Se llama al valor óptimo de la función objetivo. Pruebas para el control del conocimiento actual.

Divida la tercera fila por el elemento clave igual a 5, obtenemos la tercera fila de la nueva tabla.

Las columnas básicas corresponden a las columnas unitarias.

Cálculo de otros valores de la tabla:

“BP – Plan Básico”:

; ;

"x1": ; ;

"x5": ; .

Los valores de la cadena índice no son negativos, por lo tanto obtenemos la solución óptima: , ; .

Respuesta: el beneficio máximo de la venta de productos manufacturados, igual a 160/3 unidades, está garantizado por la producción únicamente de productos del segundo tipo en una cantidad de 80/9 unidades.

Tarea número 2

Se presenta un problema de programación no lineal. Encuentre el máximo y mínimo de la función objetivo mediante el método gráfico-analítico. Formule la función de Lagrange y demuestre que en los puntos extremos se satisfacen condiciones suficientes para el mínimo (máximo).

Porque el último dígito del cifrado es 8, entonces A=2; B=5.

Porque el penúltimo dígito del cifrado es 1, entonces debes elegir la tarea número 1.

Solución:

1) Dibujemos el área definida por el sistema de desigualdades.

Esta área es el triángulo ABC con coordenadas de vértice: A(0; 2); B(4; 6) y C(16/3; 14/3).

Los niveles de la función objetivo son círculos con el centro en el punto (2; 5). Los cuadrados de los radios serán los valores de la función objetivo. Luego, la figura muestra que el valor mínimo de la función objetivo se alcanza en el punto H, el máximo, ya sea en el punto A o en el punto C.

El valor de la función objetivo en el punto A: ;

El valor de la función objetivo en el punto C: ;

Esto significa que el valor máximo de la función se alcanza en el punto A(0; 2) y es igual a 13.

Encontremos las coordenadas del punto H.

Para hacer esto, considere el sistema:

ó

ó

Una recta es tangente a una circunferencia si la ecuación tiene solución única. Una ecuación cuadrática tiene solución única si el discriminante es 0.

Entonces ; ; - valor mínimo de la función.

2) Compongamos la función de Lagrange para encontrar la solución mínima:

En X 1 =2.5; X 2 =4.5 obtenemos:

ó

El sistema tiene una solución en , es decir Se satisfacen condiciones suficientes para el extremo.

Compongamos la función de Lagrange para encontrar la solución máxima:

Condiciones suficientes para un extremo:

En X 1 =0; X 2 =2 obtenemos:

ó ó

El sistema también tiene una solución, es decir. Se satisfacen condiciones suficientes para el extremo.

Respuesta: El mínimo de la función objetivo se logra cuando ; ; El máximo de la función objetivo se alcanza en ; .

Tarea número 3

A dos empresas se les asignan fondos por la cantidad d unidades. Al asignar la primera empresa por un año. X unidades de fondos que proporciona ingresos k 1 X unidades, y cuando se asigna a una segunda empresa y unidades de fondos, proporciona ingresos k 1 y unidades. El saldo de fondos al final del año para la primera empresa es igual a nx, y para el segundo mi. ¿Cómo distribuir todos los fondos en 4 años para que el ingreso total sea mayor? Resuelva el problema utilizando el método de programación dinámica.

i=8,k=1.

A=2200; k1 =6; k2 =1; n=0,2; m=0,5.

Solución:

Dividimos el período completo de 4 años en 4 etapas, cada una de las cuales equivale a un año. Enumeremos las etapas a partir del primer año. Sean X k e Y k los fondos asignados respectivamente a las empresas A y B en la k-ésima etapa. Entonces la suma X k + Y k = a k es la cantidad total de fondos utilizados en k – esa etapa y el resto de la etapa anterior k – 1. en la primera etapa, se utilizan todos los fondos asignados y a 1 = 2200 unidades . el ingreso que se recibirá en la k – esa etapa, con la asignación de unidades X k e Y k será 6X k + 1Y k. Sea el ingreso máximo recibido en las últimas etapas a partir de k – esa etapa sea f k (a k) unidades. Escribamos la ecuación funcional de Bellman que expresa el principio de optimización: cualquiera que sea el estado inicial y la solución inicial, la solución posterior debe ser óptima con respecto al estado obtenido como resultado del estado inicial:

Para cada etapa es necesario seleccionar el valor X k, y el valor y k=unk- Xk. Teniendo esto en cuenta, encontraremos los ingresos en la k-ésima etapa:

La ecuación funcional de Bellman será:

Consideremos todas las etapas, comenzando por la última.

