La simetría como criterio de belleza exterior. Asimetría facial: causas de trastornos patológicos y métodos para su corrección.

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Fecha de: 2017-10-17 Puntos de vista: 18 963 Calificación: 5.0

Propósito de la capacitación: corregir la asimetría del rostro en 3 puntos (cejas, ojos, labios).

El rostro humano no es simétrico, como el cuerpo, y no hay nada sorprendente en esto.

Sin embargo, hay casos en los que la asimetría del rostro es pronunciada y te genera malestar psicológico. Haré una reserva de inmediato de que no todos los tipos de asimetría se pueden corregir con la ayuda de ejercicios.

La asimetría no se puede corregir con ejercicios si:

• es causado por deformidades óseas;
• deformidades patológicas;
• neuritis muy "vieja" del nervio facial;
• en algunos casos, las consecuencias de las inyecciones de Botox, el llamado efecto secundario.

Causas de la asimetría

Además, la asimetría del rostro depende en gran medida del estado de tu cuerpo. Sobre la relación entre el rostro y el cuerpo.

En pocas palabras, con la escoliosis, la lordosis, las distorsiones pélvicas y otros cambios en el sistema musculoesquelético, se produce asimetría y su corrección debe comenzar desde los talones.

Pero la ASIMETRÍA puede ser el resultado de expresiones faciales excesivas, travesuras faciales y hábitos de comportamiento. Todo esto se revela al mirar de cerca su rostro en el video, por ejemplo.

Sonreír, hablar, masticar solo de un lado o levantar constantemente una de las cejas. ¿Recuerdas la existencia de la memoria muscular? Y ella se acuerda de ti y levanta la ceja activa todo el tiempo, y un ojo hace menos visualmente.

¿Cómo medir la asimetría?

¿Cómo comprobar la simetría de la cara? Necesito una foto! Aleja tu cabello de tu cara, pídele que te tome una foto. Una foto es como un pasaporte: no sonreímos, no tratamos de parecer geniales en la foto.

Tomamos una regla y dibujamos una línea horizontal sobre los ojos (en las pupilas), sobre las cejas, sobre los labios. Comience con los ojos. Después de todo, nuestro nivel de burbuja interno (nivel) tiende hacia el horizonte justo en el área de los ojos, para que pueda caminar sin problemas y no caerse.

Y ahora nos fijamos en las 3 líneas resultantes. Quizás una ceja estará más alta y la otra más baja, las comisuras de los labios pueden no estar en la misma línea.

Recuerda que existen valores aceptables de asimetría y esto es absolutamente natural y no requiere ajuste.

Donde hay desviaciones del horizonte, debe trabajar con los músculos, y para algunos será suficiente corregir los estereotipos de comportamiento y todo encajará en la cara.

Ejercicios para la cara con asimetría.

Pasemos a los ejercicios, por cierto, se pueden combinar con cualquiera de los complejos:,. Solo agrégalos a tu programa de entrenamiento. Por ejemplo, realizar, luego hacer ejercicios para corregir la asimetría de la misma zona.

En el ejemplo, considero la opción de corregir la asimetría unilateral de la cara, cuando la parte de la cara ubicada más abajo con respecto a su mitad funciona peor, ¡lo sientes menos! Por ejemplo, la ceja izquierda, el ojo izquierdo, la esquina izquierda del labio están más abajo que en el lado derecho de la cara; esta asimetría se llama UN LADO.

La asimetría facial puede ser diagonal, compleja. En tales casos, es mejor seleccionar ejercicios individualmente.

30 repeticiones recomendadas, en la última cuenta retraso estático 5 segundos. El entrenamiento se basa en la implementación de "BASE": ejercicios básicos con la adición de ejercicios especiales para corregir la asimetría de una zona en particular.

Frente. Corrección de cejas

Ejercicio número 1: Levantar las cejas

Este es el ejercicio básico. Al hacerlo, ¿presta atención a las cejas? ¿Cuál sube peor? ¿Cuál sientes menos?

Coloca tus dedos sobre tus cejas. Levanta las cejas con esfuerzo, resiste con los dedos. Asegúrese de que durante el ejercicio no haya arrugas horizontales en la frente, intente relajarse y bajar los hombros, fije bien la piel sobre las cejas. Después de completar el ejercicio, toque su frente con los dedos.

Pasemos a un conjunto de ejercicios para corregir diferentes posiciones de la altura de las cejas:

Ejercicio número 2: alternativamente levantando las cejas.

En la frente, por encima de las cejas, coloque los dedos y las falanges sujeten ligeramente la piel para que no se acumule en pliegues. Ahora levante las cejas alternativamente: luego la izquierda, luego la derecha.

Siente cual de las cejas se levanta peor, o al levantar una de sus cejas surge tensión y malestar. La ceja que se eleva peor debe ser arrancada en 2 tiempos: 1-levantada, 2-estirada. Después de completar el ejercicio, toque su frente con los dedos.

Ejercicio número 3: levantar una ceja

Una vez que haya encontrado una ceja que funciona peor y está ubicada más abajo, debe "entrenarse" por separado.

Arreglamos la ceja, que se encuentra arriba, con una mano, y levantamos la otra, sujetando la piel sobre la ceja con las falanges de los dedos para que no se pliegue. Después de completar el ejercicio, toque su frente con los dedos.

Ojos

vídeos generales:

Ejercicio número 1: para fortalecer el párpado superior

Este es el ejercicio básico. Durante la ejecución, rastree las sensaciones debajo de los dedos índices, debajo de uno de los dedos hay una pulsación, el temblor del músculo será menos pronunciado. Cuando cierre este ojo, intente presionar el párpado inferior un poco más fuerte con el párpado superior. ¡IMPORTANTE! ¡No presione con fuerza con los dedos y no estire la piel en diferentes direcciones!

Sostenemos las esquinas de los ojos con los dedos y con un poco de esfuerzo cerramos los ojos, presionando el párpado superior sobre los inferiores. Trate de mantener las cejas en su lugar y no se deslice hacia abajo detrás del párpado superior, relaje la frente. Entonces abrimos los ojos. Después de hacer el ejercicio, parpadea.

Ejercicio número 2: trabajo ocular alternativo

Cerremos los ojos uno por uno. Ponemos los dedos índice y medio en las comisuras de los ojos, no presionemos ni tiremos de la piel. Cerramos los ojos por turnos: izquierdo, derecho, izquierdo.... Cuando se cierra un ojo, el otro debe mantenerse abierto. Asegúrese de relajar la frente para que la ceja no caiga junto con el párpado superior. Después de hacer el ejercicio, parpadea.

esquinas de los labios

vídeos generales:

Ejercicio número 1: ayuda a levantar las comisuras de los labios caídas

Este es el ejercicio básico. Los dedos fijan la zona nasolabial (desde la comisura de la boca hasta la fosa nasal). Levantamos las comisuras de los labios hacia arriba, como si sonriéramos, con los dedos resistimos, el movimiento de las comisuras de los labios sube por debajo de los ojos, mientras que el centro de los labios se relaja. Trate de no "pasear" los dedos por la cara; al levantar, la comisura del labio descansa sobre los dedos.

Ejercicio número 2 elevando alternativamente las comisuras de los labios.

Los dedos fijan la zona nasolabial (desde la comisura de la boca hasta la fosa nasal). Levantamos las comisuras de los labios A TURNO, como si sonriéramos con una comisura del labio, resistimos con los dedos, el movimiento de las comisuras de los labios sube por debajo de los ojos, mientras que el centro de los labios se relaja. Trate de no "pasear" los dedos por la cara; al levantar, la comisura del labio descansa sobre los dedos.

