiendas que a partir de la expresión original puedes obtener el primer límite maravilloso multiplicado por el primer límite maravilloso. Para hacer esto, descomponemos los cuadrados de x en el numerador y el seno en el denominador en factores idénticos, y para obtener los mismos coeficientes para x y seno, dividimos x en el numerador por 3 e inmediatamente multiplicamos por 3. Obtenemos:

.

Ejemplo 4. Encuentra el límite.

Solución. Una vez más obtenemos la incertidumbre “cero dividido por cero”:

.

Podemos obtener la relación de los dos primeros límites notables. Dividimos tanto el numerador como el denominador por x. Luego, para que los coeficientes de los senos y las x coincidan, multiplicamos la x superior por 2 e inmediatamente la dividimos por 2, y multiplicamos la x inferior por 3 e inmediatamente la dividimos por 3. Obtenemos:

Ejemplo 5. Encuentra el límite.

Solución. Y nuevamente la incertidumbre del “cero dividido por cero”:

Recordamos de la trigonometría que la tangente es la relación entre el seno y el coseno, y el coseno de cero es igual a uno. Realizamos las transformaciones y obtenemos:

.

Ejemplo 6. Encuentra el límite.

Solución. La función trigonométrica bajo el signo de un límite sugiere nuevamente el uso del primer límite destacable. Lo representamos como la relación entre seno y coseno.

En el artículo anterior puede descubrir cuál es el límite y con qué se come; esto es MUY importante. ¿Por qué? Puede que no entiendas qué son los determinantes y los resuelvas con éxito; puede que no entiendas en absoluto qué es una derivada y los encuentres con una “A”. Pero si no comprende qué es un límite, le resultará difícil resolver problemas prácticos. También sería una buena idea familiarizarse con las soluciones de muestra y mis recomendaciones de diseño. Toda la información se presenta de forma sencilla y accesible.

Y para los propósitos de esta lección necesitaremos los siguientes materiales didácticos: Límites maravillosos Y Fórmulas trigonométricas. Se pueden encontrar en la página. Es mejor imprimir los manuales; es mucho más conveniente y, además, a menudo tendrás que consultarlos sin conexión.

¿Qué tienen de especial los límites notables? Lo notable de estos límites es que fueron probados por las mentes más brillantes de matemáticos famosos, y sus agradecidos descendientes no tienen que sufrir límites terribles con un montón de funciones trigonométricas, logaritmos y potencias. Es decir, a la hora de encontrar los límites utilizaremos resultados ya preparados y probados teóricamente.

Hay varios límites maravillosos, pero en la práctica, en el 95% de los casos, los estudiantes a tiempo parcial tienen dos límites maravillosos: El primer límite maravilloso., Segundo límite maravilloso. Cabe señalar que estos son nombres históricamente establecidos, y cuando, por ejemplo, hablan de "el primer límite notable", se refieren a algo muy específico, y no a un límite aleatorio tomado del techo.

El primer límite maravilloso.

Considere la siguiente limitación: (en lugar de la letra nativa “él”, usaré la letra griega “alfa”, esto es más conveniente desde el punto de vista de la presentación del material).

Según nuestra regla para encontrar límites (ver artículo Límites. Ejemplos de soluciones) intentamos sustituir cero en la función: en el numerador obtenemos cero (el seno de cero es cero), y en el denominador, obviamente, también hay cero. Nos encontramos, pues, ante una incertidumbre de forma que, afortunadamente, no es necesario revelar. En el curso del análisis matemático, se demuestra que:

Este hecho matemático se llama El primer límite maravilloso.. No daré una prueba analítica del límite, pero veremos su significado geométrico en la lección sobre funciones infinitesimales.

A menudo, en las tareas prácticas, las funciones se pueden organizar de forma diferente, pero esto no cambia nada:

- el mismo primer límite maravilloso.

¡Pero no puedes reorganizar el numerador y el denominador tú mismo! Si se da un límite en la forma , entonces se debe resolver de la misma forma, sin reordenar nada.

En la práctica, no sólo una variable puede actuar como parámetro, sino también una función elemental o una función compleja. Lo único importante es que tiende a cero..

Ejemplos:
, , ,

Aquí , , , , y todo está bien: se aplica el primer límite maravilloso.

