Extremos condicionales y método del multiplicador de Lagrange. Método del multiplicador de Lagrange
Breve teoría
El método del multiplicador de Lagrange es un método clásico para resolver problemas de programación matemática (en particular, convexos). Desafortunadamente, la aplicación práctica del método puede encontrar importantes dificultades computacionales, lo que reduce el alcance de su uso. Consideramos aquí el método de Lagrange principalmente porque es un aparato que se utiliza activamente para fundamentar varios métodos numéricos modernos que se utilizan ampliamente en la práctica. En cuanto a la función de Lagrange y los multiplicadores de Lagrange, desempeñan un papel independiente y extremadamente importante en la teoría y las aplicaciones no solo de la programación matemática.
Considere un problema de optimización clásico:
Entre las restricciones de este problema no hay desigualdades, no existen condiciones para la no negatividad de las variables, su discreción y las funciones son continuas y tienen derivadas parciales de al menos segundo orden.
El enfoque clásico para resolver el problema proporciona un sistema de ecuaciones (condiciones necesarias) que debe satisfacer el punto que proporciona a la función un extremo local en el conjunto de puntos que satisfacen las restricciones (para un problema de programación convexa, el punto encontrado también será el punto extremo global).
Supongamos que en un punto la función (1) tiene un extremo condicional local y el rango de la matriz es igual a . Entonces las condiciones necesarias se escribirán en la forma:
hay una función de Lagrange; – Multiplicadores de Lagrange.
También existen condiciones suficientes bajo las cuales la solución del sistema de ecuaciones (3) determina el punto extremo de la función. Esta cuestión se resuelve a partir del estudio del signo de la segunda diferencial de la función de Lagrange. Sin embargo, las condiciones suficientes son principalmente de interés teórico.
Puede especificar el siguiente procedimiento para resolver los problemas (1), (2) utilizando el método del multiplicador de Lagrange:
1) componer la función de Lagrange (4);
2) encontrar las derivadas parciales de la función de Lagrange con respecto a todas las variables y equipararlas
cero. Así se obtendrá un sistema (3), formado por ecuaciones: Resuelva el sistema resultante (¡si es posible!) y así encuentre todos los puntos estacionarios de la función de Lagrange;
3) a partir de puntos estacionarios tomados sin coordenadas, seleccione puntos en los que la función tenga extremos locales condicionales en presencia de restricciones (2). Esta elección se hace, por ejemplo, utilizando condiciones suficientes para un extremo local. A menudo el estudio se simplifica si se utilizan las condiciones específicas del problema.
Ejemplo de solución de problema
La tarea
La empresa produce dos tipos de bienes en cantidades y . La función de costo útil está determinada por la relación. Los precios de estos bienes en el mercado son iguales y correspondientes.
Determine en qué volúmenes de producción se logra el beneficio máximo y a qué equivale si los costos totales no exceden
¿Tiene problemas para comprender el progreso de una decisión? El sitio web ofrece un servicio de resolución de problemas utilizando métodos de solución óptima para realizar el pedido.
La solución del problema
Modelo económico y matemático del problema.
Función de beneficio:
Restricciones de costos:
Obtenemos el siguiente modelo económico y matemático:
Además, según el significado de la tarea.
Método del multiplicador de Lagrange
Compongamos la función de Lagrange:
Encontramos las derivadas parciales de primer orden:
Creemos y resolvamos un sistema de ecuaciones:
Desde entonces
Beneficio máximo:
Respuesta
Por tanto, es necesario liberar alimentos. mercancías del 1er tipo y unidades. bienes del segundo tipo. En este caso, el beneficio será máximo y ascenderá a 270.
Se proporciona un ejemplo de resolución de un problema de programación cuadrática convexa utilizando un método gráfico.
Resolver un problema lineal por método gráfico.
Se considera un método gráfico para resolver un problema de programación lineal (LPP) con dos variables. Utilizando el ejemplo de un problema, se proporciona una descripción detallada de cómo construir un dibujo y encontrar una solución.
El modelo de gestión de inventarios de Wilson.
