En una lección práctica, consideraremos este camino y compararemos los resultados de la simulación con la solución teórica. Ejemplos de resolución de problemas de sistemas de colas.

Un objeto matemático (abstracto), cuyos elementos son (Fig. 2.1):

• flujo de entrada (entrante) de solicitudes (requisitos) para el servicio;
• dispositivos de servicio (canales);
• cola de solicitudes en espera de servicio;
• flujo de salida (saliente) de aplicaciones atendidas;
• flujo de solicitudes de servicio adicional después de la interrupción del servicio;
• flujo de solicitudes no procesadas.

Solicitud(solicitud, requisito, llamada, cliente, mensaje, paquete): un objeto que ingresa al QS y requiere servicio en el dispositivo. Un conjunto de solicitudes consecutivas distribuidas en el tiempo. flujo de entrada de aplicaciones.

Arroz. 2.1.

Dispositivo de servicio(dispositivo, dispositivo, canal, línea, herramienta, automóvil, enrutador, etc.): un elemento QS cuyo propósito es atender solicitudes.

Servicio- retraso de la aplicación en el dispositivo de mantenimiento durante algún tiempo.

Duración del servicio- tiempo de retraso (servicio) de la solicitud en el dispositivo.

Dispositivo de almacenamiento(búfer, búfer de entrada, búfer de salida): un conjunto de lugares para esperar solicitudes frente al dispositivo de servicio. Número de plazas de espera - capacidad de almacenamiento.

Una solicitud recibida por la CMO puede estar en dos estados:

• 1) servicio(en el dispositivo);
• 2) Expectativas(en el almacenamiento) si todos los dispositivos están ocupados atendiendo otras solicitudes.

Solicitudes ubicadas en el formulario de almacenamiento y en espera de servicio. cola aplicaciones. El número de aplicaciones en el tanque de almacenamiento en espera de servicio - longitud de la cola.

Disciplina amortiguadora(disciplina de cola): la regla para ingresar solicitudes entrantes en un dispositivo de almacenamiento (búfer).

Disciplina de servicio- la regla para seleccionar aplicaciones de la cola para servicio en el dispositivo.

Una prioridad- derecho de prioridad (para apoderarse de recursos) para ingresar al almacenamiento o seleccionar de una cola para el servicio en el dispositivo aplicaciones de una clase en relación con aplicaciones de otras clases.

Hay muchos sistemas de colas que se diferencian en su organización estructural y funcional. Al mismo tiempo, el desarrollo de métodos analíticos para calcular los indicadores de desempeño de un sistema QS presupone en muchos casos la presencia de una serie de limitaciones y supuestos que limitan el conjunto de sistemas QS en estudio. Es por eso No existe un modelo analítico general para un QS arbitrario de estructura compleja.

Un modelo analítico QS es un conjunto de ecuaciones o fórmulas que permiten determinar las probabilidades de los estados del sistema durante su operación e indicadores de desempeño con base en parámetros conocidos del flujo entrante y canales de servicio, buffering y disciplinas de servicio.

El modelado analítico de un QS se facilita enormemente si los procesos que ocurren en el QS son markovianos (los flujos de solicitudes son simples, los tiempos de servicio se distribuyen exponencialmente). En este caso, todos los procesos en el QS pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales ordinarias y, en el caso límite, para estados estacionarios, mediante ecuaciones algebraicas lineales y, habiéndolas resuelto utilizando cualquier método disponible en los paquetes de software matemático, determinar los indicadores de eficiencia seleccionados. .

En los sistemas IM, al implementar un QS, se aceptan las siguientes restricciones y supuestos:

• solicitud recibida en el sistema instantáneamente recibe servicio si no hay solicitudes en la cola y el dispositivo está libre;
• El dispositivo sólo se puede reparar en un momento dado. uno solicitud;
• Después del final del servicio de cualquier solicitud en el dispositivo, la siguiente solicitud se selecciona de la cola para servicio instantáneamente, es decir, el dispositivo. no se queda inactivo si hay al menos una aplicación en la cola;
• la recepción de solicitudes en el QS y la duración de su servicio no dependen del número de solicitudes que ya están en el sistema ni de ningún otro factor;
• la duración de las aplicaciones de servicio no depende de la intensidad de las aplicaciones que ingresan al sistema.

Veamos algunos elementos del QS con más detalle.

Flujo de entrada (entrante) de aplicaciones. El flujo de eventos Es una secuencia de eventos homogéneos que se suceden uno tras otro y ocurren en algún momento, en términos generales. aleatorio momentos en el tiempo. Si el evento es la aparición de aplicaciones, tenemos flujo de aplicaciones. Para describir el flujo de aplicaciones en el caso general, es necesario establecer intervalos de tiempo t = tk - tk-1 entre momentos adyacentes tk_k Y tk recepción de solicitudes con números de serie A - 1 y A respectivamente (A - 1, 2, ...; t 0 - 0 - hora inicial).

La principal característica del flujo de aplicaciones es su intensidad X- el número medio de solicitudes recibidas a la entrada del QS por unidad de tiempo. Valor t = 1/X define el intervalo de tiempo promedio entre dos aplicaciones consecutivas.

La corriente se llama determinista si intervalos de tiempo t a entre aplicaciones vecinas toman ciertos valores previamente conocidos. Si los intervalos son los mismos (x k= t para todos k = 1, 2, ...), entonces el flujo se llama regular. Para describir completamente el flujo regular de solicitudes, basta con establecer la intensidad del flujo. X o valor del intervalo t = 1/X.

Una corriente en la que intervalos de tiempo x k entre aplicaciones vecinas hay variables aleatorias, llamadas aleatorio. Para describir completamente el flujo aleatorio de solicitudes en el caso general, es necesario especificar las leyes de distribución F fc (x fc) para cada uno de los intervalos de tiempo. x k, k = 1,2,....

Un flujo aleatorio en el que todos los intervalos de tiempo x b x 2,... entre solicitudes consecutivas adyacentes hay variables aleatorias independientes descritas por funciones de distribución FjCij), F 2 (x 2), ... en consecuencia, se llama flujo con efecto secundario limitado.

El flujo aleatorio se llama recurrente, si todos los intervalos de tiempo xb t 2, ... distribuido entre órdenes según la misma ley Pie). Hay muchos hilos recurrentes. Cada ley de distribución genera su propio flujo recurrente. Los flujos recurrentes también se denominan flujos de palma.

si intensidad X y la ley de distribución F(t) de intervalos entre aplicaciones sucesivas no cambia con el tiempo, entonces el flujo de aplicaciones se llama estacionario De lo contrario, el flujo de solicitudes es no estacionario.

Si en cada momento del tiempo tk Solo puede aparecer un reclamo en la entrada QS, entonces se llama el flujo de reclamos común. Si puede aparecer más de una aplicación en cualquier momento, entonces el flujo de aplicaciones es extraordinario, o grupo.

El flujo de solicitudes se llama flujo. sin secuelas, si se reciben solicitudes a pesar de todo unos de otros, es decir el momento de recepción de la siguiente solicitud no depende de cuándo y cuántas solicitudes se recibieron antes de ese momento.

Un flujo ordinario estacionario sin efecto secundario se llama lo más simple.

Los intervalos de tiempo t entre solicitudes en el flujo más simple se distribuyen en exponencial (indicativo) ley: con función de distribución F(t) = 1 - mi ~ m; densidad de distribución/(f) = Je~" yo, Dónde X> 0 - parámetro de distribución - intensidad del flujo de aplicaciones.

El flujo más simple a menudo se llama Poissoniano. El nombre proviene del hecho de que para este flujo la probabilidad P fc (At) de ocurrencia es exactamente A aplicaciones durante un cierto intervalo de tiempo en se determina Ley de Poisson:

Cabe señalar que un flujo de Poisson, a diferencia del más simple, puede ser:

• estacionario, si intensidad X no cambia con el tiempo;
• no estacionario, si la intensidad del flujo depende del tiempo: X= >.(t).

Además, el flujo más simple, por definición, es siempre estacionario.

Los estudios analíticos de modelos de colas a menudo se llevan a cabo bajo el supuesto de un flujo simple de solicitudes, lo que se debe a una serie de características notables inherentes a él.

1. Suma (fusión) de corrientes. El flujo más simple en la teoría QS es similar a la ley de distribución normal en la teoría de la probabilidad: el flujo más simple se logra pasando al límite de un flujo que es la suma de flujos con características arbitrarias con un aumento infinito en el número de términos y una disminución de su intensidad.

Suma norte flujos ordinarios estacionarios independientes con intensidades Xx 2 ,..., XN forma el flujo más simple con intensidad

X=Y,^i siempre que los flujos que se agregan tengan más o menos

menos impacto igualmente pequeño en el flujo total. En la práctica, el flujo total se acerca al más simple cuando norte> 5. Entonces, al sumar flujos más simples independientes, el flujo total será el más simple a cualquier valor NORTE.

• 2. Rarefacción de flujo probabilístico. probabilístico(Pero no determinista) vacío flujo más simple aplicaciones, en las que cualquier aplicación es aleatoria con cierta probabilidad R se excluye del flujo, independientemente de si otras solicitudes están excluidas o no, conduce a la formación flujo más simple con intensidad X* = рХ, Dónde X- intensidad del flujo original. Flujo de solicitudes excluidas con intensidad X** = (1 - p)X- Mismo lo más simple fluir.
• 3. Eficiencia. Si los canales de servicio (dispositivos) están diseñados para el flujo más simple de solicitudes con una intensidad X, entonces el servicio de otros tipos de flujos (con la misma intensidad) se proporcionará con no menos eficiencia.
• 4. Simplicidad. La suposición del flujo de solicitudes más simple permite que muchos modelos matemáticos obtengan de forma explícita la dependencia de los indicadores QS de los parámetros. La mayor cantidad de resultados analíticos se obtuvo para el flujo de aplicaciones más simple.

El análisis de modelos con flujos de órdenes distintos de los más simples suele complicar los cálculos matemáticos y no siempre permite obtener una solución analítica de forma explícita. El flujo "más simple" recibió su nombre precisamente por esta característica.

Las solicitudes pueden tener diferentes elegibilidad para comenzar el servicio. En este caso, dicen que las aplicaciones heterogéneo. Las ventajas de algunos flujos de aplicaciones sobre otros al inicio del servicio vienen determinadas por las prioridades.

