Si los indicadores son los mismos pero las razones son diferentes. Lección "Multiplicación y división de poderes"

Cada operación aritmética a veces se vuelve demasiado engorrosa de escribir y tratan de simplificarla. Este fue el caso una vez con la operación de suma. La gente necesitaba realizar repetidas sumas del mismo tipo, por ejemplo, para calcular el costo de cien alfombras persas, cuyo costo es de 3 monedas de oro por cada una. 3+3+3+…+3 = 300. Debido a su naturaleza engorrosa, se decidió acortar la notación a 3 * 100 = 300. De hecho, la notación “tres por cien” significa que es necesario tomar uno ciento tres y súmelos. La multiplicación se popularizó y ganó popularidad general. Pero el mundo no se detiene, y en la Edad Media surgió la necesidad de realizar repetidas multiplicaciones del mismo tipo. Recuerdo un viejo acertijo indio sobre un sabio que pedía granos de trigo en las siguientes cantidades como recompensa por el trabajo realizado: para la primera casilla del tablero de ajedrez pedía un grano, para la segunda dos, para la tercera cuatro, para el quinto, ocho, y así sucesivamente. Así surgió la primera multiplicación de potencias, porque el número de granos era igual a dos elevado a la potencia del número de células. Por ejemplo, en la última celda habría 2*2*2*...*2 = 2^63 granos, lo que equivale a un número de 18 caracteres, que, de hecho, es el significado del acertijo.

La operación de exponenciación se popularizó con bastante rapidez, y también surgió rápidamente la necesidad de realizar sumas, restas, divisiones y multiplicaciones de potencias. Vale la pena considerar esto último con más detalle. Las fórmulas para sumar potencias son simples y fáciles de recordar. Además, es muy fácil entender de dónde vienen si se sustituye la operación de potencia por la multiplicación. Pero primero es necesario comprender cierta terminología básica. La expresión a^b (léase “a elevado a b”) significa que el número a debe multiplicarse por sí mismo b veces, siendo “a” la base de la potencia y “b” el exponente de la potencia. Si las bases de los grados son las mismas, entonces las fórmulas se derivan de forma bastante sencilla. Ejemplo específico: encuentre el valor de la expresión 2^3 * 2^4. Para saber qué debería pasar, debes encontrar la respuesta en la computadora antes de comenzar la solución. Al ingresar esta expresión en cualquier calculadora en línea, motor de búsqueda, escribir "multiplicar potencias con bases diferentes y iguales" o un paquete matemático, el resultado será 128. Ahora escribamos esta expresión: 2^3 = 2*2*2, y 2^4 = 2 *2*2*2. Resulta que 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4). Resulta que el producto de potencias con la misma base es igual a la base elevada a una potencia igual a la suma de las dos potencias anteriores.

Se podría pensar que esto es un accidente, pero no: cualquier otro ejemplo sólo puede confirmar esta regla. Así, en general, la fórmula se ve así: a^n * a^m = a^(n+m) . También existe la regla de que cualquier número elevado a cero es igual a uno. Aquí debemos recordar la regla de las potencias negativas: a^(-n) = 1 / a^n. Es decir, si 2^3 = 8, entonces 2^(-3) = 1/8. Usando esta regla, puedes probar la validez de la igualdad a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n), a^ (n) se puede reducir y queda uno. De aquí se deriva la regla de que el cociente de potencias con las mismas bases es igual a esta base en un grado igual al cociente del dividendo y el divisor: a^n: a^m = a^(n-m) . Ejemplo: simplificar la expresión 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . La multiplicación es una operación conmutativa, por lo tanto, primero debes sumar los exponentes de la multiplicación: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. A continuación debes ocuparte de la división por una potencia negativa. Es necesario restar el exponente del divisor al exponente del dividendo: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Resulta que la operación de dividir por un grado negativo es idéntica a la operación de multiplicar por un exponente positivo similar. Entonces la respuesta final es 8.

