Los problemas más simples con una línea recta en un avión. Posición relativa de las líneas.

Se nos dará una determinada línea recta, definida por una ecuación lineal, y un punto, definido por sus coordenadas (x0, y0) y que no se encuentra en esta línea. Se requiere encontrar un punto que sea simétrico a un punto dado con respecto a una línea recta dada, es decir, que coincida con él si el plano se dobla mentalmente por la mitad a lo largo de esta línea recta.

Instrucciones

1. Está claro que ambos puntos, el dado y el deseado, deben estar en la misma línea, y esta línea debe ser perpendicular a la dada. Así, la primera parte del problema es descubrir la ecuación de una recta que sería perpendicular a una recta dada y al mismo tiempo pasaría por un punto dado.

2. Una línea recta se puede especificar de dos maneras. La ecuación canónica de una recta se ve así: Ax + By + C = 0, donde A, B y C son constantes. También puedes determinar una línea recta usando una función lineal: y = kx + b, donde k es el exponente angular, b es el desplazamiento. Estos dos métodos son intercambiables y puedes pasar de uno a otro. Si Ax + By + C = 0, entonces y = – (Ax + C)/B. En otras palabras, en una función lineal y = kx + b, el exponente angular k = -A/B y el desplazamiento b = -C/B. Para la tarea que nos ocupa, resulta más cómodo razonar basándose en la ecuación canónica de la línea recta.

3. Si dos líneas son perpendiculares entre sí y la ecuación de la primera línea es Ax + By + C = 0, entonces la ecuación de la segunda línea debería verse como Bx – Ay + D = 0, donde D es una constante. Para detectar un determinado valor de D, es necesario saber además por qué punto pasa la línea perpendicular. En este caso, este es el punto (x0, y0), por lo que D debe satisfacer la igualdad: Bx0 – Ay0 + D = 0, es decir, D = Ay0 – Bx0.

4. Una vez descubierta la línea perpendicular, es necesario calcular las coordenadas del punto de su intersección con la dada. Para ello es necesario resolver un sistema de ecuaciones lineales: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Su solución dará los números (x1, y1), que sirven como coordenadas de el punto de intersección de las líneas.

5. El punto deseado debe estar en la línea detectada y su distancia al punto de intersección debe ser igual a la distancia desde el punto de intersección al punto (x0, y0). Las coordenadas de un punto simétrico al punto (x0, y0) se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Pero puedes hacerlo más fácil. Si los puntos (x0, y0) y (x, y) están a distancias iguales del punto (x1, y1), y los tres puntos se encuentran en la misma línea recta, entonces: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0. En consecuencia, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Al sustituir estos valores en la segunda ecuación del primer sistema y simplificar las expresiones, es fácil asegurarse de que su lado derecho sea el mismo que el izquierdo. Además, no tiene sentido seguir considerando la primera ecuación, ya que se sabe que los puntos (x0, y0) y (x1, y1) la satisfacen, y el punto (x, y) obviamente se encuentra en la misma recta. .

Formulación del problema. Encuentra las coordenadas de un punto simétrico a un punto. respecto al avión.

Plan de solución.

1. Encuentra la ecuación de una línea recta que es perpendicular a un plano dado y pasa por el punto . Dado que una línea recta es perpendicular a un plano dado, entonces el vector normal del plano se puede tomar como vector de dirección, es decir,

.

Por tanto la ecuación de la recta será

.

2. Encuentra el punto intersección de una línea recta y aviones (ver problema 13).

3. Punto es el punto medio del segmento donde el punto es un punto simétrico al punto , Es por eso

Problema 14. Encuentre un punto simétrico al punto relativo al plano.

La ecuación de una recta que pasa por un punto perpendicular a un plano dado será:

.

Encontremos el punto de intersección de la recta y el plano.

Dónde – el punto de intersección de una recta y un plano es el medio del segmento, por lo tanto

Aquellos. .

Coordenadas planas homogéneas. Transformaciones afines en el plano.

Dejar METRO X Y en

METRO(X, enmae (X, en, 1) en el espacio (Fig. 8).

mae (X, en

mae (X, en hu.

(hx, hy, h), h  0,

Comentario

h(Por ejemplo, h

De hecho, considerando h

Comentario

Ejemplo 1.

b) a un ángulo (Figura 9).

1er paso.

2do paso. Girar en ángulo 

matriz de la transformación correspondiente.

3er paso. Transferir al vector A(a, b)

matriz de la transformación correspondiente.

Ejemplo 3

 a lo largo del eje x y

1er paso.

matriz de la transformación correspondiente.

2do paso.

3er paso.

lo conseguiremos finalmente

Comentario

[R],[D],[M],[T],

Dejar METRO- punto arbitrario del plano con coordenadas X Y en, calculado en relación con un sistema de coordenadas rectilíneo dado. Las coordenadas homogéneas de este punto son cualquier triplete de números simultáneamente distintos de cero x 1, x 2, x 3, relacionados con los números dados x e y mediante las siguientes relaciones:

Al resolver problemas de gráficos por computadora, las coordenadas homogéneas generalmente se ingresan de la siguiente manera: a un punto arbitrario METRO(X, en) al avión se le asigna un punto mae (X, en, 1) en el espacio (Fig. 8).