Una característica importante del flujo de entrada es el coeficiente de variación

donde t int es la expectativa matemática de la longitud del intervalo; oh- desviación estándar de la longitud del intervalo x int (variable aleatoria).

Para el flujo más simple (a = -, m = -) tenemos v = 1. Para la mayoría

transmisiones reales 0

Canales de servicio (dispositivos). La principal característica de un canal es la duración del servicio.

Duración del servicio- el tiempo que la solicitud está en el dispositivo - en el caso general, un valor aleatorio. En el caso de una carga heterogénea del QS, la duración de las solicitudes de servicio de diferentes clases puede diferir en las leyes de distribución o sólo en los valores medios. En este caso, normalmente se supone que la duración de las solicitudes de servicio de cada clase es independiente.

Los profesionales a menudo suponen que la duración de las aplicaciones de servicio se distribuye entre ley exponencial lo que simplifica significativamente los cálculos analíticos. Esto se debe al hecho de que los procesos que ocurren en sistemas con una distribución exponencial de intervalos de tiempo son markoviano procesos:

donde C - intensidad del servicio, aquí p = _--; t 0 bsl - matemáticas -

tiempo de espera para el servicio.

Además de la distribución exponencial, existen la distribución Erlang/c, hiperexponencial, triangular y algunas otras. Esto no debe confundirnos, ya que se ha demostrado que el valor de los criterios de eficiencia QS depende poco del tipo de ley de distribución del tiempo de servicio.

Al estudiar QS, la esencia del servicio y la calidad del servicio no se tienen en cuenta.

Los canales pueden ser absolutamente confiable, aquellos. no falles. O mejor dicho, esto se puede aceptar durante la investigación. Los canales pueden tener máxima confiabilidad. En este caso, el modelo QS es mucho más complicado.

La eficacia del QS depende no sólo de los parámetros de los flujos de entrada y los canales de servicio, sino también de la secuencia en la que se atienden las solicitudes entrantes, es decir. sobre los métodos de gestión del flujo de solicitudes cuando ingresan al sistema y se envían para servicio.

Los métodos para gestionar los flujos de aplicaciones están determinados por las siguientes disciplinas:

• almacenamiento en búfer;
• servicio.

Las disciplinas de amortiguación y mantenimiento se pueden clasificar según los siguientes criterios:

• la presencia de prioridades entre aplicaciones de diferentes clases;
• un método para desplazar solicitudes de la cola (para disciplinas de almacenamiento en búfer) y asignar solicitudes de servicio (para disciplinas de servicio);
• regla para expulsar o seleccionar solicitudes de servicio;
• capacidad de cambiar prioridades.

En la figura 1 se presenta una variante de la clasificación de las disciplinas de almacenamiento en búfer (colas) de acuerdo con las características enumeradas. 2.2.

Dependiendo de disponibilidad o falta de prioridades entre solicitudes de diferentes clases, todas las disciplinas de almacenamiento en búfer se pueden dividir en dos grupos: no prioritarias y prioritarias.

Por método para desplazar solicitudes del almacenamiento Se pueden distinguir las siguientes clases de disciplinas de amortiguación:

• sin desalojo de solicitudes: las solicitudes que ingresaron al sistema y encontraron la unidad completamente llena se pierden;
• con el desplazamiento de una aplicación de esta clase, es decir la misma clase que la solicitud recibida;
• con el desplazamiento de la solicitud de la clase de prioridad más baja;
• con el desplazamiento de la aplicación del grupo de clases de baja prioridad.

Arroz. 2.2.

Se pueden utilizar las siguientes disciplinas de almacenamiento en búfer: Reglas para el desalojo de solicitudes del almacenamiento:

• desplazamiento aleatorio;
• desplazando la última solicitud, es decir ingresó al sistema más tarde que los demás;
• desplazando un pedido "largo", es decir permanecen en el almacenamiento por más tiempo que todas las solicitudes recibidas anteriormente.

En la Fig. 2.3 presenta una clasificación de disciplinas de servicio de aplicaciones de acuerdo con los mismos criterios que para las disciplinas de almacenamiento en búfer.

A veces se supone que la capacidad de almacenamiento en los modelos es ilimitada, aunque en un sistema real es limitada. Esta suposición se justifica cuando la probabilidad de perder una solicitud en un sistema real por estar llena la capacidad de almacenamiento es inferior a 10_3. En este caso, la disciplina prácticamente no tiene ningún efecto sobre el desempeño del servicio de aplicaciones.

Dependiendo de disponibilidad o falta de prioridades Entre solicitudes de diferentes clases, todas las disciplinas de servicio, así como las disciplinas de amortiguación, se pueden dividir en dos grupos: no prioritarias y prioritarias.

Por método de asignación de solicitudes de servicio Las disciplinas de mantenimiento se pueden dividir en disciplinas:

• modo singular;
• modo de grupo;
• modo combinado.

Arroz. 2.3.

En disciplinas de servicio modo de un solo jugador cada vez para el servicio solo uno esta asignado aplicación, para la cual las colas se ven después de completar el servicio de la aplicación anterior.

En disciplinas de servicio modo de grupo cada vez para el servicio se asigna un grupo de aplicaciones una cola, para la cual la visualización de las colas se realiza solo después de atender todas las solicitudes de un grupo previamente asignado. El grupo de solicitudes recién asignado puede incluir todas las solicitudes de la cola determinada. Solicitudes de un grupo asignado al servicio se seleccionan secuencialmente de la cola y son atendidas por el dispositivo, después de lo cual se asigna al servicio el siguiente grupo de solicitudes de otra cola de acuerdo con la disciplina de servicio especificada.

Modo combinado- una combinación de modos único y grupal, cuando parte de las colas de solicitudes se procesa en modo único y la otra parte en modo grupal.

Las disciplinas de servicio pueden utilizar las siguientes reglas para seleccionar solicitudes de servicio.

No prioritario(las aplicaciones no tienen privilegios para el servicio anticipado - captura de recursos):

• servicio por orden de llegada FIFO (primero en -primero en salir, primero en entrar primero en salir);
• servicio inverso- la aplicación se selecciona de la cola en el modo LIFO (ultima entrada - primero en salir el último en entrar, el primero en salir);
• servicio aleatorio- la aplicación se selecciona de la cola en el modo RANGO (aleatorio- al azar);
• servicio cíclico- las aplicaciones se seleccionan en el proceso de sondeo cíclico de unidades en la secuencia 1, 2, norte CON norte- número de unidades), después de lo cual se repite la secuencia especificada;

Prioridad(las aplicaciones tienen privilegios para el servicio temprano - captura de recursos):

• Con prioridades relativas- si en el proceso de servicio actual de una aplicación, se reciben en el sistema aplicaciones con mayor prioridad, entonces el servicio de la aplicación actual, incluso sin prioridad, no se interrumpe y las aplicaciones recibidas se envían a la cola; las prioridades relativas juegan un papel solo en el momento de completar el servicio actual de una aplicación al seleccionar una nueva aplicación para el servicio de la cola.
• Con prioridades absolutas- al recibir una solicitud con alta prioridad, el servicio de una aplicación con baja prioridad se interrumpe y la solicitud entrante se envía para su reparación; una aplicación interrumpida puede devolverse a la cola o eliminarse del sistema; si la solicitud se devuelve a la cola, su mantenimiento posterior se puede realizar desde el lugar interrumpido o nuevamente;
• con prioridades mixtas- las restricciones estrictas en el tiempo de espera en la cola para atender solicitudes individuales requieren que se les asignen prioridades absolutas; como resultado, el tiempo de espera para las solicitudes con prioridades bajas puede resultar inaceptablemente largo, aunque las solicitudes individuales tienen un margen de tiempo de espera; para cumplir con las restricciones en todo tipo de solicitudes, es posible, junto con las prioridades absolutas, asignar prioridades relativas a algunas solicitudes y atender el resto en modo no prioritario;
• Con prioridades alternas- un análogo de las prioridades relativas, la prioridad se tiene en cuenta solo en el momento de completar el servicio actual de un grupo de solicitudes de una cola y designar un nuevo grupo para el servicio;
• servicio programado- las solicitudes de diferentes clases (ubicadas en diferentes unidades) se seleccionan para el servicio de acuerdo con un cronograma determinado que especifica la secuencia de las colas de sondeo de solicitudes; por ejemplo, en el caso de tres clases de solicitudes (unidades), el cronograma puede verse así (2, 1, 3, 3, 1, 2) o (1, 2, 3, 3, 2, 1).

En los sistemas informáticos de mensajería instantánea, por regla general, la disciplina se implementa de forma predeterminada. FIFO. Sin embargo, cuentan con herramientas que brindan al usuario la oportunidad de organizar las disciplinas de servicio que necesita, incluso según un cronograma.

Las solicitudes recibidas por la SMO se dividen en clases. En el QS, que es un modelo matemático abstracto, Las aplicaciones pertenecen a diferentes clases. en el caso de que en el sistema real simulado difieran en al menos una de las siguientes características:

• duración del servicio;
• prioridades.

Si las solicitudes no difieren en la duración del servicio y las prioridades, pueden representarse mediante solicitudes de la misma clase, incluidas las recibidas de diferentes fuentes.

Para describir matemáticamente disciplinas de servicio con prioridades mixtas, utilizamos matriz de prioridades, que es una matriz cuadrada Q = (q, ;), yo, j - 1,..., I, I: el número de clases de aplicaciones que ingresan al sistema.

Elemento q(j La matriz especifica la prioridad de las solicitudes de clase. i en relación con las solicitudes de clase; y puede tomar los siguientes valores:

• 0 - sin prioridad;
• 1 - prioridad relativa;
• 2 - prioridad absoluta.

Los elementos de la matriz de prioridades deben satisfacer lo siguiente requisitos:

• qn= 0, ya que no se pueden establecer prioridades entre solicitudes de la misma clase;
• Si q(j = 1 o 2 entonces q^ = 0, porque si la clase lo solicita i tener prioridad sobre las solicitudes de clase j, entonces este último no puede tener prioridad sobre las solicitudes de clase i (yo, j = 1, ..., yo).

