Resolver una ecuación diferencial de primer orden. Ecuaciones diferenciales de primer orden

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función y una o más de sus derivadas. En la mayoría de los problemas prácticos, las funciones representan cantidades físicas, las derivadas corresponden a las tasas de cambio de estas cantidades y una ecuación determina la relación entre ellas.

Este artículo analiza métodos para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias, cuyas soluciones se pueden escribir en la forma funciones elementales, es decir, polinomiales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, así como sus funciones inversas. Muchas de estas ecuaciones ocurren en la vida real, aunque la mayoría de las otras ecuaciones diferenciales no pueden resolverse con estos métodos y, para ellas, la respuesta se escribe en forma de funciones especiales o series de potencias, o se encuentra mediante métodos numéricos.

Para comprender este artículo, debe dominar el cálculo diferencial e integral, así como también tener algunos conocimientos de derivadas parciales. También se recomienda conocer los conceptos básicos del álgebra lineal aplicada a las ecuaciones diferenciales, especialmente a las ecuaciones diferenciales de segundo orden, aunque para resolverlas son suficientes conocimientos de cálculo diferencial e integral.

Información preliminar

• Las ecuaciones diferenciales tienen una clasificación extensa. Este artículo habla de ecuaciones diferenciales ordinarias, es decir, sobre ecuaciones que incluyen una función de una variable y sus derivadas. Las ecuaciones diferenciales ordinarias son mucho más fáciles de entender y resolver que ecuaciones diferenciales parciales, que incluyen funciones de varias variables. Este artículo no analiza las ecuaciones diferenciales parciales, ya que los métodos para resolver estas ecuaciones generalmente están determinados por su forma particular.
  • A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\parcial y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Orden de una ecuación diferencial está determinada por el orden de la derivada más alta incluida en esta ecuación. La primera de las ecuaciones diferenciales ordinarias anteriores es de primer orden, mientras que la segunda es una ecuación de segundo orden. Grado de una ecuación diferencial es la potencia más alta a la que se eleva uno de los términos de esta ecuación.
  • Por ejemplo, la siguiente ecuación es de tercer orden y segundo grado.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ derecha)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• La ecuación diferencial es ecuación diferencial lineal en el caso de que la función y todas sus derivadas sean de primer grado. De lo contrario la ecuación es ecuación diferencial no lineal. Las ecuaciones diferenciales lineales se destacan porque sus soluciones se pueden usar para formar combinaciones lineales que también serán soluciones de la ecuación dada.
  • A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales.
  • A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales. La primera ecuación no es lineal debido al término seno.
    • d 2 θ d t 2 + g l pecado ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• decisión común La ecuación diferencial ordinaria no es única, incluye constantes de integración arbitrarias. En la mayoría de los casos, el número de constantes arbitrarias es igual al orden de la ecuación. En la práctica, los valores de estas constantes se determinan en función de lo dado. condiciones iniciales, es decir, según los valores de la función y sus derivadas en x = 0. (\displaystyle x=0.) El número de condiciones iniciales que son necesarias para encontrar. solución privada ecuación diferencial, en la mayoría de los casos también es igual al orden de la ecuación dada.
  • Por ejemplo, este artículo analizará cómo resolver la siguiente ecuación. Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Su solución general contiene dos constantes arbitrarias. Para encontrar estas constantes es necesario conocer las condiciones iniciales en x (0) (\displaystyle x(0)) Y x′(0) . (\displaystyle x"(0).) Generalmente las condiciones iniciales se especifican en el punto x = 0 , (\displaystyle x=0,), aunque esto no es necesario. Este artículo también discutirá cómo encontrar soluciones particulares para condiciones iniciales dadas.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 porque ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Pasos

Parte 1

Ecuaciones de primer orden

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1. Ecuaciones lineales de primer orden. Esta sección analiza métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en general y casos especiales cuando algunos términos son iguales a cero. pretendamos que y = y (x), (\displaystyle y=y(x),) pag (x) (\displaystyle p(x)) Y q (x) (\displaystyle q(x)) son funciones X. (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Según uno de los principales teoremas del análisis matemático, la integral de la derivada de una función también es una función. Por tanto, basta con integrar la ecuación para encontrar su solución. Hay que tener en cuenta que al calcular la integral indefinida aparece una constante arbitraria.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Usamos el método separación de variables. Esto mueve diferentes variables a diferentes lados de la ecuación. Por ejemplo, puede mover a todos los miembros de y (\displaystyle y) en uno, y todos los miembros con x (\displaystyle x) al otro lado de la ecuación. Los miembros también pueden ser transferidos. dx (\displaystyle (\mathrm (d) )x) Y d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), que se incluyen en las expresiones de derivadas, sin embargo, debe recordarse que este es solo un símbolo que es conveniente al diferenciar una función compleja. La discusión de estos miembros, que se denominan diferenciales, está más allá del alcance de este artículo.

   • Primero, debes mover las variables a lados opuestos del signo igual.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Integramos ambos lados de la ecuación. Después de la integración, aparecerán constantes arbitrarias en ambos lados, que pueden transferirse al lado derecho de la ecuación.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Ejemplo 1.1. En el último paso utilizamos la regla. mi a + b = mi a mi b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) y reemplazado mi C (\ Displaystyle e ^ (C)) en C (\displaystyle C), ya que esta también es una constante de integración arbitraria.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin(aligned )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(alineado)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Para encontrar una solución general introdujimos factor integrante como una función de x (\displaystyle x) para reducir el lado izquierdo a una derivada común y así resolver la ecuación.

   • Multiplica ambos lados por μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Para reducir el lado izquierdo a la derivada general, se deben realizar las siguientes transformaciones:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • La última igualdad significa que d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Este es un factor integrante que es suficiente para resolver cualquier ecuación lineal de primer orden. Ahora podemos derivar la fórmula para resolver esta ecuación con respecto a μ , (\displaystyle \mu ,) aunque es útil para el entrenamiento hacer todos los cálculos intermedios.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Ejemplo 1.2. Este ejemplo muestra cómo encontrar una solución particular a una ecuación diferencial con condiciones iniciales dadas.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(alineado)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Resolución de ecuaciones lineales de primer orden (grabadas por Intuit - National Open University).

2. Ecuaciones no lineales de primer orden. Esta sección analiza métodos para resolver algunas ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. Aunque no existe un método general para resolver este tipo de ecuaciones, algunas de ellas se pueden resolver utilizando los métodos siguientes.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Si la función f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) se puede dividir en funciones de una variable, dicha ecuación se llama ecuación diferencial con variables separables. En este caso, puedes utilizar el método anterior:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )X)
   • Ejemplo 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ comenzar(alineado)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(alineado)))

   D y d x = g (x, y) h (x, y). (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) pretendamos que gramo (x, y) (\displaystyle g(x,y)) Y h (x, y) (\displaystyle h(x,y)) son funciones x (\displaystyle x) Y y. (\displaystyle y.) Entonces ecuación diferencial homogénea es una ecuación en la que gramo (\displaystyle g) Y h (\displaystyle h) son funciones homogéneas en el mismo grado. Es decir, las funciones deben cumplir la condición g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Dónde k (\displaystyle k) se llama grado de homogeneidad. Cualquier ecuación diferencial homogénea puede ser utilizada por adecuados sustituciones de variables (v = y / x (\displaystyle v=y/x) o v = x / y (\displaystyle v=x/y)) convertir a una ecuación separable.

   • Ejemplo 1.4. La descripción anterior de homogeneidad puede parecer poco clara. Veamos este concepto con un ejemplo.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Para empezar, cabe señalar que esta ecuación no es lineal con respecto a y. (\displaystyle y.) También vemos que en este caso es imposible separar las variables. Al mismo tiempo, esta ecuación diferencial es homogénea, ya que tanto el numerador como el denominador son homogéneos con una potencia de 3. Por lo tanto, podemos hacer un cambio de variables. v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • re v re x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Como resultado, tenemos la ecuación para v (\displaystyle v) con variables separables.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Este Ecuación diferencial de Bernoulli- un tipo especial de ecuación no lineal de primer grado, cuya solución se puede escribir utilizando funciones elementales.