Ejercicio número 3 levantando una comisura del labio

Con los dedos arreglamos la zona nasolabial (desde la comisura de la boca hasta la fosa nasal) desde el lado de la comisura del labio, que se encuentra debajo. Simplemente arreglamos la esquina opuesta de la boca con la mano para que no se involucre en el trabajo. Levantamos la esquina de los labios hacia arriba, como si sonriéramos con una esquina del labio, resistimos con los dedos, el movimiento de la esquina del labio sube debajo del ojo, mientras que el centro de los labios está relajado. Trate de no "pasear" los dedos por la cara; al levantar, la comisura del labio descansa sobre los dedos.

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El establecimiento de la asimetría facial se ha convertido en una especie de sensación, ya que la asimetría rara vez es evidente. Resultó que las personas difieren tanto en el grado de asimetría como en los rasgos faciales. Esto fue confirmado no solo por las medidas, sino también por la comparación de retratos compuestos por fotografías de las mitades derecha e izquierda (una de ellas debe estar al revés al imprimir) con un retrato ordinario de una persona tomada exactamente de frente. Obtienes caras completamente diferentes.

No existe una simetría perfecta en el mundo. Es un error considerar la simetría facial una condición indispensable para su belleza. La mezcla de rasgos hereditarios no puede dejar de reflejarse en el rostro del niño. Para evaluar la belleza de un rostro, es importante la combinación de rasgos y una ligera asimetría que, dicho sea de paso, es inherente a los rostros de todas las personas y no resta méritos al retrato. Incluso en las esculturas de Venus de Milo y Apollo Belvedere, sus rostros no tienen una simetría completa. Con razón, podemos decir que no hay una sola persona con una estricta simetría indiscutible de las mitades derecha e izquierda. Esta es probablemente la razón por la que Claudius Galen escribió que "la belleza real se expresa en la perfección del propósito y que el primer objetivo de todas las partes es la conveniencia de la estructura". Sin duda, P. F. Lesgaft tenía razón cuando escribió que “con el desarrollo armonioso de todos los músculos y grupos musculares, el rostro perdería su expresión definida. La individualidad de los rasgos faciales se adquiere mediante el uso frecuente de los músculos correspondientes.

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Entonces, debe reconocerse como un hecho la asimetría de la cara, es decir, la desigualdad de sus mitades derecha e izquierda: una de ellas, por regla general, es más ancha, la otra es más estrecha, una es más alta, la otra es más baja. La razón de la asimetría es en la mayoría de los casos la irregularidad de los elementos estructurales de los huesos del cráneo. En el rostro de una persona, el aumento de la asimetría se debe a la especificidad de las expresiones faciales (asimetría fisiológica).

Naomi Watts

Hay trabajos científicos en los que los científicos identifican los siguientes patrones de asimetría facial. Si la mitad de la cara es más alta, también es más estrecha. En este caso, la ceja se encuentra más alta que en la mitad opuesta y más ancha de la cara, la fisura palpebral es más grande. El ojo en su conjunto parece estar vuelto hacia arriba. La mitad izquierda de la cara suele estar más alta que la derecha. Muchos autores todavía creen que la mitad derecha de la cara es más grande que la izquierda, sobresale más pronunciadamente y expresa masculinidad. La mitad izquierda es generalmente más suave, lo que refleja las características de la feminidad.

kate bosworth

La asimetría facial se ha observado durante mucho tiempo como un reflejo de la asimetría general del cuerpo. Se hicieron intentos para restaurar la cara en el retrato a partir de la mitad exacta de la fotografía y su imagen especular. Las mitades derecha e izquierda dieron imágenes diferentes. No coincidían con el original. La asimetría mímica, aunque superpuesta a las desproporciones de las mitades derecha e izquierda del cráneo facial, también tiene sus propias características. Se ha establecido que la regulación nerviosa de los músculos mímicos derechos es más rica, los movimientos de la cabeza y los ojos hacia la derecha se reproducen más fácilmente. Incluso el entrecerrar el ojo derecho es más habitual.

Candidato de Ciencias Médicas, cirujano plástico ""

En el siglo XV, Leonardo da Vinci creó dibujos que representan las proporciones "divinas" del rostro y el cuerpo humano, que siguen siendo el estándar (Fig. 1). Sin embargo, estas proporciones no tienen en cuenta el hecho de que los objetos absolutamente simétricos no existen en la naturaleza viva: en cualquiera de ellos siempre hay una unidad de simetría y asimetría.

Arroz. 1.

A lo largo de la historia, se ha tratado de "medir" la belleza, de describirla mediante fórmulas matemáticas o proporciones geométricas que permitan recrearla. Así, en la antigua Grecia, el orden y la armonía observados en la naturaleza se personificaban en las brillantes imágenes de dioses y diosas, inmortalizados en bellas estatuas.

Según los escultores griegos, la simetría caracteriza la armonía, la proporcionalidad, la armonía de los cuerpos naturales y el cuerpo humano. Por lo tanto, los conceptos de simetría y belleza son idénticos. Baste recordar la construcción estrictamente simétrica de los monumentos arquitectónicos, que repiten regularmente los patrones de los ornamentos tradicionales, la asombrosa armonía de los jarrones griegos (Fig. 2).

El hecho de la asimetría de la cara y el cuerpo de una persona era conocido por los artistas y escultores del mundo antiguo y fue utilizado por ellos para dar expresividad y espiritualidad a las obras creadas.

Un ejemplo sorprendente de asimetría es el rostro de Venus de Milo (Fig. 3). Los partidarios de la simetría criticaron la asimetría de las formas de este estándar universalmente reconocido de belleza femenina, creyendo que el rostro de Venus sería más hermoso si fuera simétrico. Sin embargo, mirando las tomas compuestas, vemos que este no es el caso.

El concepto mismo de "simetría" está directamente relacionado con la armonía. Proviene de la palabra griega antigua συμμετρία (proporcionalidad) y significa algo armonioso y proporcional en un objeto. El concepto de simetría de "espejo" es aplicable a una persona. Esta simetría es la fuente principal de nuestra admiración estética por el cuerpo humano bien proporcionado.

Tal simetría no solo es hermosa, sino también funcional. Por lo tanto, las extremidades simétricas facilitan el movimiento en el espacio, la ubicación de los ojos: para crear la imagen visual correcta, un tabique nasal plano proporciona una respiración adecuada. Sin embargo, la simetría de los organismos vivos no se manifiesta con precisión matemática debido al desarrollo y funcionamiento desiguales.

Simetría facial y estándares de belleza.

Con el tiempo, los estándares de belleza han cambiado, pero los principios y parámetros que determinan las proporciones y proporciones del rostro y, en consecuencia, su atractivo, se han conservado desde la antigüedad. Para que el rostro sea armonioso, sus diversas partes deben estar relacionadas en cierta proporción, con la ayuda de la cual se logra un equilibrio general. Ninguna parte del rostro existe o funciona aisladamente de las demás. Cualquier cambio en cualquier parte particular de la cara tendrá un efecto verdadero o aparente en la percepción de otras partes y de la cara como un todo.

es natural que todas las proporciones del rostro humano tienen solo un valor aproximado para su estética debido a varias razones:

• En primer lugar, las proporciones de la cara varían según la edad, el género, el desarrollo físico de una persona y están determinadas en gran medida por las características estructurales individuales.
• En segundo lugar, la evaluación de la proporcionalidad se vuelve más complicada según la posición del jefe.
• La tercera dificultad radica en la asimetría del rostro humano, que a menudo se manifiesta en la forma de la nariz, la posición de las fisuras palpebrales y las cejas, y la posición de las comisuras de la boca. Los dos lados de la cara no dan la misma imagen especular, incluso si percibimos la cara como perfectamente correcta.

Por lo tanto, el hecho de la asimetría facial, expresada por las mitades derecha e izquierda desiguales, una de las cuales, por regla general, es más ancha y más alta, la otra es más estrecha y más baja, se reconoce generalmente en la actualidad.

