Modelos matemáticos de los sistemas de colas más simples. Las funciones p0(t) y p1(t) determinan el proceso de transición en un QS monocanal y describen el proceso de aproximación exponencial del QS a su estado límite con una constante de tiempo característica d
23 de octubre de 2013 a las 14:22Squeak: modelado de sistemas de colas
- Programación,
- POO,
- Programación paralela
Hay muy poca información sobre Habré sobre un lenguaje de programación como Squeak. Intentaré hablar de ello en el contexto del modelado de sistemas de colas. Le mostraré cómo escribir una clase simple, explicaré su estructura y la usaré en un programa que atenderá solicitudes a través de varios canales.
Algunas palabras sobre Squeak
Squeak es una implementación abierta y multiplataforma del lenguaje de programación Smalltalk-80 con escritura dinámica y recolección de basura. La interfaz es bastante específica, pero bastante conveniente para la depuración y el análisis. Squeak cumple plenamente con el concepto de programación orientada a objetos. Todo está formado por objetos, incluso estructuras. si-entonces-si no, durante, mientras implementado con su ayuda. Toda la sintaxis se reduce a enviar un mensaje al objeto en el formulario:<объект> <сообщение>Cualquier método siempre devuelve un objeto y se le puede enviar un nuevo mensaje.
Squeak se utiliza a menudo para modelar procesos, pero también se puede utilizar como herramienta para crear aplicaciones multimedia y una variedad de plataformas educativas.
Sistemas de colas
Los sistemas de colas (QS) contienen uno o más canales que procesan solicitudes provenientes de varias fuentes. El tiempo de atención de cada solicitud puede ser fijo o arbitrario, así como los intervalos entre su recepción. Podría ser una central telefónica, una lavandería, cajeros en una tienda, una oficina de mecanografía, etc. Se parece a esto:
El QS incluye varias fuentes que ingresan a una cola común y se envían para servicio a medida que los canales de procesamiento quedan libres. Dependiendo de las características específicas de los sistemas reales, el modelo puede contener un número diferente de fuentes de aplicaciones y canales de servicio y tener diferentes restricciones en la longitud de la cola y la posibilidad asociada de pérdida de aplicaciones (rechazos).
Al modelar un QS, generalmente se resuelven los problemas de estimar la longitud promedio y máxima de la cola, la frecuencia de fallas del servicio, la carga promedio de canales y determinar su número. Dependiendo de la tarea, el modelo incluye bloques de software para recopilar, acumular y procesar los datos estadísticos necesarios sobre el comportamiento de los procesos. Los modelos de flujo de eventos más utilizados en el análisis QS son el regular y el de Poisson. Los regulares se caracterizan por el mismo tiempo entre la ocurrencia de eventos, y los de Poisson se caracterizan por los aleatorios.
un poco de matematicas
Para un flujo de Poisson, el número de eventos X, cayendo dentro del intervalo de longitud τ (tau), adyacente al punto t, distribuido según la ley de Poisson:Dónde a(t, τ)- número promedio de eventos que ocurren durante un intervalo de tiempo τ .
El número promedio de eventos que ocurren por unidad de tiempo es λ(t). Por lo tanto, el número promedio de eventos en un intervalo de tiempo τ , adyacente al momento del tiempo t, será igual a:
Tiempo t entre dos eventos λ(t) = constante = λ distribuidos según la ley:
Densidad de distribución de una variable aleatoria. t tiene la forma:
Obtener secuencias de Poisson pseudoaleatorias de intervalos de tiempo yo resuelve la ecuación:
Dónde r yo- un número aleatorio distribuido uniformemente en el intervalo.
En nuestro caso esto da la expresión:
Se podrían escribir volúmenes enteros mediante la generación de números aleatorios. Aquí, para generar números enteros distribuidos uniformemente en el intervalo, utilizamos el siguiente algoritmo:
Dónde ri- otro número entero aleatorio;
R- algún número primo grande (por ejemplo 2311);
q- entero: el límite superior del intervalo, por ejemplo, 2 21 = 2097152;
movimiento rápido del ojo- la operación de obtener el resto de la división de números enteros.
Valor inicial R0 generalmente se configura arbitrariamente, por ejemplo, usando lecturas del temporizador:
Tiempo total Segundos
Para obtener números distribuidos uniformemente en un intervalo, utilizamos el operador de lenguaje:
clase rand
Para obtener números aleatorios distribuidos uniformemente en un intervalo, creamos una clase, un generador de números reales:Variable flotanteWordSubclase: #Rand "nombre de clase" instanciaVariableNames: "" "variables de instancia" claseVariableNames: "R" "variables de clase" poolDictionaries: "" "diccionarios generales" categoría: "Muestra" "nombre de categoría"
Métodos:
"Inicialización" init R:= Tiempo totalSeconds.next "Siguiente número pseudoaleatorio" next R:= (R * 2311 + 1) rem: 2097152. ^(R/2097152) asFloat
Para configurar el estado inicial del sensor, envíe un mensaje inicio rand.
Para recibir el siguiente número aleatorio que enviamos rand siguiente.