   • Multiplica ambos lados de la ecuación por (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Usamos la regla para derivar una función compleja en el lado izquierdo y transformamos la ecuación en una ecuación lineal con respecto a y 1 − norte , (\displaystyle y^(1-n),) que se puede resolver utilizando los métodos anteriores.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.) Este ecuación en diferenciales totales. Es necesario encontrar el llamado. función potencial φ (x, y), (\displaystyle \varphi (x,y),), que satisface la condición d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Para cumplir esta condición es necesario tener derivada total. La derivada total tiene en cuenta la dependencia de otras variables. Para calcular la derivada total φ (\displaystyle\varphi) Por x , (\displaystyle x,) asumimos que y (\displaystyle y) también puede depender de X. (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Comparando los términos nos da M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) Y norte (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Este es un resultado típico para ecuaciones con varias variables, en las que las derivadas mixtas de funciones suaves son iguales entre sí. A veces este caso se llama teorema de clairaut. En este caso, la ecuación diferencial es una ecuación diferencial total si se cumple la siguiente condición:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • El método para resolver ecuaciones en diferenciales totales es similar a encontrar funciones potenciales en presencia de varias derivadas, lo cual discutiremos brevemente. primero integremos METRO (\displaystyle M) Por X. (\displaystyle x.) Porque el METRO (\displaystyle M) es una función y x (\displaystyle x), Y y , (\displaystyle y,) al integrar obtenemos una función incompleta φ, (\displaystyle \varphi,) designado como φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). El resultado también depende de y (\displaystyle y) constante de integración.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Después de esto, para conseguir c (y) (\displaystyle c(y)) podemos tomar la derivada parcial de la función resultante con respecto a y , (\displaystyle y,) equiparar el resultado norte (x, y) (\displaystyle N(x,y)) e integrar. También puedes integrar primero norte (\displaystyle norte), y luego tomar la derivada parcial con respecto a x (\displaystyle x), que le permitirá encontrar una función arbitraria d(x). (\displaystyle d(x).) Ambos métodos son adecuados y normalmente se elige la función más simple para la integración.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ parcial (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Ejemplo 1.5. Puedes tomar derivadas parciales y ver que la siguiente ecuación es una ecuación diferencial total.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Si la ecuación diferencial no es una ecuación diferencial total, en algunos casos puedes encontrar un factor integrante que te permita convertirla en una ecuación diferencial total. Sin embargo, estas ecuaciones rara vez se utilizan en la práctica y, aunque el factor integrador existe, sucede que lo encuentra no es fácil, por lo tanto estas ecuaciones no se consideran en este artículo.

Parte 2

Ecuaciones de segundo orden

1. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes. Estas ecuaciones se utilizan ampliamente en la práctica, por lo que su solución es de primordial importancia. En este caso no estamos hablando de funciones homogéneas, sino de que en el lado derecho de la ecuación hay 0. En el siguiente apartado se mostrará cómo resolver las correspondientes heterogéneo ecuaciones diferenciales. Abajo un (displaystyle a) Y segundo (\displaystyle b) son constantes.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Ecuación característica. Esta ecuación diferencial es notable porque se puede resolver muy fácilmente si se presta atención a las propiedades que deben tener sus soluciones. De la ecuación queda claro que y (\displaystyle y) y sus derivadas son proporcionales entre sí. Por ejemplos anteriores, que se analizaron en la sección sobre ecuaciones de primer orden, sabemos que solo una función exponencial tiene esta propiedad. Por tanto, es posible proponer Enfoque(una suposición fundamentada) sobre cuál será la solución de esta ecuación.

   • La solución tendrá la forma de una función exponencial. mi r x , (\displaystyle e^(rx),) Dónde r (\displaystyle r) es una constante cuyo valor se debe encontrar. Sustituimos esta función en la ecuación y obtenemos la siguiente expresión
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Esta ecuación indica que el producto de una función exponencial y un polinomio debe ser igual a cero. Se sabe que el exponente no puede ser igual a cero para ningún valor del grado. De esto concluimos que el polinomio es igual a cero. Por lo tanto, hemos reducido el problema de resolver una ecuación diferencial al problema mucho más simple de resolver una ecuación algebraica, que se denomina ecuación característica de una ecuación diferencial dada.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Tenemos dos raíces. Como esta ecuación diferencial es lineal, su solución general es una combinación lineal de soluciones parciales. Como esta es una ecuación de segundo orden, sabemos que es en realidad solución general, y no hay otras. Una justificación más rigurosa de esto reside en los teoremas sobre la existencia y unicidad de una solución, que se pueden encontrar en los libros de texto.
   • Una forma útil de comprobar si dos soluciones son linealmente independientes es calcular Wronskiána. Vronskiano W (\displaystyle W) es el determinante de una matriz cuyas columnas contienen funciones y sus sucesivas derivadas. El teorema del álgebra lineal establece que las funciones incluidas en el Wronskiano son linealmente dependientes si el Wronskiano es igual a cero. En esta sección podemos comprobar si dos soluciones son linealmente independientes; para ello debemos asegurarnos de que el Wronskiano no sea cero. El Wronskiano es importante a la hora de resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes mediante el método de parámetros variables.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • En términos de álgebra lineal, el conjunto de todas las soluciones de una ecuación diferencial dada forma un espacio vectorial cuya dimensión es igual al orden de la ecuación diferencial. En este espacio se puede elegir una base entre independiente linealmente decisiones unos de otros. Esto es posible debido al hecho de que la función y (x) (\displaystyle y(x)) válido operador lineal. Derivado es operador lineal, ya que transforma el espacio de funciones diferenciables en el espacio de todas las funciones. Las ecuaciones se denominan homogéneas en aquellos casos en los que, para cualquier operador lineal L (\displaystyle L) necesitamos encontrar una solución a la ecuación L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Pasemos ahora a considerar varios ejemplos específicos. Consideraremos el caso de raíces múltiples de la ecuación característica un poco más adelante, en la sección sobre reducción del orden.

   si las raices r ± (\displaystyle r_(\pm )) son números reales diferentes, la ecuación diferencial tiene la siguiente solución

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Dos raíces complejas. Del teorema fundamental del álgebra se deduce que las soluciones a ecuaciones polinómicas con coeficientes reales tienen raíces reales o forman pares conjugados. Por tanto, si un número complejo r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) es la raíz de la ecuación característica, entonces r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) es también la raíz de esta ecuación. Por tanto, podemos escribir la solución en la forma c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alfa -i\beta)x),) sin embargo, es un número complejo y no es deseable para resolver problemas prácticos.

   • En su lugar puedes usar la fórmula de euler mi yo x = porque ⁡ x + yo pecado ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), que te permite escribir la solución en forma de funciones trigonométricas:
     • e α x (c 1 porque ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 porque ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Ahora puedes en lugar de una constante c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) anote c 1 (\displaystyle c_(1)), y la expresión yo (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) reemplazado por c 2 . (\displaystyle c_(2).) Después de esto obtenemos la siguiente solución:
     • y (x) = e α x (c 1 porque ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\pecado\beta x))
   • Hay otra forma de escribir la solución en términos de amplitud y fase, que es más adecuada para problemas de física.
   • Ejemplo 2.1. Encontremos una solución a la ecuación diferencial que se muestra a continuación con las condiciones iniciales dadas. Para hacer esto, debe tomar la solución resultante, así como su derivado y sustituirlos en las condiciones iniciales, lo que nos permitirá determinar constantes arbitrarias.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 porque ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 porque ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 porque ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Resolver ecuaciones diferenciales de enésimo orden con coeficientes constantes (registradas por Intuit - National Open University).

2. Orden decreciente. La reducción de orden es un método para resolver ecuaciones diferenciales cuando se conoce una solución linealmente independiente. Este método consiste en bajar el orden de la ecuación en uno, lo que permite resolver la ecuación utilizando los métodos descritos en el apartado anterior. Que se conozca la solución. La idea principal de la reducción de orden es encontrar una solución en el siguiente formulario, donde es necesario definir la función. v (x) (\displaystyle v(x)), sustituyéndolo en la ecuación diferencial y encontrando v(x). (\displaystyle v(x).) Veamos cómo se puede utilizar la reducción de orden para resolver una ecuación diferencial con coeficientes constantes y raíces múltiples.

   
   

   Múltiples raíces ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes. Recuerde que una ecuación de segundo orden debe tener dos soluciones linealmente independientes. Si la ecuación característica tiene múltiples raíces, el conjunto de soluciones No forma un espacio ya que estas soluciones son linealmente dependientes. En este caso, es necesario utilizar la reducción de orden para encontrar una segunda solución linealmente independiente.