Tenga en cuenta que un punto arbitrario en la línea que conecta el origen, el punto 0(0, 0, 0), con el punto mae (X, en, 1), puede estar dado por una terna de números de la forma (hx, hy, h).

El vector de coordenadas hx, hy, es el vector director de la recta que une los puntos 0 (0, 0, 0) y mae (X, en, 1). Esta línea corta el plano z = 1 en el punto (x, y, 1), que define de forma única el punto (x, y) del plano coordenado. hu.

Así, entre un punto arbitrario de coordenadas (x, y) y un conjunto de ternas de números de la forma

(hx, hy, h), h  0,

Se establece una correspondencia (uno a uno) que permite considerar los números hx, hy, h como las nuevas coordenadas de este punto.

Comentario

Ampliamente utilizadas en geometría proyectiva, las coordenadas homogéneas permiten describir eficazmente los llamados elementos impropios (esencialmente aquellos en los que el plano proyectivo difiere del familiar plano euclidiano). En la cuarta sección de este capítulo se analizan más detalles sobre las nuevas posibilidades que ofrecen las coordenadas homogéneas introducidas.

En geometría proyectiva para coordenadas homogéneas, se acepta la siguiente notación:

x:y:1, o, más generalmente, x1:x2:x3

(recuerde que aquí es absolutamente necesario que los números x 1, x 2, x 3 no lleguen a cero al mismo tiempo).

El uso de coordenadas homogéneas resulta conveniente incluso a la hora de resolver los problemas más simples.

Consideremos, por ejemplo, las cuestiones relacionadas con los cambios de escala. Si el dispositivo de visualización solo funciona con números enteros (o si necesita trabajar solo con números enteros), entonces para un valor arbitrario h(Por ejemplo, h= 1) un punto con coordenadas homogéneas

imposible de imaginar. Sin embargo, con una elección razonable de h, es posible asegurar que las coordenadas de este punto sean números enteros. En particular, para h = 10 para el ejemplo considerado tenemos

Consideremos otro caso. Para evitar que los resultados de la transformación conduzcan a un desbordamiento aritmético, para un punto con coordenadas (80000 40000 1000) puede tomar, por ejemplo, h=0,001. Como resultado obtenemos (80 40 1).

Los ejemplos dados muestran la utilidad de utilizar coordenadas homogéneas a la hora de realizar cálculos. Sin embargo, el objetivo principal de introducir coordenadas homogéneas en los gráficos por computadora es su indudable conveniencia en su aplicación a transformaciones geométricas.

Utilizando ternas de coordenadas homogéneas y matrices de tercer orden, se puede describir cualquier transformación afín de un plano.

De hecho, considerando h= 1, compara dos entradas: marcadas con el símbolo * y lo siguiente, matriz:

Es fácil ver que después de multiplicar las expresiones del lado derecho de la última relación, obtenemos ambas fórmulas (*) y la igualdad numérica correcta 1=1.

Comentario

A veces, en la literatura se utiliza otra notación: la notación de columnas:

Esta notación es equivalente a la notación línea por línea anterior (y se obtiene a partir de ella mediante transposición).

Los elementos de una matriz de transformación afín arbitraria no tienen un significado geométrico explícito. Por tanto, para implementar tal o cual mapeo, es decir, encontrar los elementos de la matriz correspondiente según una descripción geométrica determinada, se necesitan técnicas especiales. Normalmente, la construcción de esta matriz, de acuerdo con la complejidad del problema considerado y los casos especiales descritos anteriormente, se divide en varias etapas.

En cada etapa se busca una matriz que corresponda a uno u otro de los casos anteriores A, B, C o D, que tengan propiedades geométricas bien definidas.

Escribamos las matrices de tercer orden correspondientes.

A. Matriz de rotación

B. Matriz de dilatación

B. Matriz de reflexión

D. Matriz de transferencia (traducción)

Consideremos ejemplos de transformaciones afines del plano.

Ejemplo 1.

Construya una matriz de rotación alrededor del punto A (a,b) a un ángulo (Figura 9).

1er paso. Transferir al vector – A (-a, -b) para alinear el centro de rotación con el origen de coordenadas;

matriz de la transformación correspondiente.

2do paso. Girar en ángulo 

matriz de la transformación correspondiente.

3er paso. Transferir al vector A(a, b) devolver el centro de rotación a su posición anterior;

matriz de la transformación correspondiente.

Multipliquemos las matrices en el mismo orden en que están escritas:

Como resultado, encontramos que la transformación deseada (en notación matricial) se verá así:

Los elementos de la matriz resultante (especialmente en la última fila) no son tan fáciles de recordar. Al mismo tiempo, cada una de las tres matrices multiplicadas se puede construir fácilmente a partir de la descripción geométrica del mapeo correspondiente.

Ejemplo 3

Construir una matriz de estiramiento con coeficientes de estiramiento. a lo largo del eje x y a lo largo del eje de ordenadas y con el centro en el punto A(a, b).