Pero la siguiente entrada es una herejía:

¿Por qué? Como el polinomio no tiende a cero, tiende a cinco.

Por cierto, una pregunta rápida: ¿cuál es el límite? ? La respuesta se puede encontrar al final de la lección.

En la práctica, no todo es tan sencillo, casi nunca a un estudiante se le ofrece resolver un límite gratuito y obtener un pase fácil. Mmmm... Estoy escribiendo estas líneas y me vino a la mente un pensamiento muy importante: después de todo, es mejor recordar de memoria las definiciones y fórmulas matemáticas "libres", esto puede proporcionar una ayuda invaluable en la prueba, cuando la pregunta Se decide entre “dos” y “tres”, y el profesor decide hacerle al alumno alguna pregunta sencilla u ofrecerle resolver un ejemplo sencillo (“¡¿quizás todavía sepa qué?!”).

Pasemos a considerar ejemplos prácticos:

Ejemplo 1

Encuentra el límite

Si notamos un seno en el límite, esto debería llevarnos inmediatamente a pensar en la posibilidad de aplicar el primer límite destacable.

Primero, intentamos sustituir 0 en la expresión bajo el signo de límite (lo hacemos mentalmente o en un borrador):

Entonces tenemos una incertidumbre de la forma asegúrese de indicar en la toma de una decisión. La expresión bajo el signo de límite es similar al primer límite maravilloso, pero no es exactamente así, está bajo el seno, sino en el denominador.

En tales casos, debemos organizar nosotros mismos el primer límite notable, utilizando una técnica artificial. La línea de razonamiento podría ser la siguiente: "bajo el seno tenemos , lo que significa que también necesitamos ingresar el denominador".
Y esto se hace de forma muy sencilla:

Es decir, el denominador se multiplica artificialmente en este caso por 7 y se divide por el mismo siete. Ahora nuestra grabación ha adquirido una forma familiar.
Cuando la tarea está trazada a mano, es recomendable marcar el primer límite destacable con un simple lápiz:

¿Qué pasó? De hecho, nuestra expresión rodeada por un círculo se convirtió en una unidad y desapareció en la obra:

Ahora solo queda deshacerse de la fracción de tres pisos:

Quien haya olvidado la simplificación de fracciones de varios niveles, actualice el material en el libro de referencia. Fórmulas calientes para el curso de matemáticas escolares. .

Listo. Respuesta final:

Si no desea utilizar marcas de lápiz, la solución se puede escribir así:

“

Usemos el primer límite maravilloso.

“

Ejemplo 2

Encuentra el límite

Nuevamente vemos una fracción y un seno en el límite. Intentemos sustituir cero en el numerador y denominador:

De hecho, tenemos incertidumbre y, por tanto, debemos intentar organizar el primer límite maravilloso. En la lección Límites. Ejemplos de soluciones Consideramos la regla de que cuando tenemos incertidumbre, debemos factorizar el numerador y el denominador. Aquí ocurre lo mismo, representaremos los grados como un producto (multiplicadores):

Al igual que en el ejemplo anterior, dibujamos con un lápiz los límites notables (aquí hay dos) e indicamos que tienden a la unidad:

En realidad, la respuesta está lista:

En los siguientes ejemplos, no haré arte en Paint, pienso cómo redactar correctamente una solución en un cuaderno; ya lo entiendes.

Ejemplo 3

Encuentra el límite

Sustituimos cero en la expresión bajo el signo de límite:

Se ha obtenido una incertidumbre que necesita ser revelada. Si hay una tangente en el límite, casi siempre se convierte en seno y coseno usando la conocida fórmula trigonométrica (por cierto, hacen aproximadamente lo mismo con la cotangente, ver material metodológico Fórmulas trigonométricas calientes En la pagina Fórmulas matemáticas, tablas y materiales de referencia.).

En este caso:

El coseno de cero es igual a uno y es fácil deshacerse de él (no olvides marcar que tiende a uno):

Por lo tanto, si en el límite el coseno es un MULTIPLICADOR, entonces, en términos generales, es necesario convertirlo en una unidad, que desaparece en el producto.

Aquí todo resultó más sencillo, sin multiplicaciones ni divisiones. El primer límite destacable también se convierte en uno y desaparece en el producto:

Como resultado, se obtiene el infinito y esto sucede.