   • Sea la ecuación característica tener múltiples raíces. r (\displaystyle r). Supongamos que la segunda solución se puede escribir en la forma y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)) y sustitúyalo en la ecuación diferencial. En este caso, la mayoría de los términos, a excepción del término con la segunda derivada de la función v , (\displaystyle v,) será reducido.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Ejemplo 2.2. Sea la siguiente ecuación que tiene múltiples raíces. r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Durante la sustitución, la mayoría de los términos se reducen.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(alineado)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(alineado )v""e^(-4x)&-(\cancelar (8v"e^(-4x)))+(\cancelar (16ve^(-4x)))\\&+(\cancelar (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(alineado)))
   • De manera similar a nuestra ansatz para una ecuación diferencial con coeficientes constantes, en este caso solo la segunda derivada puede ser igual a cero. Integramos dos veces y obtenemos la expresión deseada para v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Entonces, la solución general de una ecuación diferencial con coeficientes constantes en el caso de que la ecuación característica tenga múltiples raíces se puede escribir de la siguiente forma. Por comodidad, puedes recordar que para obtener independencia lineal basta con multiplicar el segundo término por x (\displaystyle x). Este conjunto de soluciones es linealmente independiente y, por tanto, hemos encontrado todas las soluciones de esta ecuación.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) La reducción del pedido es aplicable si se conoce la solución. y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), que se puede encontrar o dar en el enunciado del problema.

   • Estamos buscando una solución en la forma. y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) y sustituirlo en esta ecuación:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Porque el y 1 (\displaystyle y_(1)) es una solución a una ecuación diferencial, todos los términos con v (\displaystyle v) se están reduciendo. Al final queda ecuación lineal de primer orden. Para ver esto más claro hagamos un cambio de variables w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Si se pueden calcular las integrales, obtenemos la solución general como una combinación de funciones elementales. En caso contrario, la solución se puede dejar en forma integral.

3. Ecuación de Cauchy-Euler. La ecuación de Cauchy-Euler es un ejemplo de una ecuación diferencial de segundo orden con variables coeficientes, que tiene soluciones exactas. Esta ecuación se utiliza en la práctica, por ejemplo, para resolver la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Ecuación característica. Como puede ver, en esta ecuación diferencial, cada término contiene un factor de potencia, cuyo grado es igual al orden de la derivada correspondiente.

   • Por lo tanto, puede intentar buscar una solución en la forma y (x) = x norte , (\displaystyle y(x)=x^(n),) donde es necesario determinar norte (\ Displaystyle n), justo cuando buscábamos una solución en forma de función exponencial para una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Después de la diferenciación y sustitución obtenemos
     • x norte (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Para utilizar la ecuación característica, debemos suponer que x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Punto x = 0 (\displaystyle x=0) llamado punto singular regular ecuación diferencial. Estos puntos son importantes a la hora de resolver ecuaciones diferenciales utilizando series de potencias. Esta ecuación tiene dos raíces, que pueden ser diferentes y reales, múltiples o conjugadas complejas.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   Dos raíces reales diferentes. si las raices norte ± (\displaystyle n_(\pm )) son reales y diferentes, entonces la solución de la ecuación diferencial tiene la siguiente forma:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Dos raíces complejas. Si la ecuación característica tiene raíces. norte ± = α ± β yo (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), la solución es una función compleja.

   • Para transformar la solución en una función real, hacemos un cambio de variables. x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) eso es t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) y utilice la fórmula de Euler. Anteriormente se realizaron acciones similares al determinar constantes arbitrarias.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Entonces la solución general se puede escribir como
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Múltiples raíces. Para obtener una segunda solución linealmente independiente, es necesario reducir nuevamente el orden.

   • Se necesitan muchos cálculos, pero el principio sigue siendo el mismo: sustituimos y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) en una ecuación cuya primera solución es y 1 (\displaystyle y_(1)). Después de las reducciones, se obtiene la siguiente ecuación:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Esta es una ecuación lineal de primer orden con respecto a v′(x) . (\displaystyle v"(x).) Su solución es v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Por tanto, la solución se puede escribir de la siguiente forma. Esto es bastante fácil de recordar: para obtener la segunda solución linealmente independiente simplemente se requiere un término adicional con ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes. Las ecuaciones no homogéneas tienen la forma. L [ y (x) ] = f (x), (\displaystyle L=f(x),) Dónde f (x) (\displaystyle f(x))- llamado miembro gratuito. Según la teoría de ecuaciones diferenciales, la solución general de esta ecuación es una superposición solución privada y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) Y solución adicional y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Sin embargo, en este caso, una solución particular no significa una solución dada por las condiciones iniciales, sino una solución determinada por la presencia de heterogeneidad (un término libre). Una solución adicional es una solución de la ecuación homogénea correspondiente en la que f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) La solución general es una superposición de estas dos soluciones, ya que L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), y desde L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) tal superposición es de hecho una solución general.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Método de coeficientes indeterminados. El método de coeficientes indefinidos se utiliza en los casos en que el término de intersección es una combinación de funciones exponenciales, trigonométricas, hiperbólicas o de potencia. Sólo se garantiza que estas funciones tendrán un número finito de derivadas linealmente independientes. En esta sección encontraremos una solución particular a la ecuación.

   • Comparemos los términos en f (x) (\displaystyle f(x)) con términos sin prestar atención a factores constantes. Hay tres casos posibles.
     • No hay dos miembros iguales. En este caso, una solución particular y p (\displaystyle y_(p)) será una combinación lineal de términos de y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) contiene miembro x norte (\displaystyle x^(n)) y miembro de y c , (\displaystyle y_(c),) Dónde norte (\ Displaystyle n) es cero o un número entero positivo, y este término corresponde a una raíz separada de la ecuación característica. En este caso y p (\displaystyle y_(p)) consistirá en una combinación de la función x norte + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) sus derivadas linealmente independientes, así como otros términos f (x) (\displaystyle f(x)) y sus derivadas linealmente independientes.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) contiene miembro h (x), (\displaystyle h(x),) que es una obra x norte (\displaystyle x^(n)) y miembro de y c , (\displaystyle y_(c),) Dónde norte (\ Displaystyle n) es igual a 0 o un número entero positivo, y este término corresponde a múltiple raíz de la ecuación característica. En este caso y p (\displaystyle y_(p)) es una combinación lineal de la función x norte + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Dónde s (\displaystyle s)- multiplicidad de la raíz) y sus derivadas linealmente independientes, así como otros miembros de la función f (x) (\displaystyle f(x)) y sus derivadas linealmente independientes.
   • vamos a escribirlo y p (\displaystyle y_(p)) como una combinación lineal de los términos enumerados anteriormente. Debido a estos coeficientes en una combinación lineal, este método se denomina "método de coeficientes indefinidos". Cuando está contenido en yc (\displaystyle y_(c)) Los miembros pueden descartarse debido a la presencia de constantes arbitrarias en yc. (\displaystyle y_(c).) Después de esto sustituimos y p (\displaystyle y_(p)) en la ecuación e igualar términos similares.
   • Determinamos los coeficientes. En esta etapa se obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas que normalmente se puede resolver sin problemas. La solución de este sistema nos permite obtener y p (\displaystyle y_(p)) y así resolver la ecuación.
   • Ejemplo 2.3. Consideremos una ecuación diferencial no homogénea cuyo término libre contiene un número finito de derivadas linealmente independientes. Se puede encontrar una solución particular a dicha ecuación mediante el método de coeficientes indefinidos.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − porque ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 porque ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B porque ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B porque ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(alineado)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ fin (casos)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Método de Lagrange. El método de Lagrange, o método de variación de constantes arbitrarias, es un método más general para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas, especialmente en los casos en que el término de intersección no contiene un número finito de derivadas linealmente independientes. Por ejemplo, con términos gratuitos. bronceado ⁡ x (\displaystyle \tan x) o x − n (\displaystyle x^(-n)) Para encontrar una solución particular es necesario utilizar el método de Lagrange. El método de Lagrange se puede utilizar incluso para resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, aunque en este caso, a excepción de la ecuación de Cauchy-Euler, se utiliza con menos frecuencia, ya que la solución adicional no suele expresarse en términos de funciones elementales.

