Encuentre la tasa máxima de aumento de la función. Cómo encontrar el gradiente de una función

Degradado funciones es una cantidad vectorial, cuyo hallazgo está asociado con la definición de derivadas parciales de la función. La dirección del gradiente indica el camino del crecimiento más rápido de la función de un punto del campo escalar a otro.

Instrucción

1. Para resolver el problema sobre el gradiente de una función se utilizan métodos de cálculo diferencial, es decir, encontrar derivadas parciales de primer orden en tres variables. Se supone que la función misma y todas sus derivadas parciales tienen la propiedad de continuidad en el dominio de la función.

2. El gradiente es un vector, cuya dirección indica la dirección del aumento más rápido de la función F. Para ello, se seleccionan dos puntos M0 y M1 en el gráfico, que son los extremos del vector. El valor del gradiente es igual a la tasa de aumento de la función desde el punto M0 hasta el punto M1.

3. La función es derivable en todos los puntos de este vector, por tanto, las proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas son todas sus derivadas parciales. Luego, la fórmula del gradiente se ve así: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, donde i, j, k son las coordenadas del vector unitario. En otras palabras, el gradiente de una función es un vector cuyas coordenadas son sus derivadas parciales grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Ejemplo 1. Sea dada la función F = sen (x z?) / y. Se requiere encontrar su gradiente en el punto (?/6, 1/4, 1).

5. Solución Determinar las derivadas parciales con respecto a cualquier variable: F'_x = 1/y cos(x z?) z?, F'_y = sin(x z?) (-1) 1/(y?), F'_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Sustituye las famosas coordenadas del punto: F'_x = 4 cos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z \u003d 4 cos (? / 6) 2? / 6 \u003d 2? /? 3.

7. Aplique la fórmula del gradiente de la función: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Ejemplo 2. Encuentra las coordenadas del gradiente de la función F = y arсtg (z / x) en el punto (1, 2, 1).

9. Solución F'_x \u003d 0 arctg (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-z / x?) \u003d -y z / (x? (1 + (z / x)?)) \u003d -1; 0 arctg(z/x) + y (arctg(z/x))’ _z = y 1/(1 + (z/x)?) 1/x = y/(x (1 + (z/x)?)) = 1.grad = (-1, ?/4, 1).

El gradiente de campo escalar es una cantidad vectorial. Así, para encontrarlo, se requiere determinar todas las componentes del vector correspondiente, con base en el conocimiento sobre la división del campo escalar.

Instrucción

1. Lea en un libro de texto sobre matemáticas superiores qué es el gradiente de un campo escalar. Como sabes, esta cantidad vectorial tiene una dirección caracterizada por la máxima tasa de decaimiento de la función escalar. Tal sentido de una cantidad vectorial dada se justifica mediante una expresión para determinar sus componentes.

2. Recuerda que todo vector está definido por los valores de sus componentes. Los componentes del vector son en realidad proyecciones de este vector sobre uno u otro eje de coordenadas. Así, si se considera el espacio tridimensional, entonces el vector debe tener tres componentes.

3. Escribe cómo se determinan las componentes de un vector que es el gradiente de algún campo. Todas las coordenadas de dicho vector son iguales a la derivada del potencial escalar con respecto a la variable cuya coordenada se está calculando. Es decir, si necesita calcular el componente "x" del vector de gradiente de campo, entonces necesita diferenciar la función escalar con respecto a la variable "x". Tenga en cuenta que la derivada debe ser cociente. Esto quiere decir que a la hora de derivar, el resto de variables que no participan en ella deben considerarse constantes.

4. Escribe una expresión para el campo escalar. Como sabes, este término significa cada una solo una función escalar de varias variables, que también son cantidades escalares. El número de variables de una función escalar está limitado por la dimensión del espacio.

5. Diferenciar por separado la función escalar con respecto a cada variable. Como resultado, tendrá tres nuevas funciones. Escriba cualquier función en la expresión para el vector gradiente del campo escalar. Cualquiera de las funciones obtenidas es realmente un indicador de un vector unitario de una coordenada dada. Por lo tanto, el vector de gradiente final debería verse como un polinomio con exponentes como derivados de una función.