De las fotografías presentadas en la Fig. 4, se puede ver que los rostros absolutamente simétricos son claramente diferentes de la imagen original de un rostro con asimetría natural. En nuestra opinión, "sintético" las caras simétricas no son tan atractivas, como en las fotografías originales, aunque seleccionamos para la creación de retratos compuestos los rostros de los actores cuya apariencia es mejor valorada. Además, son estos rostros los que tienen una simetría más pronunciada de lo que se observa en la mayoría de las personas, pero una ligera asimetría solo enfatiza su atractivo.

¿Belleza en la asimetría?

Entonces, ¿la asimetría inherente a todos nosotros es realmente hermosa o no? Es bastante obvio que no consideramos atractivas las violaciones significativas de la simetría en la estructura de la cara. Sin embargo, las pequeñas desviaciones de la simetría no introducen desarmonía, sino que solo favorecen la individualidad.

La mayoría de los pacientes que acuden a un cirujano plástico no notan la asimetría de las proporciones de su rostro y cuerpo. Por lo tanto, una de las tareas importantes del cirujano durante la consulta es llamar la atención del paciente sobre las características de sus proporciones, para describir en detalle los cambios que se avecinan como resultado de la operación. La corrección de la asimetría facial se ve facilitada en gran medida por el uso de métodos mínimamente invasivos, como y.

Por lo tanto, la asimetría pronunciada generalmente se considera antiestética y, en tales casos, el deseo de lograr una apariencia más simétrica es bastante natural y puede servir como indicación para la cirugía plástica. Sin embargo, una ligera asimetría de la cara solo la hace atractiva e individual y, por lo tanto, no debe esforzarse por lograr una simetría absoluta.

La simetría y la proporcionalidad son componentes importantes de la belleza externa de una persona y, en algunos casos, indicadores de salud. Pero no todos saben cómo evaluar las proporciones y la simetría de su rostro y cuerpo. Esto es exactamente lo que se discutirá.

¿Puede una nariz larga no estropear la apariencia de una persona? Definitivamente sí. Si la nariz está en proporción a su cara.

Para evaluar las proporciones de tu rostro, debes ir al espejo y medir tres distancias:
desde el borde del crecimiento del cabello en la frente hasta el puente de la nariz
desde el puente de la nariz hasta el labio superior
desde el labio superior hasta el mentón.

Si son iguales, eres un feliz propietario de una cara proporcional.

Si no, entonces hay una desproporción, que no es en absoluto motivo de desánimo. En primer lugar, esto puede ser un cierto atractivo y originalidad de la cara y, en segundo lugar, se pueden cambiar las proporciones.

Se puede lograr un aumento o disminución de la primera distancia con la ayuda de peinados, así como también dando cierta forma a las cejas. La segunda distancia casi siempre se corrige cambiando la longitud de la nariz. Un lápiz labial seleccionado adecuadamente o una medida más duradera, el aumento de labios, puede afectar visualmente la tercera distancia.

La simetría facial también es fácil de evaluar. Es necesario prestar atención a la ubicación y forma de estructuras anatómicas emparejadas: cejas, ojos, orejas, pliegues nasolabiales.

Si están ubicados en el mismo nivel y tienen la misma forma, entonces la cara es simétrica. La simetría facial es muy importante no solo desde un punto de vista estético. Su violación repentina es un signo de diagnóstico importante en una serie de enfermedades neurológicas graves.

Es más fácil juzgar las proporciones del cuerpo por sus volúmenes: el volumen del pecho, la cintura y las caderas.

En un hombre doblado proporcionalmente, predomina el volumen del pecho. Geométricamente, el ideal de una figura masculina es un triángulo isósceles al revés.

En una figura femenina proporcional, los volúmenes del pecho y las caderas son aproximadamente iguales entre sí. Y la cintura debe ser 1/3 menos que estos dos volúmenes. Baste recordar el conocido estándar: 90 cm -60 cm -90 cm. Sin embargo, la proporción de 120 cm-80 cm-120 cm no es menos proporcional. La expresión geométrica del ideal es la forma de un reloj de arena.

Visualmente, las proporciones deseadas se logran con ropa, ropa interior de corsé, ciertos ejercicios físicos. Sin embargo, hay áreas problemáticas que son bastante difíciles de corregir, por ejemplo, los notorios "pantalones": la parte superior de las superficies laterales de los muslos. Aquí es donde la liposucción puede ayudar.

La simetría del cuerpo también se evalúa mediante formaciones pareadas. Las clavículas, los pezones, los omóplatos, las espinas ilíacas anterosuperiores y los pliegues de los glúteos deben estar al mismo nivel.

Vale la pena saber que una violación visible de la simetría del cuerpo siempre es motivo para un examen completo del sistema musculoesquelético.

En general, al evaluar su apariencia de acuerdo con cualquier parámetro, ya sea proporcionalidad, simetría u otro, no necesita ser demasiado exigente.

Ciertas características, imperfecciones, desproporciones: esto es lo que nos distingue unos de otros y, por lo tanto, nos hace únicos.

Todavía no entenderemos si realmente existe una persona absolutamente simétrica. Todos, por supuesto, tendrán un lunar, un mechón de cabello o algún otro detalle que rompa la simetría externa. El ojo izquierdo nunca es exactamente igual al derecho, y las comisuras de la boca están a diferentes alturas, al menos en la mayoría de las personas. Aún así, estas son solo inconsistencias menores. Nadie dudará de que exteriormente una persona está construida simétricamente: ¡la mano izquierda siempre corresponde a la mano derecha y ambas manos son exactamente iguales! Detener. Vale la pena detenerse aquí. Si realmente nuestras manos fueran exactamente iguales, podríamos cambiarlas en cualquier momento. Sería posible, digamos, por trasplante, trasplantar la mano izquierda a la mano derecha, o, más simplemente, el guante izquierdo se ajustaría a la mano derecha, pero de hecho no es así.

Bueno, por supuesto, todos saben que la similitud entre nuestras manos, oídos, ojos y otras partes del cuerpo es la misma que entre un objeto y su reflejo en un espejo. El libro que tiene ante usted está dedicado a los problemas de simetría y reflexión especular.

Muchos artistas prestaron mucha atención a la simetría y las proporciones del cuerpo humano, al menos hasta que se guiaron por el deseo de seguir la naturaleza lo más cerca posible en sus obras. Conocidos son los cánones de prodorces recopilados por Albrecht Dürer y Leonardo da Vinci. Según estos cánones, el cuerpo humano no solo es simétrico, sino también proporcional. Leonardo descubrió que el cuerpo cabe en un círculo y un cuadrado. Durero buscaba una sola medida que estuviera en cierta proporción con la longitud del torso o la pierna (consideraba la longitud del brazo hasta el codo como tal medida).

En las escuelas de pintura modernas, el tamaño vertical de la cabeza se toma con mayor frecuencia como una sola medida. Con cierta suposición, podemos suponer que la longitud del cuerpo excede ocho veces el tamaño de la cabeza. A primera vista, esto parece extraño. Pero no debemos olvidar que la mayoría de las personas altas se distinguen por un cráneo alargado y, por el contrario, es raro encontrar un hombre bajo y gordo con la cabeza alargada.

El tamaño de la cabeza es proporcional no solo a la longitud del cuerpo, sino también a las dimensiones de otras partes del cuerpo. Todas las personas se basan en este principio, por lo que generalmente somos similares entre nosotros. (Volveremos a la semejanza o similitud en unas pocas páginas.) Sin embargo, nuestras proporciones concuerdan solo aproximadamente y, por lo tanto, las personas solo son similares, pero no iguales. De todos modos, ¡todos somos simétricos! Además, algunos artistas en sus obras enfatizan especialmente esta simetría.

LA SIMETRÍA PERFECTA ES ABURRIDA

Y en la ropa, una persona también, por regla general, trata de mantener la impresión de simetría: la manga derecha corresponde a la izquierda, la pierna derecha corresponde a la izquierda.