   • Supongamos que la solución tiene la siguiente forma. Su derivada se da en la segunda línea.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Dado que la solución propuesta contiene dos cantidades desconocidas, es necesario imponer adicional condición. Elijamos esta condición adicional de la siguiente forma:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Ahora podemos obtener la segunda ecuación. Después de la sustitución y redistribución de miembros, puede agrupar miembros con v 1 (\displaystyle v_(1)) y miembros con v 2 (\displaystyle v_(2)). Estos plazos se reducen porque y 1 (\displaystyle y_(1)) Y y 2 (\displaystyle y_(2)) son soluciones de la ecuación homogénea correspondiente. Como resultado, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones.
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(alineado)))
   • Este sistema se puede transformar en una ecuación matricial de la forma A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) cuya solución es x = A - 1 segundo . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Para matriz 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) la matriz inversa se encuentra dividiendo por el determinante, reorganizando los elementos diagonales y cambiando el signo de los elementos no diagonales. De hecho, el determinante de esta matriz es un Wronskiano.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Expresiones para v 1 (\displaystyle v_(1)) Y v 2 (\displaystyle v_(2)) se dan a continuación. Como en el método de reducción de orden, en este caso, durante la integración aparece una constante arbitraria, que incluye una solución adicional en la solución general de la ecuación diferencial.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Conferencia de la Universidad Nacional Abierta Intuit titulada "Ecuaciones diferenciales lineales de enésimo orden con coeficientes constantes".

Uso práctico

Las ecuaciones diferenciales establecen una relación entre una función y una o más de sus derivadas. Debido a que tales relaciones son extremadamente comunes, las ecuaciones diferenciales han encontrado una amplia aplicación en una variedad de campos y, dado que vivimos en cuatro dimensiones, estas ecuaciones a menudo son ecuaciones diferenciales en privado derivados. Esta sección cubre algunas de las ecuaciones más importantes de este tipo.

• Crecimiento y decadencia exponencial. Desintegración radioactiva. Interés compuesto. La velocidad de las reacciones químicas. Concentración de fármacos en la sangre. Crecimiento demográfico ilimitado. Ley de Newton-Richmann. Hay muchos sistemas en el mundo real en los que la tasa de crecimiento o decadencia en un momento dado es proporcional a la cantidad en un momento dado o puede aproximarse bien mediante un modelo. Esto se debe a que la solución de una ecuación diferencial determinada, la función exponencial, es una de las funciones más importantes en matemáticas y otras ciencias. De manera más general, con un crecimiento demográfico controlado, el sistema puede incluir términos adicionales que limiten el crecimiento. En la siguiente ecuación, la constante k (\displaystyle k) puede ser mayor o menor que cero.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Vibraciones armónicas. Tanto en la mecánica clásica como en la cuántica, el oscilador armónico es uno de los sistemas físicos más importantes debido a su simplicidad y uso generalizado en la aproximación de sistemas más complejos, como un péndulo simple. En la mecánica clásica, las vibraciones armónicas se describen mediante una ecuación que relaciona la posición de un punto material con su aceleración mediante la ley de Hooke. En este caso también se pueden tener en cuenta las fuerzas de amortiguación y motrices. En la siguiente expresión x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- derivada temporal de x , (\displaystyle x,) β (\ Displaystyle \ beta)- parámetro que describe la fuerza de amortiguación, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- frecuencia angular del sistema, F (t) (\displaystyle F(t))- fuerza motriz dependiente del tiempo. El oscilador armónico también está presente en circuitos oscilatorios electromagnéticos, donde puede implementarse con mayor precisión que en los sistemas mecánicos.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• La ecuación de Bessel. La ecuación diferencial de Bessel se utiliza en muchas áreas de la física, incluida la resolución de la ecuación de onda, la ecuación de Laplace y la ecuación de Schrödinger, especialmente en presencia de simetría cilíndrica o esférica. Esta ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables no es una ecuación de Cauchy-Euler, por lo que sus soluciones no pueden escribirse como funciones elementales. Las soluciones de la ecuación de Bessel son las funciones de Bessel, que están bien estudiadas debido a su aplicación en muchos campos. En la siguiente expresión α (\displaystyle \alpha )- una constante que corresponde en orden Funciones de Bessel.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Las ecuaciones de Maxwell. Junto con la fuerza de Lorentz, las ecuaciones de Maxwell forman la base de la electrodinámica clásica. Estas son las cuatro ecuaciones diferenciales parciales para la electricidad. mi (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) y magnético B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) campos. En las siguientes expresiones ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- cargar densidad, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- densidad de corriente, y ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) Y μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- constantes eléctricas y magnéticas, respectivamente.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla \cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• Ecuación de Schrödinger. En mecánica cuántica, la ecuación de Schrödinger es la ecuación fundamental del movimiento, que describe el movimiento de las partículas de acuerdo con un cambio en la función de onda. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) con tiempo. La ecuación de movimiento se describe por el comportamiento. hamiltoniano H^(\displaystyle (\sombrero (H))) - operador, que describe la energía del sistema. Uno de los ejemplos más conocidos de la ecuación de Schrödinger en física es la ecuación de una sola partícula no relativista sujeta al potencial V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Muchos sistemas se describen mediante la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, y en el lado izquierdo de la ecuación está mi Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) Dónde mi (\ Displaystyle E)- energía de partículas. En las siguientes expresiones ℏ (\displaystyle \hbar )- constante de Planck reducida.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• Ecuación de onda. La física y la tecnología no se pueden imaginar sin las ondas; están presentes en todo tipo de sistemas. En general, las ondas se describen mediante la siguiente ecuación, en la que tu = tu (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) es la función deseada, y c (displaystyle c)- constante determinada experimentalmente. d'Alembert fue el primero en descubrir que para el caso unidimensional la solución de la ecuación de onda es cualquier función con argumento x − c t (\displaystyle x-ct), que describe una onda de forma arbitraria que se propaga hacia la derecha. La solución general para el caso unidimensional es una combinación lineal de esta función con una segunda función con argumento x + c t (\displaystyle x+ct), que describe una onda que se propaga hacia la izquierda. Esta solución se presenta en la segunda línea.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • tu (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Ecuaciones de Navier-Stokes. Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de fluidos. Debido a que los fluidos están presentes prácticamente en todos los campos de la ciencia y la tecnología, estas ecuaciones son extremadamente importantes para predecir el clima, diseñar aviones, estudiar las corrientes oceánicas y resolver muchos otros problemas aplicados. Las ecuaciones de Navier-Stokes son ecuaciones diferenciales parciales no lineales y, en la mayoría de los casos, son muy difíciles de resolver porque la no linealidad conduce a turbulencias y obtener una solución estable mediante métodos numéricos requiere la partición en celdas muy pequeñas, lo que requiere una potencia de cálculo significativa. Para fines prácticos en hidrodinámica, se utilizan métodos como el promedio de tiempo para modelar flujos turbulentos. Cuestiones aún más básicas, como la existencia y unicidad de soluciones a ecuaciones diferenciales parciales no lineales, plantean un desafío, y demostrar la existencia y unicidad de una solución a las ecuaciones de Navier-Stokes en tres dimensiones se encuentra entre los problemas matemáticos del milenio. A continuación se muestran la ecuación de flujo de fluido incompresible y la ecuación de continuidad.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u) ) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Muchas ecuaciones diferenciales simplemente no se pueden resolver utilizando los métodos anteriores, especialmente los mencionados en la última sección. Esto se aplica a los casos en los que la ecuación contiene coeficientes variables y no es una ecuación de Cauchy-Euler, o cuando la ecuación no es lineal, excepto en unos pocos casos muy raros. Sin embargo, los métodos anteriores pueden resolver muchas ecuaciones diferenciales importantes que a menudo se encuentran en diversos campos de la ciencia.
• A diferencia de la derivación, que permite encontrar la derivada de cualquier función, la integral de muchas expresiones no se puede expresar en funciones elementales. Así que no pierdas el tiempo intentando calcular una integral donde es imposible. Mira la tabla de integrales. Si la solución de una ecuación diferencial no se puede expresar en términos de funciones elementales, a veces se puede representar en forma integral y, en este caso, no importa si esta integral se puede calcular analíticamente.

Advertencias

• Apariencia La ecuación diferencial puede ser engañosa. Por ejemplo, a continuación se muestran dos ecuaciones diferenciales de primer orden. La primera ecuación se puede resolver fácilmente utilizando los métodos descritos en este artículo. A primera vista, un cambio menor. y (\displaystyle y) en y 2 (\displaystyle y^(2)) en la segunda ecuación la hace no lineal y se vuelve muy difícil de resolver.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

El primer orden, que tiene la forma estándar $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$, donde $P\left(x\right)$ es una función continua, se llama lineal homogénea. El nombre "lineal" se explica por el hecho de que la función desconocida $y$ y su primera derivada $y"$ están incluidas en la ecuación de forma lineal, es decir, en primer grado. El nombre "homogéneo" proviene del hecho de que hay un cero en el lado derecho de la ecuación.

