Modelos matemáticos de sistemas de colas para la resolución de problemas económicos. Antes de comenzar a trabajar, asegúrese de que no haya daños visibles en el equipo y los cables.

Dibujo 0 - 2 Flujos de eventos (a) y el flujo más simple (b)

10.5.2.1. estacionariedad

El flujo se llama estacionario. , si la probabilidad de que ocurra uno u otro número de eventos en un período de tiempo elemental longitud τ (

Figura 0-2 , A) Depende solo de la longitud de la sección y no depende de dónde exactamente en el eje. t se encuentra esta zona.

La estacionariedad del flujo significa su uniformidad en el tiempo; las características probabilísticas de tal flujo no cambian con el tiempo. En particular, la llamada intensidad (o "densidad") del flujo de eventos, el número promedio de eventos por unidad de tiempo para un flujo estacionario, debe permanecer constante. Esto, por supuesto, no significa que el número real de eventos que aparecen por unidad de tiempo sea constante; el flujo puede tener concentraciones y rarefacciones locales. Es importante que para un flujo estacionario estas concentraciones y rarefacción no sean de naturaleza regular y que el número promedio de eventos que ocurren en un solo intervalo de tiempo permanezca constante durante todo el período considerado.

En la práctica, a menudo hay flujos de eventos que (al menos durante un período de tiempo limitado) pueden considerarse estacionarios. Por ejemplo, el flujo de llamadas que llegan a la central telefónica, digamos, en el intervalo de 12 a 13 horas, puede considerarse estacionario. El mismo flujo ya no será estacionario durante todo el día (por la noche, la intensidad del flujo de llamadas es mucho menor que durante el día). Tenga en cuenta que lo mismo ocurre con la mayoría de los procesos físicos que llamamos "estacionarios", de hecho, son estacionarios sólo durante un período de tiempo limitado, y la extensión de este período hasta el infinito es solo un truco conveniente utilizado para simplificar.

10.5.2.2. Sin efectos secundarios

El flujo de eventos se llama flujo sin efectos posteriores. , si para cualquier intervalo de tiempo que no se superponga, el número de eventos que caen en uno de ellos no depende de cuántos eventos caen en el otro (u otros, si se consideran más de dos secciones).

En tales corrientes, los eventos que forman la corriente aparecen en momentos sucesivos en el tiempo independientemente unos de otros. Por ejemplo, el flujo de pasajeros que ingresan a una estación de metro puede considerarse un flujo sin consecuencias, porque las razones que causaron la llegada de un pasajero individual en este momento en particular, y no en otro, por regla general, no están relacionadas con razones similares. para otros pasajeros. Si aparece tal dependencia, se viola la condición de ausencia de efecto secundario.

Consideremos, por ejemplo, el flujo de trenes de mercancías que recorren una vía férrea. Si, por razones de seguridad, no pueden sucederse más a menudo que a intervalos de tiempo t0 , entonces existe una dependencia entre los eventos en la secuencia y se viola la condición de no efecto secundario. Sin embargo, si el intervalo t0 es pequeño en comparación con el intervalo promedio entre trenes, entonces dicha infracción es insignificante.

Dibujo 0 - 3 distribución de veneno

Considere en el eje. t el flujo de eventos más simple con intensidad λ. (Figura 0-2b) . Estaremos interesados ​​en un intervalo de tiempo aleatorio T entre eventos adyacentes en esta secuencia; Encuentre su ley de distribución. Primero, encontremos la función de distribución:

F(t) = P(T) ( 0-2)

es decir, la probabilidad de que el valor de T tendrá un valor menor quet. Apartar desde el inicio del intervalo T (puntos t0) segmento t y encuentre la probabilidad de que el intervalo T será menos t . Para hacer esto, es necesario que para un tramo de longitud t , adyacente a un punto t0 , al menos un evento de hilo acertado. Calculemos la probabilidad de esto. Pie) a través de la probabilidad del evento opuesto (por segmento t no se producirán eventos de transmisión):

F (t) \u003d 1 - P 0

Probabilidad P 0 encontramos por la fórmula (1), suponiendometro = 0:

de donde la función de distribución del valor T será:

(0-3)

Para encontrar la densidad de distribución. pie) variable aleatoria T, es necesario diferenciar la expresión (0‑1) port:

0-4)

La ley de distribución con densidad (0-4) se llama exponencial. (o exponencial ). El valor λ se llama parámetro. ley ejemplar.

Figura 0 - 4 Distribución exponencial

Encuentra las características numéricas de una variable aleatoria. t- expectativa matemática (valor promedio) M[t]=mt , y dispersión D t . Tenemos

( 0-5)

(integrando por partes).

La dispersión del valor de T es:

(0-6)

Extrayendo la raíz cuadrada de la varianza, encontramos la desviación estándar de la variable aleatoria. T.

Entonces, para una distribución exponencial, la expectativa matemática y la desviación estándar son iguales entre sí y son inversas al parámetro λ, donde λ. intensidad del flujo.

Así, la apariencia metro Los eventos en un intervalo de tiempo dado corresponden a la distribución de Poisson, y la probabilidad de que los intervalos de tiempo entre eventos sean menores que un número predeterminado corresponde a la distribución exponencial. Todas estas son sólo descripciones diferentes del mismo proceso estocástico.

Ejemplo QS-1 .

Como ejemplo, considere un sistema bancario en tiempo real que atiende a una gran cantidad de clientes. Durante las horas pico, las solicitudes de los cajeros bancarios que trabajan con los clientes forman un flujo de Poisson y llegan en promedio dos por 1 s (λ = 2). El flujo consiste en solicitudes que llegan a una velocidad de 2 solicitudes por segundo.

Calcule la probabilidad P ( m ) ocurrencias m mensajes en 1 s. Como λ = 2, de la fórmula anterior tenemos

Sustituyendo m = 0, 1, 2, 3, obtenemos los siguientes valores (hasta cuatrolugares decimales):

Figura 0 - 5 Ejemplo de flujo más simple

También son posibles más de 9 mensajes en 1 s, pero la probabilidad de que esto ocurra es muy pequeña (aproximadamente 0,000046).

La distribución resultante se puede representar como un histograma (como se muestra en la figura).

Ejemplo de CMO-2.

Un dispositivo (servidor) que procesa tres mensajes en 1 segundo.

Sea un equipo capaz de procesar tres mensajes en 1 s (μ=3). En promedio, se reciben dos mensajes en 1s, y de acuerdo C Distribución de veneno. ¿Qué proporción de estos mensajes se procesará inmediatamente después de su recepción?

La probabilidad de que la velocidad de llegada sea menor o igual a 3 s está dada por

Si el sistema puede procesar un máximo de 3 mensajes en 1 s, entonces la probabilidad de que no se sobrecargue es

Es decir, el 85,71% de los mensajes serán atendidos de forma inmediata y el 14,29% con algún retraso. Como puede ver, rara vez se producirá un retraso en el procesamiento de un mensaje durante un tiempo mayor que el tiempo de procesamiento de 3 mensajes. El tiempo de procesamiento de 1 mensaje es de media 1/3 s. Por lo tanto, un retraso de más de 1 segundo será raro, lo cual es bastante aceptable para la mayoría de los sistemas.

Ejemplo de director de marketing 3

· Si un cajero de banco está ocupado durante el 80% de su tiempo de trabajo y pasa el resto del tiempo esperando a los clientes, entonces se le puede considerar como un dispositivo con un factor de utilización de 0,8.

· Si el canal de comunicación se utiliza para transmitir símbolos de 8 bits a una velocidad de 2400 bps, es decir, se transmiten un máximo de 2400/8 símbolos en 1 s, y estamos construyendo un sistema en el que la cantidad total de datos enviados es de 12000 símbolos. desde varios dispositivos a través del canal por minuto ocupado (incluida la sincronización, caracteres de fin de mensaje, caracteres de control, etc.), entonces la tasa de utilización del equipo del canal de comunicación durante este minuto es igual a

· Si el motor de acceso a archivos en hora punta realiza 9000 accesos a archivos y el tiempo por acceso es de 300 ms en promedio, entonces la utilización del hardware del motor de acceso en hora punta es

El concepto de utilización de equipos se utilizará con bastante frecuencia. Cuanto más cerca esté la utilización del equipo del 100%, mayor será el retraso y más larga será la cola.

Usando la fórmula anterior, puede compilar tablas de valores de la función de Poisson, a partir de las cuales puede determinar la probabilidad de recibirmetro o más mensajes en un período de tiempo determinado. Por ejemplo, si un promedio de 3,1 mensajes por segundo [es decir. e.λ = 3.1], entonces la probabilidad de recibir 5 o más mensajes en un segundo dado es 0.2018 (parametro = 5 en la tabla). O en forma analítica

Usando esta expresión, el analista de sistemas puede calcular la probabilidad de que el sistema no cumpla con un criterio de carga determinado.

A menudo se pueden realizar cálculos iniciales para los valores de carga del equipo.

p ≤ 0,9

Estos valores se pueden obtener utilizando tablas de Poisson.

Consideremos nuevamente la tasa promedio de llegada de mensajes λ = 3,1 mensajes/s. De las tablas se deduce que la probabilidad de recibir 6 o más mensajes en 1 s es 0,0943. Por lo tanto, este número puede tomarse como criterio de carga para los cálculos iniciales.

10.6.2. Desafíos de diseño

Dada la naturaleza aleatoria de la llegada de mensajes al dispositivo, este último dedica parte del tiempo a procesar o atender cada mensaje, lo que da lugar a la formación de colas. La cola en el banco espera la liberación del cajero y su computadora (terminal). La cola de mensajes en el búfer de entrada de la computadora está esperando ser procesada por el procesador. La cola de solicitudes de matrices de datos está esperando la liberación de canales, etc. Se pueden formar colas en todos los cuellos de botella del sistema.

Cuanto mayor sea la tasa de utilización del equipo, más largas serán las colas resultantes. Como se mostrará a continuación, es posible diseñar un sistema que funcione satisfactoriamente con un factor de utilización de ρ = 0,7, pero un factor mayor que ρ > 0,9 puede resultar en una mala calidad del servicio. En otras palabras, si un enlace de datos masivos tiene una carga del 20%, es poco probable que tenga una cola. Si carga; es 0,9, entonces, por regla general, se formarán colas, a veces muy grandes.

El coeficiente de utilización del equipo es igual a la relación entre la carga del equipo y la carga máxima que este equipo puede soportar, o es igual a la relación entre el tiempo que el equipo está ocupado y el tiempo total de funcionamiento.

Al diseñar un sistema, es común estimar el factor de utilización de varios tipos de equipos; En capítulos posteriores se darán ejemplos relevantes. Conocer estos coeficientes permite calcular las colas del equipo correspondiente.

· ¿Cuál es la longitud de la cola?

· Cuanto tiempo llevara?

Preguntas de este tipo pueden responderse utilizando la teoría de colas.

10.6.3. Sistemas de colas, sus clases y características principales.

Para QS, los flujos de eventos son flujos de solicitudes, flujos de solicitudes de "servicio", etc. Si estos flujos no son Poisson (proceso de Markov), la descripción matemática de los procesos que ocurren en QS se vuelve incomparablemente más compleja y requiere un aparato más engorroso. llevarlo a fórmulas analíticas sólo es posible en los casos más simples.

Sin embargo, el aparato de la teoría de colas "Markoviana" también puede ser útil en el caso en que el proceso que ocurre en el QS es diferente al de Markov; con su ayuda, se pueden estimar aproximadamente las características de eficiencia del QS. Cabe señalar que cuanto más complejo es el QS, más canales de servicio contiene, más precisas son las fórmulas aproximadas obtenidas según la teoría de Markov. Además, en algunos casos, para tomar decisiones informadas sobre la gestión del funcionamiento del QS, no es necesario en absoluto tener un conocimiento exacto de todas sus características, a menudo bastante aproximadas, indicativas.

Los QS se clasifican en sistemas con:

fracasos (con pérdidas). En tales sistemas, una solicitud que llega en el momento en que todos los canales están ocupados recibe un "rechazo", abandona el QS y no participa en el proceso de servicio posterior.

espera (con cola). En dichos sistemas, una solicitud que llega cuando todos los canales están ocupados se pone en cola y espera hasta que uno de los canales quede libre. Cuando el canal está libre, se acepta para el servicio una de las aplicaciones en la cola.

El servicio (disciplina de cola) en un sistema de espera puede ser

ordenado (las solicitudes se entregan en el orden de recepción),

· desordenado(las solicitudes se entregan en orden aleatorio) o

pila (la última aplicación se selecciona primero de la cola).

Prioridad

oh con prioridad estática

oh con prioridad dinámica

(en el último caso a priori tet puede, por ejemplo, aumentar con el tiempo de espera de la solicitud).

Los sistemas con cola se dividen en sistemas.

· con espera ilimitada y

· con limitado espera.

En sistemas con espera ilimitada, cada solicitud que llega en el momento en que no hay canales libres entra en la cola y espera "pacientemente" la liberación del canal que la aceptará para el servicio. Cualquier solicitud recibida por la CMO tarde o temprano será atendida.

En sistemas con espera limitada, se imponen ciertas restricciones a la permanencia de la solicitud en la cola. Estas restricciones pueden aplicarse

· longitud de la cola (el número de aplicaciones simultáneamente en el sistema de cola con una longitud de cola limitada),

· el tiempo que la aplicación permanece en la cola (después de un cierto período de permanencia en la cola, la aplicación sale de la cola y el sistema sale con un tiempo de espera limitado),

· tiempo total invertido por la aplicación en el QS

etc.

Dependiendo del tipo de QS, a la hora de evaluar su eficacia se pueden utilizar determinados valores (indicadores de rendimiento). Por ejemplo, para un QS con fallas, una de las características más importantes de su productividad es la llamada ancho de banda absoluto el número promedio de solicitudes que el sistema puede atender por unidad de tiempo.