Hay ejemplos en los que tiene lugar una multiplicación de poderes no canónica. Multiplicar potencias con diferentes bases suele ser mucho más difícil, y en ocasiones incluso imposible. Se deben dar algunos ejemplos de diferentes técnicas posibles. Ejemplo: simplificar la expresión 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Obviamente, hay una multiplicación de potencias con diferentes bases. Pero cabe señalar que todas las bases son potencias de tres diferentes. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Usando la regla (a^n) ^m = a^(n*m) , debes reescribir la expresión en una forma más conveniente: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Respuesta: 3^11. En los casos en los que existen bases diferentes, la regla a^n * b^n = (a*b) ^n funciona para indicadores iguales. Por ejemplo, 3^3 * 7^3 = 21^3. De lo contrario, cuando las bases y los exponentes son diferentes, no se puede realizar la multiplicación completa. A veces es posible simplificar parcialmente o recurrir a la ayuda de la tecnología informática.

Fórmulas de grado utilizado en el proceso de reducción y simplificación de expresiones complejas, en la resolución de ecuaciones y desigualdades.

Número C es norte-ésima potencia de un número a Cuando:

Operaciones con grados.

1. Al multiplicar los grados con la misma base, se suman sus indicadores:

soy·un = un m + n .

2. Al dividir grados con la misma base se restan sus exponentes:

3. El grado del producto de 2 o más factores es igual al producto de los grados de estos factores:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. El grado de una fracción es igual a la razón entre los grados del dividendo y el divisor:

(a/b) norte = an /b norte .

5. Elevando una potencia a una potencia, se multiplican los exponentes:

(un metro) norte = un metro norte .

Cada fórmula anterior es verdadera en las direcciones de izquierda a derecha y viceversa.

Por ejemplo. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operaciones con raíces.

1. La raíz del producto de varios factores es igual al producto de las raíces de estos factores:

2. La raíz de una razón es igual a la razón entre el dividendo y el divisor de las raíces:

3. Al elevar una raíz a una potencia, basta con elevar el número radical a esta potencia:

4. Si aumentas el grado de la raíz en norte una vez y al mismo tiempo construir en norte La potencia es un número radical, entonces el valor de la raíz no cambiará:

5. Si reduce el grado de la raíz en norte extraer la raíz al mismo tiempo norte-ésima potencia de un número radical, entonces el valor de la raíz no cambiará:

Un grado con exponente negativo. La potencia de un determinado número con un exponente no positivo (entero) se define como uno dividido por la potencia del mismo número con un exponente igual al valor absoluto del exponente no positivo:

Fórmula soy:a n = a m - n se puede utilizar no sólo para metro> norte, pero también con metro< norte.

Por ejemplo. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

a formular soy:a n = a m - n se volvió justo cuando m=n, se requiere la presencia de cero grados.

Un título con índice cero. La potencia de cualquier número distinto de cero con exponente cero es igual a uno.

Por ejemplo. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grado con exponente fraccionario. Para elevar un número real A al grado Minnesota, necesitas extraer la raíz norte grado de metro-ésima potencia de este número A.

El concepto de licenciatura en matemáticas se introduce en el séptimo grado en la clase de álgebra. Y posteriormente, a lo largo de todo el curso de estudio de matemáticas, este concepto se utiliza activamente en sus diversas formas. Los títulos son un tema bastante difícil que requiere la memorización de valores y la capacidad de contar correcta y rápidamente. Para trabajar con grados más rápido y mejor, los matemáticos idearon propiedades de grado. Ayudan a reducir cálculos grandes y, hasta cierto punto, a convertir un ejemplo enorme en un solo número. No hay tantas propiedades y todas son fáciles de recordar y aplicar en la práctica. Por lo tanto, el artículo analiza las propiedades básicas del título, así como dónde se aplican.

Propiedades del grado

Examinaremos 12 propiedades de grados, incluidas propiedades de grados con las mismas bases, y daremos un ejemplo para cada propiedad. Cada una de estas propiedades le ayudará a resolver problemas con grados más rápidamente y también le evitará numerosos errores computacionales.