Dependiendo de capacidad de cambiar prioridades Durante la operación del sistema, las disciplinas prioritarias de almacenamiento en búfer y mantenimiento se dividen en dos clases:

• 1) con prioridades estáticas, que no cambian con el tiempo;
• 2) con prioridades dinámicas, que puede cambiar durante el funcionamiento del sistema dependiendo de varios factores, por ejemplo, cuando se alcanza un cierto valor crítico de la longitud de la cola de aplicaciones de una clase que no tiene prioridad o tiene baja prioridad, se le puede dar una prioridad más alta. .

En los sistemas informáticos de mensajería instantánea siempre existe un único elemento (objeto) a través del cual, y sólo a través de él, se introducen las aplicaciones en el modelo. De forma predeterminada, todas las solicitudes ingresadas no son prioritarias. Pero existen posibilidades de asignar prioridades en la secuencia 1, 2, ..., incluso durante la ejecución del modelo, es decir. en dinámica.

Flujo de salida es el flujo de aplicaciones atendidas que salen del QS. En los sistemas reales, las solicitudes pasan por varios QS: comunicación de tránsito, transportador de producción, etc. En este caso, el flujo saliente es el flujo entrante para el siguiente QS.

El flujo entrante del primer QS, que pasa por los siguientes QS, está distorsionado y esto complica el modelado analítico. Sin embargo, hay que tener en cuenta que con el flujo de entrada más simple y el servicio exponencial(aquellos. en sistemas de Markov) el flujo de salida también es el más simple. Si el tiempo de servicio tiene una distribución no exponencial, entonces el flujo saliente no sólo no es el más simple, sino que tampoco es recurrente.

Tenga en cuenta que los intervalos de tiempo entre solicitudes del flujo saliente no son los mismos que los intervalos de servicio. Después de todo, puede resultar que después del final del siguiente servicio, el QS esté inactivo durante algún tiempo debido a la falta de aplicaciones. En este caso, el intervalo del flujo saliente consiste en el tiempo de inactividad del QS y el intervalo de servicio de la primera solicitud que llega después del tiempo de inactividad.

En QS, además del flujo saliente de aplicaciones atendidas, también puede haber flujo de solicitudes no procesadas. Si dicho QS recibe un flujo recurrente y el servicio es exponencial, entonces el flujo de solicitudes no atendidas es recurrente.

Colas de canales gratuitos. En QS multicanal se pueden formar colas de canales libres. El número de canales gratuitos es un valor aleatorio. El investigador puede estar interesado en varias características de esta variable aleatoria. Normalmente, este es el número promedio de canales ocupados por el servicio durante el intervalo de la encuesta y sus factores de carga.

Como señalamos anteriormente, en objetos reales las aplicaciones reciben servicio secuencialmente en varios QS.

Un conjunto finito de QS interconectados secuencialmente que procesan las solicitudes que circulan en ellos se denomina red de colas (SEMO) (Figura 2.4, A).

Arroz. 2.4.

SeMO también se llama Sistemas de colas multifásicos.

Más adelante consideraremos un ejemplo de construcción de IM SeMO.

Los elementos principales de SeMO son los nodos (U) y las fuentes (generadores) de aplicaciones (G).

Nudo Las redes son un sistema de colas.

Fuente- un generador de solicitudes que ingresan a la red y que requieren ciertas etapas de servicio en los nodos de la red.

Para una representación simplificada de SeMO, se utiliza un gráfico.

Contar SeMO- un gráfico orientado (dígrafo), cuyos vértices corresponden a los nodos de SeMO, y los arcos muestran las transiciones de solicitudes entre los nodos (Fig. 2.4, b).

Entonces, hemos analizado los conceptos básicos de QS. Pero a la hora de desarrollar y mejorar sistemas de información informáticos también se aprovecha el enorme potencial creativo que actualmente encierra el modelado analítico de QS.

Para percibir mejor este potencial creativo, como primera aproximación, centrémonos en la clasificación de los modelos QS.

Dibujo 0 - 2 Flujos de eventos (a) y el flujo más simple (b)

10.5.2.1. Estacionariedad

El flujo se llama estacionario. , si la probabilidad de que ocurra un número particular de eventos en un segmento de tiempo elemental longitud τ (

Figura 0-2 , A) Depende solo de la longitud de la sección y no depende de dónde exactamente en el eje. t se encuentra esta zona.

El flujo estacionario significa su uniformidad en el tiempo; las características probabilísticas de tal flujo no cambian según el tiempo. En particular, la llamada intensidad (o "densidad") del flujo de eventos (el número promedio de eventos por unidad de tiempo para un flujo estacionario) debe permanecer constante. Esto, por supuesto, no significa que el número real de eventos que aparecen por unidad de tiempo sea constante; el flujo puede tener condensaciones y rarefacciones locales. Es importante que para un flujo estacionario estas condensaciones y rarefacciones no sean de naturaleza regular y que el número promedio de eventos que ocurren dentro de un solo período de tiempo permanezca constante durante todo el período considerado.

En la práctica, a menudo hay flujos de acontecimientos que (al menos durante un período de tiempo limitado) pueden considerarse estacionarios. Por ejemplo, un flujo de llamadas que llegan a una central telefónica, digamos, entre 12 y 13 horas, puede considerarse línea fija. El mismo flujo ya no será estacionario durante todo el día (por la noche la intensidad del flujo de llamadas es mucho menor que durante el día). Tenga en cuenta que lo mismo ocurre con la mayoría de los procesos físicos, a los que llamamos "estacionarios"; en realidad, son estacionarios sólo durante un período de tiempo limitado, y la extensión de esta región al infinito es solo una técnica conveniente utilizada para este propósito. de simplificación.

10.5.2.2. Sin efectos secundarios

Una secuencia de eventos se llama secuencia sin efectos posteriores. , si para períodos de tiempo que no se superponen, el número de eventos que caen en uno de ellos no depende de cuántos eventos caen en el otro (u otros, si se consideran más de dos secciones).

En tales corrientes, los eventos que forman la corriente aparecen en momentos sucesivos en el tiempo, independientemente unos de otros. Por ejemplo, el flujo de pasajeros que ingresa a una estación de metro puede considerarse un flujo sin efectos secundarios, porque las razones que determinaron la llegada de un pasajero individual en un momento dado y no en otro, por regla general, no están relacionadas con razones similares de otros pasajeros. Si aparece tal dependencia, se viola la condición de ausencia de secuelas.

Consideremos, por ejemplo, un flujo de trenes de mercancías a lo largo de una vía férrea. Si, por razones de seguridad, no pueden sucederse más a menudo que a intervalos t 0 , entonces existe una dependencia entre los eventos en el flujo y se viola la condición de no efecto secundario. Sin embargo, si el intervalo t 0 es pequeño en comparación con el intervalo promedio entre trenes, entonces dicha infracción es insignificante.

Dibujo 0 - 3 distribución de veneno

Considere en el eje. t el flujo más simple de eventos con intensidad λ. (Figura 0-2b) . Estaremos interesados ​​en el intervalo de tiempo aleatorio T entre eventos vecinos en este flujo; Encontremos su ley de distribución. Primero, encontremos la función de distribución:

F(t) = P(T) ( 0-2)

es decir, la probabilidad de que el valor T tendrá un valor menor quet. Pospongamos desde el inicio del intervalo T (puntos t 0 ) segmento t y encuentre la probabilidad de que el intervalo T habrá menos t . Para hacer esto, es necesario que para un tramo de longitud t, adyacente a un punto t 0 , al menos un evento de flujo impactado. Calculemos la probabilidad de esto. Pie) a través de la probabilidad del evento opuesto (por sección t no afectará a ningún evento de flujo):

F (t) = 1-P 0

Probabilidad P 0 encontramos a partir de la fórmula (1), suponiendometro = 0:

de donde la función de distribución del valor T será:

(0-3)

Para encontrar la densidad de distribución. pie) variable aleatoria T, es necesario diferenciar la expresión (0‑1) port:

0-4)

La ley de distribución con densidad (0‑4) se llama exponencial. (o exponencial ). La cantidad λ se llama parámetro. derecho demostrativo.

Figura 0 - 4 Distribución exponencial

Encontremos las características numéricas de una variable aleatoria. t- expectativa matemática (valor promedio) METRO [ t ]= metro t , y varianza Dt. Tenemos

( 0-5)

(integrando por partes).

La dispersión del valor T es:

(0-6)

Al sacar la raíz cuadrada de la varianza, encontramos la desviación estándar de la variable aleatoria. T.

Entonces, para una distribución exponencial, la expectativa matemática y la desviación estándar son iguales entre sí e inversas al parámetro λ, donde λ. intensidad del flujo.

Así, la apariencia metro eventos en un período de tiempo determinado corresponde a la distribución de Poisson, y la probabilidad de que los intervalos de tiempo entre eventos sean menores que un cierto número predeterminado corresponde a la distribución exponencial. Todas estas son sólo descripciones diferentes del mismo proceso estocástico.

Ejemplo SMO-1 .

Como ejemplo, consideremos un sistema bancario que opera en tiempo real y atiende a una gran cantidad de clientes. Durante las horas pico, las solicitudes de los cajeros bancarios que trabajan con los clientes forman un flujo de Poisson y llegan en promedio dos por 1 s (λ = 2), que consiste en solicitudes que llegan con una intensidad de 2 solicitudes por segundo.

Calculemos la probabilidad P ( m ) apariencia m mensajes en 1 s. Como λ = 2, entonces de la fórmula anterior tenemos

Sustituyendo m = 0, 1, 2, 3, obtenemos los siguientes valores (con una precisión de cuatrolugares decimales):

Figura 0 - 5 Ejemplo de un flujo simple

Es posible recibir más de 9 mensajes en 1 segundo, pero la probabilidad de que esto ocurra es muy baja (alrededor de 0,000046).

La distribución resultante se puede presentar en forma de histograma (como se muestra en la figura).

Ejemplo SMO-2.

Un dispositivo (servidor) que procesa tres mensajes por 1s.

Sea un equipo capaz de procesar tres mensajes en 1 s (μ=3). En promedio, se reciben dos mensajes por 1s, y de acuerdo con C Distribución de veneno. ¿Qué proporción de estos mensajes se procesará inmediatamente después de su recepción?

