Cálculo del volumen de un cuerpo de rotación mediante una integral definida. Volumen de un cuerpo de rotación.

I. Volúmenes de cuerpos de revolución. Estudie preliminarmente el Capítulo XII, párrafos 197, 198 del libro de texto de G. M. Fikhtengolts * Analice en detalle los ejemplos dados en el párrafo 198.

508. Calcula el volumen de un cuerpo formado al girar una elipse alrededor del eje Ox.

De este modo,

530. Encuentre el área de superficie formada por la rotación alrededor del eje Ox del arco sinusoide y = sen x desde el punto X = 0 hasta el punto X = It.

531. Calcula el área de superficie de un cono de altura h y radio r.

532. Calcula la superficie formada.

rotación del astroide x3 -)- y* - a3 alrededor del eje Ox.

533. Calcule el área de superficie formada al girar el bucle de la curva 18 ug - x (6 - x) z alrededor del eje Ox.

534. Encuentre la superficie del toroide producida por la rotación del círculo X2 - j - (y-3)2 = 4 alrededor del eje Ox.

535. Calcula el área de superficie formada por la rotación del círculo X = a costo, y = asint alrededor del eje Ox.

536. Calcula el área de superficie formada por la rotación del bucle de la curva x = 9t2, y = St - 9t3 alrededor del eje Ox.

537. Encuentra el área de superficie formada al girar el arco de la curva x = e*sint, y = el cost alrededor del eje Ox

de t = 0 a t = —.

538. Demuestre que la superficie producida por la rotación del arco cicloide x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) alrededor del eje Oy es igual a 16 u2 o2.

539. Encuentra la superficie obtenida al girar el cardioide alrededor del eje polar.

540. Encuentra el área de superficie formada por la rotación de la lemniscata. Alrededor del eje polar.

Tareas adicionales para el Capítulo IV

Áreas de figuras planas.

541. Encuentra el área completa de la región delimitada por la curva. Y el eje Buey.

542. Encuentra el área de la región delimitada por la curva.

Y el eje Buey.

543. Encuentra la parte del área de la región ubicada en el primer cuadrante y acotada por la curva.

l ejes de coordenadas.

544. Encuentra el área de la región contenida dentro.

bucles:

545. Encuentra el área de la región delimitada por un bucle de la curva:

546. Encuentra el área de la región contenida dentro del bucle:

547. Encuentra el área de la región delimitada por la curva.

Y el eje Buey.

548. Encuentra el área de la región delimitada por la curva.

Y el eje Buey.

549. Encuentra el área de la región delimitada por el eje Oxr.

recta y curva

Cómo calcular el volumen de un cuerpo de rotación.
usando una integral definida?

En general, existen muchas aplicaciones interesantes en el cálculo integral; utilizando una integral definida, se puede calcular el área de una figura, el volumen de un cuerpo de rotación, la longitud de un arco, el área de la superficie de rotación y mucho más. Así que será divertido, ¡manténganse optimistas!

Imagine una figura plana en el plano de coordenadas. ¿Introducido? ... Me pregunto quién presentó qué... =))) Ya hemos encontrado su área. Pero, además, esta figura también se puede girar, y girar de dos formas:

- alrededor del eje de abscisas;
- alrededor del eje de ordenadas.

Este artículo examinará ambos casos. El segundo método de rotación es especialmente interesante; causa la mayor dificultad, pero en realidad la solución es casi la misma que en la rotación más común alrededor del eje x. Como beneficio adicional volveré a problema de encontrar el área de una figura, y te diré cómo encontrar el área de la segunda manera: a lo largo del eje. No es tanto una ventaja ya que el material encaja bien con el tema.

Comencemos con el tipo de rotación más popular.

figura plana alrededor de un eje

Calcular el volumen de un cuerpo obtenido al girar una figura delimitada por líneas alrededor de un eje.

Solución: Como en el problema de encontrar el área, la solución comienza con el dibujo de una figura plana. Es decir, en el plano es necesario construir una figura delimitada por las rectas, y no olvides que la ecuación especifica el eje. En las páginas se puede encontrar cómo completar un dibujo de manera más eficiente y rápida. Gráficas y propiedades de funciones elementales. Y . Este es un recordatorio chino, y en este punto no me extenderé más.

El dibujo aquí es bastante simple:

La figura plana deseada está sombreada en azul, es la que gira alrededor del eje, como resultado de la rotación el resultado es un platillo volante ligeramente ovoide y simétrico respecto al eje. De hecho, el cuerpo tiene un nombre matemático, pero soy demasiado vago para aclarar algo en el libro de referencia, así que seguimos adelante.

¿Cómo calcular el volumen de un cuerpo de rotación?

El volumen de un cuerpo de revolución se puede calcular mediante la fórmula:

En la fórmula, el número debe estar presente antes de la integral. Así sucedió: todo lo que gira en la vida está conectado con esta constante.

Creo que es fácil adivinar cómo establecer los límites de integración "a" y "be" a partir del dibujo completo.

Función... ¿qué es esta función? Miremos el dibujo. La figura plana está delimitada por la gráfica de la parábola en la parte superior. Esta es la función que está implícita en la fórmula.

En tareas prácticas, a veces se puede ubicar una figura plana debajo del eje. Esto no cambia nada: el integrando en la fórmula se eleva al cuadrado: , por lo tanto la integral siempre es no negativa, lo cual es muy lógico.

Calculemos el volumen de un cuerpo de rotación usando esta fórmula:

Como ya señalé, la integral casi siempre resulta sencilla, lo principal es tener cuidado.

