Cálculo de adhs del clipper por el método de Newton. Métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales.

Método de Newton (método tangente)

Separe la raíz de la ecuación f(x)=0 en el segmento , con las derivadas primera y segunda f’(x) y f""(x) son continuas y de signo constante para xÎ.

Dejemos que en algún paso del refinamiento de raíces se obtenga la siguiente aproximación a la raíz x n (seleccionada) . Entonces supongamos que la siguiente aproximación obtenida usando la corrección h n , conduce al valor exacto de la raíz

x = xn + hn. (1.2.3-6)

Contando hn valor pequeño, representamos f(х n + h n) en forma de una serie de Taylor, limitándonos a términos lineales

f(x n + h n) »f(x n) + h n f’(x n). (1.2.3-7)

Considerando que f(x) = f(x n + h n) = 0, obtenemos f(x n) + h n f ’(x n) » 0.

Por tanto h n » - f(x n)/ f’(x n). sustituyamos el valor hn en (1.2.3-6) y en lugar del valor exacto de la raíz X obtenemos otra aproximación

La fórmula (1.2.3-8) nos permite obtener una secuencia de aproximaciones x 1, x 2, x 3 ..., que, bajo determinadas condiciones, converge al valor exacto de la raíz. X, eso es

Interpretación geométrica del método de Newton. es como sigue
(Figura 1.2.3-6). Tomemos el extremo derecho del segmento b como aproximación inicial x 0 y construyamos una tangente en el punto correspondiente B 0 en la gráfica de la función y = f(x). El punto de intersección de la tangente con el eje x se toma como una nueva aproximación más precisa x 1. Repetir este procedimiento muchas veces nos permite obtener una secuencia de aproximaciones x 0, x 1, x 2 , . . ., que tiende al valor exacto de la raíz X.

La fórmula de cálculo del método de Newton (1.2.3-8) se puede obtener a partir de una construcción geométrica. Entonces en un triángulo rectángulo x 0 B 0 x 1 cateto
x 0 x 1 = x 0 V 0 /tga. Considerando que el punto B 0 está en la gráfica de la función f(x), y la hipotenusa está formada por la tangente a la gráfica f(x) en el punto B 0, obtenemos

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

Esta fórmula coincide con (1.2.3-8) para la enésima aproximación.

De la Fig. 1.2.3-6 queda claro que elegir el punto a como aproximación inicial puede llevar al hecho de que la siguiente aproximación x 1 estará fuera del segmento en el que se separa la raíz. X. En este caso, no se garantiza la convergencia del proceso. En el caso general, la elección de la aproximación inicial se realiza de acuerdo con la siguiente regla: la aproximación inicial debe tomarse como un punto x 0 О, en el que f(x 0)×f''(x 0)>0 , es decir, los signos de la función y su segunda derivada coinciden.

Las condiciones para la convergencia del método de Newton se formulan en el siguiente teorema.

Si la raíz de la ecuación se separa en el segmento., y f’(x 0) y f’’(x) son diferentes de cero y conservan sus signos cuando xО, entonces si elegimos un punto como aproximación inicial x 0 О , Qué f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , entonces la raíz de la ecuación f(x)=0 se puede calcular con cualquier grado de precisión.

La estimación del error del método de Newton está determinada por la siguiente expresión:

(1.2.3-11)

¿Dónde está el valor más pequeño? en

Valor más alto en

El proceso de cálculo se detiene si ,

¿Dónde está la precisión especificada?

Además, las siguientes expresiones pueden servir como condición para lograr una precisión determinada al refinar la raíz utilizando el método de Newton:

El diagrama del algoritmo del método de Newton se muestra en la Fig. 1.2.3-7.

El lado izquierdo de la ecuación original f(x) y su derivada f'(x) en el algoritmo están diseñados como módulos de software separados.

Arroz. 1.2.3-7. Diagrama del algoritmo del método de Newton

Ejemplo 1.2.3-3. Refine las raíces de la ecuación x-ln(x+2) = 0 usando el método de Newton, siempre que las raíces de esta ecuación estén separadas en los segmentos x 1 О[-1.9;-1.1] y x 2 О [-0,9;2 ].

La primera derivada f’(x) = 1 – 1/(x+2) conserva su signo en cada uno de los segmentos:

f'(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f’(x)>0 en xО [-0,9; 2].

La segunda derivada f"(x) = 1/(x+2) 2 > 0 para cualquier x.

Por tanto, se cumplen las condiciones de convergencia. Dado que f""(x)>0 en todo el rango de valores permitidos, para aclarar la raíz de la aproximación inicial x1 elija x 0 = -1,9 (ya que f(-1,9)×f”(-1,9)>0). Obtenemos una secuencia de aproximaciones:

Continuando con los cálculos, obtenemos la siguiente secuencia de las cuatro primeras aproximaciones: -1,9; –1,8552, -1,8421; -1.8414 . El valor de la función f(x) en el punto x=-1.8414 es igual a f(-1.8414)=-0.00003 .

Para aclarar la raíz x 2 О[-0.9;2] elegimos 0 =2 (f(2)×f”(2)>0) como aproximación inicial. Con base en x 0 = 2, obtenemos una secuencia de aproximaciones: 2.0;1.1817; 1,1462; 1.1461. El valor de la función f(x) en el punto x=1.1461 es igual a f(1.1461)= -0.00006.

El método de Newton tiene una alta tasa de convergencia, pero en cada paso requiere calcular no solo el valor de la función, sino también su derivada.

Método de acordes

Interpretación geométrica del método de las cuerdas. es como sigue
(Figura 1.2.3-8).