La probabilidad de que la velocidad de llegada sea menor o igual a 3 s está dada por

Si un sistema puede procesar un máximo de 3 mensajes en 1 s, entonces la probabilidad de que no se sobrecargue es

Es decir, el 85,71% de los mensajes se atenderán inmediatamente y el 14,29% se atenderán con algún retraso. Como puede ver, rara vez se producirá un retraso en el procesamiento de un mensaje por un tiempo mayor que el tiempo de procesamiento de 3 mensajes. El tiempo de procesamiento de 1 mensaje es de media 1/3 s. Por lo tanto, un retraso de más de 1 segundo será poco común, lo cual es bastante aceptable para la mayoría de los sistemas.

Ejemplo SMO- 3

· Si un cajero de banco está ocupado el 80% de su tiempo de trabajo y pasa el resto esperando a los clientes, entonces se le puede considerar un dispositivo con un factor de utilización de 0,8.

· Si se utiliza un canal de comunicación para transmitir símbolos de 8 bits a una velocidad de 2400 bps, es decir, se transmiten un máximo de 2400/8 símbolos en 1 s, y estamos construyendo un sistema en el que la cantidad total de datos es de 12000 símbolos enviado desde varios dispositivos a través del canal de comunicación por minuto de la carga más pesada (incluida sincronización, símbolos de fin de mensaje, control, etc.), entonces la tasa de utilización del equipo del canal de comunicación durante este minuto es igual a

· Si un motor de acceso a archivos realiza 9000 accesos a archivos durante una hora ocupada y el tiempo promedio por acceso es de 300 ms, entonces la tasa de utilización del hardware en la hora pico del motor de acceso es

El concepto de utilización de equipos se utilizará con bastante frecuencia. Cuanto más cerca esté la utilización del equipo del 100%, mayor será el retraso y más largas las colas.

Usando la fórmula anterior, puedes crear tablas de valores de la función de Poisson, a partir de las cuales puedes determinar la probabilidad de llegada.metro o más mensajes en un período de tiempo determinado. Por ejemplo, si hay un promedio de 3,1 mensajes por segundo [es decir, e.λ = 3.1], entonces la probabilidad de recibir 5 o más mensajes en un segundo dado es 0.2018 (parametro = 5 en la tabla). O en forma analítica

Usando esta expresión, un analista de sistemas puede calcular la probabilidad de que el sistema no cumpla con un criterio de carga determinado.

A menudo se pueden realizar cálculos iniciales para los valores de carga del equipo.

ρ ≤ 0,9

Estos valores se pueden obtener utilizando tablas de Poisson.

Consideremos nuevamente la tasa promedio de llegada de mensajes λ = 3,1 mensajes/s. De las tablas se deduce que la probabilidad de recibir 6 o más mensajes en 1 segundo es 0,0943. Por lo tanto, este número puede tomarse como criterio de carga para los cálculos iniciales.

10.6.2. Tareas de diseño

Si los mensajes llegan aleatoriamente al dispositivo, el dispositivo dedica parte de su tiempo a procesar o atender cada mensaje, lo que da como resultado la formación de colas. Una cola en el banco espera la liberación del cajero y su computadora (terminal). Una cola de mensajes en el búfer de entrada de la computadora espera ser procesada por el procesador. Una cola de solicitudes de matrices de datos espera a que los canales queden libres, etc. Se pueden formar colas en todos los cuellos de botella del sistema.

Cuanto mayor sea la tasa de utilización del equipo, más largas serán las colas resultantes. Como se mostrará a continuación, es posible diseñar un sistema operativo satisfactorio con un factor de utilización de ρ = 0,7, pero un coeficiente superior a ρ > 0,9 puede provocar un deterioro en la calidad del servicio. En otras palabras, si un enlace de datos masivos tiene una carga del 20%, es poco probable que tenga una cola. Si carga; es 0,9, entonces, como regla general, se formarán colas, a veces muy grandes.

El factor de utilización del equipo es igual a la relación entre la carga del equipo y la carga máxima que este equipo puede soportar, o igual a la relación entre el tiempo que el equipo está ocupado y el tiempo total de funcionamiento.

Al diseñar un sistema, es común estimar el factor de utilización para diferentes tipos de equipos; En los capítulos siguientes se darán ejemplos relevantes. Conocer estos coeficientes permite calcular colas para el equipo correspondiente.

· ¿Cuál es la longitud de la cola?

· Cuanto tiempo llevara?

Este tipo de preguntas se pueden responder utilizando la teoría de colas.

10.6.3. Sistemas de colas, sus clases y características principales.

Para un QS, los flujos de eventos son flujos de aplicaciones, flujos de aplicaciones de “servicio”, etc. Si estos flujos no son Poisson (proceso de Markov), la descripción matemática de los procesos que ocurren en el QS se vuelve incomparablemente más compleja y requiere un análisis más engorroso. aparato, llevarlo a fórmulas analíticas sólo es posible en los casos más simples.

Sin embargo, el aparato de la teoría de colas "markoviana" también puede ser útil en el caso de que el proceso que ocurre en el QS sea diferente del markoviano; con su ayuda, se pueden evaluar aproximadamente las características de rendimiento del QS. Cabe señalar que cuanto más complejo es el QS, más canales de servicio tiene, más precisas son las fórmulas aproximadas obtenidas mediante la teoría de Markov. Además, en varios casos, para tomar decisiones informadas sobre la gestión del funcionamiento del QS, no es necesario un conocimiento exacto de todas sus características, a menudo solo es suficiente un conocimiento aproximado y aproximado.

Los QS se clasifican en sistemas con:

· negativas (con pérdidas). En tales sistemas, una solicitud recibida en un momento en que todos los canales están ocupados recibe un "rechazo", abandona el QS y no participa en el proceso de servicio posterior.

· espera (con cola). En tales sistemas, una solicitud que llega en un momento en que todos los canales están ocupados se pone en cola y espera hasta que uno de los canales quede libre. Cuando se libera el canal, se acepta para el servicio una de las solicitudes en cola.

El servicio (disciplina de colas) en un sistema de espera puede ser

· ordenado (las solicitudes se procesan en el orden en que se reciben),

· desordenado(las solicitudes se entregan en orden aleatorio) o

· apilado (la última solicitud se selecciona primero de la cola).

· Prioridad

oh con prioridad estática

oh con prioridad dinámica

(en este último caso, previo tet puede, por ejemplo, aumentar con el tiempo de espera de una solicitud).

Los sistemas de colas se dividen en sistemas.

· con espera ilimitada y

· con limitado espera.

En sistemas con espera ilimitada, cada solicitud que llega en un momento en el que no hay canales libres se pone en cola y espera “pacientemente” a que el canal esté disponible y lo acepte para el servicio. Cualquier solicitud recibida por la CMO tarde o temprano será atendida.

En sistemas con espera limitada, se imponen ciertas restricciones a la permanencia de una solicitud en la cola. Estas restricciones pueden aplicarse

· longitud de la cola (el número de aplicaciones simultáneamente en la cola en un sistema con una longitud de cola limitada),

· el tiempo que la aplicación pasó en la cola (después de un cierto período de permanencia en la cola, la aplicación sale de la cola y el sistema con un tiempo de espera limitado sale),

· tiempo total de estancia de la solicitud en la OCM

etc.

Dependiendo del tipo de QS, se pueden utilizar determinados valores (indicadores de rendimiento) para evaluar su eficacia. Por ejemplo, para un QS con fallas, una de las características más importantes de su productividad es la llamada rendimiento absoluto el número promedio de solicitudes que el sistema puede atender por unidad de tiempo.

Junto con lo absoluto, a menudo se considera rendimiento relativo QS es la proporción promedio de aplicaciones entrantes atendidas por el sistema (la relación entre la cantidad promedio de aplicaciones atendidas por el sistema por unidad de tiempo y la cantidad promedio de solicitudes recibidas durante este tiempo).

Además del rendimiento absoluto y relativo, a la hora de analizar un QS con fallos, dependiendo de la tarea de investigación, nos pueden interesar otras características, por ejemplo:

· número medio de canales ocupados;

· tiempo de inactividad relativo promedio del sistema en su conjunto y de un canal individual

etc.

Las preguntas con expectativa tienen características ligeramente diferentes. Obviamente, para un QS con espera ilimitada, tanto el rendimiento absoluto como el relativo pierden su significado, ya que cada solicitud recibida es anticipada.o se servirá más tarde. Para tal QS, las características importantes son:

· número medio de solicitudes en cola;

· número promedio de aplicaciones en el sistema (en cola y en servicio);

· tiempo medio de espera de una solicitud en la cola;

· el tiempo promedio que una aplicación permanece en el sistema (en cola y en servicio);

así como otras características de la expectativa.

Para un QS con espera limitada, ambos grupos de características son de interés: rendimiento absoluto y relativo, y características de espera.

Para analizar el proceso que ocurre en el QS, es fundamental conocer los principales parámetros del sistema: el número de canales PAG, intensidad del flujo de aplicacionesλ , el rendimiento de cada canal (el número promedio de solicitudes μ atendidas por el canal por unidad de tiempo), las condiciones para la formación de una cola (restricciones, si las hubiera).

Dependiendo de los valores de estos parámetros, se expresan las características de rendimiento del QS.

10.6.4. Fórmulas para calcular las características del QS para el caso de servicio con un solo dispositivo.

Figura 0 - 6 Modelo de un sistema de colas con cola.

Estas colas pueden crearse mediante mensajes en la entrada del procesador en espera de procesamiento. Pueden ocurrir durante el funcionamiento de puntos de abonado conectados a un canal de comunicación multipunto. Asimismo, se forman colas de coches en las gasolineras. Sin embargo, si hay más de una entrada de servicio, tenemos una cola con muchos dispositivos y el análisis se complica.

Consideremos el caso del flujo más simple de solicitudes de servicio.

El propósito de la teoría de colas presentada es aproximar el tamaño promedio de la cola, así como el tiempo promedio que pasan los mensajes esperando en la cola. También es aconsejable estimar con qué frecuencia la cola supera una determinada longitud. Esta información nos permitirá calcular, por ejemplo, la cantidad de memoria intermedia necesaria para almacenar colas de mensajes y los programas correspondientes, la cantidad necesaria de líneas de comunicación, los tamaños de memoria intermedia necesarios para los concentradores, etc. Será posible estimar los tiempos de respuesta.

Cada una de las características varía dependiendo del medio utilizado.