(ya que el máximo de la función lineal se logra al final del segmento en x 4 = a 4);

Construyamos en el plano un conjunto de soluciones factibles del sistema de desigualdades lineales y encontremos geométricamente el valor mínimo de la función objetivo.

Construimos líneas rectas en el sistema de coordenadas x 1 x 2

Encontramos los semiplanos definidos por el sistema. Dado que las desigualdades del sistema se satisfacen para cualquier punto del semiplano correspondiente, basta con verificarlas para cualquier punto. Usamos el punto (0;0). Sustituyamos sus coordenadas en la primera desigualdad del sistema. Porque , entonces la desigualdad define un semiplano que no contiene el punto (0;0). De manera similar definimos los semiplanos restantes. Encontramos el conjunto de soluciones factibles como la parte común de los semiplanos resultantes; esta es el área sombreada.

Construimos un vector y una línea de nivel cero perpendicular a él.

Moviendo la recta (5) en la dirección del vector y vemos que el punto máximo de la región estará en el punto A de la intersección de la recta (3) y la recta (2). Encontramos la solución al sistema de ecuaciones:

Esto significa que entendimos el punto (13;11) y.

Moviendo la recta (5) en la dirección del vector y vemos que el punto mínimo de la región estará en el punto B de la intersección de la recta (1) y la recta (4). Encontramos la solución al sistema de ecuaciones:

Esto significa que obtuvimos el punto (6;6) y.

2. Una empresa de muebles produce armarios y mesas de ordenador combinados. Su producción está limitada por la disponibilidad de materias primas (tableros de alta calidad, herrajes) y el tiempo de funcionamiento de las máquinas que los procesan. Para cada armario se necesitan 5 m2 de tablas, para una mesa, 2 m2. Los accesorios cuestan $10 por un gabinete y $8 por una mesa. La empresa puede recibir de sus proveedores hasta 600 m2 de tableros al mes y accesorios por un valor de $2.000. Cada gabinete requiere 7 horas de operación de la máquina y la mesa requiere 3 horas. En total se pueden utilizar un total de 840 horas de funcionamiento de la máquina al mes.

¿Cuántos gabinetes combinados y mesas de computadora debe producir una empresa por mes para maximizar las ganancias si un gabinete genera $100 de ganancias y cada escritorio genera $50?

• 1. Crea un modelo matemático del problema y resuélvelo usando el método simplex.
• 2. Crea un modelo matemático del problema dual, escribe su solución en base a la solución del original.
• 3. Establecer el grado de escasez de los recursos utilizados y justificar la rentabilidad del plan óptimo.
• 4. Explorar las posibilidades de seguir aumentando la producción en función del uso de cada tipo de recurso.
• 5. Evalúe la viabilidad de introducir un nuevo tipo de producto: estanterías, si la fabricación de una estantería cuesta 1 m 2 de tableros y accesorios por valor de 5 dólares, y es necesario dedicar 0,25 horas de funcionamiento de la máquina y el beneficio de la venta de un estante cuesta $20.
• 1. Construyamos un modelo matemático para este problema:

Denotemos por x 1 el volumen de producción de gabinetes y x 2 el volumen de producción de mesas. Creemos un sistema de restricciones y una función objetivo:

Resolvemos el problema mediante el método simplex. Escribámoslo en forma canónica:

Escribamos los datos de la tarea en forma de tabla:

tabla 1

Porque Ahora que todos los deltas son mayores que cero, entonces es imposible aumentar aún más el valor de la función objetivo f y hemos obtenido un plan óptimo.

Introducción

La etapa actual del desarrollo humano se caracteriza por el hecho de que la era de la energía está siendo reemplazada por la era de la informática. Hay una introducción intensiva de nuevas tecnologías en todos los ámbitos de la actividad humana. Existe un problema real de transición a una sociedad de la información, para el cual el desarrollo de la educación debería convertirse en una prioridad. La estructura del conocimiento en la sociedad también está cambiando. Los conocimientos fundamentales que contribuyen al desarrollo creativo del individuo son cada vez más importantes para la vida práctica. También son importantes la constructividad de los conocimientos adquiridos y la capacidad de estructurarlos de acuerdo con el objetivo. Los nuevos recursos de información de la sociedad se forman sobre la base del conocimiento. La formación y adquisición de nuevos conocimientos debe basarse en una metodología estricta de enfoque sistémico, dentro de la cual el enfoque modelo ocupa un lugar especial. Las posibilidades del enfoque modelo son extremadamente diversas, tanto en términos de los modelos formales utilizados como en los métodos de implementación de los métodos de modelado. El modelado físico permite obtener resultados confiables para sistemas bastante simples.