Dibujemos un segmento de línea que pase por los puntos A y B. La siguiente aproximación x 1 es la abscisa del punto de intersección de la cuerda con el eje 0x. Construyamos la ecuación de un segmento de recta:

Establezcamos y=0 y encontremos el valor x=x 1 (siguiente aproximación):

Repitamos el proceso de cálculo para obtener la siguiente aproximación a la raíz - x 2 :

En nuestro caso (Fig. 1.2.11) y la fórmula de cálculo para el método de acordes se verá así

Esta fórmula es válida cuando el punto b se toma como punto fijo y el punto a actúa como aproximación inicial.

Consideremos otro caso (Fig. 1.2.3-9), cuando .

La ecuación de línea recta para este caso tiene la forma

Próxima aproximación x 1 en y = 0

Entonces la fórmula recurrente del método de las cuerdas para este caso tiene la forma

Cabe señalar que el punto fijo en el método de la cuerda se elige como el final del segmento para el cual se cumple la condición f (x)∙f¢¢ (x)>0.

Por tanto, si el punto a se toma como punto fijo , entonces x 0 = b actúa como aproximación inicial y viceversa.

Las condiciones suficientes que aseguran el cálculo de la raíz de la ecuación f(x) = 0 utilizando la fórmula de la cuerda serán las mismas que para el método de la tangente (método de Newton), solo que en lugar de la aproximación inicial se elige un punto fijo. El método de las cuerdas es una modificación del método de Newton. La diferencia es que la siguiente aproximación en el método de Newton es el punto de intersección de la tangente con el eje 0X, y en el método de la cuerda, el punto de intersección de la cuerda con el eje 0X, las aproximaciones convergen a la raíz desde diferentes lados. .

La estimación del error para el método de la cuerda viene dada por la expresión

(1.2.3-15)

Condición para finalizar el proceso de iteración utilizando el método del acorde.

(1.2.3-16)

En el caso M 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£mi.

Ejemplo 1.2.3-4. Aclare la raíz de la ecuación e x – 3x = 0, separada en segmentos con una precisión de 10 -4.

Comprobemos la condición de convergencia:

En consecuencia, se debe elegir a=0 como punto fijo, y x 0 =1 debe tomarse como la aproximación inicial, ya que f(0)=1>0 y f(0)*f"(0)>0.

2. Método de Newton para la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales.

Este método tiene una convergencia mucho más rápida que el método de iteración simple. El método de Newton para el sistema de ecuaciones (1.1) se basa en el uso de la expansión de funciones.

, Dónde
(2.1)

en la serie de Taylor, descartándose los términos que contienen derivados de segundo y superior orden. Este enfoque permite reemplazar la solución de un sistema no lineal (1.1) por la solución de varios sistemas lineales.

Entonces, resolveremos el sistema (1.1) mediante el método de Newton. En la región D, elija cualquier punto
y llámelo la aproximación cero a la solución exacta del sistema original. Ahora expandamos las funciones (2.1) a una serie de Taylor en una vecindad del punto . Tendrá

Porque los lados izquierdos de (2.2) deben desaparecer según (1.1), luego los lados derechos de (2.2) también deben desaparecer. Por lo tanto, de (2.2) tenemos

Todas las derivadas parciales de (2.3) deben calcularse en el punto .

(2.3) es un sistema de ecuaciones algebraicas lineales para incógnitas. Este sistema se puede resolver mediante el método de Cramer si su determinante principal es distinto de cero y se pueden encontrar las cantidades

Ahora podemos refinar la aproximación cero construyendo la primera aproximación con las coordenadas

aquellos.
. (2.6)

Averigüemos si la aproximación (2.6) se ha obtenido con un grado suficiente de precisión. Para hacer esto, verifiquemos la condición.

,
(2.7)

Dónde un pequeño número positivo predeterminado (la precisión con la que se debe resolver el sistema (1.1)). Si se cumple la condición (2.7), entonces elegimos (2.6) como solución aproximada al sistema (1.1) y completamos los cálculos. Si no se cumple la condición (2.7), realizamos la siguiente acción. En el sistema (2.3), en lugar de
tomemos los valores actualizados

, (2.8)

aquellos. hagamos lo siguiente

. (2.9)

Después de esto, el sistema (2.3) será un sistema de ecuaciones algebraicas lineales para las cantidades. Una vez determinadas estas cantidades, la siguiente segunda aproximación
a la solución del sistema (1.1) la encontramos usando las fórmulas

Ahora verifiquemos la condición (2.7)

Si se cumple esta condición, entonces completamos los cálculos tomando la segunda aproximación como solución aproximada al sistema (1.1).
. Si no se cumple esta condición, continuamos construyendo la siguiente aproximación, considerando (2.3)
Es necesario construir aproximaciones hasta que no se cumpla la condición.

Las fórmulas de trabajo del método de Newton para resolver el sistema (1.1) se pueden escribir en la forma.

Secuencia de cálculo

Aquí
son la solución al sistema

Formulemos un algoritmo de cálculo usando las fórmulas (2.11)-(2.13).

1. Elijamos una aproximación cero perteneciente a la región D.

2. En el sistema de ecuaciones algebraicas lineales (2.13) establecemos
,A .

3. Resolvamos el sistema (2.13) y encontramos las cantidades.
.

4. En las fórmulas (2.12) ponemos
y calcular los componentes de la siguiente aproximación.

5. Comprobemos la condición (2.7) para: (Consulte el algoritmo para calcular el máximo de varias cantidades).

6. Si se cumple esta condición, completamos los cálculos eligiendo la aproximación como solución aproximada al sistema (1.1). Si no se cumple esta condición, continúe con el paso 7.

7. Pongamos
para todos .

8. Realicemos el paso 3, poniendo
.

Geométricamente, este algoritmo se puede escribir como:

Algoritmo. Cálculo del máximo de varias cantidades..