Considere una cola con un servidor. Al diseñar un sistema informático, la mayoría de las colas de este tipo se calculan utilizando las fórmulas dadas. coeficiente de variación del tiempo de servicio

La fórmula Khinchin-Polacek se utiliza para calcular la longitud de las colas al diseñar sistemas de información. Se utiliza en el caso de distribución exponencial del tiempo de llegada para cualquier distribución del tiempo de servicio y cualquier disciplina de control, siempre que la elección del siguiente mensaje para el servicio no dependa del tiempo de servicio.

A la hora de diseñar sistemas, hay situaciones en las que surgen colas en las que la disciplina de gestión depende sin duda del tiempo de servicio. Por ejemplo, en algunos casos podemos seleccionar mensajes más cortos para el servicio prioritario con el fin de lograr un tiempo promedio de servicio más bajo. Al controlar una línea de comunicación, puede asignar mayor prioridad a los mensajes de entrada que a los de salida porque los primeros son más cortos. En tales casos, ya no es necesario utilizar la ecuación de Khinchin.

La mayoría de los tiempos de servicio en los sistemas de información se encuentran en algún punto entre estos dos casos. Los tiempos de mantenimiento iguales a un valor constante son raros. Incluso el tiempo de acceso al disco duro no es constante debido a las diferentes posiciones de los conjuntos de datos en la superficie. Un ejemplo que ilustra el caso de tiempo de servicio constante es la ocupación de una línea de comunicación para transmitir mensajes de una longitud fija.

Por otra parte, la distribución del tiempo de servicio no es tan grande como en el caso de su distribución arbitraria o exponencial, es decirσs rara vez alcanza valorests. Este caso a veces se considera el "peor de los casos" y por eso se utilizan fórmulas relacionadas con la distribución exponencial de los tiempos de servicio. Este cálculo puede dar como resultado un tamaño ligeramente inflado de las colas y los tiempos de espera en ellas, pero este error al menos no es peligroso.

Naturalmente, una distribución exponencial de los tiempos de servicio no es el peor caso al que hay que enfrentarse en la realidad. Sin embargo, si los tiempos de servicio obtenidos de los cálculos de colas resultan estar peor distribuidos que los tiempos distribuidos exponencialmente, esto suele ser una señal de advertencia para el diseñador. Si la desviación estándar es mayor que el promedio, generalmente es necesario ajustar los cálculos.

Considere el siguiente ejemplo. Hay seis tipos de mensajes con tiempos de servicio de 15, 20, 25, 30, 35 y 300. La cantidad de mensajes de cada tipo es la misma. La desviación estándar de los tiempos indicados es ligeramente superior a su media. El valor del tiempo del último servicio es mucho mayor que otros. Esto hará que los mensajes permanezcan en la cola mucho más tiempo que si los tiempos de servicio fueran del mismo orden de magnitud. En este caso, a la hora de diseñar, es recomendable tomar medidas para reducir la longitud de la cola. Por ejemplo, si estos números están relacionados con la longitud de los mensajes, entonces puede valer la pena dividir los mensajes muy largos en partes.

10.6.6. Ejemplo de cálculo

Al diseñar un sistema bancario, es deseable saber el número de clientes que tendrán que hacer cola para un cajero durante las horas pico.

El tiempo de respuesta del sistema y su desviación estándar se calculan teniendo en cuenta el tiempo de ingreso de datos desde la estación de trabajo, impresión y ejecución del documento.

Las acciones del cajero fueron cronometradas. El tiempo de servicio ts es igual al tiempo total que el cajero dedica al cliente. La tasa de utilización del cajero ρ es proporcional al tiempo que está ocupado. Si λ es el número de clientes durante las horas pico, entonces ρ para el cajero es igual a

Supongamos que durante las horas pico hay 30 clientes por hora. De media, un cajero dedica 1,5 minutos por cliente. Entonces

ρ =(1,5 * 30) / 60 = 0,75

es decir, el cajero se utiliza al 75%.

El número de personas en fila se puede estimar rápidamente mediante gráficos. De ellos se deduce que si ρ = ​​0,75, entonces el número medio nq de personasen una línea de pago se encuentra entre 1,88 y 3,0 dependiendo de la desviación estándar para ts .

Supongamos que la medida de la desviación estándar para ts dio un valor de 0,5 min. Entonces

σ s = 0,33 t s

Del gráfico de la primera figura encontramos que nq = 2,0, es decir, en promedio, dos clientes estarán esperando en la caja registradora.

El tiempo total que un cliente pasa en la caja registradora se puede encontrar como

t ∑ = t q + t s = 2,5 minutos + 1,5 minutos = 4 minutos

donde t s calculado utilizando la fórmula de Khinchin-Polacek.

10.6.7. factor de ganancia

Al analizar las curvas que se muestran en las figuras, vemos que cuando el equipo que atiende la cola se utiliza en más del 80%, las curvas comienzan a crecer a un ritmo alarmante. Este hecho es muy importante a la hora de diseñar sistemas de transmisión de datos. Si estamos diseñando un sistema con más del 80% de utilización de hardware, entonces un ligero aumento en el tráfico puede hacer que el rendimiento del sistema caiga en picado o incluso que falle.

Aumento del tráfico entrante en un pequeño número x%. conduce a un aumento en el tamaño de las colas en aproximadamente

Si la tasa de utilización del equipo es del 50%, entonces este aumento es igual a 4ts% para la distribución exponencial del tiempo de servicio. Pero si la tasa de utilización del hardware es del 90%, entonces el aumento en el tamaño de la cola es del 100%, que es 25 veces mayor. Un ligero aumento en la carga con una utilización del equipo del 90 % da como resultado un aumento de 25 veces en el tamaño de las colas en comparación con el caso de una utilización del equipo del 50 %.

De manera similar, el tiempo pasado en la cola aumenta en

Con un tiempo de servicio distribuido exponencialmente, este valor tiene un valor de 4 t t 2 para un factor de utilización del equipo igual al 50% y 100 t t 2 para un coeficiente del 90%, es decir, nuevamente 25 veces peor.

Además, para tasas bajas de utilización de equipos, el efecto de los cambios en σs en el tamaño de la cola es insignificante. Sin embargo, para coeficientes grandes el cambio en σ s afecta en gran medida el tamaño de la cola. Por lo tanto, al diseñar sistemas con alta utilización de equipos, es deseable obtener información precisa sobre el parámetro.σ s. Inexactitud del supuesto sobre la exponencialidad de la distribución tsEs más notable en valores grandes de ρ. Además, si el tiempo de servicio aumenta repentinamente, lo que es posible en los canales de comunicación cuando se transmiten mensajes largos, entonces, en el caso de ρ grande, se formará una cola significativa.

Muy a menudo, al analizar los sistemas económicos, es necesario resolver los llamados problemas de colas que surgen en la siguiente situación. Analicemos un sistema de mantenimiento de automóviles que consta de varias estaciones de diversas capacidades. En cada estación (elemento del sistema) pueden surgir al menos dos situaciones típicas:

1. el número de solicitudes es demasiado grande para una determinada estación, surgen colas y hay que pagar por los retrasos en el servicio;
2. la estación recibe muy pocas solicitudes y ahora hay que tener en cuenta las pérdidas provocadas por el tiempo de inactividad de la estación.

Está claro que el propósito del análisis del sistema en este caso es determinar alguna relación entre las pérdidas de ingresos debidas a colas y pérdidas por sólo yo estaciones.

Teoría de colas– una sección especial de teoría de sistemas es una sección de teoría de probabilidad en la que se estudian sistemas de colas utilizando modelos matemáticos.

Sistema de colas (QS) es un modelo que incluye: 1) un flujo aleatorio de requerimientos, llamadas o clientes que necesitan servicio; 2) algoritmo para realizar este servicio; 3) canales (dispositivos) para el servicio.

Ejemplos de proveedores de servicios son cajas registradoras, gasolineras, aeropuertos, vendedores, peluqueros, médicos, centrales telefónicas y otras instalaciones donde se atienden determinadas solicitudes.

Problema de teoría de colas consiste en desarrollar recomendaciones para la construcción racional de QS y la organización racional de su trabajo con el fin de garantizar una alta eficiencia del servicio a costos óptimos.

La característica principal de las tareas de esta clase es la evidente dependencia de los resultados del análisis y las recomendaciones recibidas de dos factores externos: la frecuencia de recepción y la complejidad de las órdenes (y por tanto el tiempo de su ejecución).

El tema de la teoría de colas es el establecimiento de una relación entre la naturaleza del flujo de solicitudes, el desempeño de un canal de servicio individual, el número de canales y la eficiencia del servicio.

Como características del sistema son considerados:

• el porcentaje promedio de solicitudes que son rechazadas y dejan el sistema sin atender;
• tiempo de inactividad promedio de los canales individuales y del sistema en su conjunto;
• tiempo medio de espera en la cola;
• la probabilidad de que la solicitud recibida sea atendida de inmediato;
• ley de distribución de longitud de cola y otras.

Agreguemos que las aplicaciones (requisitos) llegan al QS de forma aleatoria (en momentos aleatorios), con puntos de condensación y rarefacción. El tiempo de atención para cada solicitud también es aleatorio, después del cual el canal de atención queda libre y listo para cumplir con la siguiente solicitud. Cada QS, dependiendo del número de canales y su rendimiento, tiene una capacidad determinada. Rendimiento de calidad Tal vez absoluto(número promedio de solicitudes atendidas por unidad de tiempo) y relativo(relación media entre el número de solicitudes atendidas y el número de solicitudes presentadas).

3.1 Modelos de sistemas de colas.

Cada QS se puede caracterizar por la expresión: (a B C D e F) , Dónde

a - distribución del flujo de entrada de aplicaciones;

b - distribución del flujo de salida de aplicaciones;

C – configuración del mecanismo de servicio;

d – disciplina de cola;

mi – bloque de espera;

F – capacidad de la fuente.

Ahora echemos un vistazo más de cerca a cada característica.

Flujo de entrada de aplicaciones– el número de solicitudes recibidas en el sistema. Caracterizado por la intensidad del flujo de entrada. yo.

