Ecuación de una recta en cuatro formas. Ecuación general de una recta

Las ecuaciones canónicas de una línea recta en el espacio son ecuaciones que definen una línea recta que pasa por un punto dado colinealmente a un vector de dirección.

Sean dados un punto y un vector director. Un punto arbitrario se encuentra en una línea yo solo si los vectores y son colineales, es decir, cumplen la condición:

.

Las ecuaciones anteriores son las ecuaciones canónicas de la recta.

Números metro , norte Y pag son proyecciones del vector de dirección sobre los ejes de coordenadas. Como el vector es distinto de cero, entonces todos los números metro , norte Y pag no puede ser cero al mismo tiempo. Pero uno o dos de ellos pueden ser cero. En geometría analítica, por ejemplo, se permite la siguiente notación:

,

lo que significa que las proyecciones del vector sobre los ejes Oye Y Onz son iguales a cero. Por tanto, tanto el vector como la recta dada por las ecuaciones canónicas son perpendiculares a los ejes Oye Y Onz, es decir, aviones yOz .

Ejemplo 1 Componer ecuaciones de una línea recta en el espacio perpendicular a un plano y pasando por el punto de intersección de este plano con el eje Onz .

Solución. Encuentre el punto de intersección del plano dado con el eje Onz. Como cualquier punto del eje Onz, tiene coordenadas , entonces, suponiendo en la ecuación dada del plano x=y= 0, obtenemos 4 z- 8 = 0 o z= 2 . Por tanto, el punto de intersección del plano dado con el eje Onz tiene coordenadas (0; 0; 2) . Dado que la línea deseada es perpendicular al plano, es paralela a su vector normal. Por tanto, el vector normal puede servir como vector director de la recta plano dado.

Ahora escribimos las ecuaciones deseadas de la recta que pasa por el punto A= (0; 0; 2) en la dirección del vector:

Ecuaciones de una recta que pasa por dos puntos dados

Una línea recta se puede definir por dos puntos que se encuentran sobre ella. Y En este caso, el vector director de la recta puede ser el vector . Entonces las ecuaciones canónicas de la recta toman la forma

.

Las ecuaciones anteriores definen una línea recta que pasa por dos puntos dados.

Ejemplo 2 Escribe la ecuación de una línea recta en el espacio que pasa por los puntos y .

Solución. Escribimos las ecuaciones deseadas de la línea recta en la forma dada arriba en la referencia teórica:

.

Como , entonces la línea deseada es perpendicular al eje Oye .

Recta como línea de intersección de planos

Una línea recta en el espacio se puede definir como una línea de intersección de dos planos no paralelos y, es decir, como un conjunto de puntos que satisfacen un sistema de dos ecuaciones lineales

Las ecuaciones del sistema también se denominan ecuaciones generales de la línea recta en el espacio.

Ejemplo 3 Componer ecuaciones canónicas de una línea recta en el espacio dado por ecuaciones generales

Solución. Para escribir las ecuaciones canónicas de una recta o, lo que es lo mismo, la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados, hay que encontrar las coordenadas de dos puntos cualesquiera de la recta. Pueden ser los puntos de intersección de una recta con dos planos coordenados cualesquiera, por ejemplo yOz Y xOz .

Punto de intersección de una recta con un plano yOz tiene una abscisa X= 0 . Por lo tanto, suponiendo en este sistema de ecuaciones X= 0, obtenemos un sistema con dos variables:

su decisión y = 2 , z= 6 junto con X= 0 define un punto A(0; 2; 6) de la línea deseada. Suponiendo entonces en el sistema de ecuaciones dado y= 0, obtenemos el sistema

su decisión X = -2 , z= 0 junto con y= 0 define un punto B(-2; 0; 0) intersección de una recta con un plano xOz .