Actualmente, es imposible nombrar un área de la actividad humana en la que no se utilizarían métodos de modelado en un grado u otro. Esto se aplica especialmente a la gestión de diversos sistemas, donde el proceso principal es la toma de decisiones basada en la información recibida.

1. Planteamiento del problema

función objetivo mínima

Resuelva el problema de encontrar el mínimo de la función objetivo para el sistema de restricciones especificado por el polígono de solución de acuerdo con la opción No. 16 de la tarea. El polígono de solución se muestra en la Figura 1:

Figura 1 - Polígono de soluciones al problema.

El sistema de restricciones y la función objetivo del problema se presentan a continuación:

Es necesario resolver el problema utilizando los siguientes métodos:

Método gráfico para la resolución de problemas de LP;

Método algebraico para la resolución de problemas de LP;

Método simplex para resolver problemas de LP;

Método para encontrar una solución admisible a los problemas de LP;

Solución del problema del LP dual;

Método de ramificación y unión para resolver problemas de LP con números enteros;

Método Gomori para resolver problemas LP de números enteros;

Método de Balazs para la resolución de problemas booleanos de LP.

Compare los resultados de la solución utilizando diferentes métodos y saque conclusiones apropiadas sobre el trabajo.

2. Solución gráfica al problema de programación lineal.

El método gráfico para resolver problemas de programación lineal se utiliza en los casos en que el número de incógnitas no supera las tres. Conveniente para la investigación cualitativa de las propiedades de las soluciones y se utiliza junto con otros métodos (algebraico, ramificado y ligado, etc.). La idea del método se basa en la solución gráfica de un sistema de desigualdades lineales.

Arroz. 2 Solución gráfica del problema LP

Punto minimo

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos A1 y A2:

AB: (0;1); (3;3)

VS: (3;3); (4;1)

CD: (4;1); (3;0)

EA: (1;0); (0;1)

CF: (0;1); (5;2)

con restricciones:

Resolver un problema de programación lineal utilizando el método algebraico simplex

La aplicación de un método algebraico para resolver un problema requiere una generalización de la representación del problema PL. El sistema original de restricciones, especificado en forma de desigualdades, se convierte a una notación estándar cuando las restricciones se especifican en forma de igualdades. Convertir un sistema de restricciones a una forma estándar incluye los siguientes pasos:

Transforme las desigualdades para que haya variables y términos libres a la izquierda y 0 a la derecha, es decir de modo que el lado izquierdo sea mayor o igual a cero;

Introducir variables adicionales, cuyo número sea igual al número de desigualdades en el sistema de restricciones;

Al introducir restricciones adicionales sobre la no negatividad de las variables agregadas, reemplace los signos de desigualdad con signos de igualdad estricta.

Al resolver un problema de PL mediante el método algebraico, se agrega una condición: la función objetivo debe tender al mínimo. Si no se cumple esta condición, es necesario transformar la función objetivo en consecuencia (multiplicar por -1) y resolver el problema de minimización. Una vez encontrada la solución, sustituya los valores de las variables en la función original y calcule su valor.

La solución de un problema mediante el método algebraico se considera óptima cuando los valores de todas las variables básicas no son negativos y los coeficientes de las variables libres en la ecuación de la función objetivo tampoco son negativos. Si no se cumplen estas condiciones, es necesario transformar el sistema de desigualdades, expresando unas variables en términos de otras (cambiando variables libres y básicas) para lograr el cumplimiento de las restricciones anteriores. El valor de todas las variables libres se considera igual a cero.

El método algebraico para resolver problemas de programación lineal es uno de los métodos más efectivos para resolver problemas de pequeña escala manualmente porque No requiere una gran cantidad de cálculos aritméticos. La implementación mecánica de este método es más complicada que, por ejemplo, la del método simplex, porque El algoritmo de solución que utiliza el método algebraico es hasta cierto punto heurístico y la eficacia de la solución depende en gran medida de la experiencia personal.

variables libres

callejón - adicional equipo

Se cumplen las condiciones de no negatividad, por lo que se ha encontrado la solución óptima.

3. Resolver un problema de programación lineal usando una tabla simplex

Solución: Llevemos el problema a una forma estándar para resolverlo utilizando una tabla simplex.

Reduzcamos todas las ecuaciones del sistema a la forma:

Construimos una tabla simplex:

En la esquina superior de cada celda de la tabla ingresamos los coeficientes del sistema de ecuaciones;

Seleccionamos el elemento máximo positivo en la fila F, excepto que esta será la columna general;

Para encontrar el elemento general, construimos una relación para todos los positivos. 3/3; 9/1;- relación mínima en la línea x3. Por lo tanto, la cadena general y =3, el elemento general.