Ejemplo. Consideremos usar el método de Newton para resolver un sistema de dos ecuaciones.

Utilizando el método de Newton, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineales con una precisión

, (2.14)

Aquí
. Elijamos la aproximación cero.
, perteneciente al dominio D. Construyamos un sistema de ecuaciones algebraicas lineales (2.3). ella se verá como

(2.15)

denotemos

Resolvamos el sistema (2.15) con respecto a incógnitas.
, por ejemplo el método Cramer. Escribimos las fórmulas de Cramer en la forma

(2.17)

¿Dónde está el principal determinante del sistema (2.15)?

(2.18)

y los determinantes auxiliares del sistema (2.15) tienen la forma

.

Sustituimos los valores encontrados en (2.16) y encontramos las componentes de la primera aproximación.
a la solución del sistema (2.15).

Comprobemos la condición.

, (2.19)

si se cumple esta condición, completamos los cálculos tomando la primera aproximación como solución aproximada al sistema (2.15), es decir,
. Si la condición (2.19) no se cumple, entonces establecemos
,
y construir un nuevo sistema de ecuaciones algebraicas lineales (2.15). Resuelto, encontramos la segunda aproximación.
. Comprobémoslo. Si se cumple esta condición, entonces elegimos como solución aproximada al sistema (2.15)
. Si la condición no se cumple, establecemos
,
y construya el siguiente sistema (2.15) para encontrar
etc.

Tareas

Todas las tareas requieren:

Elaborar un programa para la implementación numérica del método según el algoritmo propuesto.

Obtenga resultados de cálculo.

Comprueba tus resultados.

Se da un sistema de dos ecuaciones no lineales.

1.
2.

3.
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7.
8.

9.
10.

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12.

13.
14.

15.
.

Capítulo 3. Métodos numéricos para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE).

objetivo del trabajo. Introducción a algunos métodos aproximados para la resolución de SLAE y su implementación numérica en una PC.

Observaciones preliminares. Todos los métodos para resolver SLAE se suelen dividir en dos grandes grupos. El primer grupo incluye métodos que comúnmente se denominan precisos. Estos métodos hacen posible que cualquier sistema encuentre los valores exactos de las incógnitas después de un número finito de operaciones aritméticas, cada una de las cuales se realiza exactamente.

El segundo grupo incluye todos los métodos que no son precisos. Se llaman iterativos, numéricos o aproximados. La solución exacta, cuando se utilizan estos métodos, se obtiene como resultado de un proceso interminable de aproximaciones. Una característica atractiva de estos métodos es su autocorrección y su facilidad de implementación en una PC.

Consideremos algunos métodos aproximados para resolver SLAE y construyamos algoritmos para su implementación numérica. Obtendremos una solución aproximada del SLAE con una precisión de , donde es un número positivo muy pequeño.

1. Método de iteración.

Sea el SLAE dado en la forma

(1.1)

Este sistema se puede escribir en forma matricial.

, (1.2)

Dónde
- matriz de coeficientes para incógnitas en el sistema (1.1),
- columna de miembros gratuitos,
- columna de incógnitas del sistema (1.1).

. (1.3)

Resolvamos el sistema (1.1) usando el método de iteración. Para ello realizaremos los siguientes pasos.

En primer lugar. Elijamos la aproximación cero.

(1.4)

a la solución exacta (1.3) del sistema (1.1). Los componentes de la aproximación cero pueden ser cualquier número. Pero es más conveniente tomar ceros para los componentes de la aproximación cero
, o términos gratuitos del sistema (1.1)

En segundo lugar. Sustituimos las componentes de la aproximación cero en el lado derecho del sistema (1.1) y calculamos

(1.5)

Las cantidades de la izquierda en (1.5) son componentes de la primera aproximación.
Las acciones que resultaron en la primera aproximación se llaman iteración.

Tercero. Comprobemos las aproximaciones cero y primera para

(1.6)

Si se cumplen todas las condiciones (1.6), entonces para la solución aproximada del sistema (1.1) elegimos , o no importa, porque no se diferencian entre sí más que en y terminemos los cálculos. Si no se cumple al menos una de las condiciones (1.6), pasamos a la siguiente acción.

Por cuartos. Realicemos la siguiente iteración, es decir en el lado derecho del sistema (1.1) sustituimos las componentes de la primera aproximación y calculamos las componentes de la segunda aproximación
, Dónde

En quinto lugar. Vamos a revisar
y sigue, es decir Comprobemos la condición (1.6) para estas aproximaciones. Si se cumplen todas las condiciones (1.6), entonces para la solución aproximada del sistema (1.1) elegiremos , o no importa, porque se diferencian entre sí en no más de . De lo contrario, construiremos la siguiente iteración sustituyendo los componentes de la segunda aproximación en el lado derecho del sistema (1.1).

Es necesario construir iteraciones hasta que haya dos aproximaciones adyacentes.
y no se diferenciarán entre sí en más de .

La fórmula de trabajo del método de iteración para resolver el sistema (1.1) se puede escribir como

El algoritmo para la implementación numérica de la fórmula (1.7) puede ser el siguiente.

Las condiciones suficientes para la convergencia del método de iteración para el sistema (1.1) tienen la forma

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Método de iteración simple.

Sea el sistema de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE) en la forma

(2.1)

Para resolver el sistema (2.1) usando el método de iteración simple, primero se debe reducir a la forma

(2.2)

En el sistema (2.2) La -ésima ecuación es la -ésima ecuación del sistema (2.1), resuelta con respecto a la -ésima incógnita (
).

El método para resolver el sistema (2.1), que consiste en reducirlo al sistema (2.2) seguido de resolver el sistema (2.2) mediante el método de iteración, se denomina método de iteración simple para el sistema (2.1).