1er paso. Transfiera al vector -A(-a, -b) para alinear el centro de estiramiento con el origen de coordenadas;

matriz de la transformación correspondiente.

2do paso. Estirándose a lo largo de los ejes de coordenadas con coeficientes  y , respectivamente; la matriz de transformación tiene la forma

3er paso. Transfiera al vector A(a, b) para devolver el centro de tensión a su posición anterior; matriz de la transformación correspondiente –

Multiplicar matrices en el mismo orden.

lo conseguiremos finalmente

Comentario

Razonar de manera similar, es decir, dividiendo la transformación propuesta en etapas sustentadas en matrices.[R],[D],[M],[T], se puede construir una matriz de cualquier transformación afín a partir de su descripción geométrica.

El cambio se implementa mediante suma y la escala y la rotación se implementan mediante multiplicación.

Transformación de escala (dilatación) relativa al origen tiene la forma:

o en forma matricial:

Dónde DX,Dy son los factores de escala a lo largo de los ejes, y

- matriz de escalado.

Cuando D > 1, se produce expansión, cuando 0<=D<1- сжатие

Transformación de rotación relativo al origen tiene la forma:

o en forma matricial:

donde φ es el ángulo de rotación, y

- matriz de rotación.

Comentario: Las columnas y filas de la matriz de rotación son vectores unitarios mutuamente ortogonales. De hecho, los cuadrados de las longitudes de los vectores fila son iguales a uno:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 y (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

y el producto escalar de vectores fila es

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Dado que el producto escalar de vectores A · B = |A| ·| B| ·cosψ, donde | A| - longitud del vector A, |B| - longitud del vector B, y ψ es el ángulo positivo más pequeño entre ellos, entonces de la igualdad 0 del producto escalar de dos vectores fila de longitud 1 se deduce que el ángulo entre ellos es 90 °.

Oh-oh-oh-oh-oh... bueno, es duro, como si estuviera leyendo una frase para sí mismo =) Sin embargo, la relajación ayudará más adelante, sobre todo porque hoy compré los accesorios adecuados. Por lo tanto, pasemos a la primera sección, espero que al final del artículo mantenga un buen humor.

La posición relativa de dos líneas rectas.

Este es el caso cuando el público canta a coro. Dos líneas rectas pueden:

1) partido;

2) ser paralelo: ;

3) o se cruzan en un solo punto: .

Ayuda para tontos : Recuerde el signo de intersección matemático, aparecerá muy a menudo. La notación significa que la línea se cruza con la línea en el punto.

¿Cómo determinar la posición relativa de dos líneas?

Comencemos con el primer caso:

Dos rectas coinciden si y sólo si sus coeficientes correspondientes son proporcionales, es decir, existe un número “lambda” tal que se satisfacen las igualdades

Consideremos las líneas rectas y creemos tres ecuaciones a partir de los coeficientes correspondientes: . De cada ecuación se deduce que, por tanto, estas rectas coinciden.

De hecho, si todos los coeficientes de la ecuación multiplicar por –1 (cambiar de signo) y todos los coeficientes de la ecuación cortado por 2, obtienes la misma ecuación: .

El segundo caso, cuando las rectas son paralelas:

Dos rectas son paralelas si y sólo si los coeficientes de las variables son proporcionales: , Pero.

Como ejemplo, considere dos líneas rectas. Comprobamos la proporcionalidad de los coeficientes correspondientes a las variables:

Sin embargo, es bastante obvio.

Y el tercer caso, cuando las líneas se cruzan:

Dos rectas se cortan si y sólo si los coeficientes de las variables NO son proporcionales, es decir, NO existe tal valor de “lambda” que permita satisfacer las igualdades

Entonces, para líneas rectas crearemos un sistema:

De la primera ecuación se deduce que , y de la segunda ecuación: , lo que significa el sistema es inconsistente(sin soluciones). Por tanto, los coeficientes de las variables no son proporcionales.

Conclusión: las líneas se cruzan

En problemas prácticos, puede utilizar el esquema de solución que acabamos de comentar. Por cierto, recuerda mucho al algoritmo para verificar la colinealidad de los vectores, que vimos en clase. El concepto de (in)dependencia lineal de vectores. Base de vectores. Pero hay un embalaje más civilizado:

Ejemplo 1

Descubra la posición relativa de las líneas:

Solución basado en el estudio de vectores directores de rectas:

a) De las ecuaciones encontramos los vectores directores de las rectas: .

, lo que significa que los vectores no son colineales y las rectas se cruzan.

Por si acaso, pondré una piedra con carteles en el cruce:

El resto salta la piedra y sigue más allá, directo a Kashchei el Inmortal =)

b) Encuentra los vectores directores de las rectas:

Las líneas tienen el mismo vector de dirección, lo que significa que son paralelas o coincidentes. No es necesario contar aquí el determinante.

Es obvio que los coeficientes de las incógnitas son proporcionales y .

Averigüemos si la igualdad es cierta:

De este modo,

c) Encuentra los vectores directores de las rectas:

Calculemos el determinante formado por las coordenadas de estos vectores:
, por tanto, los vectores directores son colineales. Las líneas son paralelas o coincidentes.