Junto con lo absoluto a menudo se considera rendimiento relativo CMO es la proporción promedio de solicitudes entrantes atendidas por el sistema (la relación entre la cantidad promedio de solicitudes atendidas por el sistema por unidad de tiempo y la cantidad promedio de solicitudes recibidas durante este tiempo).

Además de los rendimientos absolutos y relativos en el análisis de QS con fallos, podemos, dependiendo del objetivo del estudio, interesarnos por otras características, por ejemplo:

· número medio de canales ocupados;

· tiempo de inactividad relativo promedio del sistema en su conjunto y de un canal individual

etc.

Los QS expectantes tienen características ligeramente diferentes. Obviamente, para un QS con tiempo de espera ilimitado, tanto el rendimiento absoluto como el relativo pierden su significado, ya que cada reclamo llega temprano.o más tarde se servirá. Para tal QS, las características importantes son:

· el número medio de solicitudes en cola;

· el número promedio de solicitudes en el sistema (en cola y en servicio);

· tiempo medio de espera de una solicitud en la cola;

· tiempo promedio que pasa una aplicación en el sistema (en cola y en servicio);

así como otras características de la expectativa.

Para un QS con espera limitada, ambos grupos de características son de interés: rendimiento absoluto y relativo, y características de espera.

Para analizar el proceso que ocurre en el QS, es fundamental conocer los principales parámetros del sistema: el número de canales PAG, intensidad del flujo de aplicaciónλ , el rendimiento de cada canal (el número promedio de solicitudes μ atendidas por el canal por unidad de tiempo), las condiciones para la formación de la cola (restricciones, si las hubiera).

Dependiendo de los valores de estos parámetros, se expresan las características de eficiencia de operación QS.

10.6.4. Fórmulas para calcular las características QS para el caso de servicio con un dispositivo.

Figura 0 - 6 Modelo de un sistema de colas con cola.

Estas colas pueden crearse mediante mensajes a la entrada del procesador que esperan ser procesados. Pueden ocurrir durante el funcionamiento de estaciones de suscriptores conectadas a un canal de comunicación multipunto. Asimismo, se forman colas de coches en las gasolineras. Sin embargo, si hay más de una entrada al servicio, tenemos una cola con muchos dispositivos y el análisis se complica.

Consideremos el caso del flujo más simple de solicitudes de servicio.

El propósito de la teoría de colas presentada aquí es aproximar el tamaño promedio de la cola, así como el tiempo promedio que pasan los mensajes esperando en la cola. También es deseable estimar con qué frecuencia la cola excede una determinada longitud. Esta información nos permitirá calcular, por ejemplo, la cantidad de memoria intermedia necesaria para almacenar colas de mensajes y programas relacionados, la cantidad necesaria de líneas de comunicación, los tamaños de memoria intermedia necesarios para los concentradores, etc. Será posible estimar los tiempos de respuesta.

Cada una de las características varía dependiendo del medio utilizado.

Considere una cola con un solo servidor. Al diseñar un sistema informático, la mayoría de las colas de este tipo se calculan utilizando las fórmulas anteriores. factor de variación del tiempo de servicio

La fórmula de Khinchin-Polachek se utiliza para calcular la longitud de las colas en el diseño de sistemas de información. Se utiliza en el caso de una distribución exponencial del tiempo de llegada para cualquier distribución del tiempo de servicio y cualquier disciplina de control, siempre que la elección del siguiente mensaje para el servicio no dependa del tiempo de servicio.

Al diseñar sistemas, surgen situaciones en las que surgen colas en las que la disciplina de control depende sin duda del tiempo de servicio. Por ejemplo, en algunos casos, podemos optar por utilizar mensajes más cortos para el servicio primero a fin de obtener un tiempo de servicio promedio más rápido. Al gestionar una línea de comunicación, es posible asignar mayor prioridad a los mensajes de entrada que a los de salida, porque los primeros son más cortos. En tales casos, ya no es necesario utilizar la ecuación de Khinchin.

La mayoría de los tiempos de servicio en los sistemas de información se encuentran en algún punto entre estos dos casos. Los tiempos de servicio que son constantes son raros. Incluso el tiempo de acceso al disco duro no es constante debido a la diferente posición de las matrices de datos en la superficie. Un ejemplo que ilustra el caso de tiempo de servicio constante es la ocupación de la línea de comunicación para la transmisión de mensajes de una longitud fija.

Por otro lado, la distribución del tiempo de servicio no es tan grande como en el caso de una distribución arbitraria o exponencial, es decir,σs rara vez alcanza valorests. Este caso a veces se considera el "peor de los casos" y por eso se utilizan fórmulas que se refieren a la distribución exponencial de los tiempos de servicio. Este cálculo puede dar como resultado tamaños de cola y tiempos de espera algo sobreestimados, pero este error al menos no es peligroso.

La distribución exponencial de los tiempos de servicio no es ciertamente el peor caso al que nos podemos enfrentar en la realidad. Sin embargo, si los tiempos de servicio obtenidos del cálculo de las colas resultan estar peor distribuidos que los tiempos distribuidos exponencialmente, esto suele ser una señal de advertencia para el desarrollador. Si la desviación estándar es mayor que el valor medio, generalmente es necesario corregir los cálculos.

Considere el siguiente ejemplo. Hay seis tipos de mensajes con tiempos de servicio de 15, 20, 25, 30, 35 y 300. La cantidad de mensajes para cada tipo es la misma. La desviación estándar de estos tiempos es algo mayor que su promedio. El valor del tiempo del último servicio es mucho mayor que los demás. Esto hará que los mensajes permanezcan en la cola por mucho más tiempo que si los tiempos de servicio fueran del mismo orden. En este caso, a la hora de diseñar, es recomendable tomar medidas para reducir la longitud de la cola. Por ejemplo, si estos números están relacionados con la longitud de los mensajes, entonces quizás los mensajes muy largos deban dividirse en partes.

10.6.6. Ejemplo de cálculo

Al diseñar un sistema bancario, es deseable saber el número de clientes que tendrán que hacer cola para un cajero durante las horas pico.

El tiempo de respuesta del sistema y su desviación estándar se calculan teniendo en cuenta el tiempo de entrada de datos desde la estación de trabajo, impresión y procesamiento de documentos.

Las acciones del cajero fueron cronometradas. El tiempo de servicio ts es igual al tiempo total dedicado por el cajero al cliente. La tasa de utilización del cajero ρ es proporcional al tiempo de su empleo. Si λ es el número de clientes durante las horas pico, entonces ρ para el cajero es

Digamos que hay 30 clientes por hora durante las horas pico. De media, un cajero dedica 1,5 minutos por cliente. Entonces

ρ = (1,5 * 30) / 60 = 0,75

es decir, el cajero se utiliza en un 75%.

El número de personas en fila se puede estimar rápidamente mediante gráficos. De ellos se deduce que si ρ = ​​0,75, entonces el número medio nq de personasen la cola en la caja se encuentra entre 1,88 y 3,0 dependiendo de la desviación estándar para ts .

Supongamos que la medición de la desviación estándar para ts dio un valor de 0,5 min. Entonces

σ s = 0,33 t s

Del gráfico de la primera figura encontramos que nq = 2,0, es decir, en promedio, dos clientes estarán esperando en la caja.

El tiempo total que un cliente pasa en la caja se puede encontrar como

t ∑ = t q + t s = 2,5 minutos + 1,5 minutos = 4 minutos

donde t s se calcula utilizando la fórmula Khinchin-Polachek.

10.6.7. factor de ganancia

Al analizar las curvas en las figuras, vemos que cuando el equipo que da servicio a la cola se utiliza más del 80%, las curvas comienzan a crecer a un ritmo alarmante. Este hecho es muy importante en el diseño de sistemas de transmisión de datos. Si estamos diseñando un sistema con más del 80% de utilización del hardware, entonces un ligero aumento en el tráfico puede provocar una caída drástica en el rendimiento del sistema o incluso provocar que falle.

Un aumento en el tráfico entrante en una pequeña cantidad del x%. conduce a un aumento en el tamaño de la cola en aproximadamente

Si la tasa de utilización del equipo es del 50%, entonces este aumento es igual a 4ts% para la distribución exponencial del tiempo de servicio. Pero si la utilización del equipo es del 90%, entonces el aumento en el tamaño de la cola es del 100%, que es 25 veces más. Un ligero aumento en la carga con una utilización del equipo del 90 % conduce a un aumento de 25 veces en el tamaño de las colas en comparación con el caso de una utilización del equipo del 50 %.

De manera similar, el tiempo de cola aumenta en

Con un tiempo de servicio distribuido exponencialmente, este valor tiene el valor 4 t s2 para una utilización del equipo igual al 50% y 100 t s2 para un coeficiente del 90%, es decir, nuevamente 25 veces peor.

Además, para factores de utilización de equipos pequeños, el efecto de los cambios en σs sobre el tamaño de la cola es insignificante. Sin embargo, para coeficientes grandes, el cambio σ s afecta en gran medida el tamaño de la cola. Por lo tanto, al diseñar sistemas con alta utilización de equipos, es deseable obtener información precisa sobre el parámetro.σ s. Inexactitud del supuesto sobre la exponencialidad de la distribución de tsEs más notable en valores grandes de ρ. Además, si el tiempo de servicio aumenta repentinamente, lo que es posible en los canales de comunicación cuando se transmiten mensajes largos, entonces, en el caso de un ρ grande, se forma una cola significativa.

El proceso estocástico de Markov con estados discretos y tiempo continuo considerado en la lección anterior tiene lugar en sistemas de colas (QS).

Sistemas de colas - son sistemas en los que las solicitudes de servicio se reciben en momentos aleatorios, mientras que las solicitudes recibidas se atienden utilizando los canales de atención disponibles para el sistema.

Ejemplos de sistemas de colas son:

• nodos de liquidación y efectivo en bancos, empresas;
• computadoras personales que atienden aplicaciones entrantes o requisitos para resolver ciertos problemas;
• estaciones de servicio para automóviles; gasolinera;
• firmas de auditoría;
• departamentos de inspecciones fiscales involucrados en la aceptación y verificación de los informes actuales de las empresas;
• centrales telefónicas, etc.

	Nudos	Requisitos
Hospital	Ordenanzas	Pacientes
Producción
Aeropuerto	Salidas de pista Puntos de registro	Pasajeros

Considere el esquema de operación QS (Fig. 1). El sistema consta de un generador de solicitudes, un despachador y un nodo de servicio, un nodo de contabilidad de fallas (terminador, destructor de solicitudes). Un nodo de servicio puede tener generalmente varios canales de servicio.

Arroz. 1

1. Generador de aplicaciones – un objeto que genera aplicaciones: una calle, un taller con unidades instaladas. La entrada es flujo de aplicación(el flujo de clientes a la tienda, el flujo de unidades averiadas (coches, máquinas herramienta) para reparaciones, el flujo de visitantes al guardarropa, el flujo de coches a las gasolineras, etc.).
2. Despachador – una persona o dispositivo que sabe qué hacer con el billete. Un nodo que regula y dirige las solicitudes a los canales de atención. Despachador:

• acepta solicitudes;
• forma una cola si todos los canales están ocupados;
• los dirige a los canales de atención, si los hubiera;
• rechaza solicitudes (por diversas razones);
• recibe información del nodo de servicio sobre canales gratuitos;
• realiza un seguimiento de la hora del sistema.

1. Cola - solicitar acumulador. Es posible que la cola no exista.
2. Nodo de servicio Consta de un número finito de canales de servicio. Cada canal tiene 3 estados: libre, ocupado e inactivo. Si todos los canales están ocupados, puede idear una estrategia a quién transferir la aplicación.
3. Rechazo La interrupción del servicio ocurre si todos los canales están ocupados (es posible que algunos de ellos no funcionen).

Además de estos elementos básicos en QS, algunas fuentes también distinguen los siguientes componentes:

terminador - destructor de transacciones;

almacén - almacenamiento de recursos y productos terminados;

cuenta contable: para realizar operaciones del tipo "contabilización";

gerente - administrador de recursos;

Clasificación OCM

La primera división (por la presencia de colas):

• CMO con fallas;
• CMO con cola.

EN CMO con fallos una solicitud que llega en el momento en que todos los canales están ocupados se rechaza, sale del QS y no se atiende más.

EN CMO con cola una aplicación que llega en un momento en el que todos los canales están ocupados no sale, sino que hace cola y espera una oportunidad para ser atendida.

QS con colas se dividen en diferentes tipos dependiendo de cómo esté organizada la cola - limitado o no limitado. Las restricciones pueden estar relacionadas tanto con la longitud de la cola como con el tiempo de espera, "disciplina del servicio".

Así, por ejemplo, se consideran los siguientes QS:

• QS con solicitudes impacientes (la duración de la cola y el tiempo de servicio son limitados);
• QS con servicio prioritario, es decir, algunas solicitudes se atienden fuera de turno, etc.

Los tipos de restricción de cola se pueden combinar.

Otra clasificación divide a la OCM según el origen de las solicitudes. El propio sistema o algún entorno externo que existe independientemente del sistema puede generar aplicaciones (requisitos).

Naturalmente, el flujo de solicitudes generadas por el propio sistema dependerá del sistema y de su estado.

Además, los SMO se dividen en abierto CMO y cerrado SMO.

En un QS abierto, las características del flujo de aplicaciones no dependen del estado del QS en sí (cuántos canales están ocupados). En un QS cerrado, dependen. Por ejemplo, si un trabajador atiende a un grupo de máquinas que requieren ajustes de vez en cuando, entonces la intensidad del flujo de "requisitos" de las máquinas depende de cuántas de ellas ya están en buen estado y esperando un ajuste.

Un ejemplo de sistema cerrado: la emisión de un salario por parte de un cajero en una empresa.

Por el número de canales, los QS se dividen en:

• un canal solo;
• multicanal.

Características del sistema de colas

Las principales características de un sistema de colas de cualquier tipo son:

• el flujo de entrada de requisitos entrantes o solicitudes de servicio;
• disciplina de cola;
• mecanismo de servicio.