Al considerar cuestiones relacionadas con la representación de un gradiente, es más común pensar en cada uno como un campo escalar. Por lo tanto, necesitamos introducir la notación apropiada.

Necesitará

• - auge;
• - bolígrafo.

Instrucción

1. Sea la función dada por tres argumentos u=f(x, y, z). La derivada parcial de una función, por ejemplo con respecto a x, se define como la derivada con respecto a este argumento, obtenida fijando los argumentos restantes. El resto de los argumentos son similares. La notación de derivada parcial se escribe como: df / dx \u003d u'x ...

2. El diferencial total será igual a du \u003d (df / dx) dx + (df / dy) dy + (df / dz) dz Las derivadas parciales se pueden entender como derivadas en las direcciones de los ejes de coordenadas. En consecuencia, surge la cuestión de encontrar la derivada con respecto a la dirección de un vector dado s en el punto M(x, y, z) (no olvidemos que la dirección s especifica un vector unitario-ort s^o). En este caso, el vector diferencial de argumentos es (dx, dy, dz)=(dscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. Considerando la forma del diferencial total du, es posible concluir que la derivada con respecto a la dirección s en el punto M es: (du/ds)|M=((df/dx)|M)cos(alpha)+ ((df/dy)|M)cos(beta)+((df/dz)|M)cos(gamma). Si s=s(sx,sy,sz), entonces la dirección coseno (cos(alpha),co s(beta), co s (gamma)) se calculan (ver Fig. 1a).

4. La definición de la derivada direccional, considerando el punto M como una variable, se puede reescribir como un producto escalar: (du/ds)=((df/dx, df/dy,df/dz), (cos(alpha), cos(beta), cos(gamma)))=(grad u, s^o). Esta expresión será objetiva para un campo escalar. Si se considera una función sencilla, entonces gradf es un vector cuyas coordenadas coinciden con las derivadas parciales f(x, y, z). Aquí (i, j, k) son los vectores unitarios de los ejes de coordenadas en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares.

5. Si usamos el operador vectorial diferencial de Hamilton Nabla, entonces gradf se puede escribir como la multiplicación de este vector operador por el escalar f (ver Fig. 1b). Desde el punto de vista de la conexión de gradf con la derivada direccional, la igualdad (gradf, s^o)=0 es admisible si estos vectores son ortogonales. En consecuencia, gradf a menudo se define como la dirección de la metamorfosis más rápida de un campo escalar. Y desde el punto de vista de las operaciones diferenciales (gradf es una de ellas), las propiedades de gradf repiten exactamente las propiedades de diferenciación de funciones. En particular, si f=uv, entonces gradf=(vgradu+ugradv).

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Degradado esta es una herramienta que en los editores gráficos llena la silueta con una transición suave de un color a otro. Degradado puede dar a una silueta el resultado de volumen, simular iluminación, reflejos de luz en la superficie de un objeto, o el resultado de una puesta de sol en el fondo de una fotografía. Esta herramienta tiene un amplio uso, por lo tanto, para procesar fotografías o crear ilustraciones, es muy importante aprender a usarla.

Necesitará

• Computadora, editor de gráficos Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net u otros.

Instrucción

1. Abra la imagen en el programa o cree una nueva. Haz una silueta o selecciona el área deseada en la imagen.

2. Active la herramienta Degradado en la barra de herramientas del editor de gráficos. Coloque el cursor del mouse en un punto dentro del área o silueta seleccionada, donde comenzará el primer color del degradado. Haga clic y mantenga presionado el botón izquierdo del mouse. Mueva el cursor al punto donde el degradado debe pasar al color final. Suelte el botón izquierdo del ratón. La silueta seleccionada se rellenará con un relleno degradado.

3. Degradado y es posible establecer la transparencia, los colores y su proporción en un determinado punto de relleno. Para hacer esto, abra la ventana Edición de degradado. Para abrir la ventana de edición en Photoshop, haga clic en el ejemplo de degradado en el panel Opciones.