El coeficiente de proporcionalidad “lambda” es fácil de ver directamente a partir de la relación de vectores directores colineales. Sin embargo, también se puede encontrar a través de los coeficientes de las propias ecuaciones: .

Ahora averigüemos si la igualdad es cierta. Ambos términos libres son cero, entonces:

El valor resultante satisface esta ecuación (cualquier número en general la satisface).

Por tanto, las líneas coinciden.

Respuesta:

Muy pronto aprenderás (o incluso ya habrás aprendido) a resolver un problema discutido verbalmente literalmente en cuestión de segundos. En este sentido, no veo ningún sentido en ofrecer nada como solución independiente, es mejor colocar otro ladrillo importante en la base geométrica:

¿Cómo construir una recta paralela a una dada?

Por ignorar esta tarea más simple, el Ruiseñor el Ladrón castiga severamente.

Ejemplo 2

La línea recta está dada por la ecuación. Escribe una ecuación para una recta paralela que pasa por el punto.

Solución: Denotemos la línea desconocida con la letra . ¿Qué dice la condición sobre ella? La recta pasa por el punto. Y si las rectas son paralelas, entonces es obvio que el vector director de la recta "tse" también es adecuado para construir la recta "de".

Eliminamos el vector dirección de la ecuación:

Respuesta:

La geometría del ejemplo parece simple:

Las pruebas analíticas constan de los siguientes pasos:

1) Comprobamos que las rectas tengan el mismo vector director (si no se simplifica correctamente la ecuación de la recta, entonces los vectores serán colineales).

2) Compruebe si el punto satisface la ecuación resultante.

En la mayoría de los casos, las pruebas analíticas se pueden realizar fácilmente por vía oral. Miren las dos ecuaciones y muchos de ustedes determinarán rápidamente el paralelismo de las líneas sin ningún dibujo.

Los ejemplos de soluciones independientes de hoy serán creativos. Porque todavía tendrás que competir con Baba Yaga, y ella, ya sabes, es una amante de todo tipo de acertijos.

Ejemplo 3

Escribe una ecuación para una recta que pasa por un punto paralelo a la recta si

Existe una forma racional y no tan racional de solucionarlo. El camino más corto está al final de la lección.

Trabajamos un poco con líneas paralelas y volveremos a ellas más tarde. El caso de líneas coincidentes tiene poco interés, así que consideremos un problema que le resulta muy familiar del plan de estudios escolar:

¿Cómo encontrar el punto de intersección de dos rectas?

si es heterosexual se cruzan en el punto , entonces sus coordenadas son la solución sistemas de ecuaciones lineales

¿Cómo encontrar el punto de intersección de líneas? Resuelve el sistema.

Aquí tienes significado geométrico de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas- Estas son dos líneas que se cruzan (la mayoría de las veces) en un plano.

Ejemplo 4

Encuentra el punto de intersección de líneas.

Solución: Hay dos formas de resolver: gráfica y analítica.

El método gráfico consiste simplemente en dibujar las líneas dadas y encontrar el punto de intersección directamente en el dibujo:

Aquí está nuestro punto: . Para comprobarlo, debes sustituir sus coordenadas en cada ecuación de la recta, deben encajar tanto allí como allí. En otras palabras, las coordenadas de un punto son una solución del sistema. Básicamente, analizamos una solución gráfica. sistemas de ecuaciones lineales con dos ecuaciones, dos incógnitas.

El método gráfico, por supuesto, no es malo, pero tiene desventajas notables. No, la cuestión no es que los alumnos de séptimo grado decidan de esta manera, la cuestión es que llevará tiempo crear un dibujo correcto y EXACTO. Además, algunas líneas rectas no son tan fáciles de construir y el punto de intersección en sí puede estar ubicado en algún lugar del trigésimo reino fuera de la hoja del cuaderno.

Por tanto, es más conveniente buscar el punto de intersección mediante un método analítico. Resolvamos el sistema:

Para resolver el sistema se utilizó el método de suma de ecuaciones término por término. Para desarrollar habilidades relevantes, tome una lección ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones?

Respuesta:

La verificación es trivial: las coordenadas del punto de intersección deben satisfacer cada ecuación del sistema.

Ejemplo 5

Encuentra el punto de intersección de las líneas si se cruzan.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Es conveniente dividir la tarea en varias etapas. El análisis de la condición sugiere que es necesario:
1) Escribe la ecuación de la recta.
2) Escribe la ecuación de la recta.
3) Descubra la posición relativa de las líneas.
4) Si las rectas se cruzan, entonces encuentra el punto de intersección.

El desarrollo de un algoritmo de acción es típico de muchos problemas geométricos y me centraré en esto repetidamente.

Solución completa y respuesta al final de la lección:

Ni siquiera un par de zapatos estaban gastados antes de llegar a la segunda sección de la lección:

Lineas perpendiculares. Distancia de un punto a una recta.
Ángulo entre rectas

Comencemos con una tarea típica y muy importante. En la primera parte aprendimos cómo construir una línea recta paralela a esta, y ahora la cabaña sobre muslos de pollo girará 90 grados:

¿Cómo construir una recta perpendicular a una determinada?