Programa de procesamiento de solicitudes
Entonces, como ejemplo simple, hagamos lo siguiente. Supongamos que necesitamos modelar el servicio de un flujo regular de solicitudes de una fuente con un intervalo de tiempo aleatorio entre solicitudes. Existen dos canales de diferente desempeño, lo que permite atender solicitudes en 2 y 7 unidades de tiempo, respectivamente. Es necesario registrar el número de solicitudes atendidas por cada canal en un intervalo de 100 unidades de tiempo.Código para chirrido
"Declaración de variables temporales" | proc1 proc2 t1 t2 s1 s2 cola sysPriority continuar r | "Configuración de variables iniciales" Rand init. SysTime:= 0. s1:= 0. s2:= 0. t1:= -1. t2:= -1. continuar: = verdadero. sysPriority:= Prioridad del proceso activo del procesador. Cola "Prioridad actual": = Semáforo nuevo. "Solicitar modelo de cola" "Creando un proceso - modelo de canal 1" (Proceso forContext: [ proc1:= Procesador activeProcess. whileTrue: "Ciclo de servicio" [ cola de espera. "Esperar solicitud" t1:= SysTime + 2. "Próxima activación time" s1:= s1 + 1. proc1 suspender. "Suspender el proceso mientras se espera el final del servicio" ] proc1:= nil. "Eliminar la referencia al proceso 1" ] prioridad: (sysPriority + 1)) resume. "La nueva prioridad es mayor que el fondo" "Creando un proceso - modelo de canal 2" (Proceso forContext: [ proc2:= Procesador activeProcess.. whileTrue: [ cola de espera. t2:= SysTime + 7. s2:= s2 + 1 .proc2 suspender. ] .proc2:= nil. ] prioridad: (sysPriority + 1)) reanudar. "Continuación de la descripción del proceso principal y modelo fuente" whileTrue: [ r:= (Rand next * 10) redondeado. (r = 0) si es Verdadero: . ((SysTime rem: r) = 0) ifTrue: . "Enviar solicitud" "Cambio de proceso de servicio" (t1 = SysTime) ifTrue: . (t2 = SysTime) si es Verdadero: . SysTime: = SysTime + 1. "El tiempo del modelo corre"]. "Mostrar estado del contador de pedidos" PopUpMenu informa: "proc1: ",(s1 printString),", proc2: ",(s2 printString). continuar: = falso.
Cuando se lanzó, vemos que el proceso 1 logró procesar 31 solicitudes y el proceso 2 solo 11:
Clasificación, conceptos básicos, elementos del modelo, cálculo de características básicas.
Al resolver problemas de organización racional del comercio, servicios al consumidor, almacenamiento, etc. Es muy útil interpretar las actividades de la estructura productiva como sistemas de colas, es decir. un sistema en el que, por un lado, constantemente hay solicitudes para realizar algún trabajo y, por otro lado, estas solicitudes se satisfacen constantemente.
Cada QS incluye cuatro elementos: flujo entrante, cola, servidor, flujo saliente.
Requisito(cliente, aplicación) en el QS es cada solicitud individual para realizar cualquier trabajo.
Servicio- esta es la realización de un trabajo para satisfacer el requisito recibido. El objeto que atiende las solicitudes se denomina dispositivo de servicio (dispositivo) o canal de servicio.
El tiempo de servicio es el período durante el cual se satisface una solicitud de servicio, es decir el período comprendido desde el inicio del servicio hasta su finalización. El período desde el momento en que una solicitud ingresa al sistema hasta el inicio del servicio se denomina tiempo de espera del servicio. El tiempo de espera de atención, junto con el tiempo de atención, constituye el tiempo de permanencia de la solicitud en el sistema.
Los SMO se clasifican según diferentes criterios.
1. Según la cantidad de canales de servicio, los QS se dividen en monocanal y multicanal.
2. Dependiendo de las condiciones de espera y de la necesidad de iniciar el servicio, se distingue entre QS con pérdidas (averías) y QS con espera.
EN QS con requisitos de pérdida, recibidos en el momento en que todos los dispositivos están ocupados con el servicio, se rechazan, se pierden para este sistema y no tienen ningún efecto en el proceso de servicio posterior. Un ejemplo clásico de un sistema defectuoso es la central telefónica: se rechaza una solicitud de conexión si el abonado llamado está ocupado.
Para un sistema con fallas, la principal característica de la eficiencia operativa es la probabilidad de falla o la proporción promedio de aplicaciones que permanecen sin servicio.
EN QS con expectativa de requerimiento, que llega en un momento en el que todos los dispositivos están ocupados con el servicio, no abandona el sistema, sino que se pone en cola y espera hasta que uno de los canales esté libre. Cuando el siguiente dispositivo esté disponible, una de las solicitudes en cola se acepta inmediatamente para el servicio.
Para un QS con espera, las características principales son las expectativas matemáticas de la longitud de la cola y el tiempo de espera.
Un ejemplo de sistema de espera es el proceso de restauración de televisores en un taller de reparación.
Hay sistemas que se encuentran entre estos dos grupos ( SMO mixto). Se caracterizan por la presencia de algunas condiciones intermedias: las restricciones pueden ser restricciones en el tiempo de espera para el inicio del servicio, en la longitud de la cola, etc.