Respuesta:

En tu respuesta debes indicar la dimensión - unidades cúbicas. Es decir, en nuestro cuerpo de rotación hay aproximadamente 3,35 “cubos”. ¿Por qué cúbico? unidades? Porque la formulación más universal. Podría haber centímetros cúbicos, podría haber metros cúbicos, podría haber kilómetros cúbicos, etc., esa es la cantidad de hombres verdes que tu imaginación puede poner en un platillo volante.

Encuentra el volumen de un cuerpo formado por rotación alrededor del eje de una figura delimitada por líneas , ,

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Consideremos dos problemas más complejos, que también se encuentran a menudo en la práctica.

Calcula el volumen del cuerpo que se obtiene al girar alrededor del eje de abscisas de la figura delimitada por las rectas , , y

Solución: Representaremos en el dibujo una figura plana delimitada por las rectas , , , , sin olvidar que la ecuación define el eje:

La figura deseada está sombreada en azul. Cuando gira alrededor de su eje, resulta ser un donut surrealista con cuatro esquinas.

Calculemos el volumen del cuerpo de rotación como diferencia en volúmenes de cuerpos.

Primero, miremos la figura rodeada en rojo. Cuando gira alrededor de un eje se obtiene un cono truncado. Denotaremos el volumen de este cono truncado por .

Considere la figura rodeada de un círculo verde. Si giras esta figura alrededor del eje, también obtendrás un cono truncado, solo que un poco más pequeño. Denotemos su volumen por .

Y, obviamente, la diferencia de volúmenes es exactamente el volumen de nuestro “donut”.

Usamos la fórmula estándar para encontrar el volumen de un cuerpo de revolución:

1) La figura rodeada en rojo está delimitada arriba por una línea recta, por lo tanto:

2) La figura rodeada en verde está delimitada arriba por una línea recta, por lo tanto:

3) Volumen del cuerpo de revolución deseado:

Respuesta:

Es curioso que en este caso la solución se pueda comprobar mediante la fórmula escolar para calcular el volumen de un cono truncado.

La decisión en sí suele estar escrita de forma más breve, algo como esto:

Ahora descansemos un poco y te hablemos de las ilusiones geométricas.

La gente suele tener ilusiones asociadas con los volúmenes, como lo notó Perelman (otro) en el libro. Geometría entretenida. Mire la figura plana en el problema resuelto: parece tener un área pequeña y el volumen del cuerpo de revolución es de poco más de 50 unidades cúbicas, lo que parece demasiado grande. Por cierto, una persona media bebe durante toda su vida el equivalente a una habitación de 18 metros cuadrados de líquido, lo que, por el contrario, parece un volumen demasiado pequeño.

Después de una digresión lírica, lo más apropiado es resolver un problema creativo:

Calcula el volumen de un cuerpo formado por rotación alrededor del eje de una figura plana delimitada por las rectas , , donde .

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Tenga en cuenta que todos los casos ocurren en la banda; en otras palabras, en realidad se dan límites de integración ya establecidos. Dibuja las gráficas de funciones trigonométricas correctamente, déjame recordarte el material de la lección sobre transformaciones geométricas de gráficos: si el argumento se divide por dos: , entonces las gráficas se estiran dos veces a lo largo del eje. Es recomendable encontrar al menos 3-4 puntos. según tablas trigonométricas para completar el dibujo con mayor precisión. Solución completa y respuesta al final de la lección. Por cierto, la tarea se puede resolver de forma racional y no muy racional.

Cálculo del volumen de un cuerpo formado por rotación.
figura plana alrededor de un eje

El segundo párrafo será aún más interesante que el primero. La tarea de calcular el volumen de un cuerpo de revolución alrededor del eje de ordenadas también es una tarea bastante común en los trabajos de prueba. En el camino se considerará problema de encontrar el área de una figura el segundo método es la integración a lo largo del eje, esto le permitirá no solo mejorar sus habilidades, sino también enseñarle a encontrar el camino de solución más rentable. ¡Esto también tiene un significado práctico para la vida! Como recordó con una sonrisa mi profesora de métodos de enseñanza de las matemáticas, muchos graduados le agradecieron con las palabras: "Su asignatura nos ayudó mucho, ahora somos administradores eficaces y gestionamos al personal de manera óptima". Aprovechando esta oportunidad, también le expreso mi gran agradecimiento, sobre todo porque utilizo los conocimientos adquiridos para el fin previsto =).

Se lo recomiendo a todo el mundo, incluso a los tontos. Además, el material aprendido en el segundo párrafo será de gran ayuda para calcular integrales dobles..

Dada una figura plana delimitada por las líneas , , .

1) Encuentra el área de una figura plana delimitada por estas líneas.
2) Encuentra el volumen del cuerpo que se obtiene al rotar una figura plana delimitada por estas líneas alrededor del eje.

¡Atención! Incluso si sólo quieres leer el segundo punto, ¡asegúrate de leer primero el primero!

Solución: La tarea consta de dos partes. Empecemos por el cuadrado.

1) Hagamos un dibujo:

Es fácil ver que la función especifica la rama superior de la parábola y la función especifica la rama inferior de la parábola. Ante nosotros hay una parábola trivial que “está de lado”.

La figura deseada, cuyo área se encuentra, está sombreada en azul.

¿Cómo encontrar el área de una figura? Se puede encontrar de la forma “habitual”, que se comentó en clase. Integral definida. Cómo calcular el área de una figura. Además, el área de la figura se encuentra como la suma de las áreas:
- en el segmento ;
- en el segmento.

Es por eso:

¿Por qué la solución habitual es mala en este caso? En primer lugar, tenemos dos integrales. En segundo lugar, hay raíces en las integrales, y las raíces en las integrales no son un regalo y, además, uno puede confundirse al sustituir los límites de integración. De hecho, las integrales, por supuesto, no matan, pero en la práctica todo puede ser mucho más triste, simplemente seleccioné funciones "mejores" para el problema.

