¿Cuál es el nodo de los números coprimos? Máximo común divisor

Los números naturales a y b se llaman coprime, si su máximo común divisor es 1 (mcd(a ; b ) = 1). En otras palabras, si los números a y b no tienen divisores comunes distintos de 1, entonces son coprimos.

Ejemplos de pares de números coprimos: 2 y 5, 13 y 16, 35 y 88, etc. Puede especificar varios números coprimos, por ejemplo, los números 7, 9, 16 son coprimos.

A menudo, los números coprimos se denotan de la siguiente manera: (a, b) \u003d 1. Por ejemplo, (23, 30) \u003d 1. Esta notación es, por así decirlo, una abreviatura para la designación del máximo común divisor de dos números (MCD (23, 30) \u003d 1), y dice que su máximo común divisor es 1.

Dos números naturales adyacentes siempre serán coprimos. Por ejemplo, 15 y 16 son un par de números coprimos, al igual que 16 y 17. Esto es fácil de entender si tenemos en cuenta la “regla” de que si dos números naturales a y b son divisibles por el mismo número natural mayor que 1 (n > 1), entonces su diferencia también debe ser divisible por este número n (aquí queremos decir que a, b y su diferencia se dividen por un número entero, es decir, múltiplo del número n). Pero si a y b son dos números adyacentes (sea a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

También se sigue de la definición de números coprimos y números primos que números primos diferentes son siempre coprimos. Después de todo, los únicos divisores de cualquier número primo son él mismo y el 1.

Propiedades de los números coprimos

• El mínimo común múltiplo (MCM) de un par de números coprimos es igual a su producto. Por ejemplo, (3, 8) = 1 (lo que significa primo relativo), por lo que su MCM es 3 × 8 = 24 (MCM (3, 8) = 24). De hecho, no encontrarás un número menor que 24 que sea un múltiplo de 3 y 8.
• Si los números a y b son coprimos y el número c es un múltiplo de a y b, entonces este número también será un múltiplo del producto de ab. Esto se puede escribir de la siguiente manera: si c a y c b , entonces c ab . Por ejemplo, (3, 10) = 1, el número 60 es múltiplo de 3 y 10, y también es múltiplo de 30 (3 × 10).
• Si los números a y b son coprimos y el número c se toma como múltiplo de b (c b ), entonces el producto ac también será múltiplo de b (ac b ). Por ejemplo, (2, 17) = 1, sea c = 34. El número 34 es un múltiplo de b = 17, entonces ac = 2 × 34 = 68. Comprueba: 68 ÷ 17 = 4, es decir, es divisible, lo que significa que 68 es un múltiplo de 17.

Por lo general, hay más propiedades que las enumeradas aquí. Además, las propiedades de los números primos relativos se formulan de diferentes formas. A veces también se requiere probar estas propiedades (en este caso no se dan pruebas).

El máximo común divisor de los números coprimos es siempre uno.

Ejemplos de nodos de números primos relativos.

MCD de los números 11 y 7

Los números 11 y 7 son coprimos y, al mismo tiempo, primos.

Los números 11 y 7 no tienen más divisores comunes que 1.

mcd(11, 7) = 1

MCD de los números 11 y 15

Los números 11 y 15 son relativamente primos. En este caso, 11 es un número primo y 15 es un número compuesto.

Los divisores de 11 son 1 y 11.

Los divisores de 15 son 1, 3, 5, 15.

Como ves, el único divisor común de los números 11 y 15 es el número 1. La unidad, por tanto, es el MCD de los números 11 y 15:

mcd(11, 15) = 1

MCD de los números 10 y 21

Los números 10 y 21 son relativamente primos. En este caso, tanto el número 10 como el número 21 son compuestos.

Los factores de 10 son 1, 2, 5, 10.

Los factores del número 21 son 1, 3, 7, 21.

Como ves, el único divisor común de los números 10 y 21 es el número 1. La unidad, por tanto, es el MCD de los números 10 y 21:

mcd(21, 10) = 1

MCD de los números 16 y 23

Los números 16 y 23 son coprimos. En este caso, 23 es un número primo y 16 es un número compuesto.

Tarea: encuentre el MCD y el MCM de los números de la manera más conveniente:

a) 12 y 40; b) 9 y 40; c) 12 y 72.

Se dan 5 minutos para la tarea.

¿Cuál es la mejor manera de hacer cada ejercicio?

Desglose de diapositivas.

a) Es más conveniente resolver por el método de descomposición en factores primos

12 = 2 2 3; 40 = 2 2 2 5

MCD(12;40)=2 2=4; MCM(12;40) = 2 2 2 3 5 = 120

b) ¿Los números 9 y 40 tienen divisores comunes? (es, 1.)

¿Cómo se llaman estos números? ? (Coprimo.)

¿Cuál es el MCD de estos números? ? (mcd(9;40) = 1)

¿Cuál es el MCM de estos números? ? (MCM(9;40) = 9 40=360.)

c) ¿Qué puedes decir sobre los números 12 y 72? ? (72 dividido por 12) ¿Qué regla conocemos? (si un número es divisible por otro, MCD = el número más pequeño y MCM - el más grande)

mcd(12;72) = 12; MCM(12;72) = 72

Comprueba los datos que has obtenido con el patrón que está sobre la mesa del profesor.