Ejemplo 6

La línea recta está dada por la ecuación. Escribe una ecuación perpendicular a la recta que pasa por el punto.

Solución: Por condición se sabe que . Sería bueno encontrar el vector director de la línea. Como las líneas son perpendiculares, el truco es simple:

De la ecuación “quitamos” el vector normal: , que será el vector director de la recta.

Compongamos la ecuación de una línea recta usando un punto y un vector director:

Respuesta:

Ampliemos el boceto geométrico:

Hmmm... Cielo naranja, mar naranja, camello naranja.

Verificación analítica de la solución:

1) Sacamos los vectores directores de las ecuaciones. y con la ayuda producto escalar de vectores llegamos a la conclusión de que las rectas son efectivamente perpendiculares: .

Por cierto, puedes usar vectores normales, es aún más fácil.

2) Compruebe si el punto satisface la ecuación resultante. .

La prueba, nuevamente, es fácil de realizar por vía oral.

Ejemplo 7

Encuentra el punto de intersección de líneas perpendiculares si se conoce la ecuación. y punto.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Existen varias acciones en el problema, por lo que conviene formular la solución punto por punto.

Nuestro apasionante viaje continúa:

Distancia de un punto a una línea

Tenemos frente a nosotros una franja recta de río y nuestra tarea es llegar a ella por el camino más corto. No hay obstáculos y la ruta más óptima será avanzar en perpendicular. Es decir, la distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular.

La distancia en geometría se denota tradicionalmente con la letra griega “rho”, por ejemplo: – la distancia desde el punto “em” a la línea recta “de”.

Distancia de un punto a una línea expresado por la fórmula

Ejemplo 8

Encuentra la distancia de un punto a una recta.

Solución: todo lo que necesitas hacer es sustituir cuidadosamente los números en la fórmula y realizar los cálculos:

Respuesta:

Hagamos el dibujo:

La distancia encontrada desde el punto a la línea es exactamente la longitud del segmento rojo. Si realiza un dibujo en papel cuadriculado a escala 1 unidad. = 1 cm (2 celdas), entonces la distancia se puede medir con una regla común.

Consideremos otra tarea basada en el mismo dibujo:

La tarea es encontrar las coordenadas de un punto que sea simétrico al punto con respecto a la línea recta. . Sugiero realizar los pasos usted mismo, pero describiré el algoritmo de solución con resultados intermedios:

1) Encuentra una recta que sea perpendicular a la recta.

2) Encuentra el punto de intersección de las líneas: .

Ambas acciones se analizan en detalle en esta lección.

3) El punto es el punto medio del segmento. Conocemos las coordenadas del medio y uno de los extremos. Por Fórmulas para las coordenadas del punto medio de un segmento. encontramos .

Sería buena idea comprobar que la distancia también es de 2,2 unidades.

Aquí pueden surgir dificultades en los cálculos, pero una microcalculadora es de gran ayuda en la torre, ya que le permite calcular fracciones ordinarias. Te he aconsejado muchas veces y te recomendaré nuevamente.

¿Cómo encontrar la distancia entre dos rectas paralelas?

Ejemplo 9

Encuentra la distancia entre dos rectas paralelas.

Este es otro ejemplo para que decidas por tu cuenta. Te daré una pequeña pista: hay infinitas formas de solucionar esto. Informe al final de la lección, pero es mejor que intente adivinar usted mismo, creo que su ingenio estuvo bien desarrollado.

Ángulo entre dos rectas

Cada rincón es una jamba:


En geometría, el ángulo entre dos rectas se considera el ángulo MÁS PEQUEÑO, de lo que se deduce automáticamente que no puede ser obtuso. En la figura, el ángulo indicado por el arco rojo no se considera el ángulo entre líneas que se cruzan. Y su vecino “verde” o orientada opuestamente rincón "frambuesa".

Si las rectas son perpendiculares, entonces cualquiera de los 4 ángulos se puede tomar como ángulo entre ellas.

¿En qué se diferencian los ángulos? Orientación. En primer lugar, la dirección en la que se “desplaza” el ángulo es de fundamental importancia. En segundo lugar, un ángulo orientado negativamente se escribe con un signo menos, por ejemplo si .

¿Por qué te dije esto? Parece que podemos arreglárnoslas con el concepto habitual de ángulo. El hecho es que las fórmulas mediante las cuales encontraremos ángulos pueden fácilmente dar un resultado negativo, y esto no debería sorprenderte. Un ángulo con signo menos no es peor y tiene un significado geométrico muy específico. En el dibujo, para un ángulo negativo, asegúrese de indicar su orientación con una flecha (en el sentido de las agujas del reloj).

¿Cómo encontrar el ángulo entre dos rectas? Hay dos fórmulas de trabajo:

Ejemplo 10

Encuentra el ángulo entre líneas.