Las características de rendimiento se pueden aplicar a la probabilidad de falla tanto en sistemas con pérdidas (o características de latencia) como en sistemas en espera.
3. Según la disciplina de mantenimiento, los sistemas QS se dividen en sistemas con prioridad en mantenimiento y sistemas sin prioridad en mantenimiento.
Las solicitudes se pueden atender en el orden en que se reciben, ya sea de forma aleatoria o según prioridades establecidas.
4. SMO puede ser monofásico y multifásico.
EN fase única En los sistemas, los requisitos son atendidos por canales de un tipo (por ejemplo, trabajadores de la misma profesión) sin transferirlos de un canal a otro, en multifásico sistemas tales transferencias son posibles.
5. Según la ubicación de la fuente de los requisitos, los sistemas QS se dividen en abiertos (cuando la fuente del requisito está fuera del sistema) y cerrados (cuando la fuente está en el propio sistema).
A cerrado Estos incluyen sistemas en los que el flujo entrante de demandas es limitado. Por ejemplo, un capataz cuya tarea es instalar máquinas en un taller debe realizarles mantenimiento periódicamente. Cada máquina ajustada se convierte en una fuente potencial de necesidades de ajuste en el futuro. En tales sistemas, el número total de necesidades circulantes es finito y, en la mayoría de los casos, constante.
Si la fuente de suministro tiene un número infinito de requisitos, entonces los sistemas se llaman abierto. Ejemplos de tales sistemas incluyen tiendas, taquillas en estaciones de tren, puertos, etc. Para estos sistemas, el flujo entrante de demandas puede considerarse ilimitado.
Los métodos y modelos para investigar QS se pueden dividir en analíticos y estadísticos (modelado de simulación de procesos de colas).
Los métodos analíticos permiten obtener las características de un sistema como algunas funciones de los parámetros de su funcionamiento. Gracias a esto, es posible realizar un análisis cualitativo de la influencia de factores individuales en la eficiencia del QS.
Desafortunadamente, sólo una gama bastante limitada de problemas de la teoría de colas pueden resolverse analíticamente. A pesar del continuo desarrollo de los métodos analíticos, en muchos casos reales es imposible obtener una solución analítica o las dependencias resultantes resultan tan complejas que su análisis se convierte en una tarea difícil en sí misma. Por lo tanto, para poder utilizar métodos de solución analíticos, es necesario recurrir a diversas suposiciones simplificadoras, lo que se compensa en cierta medida con la posibilidad de utilizar un análisis cualitativo de las dependencias finales (en este caso, por supuesto, es necesario que las suposiciones hechas no distorsionen la imagen real del proceso).
Actualmente, las aplicaciones más desarrolladas teóricamente y convenientes en la práctica son los métodos para resolver problemas de colas en los que el flujo de requisitos es el más simple ( Poison).
Para el flujo más simple, la frecuencia de llegada de las necesidades al sistema obedece a la ley de Poisson, es decir, la probabilidad de llegada en el tiempo t igual a k necesidades viene dada por la fórmula:
donde λ es el parámetro de flujo (ver más abajo).
El flujo más simple tiene tres propiedades principales: ordinario, estacionario y sin efecto secundario.
Ordinario Flujo significa la imposibilidad práctica de la llegada simultánea de dos o más demandas. Por ejemplo, la probabilidad de que de un grupo de máquinas revisadas por un equipo de reparadores, varias máquinas fallen al mismo tiempo es bastante pequeña.
Estacionario llamado fluir, para el cual la expectativa matemática del número de demandas que ingresan al sistema por unidad de tiempo (denotada por λ) no cambia con el tiempo. Así, la probabilidad de que un cierto número de demandas ingresen al sistema durante un período de tiempo determinado Δt depende de su valor y no depende del inicio de su conteo en el eje del tiempo.
Sin efectos secundarios significa que el número de demandas recibidas en el sistema antes del tiempo t no determina cuántas demandas ingresarán al sistema durante el tiempo t + Δt.
Por ejemplo, si se produce una rotura de hilo en un telar en un momento dado, y es reparada por el tejedor, entonces esto no determina si se producirá una nueva rotura en este telar en el momento siguiente o no, y mucho menos afectan la probabilidad de que se produzca una rotura en otros telares.
Una característica importante de un QS es el tiempo que lleva satisfacer los requisitos del sistema. El tiempo de servicio es, por regla general, una variable aleatoria y, por tanto, puede describirse mediante una ley de distribución. La más utilizada en teoría y, especialmente en aplicaciones prácticas, es la ley exponencial. Para esta ley, la función de distribución de probabilidad tiene la forma:
F(t) = 1 – mi -μt ,
aquellos. la probabilidad de que el tiempo de servicio no exceda un cierto valor t está determinada por la fórmula (1 – e -μt), donde μ es el parámetro de la ley exponencial del tiempo de servicio para los requisitos del sistema - el recíproco del servicio promedio tiempo, es decir .