Así, las fórmulas de trabajo del método de iteración simple para resolver el sistema (2.1) tendrán la forma

(2.3)

Las fórmulas (2.3) se pueden escribir en la forma

El algoritmo para la implementación numérica del método de iteración simple para el sistema (2.1) según las fórmulas (2.4) puede ser el siguiente.

Este algoritmo se puede escribir geométricamente.

Las condiciones suficientes para la convergencia del método de iteración simple para el sistema (2.1) tienen la forma

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Método estacionario de Seidel.

El método de Seidel para resolver SLAE se diferencia del método de iteración en que, habiendo encontrado alguna aproximación para el -ésimo componente, lo usamos inmediatamente para encontrar el siguiente
,
, …, -ésimo componente. Este enfoque permite una mayor tasa de convergencia del método de Seidel en comparación con el método de iteración.

Sea el SLAE dado en la forma

(3.1)

Dejar
- aproximación cero a la solución exacta
sistemas (3.1). Y deja que se encuentre aproximacion
. Definamos los componentes.
ésima aproximación usando fórmulas

(3.2)

Las fórmulas (3.2) se pueden escribir en forma compacta.

,
,
(3.3)

El algoritmo para la implementación numérica del método de Seidel para resolver el sistema (3.1) usando las fórmulas (3.3) puede ser el siguiente.

1. Elijamos, por ejemplo,
,

2. Pongamos.

3. Calculemos para todos.

4. Comprobaremos las condiciones para todos.
.

5. Si se cumplen todas las condiciones del párrafo 4, elegiremos o como solución aproximada al sistema (3.1) y completaremos los cálculos. Si no se cumple al menos una condición en el paso 4, continúe con el paso 6.

6. Dejémoslo y pasemos al paso 3.

Este algoritmo se puede escribir geométricamente.

La condición suficiente para la convergencia del método de Seidel para el sistema (3.1) tiene la forma
, .

4. Método de Seidel no estacionario.

Este método de resolución de SLAE (3.1) proporciona una velocidad de convergencia aún mayor que el método de Seidel.

Encontremos de alguna manera las componentes de la aproximación ésima y de la aproximación ésima para el sistema (3.1).

Calculemos el vector de corrección.

Calculemos los valores.

, (4.2)

Ordenemos las cantidades.
, en orden descendente.

En el mismo orden, reescribimos las ecuaciones del sistema (3.1) y las incógnitas de este sistema: Linealálgebra Y no lineal ... GestiónPara laboratorio obrasPor ... metodológico instrucciones ParaprácticoobrasPor Paraestudiantes ...

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El método de Newton (también conocido como método tangente) es un método numérico iterativo para encontrar la raíz (cero) de una función determinada. El método fue propuesto por primera vez por el físico, matemático y astrónomo inglés Isaac Newton (1643-1727), bajo cuyo nombre se hizo famoso.

El método fue descrito por Isaac Newton en el manuscrito De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (lat. .Acerca de análisis por ecuaciones de series infinitas), dirigida en 1669 a Barrow, y en la obra De metodis fluxionum et serierum infinitarum (latín: El método de las fluxiones y las series infinitas) o Geometria analytica ( lat.analítica geometría) en las obras completas de Newton, que fue escrita en 1671. Sin embargo, la descripción del método difería significativamente de su presentación actual: Newton aplicó su método exclusivamente a polinomios. No calculó aproximaciones sucesivas de x n, sino una secuencia de polinomios y como resultado obtuvo una solución aproximada de x.

El método fue publicado por primera vez en el tratado Álgebra de John Wallis en 1685, a petición de quien fue descrito brevemente por el propio Newton. En 1690, Joseph Raphson publicó una descripción simplificada en su obra Analysis aequationum universalis (lat. Análisis general de ecuaciones). Raphson vio el método de Newton como puramente algebraico y limitó su uso a polinomios, pero describió el método en términos de aproximaciones sucesivas x n en lugar de la secuencia de polinomios más difícil de entender utilizada por Newton.

Finalmente, en 1740, Thomas Simpson describió el método de Newton como un método iterativo de primer orden para resolver ecuaciones no lineales utilizando derivadas como se describe aquí. En la misma publicación, Simpson generalizó el método al caso de un sistema de dos ecuaciones y señaló que el método de Newton también se puede aplicar para resolver problemas de optimización encontrando el cero de la derivada o gradiente.

De acuerdo con este método, la tarea de encontrar la raíz de una función se reduce a la tarea de encontrar el punto de intersección con el eje x de la tangente trazada a la gráfica de la función.

Figura 1 . Gráfico de cambio de función

Una recta tangente trazada en cualquier punto a la gráfica de una función está determinada por la derivada de esta función en el punto considerado, que a su vez está determinada por la tangente del ángulo α (). El punto de intersección de la tangente con el eje de abscisas se determina con base en la siguiente relación en un triángulo rectángulo: tangente del ánguloen un triángulo rectángulo está determinada por la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente del triángulo. Así, en cada paso, se construye una tangente a la gráfica de la función en el punto de la siguiente aproximación. . Punto de intersección de la tangente con el eje. Buey será el siguiente punto de aproximación. De acuerdo con el método considerado, calcular el valor aproximado de la raíz eni-las iteraciones se realizan según la fórmula:

La pendiente de la línea recta se ajusta en cada paso de la mejor manera posible, sin embargo, se debe prestar atención al hecho de que el algoritmo no tiene en cuenta la curvatura del gráfico y, por lo tanto, durante el proceso de cálculo permanece desconocida. en qué dirección puede desviarse la gráfica.

