Ecuación de regresión múltiple en forma natural y estandarizada. Coeficientes de regresión estandarizados
Los coeficientes de la ecuación de regresión, como cualquier indicador absoluto, no se pueden utilizar en el análisis comparativo si las unidades de medida de las variables correspondientes son diferentes. Por ejemplo, si y – gastos familiares de alimentación, X 1 – tamaño de la familia, y X 2 es el ingreso familiar total, y definimos una relación como = un + b 1 X 1 + b 2 X 2 y b 2 > b 1 , entonces esto no significa que X 2 tiene un efecto más fuerte sobre y , cómo X 1 , porque b 2 es el cambio en los gastos familiares cuando los ingresos cambian en 1 rublo, y b 1 – cambio en los gastos cuando el tamaño de la familia cambia en 1 persona.
La comparabilidad de los coeficientes de las ecuaciones de regresión se logra considerando una ecuación de regresión estandarizada:
y 0 = 1 x 1 0 + 2 x 2 0 + … + m x m 0 + mi,
donde y 0 y X 0 k – valores de variables estandarizadas y Y X k :
S y y S – desviaciones estándar de variables y Y X k ,
k (k=) – -coeficientes de la ecuación de regresión (pero no parámetros de la ecuación de regresión, a diferencia de las notaciones anteriores). Los coeficientes muestran en qué parte de su desviación estándar (S y) cambiará la variable dependiente y , si la variable independiente X k cambiará por el valor de su desviación estándar (S). Las estimaciones de los parámetros de la ecuación de regresión en términos absolutos (b k) y coeficientes β están relacionados por la relación:
Los coeficientes de una ecuación de regresión en una escala estandarizada proporcionan una representación realista del impacto de las variables independientes en el indicador modelado. Si el valor del coeficiente para cualquier variable excede el valor del coeficiente correspondiente para otra variable, entonces la influencia de la primera variable en el cambio en el indicador de desempeño debe considerarse más significativa. Hay que tener en cuenta que la ecuación de regresión estandarizada, debido al centrado de variables, no tiene un término libre por construcción.
Para una regresión simple, el coeficiente coincide con el coeficiente de correlación de pares, lo que permite darle un significado significativo al coeficiente de correlación de pares.
Al analizar el impacto de los indicadores incluidos en la ecuación de regresión sobre la característica modelada, junto con los coeficientes , también se utilizan coeficientes de elasticidad. Por ejemplo, el indicador de elasticidad promedio se calcula mediante la fórmula
y muestra en qué porcentaje en promedio cambiará la variable dependiente si el valor promedio de la variable independiente correspondiente cambia en un uno por ciento (en igualdad de condiciones).
2.2.9. Variables discretas en el análisis de regresión
Normalmente, las variables de los modelos de regresión tienen rangos de variación continuos. Sin embargo, la teoría no impone ninguna restricción sobre la naturaleza de tales variables. Muy a menudo es necesario tener en cuenta en el análisis de regresión la influencia de las características cualitativas y su dependencia de diversos factores. En este caso, resulta necesario introducir variables discretas en el modelo de regresión. Las variables discretas pueden ser independientes o dependientes. Consideremos estos casos por separado. Consideremos primero el caso de variables independientes discretas.
Variables ficticias en el análisis de regresión
Para incluir características cualitativas en la regresión como variables independientes, deben digitalizarse. Un método para cuantificarlos es utilizar variables ficticias. El nombre no es del todo apropiado: no son ficticios, pero para estos fines es más conveniente usar variables que toman solo dos valores: cero o uno. Por eso fueron llamados ficticios. Normalmente, una variable cualitativa puede adoptar varios niveles de valores. Por ejemplo, género: masculino, femenino; calificación – alta, media, baja; estacionalidad: trimestres I, II, III y IV, etc. Existe una regla según la cual, para digitalizar dichas variables, es necesario ingresar el número de variables ficticias, una menos que el número de niveles del indicador modelado. Esto es necesario para que dichas variables no resulten ser linealmente dependientes.
En nuestros ejemplos: el género es una variable, igual a 1 para hombres y 0 para mujeres. La calificación tiene tres niveles, lo que significa que se necesitan dos variables ficticias: por ejemplo, z 1 = 1 para un nivel alto, 0 para otros; z 2 = 1 para el nivel medio, 0 para los demás. No se puede introducir una tercera variable similar, porque en este caso resultarían ser linealmente dependientes (z 1 + z 2 + z 3 = 1), el determinante de la matriz (X T X) pasaría a cero y no sería posible encontrar la matriz inversa (X T X) -1 sería posible. Como se sabe, las estimaciones de los parámetros de la ecuación de regresión se determinan a partir de la relación: T X) -1 X T Y).
Los coeficientes de las variables ficticias muestran cuánto difiere el valor de la variable dependiente en el nivel analizado en comparación con el nivel faltante. Por ejemplo, si el nivel salarial se modeló dependiendo de varias características y nivel de habilidad, entonces el coeficiente para z 1 mostraría cómo el salario de los especialistas con un alto nivel de calificación difiere del salario de un especialista con un bajo nivel de calificación. En igualdad de condiciones, el coeficiente z 2 tiene el mismo significado para los especialistas con un nivel medio de cualificación. En el caso de la estacionalidad, se tendrían que ingresar tres variables ficticias (si se consideran datos trimestrales) y los coeficientes sobre ellas mostrarían cómo el valor de la variable dependiente difiere para el trimestre correspondiente del nivel de la variable dependiente para el trimestre. que no se ingresó al digitalizarlos.