Los botones de la chaqueta y la camisa se encuentran exactamente en el medio, y si se alejan, entonces a distancias simétricas. Rara vez una mujer tiene el coraje de usar un vestido verdaderamente asimétrico (veremos más adelante cuánta desviación de la simetría es aceptable).

Pero en el contexto de esta simetría general en pequeños detalles, permitimos deliberadamente la asimetría, por ejemplo, peinándonos en una raya lateral, a la izquierda o a la derecha. O, digamos, colocando un bolsillo asimétrico en el pecho del traje, a menudo subrayado con un pañuelo. O poner un anillo en el dedo anular de una sola mano. Las órdenes e insignias se usan solo en un lado del cofre (más a menudo en el izquierdo).

La simetría perfecta completa se vería insoportablemente aburrida. Son las pequeñas desviaciones de él las que dan rasgos característicos e individuales. El famoso autorretrato de Albrecht Dürer a primera vista parece absolutamente simétrico. Pero, mirando más de cerca, notará un pequeño detalle asimétrico que le da vivacidad y vitalidad a la imagen: un mechón de cabello cerca de la raya.

Y al mismo tiempo, a veces una persona trata de enfatizar, de fortalecer la diferencia entre izquierda y derecha. En la Edad Media, los hombres en un momento ostentaban pantalones con piernas de diferentes colores (por ejemplo, uno rojo y el otro negro o blanco). Y en estos días, los jeans con parches brillantes o manchas de color eran populares. Pero esa moda siempre es efímera. Solo quedan desviaciones discretas y modestas de la simetría durante mucho tiempo.

¿QUÉ ES UNA SIMILARIDAD?

A menudo decimos que dos personas son similares entre sí. Los niños suelen parecerse a sus padres (al menos según sus abuelas). Similar pero no igual!

Intentemos averiguar qué se entiende por similitud o semejanza en matemáticas. En figuras similares, los segmentos correspondientes son proporcionales entre sí. En nuestro caso, podemos formular esta situación de la siguiente manera: narices similares tienen la misma forma, pero pueden diferir en tamaño. En este caso, cada sección individual de la nariz (por ejemplo, el puente de la nariz) debe ser proporcional a todas las demás.

Esta ley de similitud a veces está plagada de trampas. Por ejemplo, en una tarea como esta:

La altura de la torre A es de 10 m, a cierta distancia X de ella hay una torre B de seis metros. ¿Cuál es la distancia de la torre A a la torre B?

Parecería que para la solución es suficiente tomar una brújula y una regla. Pero luego resulta que habrá un número infinito de respuestas. En otras palabras, no puede haber una respuesta inequívoca a la pregunta sobre el valor de X.

En este libro, a menudo encontrará problemas que requieren reflexión. Esto tiene un cierto significado pedagógico. Problemas de este tipo, aunque no tengan solución, como el propuesto anteriormente, se refieren a algún problema que se encuentra en los límites de nuestro conocimiento. En su mayor parte, estos son los mismos límites ante los cuales cede el famoso “sentido común”, y solo el pensamiento lógico estrictamente matemático, junto con el conocimiento de las ciencias naturales, puede conducir a la decisión correcta.

Volvamos de nuevo al hombre: al comparar los seres vivos, la similitud se siente claramente si sus proporciones coinciden. Por lo tanto, los niños y los adultos pueden ser similares. Aunque la masa y el tamaño de cualquiera de las partes del cuerpo, ya sea la nariz o la boca, son diferentes, las proporciones de individuos similares son las mismas.

Un ejemplo sorprendente de similitud es la estimación visual de la distancia con la ayuda del pulgar. De esta manera, los militares y marineros estiman la distancia entre dos puntos en el suelo o en el mar, comparándolos con el ancho de un dedo o un puño. En el caso más simple, cierran un ojo y miran con el ojo abierto el dedo de una mano extendida, usándolo como mira.

Al mirar con el pulgar de una mano extendida (una vez con el ojo izquierdo y otra vez con el derecho), el dedo "rebota" unos 6 °

Si abre el ojo cerrado anteriormente (y cierra el segundo), el dedo se moverá hacia un lado en una distancia visible. En grados, esta distancia es 6°. ¡Y además, la magnitud de este "salto" (dentro del margen de error) es la misma para todas las personas! Entonces, la compañía del flanco derecho, un tipo de dos metros de altura, y la más pequeña, la del flanco izquierdo, de solo sesenta metros de altura, comparando estos "saltos" del dedo, recibirán el mismo valor.

La razón de este fenómeno radica en última instancia en la similitud de las personas y, por supuesto, en las leyes de la óptica, a las que obedece nuestra visión.

La "regla del puño" también se conoce, en el sentido más directo de la palabra, para una estimación aproximada de la magnitud del ángulo. Si miramos con un ojo el puño de la mano extendida (esta vez con el mismo ojo), entonces el ancho del puño será de 10 ° y la distancia entre los dos huesos de las falanges de 3 °. El puño y el pulgar que sobresalgan hacia un lado serán 15°. Al combinar estas medidas, puede medir aproximadamente todos los ángulos en el suelo.

Y por último, una medida angular más de nuestro cuerpo, que puede ser útil para los deberes. El ángulo entre el pulgar y el meñique de la palma abierta es de 90°. Parece poco probable, pero puede verificar todo de inmediato colocando los dedos extendidos de su palma contra la esquina de nuestro libro. Coloque su dedo meñique estrictamente paralelo a un borde y mueva su mano hacia abajo hasta que el pulgar también quede en el borde inferior. ¿Convencido?

Por supuesto, aquí el error a veces resulta ser relativamente grande, ya que, según la edad y el desarrollo de la mano, el pulgar se puede apartar a diferentes distancias. Pero para la primera prueba, que le permite decidir si el ángulo medido se desvía significativamente de una línea recta, este método es bastante adecuado.

LINELANDIA Y FLATLANDIA

Hace tiempo que los imaginativos han notado que las leyes de congruencia, tan estrictas para dos dimensiones, a menudo requieren el uso de una tercera dimensión cuando se aplican en la práctica.

Cuando se pone una mesa para una gran recepción, las servilletas generalmente se doblan en forma de triángulo. Pero vale la pena juntar estos triángulos en una pila, uno encima del otro, ya que resulta que estos triángulos son de dos tipos: algunos "encajan" inmediatamente entre sí, mientras que otros deben girarse "hacia el lado derecho". Un problema similar surge al estampar piezas pequeñas, cuando alguien intenta apilar productos terminados.

Es común que los poetas y escritores fantaseen en torno a situaciones más o menos probables. Entonces, hay obras en las que la vida se representa en un espacio bidimensional (donde no se puede voltear la "servilleta" de ninguna manera).

Algunos autores van más allá e intentan imaginar la vida en un espacio unidimensional, en la Tierra de la Línea - Linelandia. Lineland está habitado solo por delgados palos de madera, que en el caso más simple no difieren entre sí. Sin embargo, vale la pena darles cabeza (¡los partidos vienen inmediatamente a la mente!), Y de inmediato tienen dos posibilidades.

O todos los partidos giran la cabeza en una dirección, entonces su combinación no causa dificultades. O algunos de los fósforos se encuentran con la cabeza hacia la izquierda, y algunos de ellos se encuentran con la cabeza hacia la derecha. El matemático linelandiano no tiene una forma práctica de traducir coincidencias de "izquierda" en coincidencias de "derecha". Pero un matemático de la Tierra del Avión - Flatland, que tiene una dimensión más, inmediatamente encontrará una solución simple: encenderá la cerilla en el avión.