La condición para el final del proceso iterativo es el cumplimiento de la siguiente condición:

Dónde ˗ error permisible en la determinación de la raíz.

El método tiene convergencia cuadrática. La tasa de convergencia cuadrática significa que el número de signos correctos en la aproximación se duplica con cada iteración.

Justificación matemática

Sea dada una función real, que es definido y continuo en el área considerada. Es necesario encontrar la raíz real de la función en cuestión.

La derivación de la ecuación se basa en el método de iteraciones simples, según el cual la ecuación se reduce a una ecuación equivalente para cualquier función. Introduzcamos el concepto de mapeo de contracción, que está definido por la relación.

Para la mejor convergencia del método, la condición debe cumplirse en el punto de la siguiente aproximación. Este requisito significa que la raíz de la función debe corresponder al extremo de la función.

Derivada del mapa de contracciónse define de la siguiente manera:

Expresemos la variable de esta expresión.sujeto a la declaración previamente aceptada de que cuando sea necesario para asegurar la condición. Como resultado, obtenemos una expresión para definir la variable:

Teniendo esto en cuenta, la función de compresión es la siguiente:

Así, el algoritmo para encontrar una solución numérica a la ecuación se reduce a un procedimiento de cálculo iterativo:

Algoritmo para encontrar la raíz de una ecuación no lineal usando el método.

1. Establecer el punto inicial del valor aproximado de la raíz de la función., así como el error de cálculo (número positivo pequeño) y el paso de iteración inicial ().

2. Calcule el valor aproximado de la raíz de la función de acuerdo con la fórmula:

3. Comprobamos que el valor aproximado de la raíz tenga la precisión especificada, en el caso de:

Si la diferencia entre dos aproximaciones sucesivas es menor que la precisión especificada, entonces el proceso iterativo finaliza.

Si la diferencia entre dos aproximaciones sucesivas no alcanza la precisión requerida, entonces es necesario continuar el proceso iterativo y pasar al paso 2 del algoritmo considerado.

Ejemplo de resolución de ecuaciones.

por metodoNewton para una ecuación con una variable

Como ejemplo, considere resolver una ecuación no lineal usando el métodoNewton para una ecuación con una variable. La raíz debe encontrarse con precisión como primera aproximación..

Opción para resolver una ecuación no lineal en un paquete de softwareMatemáticasCADpresentado en la Figura 3.

Los resultados del cálculo, es decir, la dinámica de los cambios en el valor aproximado de la raíz, así como los errores de cálculo según el paso de iteración, se presentan en forma gráfica (ver Fig. 2).

Figura 2. Resultados del cálculo utilizando el método de Newton para una ecuación con una variable

Para garantizar la precisión especificada al buscar un valor aproximado de la raíz de la ecuación en el rango, es necesario realizar 4 iteraciones. En el último paso de la iteración, el valor aproximado de la raíz de la ecuación no lineal estará determinado por el valor: .

Fig. 3 . Listado de programas enMatemáticasCad

Modificaciones del método de Newton para una ecuación con una variable

Existen varias modificaciones del método de Newton que tienen como objetivo simplificar el proceso computacional.

Método de Newton simplificado

De acuerdo con el método de Newton, es necesario calcular la derivada de la función f(x) en cada paso de iteración, lo que conduce a un aumento de los costes computacionales. Para reducir los costos asociados con el cálculo de la derivada en cada paso del cálculo, puede reemplazar la derivada f'(x n) en el punto x n de la fórmula con la derivada f'(x 0) en el punto x 0. De acuerdo con este método de cálculo, el valor aproximado de la raíz se determina mediante la siguiente fórmula:Método de Newton modificado

método de diferencia de newton

Como resultado, el valor aproximado de la raíz de la función f(x) estará determinado por la expresión del método de diferencias de Newton:

El método de dos pasos de Newton

De acuerdo con el método de Newton, es necesario calcular la derivada de la función f(x) en cada paso de iteración, lo que no siempre es conveniente y, a veces, prácticamente imposible. Este método le permite reemplazar la derivada de una función con una razón de diferencia (valor aproximado):

Como resultado, el valor aproximado de la raíz de la función f(x) vendrá determinado por la siguiente expresión:

Dónde

Fig.5 . El método de dos pasos de Newton

El método de la secante es un método de dos pasos, es decir, una nueva aproximacióndeterminado por las dos iteraciones anteriores Y . El método debe especificar dos aproximaciones iniciales. Y . La tasa de convergencia del método será lineal.

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El problema de encontrar soluciones a un sistema de n ecuaciones algebraicas o trascendentales no lineales con n incógnitas de la forma

	f 1(x 1, x 2, … x n) = 0,
	f 2(x 1, x 2, … x n) = 0,
	……………………
	f norte (x 1 ,x 2 ,… x norte ) = 0,

ampliamente considerado en la práctica informática. Pueden surgir sistemas de ecuaciones similares, por ejemplo, durante el modelado numérico de sistemas físicos no lineales en la etapa de búsqueda de sus estados estacionarios. En varios casos, los sistemas de la forma (6.1) se obtienen indirectamente, en el proceso de resolución de algún otro problema computacional. Por ejemplo, al intentar minimizar una función de varias variables, puedes buscar aquellos puntos en el espacio multidimensional donde el gradiente de la función es cero. En este caso, es necesario resolver el sistema de ecuaciones (6.1) con los lados izquierdos: proyecciones del gradiente sobre los ejes de coordenadas.

En notación vectorial, el sistema (6.1) se puede escribir de una forma más compacta

columna vectorial de funciones, el símbolo () T denota la operación de transponición

Encontrar soluciones a un sistema de ecuaciones no lineales es una tarea mucho más compleja que resolver una única ecuación no lineal. Sin embargo, varios métodos iterativos para resolver ecuaciones no lineales pueden extenderse a sistemas de ecuaciones no lineales.