Flujo de entrada de requisitos

Para describir el flujo de entrada, debe configurar una ley probabilística que determina la secuencia de momentos de recepción de los requisitos del servicio, e indicar el número de dichas reclamaciones en cada recibo ordinario. En este caso, por regla general, operan con el concepto de “distribución probabilística de los momentos de recepción de requisitos”. Aquí puedes actuar como requisitos individuales y grupales (el número de dichas reclamaciones en cada recibo sucesivo). En este último caso, normalmente hablamos de un sistema de colas con servicio de grupos paralelos.

yo– tiempo de llegada entre requisitos – variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente;

E(A) es la hora media de llegada (MO);

λ=1/E(A)- la intensidad de la recepción de requisitos;

Características del flujo de entrada:

1. Una ley probabilística que determina la secuencia de momentos de recepción de los requisitos del servicio.
2. El número de solicitudes en cada próxima llegada para flujos de multidifusión.

disciplina de cola

Cola - un conjunto de requisitos pendientes de ser atendidos.

La cola tiene un nombre.

disciplina de cola determina el principio según el cual las solicitudes que llegan a la entrada del sistema de servicio se conectan desde la cola al procedimiento de servicio. Las disciplinas de cola más utilizadas se definen mediante las siguientes reglas:

• primero en llegar - primero en ser atendido;

primero en entrar, primero en salir (FIFO)

el tipo de cola más común.

¿Qué estructura de datos es adecuada para describir dicha cola? La matriz es mala (limitada). Puede utilizar una estructura LISTA.

La lista tiene un principio y un final. La lista consta de entradas. Una entrada es una celda de lista. La aplicación llega al final de la lista y se selecciona para recibir servicio desde el principio de la lista. La entrada consta de una descripción de la aplicación y un enlace (un índice de quién está detrás de ella). Además, si la cola tiene un límite de tiempo, también se debe especificar el límite de tiempo.

Ustedes, como programadores, deberían poder hacer listas de dos caras y de una cara.

Lista de acciones:

• insertar en la cola;
• tomar desde el principio;
• eliminar de la lista después del tiempo de espera.
• el último en llegar, el primero en ser atendido LIFO (clip de cartucho, callejón sin salida en la estación de tren, entró en un vagón lleno).

Una estructura conocida como STACK. Puede describirse mediante una estructura de matriz o lista;

• selección aleatoria de aplicaciones;
• selección de solicitudes por criterio de prioridad.

Cada aplicación se caracteriza, entre otras cosas, por un nivel de prioridad y, al llegar, no se coloca al final de la cola, sino al final de su grupo de prioridad. El despachador ordena por prioridad.

Características de la cola

• limitacióntiempo de espera el momento de ocurrencia del servicio (hay una cola con un tiempo de espera limitado para el servicio, lo cual está asociado con el concepto de “longitud admisible de la cola”);
• longitud de la cola.

Mecanismo de servicio

Mecanismo de servicio está determinado por las características del procedimiento de servicio en sí y la estructura del sistema de servicio. Los procedimientos de mantenimiento incluyen:

• número de canales de servicio ( norte);
• la duración del procedimiento de servicio (distribución probabilística del tiempo de servicio de los requisitos);
• el número de requisitos satisfechos como resultado de la implementación de cada uno de dichos procedimientos (para solicitudes grupales);
• la probabilidad de falla del canal de servicio;
• estructura del sistema de servicio.

Para una descripción analítica de las características del procedimiento de servicio, se utiliza el concepto de "distribución probabilística del tiempo de servicio de los requisitos".

Si- tiempo de servicio iº requisito;

E(S)– tiempo medio de servicio;

µ=1/E(S)- la velocidad de los requisitos del servicio.

Cabe señalar que el tiempo para dar servicio a una aplicación depende de la naturaleza de la aplicación en sí o de los requisitos del cliente y del estado y las capacidades del sistema de servicio. En algunos casos también es necesario tener en cuenta probabilidad de falla del canal de servicio después de un cierto intervalo de tiempo limitado. Esta característica se puede modelar como una corriente de fallas que ingresan al QS y tienen prioridad sobre todas las demás solicitudes.

factor de utilización QS

norteμ – tasa de servicio en el sistema cuando todos los dispositivos de servicio están ocupados.

ρ=λ/( norteµ) se llama factor de utilización QS , muestra cuántos recursos del sistema se están utilizando.

Estructura del sistema de servicio

La estructura del sistema de servicio está determinada por el número y disposición mutua de los canales de servicio (mecanismos, dispositivos, etc.). En primer lugar, cabe destacar que un sistema de servicios puede tener no un canal de servicios, sino varios; Un sistema de este tipo puede satisfacer varias necesidades simultáneamente. En este caso, todos los canales de atención ofrecen los mismos servicios y, por lo tanto, se puede argumentar que existe servicio paralelo .

Ejemplo. Cajas registradoras en la tienda.

El sistema de servicio puede constar de varios tipos diferentes de canales de servicio a través de los cuales debe pasar cada requisito atendido, es decir, en el sistema de servicio. Los procedimientos de servicio de requisitos se implementan secuencialmente. . El mecanismo de servicio define las características del flujo de solicitudes salientes (servidas).

Ejemplo. Comisión Médica.

Servicio combinado - servicio de depósitos en la caja de ahorros: primero el controlador, luego el cajero. Como regla general, 2 controladores por cajero.

Entonces, La funcionalidad de cualquier sistema de colas está determinada por los siguientes factores principales. :

• distribución probabilística de los momentos de recepción de solicitudes de servicio (individuales o grupales);
• requisitos fuente capacidad;
• distribución probabilística del tiempo de duración del servicio;
• configuración del sistema de servicio (servicio paralelo, serie o serie paralelo);
• el número y rendimiento de los canales de servicio;
• disciplina de cola.

Los principales criterios para la eficacia del funcionamiento del QS.

Como los principales criterios para la eficacia del funcionamiento de los sistemas de colas. Dependiendo de la naturaleza del problema a resolver, pueden existir:

• la probabilidad de entrega inmediata de la solicitud recibida (P servicio =K obs /K post);
• la probabilidad de denegación de servicio de la solicitud recibida (P otk =K otk /K post);

Es obvio que R obl + P otk =1.

Flujos, retrasos, servicio. Fórmula de Pollacek-Khinchin

Demora – uno de los criterios de servicio QS, el tiempo transcurrido por la solicitud en anticipación del servicio.

yo– retraso en la cola de solicitudes i;

W yo \u003d D yo + S yo– tiempo pasado en el sistema del requisito i.

(con probabilidad 1) es el retraso promedio establecido de una solicitud en la cola;

(con probabilidad 1) es el tiempo promedio en estado estacionario que el requisito pasa en el QS (espera).

Q(t) - el número de solicitudes en la cola a la vez t;

L(t)– Número de clientes en el sistema a la vez. t(Q(t) más el número de requisitos que están en servicio en ese momento t.

Luego exponentes (si los hay)

(con probabilidad 1) es el número promedio de solicitudes en el tiempo en estado estacionario en la cola;

(con probabilidad 1) es el número de solicitudes promediadas en el tiempo en estado estacionario en el sistema.

Tenga en cuenta que ρ<1 – обязательное условие существования re, w, q Y l en el sistema de colas.

Si recordamos que ρ= λ/( norteμ), entonces está claro que si la intensidad de recepción de solicitudes es mayor que norteμ, entonces ρ>1 y es natural que el sistema no pueda hacer frente a tal flujo de aplicaciones y, por lo tanto, no se puede hablar de re, w, q Y l.

Los resultados más generales y necesarios para los sistemas de colas incluyen las ecuaciones de conservación.

Cabe señalar que los criterios anteriores para evaluar el rendimiento del sistema se pueden calcular analíticamente para sistemas de colas. M/M/N(norte>1), es decir, sistemas con flujos de clientes y servicios de Markov. Para M/G/ l para cualquier distribución GRAMO y para algunos otros sistemas. En general, la distribución del tiempo entre llegadas, la distribución del tiempo de servicio o ambas deben ser exponenciales (o una especie de distribución exponencial de Erlang de orden k) para que sea posible una solución analítica.

Además, también podemos hablar de características tales como:

• rendimiento absoluto del sistema – А=Р servicio *λ;
• rendimiento relativo del sistema -

Otro ejemplo interesante (e ilustrativo) de una solución analítica. – cálculo del retraso de cola promedio en estado estacionario para un sistema de colas M/G/ 1 según la fórmula:

.

En Rusia, esta fórmula se conoce como fórmula de Pollacek. – Khinchin, en el extranjero esta fórmula se asocia con el nombre de Ross.

Así, si E(S) tiene un valor mayor, entonces la sobrecarga (medida en este caso como d) será más grande; lo cual es de esperar. La fórmula también revela un hecho menos obvio: la congestión también aumenta cuando aumenta la variabilidad en la distribución del tiempo de servicio, incluso si el tiempo promedio de servicio sigue siendo el mismo. Intuitivamente, esto se puede explicar de la siguiente manera: la varianza de la variable aleatoria del tiempo de servicio puede tomar un valor grande (ya que debe ser positiva), es decir, el único dispositivo de servicio estará ocupado durante mucho tiempo, lo que conducirá a un aumento. en la cola.

El tema de la teoría de colas. es establecer la relación entre los factores que determinan la funcionalidad del sistema de colas y la eficiencia de su funcionamiento. En la mayoría de los casos, todos los parámetros que describen los sistemas de colas son funciones o variables aleatorias, por lo que estos sistemas se denominan sistemas estocásticos.

La naturaleza aleatoria del flujo de solicitudes (requisitos), así como, en el caso general, la duración del servicio lleva a que se produzca un proceso aleatorio en el sistema de colas. Por la naturaleza del proceso aleatorio. que ocurren en un sistema de colas (QS) se distinguen Sistemas de Markov y no Markov . En los sistemas de Markov, el flujo entrante de solicitudes y el flujo saliente de solicitudes atendidas (reclamos) son Poisson. Los flujos de Poisson facilitan la descripción y construcción de un modelo matemático de un sistema de colas. Estos modelos tienen soluciones bastante simples, por lo que la mayoría de las aplicaciones conocidas de la teoría de colas utilizan el esquema de Markov. En el caso de procesos no markovianos, los problemas de estudiar los sistemas de colas se vuelven mucho más complicados y requieren el uso de modelos estadísticos y métodos numéricos utilizando una computadora.

Una gran clase de sistemas que son difíciles de estudiar analíticamente, pero que se estudian bien mediante métodos de modelado estadístico, se reduce a los sistemas de colas (QS).

La SMO implica que hay rutas de muestra(canales de servicio) a través del cual aplicaciones. Se acostumbra decir que las aplicaciones servido canales. Los canales pueden tener diferentes propósitos y características, se pueden combinar en diferentes combinaciones; las aplicaciones pueden estar en colas y esperando servicio. Algunas de las solicitudes pueden ser atendidas por canales y algunas pueden negarse a hacerlo. Es importante que las solicitudes, desde el punto de vista del sistema, sean abstractas: esto es lo que quiere ser atendido, es decir, recorrer un determinado camino en el sistema. Los canales también son una abstracción: son los que atienden las solicitudes.

Las aplicaciones pueden llegar de manera desigual, los canales pueden servir diferentes aplicaciones en diferentes momentos, etc., la cantidad de aplicaciones siempre es muy grande. Todo esto hace que estos sistemas sean difíciles de estudiar y gestionar, y no es posible rastrear todas las relaciones causales en ellos. Por lo tanto, se acepta la noción de que el mantenimiento en sistemas complejos es aleatorio.

Ejemplos de QS (ver Tabla 30.1) son: ruta de autobús y transporte de pasajeros; transportador de producción para procesar piezas; un escuadrón de aviones que vuelan hacia territorio extranjero, que está "servido" por cañones antiaéreos de defensa aérea; el cañón y la bocina de la ametralladora, que "sirven" a los cartuchos; cargas eléctricas moviéndose en algún dispositivo, etc.

Tabla 30.1. Ejemplos de sistemas de colas

Aplicaciones Canales Ruta de autobús y transporte de pasajeros. Pasajeros Autobuses Transportador de producción para procesamiento de piezas. Detalles, nudos Máquinas herramienta, almacenes. Un escuadrón de aviones que vuelan hacia territorio extranjero, que está "servido" por cañones antiaéreos de defensa aérea. Aeronave Cañones antiaéreos, radares, flechas, proyectiles. El cañón y la bocina de la ametralladora, que "sirven" a los cartuchos. barril, cuerno Cargas eléctricas moviéndose en algún dispositivo. Cascadas de dispositivos técnicos.

Pero todos estos sistemas se combinan en una clase de QS, ya que el enfoque para su estudio es el mismo. Consiste en que, en primer lugar, con la ayuda de un generador de números aleatorios se reproducen números aleatorios que imitan los momentos ALEATORIOS de aparición de las aplicaciones y el tiempo de su servicio en los canales. Pero en conjunto, estos números aleatorios están, por supuesto, sujetos a estadístico patrones.

Por ejemplo, digamos: "las solicitudes llegan en promedio en una cantidad de 5 piezas por hora". Esto significa que los tiempos entre llegadas de dos reclamos vecinos son aleatorios, por ejemplo: 0,1; 0,3; 0,1; 0,4; 0,2, como se muestra en la figura. 30,1, pero en total dan un promedio de 1 (tenga en cuenta que en el ejemplo esto no es exactamente 1, sino 1,1, pero en otra hora esta suma, por ejemplo, puede ser igual a 0,9); pero sólo durante un tiempo suficiente el promedio de estos números se acercará a una hora.

El resultado (por ejemplo, el rendimiento del sistema), por supuesto, también será una variable aleatoria en intervalos de tiempo separados. Pero medido durante un largo período de tiempo, este valor ya corresponderá, en promedio, a la solución exacta. Es decir, para caracterizar QS, les interesan las respuestas en un sentido estadístico.

Por lo tanto, el sistema se prueba con señales de entrada aleatorias sujetas a una ley estadística determinada y, como resultado, los indicadores estadísticos se promedian durante el tiempo de consideración o por el número de experimentos. Anteriormente, en conferencias 21(cm. arroz. 21.1), ya hemos desarrollado un esquema para tal experimento estadístico (ver Fig. 30.2).