Ahora escribimos las ecuaciones de una recta que pasa por los puntos A(0; 2; 6) y B (-2; 0; 0) :

,

o después de dividir los denominadores por -2:

,

La recta que pasa por el punto K(x 0; y 0) y paralela a la recta y = kx + a se encuentra mediante la fórmula:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Donde k es la pendiente de la recta.

Fórmula alternativa:
La recta que pasa por el punto M 1 (x 1 ; y 1) y paralela a la recta Ax+By+C=0 está representada por la ecuación

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Escribe la ecuación de una recta que pasa por el punto K( ;) paralela a la recta y = x + .

Ejemplo 1. Componga la ecuación de una recta que pasa por el punto M 0 (-2.1) y al mismo tiempo:
a) paralela a la recta 2x+3y -7 = 0;
b) perpendicular a la recta 2x+3y -7 = 0.
Solución . Representemos la ecuación de la pendiente como y = kx + a . Para ello, trasladaremos todos los valores excepto y al lado derecho: 3y = -2x + 7. Luego dividimos el lado derecho por el coeficiente 3 . Obtenemos: y = -2/3x + 7/3
Encuentra la ecuación NK que pasa por el punto K(-2;1) paralela a la recta y = -2 / 3 x + 7 / 3
Sustituyendo x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 obtenemos:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
o
y = -2 / 3 x - 1 / 3 o 3y + 2x +1 = 0

Ejemplo #2. Escribe la ecuación de una recta paralela a la recta 2x + 5y = 0 y formando, junto con los ejes coordenados, un triángulo cuya área es 5.
Solución . Como las rectas son paralelas, la ecuación de la recta buscada es 2x + 5y + C = 0. El área de un triángulo rectángulo, donde a y b son sus catetos. Encuentre los puntos de intersección de la línea deseada con los ejes de coordenadas:
;
.
Entonces, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Sustituye en la fórmula del área: . Obtenemos dos soluciones: 2x + 5y + 10 = 0 y 2x + 5y - 10 = 0.

Ejemplo #3. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2; 5) y la recta paralela 5x-7y-4=0 .
Solución. Esta línea recta se puede representar mediante la ecuación y = 5/7 x – 4/7 (aquí a = 5/7). La ecuación de la línea deseada es y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), es decir 7(y-5)=5(x+2) o 5x-7y+45=0 .

Ejemplo #4. Resolviendo el ejemplo 3 (A=5, B=-7) usando la fórmula (2), encontramos 5(x+2)-7(y-5)=0.

Ejemplo número 5. Escribe la ecuación de una recta que pasa por el punto (-2;5) y una recta paralela 7x+10=0.
Solución. Aquí A=7, B=0. La fórmula (2) da 7(x+2)=0, es decir x+2=0. La fórmula (1) no es aplicable, ya que esta ecuación no se puede resolver con respecto a y (esta línea recta es paralela al eje y).

Deje que la línea recta pase por los puntos M 1 (x 1; y 1) y M 2 (x 2; y 2). La ecuación de una línea recta que pasa por el punto M 1 tiene la forma y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

Dónde k - Coeficiente aún desconocido.

Dado que la línea recta pasa por el punto M 2 (x 2 y 2), entonces las coordenadas de este punto deben satisfacer la ecuación (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

A partir de aquí encontramos Sustituyendo el valor encontrado k en la ecuación (10.6), obtenemos la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos M 1 y M 2:

Se supone que en esta ecuación x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Si x 1 \u003d x 2, entonces la línea recta que pasa por los puntos M 1 (x 1, y I) y M 2 (x 2, y 2) es paralela al eje y. su ecuacion es x = x 1 .

Si y 2 \u003d y I, entonces la ecuación de la línea recta se puede escribir como y \u003d y 1, la línea recta M 1 M 2 es paralela al eje x.

Ecuación de una recta en segmentos

Sea la línea recta la intersección del eje Ox en el punto M 1 (a; 0), y el eje Oy en el punto M 2 (0; b). La ecuación tomará la forma:
aquellos.
. Esta ecuación se llama la ecuación de una recta en segmentos, porque los números a y b indican qué segmentos corta la línea recta en los ejes de coordenadas.

Ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado

Encontremos la ecuación de una recta que pasa por un punto Mo (x O; y o) perpendicular a un vector distinto de cero n = (A; B).

Tome un punto arbitrario M(x; y) en la línea recta y considere el vector M 0 M (x - x 0; y - y o) (ver Fig. 1). Como los vectores n y M o M son perpendiculares, su producto escalar es igual a cero: es decir,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

La ecuación (10.8) se llama ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado .

El vector n = (A; B) perpendicular a la recta se llama normal vector normal de esta línea .

La ecuación (10.8) se puede reescribir como Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

donde A y B son las coordenadas del vector normal, C \u003d -Ax o - Vu o - miembro libre. Ecuación (10.9) es la ecuación general de una recta(ver Fig. 2).

Figura 1 Figura 2

Ecuaciones canónicas de la línea recta

,

Dónde
son las coordenadas del punto por el que pasa la recta, y
- vector de dirección.

Curvas de segundo orden Círculo

Un círculo es el conjunto de todos los puntos de un plano equidistantes de un punto dado, que se llama centro.

Ecuación canónica de un círculo de radio R centrado en un punto
:

En particular, si el centro de la estaca coincide con el origen, la ecuación se verá así:

Elipse

Una elipse es un conjunto de puntos en un plano, la suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos dados Y , que se llaman focos, es un valor constante
, mayor que la distancia entre los focos
.

La ecuación canónica de una elipse cuyos focos se encuentran en el eje Ox y cuyo origen está en el medio entre los focos tiene la forma
GRAMO Delaware a la longitud del semieje mayor; b es la longitud del semieje menor (Fig. 2).

Ecuación de una recta en un plano.

Como es sabido, cualquier punto del plano está determinado por dos coordenadas en algún sistema de coordenadas. Los sistemas de coordenadas pueden ser diferentes dependiendo de la elección de la base y el origen.

Definición. Ecuación de línea es la relación y = f(x) entre las coordenadas de los puntos que forman esta recta.

Tenga en cuenta que la ecuación de la línea se puede expresar de forma paramétrica, es decir, cada coordenada de cada punto se expresa a través de algún parámetro independiente t.

Un ejemplo típico es la trayectoria de un punto en movimiento. En este caso, el tiempo juega el papel de un parámetro.

Ecuación de una recta sobre un plano.

Definición. Cualquier recta en el plano puede estar dada por una ecuación de primer orden

Ah + Wu + C = 0,

además, las constantes A, B no son iguales a cero al mismo tiempo, es decir A 2 + B 2  0. Esta ecuación de primer orden se llama la ecuación general de una recta.

Dependiendo de los valores de las constantes A, B y C, son posibles los siguientes casos especiales:

C \u003d 0, A  0, B  0 - la línea pasa por el origen

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - la línea es paralela al eje Ox

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - la línea es paralela al eje Oy

B \u003d C \u003d 0, A  0 - la línea recta coincide con el eje Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - la línea recta coincide con el eje Ox

La ecuación de una línea recta se puede presentar en varias formas dependiendo de las condiciones iniciales dadas.

Ecuación de una recta por un punto y un vector normal.

Definición. En un sistema cartesiano de coordenadas rectangulares, un vector con componentes (A, B) es perpendicular a la recta dada por la ecuación Ax + By + C = 0.

Ejemplo. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto A (1, 2) perpendicular al vector (3, -1).

Compongamos en A \u003d 3 y B \u003d -1 la ecuación de la línea recta: 3x - y + C \u003d 0. Para encontrar el coeficiente C, sustituimos las coordenadas del punto A dado en la expresión resultante.

Obtenemos: 3 - 2 + C \u003d 0, por lo tanto C \u003d -1.