También se introducen variables ficticias para modelar cambios estructurales en la dinámica de los indicadores estudiados al analizar series de tiempo.
Ejemplo 4. Ecuación de regresión estandarizada y variables ficticias
Consideremos un ejemplo del uso de coeficientes estandarizados y variables ficticias usando el ejemplo del análisis del mercado de apartamentos de dos habitaciones basado en una ecuación de regresión múltiple con el siguiente conjunto de variables:
PRECIO – precio;
TOTSP – área total;
LIVSP – espacio habitable;
KITSP – área de cocina;
DIST – distancia al centro de la ciudad;
CAMINAR – igual a 1 si puedes caminar hasta la estación de metro e igual a 0 si necesitas utilizar el transporte público;
LADRILLO – igual a 1 si la casa es de ladrillo e igual a 0 si es de panel;
PISO – igual a 1 si el apartamento no está en el primer o último piso e igual a 0 en caso contrario;
TEL – igual a 1 si hay teléfono en el apartamento e igual a 1 si no;
BAL – es igual a 1 si hay balcón y es igual a 0 si no hay balcón.
Los cálculos se realizaron utilizando el software STATISTICA (Figura 2.23). La presencia de coeficientes le permite ordenar las variables según el grado de influencia sobre la variable dependiente. Realicemos un breve análisis de los resultados del cálculo.
Con base en las estadísticas de Fisher, concluimos sobre la importancia de la ecuación de regresión (nivel p< 0,05). Обработана информация о 6 286 квартирах (n–m–1 = 6 276, а m = 9). Все коэффициенты уравнения регрессии (кроме при переменной BAL) значимы (р-величины для них < 0,05), а наличие или отсутствие балкона в этом случае существенно не сказывается на цене квартиры.
Figura 2.24 – Informe del mercado de apartamentos basado en STATISTICA PPP
El coeficiente de determinación múltiple es del 52%, por lo tanto, las variables incluidas en la regresión determinan el cambio de precio en un 52%, y el 48% restante del cambio en el precio de un apartamento depende de factores no contabilizados. Incluyendo las fluctuaciones aleatorias de precios.
Cada uno de los coeficientes de una variable muestra cuánto cambiará el precio de un apartamento (en igualdad de condiciones) si esta variable cambia en uno. Así, por ejemplo, cuando el área total cambia en 1 metro cuadrado. m, el precio de un apartamento cambiará en promedio 0,791 USD, y si el apartamento se aleja 1 km del centro de la ciudad, el precio de un apartamento disminuirá en promedio 0,596 USD. etc. Las variables ficticias (últimas 5) muestran cuánto cambiará el precio promedio de un apartamento si se pasa de un nivel de esta variable a otro. Así, por ejemplo, si la casa es de ladrillo, entonces un apartamento cuesta en promedio 3104 dólares. Es decir, más caro que el mismo en una casa panel, y la presencia de un teléfono en el apartamento eleva su precio en una media de 1.493 dólares. e., etc.
Sobre la base de los coeficientes , se pueden sacar las siguientes conclusiones. El coeficiente más grande, igual a 0,514, es el coeficiente de la variable “área total”, por lo tanto, en primer lugar, el precio de un apartamento se forma bajo la influencia de su área total. El siguiente factor que influye en el cambio del precio de un apartamento es la distancia al centro de la ciudad, luego el material con el que está construida la casa, luego la zona de la cocina, etc.
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Los coeficientes de regresión estandarizados muestran cuántos sigmas cambiará el resultado promedio si el factor x correspondiente cambia en un sigma y el nivel promedio de otros factores permanece sin cambios. Debido al hecho de que todas las variables están especificadas como centradas y normalizadas, los coeficientes estandarizados de la religión D son comparables entre sí. Al compararlos entre sí, puede clasificar los factores según la fuerza de su impacto en el resultado. Ésta es la principal ventaja de los coeficientes de confesión estandarizados, en contraste con los coeficientes de la religión pura, que son incomparables.
La coherencia de los coeficientes de correlación parcial y de regresión estandarizada se ve más claramente al comparar sus fórmulas en el análisis de dos factores.
La coherencia de los coeficientes de correlación parcial y de regresión estandarizada se ve más claramente al comparar sus fórmulas en el análisis bivariado.
Para determinar los valores de las estimaciones en de los coeficientes de regresión estandarizados a (se utilizan con mayor frecuencia los siguientes métodos para resolver un sistema de ecuaciones normales: el método de los determinantes, el método de la raíz cuadrada y el método matricial. Recientemente, el método matricial ha Ha sido ampliamente utilizado para resolver problemas de análisis de regresión. Aquí consideraremos resolver un sistema de ecuaciones normales mediante el método de determinantes.
En otras palabras, en el análisis de dos factores, los coeficientes de correlación parcial son coeficientes de regresión estandarizados multiplicados por la raíz cuadrada de la relación de las proporciones de las varianzas residuales del factor fijo con respecto al factor y al resultado.
Existe otra posibilidad de evaluar el papel de las características de agrupación y su importancia para la clasificación: sobre la base de coeficientes de regresión estandarizados o coeficientes de determinación separada (ver Cap.
