Cómo montar un cubo chino a partir de 6 partes. Nudos de rompecabezas de madera hechos con barras

Fecha de: 2013-11-07

El mundo está diseñado de tal manera que las cosas en él pueden vivir más que las personas, tener diferentes nombres en diferentes épocas y en diferentes países, incluso podemos jugar juegos de Los Simpson. El juguete que ves en la imagen es conocido en nuestro país como “rompecabezas del Almirante Makarov”. En otros países tiene otros nombres, de los cuales los más comunes son “cruz del diablo” y “nudo del diablo”.

Este nudo está conectado por 6 barras cuadradas. Las barras tienen ranuras, gracias a las cuales es posible cruzar las barras en el centro del nudo. Una de las barras no tiene ranuras, se inserta en último lugar en el conjunto y, al desmontarla, se retira primero.

Se desconoce el autor de este rompecabezas. Apareció hace muchos siglos en China. En el Museo de Antropología y Etnografía de Leningrado que lleva su nombre. Pedro el Grande, conocida como la "Kunstkamera", se encuentra una antigua caja de sándalo procedente de la India, en cuyas 8 esquinas las intersecciones de las barras del marco forman 8 rompecabezas. En la Edad Media, marineros y comerciantes, guerreros y diplomáticos se divertían con estos enigmas y al mismo tiempo los llevaban por todo el mundo. El almirante Makarov, que visitó China dos veces antes de su último viaje y muerte en Port Arthur, llevó el juguete a San Petersburgo, donde se puso de moda en los salones seculares. El enigma también penetró en las profundidades de Rusia por otros caminos. Se sabe que el fardo del diablo fue llevado a la aldea de Olsufyevo, en la región de Briansk, por un soldado que regresaba de la guerra ruso-turca.

Hoy en día puedes comprar un rompecabezas en una tienda, pero es más agradable hacerlo tú mismo. El tamaño de barras más adecuado para una estructura casera: 6x2x2 cm.

Variedad de malditos nudos.

Antes del comienzo de nuestro siglo, durante varios cientos de años de existencia del juguete, se inventaron más de cien variantes del rompecabezas en China, Mongolia e India, que se diferenciaban en la configuración de los recortes en las barras. Pero dos opciones siguen siendo las más populares. El que se muestra en la Figura 1 es bastante fácil de resolver; simplemente hazlo. Este es el diseño utilizado en la antigua caja india. Las barras de la Figura 2 se utilizan para crear un rompecabezas llamado "Nudo del Diablo". Como puedes imaginar, recibió su nombre debido a la dificultad de resolverlo.

Arroz. 1 La versión más sencilla del rompecabezas del "nudo del diablo"

En Europa, donde, desde finales del siglo pasado, el "nudo del diablo" se hizo ampliamente conocido, los entusiastas comenzaron a inventar y fabricar juegos de barras con diferentes configuraciones de corte. Uno de los conjuntos más exitosos te permite conseguir 159 acertijos y consta de 20 barras de 18 tipos. Aunque todos los nodos son indistinguibles externamente, en el interior están dispuestos de manera completamente diferente.

Arroz. 2 "El rompecabezas del almirante Makarov"

En el rompecabezas "El nudo del diablo" también trabajó el artista búlgaro, el profesor Petr Chujovski, autor de muchos nudos de madera extraños y hermosos de diferentes números de barras. Desarrolló un conjunto de configuraciones de barras y exploró todas las combinaciones posibles de 6 barras para un subconjunto simple.

El más persistente de todos en tales búsquedas fue el profesor de matemáticas holandés Van de Boer, quien con sus propias manos hizo un conjunto de varios cientos de barras y compiló tablas que muestran cómo ensamblar 2906 variantes de nudos.

Esto fue en los años 60, y en 1978, el matemático estadounidense Bill Cutler escribió un programa de computadora y, mediante una búsqueda exhaustiva, determinó que había 119.979 variantes de un rompecabezas de 6 piezas, que se diferenciaban entre sí por combinaciones de protuberancias y depresiones en las barras, así como barras de colocación, siempre que no queden huecos en el interior del conjunto.

¡Un número sorprendentemente grande para un juguete tan pequeño! Por lo tanto, se necesitaba una computadora para resolver el problema.