Hay una solución más racional: consiste en pasar a funciones inversas e integrar a lo largo del eje.

¿Cómo llegar a funciones inversas? En términos generales, es necesario expresar "x" hasta "y". Primero, veamos la parábola:

Esto es suficiente, pero asegurémonos de que se pueda derivar la misma función de la rama inferior:

Es más fácil con una línea recta:

Ahora mire el eje: incline periódicamente la cabeza hacia la derecha 90 grados mientras explica (¡esto no es una broma!). La figura que necesitamos se encuentra en el segmento, que está indicado por la línea de puntos roja. En este caso, en el segmento la línea recta se encuentra encima de la parábola, lo que significa que el área de la figura debe encontrarse utilizando la fórmula que ya conoce: . ¿Qué ha cambiado en la fórmula? Sólo una carta y nada más.

! Nota: Se deben establecer los límites de integración a lo largo del eje. estrictamente de abajo hacia arriba!

Encontrar el área:

Por tanto, en el segmento:

Tenga en cuenta cómo llevé a cabo la integración, esta es la forma más racional y en el siguiente párrafo de la tarea quedará claro por qué.

Para los lectores que dudan de la exactitud de la integración, encontraré derivados:

Se obtiene la función integrando original, lo que significa que la integración se realizó correctamente.

Respuesta:

2) Calculemos el volumen del cuerpo formado por la rotación de esta figura alrededor del eje.

Volveré a dibujar el dibujo con un diseño ligeramente diferente:

Entonces, la figura sombreada en azul gira alrededor del eje. El resultado es una “mariposa flotante” que gira alrededor de su eje.

Para encontrar el volumen de un cuerpo de rotación, integraremos a lo largo del eje. Primero tenemos que ir a funciones inversas. Esto ya se ha hecho y descrito en detalle en el párrafo anterior.

Ahora volvemos a inclinar la cabeza hacia la derecha y estudiamos nuestra figura. Obviamente, el volumen de un cuerpo de rotación debe calcularse como la diferencia de volúmenes.

Giramos la figura rodeada en rojo alrededor del eje, dando como resultado un cono truncado. Denotemos este volumen por .

Giramos la figura rodeada en verde alrededor del eje y la denotamos por el volumen del cuerpo de rotación resultante.

El volumen de nuestra mariposa es igual a la diferencia de volúmenes.

Usamos la fórmula para encontrar el volumen de un cuerpo de revolución:

¿Cuál es la diferencia con la fórmula del párrafo anterior? Sólo en la carta.

Pero la ventaja de la integración, de la que hablé recientemente, es mucho más fácil de encontrar. , en lugar de elevar primero el integrando a la cuarta potencia.

Respuesta:

Tenga en cuenta que si gira la misma figura plana alrededor de un eje, obtendrá un cuerpo de rotación completamente diferente, con un volumen diferente, naturalmente.

Dada una figura plana delimitada por rectas y un eje.

1) Ir a funciones inversas y encontrar el área de una figura plana acotada por estas rectas integrando sobre la variable.
2) Calcular el volumen del cuerpo que se obtiene al girar alrededor del eje una figura plana delimitada por estas líneas.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Los interesados ​​también pueden encontrar el área de una figura de la forma “habitual”, comprobando así el punto 1). Pero si, repito, giras una figura plana alrededor de un eje, obtendrás un cuerpo de rotación completamente diferente con un volumen diferente, por cierto, la respuesta correcta (también para aquellos a los que les gusta resolver problemas).

La solución completa a los dos puntos propuestos de la tarea se encuentra al final de la lección.

Sí, ¡y no olvides inclinar la cabeza hacia la derecha para comprender los cuerpos de rotación y los límites de la integración!

Estaba por terminar el artículo, pero hoy trajeron un ejemplo interesante solo para encontrar el volumen de un cuerpo de revolución alrededor del eje de ordenadas. Fresco:

Calcula el volumen de un cuerpo formado por rotación alrededor del eje de una figura acotada por curvas y .

Solución: Hagamos un dibujo:

A lo largo del camino, nos familiarizamos con las gráficas de algunas otras funciones. Aquí hay una gráfica interesante de una función par...

El volumen de un cuerpo de revolución se puede calcular mediante la fórmula:

En la fórmula, el número debe estar presente antes de la integral. Así sucedió: todo lo que gira en la vida está conectado con esta constante.

Creo que es fácil adivinar cómo establecer los límites de integración "a" y "be" a partir del dibujo completo.

Función... ¿qué es esta función? Miremos el dibujo. La figura plana está delimitada por la gráfica de la parábola en la parte superior. Esta es la función que está implícita en la fórmula.

En tareas prácticas, a veces se puede ubicar una figura plana debajo del eje. Esto no cambia nada: la función en la fórmula se eleva al cuadrado: , por lo tanto el volumen de un cuerpo de revolución siempre es no negativo, lo cual es muy lógico.

Calculemos el volumen de un cuerpo de rotación usando esta fórmula:

Como ya señalé, la integral casi siempre resulta sencilla, lo principal es tener cuidado.

Respuesta:

En su respuesta, debe indicar la dimensión: unidades cúbicas. Es decir, en nuestro cuerpo de rotación hay aproximadamente 3,35 “cubos”. ¿Por qué cúbico? unidades? Porque la formulación más universal. Podría haber centímetros cúbicos, podría haber metros cúbicos, podría haber kilómetros cúbicos, etc., esa es la cantidad de hombres verdes que tu imaginación puede poner en un platillo volante.