Como se puede ver en la tabla. 18, los componentes de la composición estudiada se distribuyeron según el valor absoluto de los coeficientes de regresión (b5) con su error cuadrático (5br) en una serie desde monóxido de carbono y ácidos orgánicos hasta aldehídos y vapores de aceite. Al calcular los coeficientes de regresión estandarizados (p), resultó que, teniendo en cuenta el rango de fluctuaciones de concentración, las cetonas y el monóxido de carbono generalmente pasan a primer plano en la formación de la toxicidad de la mezcla, mientras que los ácidos orgánicos permanecen en el tercer lugar. .
Los coeficientes de regresión pura condicional bf son números denominados expresados en diferentes unidades de medida y, por lo tanto, no son comparables entre sí. Para convertirlos en indicadores relativos comparables se utiliza la misma transformación que para obtener el coeficiente de correlación por pares. El valor resultante se denomina coeficiente o coeficiente de regresión estandarizado.
Coeficientes de regresión pura condicional A; Se denominan números expresados en diferentes unidades de medida y, por tanto, son incomparables entre sí. Para convertirlos en indicadores relativos comparables se utiliza la misma transformación que para obtener el coeficiente de correlación por pares. El valor resultante se denomina coeficiente o coeficiente de regresión estandarizado.
En el proceso de desarrollo de estándares de plantilla, se recopilan datos iniciales sobre el número de nómina del personal directivo y los valores de los factores para las empresas de base seleccionadas. A continuación, se seleccionan factores significativos para cada función basándose en el análisis de correlación, en función del valor de los coeficientes de correlación. Se seleccionan los factores con mayor valor del coeficiente de correlación del par con la función y el coeficiente de regresión estandarizado.
Los resultados de los cálculos anteriores permiten ordenar en orden decreciente los coeficientes de regresión correspondientes a la mezcla en estudio y así cuantificar el grado de peligrosidad. Sin embargo, el coeficiente de regresión obtenido de esta manera no tiene en cuenta el rango de posibles fluctuaciones de cada componente de la mezcla. Como resultado, los productos de destrucción que tienen coeficientes de regresión altos, pero que fluctúan en un rango de concentración pequeño, pueden tener menos influencia en el efecto tóxico general que los ingredientes con b relativamente pequeño, cuyo contenido en la mezcla varía en un rango más amplio. Por lo tanto, parece aconsejable realizar una operación adicional: el cálculo de los llamados coeficientes de regresión estandarizados p (J.
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Ejercicio.
- Para un conjunto de datos determinado, cree un modelo de regresión lineal múltiple. Evaluar la precisión y adecuación de la ecuación de regresión construida.
- Dar una interpretación económica de los parámetros del modelo.
- Calcule los coeficientes estandarizados del modelo y escriba la ecuación de regresión en forma estandarizada. ¿Es cierto que el precio de un bien tiene un impacto mayor en el volumen de oferta del bien que los salarios de los empleados?
- Para el modelo resultante (en forma natural), compruebe si los residuos son homocedásticos aplicando la prueba de Goldfeld-Quandt.
- Pruebe el modelo resultante para determinar la autocorrelación de residuos utilizando la prueba de Durbin-Watson.
- Compruebe si el supuesto de homogeneidad de los datos originales en el sentido de regresión es adecuado. ¿Es posible combinar dos muestras (para las primeras 8 y las 8 observaciones restantes) en una y considerar un modelo de regresión único de Y sobre X?
1. Estimación de la ecuación de regresión. Determinemos el vector de estimaciones de coeficientes de regresión utilizando el servicio de ecuaciones de regresión múltiple. Según el método de mínimos cuadrados, el vector s obtenido de la expresión: s = (X T X) -1 X T Y
Matriz X
| 1 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 193.45 | 920 |
| 1 | 160.09 | 686 |
| 1 | 157.99 | 405 |
| 1 | 123.83 | 683 |
| 1 | 152.02 | 530 |
| 1 | 130.53 | 525 |
| 1 | 137.38 | 418 |
| 1 | 137.58 | 425 |
| 1 | 118.78 | 161 |
| 1 | 142.9 | 242 |
| 1 | 99.49 | 226 |
| 1 | 116.17 | 162 |
| 1 | 185.66 | 70 |
Matriz Y
| 4.07 |
| 4 |
| 2.98 |
| 2.2 |
| 2.83 |
| 3 |
| 2.35 |
| 2.04 |
| 1.97 |
| 1.02 |
| 1.44 |
| 1.22 |
| 1.11 |
| 0.82 |
Matriz X T
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
Multiplicar matrices, (X T X)
Encuentra la matriz inversa (X T X) -1
| 2.25 | -0.0161 | 0.00037 |
| -0.0161 | 0.000132 | -7.0E-6 |
| 0.00037 | -7.0E-6 | 1.0E-6 |
El vector de estimaciones de los coeficientes de regresión es igual a
| Y(X) = |
| * |
| = |
|
Ecuación de regresión (estimación de la ecuación de regresión)
Y = 0,18 + 0,00297X 1 + 0,00347X 2
2. Matriz de coeficientes de correlación pareados R. Número de observaciones n = 14. El número de variables independientes en el modelo es 2 y el número de regresores teniendo en cuenta el vector unitario es igual al número de coeficientes desconocidos. Teniendo en cuenta el signo Y, la dimensión de la matriz se vuelve igual a 4. La matriz de variables independientes X tiene una dimensión (14 x 4).