Solución Y Método uno

Consideremos dos rectas definidas por ecuaciones en forma general:

si es heterosexual no perpendicular, Eso orientado El ángulo entre ellos se puede calcular mediante la fórmula:

Prestemos mucha atención al denominador: esto es exactamente producto escalar vectores directores de rectas:

Si , entonces el denominador de la fórmula se vuelve cero, los vectores serán ortogonales y las líneas perpendiculares. Por eso se hizo una reserva sobre la no perpendicularidad de las líneas rectas en la formulación.

Con base en lo anterior, resulta conveniente formalizar la solución en dos pasos:

1) Calculemos el producto escalar de los vectores directores de las rectas:
, lo que significa que las líneas no son perpendiculares.

2) Encuentra el ángulo entre líneas rectas usando la fórmula:

Usando la función inversa es fácil encontrar el ángulo mismo. En este caso, utilizamos la imparidad del arcotangente (ver. Gráficas y propiedades de funciones elementales.):

Respuesta:

En tu respuesta indicamos el valor exacto, así como un valor aproximado (preferiblemente tanto en grados como en radianes), calculado mediante una calculadora.

Bueno, menos, menos, no es gran cosa. Aquí hay una ilustración geométrica:

No es de extrañar que el ángulo resultara tener una orientación negativa, porque en el enunciado del problema el primer número es una línea recta y el "desenroscado" del ángulo comenzó precisamente con él.

Si realmente quieres obtener un ángulo positivo, debes intercambiar las líneas, es decir, tomar los coeficientes de la segunda ecuación. y toma los coeficientes de la primera ecuación. En resumen, debes comenzar con un directo. .

Una línea recta en el espacio siempre se puede definir como la línea de intersección de dos planos no paralelos. Si la ecuación de un plano es la ecuación del segundo plano, entonces la ecuación de la recta viene dada como

Aquí no colineal
. Estas ecuaciones se llaman ecuaciones generales Directamente en el espacio.

Ecuaciones canónicas de la recta.

Cualquier vector distinto de cero que se encuentre en una línea dada o paralelo a ella se llama vector director de esta línea.

Si se conoce el punto
línea recta y su vector de dirección
, entonces las ecuaciones canónicas de la recta tienen la forma:

. (9)

Ecuaciones paramétricas de una recta.

Sean dadas las ecuaciones canónicas de la recta.

.

De aquí obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta:

(10)

Estas ecuaciones son útiles para encontrar el punto de intersección de una recta y un plano.

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.
Y
tiene la forma:

.

Ángulo entre rectas

Ángulo entre rectas

Y

igual al ángulo entre sus vectores directores. Por tanto, se puede calcular mediante la fórmula (4):

Condición para líneas paralelas:

.

Condición para que los planos sean perpendiculares:

Distancia de un punto a una recta

PAG digamos que el punto está dado
y recto

.

De las ecuaciones canónicas de la recta conocemos el punto
, perteneciente a una recta, y su vector director
. Entonces la distancia del punto
desde una línea recta es igual a la altura de un paralelogramo construido sobre vectores Y
. Por eso,

.

Condición para la intersección de líneas.

Dos rectas no paralelas

,

se cruzan si y sólo si

.

La posición relativa de una línea recta y un plano.

Deja que se dé la línea recta.
y avión. Esquina entre ellos se puede encontrar mediante la fórmula

.

Problema 73. Escribe las ecuaciones canónicas de la recta.

(11)

Solución. Para escribir las ecuaciones canónicas de la recta (9) es necesario conocer cualquier punto perteneciente a la recta y el vector director de la recta.

Encontremos el vector , paralela a esta línea. Dado que debe ser perpendicular a los vectores normales de estos planos, es decir

,
, Eso

.

De las ecuaciones generales de la recta tenemos que
,
. Entonces

.

Desde el punto
cualquier punto de una recta, entonces sus coordenadas deben satisfacer las ecuaciones de la recta y se puede especificar una de ellas, por ejemplo,
, encontramos las otras dos coordenadas del sistema (11):

De aquí,
.

Así, las ecuaciones canónicas de la recta deseada tienen la forma:

o
.

Problema 74.

Y
.

Solución. De las ecuaciones canónicas de la primera línea, se conocen las coordenadas del punto.
perteneciente a la recta, y las coordenadas del vector de dirección
. De las ecuaciones canónicas de la segunda recta también se conocen las coordenadas del punto.
y coordenadas del vector de dirección
.

La distancia entre líneas paralelas es igual a la distancia del punto.
desde la segunda línea recta. Esta distancia se calcula mediante la fórmula.

.

Encontremos las coordenadas del vector.
.

Calculemos el producto vectorial.
:

.

Problema 75. encontrar un punto punto simétrico
relativamente recto

.

Solución. Escribamos la ecuación de un plano perpendicular a una recta dada y que pasa por un punto . Como su vector normal puedes tomar el vector director de una línea recta. Entonces
. Por eso,

busquemos un punto
el punto de intersección de esta recta y el plano P. Para hacer esto, escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta usando las ecuaciones (10), obtenemos

Por eso,
.