Sin embargo, según algunos escritores, la vida en Planilandia tampoco es tan fácil. Imagina que los habitantes de este país son pequeños rectángulos con un ojo (y tienen un solo ojo) en una de las esquinas. Por supuesto, solo puede ver un rectángulo de este tipo en un plano, y nunca logra mirar este plano desde arriba. Así que ningún Flatlander será capaz de imaginar cómo es realmente: para esto, ya es necesaria una vista desde el espacio tridimensional. Las casas de Flatlanders habrían sido más o menos iguales a las de los dibujos de los niños. Con la diferencia de que las puertas serían laterales y se abrirían sólo en el mismo plano. Pero las bisagras de la puerta tendrían que hacerse fuera del plano, por encima o por debajo. Además, sería necesario un complejo sistema de puntales para evitar que la pared de la casa se derrumbara cuando sus habitantes quisieran abrir la puerta. Y dos habitantes de Planilandia solo podrían mirarse si uno de ellos lograra pararse de cabeza.

La situación sería aún más complicada si Planilandia estuviera habitada por dos pueblos. Digamos Flatlanders diestros y zurdos. Se necesita mucha imaginación para pintar todas las posibles consecuencias de una situación así, ¡sobre todo teniendo en cuenta que estamos acostumbrados a pensar en tres dimensiones!

Dado que tanto Lineland como Flatland fueron presentados a los escritores bajo una luz humorística, no es de extrañar que surgiera literatura sobre este tema en Inglaterra.

en 1880 El educador inglés Edwin Ebony Abbott escribió un libro sobre Flatland y sus habitantes ( Abbott E. E. Flatland. En: Abbott E. E. Flatland. Hamburguesa D. Sferlandia. -M.: Mir, 1976). Flatlander Abbott, habiendo caído en Lineland en un sueño, intenta en vano convencer a los habitantes de la existencia del avión.

En el curso de la acción, uno de Flatlanders logra conocer el espacio tridimensional, por lo que es reconocido como "el más loco de los locos".

Más de veinte años después, en 1907, C. G. Hinton publicó El incidente en Flatland. En él, dos pueblos de Flatland están en guerra. Dado que todos los Flatlanders miran en la misma dirección, uno de los Folk siempre está irremediablemente perdido: no puede girar y devolver el golpe en la dirección correcta: un enemigo odiado está constantemente sentado en su cuello. Pero al final el bien gana. Algunas cabezas inteligentes notan que Flatland está ubicado en una bola y, por lo tanto, es posible, al correr alrededor de ella, pasar detrás de las líneas enemigas.

El autor de la novela construye su historia sobre la suposición tácita de que Flatlanders solo puede moverse en ciertas direcciones generales, excluyendo los desvíos laterales, y que es imposible para ellos derribar al enemigo sobre sus cabezas.

Como puede ver, se han propuesto las teorías más sofisticadas sobre la vida en el espacio bidimensional, pero nunca han encontrado aplicación. Hay que pensar que tanto estos libros como sus autores habrían caído en el olvido hace mucho tiempo si Lineland y Flatland no fueran tan necesarios para explicar la teoría del reflejo del espejo y si los compiladores de problemas de ingenio rápido no tuvieran que recurrir una y otra vez a Flatland para extraer ideas de su bidimensionalidad (por cierto, no hace mucho se creó en Hungría una caricatura sobre el viaje del colegial Adollar a Flatland).

Entre otras cosas, los flatlanders transportan mercancías mediante plataformas rodantes en círculos. Cada vez que una carga pasa por el círculo, el oficial de transporte local hace rodar el círculo hacia adelante y lo coloca frente a la plataforma.

Hay muchos problemas interesantes aquí. Pero solo nos interesa una cosa: si el eje de la rueda se mueve a una velocidad de 10 m por minuto, ¿a qué velocidad se mueve la carga?

Sabemos acerca de nuestro automóvil terrenal que ninguna rueda (más precisamente, ningún eje de rueda) puede moverse más rápido que todo el automóvil. Pero en un automóvil flatland, la rueda no está rígidamente conectada a la carga. Pensándolo bien, no es difícil darse cuenta de que la carga aquí está involucrada en dos movimientos.

Primero, se mueve a lo largo del eje de rotación de la rueda (esto es lo mismo que con un automóvil). Y además, la carga sigue rodando a lo largo de la circunferencia de la rueda, y al mismo tiempo a una velocidad también igual a la velocidad de rotación del eje. Por tanto, en general, la carga rueda al doble de la velocidad de la rueda. Por supuesto, la carga debe moverse más rápido, aunque solo sea porque las ruedas siempre se quedan atrás y deben moverse constantemente hacia adelante.

Algunos lectores pensarán: “El problema es realmente interesante, pero ¿y qué?”

Sin embargo, el principio del transporte de tierras planas encuentra su lugar en nuestra tecnología. Entonces, el diseñador, al diseñar una puerta en una habitación pequeña (por ejemplo, cerca de un pequeño ascensor), se ve obligado a abandonar las bisagras. Divide la puerta en dos mitades (¡si, por supuesto, piensa en tal truco!), Que corren paralelas entre sí. Una mitad de la puerta está fijada al eje del rodillo, y la segunda se mueve a lo largo de la circunferencia de este rodillo. Mientras que una mitad se mueve la mitad del ancho de la puerta, la otra tiene tiempo de recorrer todo el ancho de la puerta (al doble de velocidad).

No menospreciemos Flatland y las fantasías de los escritores. Supongamos que los Flatlanders viven en la superficie del globo. Esta superficie es tan grande que los habitantes pueden no notar su curvatura. Naturalmente, piensan que viven en un plano, ya que no pueden imaginar una esfera: después de todo, la tercera dimensión es, en principio, desconocida para ellos. Por lo tanto, los profesores de Flatland desarrollan las matemáticas de Flatland, que se enseñan en las escuelas. Los niños allí memorizan, por ejemplo, tal definición: dos líneas paralelas se cruzan a una distancia finita. O: la suma de los ángulos de un triángulo es mayor que 180°. Nosotros, gente del espacio tridimensional, sabemos que una superficie esférica es un espacio bidimensional no euclidiano que no encaja en la geometría euclidiana habitual.

Mirando el globo, vemos que dos meridianos, paralelos en el ecuador, se cruzan en el polo. Mirando el globo, uno también puede estar convencido de que dos meridianos forman un ángulo de 90 ° con el ecuador. En el punto de intersección en el polo, surge otro ángulo. Y la suma de los tres ángulos es mayor que 180° de todos modos. Pero los pobres Flatlanders, por supuesto, ni siquiera pueden imaginar todo esto. Están seguros de que viven en un avión.

Un matemático escéptico, Carl Friedrich Gauss (1777-1855), se preguntó seriamente si los humanos estábamos en la misma posición que los Flatlanders. Quizás, pensó Gauss, también vivimos en un mundo no euclidiano, pero simplemente no lo notamos. Si este fuera el caso, el espacio sería curvo (lo que ciertamente no podríamos imaginar), y un triángulo lo suficientemente grande tendría una suma de ángulos distinta de 180°. Gauss midió el triángulo entre Brocken, Inselberg y High Hagen, pero no encontró una desviación significativa de 180°. Esto, por supuesto, no podría servir como evidencia indiscutible, ya que el triángulo aún podría ser demasiado pequeño.

Sin embargo, uno no puede simplemente comparar el espacio no euclidiano en cuestión con el espacio en la teoría de la relatividad. Los Flatlanders y Gauss estamos hablando de un problema espacial puramente geométrico y de si ciertos axiomas son ciertos (por ejemplo, sobre la intersección de dos líneas paralelas en el infinito). Los seguidores de la teoría de la relatividad introducen el tiempo como la cuarta coordenada espacial.

SOBRE LA CONGRUENCIA

Dos figuras planas son congruentes si todos sus ángulos y segmentos de recta entre los puntos correspondientes son iguales.

En la escuela estudiamos teoremas sobre la congruencia de triángulos. Se ha establecido, por ejemplo, que las áreas de los triángulos son iguales si tienen un lado y dos ángulos adyacentes coinciden. Esto significa que aunque puedes usar un lado y dos esquinas adyacentes para construir triángulos, los triángulos deben coincidir con todas sus partes.