Matriz compuesta por Y y X
| 1 | 4.07 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 4 | 193.45 | 920 |
| 1 | 2.98 | 160.09 | 686 |
| 1 | 2.2 | 157.99 | 405 |
| 1 | 2.83 | 123.83 | 683 |
| 1 | 3 | 152.02 | 530 |
| 1 | 2.35 | 130.53 | 525 |
| 1 | 2.04 | 137.38 | 418 |
| 1 | 1.97 | 137.58 | 425 |
| 1 | 1.02 | 118.78 | 161 |
| 1 | 1.44 | 142.9 | 242 |
| 1 | 1.22 | 99.49 | 226 |
| 1 | 1.11 | 116.17 | 162 |
| 1 | 0.82 | 185.66 | 70 |
Matriz transpuesta.
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 4.07 | 4 | 2.98 | 2.2 | 2.83 | 3 | 2.35 | 2.04 | 1.97 | 1.02 | 1.44 | 1.22 | 1.11 | 0.82 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
Matriz A T A.
| 14 | 31.05 | 2038.81 | 6471 |
| 31.05 | 83.37 | 4737.04 | 18230.79 |
| 2038.81 | 4737.04 | 307155.61 | 995591.55 |
| 6471 | 18230.79 | 995591.55 | 4062413 |
La matriz resultante tiene la siguiente correspondencia:
| ∑n | ∑y | ∑x1 | ∑x2 |
| ∑y | ∑ y 2 | ∑x 1 y | ∑x 2 y |
| ∑x1 | ∑yx1 | ∑x 1 2 | ∑x2x1 |
| ∑x2 | ∑yx 2 | ∑x1x2 | ∑x 2 2 |
Encontremos coeficientes de correlación de pares.
| Características x e y | ∑(xi) | ∑(yi) | ∑(x yo y yo ) | |||
| Para y y x 1 | 2038.81 | 145.629 | 31.05 | 2.218 | 4737.044 | 338.36 |
| Para y y x 2 | 6471 | 462.214 | 31.05 | 2.218 | 18230.79 | 1302.199 |
| Para x1 y x2 | 6471 | 462.214 | 2038.81 | 145.629 | 995591.55 | 71113.682 |
| Características x e y | ||||
| Para y y x 1 | 731.797 | 1.036 | 27.052 | 1.018 |
| Para y y x 2 | 76530.311 | 1.036 | 276.641 | 1.018 |
| Para x1 y x2 | 76530.311 | 731.797 | 276.641 | 27.052 |
Matriz de coeficientes de correlación de pares R:
| - | y | x1 | x2 |
| y | 1 | 0.558 | 0.984 |
| x1 | 0.558 | 1 | 0.508 |
| x2 | 0.984 | 0.508 | 1 |
Para seleccionar los factores x i más significativos, se tienen en cuenta las siguientes condiciones:
- la conexión entre la característica resultante y el factor uno debe ser mayor que la conexión entre factores;
- la relación entre factores no debe ser superior a 0,7. Si la matriz tiene un coeficiente de correlación interfactorial r xjxi > 0,7, entonces hay multicolinealidad en este modelo de regresión múltiple;
- con una alta conexión interfactorial de una característica, se seleccionan factores con un coeficiente de correlación más bajo entre ellos.
En nuestro caso, todos los coeficientes de correlación por pares |r| Modelo de regresión en escala estándar Un modelo de regresión en escala estándar asume que todos los valores de las características en estudio se convierten en estándares (valores estandarizados) mediante las fórmulas:
donde x ji es el valor de la variable x ji en la i-ésima observación.
Así, el origen de cada variable estandarizada se combina con su valor medio y su desviación estándar se toma como unidad de cambio. S.
Si la relación entre variables en una escala natural es lineal, entonces cambiar el origen y la unidad de medida no violará esta propiedad, por lo que las variables estandarizadas también estarán relacionadas por una relación lineal:
t y = ∑β j t xj
Para estimar los coeficientes β, utilizamos MCO. En este caso, el sistema de ecuaciones normales tendrá la forma:
r x1y =β 1 +r x1x2 β 2 + ... + r x1xm β m
r x2y =r x2x1 β 1 + β 2 + ... + r x2xm β m
...
r xmy =r xmx1 β 1 + r xmx2 β 2 + ... + β m
Para nuestros datos (los tomamos de la matriz de coeficientes de correlación de pares):
0,558 = β1 + 0,508β2
0,984 = 0,508β1 + β2
Resolvemos este sistema de ecuaciones lineales mediante el método gaussiano: β 1 = 0,0789; β2 = 0,944;
La forma estandarizada de la ecuación de regresión es:
y 0 = 0,0789x 1 + 0,944x 2
Los coeficientes β encontrados a partir de este sistema permiten determinar los valores de los coeficientes en regresión en escala natural mediante las fórmulas:
Coeficientes de regresión parcial estandarizados. Coeficientes de regresión parcial estandarizados: los coeficientes β (β j) muestran en qué parte de su desviación estándar S(y) cambiará el resultado y con un cambio en el factor correspondiente x j por el valor de su desviación estándar (S xj) con la influencia constante de otros factores (incluidos en la ecuación).
Por el máximo β j se puede juzgar qué factor tiene una mayor influencia en el resultado Y.
Los coeficientes de elasticidad y los coeficientes β pueden llevar a conclusiones opuestas. Las razones de esto son: a) la variación de un factor es muy grande; b) influencia multidireccional de factores sobre el resultado.