Dejar
punto simétrico al punto
en relación con esta línea. Entonces señala
punto medio
. Para encontrar las coordenadas de un punto. Usamos las fórmulas para las coordenadas del punto medio del segmento:

,
,
.

Entonces,
.

Problema 76. Escribe la ecuación de un plano que pasa por una recta.
Y

a) a través de un punto
;

b) perpendicular al plano.

Solución. Anotemos las ecuaciones generales de esta recta. Para hacer esto, considere dos igualdades:

Esto significa que el avión deseado pertenece a un conjunto de aviones con generadores y su ecuación se puede escribir en la forma (8):

a) Busquemos
Y de la condición de que el avión pase por el punto
, por tanto, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación del plano. Sustituyamos las coordenadas del punto.
en la ecuación de un montón de aviones:

Valor encontrado
Sustituyámoslo en la ecuación (12). obtenemos la ecuación del plano deseado:

b) Encontremos
Y de la condición de que el plano deseado sea perpendicular al plano. El vector normal de un plano dado.
, vector normal del plano deseado (ver ecuación de un grupo de planos (12).

Dos vectores son perpendiculares si y sólo si su producto escalar es cero. Por eso,

Sustituyamos el valor encontrado.
en la ecuación de un grupo de planos (12). Obtenemos la ecuación del plano deseado:

Problemas para resolver de forma independiente.

Problema 77. Llevar a la forma canónica de la ecuación de rectas:

1)
2)

Problema 78. Escribir ecuaciones paramétricas de una recta.
, Si:

1)
,
; 2)
,
.

Problema 79. Escribe la ecuación del avión que pasa por el punto.
perpendicular a una recta

Problema 80. Escribe las ecuaciones de una recta que pasa por un punto.
perpendicular al plano.

Problema 81. Encuentra el ángulo entre líneas rectas:

1)
Y
;

2)
Y

Problema 82. Demuestre rectas paralelas:

Y
.

Problema 83. Demuestre la perpendicularidad de las líneas:

Y

Problema 84. Calcular la distancia del punto
desde línea recta:

1)
; 2)
.

Problema 85. Calcula la distancia entre rectas paralelas:

Y
.

Problema 86. En las ecuaciones de la recta
definir parámetro para que esta línea se cruce con la línea y encuentre el punto de su intersección.

Problema 87. Demuestra que es recto
paralelo al plano
, y la línea recta
se encuentra en este plano.

Problema 88. encontrar un punto punto simétrico relativo al avión
, Si:

1)
, ;

2)
, ;.

Problema 89. Escribe la ecuación de una perpendicular caída desde un punto.
directamente
.

Problema 90. encontrar un punto punto simétrico
relativamente recto
.

La tarea es encontrar las coordenadas de un punto que sea simétrico al punto con respecto a la línea recta. . Sugiero realizar los pasos usted mismo, pero describiré el algoritmo de solución con resultados intermedios:

1) Encuentra una recta que sea perpendicular a la recta.

2) Encuentra el punto de intersección de las líneas: .

Ambas acciones se analizan en detalle en esta lección.

3) El punto es el punto medio del segmento. Conocemos las coordenadas del medio y uno de los extremos. Por Fórmulas para las coordenadas del punto medio de un segmento. encontramos .

Sería buena idea comprobar que la distancia también es de 2,2 unidades.

Aquí pueden surgir dificultades en los cálculos, pero una microcalculadora es de gran ayuda en la torre, ya que le permite calcular fracciones ordinarias. Te he aconsejado muchas veces y te recomendaré nuevamente.

¿Cómo encontrar la distancia entre dos rectas paralelas?

Ejemplo 9

Encuentra la distancia entre dos rectas paralelas.

Este es otro ejemplo para que decidas por tu cuenta. Te daré una pequeña pista: hay infinitas formas de solucionar esto. Informe al final de la lección, pero es mejor que intente adivinar usted mismo, creo que su ingenio estuvo bien desarrollado.

Ángulo entre dos rectas

Cada rincón es una jamba:


En geometría, el ángulo entre dos rectas se considera el ángulo MÁS PEQUEÑO, de lo que se deduce automáticamente que no puede ser obtuso. En la figura, el ángulo indicado por el arco rojo no se considera el ángulo entre líneas que se cruzan. Y su vecino “verde” o orientada opuestamente rincón "frambuesa".

Si las rectas son perpendiculares, entonces cualquiera de los 4 ángulos se puede tomar como ángulo entre ellas.

¿En qué se diferencian los ángulos? Orientación. En primer lugar, la dirección en la que se “desplaza” el ángulo es de fundamental importancia. En segundo lugar, un ángulo orientado negativamente se escribe con un signo menos, por ejemplo si .

¿Por qué te dije esto? Parece que podemos arreglárnoslas con el concepto habitual de ángulo. El hecho es que las fórmulas mediante las cuales encontraremos ángulos pueden fácilmente dar un resultado negativo, y esto no debería sorprenderte. Un ángulo con signo menos no es peor y tiene un significado geométrico muy específico. En el dibujo, para un ángulo negativo, asegúrese de indicar su orientación con una flecha (en el sentido de las agujas del reloj).

