El ejemplo discutido anteriormente nos permite concluir que los valores utilizados para el análisis dependen de causas aleatorias, por lo tanto, tales variables se denominan aleatorio. En la mayoría de los casos, aparecen como resultado de observaciones o experimentos, que se resumen en tablas, en la primera línea en la que se registran los diversos valores observados de la variable aleatoria X, y en la segunda, los correspondientes frecuencias Por lo tanto, esta tabla se llama distribución empírica de una variable aleatoria X o serie variacional. Para la serie variacional, encontramos el valor medio, la varianza y la desviación estándar.

continuo, si sus valores llenan por completo algún intervalo numérico.

La variable aleatoria se llama discreto, si se pueden enumerar todos sus valores (en particular, si toma un número finito de valores).

Cabe señalar dos propiedades caracteristicas tablas de distribución de una variable aleatoria discreta:

Todos los números de la segunda fila de la tabla son positivos;

Su suma es igual a uno.

De acuerdo con los estudios realizados, se puede suponer que a medida que aumenta el número de observaciones, la distribución empírica se aproxima a la distribución teórica dada en forma tabular.

Una característica importante de una variable aleatoria discreta es su expectativa matemática.

expectativa matemática variable aleatoria discreta X, que toma valores, , …, .con probabilidades , , …, se denomina número:

La esperanza matemática también se llama media.

Otras características importantes de una variable aleatoria incluyen la varianza (8) y la desviación estándar (9).

donde: expectativa matemática del valor X.

. (9)

La presentación gráfica de la información es mucho más clara que la tabular, por lo que la capacidad de las hojas de cálculo de MS Excel para presentar los datos colocados en ellas en forma de varios cuadros, gráficos e histogramas se usa con mucha frecuencia. Entonces, además de la tabla, la distribución de una variable aleatoria también se representa usando polígono de distribución. Para hacer esto, los puntos con coordenadas , , ... se construyen en el plano de coordenadas y se conectan mediante segmentos rectos.

Para obtener un rectángulo de distribución usando MS Excel, debe:

1. Seleccione la pestaña "Insertar" ® "Gráfico de áreas" en la barra de herramientas.

2. Active el área para el gráfico que apareció en la hoja de MS Excel con el botón derecho del mouse y use el comando "Seleccionar datos" en el menú contextual.

Arroz. 6. Seleccionar una fuente de datos

Primero, definamos el rango de datos para el gráfico. Para hacer esto, en el área correspondiente del cuadro de diálogo "Seleccionar fuente de datos", ingrese el rango C6:I6 (contiene los valores de frecuencia llamados Fila1, Fig. 7).

Arroz. 7. Agrega la fila 1

Para cambiar el nombre de una serie, seleccione el botón para cambiar el área "Elementos de la leyenda (serie)" (ver Fig. 7) y asígnele un nombre.

Para agregar una etiqueta para el eje X, use el botón "Editar" en el área "Etiquetas del eje horizontal (categorías)"
(Fig. 8) e indicar los valores de la serie (rango $C$6:$I$6).

Arroz. 8. La vista final del cuadro de diálogo "Seleccionar fuente de datos"

Selección de un botón en el cuadro de diálogo Seleccionar origen de datos
(Fig. 8) le permitirá obtener el polígono requerido de la distribución de una variable aleatoria (Fig. 9).

Arroz. 9. Distribución poligonal de una variable aleatoria

Hagamos algunos cambios en el diseño de la información gráfica recibida:

Agregue una etiqueta de eje x;

Edite la etiqueta del eje Y;

- Agreguemos un título para el gráfico "Polígono de distribución".

Para hacer esto, seleccione la pestaña "Trabajar con gráficos" en el área de la barra de herramientas, la pestaña "Diseño" y en la barra de herramientas que aparece, los botones correspondientes: "Nombre del gráfico", "Nombres de los ejes" (Fig. 10).

Arroz. 10. La forma final del polígono de la distribución de una variable aleatoria

Variable aleatoria Se llama cantidad a la que, como resultado de un experimento, puede tomar uno u otro valor que no se conoce de antemano. Las variables aleatorias son discontinuo (discreto) Y continuo tipo. Los valores posibles de cantidades discontinuas se pueden enumerar de antemano. Los valores posibles de cantidades continuas no se pueden enumerar de antemano y llenan continuamente un cierto vacío.

Un ejemplo de variables aleatorias discretas:

1) El número de aparición del escudo de armas en tres lanzamientos de moneda. (los valores posibles son 0;1;2;3)

2) La frecuencia de aparición del escudo de armas en un mismo experimento. (valores posibles)

3) El número de elementos fallidos en un dispositivo que consta de cinco elementos. (Los valores posibles son 0;1;2;3;4;5)

Ejemplos de variables aleatorias continuas:

1) Abscisa (ordenada) del punto de impacto cuando se dispara.