Ejemplo 2

Encuentra el volumen de un cuerpo formado por rotación alrededor del eje de una figura delimitada por líneas , ,

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Consideremos dos problemas más complejos, que también se encuentran a menudo en la práctica.

Ejemplo 3

Calcula el volumen del cuerpo que se obtiene al girar alrededor del eje de abscisas de la figura delimitada por las rectas , , y

Solución: Dibujemos en el dibujo una figura plana delimitada por las rectas , , , , sin olvidar que la ecuación define el eje:

La figura deseada está sombreada en azul. Cuando gira alrededor de su eje, resulta ser un donut surrealista con cuatro esquinas.

Calculemos el volumen del cuerpo de rotación como diferencia en volúmenes de cuerpos.

Primero, miremos la figura rodeada en rojo. Cuando gira alrededor de un eje se obtiene un cono truncado. Denotaremos el volumen de este cono truncado por .

Considere la figura rodeada de un círculo verde. Si giras esta figura alrededor del eje, también obtendrás un cono truncado, solo que un poco más pequeño. Denotemos su volumen por .

Y, obviamente, la diferencia de volúmenes es exactamente el volumen de nuestro “donut”.

Usamos la fórmula estándar para encontrar el volumen de un cuerpo de revolución:

1) La figura rodeada en rojo está delimitada arriba por una línea recta, por lo tanto:

2) La figura rodeada en verde está delimitada arriba por una línea recta, por lo tanto:

3) Volumen del cuerpo de revolución deseado:

Respuesta:

Es curioso que en este caso la solución se pueda comprobar mediante la fórmula escolar para calcular el volumen de un cono truncado.

La decisión en sí suele estar escrita de forma más breve, algo como esto:

Ahora descansemos un poco y te hablemos de las ilusiones geométricas.

La gente a menudo tiene ilusiones asociadas con los volúmenes, que fueron notadas por Perelman (no ese) en el libro. Geometría entretenida. Mire la figura plana en el problema resuelto: parece tener un área pequeña y el volumen del cuerpo de revolución es de poco más de 50 unidades cúbicas, lo que parece demasiado grande. Por cierto, una persona media bebe durante toda su vida el equivalente a una habitación de 18 metros cuadrados de líquido, lo que, por el contrario, parece un volumen demasiado pequeño.

En general, el sistema educativo de la URSS era verdaderamente el mejor. El mismo libro de Perelman, escrito por él en 1950, desarrolla muy bien, como dijo el humorista, el pensamiento y enseña a buscar soluciones originales y no estándar a los problemas. Recientemente releí algunos capítulos con mucho interés, lo recomiendo, es accesible incluso para humanistas. No, no hace falta que sonrías porque te ofrecí tiempo libre, la erudición y los amplios horizontes en la comunicación son algo grandioso.

Después de una digresión lírica, lo más apropiado es resolver un problema creativo:

Ejemplo 4

Calcula el volumen de un cuerpo formado por rotación alrededor del eje de una figura plana delimitada por las rectas , , donde .

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Tenga en cuenta que todo sucede en la banda, en otras palabras, los límites de integración prácticamente ya están dados. También trate de dibujar correctamente gráficas de funciones trigonométricas; si el argumento se divide por dos: entonces las gráficas se estiran dos veces a lo largo del eje. Intenta encontrar al menos 3-4 puntos. según tablas trigonométricas y completar con mayor precisión el dibujo. Solución completa y respuesta al final de la lección. Por cierto, la tarea se puede resolver de forma racional y no muy racional.

Cálculo del volumen de un cuerpo formado por rotación.
figura plana alrededor de un eje

El segundo párrafo será aún más interesante que el primero. La tarea de calcular el volumen de un cuerpo de revolución alrededor del eje de ordenadas también es una tarea bastante común en los trabajos de prueba. En el camino se considerará problema de encontrar el área de una figura el segundo método es la integración a lo largo del eje, esto le permitirá no solo mejorar sus habilidades, sino también enseñarle a encontrar el camino de solución más rentable. ¡Esto también tiene un significado práctico para la vida! Como recordó con una sonrisa mi profesora de métodos de enseñanza de las matemáticas, muchos graduados le agradecieron con las palabras: "Su asignatura nos ayudó mucho, ahora somos administradores eficaces y gestionamos al personal de manera óptima". Aprovechando esta oportunidad, también le expreso mi gran agradecimiento, sobre todo porque utilizo los conocimientos adquiridos para el fin previsto =).

Ejemplo 5

Dada una figura plana delimitada por las líneas , , .

1) Encuentra el área de una figura plana delimitada por estas líneas.
2) Encuentra el volumen del cuerpo que se obtiene al rotar una figura plana delimitada por estas líneas alrededor del eje.

¡Atención! Incluso si sólo quieres leer el segundo punto, primero Necesariamente lee el primero!

Solución: La tarea consta de dos partes. Empecemos por el cuadrado.

1) Hagamos un dibujo:

Es fácil ver que la función especifica la rama superior de la parábola y la función especifica la rama inferior de la parábola. Ante nosotros hay una parábola trivial que “está de lado”.

La figura deseada, cuyo área se encuentra, está sombreada en azul.

¿Cómo encontrar el área de una figura? Se puede encontrar de la forma “habitual”, que se comentó en clase. Integral definida. Cómo calcular el área de una figura. Además, el área de la figura se encuentra como la suma de las áreas:
- en el segmento ;
- en el segmento.