¿Cómo encontrar el ángulo entre dos rectas? Hay dos fórmulas de trabajo:

Ejemplo 10

Encuentra el ángulo entre líneas.

Solución Y Método uno

Consideremos dos rectas definidas por ecuaciones en forma general:

si es heterosexual no perpendicular, Eso orientado El ángulo entre ellos se puede calcular mediante la fórmula:

Prestemos mucha atención al denominador: esto es exactamente producto escalar vectores directores de rectas:

Si , entonces el denominador de la fórmula se vuelve cero, los vectores serán ortogonales y las líneas perpendiculares. Por eso se hizo una reserva sobre la no perpendicularidad de las líneas rectas en la formulación.

Con base en lo anterior, resulta conveniente formalizar la solución en dos pasos:

1) Calculemos el producto escalar de los vectores directores de las rectas:

2) Encuentra el ángulo entre líneas rectas usando la fórmula:

Usando la función inversa es fácil encontrar el ángulo mismo. En este caso, utilizamos la imparidad del arcotangente (ver. Gráficas y propiedades de funciones elementales.):

Respuesta:

En tu respuesta indicamos el valor exacto, así como un valor aproximado (preferiblemente tanto en grados como en radianes), calculado mediante una calculadora.

Bueno, menos, menos, no es gran cosa. Aquí hay una ilustración geométrica:

No es de extrañar que el ángulo resultara tener una orientación negativa, porque en el enunciado del problema el primer número es una línea recta y el "desenroscado" del ángulo comenzó precisamente con él.

Si realmente quieres obtener un ángulo positivo, debes intercambiar las líneas, es decir, tomar los coeficientes de la segunda ecuación. y toma los coeficientes de la primera ecuación. En resumen, debes comenzar con un directo. .

No lo ocultaré, yo mismo selecciono las líneas rectas en el orden para que el ángulo resulte positivo. Es más bonito, pero nada más.

Para comprobar tu solución, puedes tomar un transportador y medir el ángulo.

Método dos

Si las rectas están dadas por ecuaciones con pendiente y no perpendicular, Eso orientado El ángulo entre ellos se puede encontrar usando la fórmula:

La condición de perpendicularidad de las rectas se expresa mediante la igualdad, de la cual, dicho sea de paso, se desprende una relación muy útil entre los coeficientes angulares de las rectas perpendiculares: , que se utiliza en algunos problemas.

El algoritmo de solución es similar al párrafo anterior. Pero primero, reescribamos nuestras líneas rectas en la forma requerida:

Así, las pendientes son:

1) Comprobemos si las líneas son perpendiculares:
, lo que significa que las líneas no son perpendiculares.

2) Usa la fórmula:

Respuesta:

El segundo método es apropiado cuando las ecuaciones de líneas rectas se especifican inicialmente con un coeficiente angular. Cabe señalar que si al menos una línea recta es paralela al eje de ordenadas, entonces la fórmula no es aplicable en absoluto, ya que para tales líneas rectas la pendiente no está definida (ver artículo Ecuación de una línea recta en un plano.).

Hay una tercera solución. La idea es calcular el ángulo entre los vectores directores de las líneas usando la fórmula discutida en la lección. Producto escalar de vectores:

Aquí ya no estamos hablando de un ángulo orientado, sino de “sólo de un ángulo”, es decir, el resultado seguramente será positivo. El problema es que puedes terminar con un ángulo obtuso (no el que necesitas). En este caso, tendrás que hacer una reserva de que el ángulo entre líneas rectas es un ángulo más pequeño y restar el arco coseno resultante de "pi" radianes (180 grados).

Quienes lo deseen pueden solucionar el problema de una tercera forma. Pero sigo recomendando seguir con el primer enfoque con un ángulo orientado, ya que está muy extendido.

Ejemplo 11

Encuentra el ángulo entre las líneas.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Intenta resolverlo de dos maneras.

De alguna manera el cuento de hadas se extinguió en el camino... Porque no existe Kashchei el Inmortal. Ahí estoy yo, y no estoy particularmente entusiasmado. Para ser honesto, pensé que el artículo sería mucho más largo. Pero aun así tomaré mi sombrero y mis gafas recién adquiridos y me iré a nadar al agua del lago de septiembre. Alivia perfectamente la fatiga y la energía negativa.

¡Nos vemos pronto!

Y recuerda, Baba Yaga no ha sido cancelada =)

Soluciones y respuestas:

Ejemplo 3:Solución : Encontremos el vector dirección de la recta. :

Compongamos la ecuación de la recta deseada usando el punto. y vector de dirección . Como una de las coordenadas del vector dirección es cero, la ecuación. reescribámoslo en la forma:

Respuesta :

Ejemplo 5:Solución :
1) Ecuación de una recta inventemos dos puntos :

2) Ecuación de una recta inventemos dos puntos :

3) Coeficientes correspondientes para variables. no proporcional: , lo que significa que las líneas se cruzan.
4) Encuentra un punto :


Nota : aquí la primera ecuación del sistema se multiplica por 5, luego la 2ª se resta término a término de la 1ª ecuación.
Respuesta :