Total: la ecuación deseada: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Sean dos puntos M 1 (x 1, y 1, z 1) y M 2 (x 2, y 2, z 2) dados en el espacio, luego la ecuación de una recta que pasa por estos puntos:

Si alguno de los denominadores es igual a cero, el numerador correspondiente debe ser igual a cero.

En un plano, la ecuación de una línea recta escrita arriba se simplifica:

si x 1  x 2 y x \u003d x 1, si x 1 \u003d x 2.

Fracción
= k se llama factor de pendiente derecho.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 4).

Aplicando la fórmula anterior, obtenemos:

Ecuación de una recta por un punto y una pendiente.

Si la ecuación general de la recta Ax + Vy + C = 0 lleva a la forma:

y designar
, entonces la ecuación resultante se llama ecuación de una recta con pendientek.

La ecuación de una línea recta en un punto y un vector director.

Por analogía con el punto considerando la ecuación de una línea recta a través del vector normal, puede ingresar la asignación de una línea recta a través de un punto y un vector director de una línea recta.

Definición. Todo vector distinto de cero ( 1 ,  2), cuyas componentes satisfacen la condición A 1 + B 2 = 0 se denomina vector director de la recta

Ah + Wu + C = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de una línea recta con un vector director (1, -1) y pasando por el punto A(1, 2).

Buscaremos la ecuación de la recta deseada en la forma: Ax + By + C = 0. De acuerdo con la definición, los coeficientes deben cumplir las condiciones:

1A + (-1)B = 0, es decir A = B.

Entonces la ecuación de una línea recta tiene la forma: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C/A = 0.

en x = 1, y = 2 obtenemos С/A = -3, es decir ecuación deseada:

Ecuación de una recta en segmentos.

Si en la ecuación general de la recta Ah + Wu + C = 0 C 0, entonces, dividiendo por –C, obtenemos:
o

, Dónde

El significado geométrico de los coeficientes es que el coeficiente A es la coordenada del punto de intersección de la recta con el eje x, y b- la coordenada del punto de intersección de la recta con el eje Oy.

Ejemplo. Dada la ecuación general de la recta x - y + 1 = 0. Encuentra la ecuación de esta recta en los segmentos.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Ecuación normal de una recta.

Si ambos lados de la ecuación Ax + Wy + C = 0 divididos por el número
, Lo que es llamado factor de normalización, entonces obtenemos

xcos + ysen - p = 0 –

Ecuación normal de una recta.

El signo  del factor de normalización debe elegirse de modo que С< 0.

p es la longitud de la perpendicular que cae desde el origen hasta la recta, y  es el ángulo que forma esta perpendicular con la dirección positiva del eje Ox.

Ejemplo. Dada la ecuación general de la recta 12x - 5y - 65 = 0. Se requiere escribir varios tipos de ecuaciones para esta recta.

la ecuación de esta recta en segmentos:

la ecuación de esta línea con la pendiente: (dividir por 5)

ecuación normal de una recta:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Cabe señalar que no toda línea recta se puede representar mediante una ecuación en segmentos, por ejemplo, líneas rectas paralelas a los ejes o que pasan por el origen.

Ejemplo. La línea recta corta segmentos positivos iguales en los ejes de coordenadas. Escribe la ecuación de una recta si el área del triángulo formado por estos segmentos es de 8 cm 2.

La ecuación de una recta tiene la forma:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 no se ajusta a la condición del problema.

Total:
o x + y - 4 = 0.

Ejemplo. Escribe la ecuación de una recta que pasa por el punto A (-2, -3) y el origen.

La ecuación de una recta tiene la forma:
, donde x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Ángulo entre rectas en un plano.

Definición. Si se dan dos líneas y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , entonces el ángulo agudo entre estas líneas se definirá como

.

Dos rectas son paralelas si k 1 = k 2 .

Dos rectas son perpendiculares si k 1 = -1/k 2 .