Método de iteración simple

El método de iteración simple para sistemas de ecuaciones no lineales es esencialmente una generalización del método del mismo nombre para una ecuación. Se basa en el hecho de que el sistema de ecuaciones (6.1) se reduce a la forma

x 1= g 1(x 1, x 2, … , x n) , x 2= g 2(x 1, x 2, … , x n) ,

……………………

x norte = gramo norte (x 1, x 2,…, x norte),

y las iteraciones se llevan a cabo de acuerdo con las fórmulas

x 1 (k + 1 )= g 1 (x 1 (k ), x 2 (k ), ... , x n (k )), x 2 (k + 1 )= g 2 (x 1 (k ), x 2 (k ), … , x n (k )) ,

……………………………

x norte (k + 1)= g norte (x 1 (k), x 2 (k), ..., x norte (k)).

Aquí el superíndice indica el número de aproximación. El proceso iterativo (6.3) comienza con una aproximación inicial.

(x 1 (0) ,x 2 (0) ,… ,x n (0) ) y continúa hasta que los módulos de incremento

todos los argumentos después de una k-iteración no serán menores que un valor dado ε : x i (k + 1 ) − x i (k )< ε дляi = 1,2,… ,n .

Aunque el método de iteración simple conduce directamente a una solución y es fácil de programar, tiene dos desventajas importantes. Uno de ellos es la convergencia lenta. Otra es que si la aproximación inicial se elige lejos de la solución verdadera (X 1,X 2,…,X n), entonces la convergencia

El método no está garantizado. Está claro que el problema de elegir una aproximación inicial, que no es simple ni siquiera para una ecuación, se vuelve muy complejo para sistemas no lineales.

Resolver un sistema de ecuaciones no lineales:

	(X...		) =0
F norte (x 1 ...		x norte) = 0 .

No existen métodos directos para resolver sistemas no lineales de forma general. Sólo en algunos casos se puede resolver directamente el sistema (4.1). Por ejemplo, en el caso de dos ecuaciones, a veces es posible expresar una incógnita en términos de la otra y así reducir el problema a resolver una ecuación no lineal con respecto a una incógnita.

Los métodos iterativos se suelen utilizar para resolver sistemas de ecuaciones no lineales.

El método de Newton

En el caso de una ecuación F(x) = 0, el algoritmo del método de Newton se obtuvo fácilmente escribiendo las ecuaciones tangentes a la curva y = F(x). El método de Newton para sistemas de ecuaciones se basa en el uso de la expansión de funciones F 1 (x 1 ...x n) en una serie de Taylor, y los términos que contienen

Las derivadas de segundo orden (y de orden superior) existentes se descartan. Sean los valores aproximados de las incógnitas del sistema (4.1) iguales a

responsable a 1 ,a 2 ,....,a n . La tarea es encontrar los incrementos (por

ediciones) a estos valores	x1,x2,...,	x n , gracias a lo cual la solución del sistema
Los temas se escribirán como:
x 1= un 1+ x 1,	x 2 = un 2+	x 2, .... ,x n = a n + x n.

Expandamos los lados izquierdos de las ecuaciones (4.1) teniendo en cuenta el desarrollo de la serie de Taylor, limitándonos solo a los términos lineales de la relación

exactamente incrementa:
F1 (x1 ... xn ) ≈ F1 (a1 ... an ) +	∂ F 1	x1+		+ ∂ F 1		xn,
	∂x			∂x
F2 (x1 ... xn ) ≈ F2 (a1 ... an ) +	∂ F 2	x1+			∂ F 2	xn,
	∂x				∂x
...................................
F norte(x 1 ... x n) ≈ F norte(a 1 ... a n) +	∂Fn	x1+			∂Fn	xn
	∂x				∂x

Sustituyendo en el sistema (4.1), obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas lineales para incrementos:

∂ F 1			∂ F 1			+ ∂ F 1			= −F ,
∂x			∂x			∂x
∂ F 2			∂ F 2				∂ F 2		= −F ,
∂x			∂x				∂x
..............................
∂Fn			∂Fn				∂Fn		= −F .
∂x			∂x				∂x
Valores F 1 ...				derivados				se calculan en

x 2 = un 2, …x norte = un norte.

El determinante del sistema (4.3) es el jacobiano:

∂ F 1		∂ F 1
∂x		∂x
∂ F 2		∂ F 2
J = ∂x		∂x.

… … … …

∂ F n… … ∂ F n∂ x 1 ∂ x n

x 1 = un 1,

Para que exista una solución única para el sistema, el jacobiano debe ser distinto de cero en cada iteración.

Así, el proceso iterativo de resolución de un sistema de ecuaciones por el método de Newton consiste en determinar los incrementos x 1 , x 2 , ..., x n a los valores de las incógnitas en cada iteración resolviendo el sistema de ecuaciones algebraicas lineales ( 4.3). El conteo se detiene si todos los incrementos se vuelven pequeños en valor absoluto: maxx i< ε . В ме-

En el método de Newton, una buena elección de la aproximación inicial también es importante para asegurar una buena convergencia. La convergencia se deteriora a medida que aumenta el número de ecuaciones en el sistema.

Como ejemplo, considere usar el método de Newton para resolver un sistema de dos ecuaciones:

∂ ∂ F 1.x

Las cantidades del lado derecho se calculan en x = a,y = b.

Si se cumplen las condiciones		y-b		< εи		x-a			para una M dada, entonces
Se muestran los valores xey,	de lo contrario								se produce la salida
x,y,M.



Palabras clave:

Objetivo del trabajo: estudiar métodos para resolver ecuaciones no lineales con una incógnita y probarlos en trabajos experimentales.