En segundo lugar, todos los modelos QS se ensamblan de forma típica a partir de un pequeño conjunto de elementos (canal, fuente de solicitud, cola, solicitud, disciplina de servicio, pila, anillo, etc.), lo que permite simular estas tareas. típico forma. Para ello, se ensambla un modelo del sistema a partir del constructor de dichos elementos. No importa qué sistema en particular se esté estudiando, es importante que el diagrama del sistema esté ensamblado a partir de los mismos elementos. Eso sí, la estructura del circuito siempre será diferente.

Enumeremos algunos conceptos básicos de QS.

Los canales son lo que sirve; están calientes (comienzan a atender la solicitud en el momento en que ingresa al canal) y fríos (el canal necesita tiempo para prepararse para comenzar a atender). Fuentes de solicitud: genere solicitudes en momentos aleatorios, de acuerdo con una ley estadística especificada por el usuario. Las aplicaciones, también son clientes, ingresan al sistema (generadas por las fuentes de aplicaciones), pasan por sus elementos (servidas), lo dejan servido o insatisfecho. Hay solicitudes impacientes, aquellas que están cansadas de esperar o de estar en el sistema y que abandonan la CMO por su propia voluntad. Las aplicaciones forman flujos: un flujo de aplicaciones en la entrada del sistema, un flujo de aplicaciones atendidas, un flujo de aplicaciones rechazadas. El flujo se caracteriza por el número de aplicaciones de un determinado tipo, observadas en algún lugar del QS por unidad de tiempo (hora, día, mes), es decir, el flujo es un valor estadístico.

Las colas se caracterizan por las reglas de cola (disciplina del servicio), el número de lugares en la cola (cuántos clientes pueden estar en la cola como máximo), la estructura de la cola (la conexión entre los lugares en la cola). Hay colas limitadas e ilimitadas. Enumeremos las disciplinas de servicio más importantes. FIFO (primero en entrar, primero en salir: primero en entrar, primero en salir): si la aplicación es la primera en ingresar a la cola, será la primera en salir para recibir servicio. LIFO (Último en entrar, primero en salir - último en entrar, primero en salir): si la aplicación fue la última en la cola, será la primera en recibir servicio (por ejemplo, cartuchos en la bocina de la máquina). SF (Short Forward - avance corto): aquellas aplicaciones de la cola que tienen el menor tiempo de servicio se atienden primero.

Pongamos un ejemplo sorprendente que muestra cómo la elección correcta de una u otra disciplina de servicio le permite obtener ahorros de tiempo tangibles.

Que haya dos tiendas. En la tienda número 1, el servicio se realiza por orden de llegada, es decir, aquí se implementa la disciplina de servicio FIFO (ver Figura 30.3).

Tiempo de servicio t servicio en la Fig. 30.3 muestra cuánto tiempo dedicará el vendedor a atender a un comprador. Está claro que al comprar productos por piezas, el vendedor dedicará menos tiempo al servicio que al comprar, digamos, productos a granel que requieren manipulaciones adicionales (recoger, pesar, calcular el precio, etc.). Tiempo de espera t esperado muestra, después de qué hora el vendedor atenderá al próximo comprador.

La tienda #2 implementa la disciplina SF (ver Figura 30.4), lo que significa que los productos por pieza se pueden comprar fuera de turno, ya que el tiempo de servicio t servicio Tal compra es pequeña.

Como puede verse en ambas figuras, el último (quinto) comprador va a comprar una pieza del producto, por lo que el tiempo de su servicio es corto: 0,5 minutos. Si este cliente llega a la tienda número 1, se verá obligado a hacer cola durante 8 minutos completos, mientras que en la tienda número 2 será atendido inmediatamente, fuera de turno. Así, el tiempo medio de atención de cada uno de los clientes en una tienda con disciplina de servicio FIFO será de 4 minutos, y en una tienda con disciplina de servicio FIFO será de sólo 2,8 minutos. Y el beneficio público, el ahorro de tiempo será: (1 - 2,8/4) · 100% = 30 por ciento! Así, la sociedad ahorra el 30% del tiempo, y esto sólo se debe a la elección correcta de la disciplina de servicio.

El especialista en sistemas debe tener un buen conocimiento de los recursos de rendimiento y eficiencia de los sistemas que diseña, ocultos en la optimización de parámetros, estructuras y disciplinas de mantenimiento. La modelización ayuda a revelar estas reservas ocultas.

Al analizar los resultados de la simulación, también es importante indicar los intereses y el grado de su implementación. Distinguir entre los intereses del cliente y los intereses del propietario del sistema. Tenga en cuenta que estos intereses no siempre coinciden.

Se pueden juzgar los resultados del trabajo de la OCM mediante indicadores. El más popular de ellos:

la probabilidad de atención al cliente por parte del sistema;

rendimiento del sistema;

la probabilidad de denegación de servicio al cliente;

la probabilidad de ocupación de cada canal y de todos juntos;

tiempo de ocupación promedio de cada canal;

probabilidad de ocupación de todos los canales;

número medio de canales ocupados;

probabilidad de tiempo de inactividad de cada canal;

la probabilidad de inactividad de todo el sistema;

el número medio de solicitudes en cola;

tiempo medio de espera de una solicitud en la cola;

tiempo promedio de servicio de la aplicación;

Tiempo medio de permanencia de la aplicación en el sistema.

Es necesario juzgar la calidad del sistema resultante por la totalidad de los valores de los indicadores. Al analizar los resultados de la simulación (indicadores), también es importante prestar atención a los intereses del cliente y los intereses del propietario del sistema, es decir, es necesario minimizar o maximizar tal o cual indicador, así como el grado de su implementación. Tenga en cuenta que la mayoría de las veces los intereses del cliente y del propietario no coinciden o no siempre coinciden. Los indicadores se indicarán más h = { h 1 , h 2 , …} .

Los parámetros QS pueden ser: la intensidad del flujo de aplicaciones, la intensidad del flujo de servicio, el tiempo promedio durante el cual la aplicación está lista para esperar el servicio en la cola, el número de canales de servicio, la disciplina del servicio y pronto. Los parámetros son los que afectan el rendimiento del sistema. Los parámetros se indicarán a continuación como R = { r 1 , r 2 , …} .

Ejemplo. Estación de servicio (gasolinera).

1. Planteamiento del problema. En la fig. 30.5 muestra el plano de la gasolinera. Consideremos el método de modelado QS en su ejemplo y el plan de su investigación. Es posible que los conductores que pasan por delante de las gasolineras en la carretera quieran llenar el depósito de su coche. No todos los automovilistas quieren recibir servicio (repostar gasolina); Digamos que de todo el flujo de coches, 5 coches por hora, de media, llegan a la gasolinera.

En la gasolinera hay dos surtidores idénticos, cuyo rendimiento estadístico se conoce. La primera columna sirve en promedio a 1 automóvil por hora, la segunda en promedio, a 3 automóviles por hora. El propietario de la gasolinera preparó un lugar para que los coches puedan esperar el servicio. Si las columnas están ocupadas, otros coches pueden esperar el servicio en este lugar, pero no más de dos a la vez. La cola se considerará general. Tan pronto como una de las columnas queda libre, el primer automóvil de la cola puede ocupar su lugar en la columna (en este caso, el segundo automóvil pasa al primer lugar de la cola). Si aparece un tercer automóvil y todos los lugares (dos de ellos) en la cola están ocupados, se le niega el servicio, ya que está prohibido permanecer en la carretera (ver señales de tráfico cerca de las gasolineras). Un coche así abandona el sistema para siempre y, como cliente potencial, el propietario de la gasolinera lo pierde. Puede complicar la tarea considerando la caja registradora (otro canal de servicio al que debe llegar después de servir en una de las columnas) y la cola para llegar a ella, y así sucesivamente. Pero en la versión más simple, es obvio que las rutas de flujo de solicitudes a través del QS se pueden representar como un diagrama equivalente, y sumando los valores y designaciones de las características de cada elemento del QS, finalmente obtenemos el diagrama. mostrado en la Fig. 30.6.

2. Método de investigación de QS. En nuestro ejemplo, aplicaremos el principio de publicación secuencial de solicitudes (para obtener detalles sobre los principios de modelado, consulte la Fig. conferencia 32). Su idea es que la aplicación recorra todo el sistema desde la entrada hasta la salida, y solo después de eso comiencen a modelar la siguiente aplicación.

Para mayor claridad, construiremos un diagrama de tiempo de la operación QS, reflexionando sobre cada regla (el eje de tiempo t) el estado de un elemento individual del sistema. Hay tantas líneas de tiempo como diferentes lugares en las corrientes de QS. En nuestro ejemplo, hay 7 de ellos (el flujo de solicitudes, el flujo de espera en primer lugar en la cola, el flujo de espera en segundo lugar en la cola, el flujo de servicio en el canal 1, el flujo de servicio en canal 2, el flujo de solicitudes atendidas por el sistema, el flujo de solicitudes rechazadas).

Para generar el tiempo de llegada de las solicitudes utilizamos la fórmula para calcular el intervalo entre los momentos de llegada de dos eventos aleatorios (ver Fig. conferencia 28):

En esta fórmula, la cantidad de flujo λ debe especificarse (antes de eso, debe determinarse experimentalmente en el objeto como un promedio estadístico), r- número aleatorio distribuido uniformemente de 0 a 1 de RNG o mesas, en el que se deben tomar números aleatorios seguidos (sin elegir especialmente).

Tarea. Genere una secuencia de 10 eventos aleatorios con una tasa de eventos de 5 eventos por hora.

La solución del problema. Tomemos números aleatorios distribuidos uniformemente en el intervalo de 0 a 1 (ver Fig. mesa), y calcular sus logaritmos naturales (ver Tabla 30.2).

Tabla 30.2. Fragmento de una tabla de números aleatorios y sus logaritmos.

r páginas en(r) páginas )

La fórmula de flujo de Poisson define la distancia entre dos eventos aleatorios de la siguiente manera: t= –Ln(r рр)/ λ . Entonces, considerando que λ = 5, tenemos las distancias entre dos eventos vecinos aleatorios: 0,68, 0,21, 0,31, 0,12 horas. Es decir, los eventos ocurren: el primero, en un momento determinado. t= 0 , el segundo - en el momento del tiempo t= 0,68 , el tercero - en ese momento t= 0,89 , cuarto - en ese momento t= 1,20 , quinto - a la vez t= 1,32 y así sucesivamente. Eventos: la llegada de solicitudes se reflejará en la primera línea (ver Fig. 30.7).

Arroz. 30.7. Diagrama de tiempos de funcionamiento QS

Se toma la primera solicitud y, como los canales están libres en este momento, se configura para dar servicio en el primer canal. La aplicación 1 se transfiere a la línea "1 canal".

El tiempo de servicio en el canal también es aleatorio y se calcula mediante una fórmula similar:

donde el papel de la intensidad lo juega la magnitud del flujo de servicios μ 1 o μ 2, dependiendo del canal que atienda la solicitud. Encontramos el momento de finalización del servicio en el diagrama, posponiendo el tiempo de servicio generado desde el momento en que comenzó el servicio, y bajamos la solicitud a la línea “Servido”.

La solicitud pasó por la CMO hasta el final. Ahora es posible, según el principio de publicación secuencial de pedidos, simular también la trayectoria del segundo pedido.

Si en algún momento resulta que ambos canales están ocupados, entonces la solicitud debe colocarse en la cola. En la fig. 30.7 es la solicitud con el número 3. Tenga en cuenta que, según las condiciones de la tarea, en la cola, a diferencia de los canales, las solicitudes no se ubican aleatoriamente, sino que están esperando que uno de los canales quede libre. Después de la liberación del canal, la solicitud se traslada a la línea del canal correspondiente y allí se organiza su atención.

Si todos los lugares en la cola en el momento en que llega la siguiente solicitud están ocupados, entonces la solicitud debe enviarse a la línea "Rechazada". En la fig. 30,7 es la oferta número 6.

El procedimiento de simulación de atención de solicitudes se continúa durante un tiempo de observación. t norte. Cuanto más largo sea este tiempo, más precisos serán los resultados de la simulación en el futuro. En realidad, para sistemas simples elija t n, igual a 50-100 o más horas, aunque a veces es mejor medir este valor por el número de aplicaciones consideradas.

El estudio analítico de los sistemas de colas (QS) es un enfoque alternativo al modelado de simulación y consiste en obtener fórmulas para calcular los parámetros de salida de QS con la posterior sustitución de los valores de los argumentos en estas fórmulas en cada experimento individual.

En los modelos QS se consideran los siguientes objetos:

1) solicitudes de servicio (transacciones);

2) dispositivos de servicio (OA), o dispositivos.

La tarea práctica de la teoría de colas está relacionada con el estudio de las operaciones de estos objetos y consta de elementos separados que están influenciados por factores aleatorios.

Como ejemplo de los problemas considerados en la teoría de las colas, se pueden citar: hacer coincidir el rendimiento de una fuente de mensajes con un canal de transmisión de datos, analizar el flujo óptimo del transporte urbano, calcular la capacidad de una sala de espera para pasajeros en un aeropuerto , etc.

La solicitud puede estar en estado de servicio o en estado de servicio pendiente.

El dispositivo de servicio puede estar ocupado con el servicio o libre.

El estado QS se caracteriza por un conjunto de estados de dispositivos y aplicaciones de servicio. El cambio de estados en QS se llama evento.

Los modelos QS se utilizan para estudiar los procesos que ocurren en el sistema, cuando se aplican a las entradas de los flujos de aplicaciones. Estos procesos son una secuencia de eventos.

Los parámetros de salida más importantes del QS

Actuación

Banda ancha

Probabilidad de denegación de servicio

Tiempo promedio de servicio;

Factor de carga del equipo (OA).