Encontramos =1/=1/3. Lo llevamos a la esquina inferior de la celda donde se ubica el elemento general;

En todas las esquinas inferiores vacías de la línea general ingresamos el producto del valor en la esquina superior de la celda por;

Seleccione las esquinas superiores de la línea general;

En todas las esquinas inferiores de la columna general ingresamos el producto del valor en la esquina superior por - y seleccionamos los valores resultantes;

Las celdas restantes de la tabla se completan como productos de los elementos seleccionados correspondientes;

Luego construimos una nueva tabla en la que se intercambian las designaciones de las celdas de los elementos de la columna y fila general (x2 y x3);

Los valores que anteriormente estaban en la esquina inferior se escriben en la esquina superior de la fila y columna general anterior;

La suma de los valores de las esquinas superior e inferior de estas celdas en la tabla anterior se escribe en la esquina superior de las celdas restantes.

4. Resolver un problema de programación lineal encontrando una solución admisible

Sea un sistema de ecuaciones algebraicas lineales:

Podemos suponer que todo lo es, de lo contrario multiplicamos la ecuación correspondiente por -1.

Introducimos variables auxiliares:

También introducimos una función auxiliar.

Minimizaremos el sistema bajo restricciones (2) y condiciones.

REGLA PARA ENCONTRAR UNA SOLUCIÓN PERMITIDA: Para encontrar una solución admisible para el sistema (1), minimizamos la forma (3) bajo las restricciones (2), tomando xj como incógnitas libres y xj como bases.

Al resolver un problema mediante el método simplex se pueden presentar dos casos:

min f=0, entonces todo i debe ser igual a cero. Y los valores resultantes de xj constituirán una solución admisible al sistema (1).

mín f>0, es decir el sistema original no tiene una solución factible.

Sistema fuente:

Se utiliza la condición del problema del tema anterior.

Introduzcamos variables adicionales:

Se ha encontrado una solución admisible al problema original: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Con base en la solución factible obtenida, encontraremos la solución óptima al problema original utilizando el método simplex. Para ello, construiremos una nueva tabla simplex a partir de la tabla obtenida anteriormente, eliminando la fila y la fila con la función objetivo del problema auxiliar:

Analizando la tabla simplex construida, vemos que ya se ha encontrado la solución óptima para el problema original (los elementos de la fila correspondiente a la función objetivo son negativos). Así, la solución factible encontrada al resolver el problema auxiliar coincide con la solución óptima del problema original:

6. Problema de programación lineal dual

El sistema original de restricciones y la función objetivo del problema se muestran en la siguiente figura.

con restricciones:

Solución: llevemos el sistema de restricciones a una forma estándar:

El problema dual a éste tendrá la forma:

La solución del problema dual se realizará mediante un método simplex simple.

Transformemos la función objetivo para que se resuelva el problema de minimización y escribamos el sistema de restricciones en forma estándar para resolverlo utilizando el método simplex.

y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 +y3 + y4+ y5)

y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)

Ф = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??min

Construyamos una tabla simplex inicial para resolver el problema dual LP.

Segundo paso del método simplex

Entonces, en el tercer paso del método simplex, se encontró una solución óptima al problema de minimización con los siguientes resultados: y2 = -7/8, y1 = -11/8, Ф = 12. Para encontrar el valor de la función objetivo del problema dual, sustituimos los valores encontrados de las variables básica y libre en la función de maximización:

Фmáx = - Фmín = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12

Dado que el valor de la función objetivo de los problemas directo y dual coincide, se encuentra la solución al problema directo y es igual a 12.

Fmín = Фmáx = -12

7. Resolver un problema de programación lineal entera utilizando el método de rama y límite

Transformemos el problema original de tal manera que la condición del número entero no se cumpla cuando se resuelva utilizando métodos convencionales.

Polígono inicial de soluciones a un problema de programación entera.

Para el polígono de soluciones transformado, construiremos un nuevo sistema de restricciones.

Anotamos el sistema de restricciones en forma de igualdades a resolver mediante el método algebraico.

Como resultado de la solución, se encontró el plan óptimo para el problema: x1 = 9/4, x2 = 5/2, F = -41/4. Esta solución no cumple con la condición de número entero establecida en el problema. Dividamos el polígono de la solución original en dos áreas, excluyendo el área 3

Polígono de solución de problema modificado

Creemos nuevos sistemas de restricciones para las áreas resultantes del polígono de solución. El área izquierda es un cuadrilátero (trapezoide). A continuación se presenta el sistema de restricciones para la región izquierda del polígono solución.

Sistema de restricción para la zona izquierda.