4. En la ventana que se abre, las opciones de relleno degradado disponibles se muestran como ejemplos. Para editar una de las opciones, selecciónela con un clic del mouse.

5. Un ejemplo de un degradado se muestra en la parte inferior de la ventana en forma de escala amplia con controles deslizantes. Los controles deslizantes indican los puntos en los que el degradado debe tener las intercalaciones especificadas y, en el intervalo entre los controles deslizantes, el color pasa uniformemente del especificado en el primer punto al color del segundo punto.

6. Los controles deslizantes ubicados en la parte superior de la escala establecen la transparencia del degradado. Para cambiar la transparencia, haga clic en el control deslizante deseado. Aparecerá un campo debajo de la escala, en el cual ingrese el grado requerido de transparencia en porcentaje.

7. Los controles deslizantes en la parte inferior de la escala establecen los colores del degradado. Al hacer clic en uno de ellos, podrá preferir el color deseado.

8. Degradado puede tener múltiples colores de transición. Para establecer otro color, haga clic en un espacio vacío en la parte inferior de la escala. Aparecerá otro control deslizante en él. Establezca el color deseado para ello. La escala mostrará un ejemplo de un gradiente con un punto más. Puede mover los controles deslizantes manteniéndolos presionados con el botón izquierdo del mouse para lograr la combinación deseada.

9. Degradado Existen varios tipos que pueden dar forma a siluetas planas. Digamos que para dar a un círculo la forma de una bola, se aplica un degradado radial, y para darle la forma de un cono, se aplica un degradado cónico. Se puede usar un degradado especular para dar a la superficie la ilusión de una protuberancia, y se puede usar un degradado de diamante para crear reflejos.