Consideremos modelos analíticos de QS con expectativa.(el QS más común, en el que las solicitudes recibidas cuando todas las unidades de servicio están ocupadas se ponen en cola y se atienden a medida que se liberan las unidades de servicio).
Las tareas con colas son típicas en entornos de producción, por ejemplo, al organizar trabajos de ajuste y reparación, durante el mantenimiento de varias máquinas, etc.
La formulación general del problema es la siguiente.
El sistema consta de n canales de servicio. Cada uno de ellos sólo puede cumplir un requisito a la vez. El sistema recibe un flujo de demandas simple (Poisson) con parámetro λ. Si, en el momento en que llega la siguiente solicitud, ya hay al menos n solicitudes de servicio en el sistema (es decir, todos los canales están ocupados), entonces esta solicitud se pone en cola y espera a que comience el servicio.
El tiempo de servicio de cada solicitud t aproximadamente es una variable aleatoria que obedece a una ley de distribución exponencial con el parámetro μ.
Como se señaló anteriormente, los QS con expectativa se pueden dividir en dos grandes grupos: cerrados y abiertos.
Las peculiaridades del funcionamiento de cada uno de estos dos tipos de sistemas imponen su propio matiz al aparato matemático utilizado. El cálculo de las características operativas de varios tipos de QS se puede realizar calculando las probabilidades de los estados de QS (fórmulas de Erlang).
Dado que el sistema está cerrado, se debe agregar una condición al planteamiento del problema: el flujo de requisitos entrantes es limitado, es decir no puede haber más de m requisitos en el sistema de servicio al mismo tiempo (m es el número de objetos a los que se presta servicio).
Como criterio principal que caracteriza la calidad del funcionamiento del sistema considerado, elegiremos: 1) la relación entre la longitud promedio de la cola y el mayor número de demandas ubicadas simultáneamente en el sistema de servicio: la tasa de inactividad del objeto atendido; 2) la relación entre el número promedio de canales de servicio inactivos y su número total: la relación de inactividad del canal atendido.
Consideremos el cálculo de las características probabilísticas necesarias (indicadores de desempeño) de un QS cerrado.
1. La probabilidad de que existan k requisitos en el sistema, siempre que su número no exceda el número de dispositivos de servicio n:
P k = α k P 0 , (1 ≤ k ≤ n),
Dónde 
λ es la frecuencia (intensidad) de los requisitos que ingresan al sistema desde una fuente;
Duración media de la atención de una solicitud;
m es el mayor número posible de requisitos ubicados en el sistema de servicio al mismo tiempo;
n - número de dispositivos de servicio;
P 0 es la probabilidad de que todos los dispositivos de servicio estén libres.
2. La probabilidad de que existan k demandas en el sistema, siempre que su número sea mayor que el número de dispositivos de servicio:
P k = α k P 0 , (n ≤ k ≤ m),
Dónde 
3. La probabilidad de que todos los dispositivos de servicio estén libres se determina a partir de la condición
por eso,
4. Número promedio de solicitudes en espera de que comience el servicio (longitud promedio de la cola):
5. Solicitar tasa de tiempo de inactividad en espera de servicio:
6. Probabilidad de que todos los dispositivos de servicio estén ocupados:
7. Número promedio de requisitos en el sistema de servicio (atendidos y en espera de servicio):
8. Tasa de inactividad total de los requisitos de mantenimiento y en espera de mantenimiento:
9. Tiempo de inactividad promedio de una solicitud en la cola de servicio:
10. Número medio de dispositivos de servicio gratuito:
11. Relación de tiempo de inactividad de los dispositivos de servicio:
12. La probabilidad de que el número de demandas en espera de servicio sea mayor que un cierto número B (la probabilidad de que haya más de B demandas en la cola de servicio):
En muchas áreas de la economía, las finanzas, la producción y la vida cotidiana, los sistemas que implementan la ejecución repetida de tareas similares juegan un papel importante. Este tipo de sistemas se denominan sistemas de colas ( SMO ). Ejemplos de QS son: bancos de diversos tipos, organizaciones de seguros, inspecciones fiscales, servicios de auditoría, diversos sistemas de comunicación, complejos de carga y descarga, gasolineras, diversas empresas y organizaciones de servicios.
3.1.1 Información general sobre sistemas de colas
Cada QS está diseñado para atender (cumplir) un determinado flujo de aplicaciones (requisitos) que llegan a la entrada del sistema, en su mayoría no de forma regular, sino en momentos aleatorios. El servicio de las aplicaciones tampoco dura un tiempo constante y predeterminado, sino aleatorio, que depende de muchas razones aleatorias, a veces desconocidas para nosotros. Después de atender la solicitud, el canal queda libre y listo para recibir la siguiente solicitud. La naturaleza aleatoria del flujo de aplicaciones y el tiempo de su mantenimiento conduce a una carga de trabajo desigual del QS. En algunos intervalos de tiempo, las solicitudes pueden acumularse en la entrada del QS, lo que conduce a una sobrecarga del QS; en algunos otros intervalos de tiempo, cuando hay canales libres (dispositivos de servicio) en la entrada del QS, no habrá solicitudes, lo que conduce a una subcarga del QS, es decir a la inactividad de sus canales. Las aplicaciones que se acumulan en la entrada del QS o “se unen” a la cola, o por alguna razón no pueden continuar en la cola, dejan el QS sin servicio.