En el lenguaje coloquial (que usamos en este libro), podemos decir que los planos congruentes se superponen exactamente entre sí o, por el contrario, si una figura plana se superpone exactamente a otra, entonces son congruentes. Lo mismo ocurre con los cuerpos tridimensionales: si se pueden combinar, entonces son congruentes.

Observa los triángulos que se muestran en la imagen. Todos ellos son congruentes. Obviamente, ambos triángulos colocados a la izquierda se alinearán si simplemente se mueven. Y aquí está el triángulo colocado a la derecha, aunque es congruente con los dos de la izquierda, pero no podemos combinarlo con ellos solo desplazándonos en el plano. No importa cómo lo rotemos en el plano, nunca encajará con ninguno de los triángulos izquierdos. Para lograr esto, debe elevar el triángulo sobre el plano, girarlo en el espacio y volver a colocarlo en el plano. Pero si comparamos la disposición mutua de triángulos combinados por desplazamiento e inversión, veremos que en ambos casos sus diferentes lados coinciden. Cuando se corta, la superficie inferior de un triángulo de papel se superpone a la superficie superior del segundo triángulo. La orientación espacial de la superficie de la hoja de papel no ha cambiado. En este caso, se habla de congruencia idéntica. Si, al girar en el espacio, ambas superficies superiores del papel se combinan, las figuras planas se denominan congruentes con el espejo.

Se denominan figuras planas congruentes a las que percibimos como iguales y que pueden combinarse entre sí desplazándose en un plano o girando en el espacio.

CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

Congruencia: la propiedad de las figuras planas geométricas de coincidir entre sí en tamaño y forma.

Las formas que se pueden combinar entre sí por rotación y (o) desplazamiento son idénticamente congruentes.

Congruentes con el espejo son figuras, para cuya combinación es necesaria una operación adicional de reflejo del espejo.

Hay cuatro signos de congruencia de triángulos. Los triángulos son congruentes si:

1) los tres lados de un triángulo son iguales a los tres lados de otro (S, S, S);

2) dos lados y el ángulo interior de un triángulo encerrado entre ellos son iguales a dos lados y el ángulo interior de otro triángulo encerrado entre ellos (S, W, S);

3) dos lados y el ángulo interior opuesto al mayor de ellos en un triángulo son iguales a dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos en el otro triángulo (S, S, W);

4) el lado y los dos ángulos interiores adyacentes a él de un triángulo son iguales al lado y los dos ángulos interiores adyacentes a él de otro triángulo (W, S, W).

SEMEJANZA

La coincidencia de figuras planas en forma, pero no en tamaño, se llama semejanza.

Cada ángulo de una de las figuras corresponde a un ángulo igual de una figura similar.

En figuras similares, los segmentos correspondientes son proporcionales.

Desplazando, girando y (o) reflejando, dos figuras similares pueden llevarse a la posición de homotecia. En esta posición, los lados correspondientes de ambas figuras son paralelos entre sí.

SIMETRÍA AXIAL

Sea un plano dividido por una recta s en dos semiplanos. Si ahora rotamos un semiplano alrededor de la línea 5 180°, entonces todos los puntos de este semiplano coincidirán con los puntos del otro semiplano.

La recta s se llama eje de simetría.

Debido a que los puntos en el semiplano invertido están en una posición especular con respecto a su posición original, este giro también se denomina imagen especular. Si se aplican líneas que indican algunas direcciones de rotación a un semiplano, entonces, después de la reflexión del espejo, esta dirección cambiará a la opuesta. Por lo tanto, una sola operación de espejo produce figuras congruentes con el espejo. Dos operaciones de este tipo conducen a figuras idénticamente congruentes. Corresponden a un turno, o rotación.

SIMETRÍA RADIAL

Las figuras radialmente simétricas se pueden alinear entre sí girando alrededor del punto S. Este punto se llama centro de simetría.

Al girar, se combinan los puntos correspondientes de las figuras. El sentido de giro no cambia. La figura reflejada de esta manera es idénticamente congruente.

Las operaciones de rotación posteriores no afectarán en modo alguno a la identidad de las figuras. Con un ángulo de rotación de 180°, se habla de simetría central.

TRUCO DE DADOS

Los maestros dicen que jugar con bloques desarrolla la imaginación espacial. Y ahora los padres compran a sus hijos cajas con cubos brillantes pegados con fragmentos de imágenes de cuentos de hadas populares. Colocando estos cubos en la forma correcta, verás a Caperucita Roja con un Lobo Gris o Blancanieves con siete enanitos.

De hecho, este tipo de cubos y rompecabezas desarrollan la imaginación espacial no solo en los niños, sino en todos, desde pequeños hasta grandes. A veces tenemos que doblar un cubo de varias formas de troncos.

Tras una inspección más cercana de estos elementos individuales, resulta que al menos dos de ellos tienen la misma forma y tamaño, pero se relacionan entre sí como un guante izquierdo y derecho. Los creadores de acertijos de este tipo obviamente esperan que los jugadores no capten inmediatamente esta distinción. Si recordamos cuántas veces hemos confundido los guantes derecho e izquierdo, tendremos que admitir que tales esperanzas no son infundadas.

Es casi imposible combinar estos elementos. Cabe señalar que, al usar aquí (o en algún lugar debajo) la expresión "prácticamente posible", nos referimos a la implementación de tal tarea en la práctica.

Pero también existen métodos matemáticos o físicos que permiten combinar elementos al menos teóricamente o de acuerdo con signos externos; esto será objeto de una consideración adicional. Y dado que aquí se discutió la combinación de un elemento con otro, una circunstancia importante debe notarse especialmente. En Flatland sería posible combinar figuras planas sacándolas del plano y girándolas en el espacio. En Linealandia, de la misma forma, se necesitaría sólo una dimensión más: una rotación en el plano, y los segmentos se vuelven compatibles.

¡Pero las construcciones espaciales solo podemos rotar en el espacio! Y dado que la cuarta dimensión, a pesar de todo el razonamiento de Gauss, está cerrada para nosotros, ¡es incluso difícil imaginar cómo prácticamente (!) Nuestros "ladrillos" pueden desplegarse en otro lugar que no sea el espacio tridimensional para que estén alineados entre sí.

En la vida cotidiana, muy a menudo tenemos que resolver tales acertijos (enfatizo: ¡resolver de manera práctica y no jugar!), Por ejemplo, al empacar varios objetos. O, por ejemplo, imagine radiadores de calefacción central. Para algunos de ellos, la válvula de ajuste está a la izquierda, para otros, a la derecha. ¿Cómo conectar varios radiadores en una batería?

Los refrigeradores, estufas y otros artículos para el hogar generalmente se fabrican con manijas, llaves y grifos de mano derecha e izquierda. La fantástica posibilidad de convertir tales objetos en la cuarta dimensión complacería enormemente a todos los que se ocupan de su transporte e instalación.

¡MIRA EL DICCIONARIO!

Al comienzo del libro, llamamos al hombre un ser simétrico. En el futuro, el término "simetría" ya no se utilizó. Sin embargo, probablemente ya hayas notado que en todos los casos en que los segmentos de línea, las figuras planas o los cuerpos espaciales eran similares, pero sin acciones adicionales era imposible, “prácticamente” imposible combinarlos, nos encontrábamos con el fenómeno de la simetría. Estos elementos coincidían entre sí, como una pintura y su imagen especular. Como mano izquierda y derecha. Si nos tomamos la molestia de buscar en el Diccionario de Palabras Extranjeras, encontraremos que la simetría se entiende como "proporcionalidad, plena correspondencia en la disposición de las partes del todo con respecto a la línea media, centro ... tal disposición de puntos con respecto a un punto (centro de simetría), línea recta (eje de simetría) o plano (plano de simetría), en el que cada dos puntos correspondientes que se encuentran en la misma línea recta que pasa por el centro de simetría, en una perpendicular al eje o plano de simetría, están a la misma distancia de ellos ... " ( Diccionario de palabras extranjeras: Ed. 7º, revisado. -METRO.; idioma ruso 1980, p. 465)

Y eso no es todo, como suele ocurrir con las palabras extranjeras, hay muchos significados para la palabra "simetría". Esta es la ventaja de tales expresiones, que pueden usarse cuando no quieren dar una definición inequívoca, o simplemente no conocen una diferencia clara entre dos objetos.