Utilizando el ejemplo de resolución del problema, se considera el modelo básico de gestión de inventarios (modelo Wilson). Se calcularon indicadores del modelo como el tamaño óptimo del lote de pedido, los costos anuales de almacenamiento, el intervalo entre entregas y el momento de realización del pedido.
Matriz de relación de costos directos y matriz insumo-producto
Utilizando el ejemplo de la resolución de un problema, se considera el modelo intersectorial de Leontiev. Se muestra el cálculo de la matriz de coeficientes de costos directos de materiales, la matriz de “input-output”, la matriz de coeficientes de costos indirectos, vectores de consumo final y producción bruta.
CON La esencia del método de Lagrange es reducir el problema del extremo condicional a resolver el problema del extremo incondicional. Considere el modelo de programación no lineal:
(5.2)
Dónde 
– funciones conocidas,
A 
– coeficientes dados.
Tenga en cuenta que en esta formulación del problema, las restricciones se especifican mediante igualdades y no existe ninguna condición para que las variables no sean negativas. Además, creemos que las funciones 
son continuos con sus primeras derivadas parciales.
Transformemos las condiciones (5.2) de modo que en el lado izquierdo o derecho de las igualdades haya cero:
(5.3)
Compongamos la función de Lagrange. Incluye la función objetivo (5.1) y los lados derechos de las restricciones (5.3), tomados respectivamente con los coeficientes 
. Habrá tantos coeficientes de Lagrange como restricciones en el problema.
Los puntos extremos de la función (5.4) son los puntos extremos del problema original y viceversa: el plan óptimo del problema (5.1)-(5.2) es el punto extremo global de la función de Lagrange.
De hecho, que se encuentre una solución. 
problemas (5.1)-(5.2), entonces se satisfacen las condiciones (5.3). Sustituyamos el plan. 
en la función (5.4) y verificar la validez de la igualdad (5.5).
Por tanto, para encontrar el plan óptimo para el problema original, es necesario examinar la función de Lagrange para el extremo. La función tiene valores extremos en puntos donde sus derivadas parciales son iguales cero. Estos puntos se llaman estacionario.
Definamos las derivadas parciales de la función (5.4)
,
.
Después de la ecualización cero derivadas obtenemos el sistema m+n ecuaciones con m+n desconocido
,
(5.6)
En el caso general, el sistema (5.6)-(5.7) tendrá varias soluciones, que incluirán todos los máximos y mínimos de la función de Lagrange. Para resaltar el máximo o mínimo global, se calculan los valores de la función objetivo en todos los puntos encontrados. El mayor de estos valores será el máximo global y el más pequeño será el mínimo global. En algunos casos es posible utilizar condiciones suficientes para un extremo estricto funciones continuas (ver el problema 5.2 a continuación):
dejar funcionar 
es continua y dos veces diferenciable en alguna vecindad de su punto estacionario 
(aquellos. 
)). Entonces:
A
) Si 
,
(5.8)
Eso 
– punto de máximo estricto de la función 
;
b)
Si 
,
(5.9)
Eso 
– punto de mínimo estricto de la función 
;
GRAMO
) Si 
,
entonces la cuestión de la presencia de un extremo permanece abierta.
Además, algunas soluciones del sistema (5.6)-(5.7) pueden ser negativas. Lo cual es inconsistente con el significado económico de las variables. En este caso, deberías considerar reemplazar los valores negativos con valores cero.
Significado económico de los multiplicadores de Lagrange. Valor multiplicador óptimo 
muestra cuánto cambiará el valor del criterio z
cuando el recurso aumenta o disminuye j por una unidad, ya que
El método de Lagrange también se puede utilizar en el caso de que las restricciones sean desigualdades. Por lo tanto, encontrar el extremo de la función. 
bajo condiciones
,
realizado en varias etapas:
1. Determinar puntos estacionarios de la función objetivo, para lo cual resuelven un sistema de ecuaciones.
.
2. De los puntos estacionarios, seleccione aquellos cuyas coordenadas cumplan las condiciones
3. Utilizando el método de Lagrange, resuelva el problema con restricciones de igualdad (5.1)-(5.2).
4. Los puntos encontrados en la segunda y tercera etapa se examinan para determinar el máximo global: se comparan los valores de la función objetivo en estos puntos; el valor más grande corresponde al plan óptimo.