Es por eso:

¿Por qué la solución habitual es mala en este caso? En primer lugar, tenemos dos integrales. En segundo lugar, las integrales son raíces, y las raíces en las integrales no son un regalo y, además, uno puede confundirse al sustituir los límites de integración. De hecho, las integrales, por supuesto, no matan, pero en la práctica todo puede ser mucho más triste, simplemente seleccioné funciones "mejores" para el problema.

Hay una solución más racional: consiste en pasar a funciones inversas e integrar a lo largo del eje.

¿Cómo llegar a funciones inversas? En términos generales, es necesario expresar "x" hasta "y". Primero, veamos la parábola:

Esto es suficiente, pero asegurémonos de que se pueda derivar la misma función de la rama inferior:

Es más fácil con una línea recta:

Ahora mire el eje: incline periódicamente la cabeza hacia la derecha 90 grados mientras explica (¡esto no es una broma!). La figura que necesitamos se encuentra en el segmento, que está indicado por la línea de puntos roja. En este caso, en el segmento la línea recta se encuentra encima de la parábola, lo que significa que el área de la figura debe encontrarse utilizando la fórmula que ya conoce: . ¿Qué ha cambiado en la fórmula? Sólo una carta y nada más.

! Nota: Los límites de integración a lo largo del eje deben establecerse estrictamente de abajo hacia arriba!

Encontrar el área:

Por tanto, en el segmento:

Tenga en cuenta cómo llevé a cabo la integración, esta es la forma más racional y en el siguiente párrafo de la tarea quedará claro por qué.

Para los lectores que dudan de la exactitud de la integración, encontraré derivados:

Se obtiene la función integrando original, lo que significa que la integración se realizó correctamente.

Respuesta:

2) Calculemos el volumen del cuerpo formado por la rotación de esta figura alrededor del eje.

Volveré a dibujar el dibujo con un diseño ligeramente diferente:

Entonces, la figura sombreada en azul gira alrededor del eje. El resultado es una “mariposa flotante” que gira alrededor de su eje.

Para encontrar el volumen de un cuerpo de rotación, integraremos a lo largo del eje. Primero tenemos que ir a funciones inversas. Esto ya se ha hecho y descrito en detalle en el párrafo anterior.

Ahora volvemos a inclinar la cabeza hacia la derecha y estudiamos nuestra figura. Obviamente, el volumen de un cuerpo de rotación debe calcularse como la diferencia de volúmenes.

Giramos la figura rodeada en rojo alrededor del eje, dando como resultado un cono truncado. Denotemos este volumen por .

Giramos la figura rodeada en verde alrededor del eje y la denotamos por el volumen del cuerpo de rotación resultante.

El volumen de nuestra mariposa es igual a la diferencia de volúmenes.

Usamos la fórmula para encontrar el volumen de un cuerpo de revolución:

¿Cuál es la diferencia con la fórmula del párrafo anterior? Sólo en la carta.

Pero la ventaja de la integración, de la que hablé recientemente, es mucho más fácil de encontrar. , en lugar de elevar primero el integrando a la cuarta potencia.

Respuesta:

Sin embargo, no es una mariposa enfermiza.

Tenga en cuenta que si gira la misma figura plana alrededor de un eje, obtendrá un cuerpo de rotación completamente diferente, con un volumen diferente, naturalmente.

Ejemplo 6

Dada una figura plana delimitada por rectas y un eje.

1) Ir a funciones inversas y encontrar el área de una figura plana acotada por estas rectas integrando sobre la variable.
2) Calcular el volumen del cuerpo que se obtiene al girar alrededor del eje una figura plana delimitada por estas líneas.

Excepto encontrar el área de una figura plana usando una integral definida (ver 7.2.3.) la aplicación más importante del tema es calcular el volumen de un cuerpo de revolución. El material es sencillo, pero el lector debe estar preparado: debe poder resolver Integrales indefinidas complejidad media y aplicar la fórmula de Newton-Leibniz en integral definida, norte También necesitas fuertes habilidades de dibujo. En general, existen muchas aplicaciones interesantes en el cálculo integral; utilizando una integral definida, se puede calcular el área de una figura, el volumen de un cuerpo de rotación, la longitud de un arco, el área de la superficie de un cuerpo. y mucho más. Imagine una figura plana en el plano de coordenadas. ¿Introducido? ... Ahora esta figura también se puede rotar, y rotarla de dos maneras:

– alrededor del eje x ;

– alrededor del eje de ordenadas .

Veamos ambos casos. El segundo método de rotación es especialmente interesante; causa la mayor dificultad, pero en realidad la solución es casi la misma que en la rotación más común alrededor del eje x. Comencemos con el tipo de rotación más popular.

Cálculo del volumen de un cuerpo formado al girar una figura plana alrededor de un eje BUEY

Ejemplo 1

Calcular el volumen de un cuerpo obtenido al girar una figura delimitada por líneas alrededor de un eje.

Solución: Como en el problema de encontrar el área, la solución comienza con el dibujo de una figura plana. Es decir, en un avión. XOY es necesario construir una figura delimitada por las rectas, y no olvides que la ecuación especifica el eje. El dibujo aquí es bastante simple:

La figura plana deseada está sombreada en azul, es la que gira alrededor del eje. Como resultado de la rotación, el resultado es un platillo volante ligeramente ovoide con dos picos afilados en el eje. BUEY, simétrico respecto al eje BUEY. De hecho, el cuerpo tiene un nombre matemático, consulte el libro de referencia.