El coeficiente β j también se puede interpretar como un indicador de influencia directa (inmediata) j-ésimo factor (x j) sobre el resultado (y). En regresión múltiple j El factor número no solo tiene un efecto directo, sino también indirecto (indirecto) sobre el resultado (es decir, influencia a través de otros factores del modelo).
La influencia indirecta se mide por el valor: ∑β i r xj,xi , donde m es el número de factores en el modelo. Impacto total jth El factor sobre el resultado igual a la suma de las influencias directas e indirectas mide el coeficiente de correlación del par lineal de este factor y el resultado - r xj,y.
Entonces, para nuestro ejemplo, la influencia directa del factor x 1 sobre el resultado Y en la ecuación de regresión se mide por β j y asciende a 0,0789; la influencia indirecta (mediada) de este factor en el resultado se define como:
r x1x2 β 2 = 0,508 * 0,944 = 0,4796
En econometría, a menudo se utiliza un enfoque diferente para determinar los parámetros de regresión múltiple (2.13) con el coeficiente excluido:
Dividamos ambos lados de la ecuación por la desviación estándar de la variable explicada. S Y y presentarlo en la forma:
Dividamos y multipliquemos cada término por la desviación estándar de la variable del factor correspondiente para llegar a variables estandarizadas (centradas y normalizadas):
donde las nuevas variables se denotan como
.
Todas las variables estandarizadas tienen una media de cero y la misma varianza de uno.
La ecuación de regresión en forma estandarizada es:
Dónde 
- coeficientes de regresión estandarizados.
Coeficientes de regresión estandarizados 
difieren de los coeficientes 
forma ordinaria y natural en el sentido de que su valor no depende de la escala de medición de las variables explicadas y explicativas del modelo. Además, existe una relación simple entre ellos:
, (3.2)
lo que da otra forma de calcular los coeficientes 
por valores conocidos 
, más conveniente en el caso de, por ejemplo, un modelo de regresión de dos factores.
5.2. Sistema normal de ecuaciones de mínimos cuadrados en estandarizado.
variables
Resulta que para calcular los coeficientes de regresión estandarizados, sólo es necesario conocer los coeficientes de correlación lineal por pares. Para mostrar cómo se hace esto, excluyamos la incógnita del sistema normal de ecuaciones de mínimos cuadrados. 
usando la primera ecuación. Multiplicando la primera ecuación por ( 
) y sumando término a término con la segunda ecuación, obtenemos:
Reemplazar las expresiones entre paréntesis con las notaciones de varianza y covarianza
Reescribamos la segunda ecuación en una forma conveniente para una mayor simplificación:
Dividamos ambos lados de esta ecuación por la desviación estándar de las variables. S Y Y ` S X 1 , y divide cada término y multiplica por la desviación estándar de la variable correspondiente al número del término:
Presentamos las características de una relación estadística lineal:
y coeficientes de regresión estandarizados
,
obtenemos:
Después de transformaciones similares de todas las demás ecuaciones, el sistema normal de ecuaciones lineales de mínimos cuadrados (2.12) toma la siguiente forma más simple:
(3.3)
5.3. Opciones de regresión estandarizadas
Los coeficientes de regresión estandarizados en el caso especial de un modelo con dos factores se determinan a partir del siguiente sistema de ecuaciones:
(3.4)
Resolviendo este sistema de ecuaciones encontramos:
, (3.5)
. (3.6)
Sustituyendo los valores encontrados de los coeficientes de correlación de pares en las ecuaciones (3.4) y (3.5), obtenemos 
Y 
. Luego, utilizando las fórmulas (3.2), es fácil calcular estimaciones de los coeficientes. 
Y 
y luego, si es necesario, calcular la estimación 
según la fórmula 
6. Posibilidades de análisis económico basado en un modelo multifactorial
6.1. Coeficientes de regresión estandarizados
Los coeficientes de regresión estandarizados muestran cuántas desviaciones estándar 
la variable promedio explicada cambiará Y, si la variable explicativa correspondiente X i
cambiará por la cantidad 
una de sus desviaciones estándar manteniendo sin cambios el nivel promedio de todos los demás factores.
Debido al hecho de que en la regresión estandarizada todas las variables se especifican como variables aleatorias centradas y normalizadas, los coeficientes 
comparables entre sí. Al compararlos entre sí, puedes clasificar los factores que les corresponden. X i por la fuerza del impacto sobre la variable explicada Y. Ésta es la principal ventaja de los coeficientes de regresión estandarizados a partir de coeficientes. 
regresiones en forma natural, que son incomparables.
Esta característica de los coeficientes de regresión estandarizados permite utilizarlos al eliminar los factores menos significativos. X i con valores de sus estimaciones muestrales cercanos a cero 
. La decisión de excluirlos de la ecuación del modelo de regresión lineal se toma después de probar las hipótesis estadísticas de que su valor promedio es igual a cero.
Un coeficiente beta igual a 0,074 (Cuadro 3.2.1) muestra que si los salarios reales cambian en el valor de su desviación estándar (σх1), entonces el coeficiente de crecimiento natural de la población cambiará en promedio en 0,074 σу. Un coeficiente beta de 0,02 muestra que si la tasa bruta de matrimonios cambia en el valor de su desviación estándar (en σх2), entonces la tasa de crecimiento natural de la población cambiará en promedio en 0,02 σу. De manera similar, un cambio en el número de delitos por cada 1000 personas por el valor de su desviación estándar (por σх3) conducirá a un cambio en la característica resultante en un promedio de 0,366 σу, y a un cambio en la entrada de metros cuadrados de superficie residencial. locales por persona por año por el valor de su desviación estándar (por σх4) conduce a un cambio en la característica efectiva en un promedio de 1,32σу.