Esta ecuación diferencial se puede resolver mediante el método de separación de variables. Presentémoslo en la forma estándar del método: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$, donde $f_(1) \left(x\right)=-P\left(x\ derecha)$ y $f_(2)\izquierda(y\derecha)=y$.

Calculemos la integral $I_(1) =\int f_(1) \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $.

Calculemos la integral $I_(2) =\int \frac(dy)(f_(2) \left(y\right)) =\int \frac(dy)(y) =\ln \left|y\right |$ .

Escribamos la solución general en la forma $\ln \left|y\right|+\int P\left(x\right)\cdot dx =\ln \left|C_(1) \right|$, donde $ \ln \left |C_(1) \right|$ es una constante arbitraria, tomada en una forma conveniente para futuras transformaciones.

Realicemos las transformaciones:

\[\ln \left|y\right|-\ln \left|C_(1) \right|=-\int P\left(x\right)\cdot dx ; \ln \frac(\left|y\right|)(\left|C_(1) \right|) =-\int P\left(x\right)\cdot dx .\]

Usando la definición de logaritmo, obtenemos: $\left|y\right|=\left|C_(1) \right|\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ . Esta igualdad, a su vez, es equivalente a la igualdad $y=\pm C_(1) \cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Reemplazando la constante arbitraria $C=\pm C_(1) $, obtenemos la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ps

Habiendo resuelto la ecuación $f_(2) \left(y\right)=y=0$, encontramos soluciones especiales. Mediante una comprobación habitual estamos convencidos de que la función $y=0$ es una solución especial de esta ecuación diferencial.

Sin embargo, se puede obtener la misma solución a partir de la solución general $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $, poniendo $C=0$ en ella.

Entonces el resultado final es: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

El método general para resolver una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden se puede representar como el siguiente algoritmo:

1. Para resolver esta ecuación, primero se debe presentar en la forma estándar del método $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$. Si esto no se logró, entonces esta ecuación diferencial debe resolverse mediante un método diferente.
2. Calculamos la integral $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $.
3. Escribimos la solución general en la forma $y=C\cdot e^(-I) $ y, si es necesario, realizamos transformaciones simplificadoras.

Problema 1

Encuentra la solución general de la ecuación diferencial $y"+3\cdot x^(2) \cdot y=0$.

Tenemos una ecuación lineal homogénea de primer orden en forma estándar, para la cual $P\left(x\right)=3\cdot x^(2) $.

Calculamos la integral $I=\int 3\cdot x^(2) \cdot dx =x^(3) $.

La solución general tiene la forma: $y=C\cdot e^(-x^(3) ) $.

Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de primer orden.

Definición

Una ecuación diferencial de primer orden que se puede representar en la forma estándar $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, donde $P\left(x\right)$ y $ Q\left(x\right)$ - funciones continuas conocidas, se denomina ecuación diferencial lineal no homogénea. El nombre "no homogéneo" se explica por el hecho de que el lado derecho de la ecuación diferencial es distinto de cero.

La solución de una ecuación diferencial lineal compleja no homogénea se puede reducir a la solución de dos ecuaciones diferenciales más simples. Para hacer esto, la función requerida $y$ debe ser reemplazada por el producto de dos funciones auxiliares $u$ y $v$, es decir, poner $y=u\cdot v$.

Diferenciamos el reemplazo aceptado: $\frac(dy)(dx) =\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) $. Sustituimos la expresión resultante en esta ecuación diferencial: $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot u\cdot v= Q\ left(x\right)$ o $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \left[\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v\ derecha] =Q\izquierda(x\derecha)$.

Tenga en cuenta que si se acepta $y=u\cdot v$, entonces una de las funciones auxiliares se puede elegir arbitrariamente como parte del producto $u\cdot v$. Elijamos la función auxiliar $v$ para que la expresión entre corchetes se convierta en cero. Para hacer esto, basta con resolver la ecuación diferencial $\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v=0$ para la función $v$ y elegir la solución particular más simple para ella. $v=v\left(x \right)$, distinto de cero. Esta ecuación diferencial es lineal homogénea y se resuelve mediante el método discutido anteriormente.

Sustituimos la solución resultante $v=v\left(x\right)$ en esta ecuación diferencial, teniendo en cuenta que ahora la expresión entre corchetes es igual a cero, y obtenemos otra ecuación diferencial, pero ahora con respecto a la función auxiliar $u$: $\ frac(du)(dx) \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. Esta ecuación diferencial se puede representar como $\frac(du)(dx) =\frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) $, después de lo cual resulta obvio que permite integración. Para esta ecuación diferencial es necesario encontrar una solución general en la forma $u=u\left(x,\; C\right)$.

Ahora podemos encontrar la solución general a esta ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden en la forma $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.

El método general para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden se puede representar como el siguiente algoritmo:

1. Para resolver esta ecuación, primero se debe representar en la forma estándar del método $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$. Si esto no se logró, entonces esta ecuación diferencial debe resolverse mediante otro método.
2. Calculamos la integral $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx $, escribimos una solución particular en la forma $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $, ejecuta transformaciones simplificadoras y elige la opción distinta de cero más simple para $v\left(x\right)$.
3. Calculamos la integral $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $, después de lo cual escribimos la expresión en la forma $u \izquierda(x, C\derecha)=I_(2) +C$.
4. Escribimos la solución general de esta ecuación diferencial lineal no homogénea en la forma $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ y, si es necesario, realizamos transformaciones simplificadoras.

Problema 2

Encuentra la solución general de la ecuación diferencial $y"-\frac(y)(x) =3\cdot x$.

Tenemos una ecuación lineal no homogénea de primer orden en forma estándar, para la cual $P\left(x\right)=-\frac(1)(x) $ y $Q\left(x\right)=3\cdot x ps

Calculamos la integral $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac(1)(x) \cdot dx=-\ln \left|x\right| ps

Escribimos una solución particular en la forma $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ y realizamos transformaciones simplificadoras: $v\left(x\right)=e^(\ln \left |x\ derecha|) $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\izquierda(x\derecha)=\izquierda|x\derecha|$. Para $v\left(x\right)$ elegimos la opción distinta de cero más simple: $v\left(x\right)=x$.

Calculamos la integral $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx =\int \frac(3\cdot x)(x ) \ cdot dx=3\cdot x $.

Escribimos la expresión $u\left(x,C\right)=I_(2) +C=3\cdot x+C$.

Finalmente escribimos la solución general de esta ecuación diferencial lineal no homogénea en la forma $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, es decir, $y=\left( 3\cdot x+C \right)\cdot x$.

Creo que deberíamos empezar con la historia de una herramienta matemática tan gloriosa como las ecuaciones diferenciales. Como todo cálculo diferencial e integral, estas ecuaciones fueron inventadas por Newton a finales del siglo XVII. Consideró tan importante este descubrimiento suyo que incluso cifró un mensaje que hoy se puede traducir así: "Todas las leyes de la naturaleza se describen mediante ecuaciones diferenciales". Esto puede parecer una exageración, pero es cierto. Cualquier ley de la física, la química o la biología puede describirse mediante estas ecuaciones.

Los matemáticos Euler y Lagrange hicieron una gran contribución al desarrollo y creación de la teoría de las ecuaciones diferenciales. Ya en el siglo XVIII descubrieron y desarrollaron lo que ahora estudian en los cursos universitarios superiores.

Un nuevo hito en el estudio de las ecuaciones diferenciales comenzó gracias a Henri Poincaré. Creó la "teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales", que, combinada con la teoría de funciones de una variable compleja, hizo una contribución significativa a la base de la topología, la ciencia del espacio y sus propiedades.

¿Qué son las ecuaciones diferenciales?

Mucha gente teme una sola frase, sin embargo, en este artículo describiremos en detalle toda la esencia de este útil aparato matemático, que en realidad no es tan complicado como parece por su nombre. Para comenzar a hablar sobre ecuaciones diferenciales de primer orden, primero debes familiarizarte con los conceptos básicos que están inherentemente asociados con esta definición. Y empezaremos por el diferencial.