¿Cómo calcular el volumen de un cuerpo de rotación? Si un cuerpo se forma como resultado de una rotación alrededor de un eje.BUEY, se divide mentalmente en capas paralelas de pequeño espesor dx, que son perpendiculares al eje BUEY. El volumen de todo el cuerpo es obviamente igual a la suma de los volúmenes de dichas capas elementales. Cada capa, como una rodaja redonda de limón, tiene una altura cilíndrica baja. dx y con radio base F(X). Entonces el volumen de una capa es el producto del área de la base π F 2 por altura del cilindro ( dx), o π∙ F 2 (X)∙dx. Y el área de todo el cuerpo de rotación es la suma de volúmenes elementales, o la integral definida correspondiente. El volumen de un cuerpo de revolución se puede calcular mediante la fórmula:

.

Cómo establecer los límites de integración "a" y "be" se puede adivinar fácilmente a partir del dibujo completo. Función... ¿qué es esta función? Miremos el dibujo. La figura plana está delimitada por la gráfica de la parábola en la parte superior. Esta es la función que está implícita en la fórmula. En tareas prácticas, a veces se puede ubicar una figura plana debajo del eje. BUEY. Esto no cambia nada: la función en la fórmula se eleva al cuadrado: F 2 (X), De este modo, el volumen de un cuerpo de revolución siempre es no negativo, lo cual es muy lógico. Calculemos el volumen de un cuerpo de rotación usando esta fórmula:

.

Como ya hemos señalado, la integral casi siempre resulta sencilla, lo principal es tener cuidado.

Respuesta:

En su respuesta, debe indicar la dimensión: unidades cúbicas. Es decir, en nuestro cuerpo de rotación hay aproximadamente 3,35 “cubos”. ¿Por qué cúbico? unidades? Porque esta es la formulación más universal. Podría haber centímetros cúbicos, podría haber metros cúbicos, podría haber kilómetros cúbicos, etc., esa es la cantidad de hombres verdes que tu imaginación puede poner en un platillo volante.

Ejemplo 2

Encuentra el volumen de un cuerpo formado por rotación alrededor de un eje. BUEY una figura delimitada por líneas , , .

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Ejemplo 3

Calcula el volumen del cuerpo que se obtiene al rotar la figura delimitada por las rectas , , y alrededor del eje de abscisas.

Solución: Dibujemos en el dibujo una figura plana delimitada por las líneas , , , , sin olvidar que la ecuación X= 0 especifica el eje oy:

La figura deseada está sombreada en azul. Cuando gira alrededor de un eje. BUEY el resultado es un donut plano y angular (una arandela con dos superficies cónicas).

Calculemos el volumen del cuerpo de rotación como diferencia en volúmenes de cuerpos. Primero, miremos la figura rodeada en rojo. Cuando gira alrededor de un eje. BUEY el resultado es un cono truncado. Denotemos el volumen de este cono truncado por V 1 .

Considere la figura rodeada de un círculo verde. Si giras esta figura alrededor del eje BUEY, entonces obtienes el mismo cono truncado, solo que un poco más pequeño. Denotemos su volumen por V 2 .

Es obvio que la diferencia de volúmenes V = V 1 - V 2 es el volumen de nuestro “donut”.

Usamos la fórmula estándar para encontrar el volumen de un cuerpo de revolución:

1) La figura rodeada en rojo está delimitada arriba por una línea recta, por lo tanto:

2) La figura rodeada en verde está delimitada arriba por una línea recta, por lo tanto:

3) Volumen del cuerpo de revolución deseado:

Respuesta:

Es curioso que en este caso la solución se pueda comprobar mediante la fórmula escolar para calcular el volumen de un cono truncado.

La decisión en sí suele estar escrita de forma más breve, algo como esto:

Al igual que con el problema de encontrar el área, necesitas habilidades de dibujo seguras; esto es casi lo más importante (ya que las integrales en sí mismas a menudo serán fáciles). Puede dominar técnicas gráficas rápidas y competentes con la ayuda de materiales didácticos y transformaciones geométricas de gráficas. Pero, de hecho, ya he hablado varias veces en clase de la importancia del dibujo.

En general, hay muchas aplicaciones interesantes en el cálculo integral; usando una integral definida, puedes calcular el área de una figura, el volumen de un cuerpo de rotación, la longitud del arco, el área de la superficie de rotación y mucho más. más. Así que será divertido, ¡manténganse optimistas!

Imagine una figura plana en el plano de coordenadas. ¿Introducido? ... Me pregunto quién presentó qué... =))) Ya hemos encontrado su área. Pero, además, esta figura también se puede girar, y girar de dos formas:

– alrededor del eje de abscisas;
– alrededor del eje de ordenadas.

Este artículo examinará ambos casos. El segundo método de rotación es especialmente interesante; causa la mayor dificultad, pero en realidad la solución es casi la misma que en la rotación más común alrededor del eje x. Como beneficio adicional volveré a problema de encontrar el área de una figura, y te diré cómo encontrar el área de la segunda manera: a lo largo del eje. No es tanto una ventaja ya que el material encaja bien con el tema.

Comencemos con el tipo de rotación más popular.

figura plana alrededor de un eje

Ejemplo 1

Calcular el volumen de un cuerpo obtenido al girar una figura delimitada por líneas alrededor de un eje.

Solución: Como en el problema de encontrar el área, la solución comienza con el dibujo de una figura plana. Es decir, en el plano es necesario construir una figura delimitada por las rectas, y no olvides que la ecuación especifica el eje. En las páginas se puede encontrar cómo completar un dibujo de manera más eficiente y rápida. Gráficas y propiedades de funciones elementales. Y Integral definida. Cómo calcular el área de una figura. Este es un recordatorio chino, y en este punto no me extenderé más.

El dibujo aquí es bastante simple:

La figura plana deseada está sombreada en azul, es la que gira alrededor del eje, como resultado de la rotación el resultado es un platillo volante ligeramente ovoide y simétrico respecto al eje. De hecho, el cuerpo tiene un nombre matemático, pero soy demasiado vago para aclarar algo en el libro de referencia, así que seguimos adelante.