Problema 5.1 Resolvamos el problema 1.3, considerado en la primera sección, utilizando el método de Lagrange. La distribución óptima de los recursos hídricos se describe mediante un modelo matemático.
.
Compongamos la función de Lagrange.
Encontremos el máximo incondicional de esta función. Para ello calculamos las derivadas parciales y las igualamos a cero.
,
Así, obtuvimos un sistema de ecuaciones lineales de la forma
La solución del sistema de ecuaciones representa un plan óptimo para la distribución de los recursos hídricos en las zonas irrigadas.
,
.
Cantidades 
medido en cientos de miles de metros cúbicos. 
- el importe de los ingresos netos por cada cien mil metros cúbicos de agua de riego. Por tanto, el precio marginal de 1 m 3 de agua de riego es igual a 
guarida. unidades
El ingreso neto adicional máximo por riego será
160·12.26 2 +7600·12.26-130·8.55 2 +5900·8.55-10·16.19 2 +4000·16.19=
172391.02 (unidades poblacionales)
Problema 5.2 Resolver un problema de programación no lineal
Representemos la limitación en la forma:
.
Compongamos la función de Lagrange y determinemos sus derivadas parciales.
.
Para determinar los puntos estacionarios de la función de Lagrange, sus derivadas parciales deben igualarse a cero. Como resultado, obtenemos un sistema de ecuaciones.
.
De la primera ecuación se sigue
. (5.10)
Expresión 
sustituyamos en la segunda ecuación
,
lo que implica dos soluciones para 
:
Y 
. (5.11)
Sustituyendo estas soluciones en la tercera ecuación, obtenemos
, 
.
Valores del multiplicador de Lagrange y la incógnita 
Calculemos usando las expresiones (5.10)-(5.11):
, 
,
,
.
Así, obtuvimos dos puntos extremos:
; 
.
Para saber si estos puntos son máximos o mínimos, utilizamos condiciones suficientes para el extremo estricto (5.8)-(5.9). Preexpresión para 
, obtenido de la restricción del modelo matemático, lo sustituimos en la función objetivo 
,
. (5.12)
Para comprobar las condiciones de un extremo estricto, debemos determinar el signo de la segunda derivada de la función (5.11) en los puntos extremos que encontramos 
Y 
.
, 
;
.
De este modo, (·) 
es el punto mínimo del problema original ( 
), A (·) 
– punto máximo.
plan optimo:
, 
,
,
.
Hoy en la lección aprenderemos a encontrar. condicional o, como también se les llama, extremos relativos funciones de varias variables y, en primer lugar, hablaremos, por supuesto, de extremos condicionales funciones de dos Y tres variables, que se encuentran en la gran mayoría de los problemas temáticos.
¿Qué necesitas saber y poder hacer en este momento? A pesar de que este artículo está “en las afueras” del tema, no se requiere mucho para dominar con éxito el material. En este punto usted debe ser consciente de los conceptos básicos superficies del espacio, ser capaz de encontrar Derivadas parciales (al menos a un nivel medio) y, como dicta la lógica despiadada, comprender extremos incondicionales. Pero incluso si tienes un bajo nivel de preparación, no te apresures a irte: todos los conocimientos/habilidades que te faltan realmente se pueden “adquirir en el camino”, y sin horas de tormento.
Primero analicemos el concepto en sí y al mismo tiempo hagamos una rápida repetición de los más comunes. superficies. Entonces, ¿qué es un extremo condicional? ...La lógica aquí no es menos despiadada =) El extremo condicional de una función es un extremo en el sentido habitual de la palabra, que se logra cuando se cumplen una determinada condición (o condiciones).
Imaginemos un "oblicuo" arbitrario. avión V sistema cartesiano. Ninguno extremo aquí no hay rastro de ello. Pero esto es por el momento. Consideremos cilindro elíptico, para simplificar: un "tubo" redondo sin fin paralelo al eje. Evidentemente, este “tubo” “cortará” nuestro avión. elipse, como resultado de lo cual habrá un máximo en su punto superior y un mínimo en su punto inferior. En otras palabras, la función que define el plano alcanza extremos dado que que fue atravesado por un cilindro circular dado. ¡Exactamente “provisto”! Es casi seguro que otro cilindro elíptico que cruce este plano producirá valores mínimos y máximos diferentes.