Objetivos del puesto:

1. Analizar literatura especializada y elegir los métodos más racionales para la resolución de ecuaciones no lineales, permitiendo a todos los graduados de secundaria estudiar profundamente y asimilar este tema.
2. Desarrollar algunos aspectos de una metodología para la resolución de ecuaciones no lineales utilizando las TIC.
3. Explore métodos para resolver ecuaciones no lineales:

‒ Método paso a paso

‒ Método de reducción a la mitad

‒ El método de Newton

Introducción.

Sin conocimientos matemáticos, es imposible dominar con éxito métodos para resolver problemas en física, química, biología y otras materias. Todo el complejo de las ciencias naturales se construye y desarrolla sobre la base del conocimiento matemático. Por ejemplo, el estudio de una serie de problemas actuales de la física matemática conduce a la necesidad de resolver ecuaciones no lineales. La solución de ecuaciones no lineales es necesaria en óptica no lineal, física del plasma, teoría de la superconductividad y física de bajas temperaturas. Existe suficiente literatura sobre este tema, pero muchos libros de texto y artículos son difíciles de entender para un estudiante de secundaria. Este artículo analiza métodos para resolver ecuaciones no lineales que pueden usarse para resolver problemas aplicados en física y química. Un aspecto interesante es la aplicación de la tecnología de la información a la resolución de ecuaciones y problemas matemáticos.

Método de pasos.

Sea necesario resolver una ecuación no lineal de la forma F(x)=0. Supongamos también que se nos da un determinado intervalo de búsqueda. Se requiere encontrar el intervalo [a,b] de longitud h, que contiene la primera raíz de la ecuación, comenzando desde el borde izquierdo del intervalo de búsqueda.

Arroz. 1. Método paso a paso

Hay varias formas de resolver este problema. El método paso a paso es el más simple de los métodos numéricos para resolver desigualdades, pero para lograr una alta precisión es necesario reducir significativamente el paso, y esto aumenta considerablemente el tiempo de cálculo. El algoritmo para resolver ecuaciones utilizando este método consta de dos etapas.

Iescenario. Separación de raíces.

En esta etapa, se determinan las secciones, cada una de las cuales contiene solo una raíz de la ecuación. Hay varias opciones para implementar esta etapa:

• Sustituimos los valores de X (preferiblemente con algún paso bastante pequeño) y vemos dónde cambia de signo la función. Si la función ha cambiado de signo, esto significa que hay una raíz en el área entre el valor anterior y actual de X (si la función no cambia la naturaleza de su aumento/disminución, entonces podemos decir que solo hay una raíz en este intervalo).
• Método gráfico. Construimos una gráfica y evaluamos en qué intervalos se encuentra una raíz.
• Exploremos las propiedades de una función específica.

IIescenario. Refinamiento de raíces.

En esta etapa se aclara el significado de las raíces de la ecuación determinada anteriormente. Como regla general, en esta etapa se utilizan métodos iterativos. Por ejemplo, el método de las mitades (dicotomía) o el método de Newton.

Método de media división

Un método numérico rápido y bastante simple para resolver ecuaciones, basado en el estrechamiento secuencial del intervalo que contiene la única raíz de la ecuación F(x) = 0 hasta lograr la precisión especificada E. Este método se usa generalmente para resolver ecuaciones cuadráticas y ecuaciones de grados superiores. Sin embargo, este método tiene un inconveniente importante: si el segmento [a,b] contiene más de una raíz, no podrá lograr buenos resultados.

Arroz. 2. Método de dicotomía

El algoritmo para este método es el siguiente:

‒ Determinar una nueva aproximación de la raíz x en el medio del segmento [a;b]: x=(a+b)/2.

‒ Encuentra los valores de la función en los puntos a y x: F(a) y F(x).

‒ Comprobar la condición F(a)*F(x)

‒ Vaya al paso 1 y vuelva a dividir el segmento por la mitad. Continúe el algoritmo hasta que se cumpla la condición |F(x)|

El método de Newton

El más preciso de los métodos de solución numérica; Adecuado para resolver ecuaciones muy complejas, pero complicado por la necesidad de calcular derivadas en cada paso. es que si x n es alguna aproximación a la raíz de la ecuación , entonces la siguiente aproximación se define como la raíz de la tangente a la función f(x) trazada en el punto x n.

La ecuación tangente a la función f(x) en el punto x n tiene la forma:

En la ecuación tangente ponemos y = 0 y x = x n +1.

Entonces el algoritmo para cálculos secuenciales en el método de Newton es el siguiente:

La convergencia del método tangente es cuadrática, el orden de convergencia es 2.

Por tanto, la convergencia del método de la tangente de Newton es muy rápida.

Sin ningún cambio, el método se generaliza al caso complejo. Si la raíz x i es una raíz de la segunda multiplicidad o superior, entonces el orden de convergencia cae y se vuelve lineal.

Las desventajas del método de Newton incluyen su localidad, ya que se garantiza que convergerá para una aproximación inicial arbitraria solo si la condición se cumple en todas partes. , en la situación opuesta, la convergencia se produce sólo en una determinada vecindad de la raíz.

El método de Newton (método de la tangente) se suele utilizar cuando la ecuación f(x) = 0 tiene una raíz y se cumplen las siguientes condiciones:

1) función y=f(x) definido y continuo en ;

2) f(a) f(b) (la función toma valores de diferente signo en los extremos del segmento [ a;b]);

3) derivados f"(x) Y f""(x) conservar el signo en el intervalo [ a;b] (es decir, la función f(x) aumenta o disminuye en el segmento [ a;b], manteniendo la dirección de la convexidad);

El significado del método es el siguiente: en el segmento [ a;b] se selecciona tal número x0, en el cual f(x0) tiene el mismo signo que f""(x 0), es decir, la condición se cumple f(x 0) f""(x) > 0. Así, se selecciona el punto con la abscisa. x0, en el que la tangente a la curva y=f(x) en el segmento [ a;b] interseca el eje Buey. Por punto x0 En primer lugar, conviene seleccionar uno de los extremos del segmento.