2) La distancia desde el punto de impacto hasta el centro del objetivo.

3) Tiempo de funcionamiento sin fallas del dispositivo (tubos de radio).

Las variables aleatorias se denotan con letras mayúsculas, y sus posibles valores con las letras minúsculas correspondientes. Por ejemplo, X es el número de aciertos con tres tiros; valores posibles: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Considere una variable aleatoria discontinua X con posibles valores X 1 , X 2 , … , X n . Cada uno de estos valores es posible, pero no seguro, y el valor de X puede tomar cada uno de ellos con cierta probabilidad. Como resultado del experimento, la cantidad X tomará uno de estos valores, es decir, ocurrirá uno del grupo completo de eventos incompatibles.

Denotemos las probabilidades de estos eventos con las letras p con los índices correspondientes:

Como los eventos incompatibles forman un grupo completo, entonces

es decir, la suma de las probabilidades de todos los valores posibles de la variable aleatoria es igual a 1. Esta probabilidad total se distribuye de alguna manera entre los valores individuales. Una variable aleatoria estará completamente descrita desde un punto de vista probabilístico si especificamos esta distribución, es decir, indicamos exactamente qué probabilidad tiene cada uno de los eventos. (Esto establecerá la llamada ley de distribución de variables aleatorias).

La ley de distribución de una variable aleatoria Se llama a toda relación que establece una conexión entre los posibles valores de una variable aleatoria y la probabilidad correspondiente. (Sobre una variable aleatoria, diremos que está sujeta a una determinada ley de distribución)

La forma más sencilla de especificar la ley de distribución de una variable aleatoria es una tabla que enumera los valores posibles de una variable aleatoria y sus probabilidades correspondientes.

Tabla 1.

variables aleatorias. polígono de distribución

Variables aleatorias: discretas y continuas.

Al realizar un experimento estocástico, se forma un espacio de eventos elementales: los posibles resultados de este experimento. Se considera que en este espacio de eventos elementales valor aleatorio X, si se da una ley (regla) según la cual se asigna un número a cada evento elemental. Así, la variable aleatoria X puede considerarse como una función definida en el espacio de eventos elementales.

■ Aleatorio- un valor que, en cada prueba, toma uno u otro valor numérico (no se sabe de antemano cuál), dependiendo de causas aleatorias que no se pueden tener en cuenta de antemano. Las variables aleatorias se indican con letras mayúsculas del alfabeto latino, y los posibles valores de una variable aleatoria se indican con letras minúsculas. Entonces, cuando se lanza un dado, ocurre un evento asociado con el número x, donde x es el número de puntos lanzados. El número de puntos es un valor aleatorio, y los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 son los posibles valores de este valor. La distancia que volará un proyectil cuando se dispara desde un arma también es una variable aleatoria (depende de la instalación de la mira, la fuerza y dirección del viento, la temperatura y otros factores) y los posibles valores. de esta cantidad pertenecen a cierto intervalo (a; b).

■ Variable aleatoria discreta- una variable aleatoria que toma valores posibles separados y aislados con ciertas probabilidades. El número de valores posibles de una variable aleatoria discreta puede ser finito o infinito.

■ Variable aleatoria continua es una variable aleatoria que puede tomar todos los valores de algún intervalo finito o infinito. El número de valores posibles de una variable aleatoria continua es infinito.

Por ejemplo, la cantidad de puntos que se obtienen al lanzar un dado, la puntuación de un trabajo de control son variables aleatorias discretas; la distancia que vuela un proyectil cuando se dispara con un arma, el error de medición del indicador del tiempo de asimilación del material educativo, la altura y el peso de una persona son variables aleatorias continuas.

Ley de distribución de una variable aleatoria– correspondencia entre los valores posibles de una variable aleatoria y sus probabilidades, es decir cada valor posible x i está asociado con la probabilidad p i con la que la variable aleatoria puede tomar ese valor. La ley de distribución de una variable aleatoria se puede dar tabularmente (en forma de tabla), analíticamente (en forma de fórmula) y gráficamente.

Sea una variable aleatoria discreta X que tome los valores x 1 , x 2 , …, x n con probabilidades p 1 , p 2 , …, p n respectivamente, es decir PAG(X=x 1) = pag 1 , PAG(X=x 2) = pag 2 , …, PAG(X=x norte) = pag norte . Con una asignación tabular de la ley de distribución de este valor, la primera fila de la tabla contiene los valores posibles x 1, x 2, ..., x n, y la segunda, sus probabilidades

X	x1	x2	…	x norte
pag	p1	p2	…	pag norte

Como resultado de la prueba, la variable aleatoria discreta X toma uno y solo uno de los valores posibles, por lo que los eventos X=x 1 , X=x 2 , …, X=x n forman un grupo completo de eventos incompatibles por pares, y , por lo tanto, la suma de las probabilidades de estos eventos es igual a uno , es decir p 1 + p 2 + ... + p n \u003d 1.