FO: Evaluarse a sí mismos de acuerdo con los criterios escritos en la hoja estándar. Poner una marca al lado del criterio.

7 garrapatas - nivel alto

6-4 ticks - nivel medio

1-3 garrapatas - nivel bajo

Fizminutka

Rápidamente se levantó, sonrió,

Levantado más alto.

Bueno, endereza tus hombros

Subir, bajar.

Gira a la derecha. Gira a la izquierda

Toca tus manos con tus rodillas.

Siéntate, levántate, siéntate, levántate

Y corrieron en el lugar.

Pregunta del profesor: ¿Dónde estamos utilizando ya nuestro conocimiento de los números MCD y MCM?

Al resolver problemas.

Frente a ellos, en la mesa del profesor, hay una "manzanilla de tareas" que consta de 21 pétalos.

Pétalo rojo: tareas de nivel C.

Pétalo amarillo - tareas de nivel B.

Pétalo verde - tareas de nivel A.

	Masha compró huevos para el Oso en la tienda. De camino al bosque, se dio cuenta de que el número de huevos es divisible por 2, 3, 5, 10 y 15. ¿Cuántos huevos compró Masha?
	De 210 burdeos, 126 blancas, 294 rosas rojas, se recolectaron ramos, y en cada ramo la cantidad de rosas del mismo color es igual. ¿Cuál es la mayor cantidad de ramos hechos con estas rosas y cuántas rosas de cada color hay en un ramo?
	Una hoja de cartón tiene forma de rectángulo, de 48 cm de largo y 40 cm de ancho, esta hoja debe cortarse sin desperdicio en cuadrados iguales. ¿Cuáles son los cuadrados más grandes que se pueden obtener de esta hoja y cuántos?
	¿Cuántos soldados marchan en el patio de armas si marchan en formación de 12 personas en fila y se transforman en una columna de 18 personas en fila?
	En la ciudad portuaria parten tres viajes en barco turístico, el primero de los cuales dura 15 días, el segundo - 20 y el tercero - 12 días. Al regresar al puerto, los barcos el mismo día vuelven a emprender un viaje. Barcos a motor partieron hoy del puerto en las tres rutas. ¿En cuántos días navegarán juntos por primera vez?¿Cuántos viajes hará cada barco?
	La chimenea en la habitación debe estar dispuesta con azulejos de acabado en forma de cuadrado. ¿Cuántas baldosas se necesitan para una chimenea de 195 ͯ 156 cm y cuáles son los tamaños de baldosas más grandes?
	El paso de Volodya es de 75 cm y el de Katya es de 60 cm ¿A qué distancia mínima ambos darán un número entero de pasos?
	Para los regalos de Año Nuevo compramos 180 manzanas, 90 naranjas y 900 dulces. Todos los niños recibieron los mismos regalos. ¿Cuál es el mayor número de regalos idénticos formado por estas frutas y dulces?
	Se debe cercar una parcela de jardín de 54 ͯ 48 m de perímetro, para lo cual se deben colocar pilares de hormigón a intervalos regulares. ¿Cuántos postes se deben traer para el sitio y a qué distancia máxima entre sí se colocarán los postes?
	Encuentre: MCM(360;252).
	Para los regalos de Año Nuevo se compraron 78 barras de chocolate, 156 pan de jengibre, 52 paquetes de galletas, 104 naranjas y 130 manzanas. ¿Cuál es el mayor número de regalos idénticos que puedes coleccionar?
	Se requiere hacer una caja de fondo cuadrado para apilar cajas de 16 ͯ 20 cm. ¿Cuál debería ser el lado más corto del fondo cuadrado para que las cajas encajen al ras en la caja?
	Calcula MCD(720,216), MCM(720,216).
	¿Cuál es la razón de MCM (308.264) a GCM (308.264)?
	Para el arreglo del árbol de Navidad, compraron nueces, dulces y pan de jengibre, un total de 760 piezas. Tomaron 80 nueces más que dulces y 120 pan de jengibre menos que nueces. ¿Cuál es el mayor número de regalos idénticos para niños que se pueden hacer con este inventario?
	Encuentre MCM(84,160,96),
	Encuentra el cociente de MCM(24, 2004) dividido por el MCD de los mismos números.
	Encuentra el número natural más pequeño que sea múltiplo de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
	Encuentre MCD (56, 72).
	Hay libros sobre la mesa, cuyo número es menor a 100. ¿Cuántos libros hay si se sabe que se pueden atar en paquetes de 3, 4 y 5 piezas?
	La tienda trajo menos de 600, pero más de 500 platos. Cuando comenzaron a colocarlos en docenas, 3 platos no fueron suficientes para alcanzar el número total de decenas, y cuando comenzaron a colocarlos en docenas (12 platos cada uno), quedaron 7 platos. ¿Cuántos platos trajiste a la tienda?

DF: El número predominante de pétalos en rojo indica un alto nivel de asimilación, amarillo - un nivel medio de asimilación y verde - un bajo nivel de asimilación.