La Figura 3.1 muestra el diagrama QS.
Los principales elementos (características) de los sistemas de colas son:
Unidad de servicio (bloque),
Flujo de aplicaciones
Cola mientras espera el servicio (disciplina de cola).
Unidad de servicio Diseñado para realizar acciones de acuerdo a los requerimientos de quienes ingresan al sistema. aplicaciones.
Arroz. 3.1 Diagrama del sistema de colas
El segundo componente de los sistemas de colas es la entrada. flujo de aplicaciones. Las solicitudes se ingresan al sistema de forma aleatoria. Generalmente se supone que el flujo de entrada obedece alguna ley probabilística durante los intervalos entre dos solicitudes que llegan sucesivamente, y se supone que la ley de distribución permanece sin cambios durante un tiempo bastante largo. La fuente de aplicaciones es ilimitada.
El tercer componente es disciplina de cola. Esta característica describe el orden de las solicitudes de servicio que llegan a la entrada del sistema. Dado que el bloque de servicio, por regla general, tiene una capacidad limitada y las aplicaciones llegan de manera irregular, periódicamente se crea una cola de aplicaciones esperando servicio y, a veces, el sistema de servicio está inactivo esperando aplicaciones.
La característica principal de los procesos de cola es la aleatoriedad. En este caso, hay dos partes que interactúan: el servido y el que sirve. El comportamiento aleatorio de al menos una de las partes conduce a la naturaleza aleatoria del proceso de servicio en su conjunto. Las fuentes de aleatoriedad en la interacción de estas dos partes son eventos aleatorios de dos tipos.
1. Aparición de una solicitud (requisito) de servicio. La razón de la aleatoriedad de este evento es a menudo la naturaleza masiva de la necesidad de servicio.
2. Fin del servicio de la siguiente aplicación. Las razones de la aleatoriedad de este evento son tanto la aleatoriedad del inicio del servicio como la duración aleatoria del servicio en sí.
Estos eventos aleatorios constituyen un sistema de dos flujos en el QS: el flujo de entrada de solicitudes de servicio y el flujo de salida de aplicaciones atendidas.
El resultado de la interacción de estos flujos de eventos aleatorios es el número de aplicaciones actualmente en el QS, que generalmente se denomina estado del sistema.
Cada QS, dependiendo de sus parámetros de la naturaleza del flujo de aplicaciones, el número de canales de servicio y su productividad, y las reglas de organización del trabajo, tiene una cierta eficiencia operativa (rendimiento) que le permite afrontar con éxito el flujo de aplicaciones.
Campo especial de las matemáticas aplicadas. teoría de masasmantenimiento (TMO)– se ocupa del análisis de procesos en sistemas de colas. El tema de estudio de la teoría de colas es QS.
El objetivo de la teoría de colas es desarrollar recomendaciones para la construcción racional de QS, la organización racional de su trabajo y la regulación del flujo de solicitudes para garantizar una alta eficiencia del funcionamiento de QS. Para lograr este objetivo se plantean las tareas de la teoría de colas, que consisten en establecer las dependencias de la efectividad del funcionamiento del QS de su organización.
Los problemas de la teoría de colas son de naturaleza de optimización y, en última instancia, están dirigidos a determinar una versión del sistema que garantice un mínimo de costos totales por espera de servicio, pérdida de tiempo y recursos para el servicio y tiempo de inactividad de la unidad de servicio. El conocimiento de dichas características proporciona al administrador información para desarrollar una influencia específica sobre estas características para gestionar la eficiencia de los procesos de colas.
Como características de la eficacia del sistema QS se suelen seleccionar los siguientes tres grupos principales de indicadores (normalmente medios):
Indicadores de efectividad del uso de QS:
La capacidad absoluta del QS es el número promedio de solicitudes que el QS puede atender por unidad de tiempo.
La capacidad relativa del QS es la relación entre el número promedio de solicitudes atendidas por el QS por unidad de tiempo y el número promedio de solicitudes recibidas durante el mismo tiempo.
Duración media del período laboral de la OCM.
La tasa de utilización de QS es el porcentaje promedio de tiempo durante el cual QS está ocupado atendiendo solicitudes, etc.
Indicadores de calidad para solicitudes de servicio:
Tiempo medio de espera de una solicitud en la cola.
Tiempo medio de permanencia de una aplicación en la CMO.
La probabilidad de que se le niegue el servicio a una solicitud sin esperar.
La probabilidad de que una solicitud recibida sea aceptada inmediatamente para el servicio.
La ley de distribución del tiempo que una aplicación permanece en la cola.
La ley de distribución del tiempo que una aplicación permanece en el QS.
El número promedio de solicitudes en la cola.
Número medio de solicitudes en la OCM, etc.
Indicadores de efectividad del par “SMO - consumidor”, donde se entiende por “consumidor” el conjunto completo de aplicaciones o algunas de ellas
Para QS con fallas:
Para SMO con espera ilimitada Tanto el rendimiento absoluto como el relativo pierden su significado, ya que cada solicitud entrante tarde o temprano será atendida. Para tal QS, los indicadores importantes son:
Para QS tipo mixto Se utilizan ambos grupos de indicadores: tanto relativos como rendimiento absoluto y características de las expectativas.