1ª propiedad.

Muchas personas muy a menudo se olvidan de esta propiedad y cometen errores, representando un número elevado a cero como cero.

2da propiedad.

3ra propiedad.

Hay que recordar que esta propiedad sólo se puede utilizar al multiplicar números, ¡no funciona con una suma! Y no debemos olvidar que ésta y las siguientes propiedades se aplican sólo a potencias con las mismas bases.

4ta propiedad.

Si un número en el denominador se eleva a una potencia negativa, al restar, el grado del denominador se toma entre paréntesis para cambiar correctamente el signo en cálculos posteriores.

La propiedad sólo funciona al dividir, ¡no se aplica al restar!

Quinta propiedad.

6ta propiedad.

Esta propiedad también se puede aplicar en la dirección opuesta. Una unidad dividida por un número hasta cierto punto es ese número elevado a la potencia menos.

7ma propiedad.

¡Esta propiedad no se puede aplicar a la suma y la diferencia! Para elevar una suma o diferencia a una potencia se utilizan fórmulas de multiplicación abreviadas en lugar de propiedades de potencia.

8va propiedad.

Novena propiedad.

Esta propiedad funciona para cualquier potencia fraccionaria con numerador igual a uno, la fórmula será la misma, solo la potencia de la raíz cambiará dependiendo del denominador de la potencia.

Esta propiedad también se suele utilizar a la inversa. La raíz de cualquier potencia de un número se puede representar como este número elevado a uno dividido por la potencia de la raíz. Esta propiedad es muy útil en los casos en los que no se puede extraer la raíz de un número.

Décima propiedad.

Esta propiedad no sólo funciona con raíces cuadradas y segundas potencias. Si el grado de la raíz y el grado en que se eleva esta raíz coinciden, entonces la respuesta será una expresión radical.

11ª propiedad.

Debe poder ver esta propiedad a tiempo al resolverla para evitar cálculos enormes.

12ª propiedad.

Cada una de estas propiedades se encontrará con usted más de una vez en las tareas; puede darse en su forma pura o puede requerir algunas transformaciones y el uso de otras fórmulas. Por tanto, para tomar la decisión correcta no basta con conocer sólo las propiedades, es necesario practicar e incorporar otros conocimientos matemáticos.

Aplicación de grados y sus propiedades.

Se utilizan activamente en álgebra y geometría. Las carreras de matemáticas ocupan un lugar aparte e importante. Con su ayuda, se resuelven ecuaciones y desigualdades exponenciales, y las ecuaciones y ejemplos relacionados con otras ramas de las matemáticas a menudo se complican mediante potencias. Las potencias ayudan a evitar cálculos largos y extensos; las potencias son más fáciles de abreviar y calcular. Pero para trabajar con potencias grandes, o con potencias de grandes números, es necesario conocer no sólo las propiedades de la potencia, sino también trabajar de manera competente con las bases, poder ampliarlas para facilitar la tarea. Por conveniencia, también debes conocer el significado de los números elevados a una potencia. Esto reducirá su tiempo a la hora de resolver, eliminando la necesidad de realizar cálculos prolongados.

El concepto de grado juega un papel especial en los logaritmos. Dado que el logaritmo, en esencia, es una potencia de un número.

Las fórmulas de multiplicación abreviadas son otro ejemplo del uso de potencias. En ellos no se pueden utilizar las propiedades de los grados, se desarrollan según reglas especiales, pero en cada fórmula de multiplicación abreviada hay invariablemente grados.

Los títulos también se utilizan activamente en física e informática. Todas las conversiones al sistema SI se realizan mediante potencias y, en el futuro, al resolver problemas, se utilizan las propiedades de la potencia. En informática, las potencias de dos se utilizan activamente para facilitar la cuenta y simplificar la percepción de los números. Otros cálculos para convertir unidades de medida o resolver problemas, al igual que en física, se realizan utilizando las propiedades de los grados.