Ejemplo 4

Encuentra el límite

Intentemos sustituir cero en el numerador y denominador:

Se obtiene la incertidumbre (el coseno de cero, como recordamos, es igual a uno)

Usamos la fórmula trigonométrica. ¡Tomar nota! Por alguna razón, los límites al utilizar esta fórmula son muy comunes.

Muevamos los factores constantes más allá del ícono de límite:

Organicemos el primer límite maravilloso:

Aquí sólo tenemos un límite destacable, que se convierte en uno y desaparece en el producto:

Deshagámonos de la estructura de tres pisos:

Efectivamente el límite está resuelto, indicamos que el seno restante tiende a cero:

Ejemplo 5

Encuentra el límite

Este ejemplo es más complicado, intenta resolverlo tú mismo:

Algunos límites se pueden reducir al primer límite notable cambiando una variable; puedes leer sobre esto un poco más adelante en el artículo. Métodos para resolver límites..

Segundo límite maravilloso

En la teoría del análisis matemático se ha demostrado que:

Este hecho se llama segundo límite maravilloso.

Referencia: es un número irracional.

El parámetro puede ser no sólo una variable, sino también una función compleja. Lo único importante es que aspira al infinito..

Ejemplo 6

Encuentra el límite

Cuando la expresión bajo el signo del límite está en un grado, este es el primer signo en el que debes intentar aplicar el segundo límite maravilloso.

Pero primero, como siempre, intentamos sustituir un número infinitamente grande en la expresión; el principio mediante el cual se hace esto se analiza en la lección. Límites. Ejemplos de soluciones.

Es fácil notar que cuando la base del grado es y el exponente es , es decir, hay incertidumbre de la forma:

Esta incertidumbre se revela precisamente con la ayuda del segundo límite notable. Pero, como suele suceder, el segundo límite maravilloso no está en bandeja de plata y es necesario organizarlo artificialmente. Puedes razonar de la siguiente manera: en este ejemplo el parámetro es , lo que significa que también debemos organizarnos en el indicador. Para ello elevamos la base a la potencia, y para que no cambie la expresión la elevamos a la potencia:

Cuando la tarea se completa a mano, marcamos con un lápiz:

Casi todo está listo, el terrible título se ha convertido en una bonita carta:

En este caso, movemos el propio icono de límite al indicador.:

Ejemplo 7

Encuentra el límite

¡Atención! Este tipo de límite ocurre muy a menudo, estudie este ejemplo con mucha atención.

Intentemos sustituir un número infinitamente grande en la expresión bajo el signo de límite:

El resultado es la incertidumbre. Pero el segundo límite destacable se aplica a la incertidumbre de la forma. ¿Qué hacer? Necesitamos convertir la base del título. Razonamos así: en el denominador tenemos , lo que significa que en el numerador también necesitamos organizar .

Prueba:

Primero demostremos el teorema para el caso de la secuencia

Según la fórmula binomial de Newton:

Suponiendo que obtengamos

De esta igualdad (1) se deduce que a medida que n aumenta, aumenta el número de términos positivos en el lado derecho. Además, a medida que n aumenta, el número disminuye, por lo que los valores están aumentando. Por lo tanto la secuencia creciente, y (2)*Demostramos que es acotado. Reemplace cada paréntesis en el lado derecho de la igualdad con uno, el lado derecho aumentará y obtenemos la desigualdad.

Fortalezcamos la desigualdad resultante, reemplacemos 3,4,5, ..., que está en los denominadores de las fracciones, con el número 2: encontramos la suma entre paréntesis usando la fórmula para la suma de los términos de una progresión geométrica: Por lo tanto (3)*

Entonces, la secuencia está acotada desde arriba y se satisfacen las desigualdades (2) y (3): Por tanto, basándose en el teorema de Weierstrass (criterio para la convergencia de una secuencia), la secuencia aumenta monótonamente y es limitado, lo que significa que tiene un límite, denotado por la letra e. Aquellos.

Sabiendo que el segundo límite notable es cierto para valores naturales de x, demostramos el segundo límite notable para x real, es decir, demostramos que . Consideremos dos casos:

1. Sea cada valor de x encerrado entre dos números enteros positivos: donde está la parte entera de x. => =>

Si , entonces Por lo tanto, según el límite Tenemos

Basado en el criterio (sobre el límite de una función intermedia) de la existencia de límites

2. Deja. Hagamos la sustitución − x = t, entonces

De estos dos casos se deduce que de verdad x.