Teorema. Líneas rectas Ax + Vy + C = 0 y A 1 X + B 1 y + c 1 = 0 son paralelos cuando los coeficientes A son proporcionales 1 =  un, b 1 =  B. Si también C 1 =  C, entonces las líneas coinciden.

Las coordenadas del punto de intersección de dos rectas se encuentran como solución al sistema de ecuaciones de estas rectas.

Ecuación de una recta que pasa por un punto dado

perpendicular a esta línea.

Definición. La línea que pasa por el punto M 1 (x 1, y 1) y es perpendicular a la línea y \u003d kx + b está representada por la ecuación:

La distancia de un punto a una recta.

Teorema. Si un punto M(x 0 , y 0 ), entonces la distancia a la línea Ax + Vy + C = 0 se define como

.

Prueba. Sea el punto M 1 (x 1, y 1) la base de la perpendicular trazada desde el punto M hasta la recta dada. Entonces la distancia entre los puntos M y M 1:

Las coordenadas x 1 e y 1 se pueden encontrar como una solución al sistema de ecuaciones:

La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado M 0 perpendicular a una línea recta dada.

Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

entonces, resolviendo, obtenemos:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:

.

El teorema ha sido probado.

Ejemplo. Determine el ángulo entre las líneas: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2tg =
;  = /4.

Ejemplo. Demuestre que las rectas 3x - 5y + 7 = 0 y 10x + 6y - 3 = 0 son perpendiculares.

Encontramos: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, por lo tanto, las líneas son perpendiculares.

Ejemplo. Se dan los vértices del triángulo A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Encuentra la ecuación para la altura dibujada desde el vértice C.

Encontramos la ecuación del lado AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

La ecuación de la altura deseada es: Ax + By + C = 0 o y = kx + b.

k = . Entonces y =
. Porque la altura pasa por el punto C, entonces sus coordenadas satisfacen esta ecuación:
de donde b = 17. Total:
.

Respuesta: 3x + 2y - 34 = 0.

Geometría analítica en el espacio.

Ecuación de línea en el espacio.

La ecuación de una línea recta en el espacio por un punto y

vector de dirección

Tome una línea arbitraria y un vector (m, n, p) paralela a la recta dada. Vector llamado guia de vectores derecho.

Tomemos dos puntos arbitrarios M 0 (x 0 , y 0 , z 0) y M(x, y, z) en la línea recta.

z

M1

Denotemos los radios vectores de estos puntos como Y , es obvio que - =
.

Porque vectores
Y son colineales, entonces la relación es verdadera
= t, donde t es algún parámetro.

En total, podemos escribir: = + t.

Porque esta ecuación se satisface con las coordenadas de cualquier punto de la línea, entonces la ecuación resultante es ecuación paramétrica de una línea recta.

Esta ecuación vectorial se puede representar en forma de coordenadas:

Transformando este sistema e igualando los valores del parámetro t, obtenemos las ecuaciones canónicas de una recta en el espacio:

.

Definición. cosenos directores directos son los cosenos directores del vector , que se puede calcular mediante las fórmulas:

;

.

De aquí obtenemos: m: n: p = cos : cos : cos.

Los números m, n, p se llaman factores de pendiente derecho. Porque es un vector distinto de cero, m, n y p no pueden ser cero al mismo tiempo, pero uno o dos de estos números pueden ser cero. En este caso, en la ecuación de una línea recta, los numeradores correspondientes deben ser igualados a cero.

Ecuación de una línea recta en el espacio que pasa

a través de dos puntos.

Si dos puntos arbitrarios M 1 (x 1, y 1, z 1) y M 2 (x 2, y 2, z 2) están marcados en una línea recta en el espacio, entonces las coordenadas de estos puntos deben satisfacer la ecuación de la recta obtenida arriba:

.

Además, para el punto M 1 podemos escribir:

.

Resolviendo estas ecuaciones juntas, obtenemos:

.

Esta es la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos en el espacio.