¿Cómo calcular el volumen de un cuerpo de rotación?

El volumen de un cuerpo de revolución se puede calcular mediante la fórmula:

En la fórmula, el número debe estar presente antes de la integral. Así sucedió: todo lo que gira en la vida está conectado con esta constante.

Creo que es fácil adivinar cómo establecer los límites de integración "a" y "be" a partir del dibujo completo.

Función... ¿qué es esta función? Miremos el dibujo. La figura plana está delimitada por la gráfica de la parábola en la parte superior. Esta es la función que está implícita en la fórmula.

En tareas prácticas, a veces se puede ubicar una figura plana debajo del eje. Esto no cambia nada: el integrando en la fórmula se eleva al cuadrado: , por lo tanto la integral siempre es no negativa, lo cual es muy lógico.

Calculemos el volumen de un cuerpo de rotación usando esta fórmula:

Como ya señalé, la integral casi siempre resulta sencilla, lo principal es tener cuidado.

Respuesta:

En su respuesta, debe indicar la dimensión: unidades cúbicas. Es decir, en nuestro cuerpo de rotación hay aproximadamente 3,35 “cubos”. ¿Por qué cúbico? unidades? Porque la formulación más universal. Podría haber centímetros cúbicos, podría haber metros cúbicos, podría haber kilómetros cúbicos, etc., esa es la cantidad de hombres verdes que tu imaginación puede poner en un platillo volante.

Ejemplo 2

Encuentra el volumen de un cuerpo formado por rotación alrededor del eje de una figura delimitada por líneas , ,

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Consideremos dos problemas más complejos, que también se encuentran a menudo en la práctica.

Ejemplo 3

Calcula el volumen del cuerpo que se obtiene al girar alrededor del eje de abscisas de la figura delimitada por las rectas , , y

Solución: Representaremos en el dibujo una figura plana delimitada por las rectas , , , , sin olvidar que la ecuación define el eje:

La figura deseada está sombreada en azul. Cuando gira alrededor de su eje, resulta ser un donut surrealista con cuatro esquinas.

Calculemos el volumen del cuerpo de rotación como diferencia en volúmenes de cuerpos.

Primero, miremos la figura rodeada en rojo. Cuando gira alrededor de un eje se obtiene un cono truncado. Denotaremos el volumen de este cono truncado por .

Considere la figura rodeada de un círculo verde. Si giras esta figura alrededor del eje, también obtendrás un cono truncado, solo que un poco más pequeño. Denotemos su volumen por .

Y, obviamente, la diferencia de volúmenes es exactamente el volumen de nuestro “donut”.

Usamos la fórmula estándar para encontrar el volumen de un cuerpo de revolución:

1) La figura rodeada en rojo está delimitada arriba por una línea recta, por lo tanto:

2) La figura rodeada en verde está delimitada arriba por una línea recta, por lo tanto:

3) Volumen del cuerpo de revolución deseado:

Respuesta:

Es curioso que en este caso la solución se pueda comprobar mediante la fórmula escolar para calcular el volumen de un cono truncado.

La decisión en sí suele estar escrita de forma más breve, algo como esto:

Ahora descansemos un poco y te hablemos de las ilusiones geométricas.

La gente suele tener ilusiones asociadas con los volúmenes, como lo notó Perelman (otro) en el libro. Geometría entretenida. Mire la figura plana en el problema resuelto: parece tener un área pequeña y el volumen del cuerpo de revolución es de poco más de 50 unidades cúbicas, lo que parece demasiado grande. Por cierto, una persona media bebe durante toda su vida el equivalente a una habitación de 18 metros cuadrados de líquido, lo que, por el contrario, parece un volumen demasiado pequeño.

En general, el sistema educativo de la URSS era verdaderamente el mejor. El mismo libro de Perelman, publicado allá por 1950, desarrolla muy bien, como decía el humorista, el pensamiento y enseña a buscar soluciones originales y no estándar a los problemas. Recientemente releí algunos capítulos con mucho interés, lo recomiendo, es accesible incluso para humanistas. No, no hace falta que sonrías porque te ofrecí tiempo libre, la erudición y los amplios horizontes en la comunicación son algo grandioso.

Después de una digresión lírica, lo más apropiado es resolver un problema creativo:

Ejemplo 4

Calcula el volumen de un cuerpo formado por rotación alrededor del eje de una figura plana delimitada por las rectas , , donde .

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Tenga en cuenta que todos los casos ocurren en la banda; en otras palabras, en realidad se dan límites de integración ya establecidos. Dibuja las gráficas de funciones trigonométricas correctamente, déjame recordarte el material de la lección sobre transformaciones geométricas de gráficos: si el argumento se divide por dos: , entonces las gráficas se estiran dos veces a lo largo del eje. Es recomendable encontrar al menos 3-4 puntos. según tablas trigonométricas para completar el dibujo con mayor precisión. Solución completa y respuesta al final de la lección. Por cierto, la tarea se puede resolver de forma racional y no muy racional.

Cálculo del volumen de un cuerpo formado por rotación.
figura plana alrededor de un eje

El segundo párrafo será aún más interesante que el primero. La tarea de calcular el volumen de un cuerpo de revolución alrededor del eje de ordenadas también es una tarea bastante común en los trabajos de prueba. En el camino se considerará problema de encontrar el área de una figura el segundo método es la integración a lo largo del eje, esto le permitirá no solo mejorar sus habilidades, sino también enseñarle a encontrar el camino de solución más rentable. ¡Esto también tiene un significado práctico para la vida! Como recordó con una sonrisa mi profesora de métodos de enseñanza de las matemáticas, muchos graduados le agradecieron con las palabras: "Su asignatura nos ayudó mucho, ahora somos administradores eficaces y gestionamos al personal de manera óptima". Aprovechando esta oportunidad, también le expreso mi gran agradecimiento, sobre todo porque utilizo los conocimientos adquiridos para el fin previsto =).