El coeficiente de elasticidad muestra en qué porcentaje en promedio y cambia con un cambio en el atributo del factor del 1%. Del análisis de series temporales se sabe que el valor de un aumento del 1% en una característica efectiva es negativo, ya que en todas las unidades de la población hay una disminución natural de la población. Por lo tanto, el crecimiento en realidad significa una reducción de las pérdidas. Esto significa que los coeficientes de elasticidad negativos en este caso reflejan el hecho de que con un aumento en cada una de las características de los factores en un 1%, el coeficiente de pérdida natural disminuirá en el porcentaje correspondiente. Con un aumento de los salarios reales del 1%, la tasa de declive natural disminuirá un 0,219%; con un aumento de la tasa general de matrimonios del 1%, disminuirá un 0,156%. Un aumento del 1% en el número de delitos por cada 1.000 habitantes se caracteriza por una reducción de la disminución natural de la población en un 0,564. Por supuesto, esto no significa que el aumento de la delincuencia pueda mejorar la situación demográfica. Los resultados obtenidos indican que cuantas más personas quedan por cada 1.000 habitantes, en consecuencia se cometen más delitos por cada mil. Incremento de los metros cuadrados de entrada. la vivienda por persona por año en un 1% conduce a una reducción de las pérdidas naturales en un 0,482%
El análisis de los coeficientes de elasticidad y los coeficientes beta muestra que la mayor influencia sobre la tasa de crecimiento natural de la población la ejerce el factor de puesta en servicio de m2 de vivienda per cápita, ya que corresponde al valor más alto del coeficiente beta (1,32). Sin embargo, esto no significa que las mayores oportunidades para cambiar la tasa de crecimiento natural de la población estén asociadas con cambios en este de los factores considerados. El resultado obtenido refleja que la demanda en el mercado inmobiliario corresponde a la oferta, es decir, cuanto mayor es el crecimiento natural de la población, mayor es la necesidad de vivienda de esta población y más se construye.
El segundo coeficiente beta más grande (0,366) corresponde al número de delitos por cada 1000 personas. Por supuesto, esto no significa que aumentando la delincuencia se pueda mejorar la situación demográfica. Los resultados obtenidos indican que cuantas más personas quedan por cada 1.000 habitantes, en consecuencia se cometen más delitos por cada mil.
El mayor de los indicadores restantes, el coeficiente beta (0,074), corresponde al indicador de salarios reales. Las mayores oportunidades para cambiar la tasa de crecimiento natural de la población están asociadas con cambios en este de los factores considerados. El indicador de la tasa general de matrimonios es inferior en este sentido a los salarios reales debido a que la disminución natural de la población en Rusia se debe, en primer lugar, a la alta tasa de mortalidad de la población, cuya tasa de crecimiento puede reducirse. más por seguridad material que por un aumento en el número de matrimonios.
3.3 Agrupación combinada de regiones por salarios reales y tasa de matrimonio general
La agrupación combinada o multidimensional es una agrupación basada en dos o más características. El valor de esta agrupación radica en que muestra no solo la influencia de cada factor en el resultado, sino también la influencia de su combinación.
Determinemos la influencia del valor de los salarios reales y la tasa general de matrimonios sobre la tasa de natalidad por cada 1000 personas.
Identifiquemos grupos típicos según las características previstas. Para ello, construiremos y analizaremos series clasificadas y de intervalo según el atributo del factor (valor salarial), determinaremos el número de grupos y el tamaño del intervalo; luego, dentro de cada grupo, construiremos una serie clasificada y de intervalo basada en el segundo criterio (tasa de matrimonio) y también estableceremos el número de grupos y el intervalo. El procedimiento para realizar este trabajo se presenta en el Capítulo 2, por lo que omitiendo los cálculos presentamos los resultados. Para el valor de los salarios reales, se han identificado 3 grupos típicos, para la tasa de matrimonio general, 2 grupos.
Elaboraremos un diseño de una tabla combinada en la que proporcionaremos la división de la población en grupos y subgrupos, así como columnas para registrar el número de regiones y la tasa de natalidad por cada 1000 personas de la población. Para los grupos y subgrupos seleccionados, calculamos las tasas de natalidad (Tabla 3.3.1)
Tabla 3.3.1
La influencia de los salarios reales y la tasa general de matrimonios en la tasa de natalidad.
Analicemos los datos obtenidos sobre la dependencia de la tasa de natalidad de los salarios reales y la tasa de matrimonio. Dado que se está estudiando una característica: la tasa de fertilidad, escribiremos los datos al respecto en una tabla de combinación de ajedrez del siguiente formulario (Tabla 3.3.2)
La agrupación combinada nos permite evaluar el grado de influencia sobre la tasa de natalidad de cada factor por separado y su interacción.