Ecuaciones generales de una recta en el espacio.

La ecuación de una línea recta se puede considerar como la ecuación de una línea de intersección de dos planos.

Como se discutió anteriormente, un plano en forma vectorial puede estar dado por la ecuación:

+ D = 0, donde

- plano normal; - radio-vector de un punto arbitrario del plano.

Este artículo revela la derivación de la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados en un sistema de coordenadas rectangulares ubicado en un plano. Derivamos la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados en un sistema de coordenadas rectangulares. Mostraremos y resolveremos visualmente varios ejemplos relacionados con el material tratado.

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Antes de obtener la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados, es necesario prestar atención a algunos hechos. Hay un axioma que dice que por dos puntos no coincidentes de un plano se puede trazar una recta y sólo una. En otras palabras, dos puntos dados del plano están determinados por una línea recta que pasa por estos puntos.

Si el plano está dado por el sistema de coordenadas rectangulares Oxy, cualquier línea recta representada en él corresponderá a la ecuación de la línea recta en el plano. También existe una conexión con el vector director de la recta Estos datos son suficientes para trazar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados.

Considere un ejemplo de cómo resolver un problema similar. Es necesario formular la ecuación de una línea recta a que pasa por dos puntos no coincidentes M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2) ubicados en el sistema de coordenadas cartesianas.

En la ecuación canónica de una línea recta en un plano, que tiene la forma x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , se especifica un sistema de coordenadas rectangular O x y con una línea recta que se cruza con él en un punto con coordenadas M 1 (x 1, y 1) con un vector guía a → = (a x , a y) .

Es necesario componer la ecuación canónica de la recta a, que pasará por dos puntos de coordenadas M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2) .

La recta a tiene un vector director M 1 M 2 → con coordenadas (x 2 - x 1, y 2 - y 1), ya que corta los puntos M 1 y M 2. Hemos obtenido los datos necesarios para transformar la ecuación canónica con las coordenadas del vector director M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) y las coordenadas de los puntos M 1 que se encuentran sobre ellos (x 1, y 1) y M 2 (x 2 , y 2) . Obtenemos una ecuación de la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 o x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Considere la siguiente figura.

Siguiendo los cálculos, escribimos las ecuaciones paramétricas de una línea recta en un plano que pasa por dos puntos con coordenadas M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2) . Obtenemos una ecuación de la forma x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ o x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Echemos un vistazo más de cerca a algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Escribe la ecuación de una recta que pasa por 2 puntos dados de coordenadas M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Solución

La ecuación canónica para una línea recta que se corta en dos puntos con coordenadas x 1 , y 1 y x 2 , y 2 toma la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Según la condición del problema, tenemos que x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Es necesario sustituir valores numéricos en la ecuación x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . De aquí obtenemos que la ecuación canónica tomará la forma x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Respuesta: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Si es necesario resolver un problema con un tipo diferente de ecuación, entonces, para empezar, puede ir a la canónica, ya que es más fácil llegar a cualquier otra.

Ejemplo 2

Componga la ecuación general de una línea recta que pasa por puntos con coordenadas M 1 (1, 1) y M 2 (4, 2) en el sistema de coordenadas O x y.

Solución

Primero necesitas escribir la ecuación canónica de una línea dada que pasa por los dos puntos dados. Obtenemos una ecuación de la forma x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Llevamos la ecuación canónica a la forma deseada, luego obtenemos:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Respuesta: x - 3 y + 2 = 0 .

Se consideraron ejemplos de tales tareas en los libros de texto escolares en las lecciones de álgebra. Las tareas escolares diferían en que se conocía la ecuación de una línea recta con un coeficiente de pendiente, que tenía la forma y \u003d k x + b. Si necesita encontrar el valor de la pendiente k y el número b, en el que la ecuación y \u003d k x + b define una línea en el sistema O x y que pasa por los puntos M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2) , donde x 1 ≠ x 2 . Cuando x 1 = x 2 , entonces la pendiente toma el valor de infinito, y la recta M 1 M 2 está definida por una ecuación general incompleta de la forma x - x 1 = 0 .

porque los puntos METRO 1 Y M 2 están en línea recta, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación y 1 = k x 1 + b y y 2 = k x 2 + b. Es necesario resolver el sistema de ecuaciones y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b con respecto a k y b.