Consideremos este algoritmo usando un ejemplo específico.

Se nos da una función creciente y = f(x) =x 2– 2, continuo en el segmento (0;2), y teniendo f "(x) =2x>0 Y f ""(x) = 2>0.

En nuestro caso, la ecuación tangente tiene la forma: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0). EN como punto x 0 seleccionamos el punto B 1 (b; f(b)) = (2,2). Dibuja una tangente a la función. y = f(x) en el punto B 1, y denota el punto de intersección de la tangente y el eje Buey punto x1. Obtenemos la ecuación de la primera tangente: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Buey: x 1 =

Arroz. 3. Construcción de la primera tangente a la gráfica de la función f(x)

y=f(x) Buey a través del punto x1, entendemos el punto B2 =(1,5; 0,25). Dibuja una tangente a la función nuevamente. y = f(x) en el punto B 2, y denota el punto de intersección de la tangente y Buey punto x2.

Ecuación de la segunda tangente: y-2,25=2*1,5(x-1,5), y = 3x - 4,25. Punto de intersección de la tangente y el eje. Buey: x 2 =.

Luego encontramos el punto de intersección de la función. y=f(x) y una perpendicular trazada al eje Buey a través del punto x 2, obtenemos el punto B 3 y así sucesivamente.

Arroz. 4. Construcción de la segunda tangente a la gráfica de la función f(x)

La primera aproximación de la raíz está determinada por la fórmula:

= 1.5.

La segunda aproximación de la raíz está determinada por la fórmula:

=

La tercera aproximación de la raíz está determinada por la fórmula:

De este modo ,i La enésima aproximación de la raíz está determinada por la fórmula:

Los cálculos se llevan a cabo hasta que coincidan los decimales necesarios en la respuesta, o hasta que se alcance la precisión e especificada, hasta que se cumpla la desigualdad. |xi-xi-1|

En nuestro caso, comparemos la aproximación obtenida en el tercer paso con la respuesta real. Como puede ver, ya en el tercer paso recibimos un error inferior a 0,000002.

Resolver una ecuación usando CADMatemáticasCAD

Para las ecuaciones más simples de la forma F(X) = 0 la solución en MathCAD se encuentra usando la función raíz.

raíz(F (X 1 , X 2 , … ) , X 1 , a, b ) - valor de retorno X 1 , perteneciente al segmento [ a, b ] , en el que la expresión o función F (X ) va a 0. Ambos argumentos de esta función deben ser escalares. La función devuelve un escalar.

Arroz. 5. Resolver una ecuación no lineal en MathCAD (función raíz)

Si se produce un error como resultado de aplicar esta función, esto puede significar que la ecuación no tiene raíces, o que las raíces de la ecuación están ubicadas lejos de la aproximación inicial, la expresión tiene local máximo Y mín. entre la aproximación inicial y las raíces.

Para establecer la causa del error, es necesario examinar la gráfica de la función. F(X). Ayudará a descubrir la presencia de raíces de la ecuación. F(X) = 0 y, si existen, determine aproximadamente sus valores. Cuanto más exactamente se elija la aproximación inicial de la raíz, más rápido se encontrará su valor exacto.

Si se desconoce la aproximación inicial, entonces es recomendable utilizar la función resolver . Además, si la ecuación contiene varias variables, debe especificar después de la palabra clave resolver una lista de variables con respecto a las cuales se resuelve la ecuación.

Arroz. 6. Resolver una ecuación no lineal en MathCAD (función de resolución)

Conclusión

El estudio examinó tanto métodos matemáticos como la resolución de ecuaciones mediante programación en el sistema CAD MathCAD. Los diferentes métodos tienen sus propias ventajas y desventajas. Cabe señalar que el uso de un método particular depende de las condiciones iniciales de la ecuación dada. Aquellas ecuaciones que se pueden resolver bien mediante métodos de factorización, etc., conocidos en la escuela, no tiene sentido resolverlas utilizando métodos más complejos. Los problemas de matemáticas aplicadas que son importantes para la física y la química y que requieren operaciones computacionales complejas para resolver ecuaciones se resuelven con éxito, por ejemplo, mediante programación. Es bueno resolverlos usando el método de Newton.

Para aclarar las raíces, puedes utilizar varios métodos para resolver la misma ecuación. Fue esta investigación la que formó la base de este trabajo. Al mismo tiempo, es fácil ver qué método tiene más éxito al resolver cada etapa de la ecuación y qué método es mejor no utilizar en esta etapa.

El material estudiado, por un lado, ayuda a ampliar y profundizar el conocimiento matemático y a inculcar el interés por las matemáticas. Por otro lado, es importante poder resolver problemas matemáticos reales para quienes planean adquirir profesiones técnicas y de ingeniería. Por lo tanto, este trabajo es importante para la educación superior (por ejemplo, en una institución de educación superior).

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Palabras clave: ecuaciones no lineales, matemáticas aplicadas, CAD MathCAD, método de Newton, método de pasos, método de dicotomía..

Anotación: El artículo está dedicado al estudio de métodos para resolver ecuaciones no lineales, incluido el uso del sistema de diseño asistido por computadora MathCAD. Se consideran el método de pasos, las mitades y los métodos de Newton, se dan algoritmos detallados para aplicar estos métodos y se lleva a cabo un análisis comparativo de estos métodos.