Tabla 3.3.2
Dependencia de la tasa de natalidad de los salarios reales y las tasas de matrimonio
Estudiemos primero el efecto sobre la tasa de natalidad del valor de los salarios reales a un valor fijo de otra característica de agrupación: la tasa de matrimonio. Así, con una tasa de matrimonio de 13,2 a 25,625, la tasa de natalidad promedio aumenta a medida que aumentan los salarios de 9,04 en el primer grupo a 9,16 en el segundo grupo y 9,56 en el tercero; el aumento de la tasa de natalidad debido a los salarios en el tercer grupo en comparación con el primero es: 9,56-9,04 = 0,52 personas por 1000 habitantes. Con una tasa de matrimonio de 25,625-38,05, el aumento con el mismo salario es igual a: 10,27-9,49 = 0,78 personas por 1000 habitantes. El aumento por la interacción de factores es igual a: 0,78-0,52 = 0,26 personas por 1000 habitantes. De esto se desprende una conclusión completamente natural: un aumento en el bienestar motiva, o más bien permite, con confianza en el futuro, hacer realidad el deseo de una persona de casarse y formar una familia con hijos. Esto muestra la interacción de factores.
De la misma manera, estimaremos el impacto sobre la tasa de fertilidad de la tasa de matrimonio a un nivel de salario fijo. Para ello, comparemos la tasa de natalidad de los grupos “a” y “b” dentro de cada grupo según el valor de los salarios reales. El aumento de la tasa de natalidad con un aumento de la tasa de matrimonio a 25,625-38,05 por 1000 habitantes en comparación con el grupo "a" es: en el primer grupo con un salario de 5707,9 - 6808,7 rublos. por mes - 9,49-9,04 = 0,45 personas por 1000 habitantes, en el segundo grupo - 10,01-9,16 = 0,85 personas por 1000 habitantes y en el 3er - 10,27- 9,56=0,71 personas por 1000 habitantes. Como puede ver, la decisión de tener un hijo depende del estado civil, es decir. hay una interacción de factores, dando un aumento de 0,26 personas por 1000 habitantes.
Con un aumento conjunto de ambos factores, la tasa de natalidad aumenta de 9,04 en el subgrupo 1 “a” a 10,27 personas por 1000 habitantes en el subgrupo 3 “b”.
Representantes de la Comisión Económica de las Naciones Unidas para Europa anunciaron recientemente que la edad del primer matrimonio en los países europeos ha aumentado en cinco años. Los chicos y las chicas prefieren casarse después de los 30. Los rusos no se atreven a casarse antes de los 24-26 años. También es común a Europa y Rusia una tendencia hacia la reducción del número de matrimonios. Los jóvenes prefieren cada vez más la carrera y la libertad personal. Los expertos nacionales ven en estos procesos signos de una profunda crisis en la familia tradicional. En su opinión, ella está literalmente viviendo sus últimos días. Los sociólogos afirman que la vida privada atraviesa actualmente un período de reestructuración. La familia en el sentido habitual de la palabra, que vive según el esquema "mamá-padre-hijos", se está convirtiendo gradualmente en una cosa del pasado. En la vida privada, los rusos experimentan cada vez más, inventan cada vez más formas nuevas de familia que satisfagan las necesidades de la época. "Ahora una persona cambia cada vez más de trabajo, profesión, intereses, lugar de residencia", dijo a Novye Izvestia Anatoly Vishnevsky, director del Centro de Demografía y Ecología Humana. "También cambia a menudo de cónyuge, lo que hace 20 años se consideraba inaceptable .”
Los sociólogos señalan que una de las razones del aumento de los divorcios en Rusia es el bajo nivel de vida de la población. "Según las estadísticas, en Rusia hay aproximadamente entre un 10 y un 15% más de divorcios que en Europa", dijo a NI Gontmakher (director científico del Centro de Investigación e Innovación Social). – Pero los motivos del divorcio son diferentes para nosotros y para ellos. Nuestra primacía viene dictada principalmente por el hecho de que los problemas económicos afectan cada vez más la vida de los rusos. Los cónyuges se pelean con más frecuencia si las condiciones de vida son difíciles. Los jóvenes no siempre logran vivir de forma independiente. Además, en las regiones muchos hombres beben, no trabajan y no pueden mantener a sus familias. Esta también es una razón para el divorcio”.
Conclusión
En este trabajo se realizó un análisis estadístico y económico de la influencia del nivel de vida de la población en los procesos de crecimiento natural.
Un análisis de la dinámica mostró que en los últimos 10 años ha habido un aumento de los salarios reales y del costo de vida. En general, durante estos 10 años, el atributo efectivo, el coeficiente de crecimiento natural, es estacionario. La estabilidad de los procesos de cambio emergentes en las características seleccionadas es tal que hacer un pronóstico sólo es posible para el valor de los salarios reales y la tasa de mortalidad. Según la tendencia parabólica acumulada, en 2010 el valor previsto del salario real medio será de 17.473,5 rublos y la tasa de mortalidad disminuirá a 12,75 personas por 1.000.
La agrupación analítica mostró una relación directa entre los indicadores: con un aumento de los salarios, los indicadores de crecimiento natural mejoran.
Sin embargo, una familia de dos trabajadores con un salario medio puede proporcionar un nivel mínimo de consumo para 2 hijos - en el grupo típico más bajo, 3 hijos - en los grupos típicos medio y alto. Teniendo en cuenta que dos hijos “reemplazarán” la vida de sus padres en el futuro, un ligero aumento de la población sólo es posible en los grupos típicos medio y alto, y bajo la condición de una tasa de mortalidad baja en comparación con la tasa de natalidad. El potencial de fertilidad que en Rusia viene asociado a los salarios es bajo para mejorar la situación demográfica del país. Esto revela precisamente la necesidad de introducir en Rusia un proyecto demográfico nacional. Un aumento de los salarios tiene un efecto más favorable sobre la tasa de mortalidad que sobre la tasa de natalidad.