Si no está muy claro, entonces la situación se puede simular de manera realista. (aunque en orden inverso): toma un hacha, sal y corta... no, Greenpeace no te perdonará más tarde - es mejor cortar el tubo de desagüe con una amoladora =). El mínimo condicional y el máximo condicional dependerán de a qué altura y bajo qué (no horizontal) el corte se realiza en ángulo.
Ha llegado el momento de vestir los cálculos con ropajes matemáticos. Consideremos paraboloide elíptico, que tiene mínimo absoluto en el punto . Ahora busquemos el extremo. dado que. Este avión paralelo al eje, lo que significa que "corta" el paraboloide parábola. La cima de esta parábola será el mínimo condicional. Además, el plano no pasa por el origen de coordenadas, por lo que el punto seguirá siendo irrelevante. ¿No proporcionaste una imagen? ¡Sigamos los enlaces inmediatamente! Se necesitarán muchas, muchas más veces.
Pregunta: ¿cómo encontrar este extremo condicional? La forma más sencilla de resolver es utilizar la ecuación (que se llama - condición o ecuación de conexión) expresar, por ejemplo: – y sustituirlo en la función: 
El resultado es una función de una variable que define una parábola, cuyo vértice se "calcula" con los ojos cerrados. Encontremos puntos críticos:
- punto crítico.
La siguiente cosa más fácil de usar es segunda condición suficiente para el extremo:
En particular: esto significa que la función alcanza un mínimo en el punto . Se puede calcular directamente: , pero tomaremos una ruta más académica. Encontremos la coordenada del "juego":
,
anote el punto mínimo condicional, asegúrese de que realmente se encuentre en el plano (satisface la ecuación de acoplamiento):
y calcular el mínimo condicional de la función:
dado que (¡¡¡se requiere "aditivo"!!!).
El método considerado se puede utilizar en la práctica sin lugar a dudas, sin embargo, tiene una serie de desventajas. En primer lugar, la geometría del problema no siempre es clara y, en segundo lugar, a menudo no es rentable expresar "x" o "y" a partir de la ecuación de conexión. (si es posible expresar algo). Y ahora consideraremos un método universal para encontrar extremos condicionales, llamado Método del multiplicador de Lagrange:
Ejemplo 1
Encuentre los extremos condicionales de la función con la ecuación de conexión especificada a los argumentos.
¿Reconoces las superficies? ;-) ...Me alegra ver vuestras caras felices =)
Por cierto, a partir de la formulación de este problema queda claro por qué la condición se llama ecuación de conexión– argumentos de función conectado una condición adicional, es decir, los puntos extremos encontrados deben pertenecer necesariamente a un cilindro circular.
Solución: en el primer paso es necesario presentar la ecuación de conexión en el formulario y componer función de Lagrange:
, donde está el llamado multiplicador de Lagrange.
En nuestro caso y:
El algoritmo para encontrar extremos condicionales es muy similar al esquema para encontrar "ordinario" extremos. Encontremos Derivadas parciales Funciones de Lagrange, mientras que la “lambda” debe tratarse como una constante:
Compongamos y resolvamos el siguiente sistema: 
La maraña se desenreda de serie:
de la primera ecuación expresamos 
;
de la segunda ecuación expresamos 
.
Sustituyamos las conexiones en la ecuación y realicemos simplificaciones: 
Como resultado, obtenemos dos puntos estacionarios. Si entonces: 
si, entonces: 
Es fácil ver que las coordenadas de ambos puntos satisfacen la ecuación 
. Las personas escrupulosas también pueden realizar un control completo: para ello es necesario sustituir 
en la primera y segunda ecuaciones del sistema, y luego haga lo mismo con el conjunto 
. Todo debe “unirse”.
Comprobemos el cumplimiento de la condición extrema suficiente para los puntos estacionarios encontrados. Discutiré tres enfoques para resolver este problema:
1) El primer método es una justificación geométrica.