Cómo una computadora resuelve acertijos?

Por supuesto, no como una persona, pero tampoco de alguna manera mágica. La computadora resuelve acertijos (y otros problemas) de acuerdo con un programa; los programas son escritos por programadores. Escriben como quieren, pero de una manera que la computadora pueda entender. ¿Cómo manipula una computadora los bloques de madera?

Supongamos que tenemos un conjunto de 369 barras, que se diferencian entre sí en la configuración de las protuberancias (este conjunto fue determinado por primera vez por Van de Boer). Las descripciones de estas barras deben ingresarse en la computadora. El corte mínimo (o protuberancia) en un bloque es un cubo con una arista igual a 0,5 del espesor del bloque. Llamémoslo cubo unitario. Todo el bloque contiene 24 de estos cubos (Figura 1). En la computadora, para cada bloque, se crea una “pequeña” matriz de 6x2x2=24 números. Un bloque con recortes se especifica mediante una secuencia de 0 y 1 en una matriz “pequeña”: 0 corresponde a un cubo recortado, 1 a uno completo. Cada una de las matrices "pequeñas" tiene su propio número (del 1 al 369). A cada uno de ellos se le puede asignar un número del 1 al 6, correspondiente a la posición del bloque dentro del rompecabezas.

Pasemos ahora al rompecabezas. Imaginemos que cabe dentro de un cubo de 8x8x8. En una computadora, este cubo corresponde a una matriz "grande" que consta de 8x8x8 = 512 celdas numéricas. Colocar un determinado bloque dentro de un cubo significa llenar las celdas correspondientes de la matriz "grande" con números iguales al número del bloque dado.

Comparando 6 matrices “pequeñas” y la principal, la computadora (es decir, el programa) parece sumar 6 barras. Según los resultados de la suma de números, determina cuántas y qué tipo de celdas "vacías", "llenas" y "desbordantes" se formaron en la matriz principal. Las celdas "vacías" corresponden al espacio vacío dentro del rompecabezas, las celdas "llenas" corresponden a protuberancias en las barras y las celdas "abarrotadas" corresponden a un intento de conectar dos cubos individuales, lo cual, por supuesto, está prohibido. Esta comparación se hace muchas veces, no sólo con diferentes barras, sino también teniendo en cuenta sus giros, los lugares que ocupan en la “cruz”, etc.

Como resultado, se seleccionan aquellas opciones que no tienen celdas vacías o llenas en exceso. Para resolver este problema, sería suficiente una matriz “grande” de celdas de 6x6x6. Resulta, sin embargo, que existen combinaciones de barras que llenan por completo el volumen interno del rompecabezas, pero es imposible desmontarlas. Por tanto, el programa debe poder comprobar el montaje en busca de posibilidad de desmontaje. Para ello, Cutler tomó una matriz de 8x8x8, aunque sus dimensiones pueden no ser suficientes para probar todos los casos.

Está lleno de información sobre una versión específica del rompecabezas. Dentro de la matriz, el programa intenta "mover" las barras, es decir, mueve partes de la barra con dimensiones de 2x2x6 celdas en la matriz "grande". El movimiento se produce por 1 celda en cada una de las 6 direcciones, paralelas a los ejes del rompecabezas. Los resultados de esos 6 intentos en los que no se forman celdas "sobrellenadas" se recuerdan como las posiciones iniciales para los siguientes seis intentos. Como resultado, se construye un árbol de todos los movimientos posibles hasta que un bloque abandona completamente la matriz principal o, después de todos los intentos, quedan celdas "sobrellenadas", lo que corresponde a una opción que no se puede desmontar.

Así se obtuvieron en una computadora 119.979 variantes del "Nudo del Diablo", de las cuales no 108, como creían los antiguos, sino 6.402 variantes, con 1 bloque entero sin cortes.

supernodo

Observemos que Cutler se negó a estudiar el problema general, cuando el nodo también contiene huecos internos. En este caso, el número de nodos de 6 barras aumenta considerablemente y la búsqueda exhaustiva necesaria para encontrar soluciones factibles se vuelve irreal incluso para una computadora moderna. Pero como veremos ahora, los acertijos más interesantes y difíciles están contenidos precisamente en el caso general: desarmar el rompecabezas puede resultar lejos de ser trivial.