Las aplicaciones pueden ser pedidos para la producción de productos, tareas resueltas en un sistema informático, clientes en bancos, mercancías que llegan para su transporte, etc. Es obvio que los parámetros de las aplicaciones que ingresan al sistema son variables aleatorias y solo sus parámetros pueden conocerse durante investigación o diseño leyes de distribución.

En este sentido, el análisis del funcionamiento a nivel del sistema suele ser de carácter estadístico. Es conveniente tomar la teoría de las colas como una herramienta de modelado matemático y utilizar los sistemas de colas como modelos de sistemas en este nivel.

Los modelos QS más simples.

En el caso más simple, el QS es un dispositivo llamado dispositivo de servicio (OA), con colas de aplicaciones en las entradas.

M o d e l o n s e r e n t e s e s en c a t i o n (Fig. 5.1)

Arroz. 5.1. Modelo QS con fallas:

0 – fuente de solicitud;

1 - dispositivo de servicio;

A– flujo de entrada de solicitudes de servicio;

V es el flujo de salida de las solicitudes atendidas;

Con es el flujo de salida de solicitudes no atendidas.

En este modelo, no existe un acumulador de siniestros a la entrada del OA. Si llega un reclamo de la fuente 0 en el momento en que el AA está ocupado atendiendo el reclamo anterior, entonces el reclamo recién llegado sale del sistema (porque se le negó el servicio) y se pierde (el flujo Con).

M o d e l de s e r e c i o n e s C y d i n d (Fig. 5.2)

Arroz. 5.2. Modelo QS con expectativas

(NORTE- 1) - el número de aplicaciones que caben en el acumulador

Este modelo cuenta con un acumulador de siniestros en la entrada del OA. Si un cliente llega de la fuente 0 en el momento en que la CA está ocupada atendiendo al cliente anterior, entonces el cliente recién llegado ingresa al acumulador, donde espera indefinidamente hasta que la CA quede libre.

MODELO DE SERVICIO POR TIEMPO LIMITADO

ancho cualquier (Fig. 5.3)

Arroz. 5.4. Modelo QS multicanal con fallas:

norte- el número de dispositivos de servicio idénticos (dispositivos)

En este modelo no hay un OA, sino varios. Las solicitudes, a menos que se indique lo contrario, pueden enviarse a cualquier AB que no preste servicios. No hay almacenamiento, por lo que este modelo incluye las propiedades del modelo mostrado en la Fig. 5.1: denegación de servicio de la solicitud significa su pérdida irreparable (esto sucede sólo si en el momento de la llegada de esta solicitud Todo OA están ocupados).

dentro de casa (Fig. 5.5)

Arroz. 5.6. Modelo QS multicanal con OA de espera y recuperación:

mi- dispositivos de servicio que no funcionan;

F– vehículos de servicio restaurados

Este modelo tiene las propiedades de los modelos presentados en las Figs. 5.2 y 5.4, así como las propiedades que permiten tener en cuenta posibles fallas aleatorias del OA, que en este caso ingresan al bloque de reparación 2, donde permanecen por períodos aleatorios de tiempo dedicados a su restauración, para luego regresar al bloque de servicio 1 nuevamente.

M i n o n a l m o l l Q O

Tiempo de espera y recuperación de OA (Fig. 5.7)

Arroz. 5.7. Modelo QS multicanal con tiempo de espera limitado y recuperación OA

Este modelo es bastante complejo, ya que tiene en cuenta simultáneamente las propiedades de dos modelos que no son los más simples (Figuras 5.5 y 5.6).

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INTRODUCCIÓN

CAPITULO 1. PARTE TEÓRICA

1.1 Sistemas de colas con fallas

1.2 Modelado de sistemas de colas

1.3 El QS más simple con fallas

1.4 QS monocanal con fallos

1.5 QS multicanal con fallas

1.6 QS de un solo canal con longitud de cola limitada

1.7 QS monocanal con cola ilimitada

1.8 QS multicanal con longitud de cola limitada

1.9 QS multicanal con cola ilimitada

1.10 Algoritmo de modelado QS

CAPÍTULO 2. PARTE PRÁCTICA

CAPÍTULO 3. NORMAS DE SEGURIDAD

CONCLUSIÓN

LISTA DE LITERATURA UTILIZADA

INTRODUCCIÓN

Recientemente, en diversas áreas de la práctica, se ha hecho necesario resolver diversos problemas probabilísticos relacionados con el funcionamiento de los llamados sistemas de colas (QS).

Ejemplos de este tipo de sistemas son: centrales telefónicas, talleres de reparación, taquillas, paradas de taxis, peluquerías, etc.

El tema de este proyecto de curso es precisamente la solución de tal problema.

Sin embargo, en el problema propuesto se investigará un QS, en el que se consideran 2 flujos de aplicaciones, uno de los cuales tiene prioridad.

Además, los procesos considerados no son markovianos, ya que El factor tiempo es importante.

Por tanto, la solución de este problema no se basa en la descripción analítica del sistema, sino en el modelado estadístico.

El objetivo del trabajo de curso es modelar el proceso de producción a partir de la representación de los equipos principales como un sistema de colas.

Para lograr el objetivo, se plantearon las siguientes tareas: - analizar las características de la gestión del proceso de producción; - Considerar la organización del proceso de producción en el tiempo; - Dar las principales opciones para reducir la duración del ciclo de producción;

Analizar los métodos de gestión del proceso productivo en la empresa;

Considere las características de modelar el proceso de producción utilizando la teoría QS;

Desarrollar un modelo del proceso de producción y evaluar las principales características del QS, presentar las perspectivas para su futura implementación del software.

Consolidación de conocimientos teóricos y obtención de habilidades para su aplicación práctica;

El informe contiene una introducción, tres capítulos, una conclusión, una lista de referencias y aplicaciones.

El segundo capítulo trata sobre los materiales teóricos del sistema de colas. Y en el tercero calculamos el problema de los sistemas de colas.

CAPÍTULO 1. PARTE TEÓRICA

1.1 Sistemas de colasCfracasos

Un sistema de colas (QS) es cualquier sistema diseñado para atender cualquier solicitud (requisito) que le llegue en momentos aleatorios. Cualquier dispositivo que esté directamente involucrado en las solicitudes de servicio se denomina canal de servicio (o "dispositivo"). Los CMO son tanto monocanal como multicanal.

Hay QS con fallas y QS con cola. En un QS con denegaciones, una solicitud que llega en el momento en que todos los canales están ocupados recibe un rechazo, sale del QS y luego no participa en su operación. En un QS con cola, un reclamo que llega en el momento en que todos los canales están ocupados no sale del QS, sino que ingresa a la cola y espera hasta que un canal quede libre. El número de plazas en la cola m puede ser tanto limitado como ilimitado. Cuando m=0, un QS con cola se convierte en un QS con fallas. Una cola puede estar limitada no sólo por el número de solicitudes que hay en ella (la longitud de la cola), sino también por el tiempo de espera (estos QS se denominan "sistemas con clientes impacientes").

Un estudio analítico de un QS es el más simple si todos los flujos de eventos que lo transfieren de un estado a otro son los más simples (Poisson estacionario). Esto significa que los intervalos de tiempo entre eventos en las corrientes tienen una distribución exponencial con un parámetro igual a la intensidad de la corriente correspondiente. Para QS, esta suposición significa que tanto el flujo de solicitudes como el flujo de servicio son los más simples. Se entiende por flujo de servicio un flujo de solicitudes atendidas una tras otra por un canal continuamente ocupado. Este flujo resulta ser el más simple solo si el tiempo de servicio de la solicitud tservice es una variable aleatoria con una distribución exponencial. El parámetro de esta distribución m es el recíproco del tiempo medio de servicio:

En lugar de la frase "el flujo de servicio es el más simple", a menudo dicen "el tiempo de servicio es indicativo". Cualquier QS en el que todos los flujos son simples se llama QS simple.

Si todos los flujos de eventos son simples, entonces el proceso que ocurre en el QS es un proceso aleatorio de Markov con estados discretos y tiempo continuo. Bajo ciertas condiciones para este proceso, existe un régimen estacionario final, en el que tanto las probabilidades de estados como otras características del proceso no dependen del tiempo.

Los modelos QS son convenientes para describir subsistemas individuales de sistemas informáticos modernos, como el subsistema de memoria principal del procesador, el canal de entrada y salida, etc.

Un sistema informático en su conjunto es un conjunto de subsistemas interconectados, cuya interacción es de naturaleza probabilística. Una aplicación para resolver un determinado problema que ingresa al sistema informático pasa por una secuencia de etapas de conteo, acceso a dispositivos de almacenamiento externos y dispositivos de entrada y salida.

Después de completar una determinada secuencia de dichas etapas, cuyo número y duración dependen de la complejidad del programa, la solicitud se considera atendida y sale del sistema informático.

Por tanto, el sistema informático en su conjunto puede representarse mediante un conjunto de QS, cada uno de los cuales muestra el proceso de funcionamiento de un dispositivo individual o de un grupo de dispositivos del mismo tipo que forman parte del sistema.

Las tareas de la teoría de colas son encontrar las probabilidades de varios estados del QS, así como establecer la relación entre los parámetros dados (el número de canales n, la intensidad del flujo de solicitudes l, la distribución del tiempo de servicio , etc.) y las características de rendimiento del QS. Tales características pueden considerarse, por ejemplo, las siguientes:

El número medio de aplicaciones A atendidas por el QS por unidad de tiempo, o el rendimiento absoluto del QS;

La probabilidad de atender la solicitud entrante Q o el rendimiento relativo del QS; Q \u003d A / l;

Probabilidad de fallo de Rothk, es decir la probabilidad de que la solicitud recibida no sea atendida y sea rechazada; Rotk = 1 - Q;

El número medio de solicitudes en el QS (atendidas o en espera de cola);

El número promedio de solicitudes en la cola;

Tiempo promedio que pasa una aplicación en el CMO (en cola o en servicio);

El tiempo promedio que pasa una aplicación en la cola;

Número medio de canales ocupados.

En el caso general, todas estas características dependen del tiempo. Pero muchos QS funcionan en condiciones constantes durante bastante tiempo y, por lo tanto, es necesario establecer para ellos un régimen cercano al estacionario.

Estamos aquí en todas partes, sin estipular esto cada vez específicamente, calcularemos las probabilidades finales de estados y las características finales de la eficiencia del QS relacionadas con el modo estacionario límite de su funcionamiento.

Un QS se denomina abierto si la intensidad del flujo entrante de aplicaciones no depende del estado del propio QS.

Para cualquier QS abierto en el modo estacionario limitante, el tiempo promedio de residencia de un cliente en el sistema se expresa en términos del número promedio de clientes en el sistema usando la fórmula de Little:

donde l es la intensidad del flujo de solicitudes.

Una fórmula similar (también llamada fórmula de Little) relaciona el tiempo promedio que pasa un ticket en una cola y el número promedio de tickets en una cola:

Las fórmulas de Little son muy útiles porque permiten calcular no ambas características de eficiencia (tiempo de residencia promedio y número promedio de clientes), sino solo una de ellas.

Destacamos especialmente que las fórmulas (1) y (2) son válidas para cualquier QS abierto (monocanal, multicanal, para cualquier tipo de flujos de solicitud y flujos de servicios); el único requisito para los flujos y servicios de clientes es que sean estacionarios.

De manera similar, la fórmula que expresa el número promedio de canales ocupados a través del ancho de banda absoluto A tiene un valor universal para QS abierto:

¿Dónde está la intensidad del flujo de servicios?

Muchos problemas de la teoría de las colas, relacionados con el QS más simple, se resuelven utilizando el esquema de muerte y reproducción.

Las probabilidades finales de los estados se expresan mediante las fórmulas:

Desplazarse Las características de los sistemas de colas se pueden representar de la siguiente manera:

· tiempo promedio de servicio;

tiempo medio de espera en la cola;

El tiempo promedio de permanencia en el SMO;

La longitud promedio de la cola

· el número medio de solicitudes en la OCM;

el número de canales de servicio;

la intensidad del flujo de entrada de aplicaciones;

intensidad del servicio;

intensidad de carga;

Factor de carga

Rendimiento relativo;

El rendimiento absoluto

proporción de tiempo de inactividad de QS;

la proporción de aplicaciones atendidas;

la proporción de solicitudes perdidas;

número medio de canales ocupados;

número medio de canales gratuitos;

factor de carga del canal;

Tiempo medio de inactividad de los canales.

1 . 2 Modelado de sistemas de colas.

Las transiciones de QS de un estado a otro se producen bajo la influencia de eventos bien definidos: la recepción de solicitudes y su mantenimiento. La secuencia de ocurrencia de eventos que se suceden uno tras otro en momentos aleatorios de tiempo forma el llamado flujo de eventos. Ejemplos de tales flujos en las actividades comerciales son los flujos de diversa naturaleza: bienes, dinero, documentos, transporte, clientes, clientes, llamadas telefónicas, negociaciones. El comportamiento del sistema suele estar determinado no por uno, sino por varios flujos de eventos a la vez. Por ejemplo, el servicio al cliente en una tienda está determinado por el flujo de clientes y el flujo de servicios; en estos flujos, los momentos de aparición de los compradores, el tiempo de permanencia en la cola y el tiempo empleado en atender a cada comprador son aleatorios.

En este caso, el principal rasgo característico de los flujos es la distribución probabilística del tiempo entre eventos vecinos. Existen diversas corrientes que se diferencian por sus características.

Una secuencia de eventos se llama regular si los eventos que se suceden en ella se suceden uno tras otro en intervalos de tiempo predeterminados y estrictamente definidos. Este flujo es ideal y es muy raro en la práctica. Más a menudo se encuentran flujos irregulares que no tienen la propiedad de regularidad.

Una secuencia de eventos se llama estacionaria si la probabilidad de que cualquier número de eventos caigan en un intervalo de tiempo depende únicamente de la duración de este intervalo y no depende de qué tan lejos se encuentre este intervalo del punto de referencia temporal. La estacionariedad de un flujo significa que sus características probabilísticas son independientes del tiempo; en particular, la intensidad de dicho flujo es el número promedio de eventos por unidad de tiempo y permanece constante. En la práctica, los flujos normalmente pueden considerarse estacionarios sólo durante un cierto intervalo de tiempo limitado. Normalmente, el flujo de clientes, por ejemplo, en una tienda cambia significativamente durante la jornada laboral. Sin embargo, es posible distinguir ciertos intervalos de tiempo dentro de los cuales este flujo puede considerarse estacionario y de intensidad constante.