Los grados también son muy útiles en astronomía, donde rara vez se ven el uso de las propiedades de un grado, pero los grados mismos se usan activamente para acortar la notación de varias cantidades y distancias.

Los grados también se utilizan en la vida cotidiana, al calcular áreas, volúmenes y distancias.

Los grados se utilizan para registrar cantidades muy grandes y muy pequeñas en cualquier campo de la ciencia.

Ecuaciones y desigualdades exponenciales.

Las propiedades de los grados ocupan un lugar especial precisamente en las ecuaciones y desigualdades exponenciales. Estas tareas son muy comunes, tanto en los cursos escolares como en los exámenes. Todos ellos se resuelven aplicando las propiedades de grado. La incógnita siempre se encuentra en el grado mismo, por lo que conocer todas las propiedades, resolver tal ecuación o desigualdad no es difícil.

En la última lección en video, aprendimos que el grado de una determinada base es una expresión que representa el producto de la base por sí misma, tomada en una cantidad igual al exponente. Estudiemos ahora algunas de las propiedades y operaciones más importantes de las potencias.

Por ejemplo, multipliquemos dos potencias diferentes con la misma base:

Presentemos este trabajo en su totalidad:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Habiendo calculado el valor de esta expresión, obtenemos el número 32. Por otro lado, como se puede ver en el mismo ejemplo, 32 se puede representar como el producto de la misma base (dos), tomado 5 veces. Y de hecho, si lo cuentas, entonces:

Por lo tanto, podemos concluir con seguridad que:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Esta regla funciona con éxito por cualquier indicador y por cualquier motivo. Esta propiedad de la multiplicación de potencias se deriva de la regla de que el significado de las expresiones se conserva durante las transformaciones de un producto. Para cualquier base a, el producto de dos expresiones (a)x y (a)y es igual a a(x + y). En otras palabras, cuando se producen expresiones con la misma base, el monomio resultante tiene un grado total formado sumando los grados de la primera y segunda expresión.

La regla presentada también funciona muy bien al multiplicar varias expresiones. La condición principal es que todos tengan las mismas bases. Por ejemplo:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Es imposible sumar grados, e incluso realizar acciones conjuntas de poder con dos elementos de una expresión si sus bases son diferentes.
Como muestra nuestro vídeo, debido a la similitud de los procesos de multiplicación y división, las reglas para sumar potencias en un producto se trasladan perfectamente al procedimiento de división. Considere este ejemplo:

Transformemos la expresión término por término a su forma completa y reduzcamos los mismos elementos en el dividendo y el divisor:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

El resultado final de este ejemplo no es tan interesante, porque ya en el proceso de resolución queda claro que el valor de la expresión es igual al cuadrado de dos. Y es dos el que se obtiene restando el grado de la segunda expresión al grado de la primera.

Para determinar el grado del cociente es necesario restar el grado del divisor del grado del dividendo. La regla funciona con la misma base para todos sus valores y para todas las potencias naturales. En forma de abstracción tenemos:

(a) x / (a) y = (a) x - y

De la regla de dividir bases idénticas con grados se sigue la definición de grado cero. Obviamente, la siguiente expresión se parece a:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Por otro lado, si hacemos la división de forma más visual, obtenemos:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Al reducir todos los elementos visibles de una fracción siempre se obtiene la expresión 1/1, es decir, uno. Por tanto, generalmente se acepta que cualquier base elevada a la potencia cero es igual a uno:

Independientemente del valor de a.

Sin embargo, sería absurdo si 0 (que todavía da 0 para cualquier multiplicación) fuera de algún modo igual a uno, por lo que una expresión de la forma (0) 0 (cero elevado a la potencia cero) simplemente no tiene sentido, y la fórmula ( a) 0 = 1 agregue una condición: “si a no es igual a 0”.

Resolvamos el ejercicio. Encontremos el valor de la expresión:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Dado que la base es la misma en todas partes e igual a 34, el valor final tendrá la misma base con un grado (de acuerdo con las reglas anteriores):

En otras palabras:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Respuesta: la expresión es igual a uno.