Debido a la presencia de huecos, es posible mover varias barras secuencialmente antes de que una pueda separarse por completo. Un bloque en movimiento desengancha algunas barras, permite el movimiento del siguiente bloque y simultáneamente engancha otras barras.

Cuantas más manipulaciones tengas que hacer al desmontar, más interesante y difícil será la versión del rompecabezas. Las ranuras de las barras están dispuestas de forma tan inteligente que encontrar una solución es como deambular por un oscuro laberinto, en el que constantemente te encuentras con paredes o callejones sin salida. Este tipo de nudo sin duda merece un nuevo nombre; lo llamaremos "supernodo". Una medida de la complejidad de un supernudo es el número de movimientos de las barras individuales que deben realizarse antes de que el primer elemento se separe del rompecabezas.

No sabemos a quién se le ocurrió el primer supernodo. Los más famosos (y más difíciles de resolver) son dos supernudos: la “espina de Bill” de dificultad 5, inventada por W. Cutler, y el “supernudo de Dubois” de dificultad 7. Hasta ahora se creía que el grado de dificultad 7 difícilmente podría ser superado. Sin embargo, el primer autor de este artículo logró mejorar el "nudo de Dubois" y aumentar la complejidad a 9, y luego, utilizando algunas ideas nuevas, consiguió supernudos con complejidad 10, 11 y 12. Pero el número 13 sigue siendo insuperable. ¿Quizás el número 12 sea la mayor dificultad de un supernodo?

Solución de supernodo

Proporcionar dibujos de acertijos tan difíciles como los supernudos y no revelar sus secretos sería demasiado cruel incluso para los expertos en acertijos. Daremos la solución a los supernudos en forma algebraica compacta.

Antes de desmontarlo, tomamos el rompecabezas y lo orientamos de manera que los números de pieza correspondan a la Figura 1. La secuencia de desmontaje está escrita como una combinación de números y letras. Los números indican los números de las barras, las letras indican la dirección del movimiento de acuerdo con el sistema de coordenadas que se muestra en las Figuras 3 y 4. Una línea encima de una letra significa movimiento en la dirección negativa del eje de coordenadas. Un paso es mover el bloque 1/2 de su ancho. Cuando un bloque se mueve dos pasos a la vez, su movimiento se escribe entre paréntesis con un exponente de 2. Si se mueven varias partes que están entrelazadas a la vez, entonces sus números se escriben entre paréntesis, por ejemplo (1, 3, 6) x . La separación del bloque del rompecabezas se indica mediante una flecha vertical.

Demos ahora ejemplos de los mejores supernodos.

El rompecabezas de W. Cutler ("La espina de Bill")

Consta de las partes 1, 2, 3, 4, 5, 6, que se muestran en la Figura 3. Allí también se proporciona un algoritmo para resolverlo. Es curioso que la revista Scientific American (1985, núm. 10) dé otra versión de este enigma e informe que la “espina de Bill” tiene una solución única. La diferencia entre las opciones está en un solo bloque: las partes 2 y 2 B en la Figura 3.

Arroz. 3 "Bill's Thorn", desarrollado mediante ordenador.

Debido a que la parte 2 B contiene menos cortes que la parte 2, no es posible insertarla en la “espina de Bill” usando el algoritmo indicado en la Figura 3. Queda por suponer que el rompecabezas de Scientific American está armado de alguna otra manera.

Si este es el caso y lo ensamblamos, entonces podemos reemplazar la parte 2 B con la parte 2, ya que esta última ocupa menos volumen que 2 B. Como resultado, obtendremos la segunda solución del rompecabezas. Pero "La espina de Bill" tiene una solución única, y de nuestra contradicción sólo se puede sacar una conclusión: en la segunda versión hubo un error en el dibujo.

Un error similar se cometió en otra publicación (J. Slocum, J. Botermans “Puzzles old and new”, 1986), pero en un bloque diferente (detalle 6 C en la Figura 3). ¿Cómo fue para aquellos lectores que intentaron, y quizás todavía estén intentando, resolver estos acertijos?