La ley de distribución de una variable aleatoria discreta. Distribución de polígonos (polígonos).

Como sabes, una variable aleatoria es una variable que puede tomar ciertos valores según el caso. Las variables aleatorias se indican con letras mayúsculas del alfabeto latino (X, Y, Z) y sus valores, con las letras minúsculas correspondientes (x, y, z). Las variables aleatorias se dividen en discontinuas (discretas) y continuas.

Una variable aleatoria discreta es una variable aleatoria que toma solo un conjunto finito o infinito (contable) de valores con ciertas probabilidades distintas de cero.

La ley de distribución de una variable aleatoria discreta es una función que conecta los valores de una variable aleatoria con sus correspondientes probabilidades. La ley de distribución se puede especificar de una de las siguientes maneras.

1. La ley de distribución puede estar dada por la tabla:

donde λ>0, k = 0, 1, 2, … .

c) utilizando la función de distribución F(x), que determina para cada valor x la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor que x, es decir F(x) = P(X< x).

Propiedades de la función F(x)

3. La ley de distribución se puede especificar gráficamente, mediante un polígono de distribución (polígono) (ver tarea 3).

Tenga en cuenta que para resolver algunos problemas, no es necesario conocer la ley de distribución. En algunos casos, es suficiente conocer uno o más números que reflejen las características más importantes de la ley de distribución. Puede ser un número que tenga el significado de "valor promedio" de una variable aleatoria, o un número que muestre el tamaño promedio de la desviación de una variable aleatoria de su valor promedio. Los números de este tipo se denominan características numéricas de una variable aleatoria.

Las principales características numéricas de una variable aleatoria discreta:

Expectativa matemática (valor promedio) de una variable aleatoria discreta M(X)=Σ x i p i .
Para distribución binomial M(X)=np, para distribución de Poisson M(X)=λ
Dispersión de una variable aleatoria discreta D(X)= M 2 o D(X) = M(X 2)− 2 . La diferencia X–M(X) se denomina desviación de una variable aleatoria de su expectativa matemática.
Para distribución binomial D(X)=npq, para distribución de Poisson D(X)=λ
Desviación estándar (desviación estándar) σ(X)=√D(X).

· Para la claridad de representación de la serie de variación, sus representaciones gráficas son de gran importancia. Gráficamente, una serie variacional se puede mostrar como un polígono, un histograma y un acumulado.

· Un polígono de distribución (literalmente, un polígono de distribución) se denomina línea quebrada, que se construye en un sistema de coordenadas rectangulares. El valor de la característica se traza en la abscisa, las frecuencias correspondientes (o frecuencias relativas) - a lo largo de la ordenada. Los puntos (o ) se conectan mediante segmentos de línea y se obtiene un polígono de distribución. En la mayoría de los casos, los polígonos se usan para mostrar series de variaciones discretas, pero también se pueden usar para series de intervalos. En este caso, los puntos correspondientes a los puntos medios de estos intervalos se trazan en el eje de abscisas.

X yo	x1	x2	…	X norte
Pi	P1	P2	…	Pn

Tal tabla se llama cerca de distribución variables aleatorias.

Para darle una forma más visual a la serie de distribución, recurren a su representación gráfica: en el eje de abscisas se grafican los posibles valores de una variable aleatoria, y en el eje de ordenadas se grafican las probabilidades de estos valores. (Para mayor claridad, los puntos obtenidos están conectados por segmentos de línea).

Figura 1 - polígono de distribución

Tal figura se llama polígono de distribución. El polígono de distribución, al igual que la serie de distribución, caracteriza completamente la variable aleatoria; es una forma de la ley de distribución.

Ejemplo:

se realiza un experimento en el que puede aparecer o no el evento A. Probabilidad del evento A = 0,3. Se considera una variable aleatoria X: el número de ocurrencias del evento A en este experimento. Es necesario construir una serie y un polígono de la distribución de X.

Tabla 2.

X yo
Pi	0,7	0,3

Figura 2 - Función de distribución

función de distribución es una característica universal de una variable aleatoria. Existe para todas las variables aleatorias: tanto discontinuas como no discontinuas. La función de distribución caracteriza completamente una variable aleatoria desde un punto de vista probabilístico, es decir, es una de las formas de la ley de distribución.

Para cuantificar esta distribución de probabilidad conviene utilizar no la probabilidad del evento X=x, sino la probabilidad del evento X

La función de distribución F(x) a veces también se denomina función de distribución integral o ley de distribución integral.