Diferencial

Mucha gente conoce este concepto desde la escuela. Sin embargo, veámoslo más de cerca. Imagina la gráfica de una función. Podemos aumentarlo hasta tal punto que cualquier segmento del mismo tome la forma de una línea recta. Tomemos dos puntos que están infinitamente cerca uno del otro. La diferencia entre sus coordenadas (x o y) será infinitesimal. Se llama diferencial y se denota con los signos dy (diferencial de y) y dx (diferencial de x). Es muy importante entender que el diferencial no es una cantidad finita, y ese es su significado y función principal.

Ahora debemos considerar el siguiente elemento, que nos será útil para explicar el concepto de ecuación diferencial. Este es un derivado.

Derivado

Probablemente todos hayamos escuchado este concepto en la escuela. Se dice que la derivada es la velocidad a la que una función aumenta o disminuye. Sin embargo, a partir de esta definición muchas cosas quedan confusas. Intentemos explicar la derivada mediante diferenciales. Volvamos a un segmento infinitesimal de una función con dos puntos que están a una distancia mínima entre sí. Pero incluso a esta distancia la función logra cambiar en cierta medida. Y para describir este cambio se les ocurrió una derivada, que de otro modo puede escribirse como una relación de diferenciales: f(x)"=df/dx.

Ahora vale la pena considerar las propiedades básicas de la derivada. Sólo hay tres de ellos:

1. La derivada de una suma o diferencia se puede representar como una suma o diferencia de derivadas: (a+b)"=a"+b" y (a-b)"=a"-b".
2. La segunda propiedad está relacionada con la multiplicación. La derivada de un producto es la suma de los productos de una función y la derivada de otra: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. La derivada de la diferencia se puede escribir como la siguiente igualdad: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Todas estas propiedades nos serán útiles para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales de primer orden.

También hay derivadas parciales. Digamos que tenemos una función z que depende de las variables xey. Para calcular la derivada parcial de esta función, digamos, con respecto a x, necesitamos tomar la variable y como constante y simplemente derivarla.

Integral

Otro concepto importante es el integral. De hecho, esto es exactamente lo opuesto a una derivada. Hay varios tipos de integrales, pero para resolver las ecuaciones diferenciales más simples necesitamos las más triviales.

Entonces, digamos que tenemos cierta dependencia de f con respecto a x. Tomamos la integral y obtenemos la función F(x) (a menudo llamada antiderivada), cuya derivada es igual a la función original. Por tanto, F(x)"=f(x). También se deduce que la integral de la derivada es igual a la función original.

A la hora de resolver ecuaciones diferenciales es muy importante entender el significado y función de la integral, ya que tendrás que tomarlas muy a menudo para encontrar la solución.

Las ecuaciones varían según su naturaleza. En la siguiente sección, veremos los tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y luego aprenderemos cómo resolverlas.

Clases de ecuaciones diferenciales.

Los "diffurs" se dividen según el orden de los derivados involucrados en ellos. Así, hay orden primero, segundo, tercero y más. También se pueden dividir en varias clases: derivadas ordinarias y parciales.

En este artículo veremos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. También discutiremos ejemplos y formas de resolverlos en las siguientes secciones. Consideraremos sólo las EDO, porque son los tipos de ecuaciones más comunes. Los ordinarios se dividen en subespecies: con variables separables, homogéneas y heterogéneas. A continuación, aprenderá en qué se diferencian entre sí y aprenderá a resolverlos.

Además, estas ecuaciones se pueden combinar de modo que terminemos con un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. También consideraremos dichos sistemas y aprenderemos cómo resolverlos.

¿Por qué solo consideramos el primer orden? Porque es necesario comenzar con algo simple y describir todo lo relacionado con las ecuaciones diferenciales en un solo artículo es simplemente imposible.

Ecuaciones separables

Estas son quizás las ecuaciones diferenciales de primer orden más simples. Estos incluyen ejemplos que se pueden escribir de la siguiente manera: y"=f(x)*f(y). Para resolver esta ecuación, necesitamos una fórmula para representar la derivada como una razón de diferenciales: y"=dy/dx. Usándolo obtenemos la siguiente ecuación: dy/dx=f(x)*f(y). Ahora podemos pasar al método de resolución de ejemplos estándar: dividiremos las variables en partes, es decir, moveremos todo con la variable y a la parte donde se encuentra dy, y haremos lo mismo con la variable x. Obtenemos una ecuación de la forma: dy/f(y)=f(x)dx, que se resuelve tomando integrales de ambos lados. No te olvides de la constante que se debe establecer después de tomar la integral.

La solución a cualquier “diferencia” es función de la dependencia de x respecto de y (en nuestro caso) o, si está presente una condición numérica, entonces la respuesta en forma de número. Veamos todo el proceso de solución usando un ejemplo específico:

Movamos las variables en diferentes direcciones:

Ahora tomemos las integrales. Todos ellos se pueden encontrar en una tabla especial de integrales. Y obtenemos:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Si es necesario, podemos expresar "y" en función de "x". Ahora podemos decir que nuestra ecuación diferencial se resuelve si no se especifica la condición. Se puede especificar una condición, por ejemplo, y(n/2)=e. Luego simplemente sustituimos los valores de estas variables en la solución y encontramos el valor de la constante. En nuestro ejemplo es 1.

Ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden.

Ahora pasemos a la parte más difícil. Las ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden se pueden escribir en forma general de la siguiente manera: y"=z(x,y). Cabe señalar que la función de la derecha de dos variables es homogénea y no se puede dividir en dos dependencias. : z sobre x y z sobre y. Comprobar si la ecuación es homogénea o no es bastante sencillo: hacemos la sustitución x=k*x e y=k*y. Ahora cancelamos todas las k. Si se cancelan todas estas letras , entonces la ecuación es homogénea y puedes comenzar a resolverla con seguridad. De cara al futuro, digamos: el principio para resolver estos ejemplos también es muy simple.

Necesitamos hacer un reemplazo: y=t(x)*x, donde t es una función determinada que también depende de x. Entonces podemos expresar la derivada: y"=t"(x)*x+t. Sustituyendo todo esto en nuestra ecuación original y simplificándola, obtenemos un ejemplo con variables separables t y x. Lo resolvemos y obtenemos la dependencia t(x). Cuando lo recibimos, simplemente sustituimos y=t(x)*x en nuestro reemplazo anterior. Entonces obtenemos la dependencia de y de x.

Para que quede más claro, veamos un ejemplo: x*y"=y-x*e y/x .

Al comprobar con recambio todo se reduce. Esto significa que la ecuación es verdaderamente homogénea. Ahora hacemos otro reemplazo del que hablamos: y=t(x)*x y y"=t"(x)*x+t(x). Después de la simplificación, obtenemos la siguiente ecuación: t"(x)*x=-e t. Resolvemos el ejemplo resultante con variables separadas y obtenemos: e -t =ln(C*x). Lo único que tenemos que hacer es reemplazar t con y/x (después de todo, si y =t*x, entonces t=y/x), y obtenemos la respuesta: e -y/x =ln(x*C).

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Es hora de examinar otro tema amplio. Analizaremos ecuaciones diferenciales no homogéneas de primer orden. ¿En qué se diferencian de los dos anteriores? Vamos a resolverlo. Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en forma general se pueden escribir de la siguiente manera: y" + g(x)*y=z(x). Vale aclarar que z(x) y g(x) pueden ser cantidades constantes.

Y ahora un ejemplo: y" - y*x=x 2 .

Hay dos soluciones y las veremos en orden. El primero es el método de variar constantes arbitrarias.

Para resolver la ecuación de esta manera, primero debes igualar el lado derecho a cero y resolver la ecuación resultante, que, después de transferir las partes, tomará la forma:

ln|y|=x2/2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Ahora necesitamos reemplazar la constante C 1 con la función v(x), que tenemos que encontrar.

Reemplacemos la derivada:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Y sustituye estas expresiones en la ecuación original:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Puedes ver que en el lado izquierdo se cancelan dos términos. Si en algún ejemplo esto no sucedió, entonces algo hiciste mal. Continuemos:

v"*e x2/2 = x 2 .

Ahora resolvemos la ecuación habitual en la que necesitamos separar las variables:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Para extraer la integral, aquí tendremos que aplicar la integración por partes. Sin embargo, este no es el tema de nuestro artículo. Si está interesado, puede aprender a realizar este tipo de acciones usted mismo. No es difícil, y con suficiente habilidad y cuidado no lleva mucho tiempo.