Consecuencias:

9 .) Comparación de infinitesimales. El teorema sobre la sustitución de infinitesimales por equivalentes en el límite y el teorema sobre la parte principal de los infinitesimales.

Sean las funciones a( X) y B( X) – b.m. en X ® X 0 .

DEFINICIONES.

1)a( X) llamado orden infinitamente superior que b (X) Si

Escribe: a( X) = o(b( X)) .

2)a( X) Y b( X)son llamados infinitesimales del mismo orden, Si

donde CÎℝ y C¹ 0 .

Escribe: a( X) = oh(b( X)) .

3)a( X) Y b( X) son llamados equivalente , Si

Escribe: a( X) ~ b( X).

4)a( X) llamado infinitesimal de orden k relativo
absolutamente infinitesimal b( X), si es infinitesimal a( X)Y(b( X))k tienen el mismo orden, es decir Si

donde CÎℝ y C¹ 0 .

TEOREMA 6 (sobre la sustitución de infinitesimales por equivalentes).

Dejar a( X), b( X), un 1 ( X), segundo 1 ( X)– b.m. en x ® X 0 . Si a( X) ~ un 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X),

Eso

Prueba: Sea a( X) ~ un 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X), Entonces

TEOREMA 7 (sobre la parte principal del infinitesimal).

Dejar a( X)Y b( X)– b.m. en x ® X 0 , y b( X)– b.m. orden superior que a( X).

= , a desde b( X) – orden superior a ( X), entonces, es decir de esta claro que un( X) + b( X) ~ un ( X)

10) Continuidad de una función en un punto (en lenguaje épsilon-delta, límites geométricos) Continuidad unilateral. Continuidad en un intervalo, en un segmento. Propiedades de funciones continuas.

1. Definiciones básicas

Dejar F(X) se define en alguna vecindad del punto X 0 .

DEFINICIÓN 1. Función f(X) llamado continuo en un punto X 0 si la igualdad es verdadera

Notas.

1) En virtud del Teorema 5 §3, la igualdad (1) se puede escribir en la forma

Condición (2) – definición de continuidad de una función en un punto en el lenguaje de límites unilaterales.

2) La igualdad (1) también se puede escribir como:

Dicen: "si una función es continua en un punto X 0, entonces el signo del límite y la función se pueden intercambiar."

DEFINICIÓN 2 (en lenguaje e-d).

Función f(X) llamado continuo en un punto X 0 Si"e>0 $d>0 semejante, Qué

si xОU( X 0 , d) (es decir | X – X 0 | < d),

entonces f(X)ÎU( F(X 0), e) (es decir, | F(X) – F(X 0) | < e).

Dejar X, X 0 Î D(F) (X 0 – fijo, X - arbitrario)

Denotemos: D X= x-x 0 – incremento de argumento

D F(X 0) = F(X) – F(X 0) – incremento de función en el punto x 0

DEFINICIÓN 3 (geométrica).

Función f(X) en llamado continuo en un punto X 0 si en este punto un incremento infinitesimal en el argumento corresponde a un incremento infinitesimal en la función, es decir.

Deja que la función F(X) se define en el intervalo [ X 0 ; X 0 + d) (en el intervalo ( X 0 – d; X 0 ]).

DEFINICIÓN. Función f(X) llamado continuo en un punto X 0 a la derecha (izquierda ), si la igualdad es verdadera

Es obvio que F(X) es continua en el punto X 0 Û F(X) es continua en el punto X 0 derecha e izquierda.

DEFINICIÓN. Función f(X) llamado continuo durante un intervalo mi ( a; b) si es continua en cada punto de este intervalo.

Función f(X) se llama continua en el segmento [a; b] si es continua en el intervalo (a; b) y tiene continuidad unidireccional en los puntos límite(es decir, continuo en el punto a a la derecha, en el punto b- izquierda).

11) Puntos de quiebre, su clasificación.

DEFINICIÓN. Si la función f(X) definido en alguna vecindad del punto x 0 , pero no es continuo en este punto, entonces F(X) llamado discontinuo en el punto x 0 , y el punto en si X 0 llamado el punto de ruptura funciones f(X) .