Flujo de salida de aplicaciones– el número de solicitudes atendidas por el sistema. Caracterizado por la intensidad del flujo de salida. metro.

configuración del sistema implica el número total de canales y nodos de servicio. El QS puede contener:

1. un canal servicios (una pista, un vendedor);
2. un canal de servicio que incluye varios nodos consecutivos(comedor, clínica, transportador);
3. varios canales del mismo tipo Servicios conectados en paralelo (gasolineras, servicio de información, estación de tren).

Por tanto, es posible distinguir QS monocanal y multicanal.

Por otro lado, si todos los canales de servicio en el QS están ocupados, entonces la aplicación a la que se accede puede permanecer en la cola o abandonar el sistema (por ejemplo, una caja de ahorros y una central telefónica). En este caso estamos hablando de sistemas con cola (espera) y sistemas con fallas.

Cola– este es un conjunto de solicitudes que han ingresado al sistema para recibir servicio y están esperando servicio. La cola se caracteriza por la longitud de la cola y su disciplina.

disciplina de cola– esta es la regla para atender solicitudes de la cola. Los principales tipos de cola incluyen los siguientes:

1. PERPPO (por orden de llegada) es el tipo más común;
2. POSPPO (último en llegar, primero en ser atendido);
3. ROP (selección aleatoria de aplicaciones) – del banco de datos.
4. PR – servicio prioritario.

Longitud de la cola Tal vez

• ilimitado - entonces hablan de un sistema con pura expectativa;
• igual a cero: entonces hablan de un sistema con fallas;
• longitud limitada (sistema de tipo mixto).

bloque de espera– “capacidad” del sistema – el número total de aplicaciones en el sistema (en cola y en servicio). De este modo, mi=c+d.

Capacidad de fuente Generar solicitudes de servicio es el número máximo de solicitudes que puede recibir el QS. Por ejemplo, en un aeropuerto la capacidad fuente está limitada por el número de todos los aviones existentes, y la capacidad fuente de una central telefónica es igual al número de habitantes de la Tierra, es decir puede considerarse ilimitado.

El número de modelos QS corresponde al número de combinaciones posibles de estos componentes.

3.2 Flujo de requisitos de insumos.

Con cada período de tiempo [ a, a+ t ], conecta la variable aleatoria X, igual al número de solicitudes recibidas por el sistema durante el tiempo t.

El flujo de requisitos se llama estacionario, si la ley de distribución no depende del punto inicial del intervalo A, pero depende sólo de la longitud del intervalo dado t. Por ejemplo, un flujo de solicitudes a una central telefónica durante el día ( t=24 horas) no se puede considerar estacionario, sino de 13 a 14 horas ( t=60 minutos) – puedes.

La corriente se llama sin secuelas, si el historial de flujo no afecta la llegada de demandas en el futuro, es decir Los requisitos son independientes entre sí.

La corriente se llama común, si no puede ingresar más de una solicitud al sistema en un período de tiempo muy corto. Por ejemplo, el viaje a la peluquería es normal, pero a la oficina de registro no. Pero si como variable aleatoria X para considerar pares de solicitudes recibidas por la oficina de registro, dicho flujo será ordinario (es decir, a veces un flujo extraordinario se puede reducir a uno ordinario).

La corriente se llama lo más simple, si es estacionario, sin secuelas y ordinario.

Teorema principal. Si el flujo es el más simple, entonces r.v. X[a. un+ t] se distribuye según la ley de Poisson, es decir .

Corolario 1. El flujo más simple también se llama flujo de Poisson.

Corolario 2. METRO(X)= METRO(X [ a , a + t ] )= yot, es decir. durante t yot aplicaciones. Por lo tanto, por unidad de tiempo, el sistema recibe en promedio yo aplicaciones. Esta cantidad se llama intensidad flujo de entrada.

Consideremos un EJEMPLO .

El estudio recibe una media de 3 solicitudes al día. Considerando que el flujo es el más simple, calcule la probabilidad de que durante los próximos dos días el número de solicitudes sea al menos 5.

Solución.

Según las condiciones del problema, yo=3, t=2 días, el flujo de entrada es Poisson, norte ³5. a la hora de decidir, conviene introducir el hecho contrario, consistente en que durante el tiempo t Se recibirán menos de 5 solicitudes. Por lo tanto, según la fórmula de Poisson, obtenemos

^

3.3 Estado del sistema. Matriz y gráfico de transición.

En un momento aleatorio, el QS cambia de un estado a otro: cambia el número de canales ocupados, el número de solicitudes y colas, etc., por lo que el QS con norte canales y una longitud de cola igual a metro, puede estar en uno de los siguientes estados:

mi 0 – todos los canales son gratuitos;

mi 1 – un canal está ocupado;

mi norte– todos los canales están ocupados;

mi norte +1 – todos los canales están ocupados y hay una petición en cola;

mi norte + metro– todos los canales y todos los lugares en la cola están ocupados.

Un sistema similar con fallas puede estar en los estados mi 0 – mi norte .

Para un QS con expectativa pura, existe un número infinito de estados. De este modo, estado mi norte QS en un momento dado t – esta es la cantidad norte aplicaciones (requisitos) ubicadas en el sistema en un momento dado, es decir, norte= norte(t) - valor aleatorio, mi norte (t) son los resultados de esta variable aleatoria, y PAG norte (t) – probabilidad de que el sistema esté en el estado mi norte .

Ya conocemos el estado del sistema. Tenga en cuenta que no todos los estados del sistema son equivalentes. El estado del sistema se llama fuente, si el sistema puede salir de este estado, pero no puede volver a él. El estado del sistema se llama aislado, si el sistema no puede salir o entrar en este estado.

Para visualizar los estados del sistema se utilizan diagramas (los llamados gráficos de transición), en los que las flechas indican posibles transiciones del sistema de un estado a otro, así como las probabilidades de dichas transiciones.

Figura 3.1 – gráfico de transición

comp.	mi 0	mi 1	mi 2
mi 0	P 0.0	P 0,1	P 0,2
mi 1	P 1.0	P 1.1	R 1.2
mi 2	P 2.0	R 2.2	R 2.2

A veces también es conveniente utilizar una matriz de transición. En este caso, la primera columna indica los estados iniciales del sistema (actual), y luego se dan las probabilidades de transición de estos estados a otros.

Dado que el sistema definitivamente pasará de una

estados a otro, entonces la suma de las probabilidades en cada fila es siempre igual a uno.

3.4 QS monocanal.

3.4.1 QS monocanal con fallas.

Consideraremos sistemas que cumplan con los requisitos:

(P/E/1):(–/1/¥) . Supongamos también que el tiempo necesario para atender una solicitud no depende del número de solicitudes que ingresan al sistema. Aquí y a continuación, "P" significa que el flujo de entrada se distribuye según la ley de Poisson, es decir el más simple, "E", significa que el flujo de salida se distribuye según una ley exponencial. También aquí y a continuación se dan las fórmulas básicas sin pruebas.

Para tal sistema, son posibles dos estados: mi 0 – el sistema es gratuito y mi 1 – el sistema está ocupado. Creemos una matriz de transición. Echemos Dt- un período de tiempo infinitesimal. Sea el evento A el que esté en el sistema en el tiempo. Dt Se recibió una solicitud. El evento B es que durante el tiempo Dt se ha atendido una solicitud. Evento A i , k- durante Dt el sistema pasará del estado mi i en un estado mi k. Porque yo es la intensidad del flujo de entrada, luego con el tiempo Dt en promedio ingresa al sistema l*Dt requisitos. Es decir, la probabilidad de recibir una solicitud. P(A)=l* Dt, y la probabilidad del evento opuesto Р(Ā)=1-l*Dt.P(B)=F(Dt)= PAG(b< D t)=1- mi - metro D t = metro Dt– probabilidad de atender una solicitud dentro del tiempo Dt. Luego A 00: la solicitud no se recibirá o se recibirá, pero será atendida. A 00 =Ā+A * V.P 00 =1 - l*Dt. (tuvimos en cuenta que (Dt) 2 – valor infinitesimal)

A 01: la solicitud se recibirá, pero no se atenderá. A 01 =A * . R 01 = l*Dt.

Un 10: la solicitud será revisada y no habrá ninguna nueva. A 10 =B * A. 10€ = Marylandt.

A 11 – la solicitud no será atendida o se recibirá una nueva que aún no ha sido atendida. Un 11 = +B * AP 01 = 1- Marylandt.

Así, obtenemos la matriz de transición:

comp.	mi 0	mi 1
mi 0	1 litro * DT	yo * DT
mi 1	metro * DT	1 metro * DT

Posibilidad de caída del sistema y fallos.

Hallemos ahora la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado mi 0 en cualquier momento t(aquellos. R 0 ( t) ). Gráfica de una función
se muestra en la Figura 3.2.

La asíntota de la gráfica es la recta.
.

Obviamente, a partir de algún momento t,

1

Figura 3.2

Finalmente lo entendemos
Y
, Dónde R 1 (t) – la probabilidad de que en el momento del tiempo t el sistema está ocupado (es decir, está en un estado mi 1 ).

Es obvio que al comienzo del funcionamiento del QS, el proceso en curso no será estacionario: será un modo “de transición”, no estacionario. Después de algún tiempo (que depende de las intensidades de los flujos de entrada y salida), este proceso desaparecerá y el sistema entrará en un estado de funcionamiento estacionario y estable, y las características probabilísticas ya no dependerán del tiempo.

Modo de funcionamiento estacionario y factor de carga del sistema.

Si la probabilidad de que el sistema esté en un estado mi k, es decir. R k (t), no depende del tiempo t, entonces dicen que se ha instalado el QS modo estacionario trabajar. En este caso, el valor
llamado factor de carga del sistema(o la reducida densidad de flujo de las aplicaciones). Entonces para las probabilidades R 0 (t) Y R 1 (t) obtenemos las siguientes fórmulas:
,
. También se puede concluir: Cuanto mayor sea el factor de carga del sistema, mayor será la probabilidad de que falle el sistema (es decir, la probabilidad de que el sistema esté ocupado).

El túnel de lavado cuenta con una unidad de mantenimiento. Los autos llegan según una distribución de Poisson a razón de 5 autos/hora. El tiempo medio de servicio de una máquina es de 10 minutos. Encuentre la probabilidad de que un automóvil que se aproxima encuentre el sistema ocupado si el QS opera en modo estacionario.

Solución. Según las condiciones del problema, yo=5, metro y =5/6. Necesitamos encontrar la probabilidad. R 1 – probabilidad de fallo del sistema.
.