Una secuencia de eventos se denomina secuencia sin consecuencias si el número de eventos que caen en uno de los intervalos de tiempo elegidos arbitrariamente no depende del número de eventos que caen en otro intervalo también elegido arbitrariamente, siempre que estos intervalos no se crucen. En un flujo sin consecuencias, los acontecimientos aparecen en momentos sucesivos independientemente unos de otros. Por ejemplo, el flujo de clientes que entran a una tienda puede considerarse un flujo sin consecuencias, porque los motivos que motivaron la llegada de cada uno de ellos no están relacionados con motivos similares de otros clientes.

Una secuencia de eventos se llama ordinaria si la probabilidad de que ocurran dos o más eventos a la vez durante un período de tiempo muy corto es insignificante en comparación con la probabilidad de que ocurra solo un evento. En una corriente ordinaria, los eventos ocurren uno a la vez, en lugar de dos o más veces. Si un flujo posee simultáneamente las propiedades de estacionariedad, normalidad y ausencia de consecuencias, entonces dicho flujo se denomina flujo de eventos más simple (o de Poisson). La descripción matemática del impacto de tal flujo en los sistemas es la más simple. Por lo tanto, en particular, el flujo más simple juega un papel especial entre otros flujos existentes.

Considere algún intervalo de tiempo t en el eje del tiempo. Supongamos que la probabilidad de que un evento aleatorio caiga en este intervalo es p, y el número total de eventos posibles es n. En presencia de la propiedad de un flujo ordinario de eventos, la probabilidad p debe ser un valor suficientemente pequeño, y i un número suficientemente grande, ya que se consideran fenómenos de masas.

En estas condiciones, para calcular la probabilidad de que se produzca un cierto número de eventos t en un intervalo de tiempo t, se puede utilizar la fórmula de Poisson:

pm, n= am_e-a; (m=0,n),

donde el valor a = pr es el número promedio de eventos que caen en el intervalo de tiempo t, que se puede determinar a través de la intensidad del flujo de eventos X de la siguiente manera: a = l f

La dimensión de la intensidad del flujo X es el número promedio de eventos por unidad de tiempo. Entre p y l, p y f existe la siguiente relación:

norte= l t; p= f/t

donde t es el período de tiempo completo en el que se considera la acción del flujo de eventos.

Es necesario determinar la distribución del intervalo de tiempo T entre eventos en dicha secuencia. Como se trata de una variable aleatoria, encontremos su función de distribución. Como se sabe por la teoría de la probabilidad, la función de distribución integral F(t) es la probabilidad de que el valor T sea menor que el tiempo t.

F(t)=P(T

Según la condición, no debería ocurrir ningún evento durante el tiempo T, y al menos un evento debería aparecer en el intervalo de tiempo t. Esta probabilidad se calcula utilizando la probabilidad del evento opuesto en el intervalo de tiempo (0; t), donde no ocurrió ningún evento, es decir metro = 0, entonces

F(t)=1-P0=1-(a0*e-a)0!=1-e-Xt,t?0

Para pequeño?t, se puede obtener una fórmula aproximada obtenida reemplazando la función e-Xt, con sólo dos términos de la expansión en una serie en potencias?t, entonces la probabilidad de que ocurra al menos un evento en un pequeño intervalo de tiempo? t es

PAG(T)

La densidad de distribución del intervalo de tiempo entre dos eventos sucesivos se obtiene diferenciando F(t) con respecto al tiempo,

f(t)= l e- l t ,t?0

Utilizando la función de densidad de distribución obtenida, se pueden obtener las características numéricas de la variable aleatoria T: la expectativa matemática M (T), la varianza D (T) y la desviación estándar y (T).

M(T)= l??0 t*e-lt*dt=1/ l; D(T)=1/l2; y(T)=1/l.

De esto podemos sacar la siguiente conclusión: el intervalo de tiempo promedio T entre dos eventos vecinos cualesquiera en el flujo más simple es en promedio 1/l, y su desviación estándar también es 1/l, donde, es la intensidad del flujo, es decir el número promedio de eventos que ocurren por unidad de tiempo. La ley de distribución de una variable aleatoria con tales propiedades M(T) = T se llama exponencial (o exponencial), y el valor l es un parámetro de esta ley exponencial. Así, para el flujo más simple, la expectativa matemática del intervalo de tiempo entre eventos vecinos es igual a su desviación estándar. En este caso, la probabilidad de que el número de solicitudes que llegan para dar servicio en un intervalo de tiempo t sea igual a k está determinada por la ley de Poisson:

Pk(t)=(lt)k/ k! *e-l t,

donde l es la intensidad del flujo de aplicaciones, el número promedio de eventos en el QS por unidad de tiempo, por ejemplo [persona / min; frotar/hora; cheques/hora; documentos/día; kg./hora; toneladas/año] .

Para tal flujo de aplicaciones, el tiempo entre dos aplicaciones vecinas T se distribuye exponencialmente con una densidad de probabilidad:

ѓ(t)= l e-l t.

El tiempo de espera aleatorio en la cola de inicio del servicio t también se puede considerar distribuido exponencialmente:

? (toch)=V*e-v toch,

donde v es la intensidad del flujo de paso de la cola, determinada por el número promedio de solicitudes que pasan por servicio por unidad de tiempo:

v=1/Punto,

donde To es el tiempo promedio de espera por servicio en la cola.

El flujo de salida de solicitudes está asociado al flujo de servicios en el canal, donde la duración del servicio tobs también es una variable aleatoria y en muchos casos obedece a una ley de distribución exponencial con una densidad de probabilidad:

?(t obs)=µ*e µ t obs,

donde µ es la intensidad del flujo de servicio, es decir número promedio de solicitudes atendidas por unidad de tiempo:

µ=1/ t obs[personas/min; frotar/hora; cheques/hora; documentos/día; kg./hora; toneladas/año] ,

donde t obs es el tiempo promedio de mantenimiento de las aplicaciones.

Una característica importante del QS, que combina los indicadores l y µ, es la intensidad de la carga: с= l/ µ, que muestra el grado de coordinación de los flujos de entrada y salida de las solicitudes del canal de servicio y determina la estabilidad del sistema de colas.

Además del concepto de flujo de eventos más simple, a menudo es necesario utilizar conceptos de flujos de otros tipos. Un flujo de eventos se denomina flujo Palm cuando en este flujo los intervalos de tiempo entre eventos sucesivos T1, T2, ..., Tk ..., Tn son variables aleatorias independientes, igualmente distribuidas, pero a diferencia del flujo más simple, son no necesariamente distribuido según una ley exponencial. El flujo más simple es un caso especial del flujo Palm.

Un caso especial importante del arroyo Palm es el llamado arroyo Erlang.

Esta corriente se obtiene "diluyendo" la corriente más simple. Este "adelgazamiento" se realiza seleccionando eventos de un flujo simple de acuerdo con una regla determinada.

Por ejemplo, si acordamos tener en cuenta solo uno de cada dos eventos de los elementos del flujo más simple, obtenemos un flujo Erlang de segundo orden. Si tomamos solo uno de cada tres eventos, entonces se forma un flujo Erlang de tercer orden, y así sucesivamente.

Es posible obtener flujos de Erlang de cualquier k-ésimo orden. Obviamente, el flujo más simple es el flujo Erlang de primer orden.

Cualquier estudio de un sistema de colas comienza con un estudio de lo que se necesita servir y, por tanto, con un examen del flujo entrante de clientes y sus características.

Dado que los momentos de tiempo t y los intervalos de tiempo de recepción de solicitudes φ, entonces la duración de las operaciones de servicio t obs y el tiempo de espera en la cola toch, así como la longitud de la cola lch son variables aleatorias, entonces, por lo tanto, la Las características del estado QS son de naturaleza probabilística y para su descripción se deben aplicar métodos y modelos de la teoría de colas.

Las características k, f, l, Loch, Toch, v, tobs, µ, p, Pk enumeradas anteriormente son las más comunes para QS, que normalmente son solo una parte de la función objetivo, ya que también es necesario tener en cuenta los indicadores de actividad comercial.

1 . 3 El QS más simple con fallas.

Un QS de n canales con fallas recibe el flujo más simple de aplicaciones con intensidad l; tiempo de servicio - indicativo con un parámetro. Los estados del QS se numeran según el número de solicitudes en el QS (debido a la ausencia de cola, coincide con el número de canales ocupados):

S0 - QS es gratuito;

S1: un canal está ocupado, el resto está libre;

...;

S k- ocupado k canales, el resto son gratuitos (1 knorte);

…;

S norte- todos están ocupados norte canales.

Las probabilidades del estado final se expresan mediante las fórmulas de Erlang:

donde s=l/m.

Características de presentación:

A=(1-p norte); Q=1-p norte; Pp = p norte; =(1-pag norte).

Para valores grandes PAG Las probabilidades de estado (1*) se pueden calcular convenientemente utilizando funciones tabuladas:

(distribución de Poisson) y

,

de los cuales el primero puede expresarse en términos del segundo:

Usando estas funciones, las fórmulas de Erlang (1*) se pueden reescribir como

.

1.4 QS monocanal con fallos

Analicemos un QS monocanal simple con denegaciones de servicio, que recibe un flujo de solicitudes de Poisson con intensidad l, y el servicio se produce bajo la acción de un flujo de Poisson con intensidad m.

El funcionamiento de un QS de un solo canal n=1 se puede representar como un gráfico de estado etiquetado (3.1).

Las transiciones QS de un estado S0 a otro S1 ocurren bajo la acción de un flujo de entrada de solicitudes con intensidad l, y la transición inversa ocurre bajo la acción de un flujo de servicio con intensidad m.

Escribamos el sistema de ecuaciones diferenciales de Kolmogorov para probabilidades de estado de acuerdo con las reglas anteriores:

De donde obtenemos la ecuación diferencial para determinar la probabilidad p0(t) del estado S0:

Esta ecuación se puede resolver en condiciones iniciales bajo el supuesto de que el sistema en el momento t=0 estaba en el estado S0, entonces р0(0)=1, р1(0)=0.

En este caso, la solución de la ecuación diferencial nos permite determinar la probabilidad de que el canal esté libre y no ocupado con servicio:

Entonces no es difícil obtener una expresión para la probabilidad de determinar la probabilidad de que el canal esté ocupado:

La probabilidad p0(t) disminuye con el tiempo y en el límite en t>? tiende a tamaño

y la probabilidad p1(t) al mismo tiempo aumenta desde 0, tendiendo al límite cuando t>? al valor

Estos límites de probabilidad se pueden obtener directamente de las ecuaciones de Kolmogorov bajo la condición

Las funciones p0(t) y p1(t) determinan el proceso transitorio en un QS de un solo canal y describen el proceso de QS acercándose exponencialmente a su estado límite con una constante de tiempo característica del sistema considerado.

Con suficiente precisión para la práctica, podemos suponer que el proceso transitorio en el QS finaliza en un tiempo igual a 3f.

La probabilidad p0(t) determina el rendimiento relativo del QS, que determina la proporción de solicitudes atendidas en relación con el número total de solicitudes entrantes, por unidad de tiempo.

De hecho, p0(t) es la probabilidad de que un reclamo que llegue en el momento t sea aceptado para el servicio. En total, las solicitudes l llegan en promedio por unidad de tiempo y desde ellas se atienden las solicitudes lp0.

Luego, la proporción de solicitudes atendidas en relación con todo el flujo de solicitudes está determinada por el valor

En el límite en t>? prácticamente ya en t>3f el valor del rendimiento relativo será igual a

El rendimiento absoluto, que determina el número de solicitudes atendidas por unidad de tiempo en el límite para t>?, es igual a:

En consecuencia, la proporción de solicitudes que fueron rechazadas es, bajo las mismas condiciones limitantes:

y el número total de solicitudes no atendidas es igual a

Ejemplos de QS monocanal con denegación de servicio son: el mostrador de pedidos de una tienda, la sala de control de una empresa de transporte, la oficina de almacén, la oficina de gestión de una empresa comercial, con la que la comunicación se establece por teléfono.

1.5 QS multicanal con fallos

En las actividades comerciales, ejemplos de CMO multicanal son las oficinas de empresas comerciales con varios canales telefónicos, un servicio gratuito de referencia sobre la disponibilidad de los coches más baratos en las tiendas de automóviles de Moscú tiene 7 números de teléfono y, como saben, es muy difícil pasar y conseguir ayuda.

En consecuencia, los talleres de automóviles están perdiendo clientes, la oportunidad de aumentar el número de automóviles vendidos y los ingresos por ventas, el volumen de negocios y las ganancias.

Las empresas de viajes turísticos tienen dos, tres, cuatro o más canales, como Express-Line.

Consideremos un QS multicanal con denegaciones de servicio, que recibe un flujo de solicitudes de Poisson con intensidad l.

El flujo de servicio en cada canal tiene una intensidad m, en función del número de solicitudes QS se determinan sus estados Sk, representados como un gráfico etiquetado:

S0 - todos los canales están libres k=0,

S1 - sólo un canal está ocupado, k=1,

S2 - sólo dos canales están ocupados, k=2,

Los canales Sk - k están ocupados,

Sn - los n canales están ocupados, k= n.

Los estados de un QS multicanal cambian abruptamente en momentos aleatorios. La transición de un estado, por ejemplo, S0 a S1, se produce bajo la influencia del flujo de entrada de solicitudes con intensidad l, y viceversa, bajo la influencia del flujo de solicitudes de servicio con intensidad m.

Para la transición del sistema del estado Sk al estado Sk-1, no importa cuál de los canales se libere, por lo tanto el flujo de eventos que transfiere el QS tiene una intensidad km, por lo tanto, el flujo de eventos que transfiere el sistema de Sn a Sn-1 tiene una intensidad nm.