Pasemos al segundo método para resolver ecuaciones no homogéneas: el método de Bernoulli. Depende de usted decidir qué enfoque es más rápido y más fácil.

Entonces, al resolver una ecuación usando este método, necesitamos hacer una sustitución: y=k*n. Aquí k y n son algunas funciones dependientes de x. Entonces la derivada se verá así: y"=k"*n+k*n". Sustituimos ambos reemplazos en la ecuación:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Agrupamiento:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Ahora necesitamos igualar a cero lo que está entre paréntesis. Ahora, si combinamos las dos ecuaciones resultantes, obtenemos un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden que debe resolverse:

Resolvemos la primera igualdad como una ecuación ordinaria. Para hacer esto necesitas separar las variables:

Tomamos la integral y obtenemos: ln(n)=x 2 /2. Entonces, si expresamos n:

Ahora sustituimos la igualdad resultante en la segunda ecuación del sistema:

k"*e x2/2 =x 2 .

Y transformando obtenemos la misma igualdad que en el primer método:

dk=x 2 /e x2/2 .

Tampoco discutiremos otras acciones. Vale la pena decir que al principio la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden plantea importantes dificultades. Sin embargo, a medida que profundizas en el tema, empieza a funcionar cada vez mejor.

¿Dónde se utilizan las ecuaciones diferenciales?

Las ecuaciones diferenciales se utilizan de forma muy activa en física, ya que casi todas las leyes básicas están escritas en forma diferencial y las fórmulas que vemos son soluciones a estas ecuaciones. En química se utilizan por la misma razón: con su ayuda se derivan leyes fundamentales. En biología, las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar el comportamiento de sistemas, como el depredador y la presa. También se pueden utilizar para crear modelos de reproducción de, por ejemplo, una colonia de microorganismos.

¿Cómo pueden ayudarte las ecuaciones diferenciales en la vida?

La respuesta a esta pregunta es sencilla: en absoluto. Si no es científico o ingeniero, es poco probable que le resulten útiles. Sin embargo, para el desarrollo general no estará de más saber qué es una ecuación diferencial y cómo se resuelve. Y entonces la pregunta del hijo o hija es “¿qué es una ecuación diferencial?” No te confundirá. Bueno, si eres científico o ingeniero, entonces comprenderás la importancia de este tema en cualquier ciencia. Pero lo más importante es que ahora la pregunta “¿cómo resolver una ecuación diferencial de primer orden?” siempre puedes dar una respuesta. De acuerdo, siempre es agradable entender algo que la gente incluso tiene miedo de entender.

Principales problemas al estudiar.

El principal problema para comprender este tema es la escasa habilidad para integrar y diferenciar funciones. Si no eres bueno en derivadas e integrales, probablemente valga la pena estudiar más, dominar diferentes métodos de integración y diferenciación, y solo entonces comenzar a estudiar el material que se describe en el artículo.

Algunas personas se sorprenden al saber que dx se puede trasladar, porque anteriormente (en la escuela) se decía que la fracción dy/dx es indivisible. Aquí es necesario leer la literatura sobre la derivada y comprender que es una proporción de cantidades infinitesimales que se pueden manipular al resolver ecuaciones.

Mucha gente no se da cuenta inmediatamente de que resolver ecuaciones diferenciales de primer orden suele ser una función o una integral que no se puede resolver, y esta idea errónea les causa muchos problemas.

¿Qué más puedes estudiar para una mejor comprensión?

Es mejor comenzar una mayor inmersión en el mundo del cálculo diferencial con libros de texto especializados, por ejemplo, sobre análisis matemático para estudiantes de especialidades no matemáticas. Luego puedes pasar a literatura más especializada.

Vale la pena decir que, además de las ecuaciones diferenciales, también existen ecuaciones integrales, por lo que siempre tendrás algo por lo que esforzarte y algo que estudiar.

Conclusión

Esperamos que después de leer este artículo tengas una idea de qué son las ecuaciones diferenciales y cómo resolverlas correctamente.

En cualquier caso, las matemáticas nos serán útiles en la vida de alguna manera. Desarrolla la lógica y la atención, sin las cuales cada persona se queda sin manos.

Una ecuación de primer orden de la forma a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) se llama ecuación diferencial lineal. Si b(x) ≡ 0 entonces la ecuación se llama homogénea, en caso contrario - heterogéneo. Para una ecuación diferencial lineal, el teorema de existencia y unicidad tiene una forma más específica.

Objeto del servicio. Se puede utilizar una calculadora en línea para comprobar la solución. ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas de la forma y"+y=b(x) .

=

Usar sustitución de variables y=u*v
Utilice el método de variación de una constante arbitraria.
Encuentre una solución particular para y( ) = .

Para obtener una solución, la expresión original debe reducirse a la forma: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x). Por ejemplo, para y"-exp(x)=2*y será y"-2 *y=exp(x) .

Teorema. Sean a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) continuas en el intervalo [α,β], a 1 ≠0 para ∀x∈[α,β]. Entonces, para cualquier punto (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β], existe una solución única a la ecuación que satisface la condición y(x 0) = y 0 y está definida en todo el intervalo [α ,β].
Considere la ecuación diferencial lineal homogénea a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0.
Separando las variables obtenemos , o integrando ambos lados, La última relación, teniendo en cuenta la notación exp(x) = e x , se escribe en la forma

Intentemos ahora encontrar una solución a la ecuación en la forma indicada, en la que en lugar de la constante C se sustituye la función C(x), es decir, en la forma

Sustituyendo esta solución por la original, después de las transformaciones necesarias obtenemos Integrando este último tenemos

donde C 1 es una nueva constante. Sustituyendo la expresión resultante por C(x), finalmente obtenemos la solución a la ecuación lineal original.
.

Ejemplo. Resuelva la ecuación y" + 2y = 4x. Considere la ecuación homogénea correspondiente y" + 2y = 0. Resolviendolo, obtenemos y = Ce -2 x. Ahora estamos buscando una solución a la ecuación original en la forma y = C(x)e -2 x. Sustituyendo y e y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x en la ecuación original, tenemos C"(x) = 4xe 2 x, de donde C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 y y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x es la solución general de la ecuación original. esta solución y 1 ( x) = 2x-1 - movimiento del objeto bajo la influencia de la fuerza b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - movimiento propio del objeto.

Ejemplo No. 2. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial de primer orden y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
Esta no es una ecuación homogénea. Hagamos un cambio de variables: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x o u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
La solución consta de dos etapas:
1. u(3v tan(3x)+v") = 0
2. u"v = 2cos(3x)/sen 2 2x
1. Equivale u=0, encuentre una solución para 3v tan(3x)+v" = 0
Presentémoslo en la forma: v" = -3v tg(3x)

Integrando obtenemos:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Conociendo v, encuentre u a partir de la condición: u"v = 2cos(3x)/sen 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sen 2 2x
u" = 2/sen 2 2x
Integrando obtenemos:
De la condición y=u v, obtenemos:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) o y = C cos(3x)-cos(2x) cot(3x)

Institución educativa "Estado bielorruso

Academia Agrícola"

Departamento de Matemáticas Superiores

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Apuntes de conferencias para estudiantes de contabilidad.

forma de educación por correspondencia (NISPO)

Gorki, 2013

Ecuaciones diferenciales de primer orden

El concepto de ecuación diferencial. Soluciones generales y particulares.

Al estudiar diversos fenómenos, a menudo no es posible encontrar una ley que conecte directamente la variable independiente y la función deseada, pero sí es posible establecer una conexión entre la función deseada y sus derivadas.

La relación que conecta la variable independiente, la función deseada y sus derivadas se llama ecuación diferencial :

Aquí X- variable independiente, y– la función requerida,
- derivadas de la función deseada. En este caso, la relación (1) debe tener al menos una derivada.

El orden de la ecuación diferencial. se llama orden de la derivada más alta incluida en la ecuación.

Considere la ecuación diferencial

. (2)

Como esta ecuación incluye sólo una derivada de primer orden, se llama es una ecuación diferencial de primer orden.

Si la ecuación (2) se puede resolver con respecto a la derivada y escribirse en la forma

, (3)

entonces dicha ecuación se denomina ecuación diferencial de primer orden en forma normal.

En muchos casos es aconsejable considerar una ecuación de la forma

Lo que es llamado una ecuación diferencial de primer orden escrita en forma diferencial.