Calculemos los valores de la función en puntos estacionarios:
A continuación, anotamos una frase con aproximadamente el siguiente contenido: una sección de un plano por un cilindro circular es una elipse, en cuyo vértice superior se alcanza el máximo, y en el inferior, el mínimo. Por tanto, un valor mayor es un máximo condicional y un valor menor es un mínimo condicional.
Si es posible, es mejor utilizar este método; es simple y esta decisión la cuentan los maestros. (una gran ventaja es que demostró comprender el significado geométrico del problema). Sin embargo, como ya se señaló, no siempre está claro qué se cruza con qué y dónde, y luego la verificación analítica viene al rescate:
2) El segundo método se basa en el uso de signos diferenciales de segundo orden. Si resulta que en un punto estacionario, entonces la función alcanza un máximo allí, pero si lo hace, entonces alcanza un mínimo.
Encontremos derivadas parciales de segundo orden:
y crea este diferencial:
Cuando , esto significa que la función alcanza su máximo en el punto ;
en , lo que significa que la función alcanza un mínimo en el punto 
.
El método considerado es muy bueno, pero tiene la desventaja de que en algunos casos es casi imposible determinar el signo del 2º diferencial. (normalmente esto sucede si y/o son signos diferentes). Y entonces viene al rescate la “artillería pesada”:
3) Diferenciamos la ecuación de conexión por “X” e “Y”: 
y componer lo siguiente simétrico matriz:
Si está en un punto estacionario, entonces la función llega allí ( ¡atención!) mínimo, si – entonces máximo.
Escribamos la matriz para el valor y el punto correspondiente: 
vamos a calcularlo determinante:
, por tanto, la función tiene un máximo en el punto .
Lo mismo ocurre con el valor y el punto: 
Por tanto, la función tiene un mínimo en el punto .
Respuesta: dado que :
Después de un análisis exhaustivo del material, simplemente no puedo evitar ofrecerles un par de tareas típicas de autoevaluación:
Ejemplo 2
Encuentra el extremo condicional de la función si sus argumentos están relacionados por la ecuación
Ejemplo 3
Encuentra los extremos de la función dada la condición.
Y nuevamente, recomiendo encarecidamente comprender la esencia geométrica de las tareas, especialmente en el último ejemplo, donde la verificación analítica de una condición suficiente no es un regalo. Recuerda que línea de segundo orden establece la ecuación, y qué superficie esta línea genera en el espacio. Analice a lo largo de qué curva el cilindro cruzará el plano y en qué parte de esta curva habrá un mínimo y dónde habrá un máximo.
Soluciones y respuestas al final de la lección.
El problema que estamos considerando se utiliza ampliamente en diversos campos, en particular (no iremos muy lejos) en geometría. Resolvamos el problema favorito de todos sobre la botella de medio litro. (ver Ejemplo 7 del artículoDesafíos extremos ) segunda manera:
Ejemplo 4
¿Cuáles deben ser las dimensiones de una lata cilíndrica para que se utilice la menor cantidad de material para fabricar la lata, si el volumen de la lata es igual a
Solución: considere un radio de base variable, una altura variable y componga una función del área de la superficie total de la lata: 
(área de dos cubiertas + superficie lateral)
| Nombre del parámetro | Significado |
| Tema del artículo: | Método de Lagrange. |
| Rúbrica (categoría temática) | Matemáticas |
Encontrar un polinomio significa determinar los valores de su coeficiente. 
. Para ello, utilizando la condición de interpolación, se puede formar un sistema de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE).
El determinante de este SLAE suele denominarse determinante de Vandermonde. El determinante de Vandermonde no es igual a cero para for, es decir, en el caso de que no haya nodos coincidentes en la tabla de búsqueda. Sin embargo, se puede argumentar que la SLAE tiene una solución y esta solución es única. Habiendo resuelto el SLAE y determinado los coeficientes desconocidos. puedes construir un polinomio de interpolación.
Un polinomio que satisface las condiciones de interpolación, cuando se interpola mediante el método de Lagrange, se construye en forma de una combinación lineal de polinomios de enésimo grado:
Los polinomios generalmente se llaman básico polinomios. Con el fin de polinomio de Lagrange satisface las condiciones de interpolación, es extremadamente importante que se cumplan las siguientes condiciones para sus polinomios de base:
Para 
.