Así se formula el problema clásico de Erlang, que lleva el nombre del ingeniero-matemático danés-fundador de la teoría de las colas.

Un proceso aleatorio que ocurre en un QS es un caso especial del proceso de “nacimiento-muerte” y se describe mediante un sistema de ecuaciones diferenciales de Erlang, que permiten obtener expresiones para las probabilidades límite del estado del sistema considerado, llamado las fórmulas de Erlang:

.

Habiendo calculado todas las probabilidades de los estados del QS del canal n con fallas p0, p1, p2, ..., pk, ..., pn, podemos encontrar las características del sistema de servicio.

La probabilidad de denegación de servicio está determinada por la probabilidad de que una solicitud de servicio entrante encuentre los n canales ocupados, el sistema estará en el estado Sn:

k=n.

En sistemas con fallas, los eventos de falla y mantenimiento constituyen un grupo completo de eventos, así:

Rothk+Robs=1

Sobre esta base, el rendimiento relativo está determinado por la fórmula

Q \u003d POBS \u003d 1-rotk \u003d 1-pn

El rendimiento absoluto del QS se puede determinar mediante la fórmula

A=L*Robs

La probabilidad de servicio, o la proporción de solicitudes atendidas, determina el rendimiento relativo del QS, que también puede determinarse mediante otra fórmula:

A partir de esta expresión se puede determinar el número medio de aplicaciones bajo servicio, o lo que es lo mismo, el número medio de canales ocupados por el servicio.

La tasa de ocupación de canales está determinada por la relación entre el número promedio de canales ocupados y su número total.

La probabilidad de ocupación de canales por parte del servicio, que toma en cuenta el tiempo promedio de ocupación tload y el tiempo de inactividad tpr de los canales, se determina de la siguiente manera:

A partir de esta expresión, se puede determinar el tiempo medio de inactividad de los canales.

El tiempo medio de residencia de la aplicación en el sistema en estado estacionario está determinado por la fórmula de Little.

Tsmo \u003d nz / l.

1.6 QS de un solo canal con longitud de cola limitada

En las actividades comerciales, los QS con espera (cola) son más comunes.

Considere un QS simple de un solo canal con una cola limitada, en el que el número de lugares en la cola m es un valor fijo. En consecuencia, una solicitud que llega en el momento en que todos los lugares de la cola están ocupados no es aceptada para el servicio, no ingresa a la cola y sale del sistema.

La gráfica de este QS se muestra en la Fig. 3.4 y coincide con el gráfico de la Fig. 2.1 que describe el proceso de "nacimiento - muerte", con la diferencia que en presencia de un solo canal.

El gráfico etiquetado del proceso de "nacimiento - muerte" del servicio, todas las intensidades de los flujos de servicio son iguales.

Los estados QS se pueden representar de la siguiente manera:

S0 - el canal de servicio es gratuito,

S, - el canal de servicio está ocupado, pero no hay cola,

S2: el canal de servicio está ocupado, hay una solicitud en la cola,

S3: el canal de servicio está ocupado, hay dos solicitudes en la cola,

Sm+1: el canal de servicio está ocupado, los m lugares de la cola están ocupados, cualquier siguiente solicitud se rechaza.

Para describir el proceso aleatorio de QS, se pueden utilizar las reglas y fórmulas establecidas anteriormente. Escribamos las expresiones que definen las probabilidades límite de los estados:

La expresión para p0 se puede escribir en este caso de una manera más sencilla, usando el hecho de que el denominador es una progresión geométrica con respecto a p, luego después de las transformaciones apropiadas obtenemos:

c= (1- Con)

Esta fórmula es válida para todos los p distintos de 1, pero si p = 1, entonces p0 = 1/(m + 2), y todas las demás probabilidades también son iguales a 1/(m + 2).

Si suponemos m = 0, entonces pasamos de la consideración de un QS monocanal con espera al QS monocanal ya considerado con denegación de servicio.

De hecho, la expresión para la probabilidad marginal p0 en el caso m = 0 tiene la forma:

po \u003d m / (l + m)

Y en el caso de l \u003d m, tiene el valor p0 \u003d 1/2.

Definamos las características principales de un QS de un solo canal con espera: el rendimiento relativo y absoluto, la probabilidad de falla, así como la longitud promedio de la cola y el tiempo promedio de espera para una aplicación en la cola.

La solicitud se rechaza si llega en el momento en que el QS ya se encuentra en el estado Sm + 1 y, por tanto, todos los lugares de la cola están ocupados y un canal atiende

Por lo tanto, la probabilidad de falla está determinada por la probabilidad de ocurrencia.

Sm+1 afirma:

Potc = pm+1 = cm+1 * p0

El rendimiento relativo, o la proporción de solicitudes atendidas que llegan por unidad de tiempo, está determinada por la expresión

Q \u003d 1- potk \u003d 1- cm + 1 * p0

el ancho de banda absoluto es:

El número promedio de aplicaciones L en la cola de servicio está determinado por la expectativa matemática de la variable aleatoria k: el número de aplicaciones en la cola.

la variable aleatoria k toma únicamente los siguientes valores enteros:

1 - hay una aplicación en la cola,

2 - hay dos aplicaciones en la cola,

Todos los lugares en la cola están ocupados.

Las probabilidades de estos valores están determinadas por las probabilidades de estado correspondientes, comenzando desde el estado S2. La ley de distribución de una variable aleatoria discreta k se representa a continuación:

Tabla 1. Ley de distribución de una variable aleatoria discreta

La expectativa matemática de esta variable aleatoria es:

Lago = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm+1

En el caso general, para p ? 1, esta suma se puede transformar, utilizando modelos de progresión geométrica, a una forma más conveniente:

Lago = p2 * 13:00 * (m-m*p+1)*p0

En el caso particular en p = 1, cuando todas las probabilidades pk resultan ser iguales, se puede usar la expresión para la suma de los términos de la serie numérica

1+2+3+ metro = metro(metro+1)

Luego obtenemos la fórmula

L "och \u003d m(m+1)* p0 = m(m+1)(p=1).

Aplicando razonamientos y transformaciones similares, se puede demostrar que el tiempo de espera promedio para atender una solicitud y una cola está determinado por las fórmulas de Little.

Punto \u003d Loch / A (en p? 1) y T1och \u003d L "och / A (en p \u003d 1).

Este resultado, cuando resulta que Tox ~ 1/l, puede parecer extraño: con un aumento en la intensidad del flujo de solicitudes, parece que la longitud de la cola debería aumentar y el tiempo medio de espera debería disminuir. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que, en primer lugar, el valor de Loch es función de l y my, en segundo lugar, el QS considerado tiene una longitud de cola limitada de no más de m aplicaciones.

Una petición que llega al QS en el momento en que todos los canales están ocupados es rechazada y, por tanto, su tiempo de “espera” en el QS es cero. Esto conduce en el caso general (para p? 1) a una disminución de Tochrostom l, ya que la proporción de tales aplicaciones aumenta con el crecimiento de l.

Si abandonamos la restricción sobre la longitud de la cola, es decir aspira m--> >?, entonces casos p< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

Para k suficientemente grande, la probabilidad pk tiende a cero. Por lo tanto, el rendimiento relativo será Q \u003d 1, y el rendimiento absoluto será igual a A - l Q - l, por lo tanto, todas las solicitudes entrantes serán atendidas y la longitud promedio de la cola será igual a:

lago = pag2 1p

y el tiempo medio de espera según la fórmula de Little

Punto \u003d lago / a

En el límite p<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t >?). Por tanto, las probabilidades límite de los estados no se pueden determinar: para Q= 1 son iguales a cero. De hecho, el CMO no cumple sus funciones, ya que no puede dar servicio a todas las aplicaciones entrantes.

Es fácil determinar que la proporción de solicitudes atendidas y el rendimiento absoluto, respectivamente, promedian c y m, sin embargo, un aumento ilimitado en la cola y, por tanto, el tiempo de espera en ella, lleva al hecho de que después de un tiempo, las solicitudes comienzan a acumularse en la cola por tiempo ilimitado.

Como una de las características del QS se utiliza el tiempo promedio Tsmo de permanencia de la aplicación en el QS, incluyendo el tiempo promedio de permanencia en la cola y el tiempo promedio de servicio. Este valor se calcula mediante las fórmulas de Little: si la longitud de la cola es limitada, el número promedio de solicitudes en la cola es igual a:

Lmo= metro+1 ;2

tsmo= ltabaquismo; en p?1

Y luego el tiempo medio de permanencia de la solicitud en el sistema de colas (tanto en cola como en servicio) es igual a:

tsmo= metro+1 en p ?1 2m

1.7 QS monocanal con cola ilimitada

En las actividades comerciales, por ejemplo, un director comercial es un QS de un solo canal con espera ilimitada, ya que, por regla general, se ve obligado a atender aplicaciones de diferente naturaleza: documentos, conversaciones telefónicas, reuniones y conversaciones con subordinados, representantes de la inspección fiscal, la policía, los expertos en productos básicos, los comercializadores, los proveedores de productos y resuelven problemas en el ámbito mercantil y financiero con un alto grado de responsabilidad financiera, lo que se asocia al cumplimiento obligatorio de solicitudes que en ocasiones esperan ansiosamente el cumplimiento de sus requisitos, y los errores de servicio inadecuados suelen ser muy tangibles desde el punto de vista económico. Modelo de mantenimiento de fallas de Markov

Al mismo tiempo, los bienes importados para la venta (servicio), mientras se encuentran en el almacén, forman una cola para el servicio (venta).

La longitud de la cola es la cantidad de artículos que se venderán. En esta situación, los vendedores actúan como canales que sirven los bienes.

Si la cantidad de bienes destinados a la venta es grande, entonces en este caso estamos ante un caso típico de QS con expectativa.

Consideremos el QS monocanal más simple con servicio en espera, que recibe un flujo de solicitudes de Poisson con intensidad l e intensidad de servicio λ.

Además, la solicitud recibida en el momento en que el canal está ocupado con el servicio se pone en cola y espera el servicio.

El gráfico de estado etiquetado de dicho sistema se muestra en la fig. 3.5

El número de estados posibles del mismo es infinito:

El canal es gratuito, no hay colas;

El canal está ocupado con el servicio, no hay cola;

El canal está ocupado, una solicitud en la cola;

El canal está ocupado, la aplicación está en cola.

Los modelos para estimar la probabilidad de estados de un QS con cola ilimitada se pueden obtener a partir de fórmulas aisladas para un QS con cola ilimitada pasando al límite cuando m>?:

Cabe señalar que para un QS con una longitud de cola limitada en la fórmula

hay una progresión geométrica con el primer término 1 y el denominador.

Tal secuencia es la suma de un número infinito de términos en.

Esta suma converge si la progresión, infinitamente decreciente en, que determina el funcionamiento en estado estacionario del QS, con en , la cola en con el tiempo puede crecer hasta el infinito.

Dado que no hay límite en la longitud de la cola en el QS considerado, entonces se puede atender cualquier aplicación, por lo que el rendimiento relativo, respectivamente, y el rendimiento absoluto

La probabilidad de estar en la cola de k solicitudes es igual a:

Número medio de solicitudes en la cola -

Número promedio de aplicaciones en el sistema -

Tiempo medio de residencia de una aplicación en el sistema -

Tiempo medio de residencia de una aplicación con el sistema -

Si en un QS de un solo canal con espera la intensidad de recepción de solicitudes es mayor que la intensidad del servicio, entonces la cola aumentará constantemente. En este sentido, de mayor interés es el análisis del QS estable funcionando en modo estacionario en.

1.8 QS multicanal con longitud de cola limitada

Consideremos un QS multicanal, cuya entrada recibe un flujo de solicitudes de Poisson con intensidad, y la intensidad del servicio de cada canal es que el número máximo posible de lugares en la cola está limitado por m. Los estados discretos del QS están determinados por la cantidad de aplicaciones que han ingresado al sistema y que se pueden registrar.

Todos los canales son gratuitos;

Sólo un canal está ocupado (cualquiera), ;

Sólo dos canales están ocupados (cualquiera), ;

Todos los canales están ocupados.

Mientras el QS esté en cualquiera de estos estados, no hay cola. Una vez que todos los canales de servicio están ocupados, las solicitudes posteriores forman una cola, lo que determina el estado posterior del sistema:

Todos los canales están ocupados y una aplicación está en la cola,

Todos los canales están ocupados y hay dos aplicaciones en la cola,

Todos los canales están ocupados y todos los lugares en la cola están ocupados,

La transición del QS a un estado con grandes números está determinada por el flujo de solicitudes entrantes con intensidad, mientras que, por condición, estas solicitudes son atendidas por los mismos canales con la intensidad del flujo de servicio igual para cada canal. En este caso, la intensidad total del flujo de servicio aumenta con la conexión de nuevos canales hasta un estado en el que los n canales están ocupados. Con la llegada de la cola, la intensidad del servicio aumenta aún más, ya que ya ha alcanzado el valor máximo igual a.

Escribamos expresiones para las probabilidades límite de estados:

La expresión para se puede transformar usando la fórmula de progresión geométrica para la suma de términos con denominador:

La formación de una cola es posible cuando una solicitud recién recibida encuentra al menos los requisitos en el sistema, es decir, cuándo habrá requisitos en el sistema.

Estos eventos son independientes, por lo que la probabilidad de que todos los canales estén ocupados es igual a la suma de las respectivas probabilidades.

Por tanto, la probabilidad de formar una cola es igual a:

La probabilidad de denegación de servicio ocurre cuando todos los canales y todos los lugares en la cola están ocupados:

El rendimiento relativo será igual a:

Ancho de banda absoluto -

Número medio de canales ocupados -

Número medio de canales inactivos -

Coeficiente de ocupación (uso) de canales -

Relación de tiempo de inactividad del canal -

El número promedio de solicitudes en cola -

Si esta fórmula toma una forma diferente...