El área de la derecha representa el punto C.

A continuación se presenta el sistema de restricciones para la región de decisión correcta.

Los nuevos sistemas de restricciones representan dos problemas auxiliares que deben resolverse independientemente uno del otro. Resolvamos un problema de programación entera para la región izquierda del polígono solución.

Como resultado de la solución, se encontró el plan óptimo para el problema: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Este plan satisface la condición de que las variables del problema sean enteras y pueda aceptarse como el plan de referencia óptimo para el problema de programación lineal entera original. No tiene sentido buscar la región de solución correcta. La siguiente figura muestra el progreso de la resolución de un problema de programación lineal entera en forma de árbol.

Progreso en la resolución de un problema de programación lineal entera utilizando el método Gomori.

En muchas aplicaciones prácticas, es de gran interés un problema de programación entera en el que se da un sistema de desigualdades lineales y una forma lineal.

Se requiere encontrar una solución entera al sistema (1), que minimice la función objetivo F, y todos los coeficientes sean números enteros.

Gomori propuso uno de los métodos para resolver el problema de programación entera. La idea del método es utilizar métodos de programación lineal continua, en particular, el método simplex.

1) Utilizando el método simplex, se determina la solución al problema (1), (2), para lo cual se elimina el requisito de una solución entera; si la solución resulta ser un número entero, entonces también se encontrará la solución deseada al problema de los números enteros;

2) De lo contrario, si alguna coordenada no es un número entero, se verifica la solución resultante al problema para determinar la posibilidad de la existencia de una solución entera (la presencia de puntos enteros en un poliedro admisible):

si en cualquier fila con un término libre fraccionario todos los demás coeficientes resultan ser números enteros, entonces no hay números enteros ni puntos en el poliedro admisible y el problema de programación entera no tiene solución;

De lo contrario, se introduce una restricción lineal adicional, que corta una parte del poliedro admisible que no es prometedora para encontrar una solución al problema de programación entera;

3) Para construir una restricción lineal adicional, seleccione la l-ésima fila con un término libre fraccionario y escriba la restricción adicional

donde y son respectivamente partes fraccionarias de los coeficientes y libres

miembro. Introduzcamos una variable auxiliar en la restricción (3):

Determinemos los coeficientes incluidos en la restricción (4):

donde y son los números enteros más cercanos desde abajo para y respectivamente.

Gomori demostró que un número finito de pasos similares conduce a un problema de programación lineal cuya solución es entera y, por tanto, la deseada.

Solución: llevemos el sistema de restricciones lineales y la función objetivo a la forma canónica:

Determinemos la solución óptima al sistema de restricciones lineales, descartando temporalmente la condición de número entero. Usamos el método simplex para esto. A continuación, secuencialmente en las tablas, se presenta la solución original del problema y se dan las transformaciones de la tabla original para obtener la solución óptima al problema:

Resolución de problemas booleanos de LP mediante el método Balazs.

Crea tu propia versión para un problema de programación lineal entera con variables booleanas, teniendo en cuenta las siguientes reglas: el problema utiliza al menos 5 variables, al menos 4 restricciones, los coeficientes de las restricciones y la función objetivo se eligen arbitrariamente, pero en tal de manera que el sistema de restricciones sea compatible. La tarea es resolver el LCLP con variables booleanas utilizando el algoritmo de Balazs y determinar la reducción en la complejidad de los cálculos en relación con la resolución del problema utilizando el método de búsqueda exhaustiva.

Ejecución de restricciones

valor f

Limitación de filtrado:

Determinación de la reducción del esfuerzo computacional.

La solución al problema utilizando el método de búsqueda exhaustiva es 6*25=192 expresiones calculadas. La solución al problema utilizando el método Balazs es 3*6+(25-3)=47 expresiones calculadas. La reducción total de la complejidad de los cálculos en relación con la resolución del problema mediante el método de búsqueda exhaustiva es:

Conclusión

El proceso de diseño de sistemas de información que implementan nuevas tecnologías de la información se mejora constantemente. La atención de los ingenieros de sistemas se centra cada vez más en sistemas complejos, lo que dificulta el uso de modelos físicos y aumenta la importancia de los modelos matemáticos y la simulación mecánica de sistemas. La simulación de máquinas se ha convertido en una herramienta eficaz para estudiar y diseñar sistemas complejos. La relevancia de los modelos matemáticos aumenta continuamente debido a su flexibilidad, adecuación a los procesos reales y el bajo costo de implementación sobre la base de las PC modernas. Cada vez se ofrecen más oportunidades al usuario, es decir, al especialista en modelado de sistemas mediante tecnología informática. El uso de modelos es especialmente eficaz en las primeras etapas del diseño de sistemas automatizados, cuando el coste de las decisiones erróneas es más significativo.