3.4.2 QS monocanal con longitud de cola ilimitada.

Consideraremos sistemas que cumplan los requisitos: (P/E/1):(d/¥/¥). El sistema puede estar en uno de los estados. mi 0 , …, mi k, ... El análisis muestra que después de un tiempo dicho sistema comienza a funcionar en modo estacionario si la intensidad del flujo de salida excede la intensidad del flujo de entrada (es decir, el factor de carga del sistema es menor que uno). Teniendo en cuenta esta condición, obtenemos un sistema de ecuaciones.

resolviendo cuál encontraremos eso. Así, siempre que y<1, получим
Finalmente,
Y
– probabilidad de que el QS esté en el estado mi k en un momento aleatorio en el tiempo.

Rendimiento medio del sistema.

Debido a la recepción desigual de solicitudes en el sistema y a las fluctuaciones en el tiempo de servicio, se forma una cola en el sistema. Para tal sistema se puede investigar:

• norte – el número de requisitos en el QS (en cola y en servicio);
• v – longitud de la cola;
• w – tiempo de espera para que comience el servicio;
• w 0 – tiempo total pasado en el sistema.

estaremos interesados características promedio(es decir, tomamos en consideración la expectativa matemática de las variables aleatorias y recordamos que y<1).

– el número medio de solicitudes en el sistema.

– longitud media de la cola.

– tiempo medio de espera para el inicio del servicio, es decir tiempo de espera en la fila.

– el tiempo promedio que una aplicación pasa en el sistema – en cola y para servicio.

En el lavado de autos hay una cuadra para servicio y hay lugar para hacer cola. Los autos llegan según una distribución de Poisson a razón de 5 autos/hora. El tiempo medio de servicio de una máquina es de 10 minutos. Encuentre todas las características promedio del QS.

Solución. yo=5, metro=60min/10min = 6. Factor de carga y =5/6. Entonces el número promedio de automóviles en el sistema
, longitud media de la cola
, tiempo promedio de espera para que comience el servicio
horas = 50 minutos, y finalmente, el tiempo promedio de permanencia en el sistema
hora.

3.4.3 QS monocanal de tipo mixto.

Supongamos que la longitud de la cola es metro requisitos. Entonces, para cualquiera s£ metro, la probabilidad de que el QS esté en el estado mi 1+ s, calculado por la fórmula
, es decir. se está entregando una solicitud y otra s las solicitudes están en cola.

La probabilidad de que el sistema esté fuera de servicio es
,

y la probabilidad de falla del sistema es
.

Se dan tres sistemas monocanal, para cada yo=5, metro =6. Pero el primer sistema es con rechazos, el segundo es con pura espera y el tercero es con una longitud de cola limitada, metro=2. Encuentre y compare las probabilidades de tiempo de inactividad de estos tres sistemas.

Solución. Para todos los sistemas factor de carga y=5/6. Para un sistema con fallas
. Por un sistema de espera puro
. Para un sistema con una longitud de cola limitada
. La conclusión es obvia: cuantas más aplicaciones haya en la cola, menor será la probabilidad de que el sistema se caiga.

3.5 QS multicanal.

3.5.1 QS multicanal con fallas.

Consideraremos sistemas (P/E/s):(-/s/¥) bajo el supuesto de que el tiempo de servicio no depende del flujo de entrada y que todas las líneas operan de forma independiente. Los sistemas multicanal, además del factor de carga, también se pueden caracterizar por el coeficiente
, Dónde s– número de canales de servicio. Al estudiar QS multicanal, obtenemos las siguientes fórmulas (fórmulas de Erlang) para la probabilidad de que el sistema esté en el estado mi k en un momento aleatorio:

, k=0, 1,…

Función de costo.

Al igual que con los sistemas de un solo canal, el aumento del factor de carga aumenta la probabilidad de falla del sistema. Por otro lado, un aumento en el número de líneas de servicio conduce a un aumento en la probabilidad de fallas del sistema o de canales individuales. Por tanto, es necesario encontrar el número óptimo de canales de servicio para un QS determinado. El número promedio de líneas de servicio gratuitas se puede encontrar usando la fórmula
. Introduzcamos C( s) – función de costo QS dependiendo de Con 1 – el coste de un rechazo (multa por una solicitud no cumplida) y de Con 2 – coste del tiempo de inactividad de una línea por unidad de tiempo.

Para encontrar la opción óptima, es necesario encontrar (y esto se puede hacer) el valor mínimo de la función de costo: CON(s) = s 1* yo * pag s +s 2*, cuyo gráfico se presenta en la Figura 3.3:

Figura 3.3

Encontrar el valor mínimo de la función de costos consiste en encontrar primero sus valores para s =1, entonces para s =2, entonces para s =3,etc hasta que en algún paso el valor de la función C( s) no será más grande que el anterior. Esto significa que la función alcanzó su mínimo y comenzó a crecer. La respuesta será el número de canales de atención (valor s), para lo cual la función de costo es mínima.

EJEMPLO .

¿Cuántas líneas de servicio debe contener un QS con fallas si yo=2 demanda/hora, metro=1 demanda/hora, la multa por cada falla es de 7 mil rublos, el costo del tiempo de inactividad de una línea es de 2 mil rublos. ¿a la una?

Solución. y = 2/1=2. Con 1 =7, Con 2 =2.

Supongamos que el QS tiene dos canales de servicio, es decir s =2. Entonces
. Por eso, C(2) = c 1 *l*pag 2 +s 2 *(2- y*(1-r 2 )) = =7*2*0.4+2*(2-2*0.6)=7.2.

pretendamos que s =3. Entonces
, C(3) = c 1 *l*pag 3 +s 2 *
=5.79.

Supongamos que hay cuatro canales, es decir s =4. Entonces
,
, C(4) = c 1 *l*pag 4 +s 2 *
=5.71.

Supongamos que el QS tiene cinco canales de servicio, es decir s =5. Entonces
, C(5) = 6,7 – más que el valor anterior. Por tanto, el número óptimo de canales de atención es cuatro.

3.5.2 QS multicanal con cola.

Consideraremos sistemas (P/E/s):(d/d+s/¥) bajo el supuesto de que el tiempo de servicio no depende del flujo de entrada y que todas las líneas operan de forma independiente. Diremos que el sistema ha instalado modo de funcionamiento estacionario, si el número promedio de solicitudes entrantes es menor que el número promedio de solicitudes atendidas en todas las líneas del sistema, es decir yo

P(w>0) – probabilidad de esperar el inicio del servicio,
.

La última característica nos permite resolver el problema de determinar el número óptimo de canales de servicio para que la probabilidad de esperar el inicio del servicio sea menor que un número dado. Para hacer esto, basta con calcular la probabilidad de esperar secuencialmente en s =1, s =2, s=3,etc

EJEMPLO .

SMO es una estación de ambulancias en un pequeño microdistrito. yo= 3 llamadas por hora, y metro= 4 llamadas por hora para un equipo. ¿Cuántas tripulaciones necesitas tener en la estación para que la probabilidad de esperar la salida sea menor que 0,01?

Solución. Factor de carga del sistema y =0,75. Supongamos que hay dos equipos disponibles. Encontremos la probabilidad de esperar el inicio del servicio en s =2.
,
.

Supongamos que hay tres equipos, es decir. s=3. Según las fórmulas obtenemos que R 0 =8/17, Р(w>0)=0.04>0.01 .

Supongamos que hay cuatro equipos en la estación, es decir s=4. Entonces entendemos eso R 0 =416/881, Р(w>0)=0.0077<0.01 . Por lo tanto, debería haber cuatro equipos en la estación.

3.6 Preguntas para el autocontrol

1. Tema y tareas de la teoría de colas.
2. SMO, sus modelos y denominaciones.
3. Flujo de requisitos de entrada. Intensidad del flujo de entrada.
4. Estado del sistema. Matriz y gráfico de transición.
5. QS monocanal con fallos.
6. QS monocanal con cola. Características.
7. Modo de funcionamiento estacionario. Factor de carga del sistema.
8. QS multicanal con fallos.
9. Optimización de la función de costos.
10. QS multicanal con cola. Características.

3.7 Ejercicios para el trabajo independiente.

1. El snack bar de la gasolinera dispone de una barra. Los autos llegan según una distribución de Poisson, con un promedio de 2 autos cada 5 minutos. De media, 1,5 minutos son suficientes para completar un pedido, aunque la duración del servicio se distribuye según una ley exponencial. Encuentre: a) la probabilidad de que se produzca un tiempo de inactividad; b) características promedio; c) la probabilidad de que el número de vehículos que lleguen sea al menos 10.
2. La máquina de rayos X permite examinar una media de 7 personas por hora. La intensidad de visitantes es de 5 personas por hora. Suponiendo un funcionamiento estacionario, determine las características promedio.
3. El tiempo de servicio en el QS obedece a la ley exponencial,
   metro = 7 demandas por hora. Encuentre la probabilidad de que a) el tiempo de servicio esté en el rango de 3 a 30 minutos; b) la solicitud será atendida en el plazo de una hora. Utilice la tabla de valores de funciones. mi X .
4. El puerto fluvial tiene un atracadero, la intensidad del flujo entrante es de 5 buques por día. La intensidad de las operaciones de carga y descarga es de 6 buques por día. Teniendo en cuenta el modo de operación estacionario, determine todas las características promedio del sistema.
5. yo=3, metro= 2, la penalización por cada falla es 5 y el costo del tiempo de inactividad de una línea es 2?
6. ¿Cuál es el número óptimo de canales de atención que debe tener un QS si yo=3, metro = 1, la penalización por cada falla es 7 y el costo del tiempo de inactividad de una línea es 3?
7. ¿Cuál es el número óptimo de canales de atención que debe tener un QS si yo=4, metro= 2, la penalización por cada falla es 5 y el costo del tiempo de inactividad de una línea es 1?
8. Determine el número de pistas para aeronaves, teniendo en cuenta el requisito de que la probabilidad de espera sea inferior a 0,05. Al mismo tiempo, la intensidad del flujo de entrada es de 27 aviones por día y la intensidad de su servicio es de 30 aviones por día.
9. ¿Cuántas líneas transportadoras independientes equivalentes debe tener un taller para asegurar un ritmo de trabajo en el que la probabilidad de esperar a que los productos sean procesados ​​sea inferior a 0,03 (cada producto se produce en una línea)? Se sabe que la intensidad de los pedidos recibidos es de 30 productos por hora y la intensidad del procesamiento de productos por una línea es de 36 productos por hora.
10. La variable aleatoria continua X se distribuye según una ley exponencial con parámetro l=5. Encuentre la función de distribución, las características y la probabilidad de chocar con el r.v. X en el rango de 0,17 a 0,28.
11. El promedio de llamadas que llegan a la centralita en un minuto es 3. Suponiendo que el flujo es Poisson, encuentre la probabilidad de que en 2 minutos llegue: a) dos llamadas; b) menos de dos llamadas; c) al menos dos convocatorias.
12. Hay 17 piezas en la caja, 4 de las cuales están defectuosas. El ensamblador selecciona 5 piezas al azar. Encuentre la probabilidad de que a) todas las piezas extraídas sean de alta calidad; b) entre las piezas extraídas, 3 estaban defectuosas.
13. Cuantos canales debe tener un QS con fallas si yo=2 demanda/hora, metro=1 demanda/hora, la multa por cada falla es de 8 mil rublos, el costo del tiempo de inactividad de una línea es de 2 mil rublos. ¿a la una?