El tiempo medio de espera en una cola viene dado por las fórmulas de Little:

El tiempo medio de permanencia de una aplicación en el QS, como en el caso de un QS de un solo canal, es mayor que el tiempo medio de espera en la cola por el tiempo medio de servicio, que es igual a, ya que la aplicación siempre es atendida por un solo canal. :

1.9 QS multicanal con cola ilimitada

Consideremos un QS multicanal con espera y longitud de cola ilimitada, que recibe un flujo de solicitudes con intensidad y que tiene una intensidad de servicio de cada canal.

El gráfico de estados etiquetado se muestra en la Figura 3.7 y tiene un número infinito de estados:

S - todos los canales están libres, k=0;

S - un canal está ocupado, el resto están libres, k=1;

S - dos canales están ocupados, el resto están libres, k=2;

S: los n canales están ocupados, k=n, no hay cola;

S: los n canales están ocupados, una solicitud está en la cola, k=n+1,

S: los n canales están ocupados, r solicitudes están en la cola, k=n+r,

Obtenemos las probabilidades de estados a partir de las fórmulas para un QS multicanal con cola limitada al pasar al límite en m.

Cabe señalar que la suma de la progresión geométrica en la expresión para p diverge en el nivel de carga p/n>1, la cola aumentará indefinidamente, y en p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

sin cola

Dado que en dichos sistemas no puede haber denegación de servicio, las características de rendimiento son:

número promedio de solicitudes en la cola -

tiempo medio de espera en la cola -

número medio de solicitudes en CMO -

La probabilidad de que el QS se encuentre en un estado en el que no hay solicitudes y ningún canal está ocupado está determinada por la expresión

Esta probabilidad determina la fracción promedio del tiempo de inactividad del canal de servicio. Probabilidad de estar ocupado atendiendo k solicitudes -

Sobre esta base, es posible determinar la probabilidad o proporción de tiempo que todos los canales estén ocupados con el servicio.

Si todos los canales ya están ocupados por el servicio, entonces la probabilidad del estado está determinada por la expresión

La probabilidad de estar en la cola es igual a la probabilidad de encontrar todos los canales que ya están ocupados con el servicio.

El número promedio de solicitudes en cola y esperando servicio es igual a:

El tiempo medio de espera de una solicitud en la cola según la fórmula de Little:

y en el sistema

Número medio de canales ocupados por servicio:

Número medio de canales gratuitos:

Tasa de ocupación del canal de servicio:

Es importante señalar que el parámetro caracteriza el grado de coordinación del flujo de entrada, por ejemplo, clientes en una tienda con la intensidad del flujo de servicio. El proceso de servicio será estable en Si, sin embargo, la longitud promedio de la cola y el tiempo promedio de espera para que los clientes inicien el servicio aumentarán en el sistema y, por lo tanto, el QS funcionará de manera inestable.

1.10 Algoritmo de modelado QS

El QS considerado en el problema es un QS con:

Servicio de doble canal;

Un flujo de entrada de dos canales (tiene 2 entradas, una de las cuales recibe un flujo aleatorio de Solicitudes I, la otra entrada recibe un flujo de Solicitudes II).

Determinación de los tiempos de recepción y notificación de las solicitudes:

· Los tiempos de recepción y atención de las solicitudes se generan aleatoriamente con una ley de distribución exponencial determinada;

· Se establece la intensidad de recepción y atención de solicitudes;

El funcionamiento del QS considerado:

Cada canal atiende una solicitud a la vez;

Si al menos un canal está libre en el momento en que llega una nueva solicitud, entonces la solicitud entrante se envía para su servicio;

Si no hay aplicaciones, entonces el sistema está inactivo.

Disciplina de servicio:

Prioridad de las Solicitudes I: si el sistema está ocupado (ambos canales atienden solicitudes) y uno de los canales está ocupado por la Solicitud II, la Solicitud I se adelanta a la Solicitud II; La aplicación II deja el sistema sin servicio;

Si ambos canales están ocupados cuando llega la Solicitud II, la Solicitud II no se atiende;

Si al momento de la llegada de la Solicitud I ambos canales atienden las Solicitudes I, la Solicitud I recibida deja el sistema sin atender;

Tarea de modelado: conocer los parámetros de los flujos de entrada de las aplicaciones, simular el comportamiento del sistema y calcular sus principales características de su eficiencia. Al cambiar el valor de T de valores más pequeños a valores más grandes (el intervalo de tiempo durante el cual tiene lugar un proceso aleatorio de recepción de solicitudes de las corrientes 1 y 2 en el QS para el servicio), se pueden encontrar cambios en el criterio de desempeño. y elige el óptimo.

Criterios para la eficacia del funcionamiento del QS:

· Probabilidad de fracaso;

· Rendimiento relativo;

· Rendimiento absoluto;

Principio de modelado:

Introducimos las condiciones iniciales: el tiempo total del sistema, los valores de las intensidades de los flujos de solicitudes; el número de implementaciones del sistema;

Generamos los momentos de tiempo en que llegan las solicitudes, la secuencia de llegada de las Solicitudes I de las Solicitudes II, el tiempo de atención de cada solicitud entrante;

Contamos cuántas solicitudes se atendieron y cuántas se rechazaron;

Calculamos el criterio de eficiencia de QS;

CAPÍTULO2 . PARTE PRÁCTICA

Figura 1. Dependencia del OPSS en el tiempo

PROGRAMA CAN_SMO;

CANAL = (GRATIS, RECLAMACIÓN1, RECLAMACIÓN2);

INTENSIDAD = palabra;

ESTADÍSTICAS = palabra;

CANAL1, CANAL2: CANAL;(Canales)

T_, t, tc1, tc2: TIEMPO; (Tiempo)

l1, l2, n1, n2: INTENSIDAD;(Intensidades)

servido1, no_servido1,

servido2, no_servido2,

S: ESTADÍSTICAS; (Estadísticas)

M,N:INTEGER;(número de implementaciones)

FUNCIÓN W(t: TIEMPO; l: INTENSIDAD): booleano;(Determina si ha aparecido un ticket)

Inicio (por intensidad de flujo l)

si es aleatorio< l/60 then W:= TRUE else W:= FALSE;

FUNCIÓN F(t: TIEMPO; n: INTENSIDAD): TIEMPO;(Determina cuánto tiempo se procesará la solicitud)

Comenzar (según la intensidad de las solicitudes de servicio n)

F:= t+ronda(60/(n));

Figura 2. La dependencia de OPPS del tiempo

WRITELN("INGRESE EL NÚMERO DE IMPLEMENTACIONES DE TRABAJO QS");

writeln(M, "ésima implementación");

CANAL1:= GRATIS; CANAL2:= GRATIS;

l1:= 3; l2:= 1; n1:= 2; n2:= 1;

servidor1:= 0; not_served1:= 0;

servidor2:= 0; not_served2:= 0;

write("Ingrese el tiempo de estudio de QS - T: "); readln(_T_);

si CANAL1 = RECLAMACIÓN1 entonces inc(servido1) si no inc(servido2);

CANAL1:= GRATIS;

writeln("Canal1 completó la solicitud");

si CANAL2 = RECLAMACIÓN1 entonces inc(servido1) si no inc(servido2);

CANAL2:= GRATIS;

writeln("Canal2 completó el pedido");

Figura 3. Gráfica de probabilidad de falla en el sistema cada cierto tiempo

writeln("Solicitud recibida1");

si CANAL1 = GRATIS entonces

comenzar CANAL1:= RECLAMACIÓN1; tc1:= F(t,n1); writeln("El canal1 ha recibido la solicitud1"); fin

de lo contrario, si CANAL2 = GRATIS, entonces

comenzar CANAL2:= RECLAMACIÓN1; tc2:= F(t,n1); writeln("Canal2 aceptó solicitud1"); fin

de lo contrario, si CANAL1 = RECLAMACIÓN2 entonces

comenzar CANAL1:= RECLAMACIÓN1; tc1:= F(t,n1); inc(no_servido2); writeln("Canal1 aceptó ticket1 en lugar de ticket2"); fin

de lo contrario, si CANAL2 = RECLAMACIÓN2 entonces

comenzar CANAL2:= RECLAMACIÓN1; tc2:= F(t,n1); inc(no_servido2); writeln("Canal2 aceptó ticket1 en lugar de ticket2"); fin

de lo contrario comenzar inc(not_served1); writeln("solicitud1 no atendida"); fin;

Figura 4. Dependencia del número de solicitudes a tiempo

writeln("Solicitud2 recibida");

si CANAL1 = GRATIS entonces

comenzar CANAL1:= RECLAMACIÓN2; tc1:= F(t,n2); writeln ("El canal 1 ha aceptado la solicitud 2"); fin

de lo contrario, si CANAL2 = GRATIS, entonces

comenzar CANAL2:= RECLAMACIÓN2; tc2:= F(t,n2); writeln("Canal2 aceptó solicitud2");fin

de lo contrario comenzar inc(not_served2); writeln("solicitud2 no atendida"); fin;

S:= servido1 + no_servido1 + servido2 + no_servido2;

writeln("Tiempo de ejecución de QS",_T_);

writeln("servido por canal1: ", servido1);

writeln("servido por canal2: ",servido2);

writeln("Solicitudes recibidas: ",S);

writeln("Pedidos servidos: ",servidos1+servidos2);

writeln("No se han atendido solicitudes: ",not_served1+not_served2);

(writeln("Intensidad de las solicitudes que ingresan al sistema: ",(served1+served2)/_T_:2:3);)

writeln("Rendimiento absoluto del sistema: ",(servido1+servido2)/T:2:3);

writeln("Probabilidad de fallo: ",(not_served1+not_served2)/S*100:2:1,"%");

writeln("Rendimiento relativo del sistema: ",(servido1+servido2)/S:2:3);

writeln("simulación finalizada");

Tabla 2. Resultados del trabajo QS

Características del QS

Horas de operación

Solicitudes recibidas

Solicitudes atendidas

Solicitudes no atendidas

Rendimiento absoluto del sistema

Rendimiento relativo del sistema

CAPÍTULO 3REGULACIONES DE SEGURIDAD

Provisiones generales

· En la clase de informática se permite el trabajo a personas que estén familiarizadas con las instrucciones de seguridad y las normas de conducta.

· En caso de violación de las instrucciones, el estudiante es suspendido del trabajo y se le permite estudiar sólo con el permiso escrito del maestro.

· El trabajo de los estudiantes en una clase de informática está permitido sólo en presencia de un profesor (ingeniero, asistente de laboratorio).

· Recuerde que cada estudiante es responsable del estado de su lugar de trabajo y de la seguridad de los equipos colocados en el mismo.

Antes de comenzar a trabajar:

· Antes de comenzar a trabajar, asegúrese de que no haya daños visibles en el equipo ni en los cables. Las computadoras y periféricos deben colocarse sobre mesas en una posición estable.

· Los estudiantes tienen estrictamente prohibido entrar a los dispositivos. Puedes encender dispositivos solo con el permiso del profesor.

Al trabajar en una clase de informática, está prohibido:

1. Entrar y salir del aula sin autorización del profesor.

2. Llegar tarde a clase.

3. Entrar al aula con zapatos sucios y mojados, ropa polvorienta, en época de frío con ropa de abrigo.

4. Trabaje en la computadora con las manos mojadas.

5. Poner objetos extraños en el lugar de trabajo.

6. Levántate durante el trabajo, date la vuelta, habla con un vecino.

7. Encender y apagar el equipo sin permiso del docente.

8. Violar el orden de encendido y apagado del equipo.

9. Toque el teclado y el mouse cuando la computadora esté apagada, mueva muebles y equipos.

10. Toque la pantalla, los cables, los alambres de conexión, los conectores, los enchufes y las tomas.

11. Acércate al lugar de trabajo del profesor sin permiso.

La principal amenaza para la salud humana cuando se trabaja con una PC es la amenaza de descarga eléctrica. Por tanto, queda prohibido:

1. Trabajar en equipos que tengan defectos visibles. Abra el bloque del sistema.

2. Conecte o desconecte cables, toque los conectores de cables de conexión, alambres y enchufes, dispositivos de conexión a tierra.

3. Toque la pantalla y la parte posterior del monitor, teclado.

4. Intente solucionar los problemas del equipo usted mismo.

5. Trabajar con ropa mojada y manos mojadas.

6. Cumplir con los requisitos del docente y asistente de laboratorio; Mantener el silencio y el orden;

7. Mientras esté en línea, trabaje únicamente con su propio nombre y contraseña;

8. Observar el modo de funcionamiento (según las Normas y Reglamentos Sanitarios);

9. Empezar y terminar el trabajo sólo con el permiso del profesor.

10. En caso de un fuerte deterioro de la salud (aparición de dolor en los ojos, un fuerte deterioro de la visibilidad, incapacidad para enfocar o concentrarse en la nitidez, dolor en los dedos y las manos, aumento del ritmo cardíaco), abandone inmediatamente el lugar de trabajo. , informar del incidente al profesor y consultar a un médico;

11. Mantener limpio el lugar de trabajo.

12. Terminar el trabajo con el permiso del profesor.

13. Entregar el trabajo terminado.

14. Salga de todos los programas activos y apague la computadora con elegancia.

15. Poner en orden el lugar de trabajo.

16. Al oficial de turno para verificar que la oficina esté lista para la próxima lección.

Durante el funcionamiento del equipo es necesario tener cuidado con: - descargas eléctricas;

- daños mecánicos, traumatismos

En caso de emergencias:

1. Si se detectan chispas, olor a quemado u otros problemas, deje de trabajar inmediatamente e informe al profesor.

2. Si alguien es alcanzado por una corriente eléctrica, es necesario: dejar de trabajar y alejarse a una distancia segura; apague el voltaje (en el panel de distribución del gabinete); informar al maestro comience los primeros auxilios y llame a un médico.

3. En caso de incendio, es necesario: detener el trabajo e iniciar la evacuación; informar al profesor y llamar a los bomberos (tel. 01); apague el voltaje (en el panel de distribución del gabinete); comience a extinguir el fuego con un extintor (está prohibido extinguir el fuego con agua).

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