Las herramientas informáticas modernas han permitido aumentar significativamente la complejidad de los modelos utilizados en el estudio de sistemas; se ha hecho posible construir modelos combinados, analíticos y de simulación que tengan en cuenta toda la variedad de factores que ocurren en los sistemas reales, es decir, , el uso de modelos más adecuados a los fenómenos en estudio.

Literatura:

1. Lyashchenko I.N. Programación lineal y no lineal / I.N. Lyashchenko, E.A. Karagodova, N.V. Chernikova, N.Z. Shor. - K.: “Escuela superior”, 1975, 372 p.

2. Pautas para completar un proyecto de curso en la disciplina "Matemáticas Aplicadas" para estudiantes de la especialidad "Sistemas y Redes Computacionales" de tiempo completo y tiempo parcial / Compilado por: I.A. Balakireva, A.V. Skatkov - Sebastopol: SevNTU Editorial, 2003. - 15 p.

3. Pautas para el estudio de la disciplina “Matemáticas Aplicadas”, sección “Métodos de búsqueda global y minimización unidimensional” / Comp. A. V. Skatkov, I. A. Balakireva, L. A. Litvinova - Sebastopol: Editorial SevGTU, 2000. - 31 p.

4. Pautas para el estudio de la disciplina "Matemáticas Aplicadas" para estudiantes de la especialidad "Sistemas y Redes Computacionales" Sección "Resolución de problemas de programación lineal entera" para educación a tiempo completo y parcial / Compilado por: I.A. Balakireva, A.V. Skatkov - Sebastopol : Editorial SevNTU, 2000. - 13 p.

5. Akulich I.L. Programación matemática en ejemplos y problemas:

6. Libro de texto subsidio para estudiantes de economía. especialista. universidades.-M.: Superior. escuela, 1986.- 319 p., ill.

7. Andronov S.A. Métodos de diseño óptimos: Texto de conferencias / SPbSUAP. San Petersburgo, 2001. 169 p.: enfermo.

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Si un problema de programación lineal tiene sólo dos variables, entonces se puede resolver gráficamente.

Considere un problema de programación lineal con dos variables y:
(1.1) ;
(1.2)
Aquí hay números arbitrarios. La tarea puede ser encontrar el máximo (max) o encontrar el mínimo (min). El sistema de restricciones puede contener tanto señales como señales.

Construcción del dominio de soluciones factibles.

El método gráfico para resolver el problema (1) es el siguiente.
Primero, dibujamos los ejes de coordenadas y seleccionamos la escala. Cada una de las desigualdades del sistema de restricciones (1.2) define un semiplano acotado por la recta correspondiente.

Entonces, la primera desigualdad
(1.2.1)
define un semiplano limitado por una línea recta. A un lado de esta línea recta y al otro lado. En línea muy recta. Para saber de qué lado se cumple la desigualdad (1.2.1), elegimos un punto arbitrario que no se encuentra en la recta. A continuación, sustituimos las coordenadas de este punto en (1.2.1). Si se cumple la desigualdad, entonces el semiplano contiene el punto seleccionado. Si la desigualdad no se cumple, entonces el semiplano se encuentra en el otro lado (no contiene el punto seleccionado). Sombrea el semiplano para el cual se cumple la desigualdad (1.2.1).

Hacemos lo mismo para las desigualdades restantes del sistema (1.2). De esta forma obtenemos semiplanos sombreados. Los puntos de la región de soluciones factibles satisfacen todas las desigualdades (1.2). Por lo tanto, gráficamente, la región de soluciones factibles (ADA) es la intersección de todos los semiplanos construidos. Sombreando el ODR. Es un polígono convexo cuyas caras pertenecen a las rectas construidas. Además, un ODF puede ser una figura convexa ilimitada, un segmento, un rayo o una línea recta.

También puede darse el caso de que los semiplanos no contengan puntos comunes. Entonces el dominio de soluciones factibles es el conjunto vacío. Este problema no tiene soluciones.

El método se puede simplificar. No es necesario sombrear cada semiplano, pero primero construye todas las líneas rectas.
(2)
A continuación, seleccione un punto arbitrario que no pertenezca a ninguna de estas líneas. Sustituye las coordenadas de este punto en el sistema de desigualdades (1.2). Si se satisfacen todas las desigualdades, entonces la región de soluciones factibles está limitada por las líneas rectas construidas e incluye el punto seleccionado. Sombreamos la región de soluciones factibles a lo largo de los límites de las líneas para que incluya el punto seleccionado.