Porque
, entonces la ecuación (3) se puede escribir en la forma
o
, donde podemos contar
Y
. Esto significa que la ecuación (3) se convierte en la ecuación (4).

Escribamos la ecuación (4) en la forma
. Entonces
,
,
, donde podemos contar
, es decir. Se obtiene una ecuación de la forma (3). Por tanto, las ecuaciones (3) y (4) son equivalentes.

Resolver una ecuación diferencial (2) o (3) se llama cualquier función
, que al sustituirlo en la ecuación (2) o (3), lo convierte en una identidad:

o
.

El proceso de encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial se llama integración y la gráfica de solución
la ecuación diferencial se llama curva integral esta ecuación.

Si la solución de la ecuación diferencial se obtiene en forma implícita
, entonces se llama integral de esta ecuación diferencial.

solución general de una ecuación diferencial de primer orden es una familia de funciones de la forma
, dependiendo de una constante arbitraria CON, cada uno de los cuales es una solución a una ecuación diferencial dada para cualquier valor admisible de una constante arbitraria CON. Por tanto, la ecuación diferencial tiene un número infinito de soluciones.

decisión privada La ecuación diferencial es una solución obtenida a partir de la fórmula de solución general para un valor específico de una constante arbitraria. CON, incluido
.

El problema de Cauchy y su interpretación geométrica.

La ecuación (2) tiene un número infinito de soluciones. Para seleccionar una solución de este conjunto, que se denomina privada, es necesario establecer algunas condiciones adicionales.

El problema de encontrar una solución particular a la ecuación (2) en determinadas condiciones se llama problema de cauchy . Este problema es uno de los más importantes en la teoría de ecuaciones diferenciales.

El problema de Cauchy se formula de la siguiente manera: entre todas las soluciones de la ecuación (2) encuentre tal solución
, en el que la función
toma el valor numérico dado , si la variable independiente X toma el valor numérico dado , es decir.

,
, (5)

Dónde D– dominio de definición de la función
.

Significado llamado el valor inicial de la función , A – valor inicial de la variable independiente . La condición (5) se llama condición inicial o condición de cauchy .

Desde un punto de vista geométrico, el problema de Cauchy para la ecuación diferencial (2) se puede formular de la siguiente manera: del conjunto de curvas integrales de la ecuación (2), seleccione la que pasa por un punto dado
.

Ecuaciones diferenciales con variables separables

Uno de los tipos más simples de ecuaciones diferenciales es una ecuación diferencial de primer orden que no contiene la función deseada:

. (6)

Teniendo en cuenta que
, escribimos la ecuación en la forma
o
. Integrando ambos lados de la última ecuación, obtenemos:
o

. (7)

Por tanto, (7) es una solución general de la ecuación (6).

Ejemplo 1 . Encuentra la solución general a la ecuación diferencial.
.

Solución . Escribamos la ecuación en la forma
o
. Integramos ambos lados de la ecuación resultante:
,
. Finalmente lo escribiremos
.

Ejemplo 2 . Encuentra la solución a la ecuación.
dado que
.

Solución . Encontremos una solución general a la ecuación:
,
,
,
. Por condición
,
. Sustituyamos en la solución general:
o
. Sustituimos el valor encontrado de una constante arbitraria en la fórmula de la solución general:
. Esta es una solución particular de la ecuación diferencial que satisface la condición dada.

La ecuacion

(8)

Llamado una ecuación diferencial de primer orden que no contiene una variable independiente . Escribámoslo en la forma
o
. Integramos ambos lados de la última ecuación:
o
- solución general de la ecuación (8).

Ejemplo . Encuentra la solución general de la ecuación.
.

Solución . Escribamos esta ecuación en la forma:
o
. Entonces
,
,
,
. De este modo,
es la solución general de esta ecuación.

Ecuación de la forma

(9)

integra mediante separación de variables. Para hacer esto, escribimos la ecuación en la forma
, y luego usando las operaciones de multiplicación y división lo llevamos a una forma tal que una parte incluye solo la función de X y diferencial dx, y en la segunda parte – la función de en y diferencial dy. Para hacer esto, ambos lados de la ecuación deben multiplicarse por dx y dividir por
. Como resultado obtenemos la ecuación

, (10)

en el que las variables X Y en apartado. Integramos ambos lados de la ecuación (10):
. La relación resultante es la integral general de la ecuación (9).

Ejemplo 3 . Integrar ecuación
.

Solución . Transformemos la ecuación y separemos las variables:
,
. Integramos:
,
o es la integral general de esta ecuación.
.

Sea la ecuación dada en la forma

Esta ecuación se llama ecuación diferencial de primer orden con variables separables en forma simétrica.

Para separar las variables, necesitas dividir ambos lados de la ecuación entre
:

. (12)

La ecuación resultante se llama ecuación diferencial separada . Integramos la ecuación (12):

.(13)

La relación (13) es la integral general de la ecuación diferencial (11).

Ejemplo 4 . Integrar una ecuación diferencial.

Solución . Escribamos la ecuación en la forma

y dividir ambas partes por
,
. La ecuación resultante:
es una ecuación variable separada. Integrémoslo:

,
,

,
. La última igualdad es la integral general de esta ecuación diferencial.

Ejemplo 5 . Encuentra una solución particular a la ecuación diferencial.
, satisfaciendo la condición
.

Solución . Teniendo en cuenta que
, escribimos la ecuación en la forma
o
. Separemos las variables:
. Integramos esta ecuación:
,
,
. La relación resultante es la integral general de esta ecuación. Por condición
. Sustituyémoslo en la integral general y encontramos CON:
,CON=1. Entonces la expresión
es una solución parcial de una ecuación diferencial dada, escrita como integral parcial.

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

La ecuacion

(14)

llamado ecuación diferencial lineal de primer orden . Función desconocida
y su derivada entran en esta ecuación linealmente, y las funciones
Y
continuo.

Si
, entonces la ecuación

(15)

llamado lineal homogéneo . Si
, entonces la ecuación (14) se llama lineal no homogéneo .

Para encontrar una solución a la ecuación (14) se suele utilizar método de sustitución (Bernoulli) , cuya esencia es la siguiente.

Buscaremos una solución a la ecuación (14) en forma de producto de dos funciones.

, (16)

Dónde
Y
- algunas funciones continuas. sustituyamos
y derivado
en la ecuación (14):

Función v seleccionaremos de tal manera que se cumpla la condición
. Entonces
. Por tanto, para encontrar una solución a la ecuación (14), es necesario resolver el sistema de ecuaciones diferenciales

La primera ecuación del sistema es una ecuación lineal homogénea y se puede resolver mediante el método de separación de variables:
,
,
,
,
. Como una función
puedes tomar una de las soluciones parciales de la ecuación homogénea, es decir en CON=1:
. Sustituyamos en la segunda ecuación del sistema:
o
.Entonces
. Por tanto, la solución general de una ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma
.

Ejemplo 6 . Resuelve la ecuación
.

Solución . Buscaremos una solución a la ecuación en la forma.
. Entonces
. Sustituyamos en la ecuación:

o
. Función v elegir de tal manera que se cumpla la igualdad
. Entonces
. Resolvamos la primera de estas ecuaciones utilizando el método de separación de variables:
,
,
,
,. Función v Sustituyamos en la segunda ecuación:
,
,
,
. La solución general de esta ecuación es
.

Preguntas para el autocontrol del conocimiento.

¿Qué es una ecuación diferencial?

¿Cuál es el orden de una ecuación diferencial?

¿Qué ecuación diferencial se llama ecuación diferencial de primer orden?

¿Cómo se escribe una ecuación diferencial de primer orden en forma diferencial?

¿Cuál es la solución de una ecuación diferencial?

¿Qué es una curva integral?

¿Cuál es la solución general de una ecuación diferencial de primer orden?

¿Qué se llama solución parcial de una ecuación diferencial?

¿Cómo se formula el problema de Cauchy para una ecuación diferencial de primer orden?

¿Cuál es la interpretación geométrica del problema de Cauchy?

¿Cómo escribir una ecuación diferencial con variables separables en forma simétrica?

¿Qué ecuación se llama ecuación diferencial lineal de primer orden?

¿Qué método se puede utilizar para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden y cuál es la esencia de este método?

Tareas para el trabajo independiente.

Resolver ecuaciones diferenciales con variables separables:

A)
; b)
;

V)
; GRAMO)
.

2. Resuelva ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:

A)
; b)
; V)
;

GRAMO)
; d)
.