Dependiendo del propósito de la operación de cola, cualquiera de los indicadores dados (o un conjunto de indicadores) se puede seleccionar como criterio de eficiencia.
modelo analítico Un QS es un conjunto de ecuaciones o fórmulas que permiten determinar las probabilidades de estados del sistema durante su operación y calcular indicadores de desempeño con base en las características conocidas del flujo entrante y los canales de servicio.
No existe un modelo analítico general para un QS arbitrario. Se han desarrollado modelos analíticos para un número limitado de casos especiales de QS. Los modelos analíticos que reflejan con mayor o menor precisión sistemas reales suelen ser complejos y difíciles de visualizar.
El modelado analítico de un QS se facilita enormemente si los procesos que ocurren en el QS son markovianos (los flujos de solicitudes son simples, los tiempos de servicio se distribuyen exponencialmente). En este caso, todos los procesos en QS se pueden describir mediante ecuaciones diferenciales ordinarias y, en el caso límite, para estados estacionarios, mediante ecuaciones algebraicas lineales y, una vez resueltas, se pueden determinar los indicadores de eficiencia seleccionados.
Veamos ejemplos de algunos QS.
2.5.1. QS multicanal con fallos
Ejemplo 2.5. Tres inspectores de tráfico comprueban las cartas de porte de los camioneros. Si al menos un inspector está libre, se detiene el camión que pasa. Si todos los inspectores están ocupados, el camión pasa sin detenerse. El flujo de camiones es simple, el tiempo de control es aleatorio con una distribución exponencial.
Esta situación se puede modelar mediante un QS de tres canales con fallas (sin cola). El sistema es de lazo abierto, con solicitudes homogéneas, monofásico, con canales absolutamente confiables.
Descripción de estados:
Todos los inspectores son gratuitos;
Un inspector está ocupado;
Dos inspectores están ocupados;
Tres inspectores están ocupados.
El gráfico del estado del sistema se muestra en la Fig. 2.11.
Arroz. 2.11.
En el gráfico: - intensidad del flujo de camiones; - intensidad de los controles de documentos por parte de un inspector de tráfico.
Se lleva a cabo una simulación para determinar la porción de vehículos que no se probarán.
Solución
La parte requerida de la probabilidad es la probabilidad de empleo de los tres inspectores. Dado que el gráfico de estado representa un esquema típico de “muerte y reproducción”, encontraremos el uso de dependencias (2.2).
La capacidad de rendimiento de este puesto de inspección de tráfico se puede caracterizar rendimiento relativo:
Ejemplo 2.6. Para recibir y procesar los informes del grupo de reconocimiento, se nombró un grupo de tres oficiales en el departamento de inteligencia de la asociación. La intensidad esperada del flujo de informes es de 15 informes por hora. El tiempo promedio para que un funcionario procese un informe es de . Cada oficial puede recibir informes de cualquier grupo de reconocimiento. El oficial liberado procesa el último de los informes recibidos. Los informes entrantes deben procesarse con una probabilidad de al menos el 95%.
Determinar si el equipo asignado de tres oficiales es suficiente para completar la tarea asignada.
Solución
Un grupo de oficiales opera como CMO con fallas, que consta de tres canales.
Flujo de informes con intensidad. 
Puede considerarse el más simple, ya que es el total de varios grupos de reconocimiento. Intensidad del servicio 
. Se desconoce la ley de distribución, pero esto no es importante, ya que se ha demostrado que en sistemas con fallos puede ser arbitraria.
La descripción de estados y el gráfico de estados del QS serán similares a los dados en el ejemplo 2.5.
Dado que el gráfico estatal es un esquema de "muerte y reproducción", existen expresiones ya preparadas para las probabilidades límite del estado:
La actitud se llama dada la intensidad del flujo de aplicaciones. Su significado físico es el siguiente: el valor representa el número promedio de solicitudes que llegan al QS durante el tiempo promedio de atención de una solicitud.
en el ejemplo 
.
En el QS considerado, el fallo se produce cuando los tres canales están ocupados, es decir. Entonces:
Porque probabilidad de falla en el procesamiento de informes es superior al 34% (), entonces es necesario incrementar el personal del grupo. Dupliquemos la composición del grupo, es decir, el CMO ahora tendrá seis canales y calculemos:
Así, sólo un grupo de seis agentes podrá procesar las denuncias entrantes con una probabilidad del 95%.
2.5.2. QS multicanal con espera
Ejemplo 2.7. En el tramo de cruce del río hay 15 instalaciones de cruce similares. El flujo de equipos que llegan al cruce es en promedio de 1 unidad/min, el tiempo promedio para cruzar una unidad de equipo es de 10 minutos (incluido el regreso del vehículo que cruza).
Evaluar las principales características del cruce, incluida la probabilidad de cruce inmediato inmediatamente después de la llegada de la unidad de equipo.