Si no se satisface al menos una desigualdad, se elige otro punto. Y así sucesivamente hasta encontrar un punto cuyas coordenadas satisfagan el sistema (1.2).

Encontrar el extremo de la función objetivo.

Entonces, tenemos una región sombreada de soluciones factibles (ADA). Está limitado por una línea discontinua formada por segmentos y rayos pertenecientes a las rectas construidas (2). El ODS es siempre un conjunto convexo. Puede ser un conjunto acotado o no acotado en algunas direcciones.

Ahora podemos buscar el extremo de la función objetivo.
(1.1) .

Para hacer esto, elige cualquier número y construye una línea recta.
(3) .
Para facilitar una presentación adicional, asumimos que esta línea recta pasa por el ODR. En esta línea la función objetivo es constante e igual a . Esta línea recta se llama línea de nivel de función. Esta recta divide el plano en dos semiplanos. En un semiplano
.
En otro semiplano
.
Es decir, a un lado de la recta (3) la función objetivo aumenta. Y cuanto más alejemos el punto de la recta (3), mayor será el valor. Al otro lado de la recta (3), la función objetivo disminuye. Y cuanto más muevamos el punto desde la recta (3) hacia el otro lado, menor será el valor. Si trazamos una recta paralela a la recta (3), entonces la nueva recta también será una recta de nivel de la función objetivo, pero con un valor diferente.

Así, para encontrar el valor máximo de la función objetivo, es necesario trazar una recta paralela a la recta (3), lo más alejada posible de ella en la dirección de los valores crecientes, y que pase por al menos un punto. del IMPAR. Para encontrar el valor mínimo de la función objetivo es necesario trazar una recta paralela a la recta (3) y lo más alejada posible de ella en el sentido de los valores decrecientes, y que pase por al menos un punto del ODD.

Si el ODR es ilimitado, entonces puede surgir el caso en que no se pueda trazar esa línea directa. Es decir, no importa cómo retiremos la línea recta de la línea de nivel (3) en la dirección de aumento (disminución), la línea recta siempre pasará por el ODR. En este caso puede ser arbitrariamente grande (pequeño). Por tanto, no existe un valor máximo (mínimo). El problema no tiene soluciones.

Consideremos el caso en el que la línea extrema paralela a una línea arbitraria de la forma (3) pasa por un vértice del polígono ODR. A partir del gráfico determinamos las coordenadas de este vértice. Entonces el valor máximo (mínimo) de la función objetivo está determinado por la fórmula:
.
La solución al problema es
.

También puede darse el caso de que la línea recta sea paralela a una de las caras del ODR. Luego, la línea recta pasa por dos vértices del polígono ODR. Determinamos las coordenadas de estos vértices. Para determinar el valor máximo (mínimo) de la función objetivo, puede utilizar las coordenadas de cualquiera de estos vértices:
.
El problema tiene infinitas soluciones. La solución es cualquier punto ubicado en el segmento entre los puntos y , incluidos los puntos y ellos mismos.

Un ejemplo de resolución de un problema de programación lineal utilizando el método gráfico.

La tarea

La empresa produce vestidos de dos modelos A y B. Se utilizan tres tipos de tejidos. Para hacer un vestido del modelo A se necesitan 2 m de tela del primer tipo, 1 m de tela del segundo tipo, 2 m de tela del tercer tipo. Para hacer un vestido del modelo B se necesitan 3 m de tela del primer tipo, 1 m de tela del segundo tipo, 2 m de tela del tercer tipo. Las existencias de tejido del primer tipo son de 21 m, del segundo tipo de 10 m y del tercer tipo de 16 m. La producción de un producto del tipo A genera unos ingresos de 400 den. unidades, un producto tipo B - 300 den. unidades

Elaborar un plan de producción que proporcione a la empresa los mayores ingresos. Resuelve el problema gráficamente.

Solución

Sean las variables y denotan el número de vestidos producidos, modelos A y B, respectivamente. Entonces la cantidad de tejido del primer tipo consumida será:
(metro)
La cantidad de tejido del segundo tipo consumida será:
(metro)
La cantidad de tejido del tercer tipo consumida será:
(metro)
Como el número de vestidos producidos no puede ser negativo, entonces
Y .
Los ingresos por los vestidos producidos serán:
(unidades de densidad)

Entonces el modelo económico-matemático del problema tiene la forma:

Lo solucionamos gráficamente.
Dibujamos los ejes de coordenadas y .

Estamos construyendo una línea recta.
En .
En .
Traza una línea recta que pase por los puntos (0; 7) y (10,5; 0).