Si se cumplen estas condiciones, entonces para cualquiera tenemos:
Además, el cumplimiento de las condiciones especificadas para los polinomios de base significa que también se cumplen las condiciones de interpolación.
Determinemos el tipo de polinomios básicos en función de las restricciones que se les imponen.
1ª condición: en .
2da condición: .
Finalmente, para el polinomio base podemos escribir:
Luego, sustituyendo la expresión resultante de los polinomios básicos en el polinomio original, obtenemos la forma final del polinomio de Lagrange:
Una forma particular del polinomio de Lagrange generalmente se denomina fórmula de interpolación lineal:
.
El polinomio de Lagrange tomado en generalmente se denomina fórmula de interpolación cuadrática:
Método de Lagrange. - concepto y tipos. Clasificación y características de la categoría "Método de Lagrange". 2017, 2018.
Mandos a distancia lineales. Definición. Tipo DU, es decir lineal con respecto a una función desconocida y su derivada se llama lineal. Para una solución de este tipo, consideraremos dos métodos: el método de Lagrange y el método de Bernoulli. Considere una ecuación diferencial homogénea. Esta ecuación es con variables separables. La solución de la ecuación es General...
Definición. Un sistema de control se llama homogéneo si la función se puede representar como la relación entre sus argumentos. Ejemplo. La f-ésima se denomina medida f-ésima homogénea si Ejemplos: 1) - 1er orden de homogeneidad. 2) - 2do orden de homogeneidad. 3) - orden cero de homogeneidad (simplemente homogéneo... .
Los problemas extremos son de gran importancia en los cálculos económicos. Se trata del cálculo, por ejemplo, de ingresos máximos, beneficios, costes mínimos en función de varias variables: recursos, activos de producción, etc. La teoría de encontrar extremos de funciones... .
3. 2. 1. DE con variables separables S.R. 3. En las ciencias naturales, la tecnología y la economía, a menudo hay que trabajar con fórmulas empíricas, es decir, Fórmulas elaboradas a partir del tratamiento de datos estadísticos o...
Considere una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden:
(1)
.
Hay tres formas de resolver esta ecuación:
- método de variación de constante (Lagrange).
Consideremos resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden usando el método de Lagrange.
Método de variación de constante (Lagrange)
En el método de variación de constantes, resolvemos la ecuación en dos pasos. En el primer paso, simplificamos la ecuación original y resolvemos una ecuación homogénea. En la segunda etapa, reemplazamos la constante de integración obtenida en la primera etapa de la solución con una función. Luego buscamos una solución general a la ecuación original.
Considere la ecuación:
(1)
Paso 1 Resolver una ecuación homogénea
Buscamos una solución a la ecuación homogénea:
Esta es una ecuación separable.
Separamos las variables: multiplicamos por dx, dividimos por y:
Integramos:
Integral sobre y - tabular:
Entonces
Potencialicemos:
Reemplacemos la constante e C con C y eliminemos el signo del módulo, que se reduce a multiplicar por una constante ±1, que incluiremos en C:
Paso 2 Reemplaza la constante C con la función
Ahora reemplacemos la constante C con una función de x:
C → tu (X)
Es decir, buscaremos una solución a la ecuación original. (1)
como:
(2)
Encontrar la derivada.
Según la regla de derivación de una función compleja:
.
Según la regla de diferenciación de productos:
.
Sustituir en la ecuación original (1)
:
(1)
;
.
Se reducen dos miembros:
;
.
Integramos:
.
Sustituir en (2)
:
.
Como resultado, obtenemos una solución general a una ecuación diferencial lineal de primer orden:
.
Un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial lineal de primer orden mediante el método de Lagrange
Resuelve la ecuación
Solución
Resolvemos la ecuación homogénea:
Separamos las variables:
Multiplicar por:
Integramos:
Integrales tabulares:
Potencialicemos:
Reemplacemos la constante e C con C y eliminemos los signos del módulo:
De aquí:
Reemplacemos la constante C con una función de x:
C → tu (X)
Encontrar la derivada:
.
Sustituye en la ecuación original:
;
;
O:
;
.
Integramos:
;
Solución de la ecuación:
.