Para hacer esto, encontramos k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 segundo \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Con tales valores de k y b, la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados toma la siguiente forma y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Memorizar una cantidad tan grande de fórmulas a la vez no funcionará. Para ello, es necesario aumentar el número de repeticiones en la resolución de problemas.

Ejemplo 3

Escribe la ecuación de una recta con pendiente que pasa por puntos de coordenadas M 2 (2, 1) y y = k x + b.

Solución

Para resolver el problema, usamos una fórmula con una pendiente que tiene la forma y \u003d k x + b. Los coeficientes kyb deben tomar un valor tal que esta ecuación corresponda a una recta que pasa por dos puntos de coordenadas M 1 (- 7 , - 5) y M 2 (2 , 1) .

puntos METRO 1 Y M 2 ubicado en una línea recta, entonces sus coordenadas deben invertir la ecuación y = k x + b la igualdad correcta. De aquí obtenemos que - 5 = k · (- 7) + b y 1 = k · 2 + b. Combinemos la ecuación en el sistema - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b y resolvamos.

Al sustituir, obtenemos que

5 = k - 7 + segundo 1 = k 2 + segundo ⇔ segundo = - 5 + 7 k 2 k + segundo = 1 ⇔ segundo = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ segundo = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ segundo = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ segundo = - 1 3 k = 2 3

Ahora los valores k = 2 3 y b = - 1 3 se sustituyen en la ecuación y = k x + b . Obtenemos que la ecuación deseada que pasa por los puntos dados será una ecuación que tiene la forma y = 2 3 x - 1 3 .

Esta forma de resolver predetermina el gasto de una gran cantidad de tiempo. Hay una manera en la que la tarea se resuelve literalmente en dos pasos.

Escribimos la ecuación canónica de una recta que pasa por M 2 (2, 1) y M 1 (- 7, - 5) , de la forma x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Ahora pasemos a la ecuación de la pendiente. Obtenemos que: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Respuesta: y = 2 3 x - 1 3 .

Si en el espacio tridimensional hay un sistema de coordenadas rectangulares O x y z con dos puntos dados no coincidentes con coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1) y M 2 (x 2, y 2, z 2), el recta M que los atraviesa 1 M 2 , es necesario obtener la ecuación de esta recta.

Tenemos que ecuaciones canónicas de la forma x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z y ecuaciones paramétricas de la forma x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ son capaces de establecer una línea en el sistema de coordenadas O x y z que pasa por puntos que tienen coordenadas (x 1, y 1, z 1) con un vector director a → = (ax, a y, a z) .

Recto M 1 M 2 tiene un vector director de la forma M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , donde la recta pasa por el punto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) y M 2 (x 2, y 2, z 2), por lo que la ecuación canónica puede tener la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 o x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, a su vez, paramétrico x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ o x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Considere una figura que muestra 2 puntos dados en el espacio y la ecuación de una línea recta.

Ejemplo 4

Escribe la ecuación de una recta definida en un sistema de coordenadas rectangulares O x y z del espacio tridimensional, que pasa por los dos puntos dados de coordenadas M 1 (2, - 3, 0) y M 2 (1, - 3, - 5 ) .

Solución

Necesitamos encontrar la ecuación canónica. Como estamos hablando del espacio tridimensional, significa que cuando una línea recta pasa por puntos dados, la ecuación canónica deseada tomará la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Por condición tenemos que x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. De ello se deduce que las ecuaciones necesarias se pueden escribir de la siguiente manera:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Respuesta: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

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