Notas.

1) F(X) se puede definir en una vecindad incompleta del punto X 0 .

Luego considere la correspondiente continuidad unilateral de la función.

2) De la definición de Þ punto X 0 es el punto de ruptura de la función F(X) en dos casos:

a) U( X 0 , d)О D(F) , pero para F(X) la igualdad no se cumple

b) U * ( X 0 , d)О D(F) .

Para funciones elementales sólo es posible el caso b).

Dejar X 0 – punto de interrupción de la función F(X) .

DEFINICIÓN. Punto x 0 llamado punto de quiebre I algo así como si la función f(X)tiene límites finitos a la izquierda y a la derecha en este punto.

Si estos límites son iguales, entonces el punto x 0 llamado punto de ruptura removible , de lo contrario - punto de salto .

DEFINICIÓN. Punto x 0 llamado punto de quiebre II algo así como si al menos uno de los límites unilaterales de la función f(X)en este punto es igual¥ o no existe.

12) Propiedades de funciones continuas en un intervalo (teoremas de Weierstrass (sin prueba) y Cauchy

Teorema de Weierstrass

Sea la función f(x) continua en el intervalo, entonces

1)f(x)está limitado a

2) f(x) toma su valor más pequeño y más grande en el intervalo

Definición: El valor de la función m=f se llama el más pequeño si m≤f(x) para cualquier x€ D(f).

Se dice que el valor de la función m=f es mayor si m≥f(x) para cualquier x € D(f).

La función puede tomar el valor más pequeño/más grande en varios puntos del segmento.

f(x 3)=f(x 4)=máx.

El teorema de Cauchy.

Sea la función f(x) continua en el segmento y x sea el número contenido entre f(a) y f(b), entonces existe al menos un punto x 0 € tal que f(x 0)= g

La fórmula para el segundo límite notable es lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Otra forma de escritura se ve así: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

Cuando hablamos del segundo límite notable, tenemos que lidiar con una incertidumbre de la forma 1 ∞, es decir unidad hasta el infinito.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Consideremos problemas en los que será útil la capacidad de calcular el segundo límite notable.

Ejemplo 1

Encuentra el límite lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Solución

Sustituyamos la fórmula requerida y realicemos los cálculos.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Nuestra respuesta resultó ser elevada al poder del infinito. Para determinar el método de solución utilizamos la tabla de incertidumbre. Elijamos el segundo límite destacable y hagamos un cambio de variables.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Si x → ∞, entonces t → - ∞.

Veamos qué obtuvimos después del reemplazo:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Respuesta: lím x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = mi - 1 2 .

Ejemplo 2

Calcula el límite lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .

Solución

Sustituyamos el infinito y obtenemos lo siguiente.

lím x → ∞ x - 1 x + 1 x = lím x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

En la respuesta obtuvimos nuevamente lo mismo que en el problema anterior, por lo tanto, podemos usar nuevamente el segundo límite destacable. A continuación, debemos seleccionar la parte completa en la base de la función de potencia:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Después de esto, el límite adopta la siguiente forma:

lím x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lím x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Reemplazar variables. Supongamos que t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; si x → ∞, entonces t → ∞.

Después de eso, anotamos lo que obtuvimos en el límite original:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = mi - 2

Para realizar esta transformación, utilizamos las propiedades básicas de límites y potencias.

Respuesta: lím x → ∞ x - 1 x + 1 x = mi - 2 .

Ejemplo 3

Calcula el límite lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Solución

lím x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lím x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

Después de eso, necesitamos transformar la función para aplicar el segundo gran límite. Obtuvimos lo siguiente:

lím x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lím x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lím x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lím x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lím x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lím x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Como ahora tenemos los mismos exponentes en el numerador y denominador de la fracción (igual a seis), el límite de la fracción en el infinito será igual a la relación de estos coeficientes en potencias superiores.

lím x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lím x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lím x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Sustituyendo t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 obtenemos un segundo límite notable. Significa qué:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Respuesta: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

conclusiones

Incertidumbre 1 ∞, es decir la unidad elevada a una potencia infinita es una incertidumbre de ley de potencia, por lo tanto, se puede revelar utilizando las reglas para encontrar los límites de funciones de potencia exponenciales.

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