Solución
Rendimiento absoluto, es decir, todo lo que se acerca al cruce se cruza prácticamente de inmediato.
Número medio de cruces en funcionamiento:
Tasas de utilización y tiempo de inactividad del ferry:
También se desarrolló un programa para resolver el ejemplo. Se supone que los intervalos de tiempo para que el equipo llegue al cruce y el tiempo de cruce están distribuidos según una ley exponencial.
Las tasas de utilización del cruce después de 50 recorridos son casi las mismas: 
.
INTRODUCCIÓN
CAPÍTULO I. FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE SERVICIO DE COLAS
1.1 Concepto general de teoría de colas
1.2 Modelado de sistemas de colas
1.3 gráficos de estado QS
1.4 Procesos aleatorios
Capitulo dos. ECUACIONES QUE DESCRIBEN SISTEMAS DE COLAS
2.1 ecuaciones de Kolmogorov
2.2 Procesos de “nacimiento - muerte”
2.3 Formulación económica y matemática de problemas de colas.
Capítulo III. MODELOS DE SISTEMAS DE COLAS
3.1 QS monocanal con denegación de servicio
3.2 QS multicanal con denegación de servicio
3.3 Modelo de un sistema de servicios turísticos multifase
3.4 QS de un solo canal con longitud de cola limitada
3.5 QS monocanal con cola ilimitada
3.6 QS multicanal con longitud de cola limitada
3.7 QS multicanal con cola ilimitada
3.8 Análisis del sistema de colas del supermercado
CONCLUSIÓN
Introducción
Actualmente, ha aparecido una gran cantidad de literatura dedicada directamente a la teoría de las colas, el desarrollo de sus aspectos matemáticos, así como diversas áreas de su aplicación: militar, médica, transporte, comercio, aviación, etc.
La teoría de colas se basa en la teoría de la probabilidad y la estadística matemática. El desarrollo inicial de la teoría de las colas está asociado con el nombre del científico danés A.K. Erlang (1878-1929), con sus trabajos en el campo del diseño y funcionamiento de centrales telefónicas.
La teoría de colas es un campo de las matemáticas aplicadas que se ocupa del análisis de procesos en sistemas de producción, servicios y gestión en los que eventos homogéneos se repiten muchas veces, por ejemplo, en empresas de servicios al consumidor; en sistemas de recepción, procesamiento y transmisión de información; líneas de producción automáticas, etc. Los matemáticos rusos A.Ya. Khinchin, B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, E.S. Wentzel et al.
El tema de la teoría de colas es establecer dependencias entre la naturaleza del flujo de solicitudes, la cantidad de canales de servicio, el desempeño de un canal individual y un servicio efectivo para encontrar las mejores formas de gestionar estos procesos. Los problemas de la teoría de colas son de naturaleza de optimización y, en última instancia, incluyen el aspecto económico de determinar una opción de sistema que garantice un mínimo de costos totales por espera de servicio, pérdida de tiempo y recursos para el servicio y tiempo de inactividad de los canales de servicio.
En las actividades comerciales, la aplicación de la teoría de colas aún no ha encontrado la distribución deseada.
Esto se debe principalmente a la dificultad para establecer tareas, la necesidad de una comprensión profunda del contenido de las actividades comerciales, así como de herramientas confiables y precisas que permitan calcular varias opciones para las consecuencias de las decisiones de gestión en las actividades comerciales.
Capítulo I . Configurar tareas en cola
1.1 Concepto general de teoría de colas.
La naturaleza de los servicios masivos, en diversos campos, es muy sutil y compleja. La actividad comercial está asociada a la realización de muchas operaciones en las etapas de movimiento, por ejemplo, la masa de bienes desde la esfera de producción a la esfera de consumo. Dichas operaciones son la carga de mercancías, el transporte, la descarga, el almacenamiento, el procesamiento, el embalaje y la venta. Además de estas operaciones básicas, el proceso de movimiento de mercancías va acompañado de una gran cantidad de operaciones preliminares, preparatorias, de acompañamiento, paralelas y posteriores con documentos de pago, contenedores, dinero, automóviles, clientes, etc.
Los fragmentos de actividad comercial enumerados se caracterizan por la llegada masiva de bienes, dinero y visitantes en momentos aleatorios, luego su servicio secuencial (satisfacción de demandas, solicitudes, solicitudes) mediante la realización de operaciones apropiadas, cuyo tiempo de ejecución también es aleatorio. Todo esto genera desniveles en el trabajo, genera subcargas, tiempos de inactividad y sobrecargas en las operaciones comerciales. Las colas causan muchos problemas, por ejemplo, a los visitantes en cafeterías, cantinas, restaurantes o a los conductores de automóviles en los depósitos de mercancías que esperan la descarga, la carga o el papeleo. En este sentido, surge la tarea de analizar las opciones existentes para realizar todo el conjunto de operaciones, por ejemplo, en el piso de ventas de un supermercado, restaurante o en talleres para la elaboración de productos propios con el fin de evaluar su trabajo, identificando eslabones débiles. y reservas para, en última instancia, desarrollar recomendaciones destinadas a aumentar la eficiencia de las actividades comerciales.