Usamos el término "proporcional" en relación con una persona, una imagen o cualquier objeto, cuando pequeñas inconsistencias no nos permiten usar la palabra "simétrico".

Ya que estamos hurgando en libros de referencia, veamos el Diccionario Enciclopédico ( Diccionario enciclopédico soviético - M .: Enciclopedia soviética, 1980, p. 1219-1220). Encontramos aquí seis artículos que comienzan con la palabra "simetría". Además, esta palabra se encuentra en muchos otros artículos.

En matemáticas, la palabra "simetría" tiene al menos siete significados (entre ellos se encuentran polinomios simétricos, matrices simétricas). Hay relaciones simétricas en la lógica. La simetría juega un papel importante en la cristalografía (leerás algo sobre esto más adelante en este libro). El concepto de simetría en biología se interpreta de manera interesante. Describe seis tipos diferentes de simetría. Aprendemos, por ejemplo, que los ctenóforos son asimétricos, mientras que las flores de boca de dragón son bilateralmente simétricas. Encontraremos que existe simetría en la música y la coreografía (en la danza). Depende aquí de la alternancia de ciclos. Resulta que muchas canciones y bailes folclóricos se construyen simétricamente.

Entonces, debemos ponernos de acuerdo sobre qué tipo de simetría hablaremos. Independientemente de la naturaleza de los objetos en consideración, el principal interés para nosotros será la simetría del espejo: la simetría de la izquierda y la derecha. Veremos que esta aparente limitación nos adentrará mucho en el mundo de la ciencia y la tecnología y nos permitirá poner a prueba las capacidades de nuestro cerebro de vez en cuando (ya que es el que está programado para la simetría).

JUEGO DE PUNTOS Y LÍNEAS

Todavía no hemos salido de Lineland y Flatland. Y hay una razón especial para eso. ¡Incluso si no hay habitantes allí, entonces las líneas rectas y los planos son bastante reales!

Pensemos en la situación con simetría en la línea. Con la ayuda de dos coincidencias, podemos imaginar muy simplemente dos casos posibles. (Ya hemos considerado algunos aspectos de esta situación anteriormente). Los fósforos pueden estar con la cabeza en una dirección. Entonces encajan fácilmente. O cabezas (o puntas) entre sí. En este caso, existe un punto de la línea en el que se puede colocar el espejo de forma que la cerilla parezca coincidir con su reflejo. En otras palabras, hay un centro de simetría en la línea. Habrá que imaginar que el espejo cabe en un punto y refleja medio segmento de recta. En el razonamiento matemático, esto es bastante posible.

Las figuras planas se "reflejan" en los ejes de simetría

Al construir en un plano, nuestro espejo puede seguir siendo un punto, o puede ser una línea recta. Probablemente sea más correcto decirlo en orden inverso: una línea recta o un punto servirán como espejo. Después de todo, si en algún lugar hay una línea recta, entonces es posible un punto de centro de simetría en ella.

Los reflejos de espejo de las mitades de los planos tienen el mismo aspecto que los planos reales: al girar el plano alrededor de una línea recta, un espejo, se puede combinar con un reflejo, de ahí surgió la expresión "eje de simetría".

Un círculo tiene un número infinito de ejes de simetría. "Hoja de trébol" - solo una

Entonces, ahora sabemos qué son el centro de simetría y el eje de simetría, y también que algún objeto (toma esta palabra neutral) es simétrico si una mitad está relacionada con la otra, como una imagen y su imagen especular.

Un círculo tiene un número infinito de ejes de simetría, y todos pasan por un centro de simetría común. Otras figuras tienen un número finito de ejes de simetría, pero de todos modos, todos los ejes (dos o más) pasan por el centro de simetría. Esto significa que podemos rotar la forma hasta cierto ángulo (máximo 180°) y volverá a estar exactamente en el mismo lugar que antes de la rotación.

Continuemos con nuestro razonamiento sobre la simetría especular. Es fácil establecer que cada figura plana simétrica se puede combinar consigo misma con la ayuda de un espejo. Sorprende que figuras tan complejas como una estrella de cinco puntas o un pentágono equilátero también sean simétricas. Como se desprende del número de ejes, se distinguen precisamente por su alta simetría. Y viceversa: no es tan fácil entender por qué una figura aparentemente regular, como un paralelogramo oblicuo, no es simétrica. A primera vista parece que un eje de simetría podría correr paralelo a uno de sus lados. Pero vale la pena intentar usarlo mentalmente, ya que inmediatamente se convence de que esto no es así. Asimétrica y espiral.

Por extraño que parezca, una figura de aspecto tan "simétrico", como un paralelogramo, no solo no tiene ejes de simetría, sino también simetría especular en general.

Mientras que las figuras simétricas corresponden completamente a su reflejo, las no simétricas son diferentes: de una espiral que se tuerce de derecha a izquierda, una espiral que se tuerce de izquierda a derecha resultará en un espejo. Esta propiedad se usa a menudo en juegos masivos y competiciones organizadas por televisión. Se invita a los jugadores, mirándose en el espejo, a dibujar algún tipo de figura asimétrica, como una espiral. Y luego, una vez más, dibuje la espiral "exactamente igual", pero sin un espejo. La comparación de ambos dibujos muestra que las espirales resultaron ser diferentes: una gira de izquierda a derecha, la otra de derecha a izquierda.

Pero lo que parece una broma aquí, en la vida práctica causa muchas dificultades no solo para los niños, sino también para los adultos. A menudo, los niños escriben algunas letras "al revés". Su N latina parece Y, en lugar de S y Z, obtienen S y Z. Si observamos de cerca las letras del alfabeto latino (¡y estas son, de hecho, también figuras planas!), Veremos simétricas y asimétricas entre ellas. Las letras como N, S, Z no tienen eje de simetría (ni F, G, J, L, P, Q y R). Pero N, S y Z son particularmente fáciles de deletrear "al revés" ( Tienen un centro de simetría. - Aprox. educar). El resto de las mayúsculas tienen al menos un eje de simetría. Las letras A, M, T, U, V, W e Y se pueden dividir por la mitad por el eje longitudinal de simetría. Las letras B, C, D, E, I, K - el eje transversal de simetría. Las letras H, O y X tienen dos ejes de simetría mutuamente perpendiculares.

Si colocas las letras frente al espejo, paralelas a la línea, notarás que las que tienen un eje de simetría horizontal también se pueden leer en el espejo. Pero aquellos en los que el eje está ubicado verticalmente o está completamente ausente se vuelven "ilegibles".

La pregunta de por qué las letras con un eje longitudinal se comportan de manera diferente que con uno transversal es bastante interesante. Quizás lo pienses. La razón de este fenómeno se discutirá más adelante.

Hay niños que escriben con la mano izquierda y obtienen todas las letras en forma de espejo, reflejadas. Los diarios de Leonardo da Vinci están escritos en tipo espejo. Probablemente no haya una buena razón por la que debamos escribir cartas de la forma en que lo hacemos. Es poco probable que una fuente espejo sea más difícil de dominar que la habitual.

No facilitaría la ortografía y algunas palabras, como OTTO, no cambiarían en absoluto. Hay lenguas en las que la inscripción de signos se basa en la presencia de simetría. Entonces, en la escritura china, el jeroglífico significa exactamente el verdadero medio.