Propiedades de la función de distribución de una variable aleatoria

1. La función de distribución F(x) es una función no decreciente de su argumento, es decir, para ;

2. En menos infinito:

3. En más infinito:

Figura 3 - gráfico de la función de distribución

Gráfica de función de distribución en el caso general, es un gráfico de una función no decreciente, cuyos valores parten de 0 y llegan a 1.

Conociendo la serie de distribución de una variable aleatoria, es posible construir la función de distribución de una variable aleatoria.

Ejemplo:

para las condiciones del ejemplo anterior, construya una función de distribución de una variable aleatoria.

Construyamos la función de distribución X:

Figura 4 - función de distribución X

función de distribución de cualquier variable aleatoria discreta discontinua siempre existe una función escalón discontinua cuyos saltos ocurren en puntos correspondientes a los valores posibles de la variable aleatoria y son iguales a las probabilidades de estos valores. La suma de todos los saltos en la función de distribución es 1.

A medida que aumenta el número de valores posibles de la variable aleatoria y disminuyen los intervalos entre ellos, el número de saltos se hace mayor y los saltos mismos se vuelven más pequeños:

Figura 5

La curva de paso se vuelve más suave:

Figura 6

Una variable aleatoria se acerca gradualmente a un valor continuo y su función de distribución se acerca a una función continua. También hay variables aleatorias cuyos valores posibles llenan continuamente un cierto espacio, pero para las cuales la función de distribución no es continua en todas partes. Y en algunos puntos se rompe. Estas variables aleatorias se denominan mixtas.

Figura 7

Tarea 14. En la lotería en efectivo, se juega 1 premio de 1.000.000 de rublos, 10 premios de 100.000 rublos cada uno. y 100 ganancias de 1000 rublos. con un número total de boletos 10000. Encuentra la ley de distribución de ganancias aleatorias X para el propietario de un billete de lotería.

Solución. Posibles valores para X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;

X 4 \u003d 1000000. Sus probabilidades son respectivamente iguales: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Por lo tanto, la ley de distribución del pago X puede estar dada por la siguiente tabla:

Tarea 15. Variable aleatoria discreta X dada por la ley de distribución:

Construya un polígono de distribución.

Solución. Construimos un sistema de coordenadas rectangulares, y a lo largo del eje de abscisas trazamos los valores posibles x yo, y a lo largo del eje y - las probabilidades correspondientes Pi. Construyamos puntos METRO 1 (1;0,2), METRO 2 (3;0,1), METRO 3 (6; 0,4) y METRO 4 (8; 0,3). Conectando estos puntos con segmentos de línea, obtenemos el polígono de distribución deseado.

§2. Características numéricas de las variables aleatorias

Una variable aleatoria está completamente caracterizada por su ley de distribución. Se puede obtener una descripción promedio de una variable aleatoria usando sus características numéricas

2.1. Valor esperado. Dispersión.

Deje que una variable aleatoria tome valores con probabilidades respectivamente.

Definición. La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos sus valores posibles y las probabilidades correspondientes:

Propiedades de la expectativa matemática.

La dispersión de una variable aleatoria alrededor del valor medio se caracteriza por la varianza y la desviación estándar.

La dispersión de una variable aleatoria es la expectativa matemática de la desviación al cuadrado de una variable aleatoria de su expectativa matemática:

Para los cálculos se utiliza la siguiente fórmula

Propiedades de dispersión.

2. , donde son variables aleatorias mutuamente independientes.

3. Desviación estándar.

Tarea 16. Encuentra la expectativa matemática de una variable aleatoria Z = X+ 2Y, si se conocen las expectativas matemáticas de las variables aleatorias X Y Y: METRO(X) = 5, METRO(Y) = 3.

Solución. Usamos las propiedades de la expectativa matemática. Entonces obtenemos:

METRO(X+ 2Y)= METRO(X) + M(2Y) = METRO(X) + 2METRO(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Tarea 17. Varianza de una variable aleatoria X igual a 3. Encuentra la varianza de las variables aleatorias: a) –3 X; segundo) 4 X + 3.

Solución. Apliquemos las propiedades 3, 4 y 2 de la dispersión. Tenemos:

A) D(–3X) = (–3) 2 D(X) = 9D(X) = 9 . 3 = 27;

b) D(4X + 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 . 3 = 48.

Tarea 18. Dada una variable aleatoria independiente Y es el número de puntos obtenidos al lanzar un dado. Encuentre la ley de distribución, la expectativa matemática, la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria Y.

Solución. Tabla de distribución de variables aleatorias Y parece:

Entonces METRO(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

D(Y) \u003d (1 - 3.5) 2 1/6 + (2 - 3.5) 2 / 6 + (3 - 3.5) 2 1/6 + (4 - 3.5) 2 / 6 + (5 - -3.5) 2 1/ 6 + (6 - 3.5) 2. 1/6 \u003d 2.917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.