1. QS monocanal con fallos.

Ejemplo. Supongamos que un QS monocanal con fallas represente un puesto de mantenimiento (DS) diario para el lavado de autos. A una solicitud (un automóvil que llega en un momento en que el puesto está ocupado) se le niega el servicio.

Caudal de vehículos = 1,0 (vehículos por hora).

La duración media del servicio es de 1,8 horas.

El flujo de vehículos y el flujo de servicios son los más simples.

Necesidad de determinar en estado estacionario valores límite:

Ancho de banda relativo q;

Rendimiento absoluto A ;

Probabilidades de fracaso P abierto.

Necesito comparar actual Rendimiento QS con nominal, que sería si cada automóvil fuera revisado durante exactamente 1,8 horas y los automóviles siguieran uno tras otro sin interrupción.

2. QS monocanal con espera

Características del sistema

Ø SMO tiene un canal.

Ø El flujo entrante de solicitudes de servicio es el flujo más simple con intensidad.

Ø La intensidad del flujo de servicio es igual a m (es decir, en promedio, un canal continuamente ocupado emitirá m solicitudes atendidas).

Ø La duración del servicio es una variable aleatoria sujeta a la ley de distribución exponencial.

Ø El flujo de servicios es el flujo de eventos de Poisson más simple.

Ø Una solicitud recibida cuando el canal está ocupado se pone en cola y espera servicio.

gráfico de estado

Los estados QS tienen la siguiente interpretación:

S 0 - "canal libre";

S 1 - "canal ocupado" (sin cola);

S 2 - "canal ocupado" (hay una solicitud en cola);

…………………………………………………….

sn- “canal ocupado” ( norte-1 solicitudes están en cola);

SN- “canal ocupado” ( norte- 1 solicitudes están en cola).

El proceso estacionario en este sistema se describe mediante el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas:

La solución del sistema de ecuaciones es:

3. QS monocanal con cola limitada.

Longitud de la cola:( norte - 1)

Características del sistema:

1. Probabilidad de falla del servicio del sistema:

2. Rendimiento relativo del sistema:

3. Rendimiento absoluto del sistema:

4. Número promedio de solicitudes en el sistema:

5. Tiempo promedio de permanencia de una aplicación en el sistema:

6. Duración media de la estancia de un cliente (solicitud) en la cola:

7. Número promedio de aplicaciones (clientes) en la cola (longitud de la cola):

Ejemplo.

El puesto de diagnóstico especializado es un QS monocanal.

El número de plazas de aparcamiento para vehículos en espera de diagnóstico es limitado e igual a 3 [( norte- 1) = 3]. Si todos los estacionamientos están ocupados, es decir, ya hay tres automóviles en la cola, el siguiente automóvil que llegue para diagnóstico no se colocará en la cola para recibir servicio.

El flujo de vehículos que llegan para diagnóstico se distribuye según la ley de Poisson y tiene una intensidad de 0,85 (automóviles por hora).

El tiempo de diagnóstico del vehículo se distribuye según una ley exponencial y tiene un promedio de 1,05 horas.

4. QS monocanal con espera

sin límite de longitud de cola

Las condiciones de funcionamiento del QS se mantienen sin cambios, teniendo en cuenta que N.

El modo de funcionamiento estacionario de un QS de este tipo existe:

para cualquiera norte= 0, 1, 2, ... y cuando λ < μ .

Sistema de ecuaciones que describen el funcionamiento del QS:

La solución del sistema de ecuaciones tiene la forma:

2. Duración media de la estancia de un cliente en el sistema:

3. Número promedio de clientes en cola para recibir servicio:

4. Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola:

Ejemplo.

El puesto de diagnóstico especializado es un QS monocanal. El número de plazas de aparcamiento para vehículos en espera de diagnóstico es ilimitado. El flujo de vehículos que llegan para diagnóstico se distribuye según la ley de Poisson y tiene una intensidad λ = 0,85 (automóviles por hora). El tiempo de diagnóstico del vehículo se distribuye según una ley exponencial y tiene un promedio de 1,05 horas.

Se requiere determinar las características probabilísticas de una estación de diagnóstico que funciona en modo estacionario.

Como resultado de la resolución del problema, es necesario determinar los valores finales de las siguientes características probabilísticas:

ü probabilidad de estados del sistema (estación de diagnóstico);

ü número medio de coches en el sistema (en servicio y en cola);

ü la duración media de la estancia de un vehículo en el sistema (para servicio y en cola);

ü número medio de coches en cola para el servicio;

ü la duración media de la estancia de un coche en la cola.

1. Parámetro de flujo de servicio e intensidad de flujo reducido de vehículos:

µ = 0,952; ψ = 0,893.

2. Limitar las probabilidades del estado del sistema:

PAG 0 (t) determina la proporción de tiempo durante el cual la publicación de diagnóstico se ve obligada a estar inactiva (inactiva). En el ejemplo, esta participación es del 10,7%, ya que PAG 0 (t) = 0,107.

3. Número medio de coches en el sistema

(en servicio y en cola):

4. Duración media de la estancia de un cliente en el sistema

5. Número promedio de autos en cola para recibir servicio:

6. Tiempo promedio que un automóvil permanece en fila:

7. Rendimiento relativo del sistema:

q= 1, es decir, se atenderá cada solicitud que ingrese al sistema.

8. Rendimiento absoluto:

El diseño de presentación del material se presenta en el archivo “TMO”

Preguntas y tareas

(según Afanasyev M.Yu.)

Pregunta 1. Un trabajador mantiene treinta telares, asegurándose de que se pongan en marcha después de que se rompe un hilo. El modelo de dicho sistema de colas se puede caracterizar como:

1) monofásico multicanal con población limitada;

2) monofásico monocanal con población ilimitada;

3) multifásico monocanal con población limitada;

4) monofásico de un solo canal con población limitada;

5) monofásico multicanal con población ilimitada.

Pregunta 2. En la teoría de colas, se utiliza una distribución de probabilidad para describir el flujo más simple de solicitudes que llegan a la entrada del sistema:

1) normales;

2) exponencial;

3) veneno;

4) binomio;

Pregunta 3. En la teoría de colas, se supone que el número de solicitudes en una población es:

1) fijo o variable;

2) limitado o ilimitado;

3) conocido o desconocido;

4) aleatorio o determinista;

5) nada de lo anterior es cierto.

Pregunta 4. Los dos parámetros principales que determinan la configuración del sistema de colas son:

1) tasa de llegada y tasa de servicio;

2) longitud de la cola y regla de servicio;

3) distribución del tiempo entre solicitudes y distribución del tiempo de servicio;

4) número de canales y número de fases del servicio;

5) nada de lo anterior es cierto.

Pregunta 5. En la teoría de colas, generalmente se utiliza una distribución de probabilidad para describir el tiempo dedicado a atender las solicitudes:

1) normales;

2) exponencial;

3) veneno;

4) binomio;

5) nada de lo anterior es cierto.

Pregunta 6. La reparación de ordenadores averiados en la Facultad de Economía la llevan a cabo tres especialistas que trabajan simultáneamente e independientemente uno del otro. El modelo de dicho sistema de colas se puede caracterizar como:

1) multicanal con una población limitada;

2) monocanal con población ilimitada;

3) monocanal con población limitada;

4) monocanal con cola limitada;

5) multicanal con población ilimitada.

Respuestas a preguntas: 1 -4, 2 - 3, 3 -2, 4 -4, 5 -2, 6 -1.

PLANIFICACIÓN Y GESTIÓN DE REDES

Los sistemas de gestión y planificación de redes (NPS) representan un tipo especial de sistemas de gestión organizados diseñados para regular las actividades de producción de los equipos. Como en otros sistemas de esta clase, el "objeto de control" en los sistemas SPU es un grupo de ejecutores que cuentan con ciertos recursos: humanos, materiales, financieros. Sin embargo, estos sistemas tienen una serie de características, ya que su base metodológica está formada por métodos de investigación operativa, la teoría de gráficos dirigidos y algunos apartados de la teoría de la probabilidad y la estadística matemática. Una propiedad necesaria de un sistema de planificación y gestión es también la capacidad de evaluar el estado actual, predecir el progreso futuro del trabajo y, por lo tanto, influir en el progreso de la preparación y la producción, de modo que toda la gama de trabajo se complete dentro de un plazo determinado y en el costo más bajo.

Actualmente, los modelos y métodos SPC se utilizan ampliamente en la planificación e implementación de trabajos de construcción e instalación, planificación de actividades comerciales, elaboración de informes contables, desarrollo de un plan comercial y financiero, etc.

El ámbito de aplicación de la SPU es muy amplio: desde tareas relacionadas con las actividades de individuos hasta proyectos en los que participan cientos de organizaciones y decenas de miles de personas (por ejemplo, el desarrollo y creación de un gran complejo territorial-industrial).

Para elaborar un plan de trabajo para la implementación de proyectos grandes y complejos que constan de miles de estudios y operaciones individuales, es necesario describirlo mediante algún tipo de modelo matemático. Un medio de este tipo para describir proyectos (complejos) es un modelo de red.