Estamos construyendo una línea recta.
En .
En .
Traza una línea recta que pase por los puntos (0; 10) y (10; 0).

Estamos construyendo una línea recta.
En .
En .
Dibuja una línea recta que pase por los puntos (0; 8) y (8; 0).

Sombreamos el área para que el punto (2; 2) caiga en la parte sombreada. Obtenemos el cuadrilátero OABC.

(A1.1) .
En .
En .
Traza una línea recta que pase por los puntos (0; 4) y (3; 0).

Observamos además que dado que los coeficientes de y de la función objetivo son positivos (400 y 300), aumenta a medida que aumenta. Trazamos una recta paralela a la recta (A1.1), lo más alejada posible de ella en sentido creciente y que pase por al menos un punto del cuadrilátero OABC. Dicha línea pasa por el punto C. A partir de la construcción determinamos sus coordenadas.
.

La solución del problema: ;

Respuesta

.
Es decir, para obtener el mayor ingreso es necesario confeccionar 8 vestidos del modelo A. El ingreso será de 3200 den. unidades

Ejemplo 2

La tarea

Resolver gráficamente un problema de programación lineal.

Solución

Lo solucionamos gráficamente.
Dibujamos los ejes de coordenadas y .

Estamos construyendo una línea recta.
En .
En .
Traza una línea recta que pase por los puntos (0; 6) y (6; 0).

Estamos construyendo una línea recta.
De aquí.
En .
En .
Traza una línea recta que pase por los puntos (3; 0) y (7; 2).

Estamos construyendo una línea recta.
Construimos una línea recta (eje de abscisas).

La región de soluciones admisibles (ADA) está limitada por las líneas rectas construidas. Para saber de qué lado, notamos que el punto pertenece a la ODR, ya que satisface el sistema de desigualdades:

Sombreamos el área a lo largo de los límites de las líneas construidas para que el punto (4; 1) caiga en la parte sombreada. Obtenemos el triángulo ABC.

Construimos una línea arbitraria del nivel de la función objetivo, por ejemplo,
.
En .
En .
Dibuje una línea recta y nivelada que pase por los puntos (0; 6) y (4; 0).
Dado que la función objetivo aumenta al aumentar y , trazamos una línea recta paralela a la línea de nivel y lo más lejos posible de ella en la dirección de aumentar y que pasa por al menos un punto del triángulo ABC. Dicha línea pasa por el punto C. A partir de la construcción determinamos sus coordenadas.
.

La solución del problema: ;

Respuesta

Ejemplo de no solución

La tarea

Resolver gráficamente un problema de programación lineal. Encuentre el valor máximo y mínimo de la función objetivo.

Solución

Resolvemos el problema gráficamente.
Dibujamos los ejes de coordenadas y .

Estamos construyendo una línea recta.
En .
En .
Traza una línea recta que pase por los puntos (0; 8) y (2.667; 0).

Estamos construyendo una línea recta.
En .
En .
Traza una línea recta que pase por los puntos (0; 3) y (6; 0).

Estamos construyendo una línea recta.
En .
En .
Traza una línea recta que pase por los puntos (3; 0) y (6; 3).

Las líneas rectas son los ejes de coordenadas.

La región de soluciones admisibles (ADA) está limitada por las líneas rectas construidas y los ejes de coordenadas. Para saber de qué lado, notamos que el punto pertenece a la ODR, ya que satisface el sistema de desigualdades:

Sombreamos el área para que el punto (3; 3) caiga en la parte sombreada. Obtenemos un área ilimitada delimitada por la línea discontinua ABCDE.

Construimos una línea arbitraria del nivel de la función objetivo, por ejemplo,
(A3.1) .
En .
En .
Traza una línea recta que pase por los puntos (0; 7) y (7; 0).
Dado que los coeficientes de y son positivos, aumenta al aumentar y .

Para encontrar el máximo, es necesario trazar una línea paralela, que esté lo más alejada posible en la dirección creciente y que pase por al menos un punto de la región ABCDE. Sin embargo, dado que el área es ilimitada en el lado de valores grandes de y , no se puede trazar una línea tan recta. No importa qué línea dibujemos, siempre habrá puntos en la región que estén más distantes en la dirección de aumentar y . Por tanto no hay máximo. puedes hacerlo tan grande como quieras.

Buscamos el mínimo. Trazamos una recta paralela a la recta (A3.1) y lo más alejada posible de ella en sentido decreciente, y que pase por al menos un punto de la región ABCDE. Dicha línea pasa por el punto C. A partir de la construcción determinamos sus coordenadas.
.
Valor mínimo de la función objetivo:

Respuesta

No existe un valor máximo.
Valor mínimo
.