Además, surgen otras tareas relacionadas con la creación, organización y planificación de una nueva opción económica y racional para realizar muchas operaciones dentro del piso de negociación, confitería, todos los niveles de servicio en un restaurante, cafetería, cantina, departamento de planificación, contabilidad, departamento de personal, etc.
Las tareas de organización de servicios masivos surgen en casi todas las esferas de la actividad humana, por ejemplo, los vendedores que atienden a los clientes en las tiendas, atienden a los visitantes en establecimientos de restauración pública, atienden a los clientes en empresas de servicios al consumidor, brindan conversaciones telefónicas en una central telefónica, brindan atención médica a pacientes en una clínica, etc. En todos los ejemplos anteriores, existe la necesidad de satisfacer las necesidades de un gran número de consumidores.
Los problemas enumerados se pueden resolver con éxito utilizando métodos y modelos de teoría de colas (QST) especialmente creados para estos fines. Esta teoría explica que es necesario servir a alguien o algo, lo cual se define por el concepto de “solicitud (demanda) de servicio”, y las operaciones de servicio son realizadas por alguien o algo llamado canales de servicio (nodos). El papel de las solicitudes en las actividades comerciales lo desempeñan los bienes, los visitantes, el dinero, los auditores, los documentos, y el papel de los canales de servicio lo desempeñan los vendedores, administradores, cocineros, pasteleros, camareros, cajeros, expertos en mercancías, cargadores, equipos comerciales, etc. Es importante señalar que en una realización, por ejemplo, un cocinero en el proceso de preparación de platos es un canal de servicio, y en otra actúa como una solicitud de servicio, por ejemplo al jefe de producción para recibir mercancías.
Las aplicaciones, debido a la enorme cantidad de recibos de servicio, forman flujos que se llaman entrantes antes de que se realicen las operaciones de servicio y después de una posible espera hasta el inicio del servicio, es decir. El tiempo de inactividad en la cola forma que el servicio fluye en los canales, y luego se forma un flujo saliente de solicitudes. En general, la combinación de elementos del flujo entrante de solicitudes, una cola, canales de servicio y el flujo saliente de solicitudes forma el sistema de colas de un solo canal más simple: QS.
Se entiende por sistema a un conjunto de sistemas interconectados. partes (elementos) que interactúan intencionalmente. Ejemplos de sistemas de calidad tan simples en actividades comerciales son los lugares de recepción y procesamiento de mercancías, centros de pago para clientes en tiendas, cafeterías, comedores, lugares de trabajo para economistas, contables, comerciantes, cocineros, etc.
El procedimiento de servicio se considera completado cuando la solicitud de servicio sale del sistema. La duración del intervalo de tiempo necesario para implementar el procedimiento de servicio depende principalmente de la naturaleza de la solicitud de servicio, el estado del propio sistema de servicio y el canal de servicio.
De hecho, la duración de la estancia de un comprador en un supermercado depende, por un lado, de las cualidades personales del comprador, de sus solicitudes, de la gama de productos que va a adquirir y, por otro lado, de la forma. de la organización del servicio y del personal de servicio, lo que puede afectar significativamente la estancia del comprador en el supermercado y la intensidad del servicio. Por ejemplo, el dominio del método "ciego" de trabajo en una caja registradora por parte de los cajeros-controladores hizo posible aumentar el rendimiento de los nodos de pago en 1,3 veces y ahorrar el tiempo dedicado a las liquidaciones con los clientes en cada caja registradora en más de 1,5 horas. por día. La introducción de un centro de pago único en un supermercado proporciona beneficios tangibles al comprador. Así, si con la forma de pago tradicional el tiempo de atención a un cliente era en promedio de 1,5 minutos, con la introducción de una única unidad de pago era de 67 segundos. De ellos, 44 segundos se dedican a realizar una compra en la sección y 23 segundos directamente al pago de compras. Si el comprador realiza varias compras en diferentes secciones, la pérdida de tiempo se reduce al realizar dos compras en 1,4 veces, tres en 1,9 y cinco en 2,9 veces.
Por solicitudes de servicio nos referimos al proceso de satisfacer una necesidad. Los servicios son de naturaleza variada. Sin embargo, en todos los ejemplos, las solicitudes recibidas requieren atención por parte de algún dispositivo. En algunos casos, el servicio lo realiza una sola persona (servicio al comprador por un vendedor, en algunos, por un grupo de personas (servicio al paciente por una comisión médica en una clínica) y, en algunos casos, por dispositivos técnicos. (venta de agua con gas, bocadillos mediante máquinas expendedoras). Al conjunto de medios que solicita el servicio, se le denomina canal de atención.
Si los canales de servicio son capaces de satisfacer solicitudes idénticas, entonces los canales de servicio se denominan homogéneos. Un conjunto de canales de servicio homogéneos se denomina sistema de servicio.
El sistema de colas recibe una gran cantidad de solicitudes en momentos aleatorios, cuya duración del servicio también es una variable aleatoria. La llegada secuencial de aplicaciones al sistema de servicio se denomina flujo entrante de aplicaciones y la secuencia de aplicaciones que salen del sistema de servicio se denomina flujo saliente.