Se lo recomiendo a todo el mundo, incluso a los tontos. Además, el material aprendido en el segundo párrafo será de gran ayuda para calcular integrales dobles..

Ejemplo 5

Dada una figura plana delimitada por las líneas , , .

1) Encuentra el área de una figura plana delimitada por estas líneas.
2) Encuentra el volumen del cuerpo que se obtiene al rotar una figura plana delimitada por estas líneas alrededor del eje.

¡Atención! Incluso si sólo quieres leer el segundo punto, primero Necesariamente lee el primero!

Solución: La tarea consta de dos partes. Empecemos por el cuadrado.

1) Hagamos un dibujo:

Es fácil ver que la función especifica la rama superior de la parábola y la función especifica la rama inferior de la parábola. Ante nosotros hay una parábola trivial que “está de lado”.

La figura deseada, cuyo área se encuentra, está sombreada en azul.

¿Cómo encontrar el área de una figura? Se puede encontrar de la forma “habitual”, que se comentó en clase. Integral definida. Cómo calcular el área de una figura. Además, el área de la figura se encuentra como la suma de las áreas:
- en el segmento ;
- en el segmento.

Es por eso:

¿Por qué la solución habitual es mala en este caso? En primer lugar, tenemos dos integrales. En segundo lugar, las integrales son raíces, y las raíces en las integrales no son un regalo y, además, uno puede confundirse al sustituir los límites de integración. De hecho, las integrales, por supuesto, no matan, pero en la práctica todo puede ser mucho más triste, simplemente seleccioné funciones "mejores" para el problema.

Hay una solución más racional: consiste en pasar a funciones inversas e integrar a lo largo del eje.

¿Cómo llegar a funciones inversas? En términos generales, es necesario expresar "x" hasta "y". Primero, veamos la parábola:

Esto es suficiente, pero asegurémonos de que se pueda derivar la misma función de la rama inferior:

Es más fácil con una línea recta:

Ahora mire el eje: incline periódicamente la cabeza hacia la derecha 90 grados mientras explica (¡esto no es una broma!). La figura que necesitamos se encuentra en el segmento, que está indicado por la línea de puntos roja. En este caso, en el segmento la línea recta se encuentra encima de la parábola, lo que significa que el área de la figura debe encontrarse utilizando la fórmula que ya conoce: . ¿Qué ha cambiado en la fórmula? Sólo una carta y nada más.

! Nota: Se deben establecer los límites de integración a lo largo del eje. estrictamente de abajo hacia arriba!

Encontrar el área:

Por tanto, en el segmento:

Tenga en cuenta cómo llevé a cabo la integración, esta es la forma más racional y en el siguiente párrafo de la tarea quedará claro por qué.

Para los lectores que dudan de la exactitud de la integración, encontraré derivados:

Se obtiene la función integrando original, lo que significa que la integración se realizó correctamente.

Respuesta:

2) Calculemos el volumen del cuerpo formado por la rotación de esta figura alrededor del eje.

Volveré a dibujar el dibujo con un diseño ligeramente diferente:

Entonces, la figura sombreada en azul gira alrededor del eje. El resultado es una “mariposa flotante” que gira alrededor de su eje.

Para encontrar el volumen de un cuerpo de rotación, integraremos a lo largo del eje. Primero tenemos que ir a funciones inversas. Esto ya se ha hecho y descrito en detalle en el párrafo anterior.

Ahora volvemos a inclinar la cabeza hacia la derecha y estudiamos nuestra figura. Obviamente, el volumen de un cuerpo de rotación debe calcularse como la diferencia de volúmenes.

Giramos la figura rodeada en rojo alrededor del eje, dando como resultado un cono truncado. Denotemos este volumen por .

Giramos la figura rodeada en verde alrededor del eje y la denotamos por el volumen del cuerpo de rotación resultante.

El volumen de nuestra mariposa es igual a la diferencia de volúmenes.

Usamos la fórmula para encontrar el volumen de un cuerpo de revolución:

¿Cuál es la diferencia con la fórmula del párrafo anterior? Sólo en la carta.

Pero la ventaja de la integración, de la que hablé recientemente, es mucho más fácil de encontrar. , en lugar de elevar primero el integrando a la cuarta potencia.

Respuesta:

Sin embargo, no es una mariposa enfermiza.

Tenga en cuenta que si gira la misma figura plana alrededor de un eje, obtendrá un cuerpo de rotación completamente diferente, con un volumen diferente, naturalmente.

Ejemplo 6

Dada una figura plana delimitada por rectas y un eje.

1) Ir a funciones inversas y encontrar el área de una figura plana acotada por estas rectas integrando sobre la variable.
2) Calcular el volumen del cuerpo que se obtiene al girar alrededor del eje una figura plana delimitada por estas líneas.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Los interesados ​​también pueden encontrar el área de una figura de la forma “habitual”, comprobando así el punto 1). Pero si, repito, giras una figura plana alrededor de un eje, obtendrás un cuerpo de rotación completamente diferente con un volumen diferente, por cierto, la respuesta correcta (también para aquellos a los que les gusta resolver problemas).

La solución completa a los dos puntos propuestos de la tarea se encuentra al final de la lección.

Sí, ¡y no olvides inclinar la cabeza hacia la derecha para comprender los cuerpos de rotación y los límites de la integración!