En arquitectura, los ejes de simetría se utilizan como medio para expresar la intención arquitectónica. En ingeniería, los ejes de simetría se indican más claramente donde se requiere una desviación de cero, como en el volante de un camión o en el volante de un barco.

NUESTRO MUNDO EN EL ESPEJO

De Lineland sacamos el concepto del centro de simetría y de Flatland, sobre el eje de simetría. En el mundo tridimensional de los cuerpos espaciales, donde vivimos, existen planos de simetría, respectivamente. Un "espejo" siempre tiene una dimensión menos que el mundo que refleja. Al mirar cuerpos redondos, es inmediatamente claro que tienen planos de simetría, pero no siempre es fácil decidir cuánto exactamente.

Pongamos una pelota frente al espejo y comencemos a girarla lentamente: la imagen en el espejo no diferirá en nada del original, por supuesto, si la pelota no tiene ninguna característica distintiva en su superficie. La pelota de ping pong revela innumerables planos de simetría. Toma un cuchillo, corta la mitad de la bola y colócala frente al espejo. El reflejo del espejo volverá a complementar esta mitad con una bola entera.

Pero si tomamos un globo y consideramos su simetría, teniendo en cuenta los contornos geográficos marcados en él, entonces no encontraremos un solo plano de simetría.

En Planilandia, la figura con innumerables ejes de simetría era el círculo. Por lo tanto, no debería sorprendernos que en el espacio propiedades similares sean inherentes a la pelota. Pero si el círculo es el único de su tipo, entonces en el mundo tridimensional hay una cantidad de cuerpos que tienen un número infinito de planos de simetría: un cilindro recto con un círculo en la base, un cono con una base circular o hemisférica, una bola o segmento de bola. O tomemos ejemplos de la vida: un cigarrillo, un cigarro, un vaso, una libra de helado en forma de cono, un trozo de alambre, una pipa.

Si observamos más de cerca estos cuerpos, notaremos que todos ellos de una forma u otra consisten en un círculo, a través de un número infinito de ejes de simetría por el cual pasan un número infinito de planos de simetría. La mayoría de estos cuerpos (se les llama cuerpos de revolución) también tienen, por supuesto, un centro de simetría (el centro de un círculo) por el que pasa al menos un eje de simetría.

Claramente visible, por ejemplo, es el eje del cono de helado. Va desde la mitad del círculo (¡sobresaliendo del helado!) hasta el extremo afilado del cono funky. Percibimos el conjunto de elementos de simetría de un cuerpo como una especie de medida de simetría. La pelota, sin duda, en términos de simetría es una encarnación insuperable de la perfección, un ideal. Los antiguos griegos lo percibían como el cuerpo más perfecto y el círculo, por supuesto, como la figura plana más perfecta.

En general, estas ideas son bastante aceptables hasta el día de hoy. Además, los filósofos griegos llegaron a la conclusión de que el universo, por supuesto, debe construirse sobre el modelo de un ideal matemático. Esta conclusión dio lugar a errores, cuyas consecuencias describiremos más adelante. ¡Está claro que los antiguos griegos aún no tenían cápsulas de helado! De lo contrario, un objeto tan prosaico, que tiene un número innumerable de planos de simetría, podría violar su sistema armonioso.

Si a modo de comparación consideramos un cubo, veremos que tiene nueve planos de simetría. Tres de ellos bisecan sus caras y seis pasan por los vértices. Comparado con la pelota, esto, por supuesto, no es suficiente.

Pero, ¿existen cuerpos que ocupan una posición intermedia entre una bola y un cubo en cuanto al número de planos? Sin duda, sí. Solo hay que recordar que el círculo, en esencia, parece consistir en polígonos. Pasamos por esto en la escuela al calcular el número pi. Si erigimos una pirámide n-gonal sobre cada n-ágono, podemos dibujar n planos de simetría a través de ella.

¡Se podría pensar en un cigarro de 32 lados que tuviera la simetría adecuada!

Pero si, no obstante, percibimos el cubo como un objeto más simétrico que la notoria libra de helado, entonces esto se debe a la estructura de la superficie. Una esfera tiene una sola superficie. El cubo tiene seis de ellos, según el número de caras, y cada cara está representada por un cuadrado. Funtik con helado consta de dos superficies: un círculo y una concha en forma de cono.

Durante más de dos milenios (probablemente debido a la percepción directa), tradicionalmente se han preferido los cuerpos geométricos "proporcionales". El filósofo griego Platón (427-347 a. C.) descubrió que solo se pueden construir cinco cuerpos volumétricos a partir de figuras planas regulares congruentes.

De cuatro triángulos regulares (equiláteros), se obtiene un tetraedro (tetraedro). A partir de ocho triángulos regulares, puede construir un octaedro (octaedro) y, finalmente, a partir de veinte triángulos regulares, un icosaedro. Y solo a partir de cuatro, ocho o veinte triángulos idénticos se puede obtener un cuerpo geométrico tridimensional. A partir de cuadrados, solo puede hacer una figura tridimensional: un hexaedro (hexaedro) y de pentágonos equiláteros, un dodecaedro (dodecaedro).

¿Y qué en nuestro mundo tridimensional está completamente desprovisto de simetría de espejo?

Si en Planilandia era una espiral plana, en nuestro mundo seguramente será una escalera de caracol o un taladro en espiral. Además, hay miles de cosas y objetos asimétricos en la vida y la tecnología que nos rodea. Por regla general, el tornillo tiene una rosca a la derecha. Pero a veces también está la izquierda. Así, para mayor seguridad, las bombonas de propano están equipadas con una rosca a la izquierda, de modo que no se puede enroscar en ellas una válvula-reductora diseñada, por ejemplo, para una bombona con otro gas. En la vida cotidiana, esto significa que en el campamento, antes de cocinar en una estufa de campamento, siempre debe probar de qué manera se desenrosca la botella.

Entre la bola y el cubo, por un lado, y la escalera de caracol, por el otro, todavía hay muchos grados de simetría. Del cubo se pueden ir quitando poco a poco los planos de simetría, los ejes y el centro, hasta llegar a un estado de completa asimetría.

Casi al final de esta fila de simetría nos encontramos, los humanos, con un solo plano de simetría que divide nuestro cuerpo en mitades izquierda y derecha. El grado de simetría que tenemos es el mismo que, por ejemplo, el del feldespato ordinario (un mineral que forma el gneis o granito junto con la mica y el cuarzo).

CINCO PLATOS

Para poliedros regulares, las siguientes afirmaciones son verdaderas:

1. En cualquier poliedro (incluido uno regular), la suma de todos los ángulos entre las aristas que convergen en un vértice es siempre menor que 360°.

2. Por el teorema de Euler para poliedros convexos

donde e es el número de vértices, ƒ es el número de caras y k es el número de aristas.

Las caras de los poliedros regulares solo pueden ser los siguientes polígonos regulares:

3, 4 o 5 triángulos equiláteros de 60°. Seis de estos triángulos ya dan 60° X 6 = 360° y, por lo tanto, no pueden limitar el ángulo poliédrico.

Tres cuadrados (90° X 3 = 270°), 3 pentágonos regulares (108° X 3 = 324°), 3 hexágonos regulares (120° X 3 = 360°) limitan el ángulo poliédrico.

Del teorema de Euler y de la forma de las caras se deduce que solo hay 5 poliedros regulares:

Tabla de cinco poliedros regulares

Formas de la cara	Número				Sólidos platónicos
	caras en un vértice	picos	caras	costillas
Triángulos equiláteros	3	4	4	6	tetraedro
Mismo	4	6	8	12	Octaedro
Mismo	5	12	20	30	icosaedro
cuadrícula	3	8	6	12	Hexaedro (cubo)
pentágonos correctos	3	20	12	20	dodecaedro del pentágono

(Cualquier cara del Pentágono-dodecaedro es una figura pentagonal, en la que los cuatro lados son iguales entre sí, pero diferentes del quinto. - Aprox. traducción)