La construcción de un modelo de correlación-regresión reveló que la influencia simultánea de las características de los factores (salarios, tasas de matrimonio, tasas de criminalidad y contratación de vivienda) sobre las productivas (incremento natural) se observa con una fuerza de conexión promedio. La variación en la tasa de crecimiento natural de la población en un 44,9% se caracteriza por la influencia de factores seleccionados y en un 55,1% por otras razones aleatorias y no contabilizadas. Las mayores oportunidades para cambiar la tasa de crecimiento natural de la población están asociadas con cambios en el valor de los salarios reales.
El grupo combinado confirmó que un aumento en el bienestar motiva, o más bien permite, con confianza en el futuro, hacer realidad el deseo de una persona de casarse y formar una familia con hijos.
Y, por último, es necesario evaluar la eficacia de la solución del problema demográfico en nuestro país. En general, se ha demostrado la influencia positiva y efectiva de los incentivos materiales en el proceso de movimiento natural de la población. Otra cosa es que existe un complejo de problemas sociopsicológicos (alcoholismo, violencia, suicidio) que están reduciendo inexorablemente nuestra población. Su razón principal es la actitud de una persona hacia sí misma y hacia los demás. Pero estos problemas no pueden ser resueltos solo por el Estado; la sociedad civil debe acudir en su ayuda en el problema de la extinción, formando valores morales centrados en la creación de una familia próspera.
Y el Estado puede y debe hacer todo lo posible para mejorar el nivel y la calidad de vida en el país. No se puede decir que nuestro Estado descuide estas responsabilidades. Está haciendo todo lo posible, buscando y ensayando diferentes salidas a la crisis demográfica.
Lista de literatura usada
1) Borisov E.F. Teoría económica: libro de texto - 2ª ed., revisada. y adicional – M.: TK Welby, Editorial Prospekt, 2005. – 544 p.
2) Belousova S. análisis del nivel de pobreza.// Economista.-2006, No. 10.-p.67
3) Davydova L. A. Teoría de la estadística. Tutorial. Moscú. Avenida. 2005. 155 págs.;
4) Demografía: Libro de texto/General. ed. SOBRE EL. Volgina. M.: Editorial RAGS, 2003 – 384 p.
5) Efimova E. P. Estadísticas sociales. Moscú. Finanzas y estadísticas. 2003. 559 págs.;
6)Efimova E.P., Ryabtsev V.M. Teoría general de la estadística. Edición educativa. Moscú. Finanzas y estadísticas. 1991. 304 págs.;
7)Zinchenko A.P. Taller de teoría general de la estadística y estadística agrícola. Moscú. Finanzas y estadísticas. 1988. 328 págs.;
8) Kadomtseva S. Política social y población.// Economista.-2006, No. 7.-p.49
9) Kozyrev V.M. Fundamentos de la economía moderna: libro de texto. -2ª ed., revisada. y adicional –M.: Finanzas y Estadísticas, 2001.-432 p.
10) Konygina N. Brintseva G. El demógrafo Anatoly Vishnevsky sobre lo que obliga a un ruso a elegir entre los niños y la comodidad. // Rossiyskaya Gazeta. - 2006, 7 de noviembre - No. 249 - p. 7
11) Nazarova N.G. Curso de estadística social. Moscú. Finstatinform. 2000. 770 págs.;
13) Fundamentos de demografía: Libro de texto / N.V. Zvereva, I.N. Veselkova, V.V. Elizarov.-M.: Superior. Shk., 2004.-374 p.: enfermo.
14) Discurso del Presidente de la Federación de Rusia a la Asamblea Federal de la Federación de Rusia de 26 de abril de 2007.
15) Raisberg B.A., Lozovsky L.Sh., Starodubtseva E.B. Diccionario económico moderno. –4ª ed., revisada. y adicional -M.:INFRA-M, 2005.-480 p.
16)Rudakova R.P., Bukin L.L., Gavrilov V.I. Taller de estadística. -SPb.: Peter, 2007.-288pp.
17) Sitio web del Servicio Federal de Estadísticas www.gks.ru
18) Shaikin D.N. Evaluación prospectiva de la población de Rusia a medio plazo. // Cuestiones de estadística. - 2007, núm. 4 – p. 47
SISTEMA DE INDICADORES (CLAVE DE CHIPS)
1 salario nominal mensual medio en 2006 (en rublos)
2 índices de precios al consumidor para todo tipo de bienes y servicios pagos en 2006 como porcentaje en comparación con diciembre del año pasado
3 - salario real mensual promedio en 2006 (en rublos)
4 – población a principios de 2006
5 – población a finales de 2006
6 – población media anual en 2006
7 – número de nacimientos en 2006, personas
8 – número de muertes en 2006, personas
9 – tasa de natalidad en 2006 por 1000 habitantes
10 – tasa de mortalidad en 2006 por 1000 habitantes
11 – tasa de aumento natural en 2006 por 1000 habitantes
12 – el costo de vida para 2006 (en rublos)
13 – número de delitos cometidos por cada 1000 personas
14 – puesta en servicio de m2 de vivienda por persona por año
15 – tasa general de matrimonio por cada 1000 habitantes
Anexo 1
Mesa
Salarios reales, frote.
Apéndice 2
El costo de la vida, frote.
Apéndice 3