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Si en cada punto del espacio o parte del espacio se define el valor de una cierta cantidad, entonces se dice que el campo de esta cantidad está dado. El campo se llama escalar si el valor considerado es escalar, es decir bien caracterizada por su valor numérico. Por ejemplo, el campo de temperatura. El campo escalar viene dado por la función escalar del punto u = /(M). Si se introduce un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio, entonces existe una función de tres variables x, yt z - las coordenadas del punto M: Definición. La superficie de nivel de un campo escalar es el conjunto de puntos en los que la función f(M) toma el mismo valor. Ecuación de superficie de nivel Ejemplo 1. Encontrar superficies de nivel de un campo escalar ANÁLISIS VECTORIAL Superficies de nivel de campo escalar y líneas de nivel Derivada direccional Derivada Gradiente de un campo escalar Propiedades básicas de gradiente Invariante Definición de un gradiente Reglas para calcular un gradiente -4 Por definición, una ecuación de superficie de nivel será. Esta es la ecuación de una esfera (con Ф 0) centrada en el origen. Un campo escalar se llama plano si el campo es el mismo en todos los planos paralelos a algún plano. Si el plano especificado se toma como el plano xOy, entonces la función de campo no dependerá de la coordenada z, es decir, será una función de solo los argumentos x e y. Un campo plano se puede caracterizar usando líneas de nivel, un conjunto de puntos del plano en el que la función / (x, y) tiene el mismo valor. Ecuación de línea de nivel - Ejemplo 2. Encuentra líneas de nivel de un campo escalar Las líneas de nivel están dadas por ecuaciones En c = 0 obtenemos un par de líneas, obtenemos una familia de hipérbolas (Fig. 1). 1.1. Derivada direccional Sea un campo escalar definido por una función escalar u = /(Af). Tomemos el punto Afo y elijamos la dirección determinada por el vector I. Tomemos otro punto M para que el vector M0M sea paralelo al vector 1 (Fig. 2). Denotemos la longitud del vector MoM por A/, y el incremento de la función /(Af) - /(Afo), correspondiente al desplazamiento D1, por Di. La relación determina la tasa de cambio promedio del campo escalar por unidad de longitud en la dirección dada. Ahora tienda a cero para que el vector М0М permanezca paralelo al vector I todo el tiempo. Definición. Si para D/O existe un límite finito de la relación (5), entonces se llama derivada de la función en un punto dado Afo a la dirección dada I y se denota por el símbolo zr!^. Entonces, por definición, esta definición no está relacionada con la elección del sistema de coordenadas, es decir, tiene un carácter **variante. Encontremos una expresión para la derivada con respecto a la dirección en el sistema de coordenadas cartesianas. Sea la función / diferenciable en un punto. Considere el valor /(Af) en un punto. Entonces el incremento total de la función se puede escribir de la siguiente forma: donde y los símbolos significan que las derivadas parciales se calculan en el punto Afo. Por lo tanto, aquí las cantidades jfi, ^ son los cosenos directores del vector. Como los vectores MoM e I son codirigidos, sus cosenos directores son los mismos: Desde M Afo, asentándose todo el tiempo sobre una recta paralela al vector 1, los ángulos son constantes, por lo tanto Finalmente, de las igualdades (7) y (8) obtenemos Eamuan y 1. Las derivadas parciales son derivadas de la función y en las direcciones de los ejes coordenados s o-ejemplo 3. Hallar la derivada de la función hacia el punto El vector tiene una longitud. Sus cosenos directores: Por la fórmula (9) tendremos El hecho de que, significa que el campo escalar en un punto en una dirección dada de la edad- Para un campo plano, la derivada en la dirección I en un punto se calcula mediante la fórmula donde a es el ángulo que forma el vector I con el eje Ox. Zmmchmm 2. La fórmula (9) para calcular la derivada a lo largo de la dirección I en un punto Afo dado sigue siendo válida incluso cuando el punto M tiende al punto Mo a lo largo de una curva para la cual el vector I es tangente en el punto PrIShr 4. Calcular la derivada del campo escalar en el punto Afo (l, 1). perteneciente a una parábola en la dirección de esta curva (en la dirección de la abscisa creciente). La dirección ] de una parábola en un punto es la dirección de la tangente a la parábola en ese punto (Fig. 3). Deje que la tangente a la parábola en el punto Afo forme un ángulo o con el eje Ox. Luego, de donde los cosenos directores de una tangente Calculemos los valores y en un punto. Tenemos Ahora por la fórmula (10) obtenemos. Encuentre la derivada del campo escalar en un punto en la dirección del círculo La ecuación vectorial del círculo tiene la forma. Hallamos el vector unitario m de la tangente a la circunferencia, el punto corresponde al valor del parámetro. Gradiente de campo escalar Deje que un campo escalar se defina mediante una función escalar que se supone diferenciable. Definición. El gradiente de un campo escalar » en un punto M dado es un vector denotado por el símbolo grad y definido por la igualdad. Está claro que este vector depende tanto de la función / como del punto M en el que se calcula su derivada. Sea 1 un vector unitario en la dirección Entonces la fórmula para la derivada direccional se puede escribir como sigue: . así, la derivada de la función u según la dirección 1 es igual al producto escalar del gradiente de la función u(M) y el vector unitario 1° de la dirección I. 2.1. Propiedades básicas del gradiente Teorema 1. El gradiente del campo escalar es perpendicular a la superficie del nivel (oa la línea del nivel si el campo es plano). (2) Dibujemos una superficie plana u = const a través de un punto arbitrario M y elijamos una curva suave L en esta superficie que pase por el punto M (Fig. 4). Sea I un vector tangente a la curva L en el punto M. Como en la superficie plana u(M) = u(M|) para cualquier punto Mj ∈ L, entonces, por otro lado, = (gradu, 1°). Es por eso. Esto significa que los vectores grad y y 1° son ortogonales, por lo tanto, el vector grad y es ortogonal a cualquier tangente a la superficie de nivel en el punto M. Por lo tanto, es ortogonal a la superficie de nivel en el punto M. Teorema 2. El gradiente está dirigido en la dirección de la función de campo creciente. Anteriormente demostramos que el gradiente del campo escalar se dirige a lo largo de la normal a la superficie de nivel, que puede orientarse hacia el aumento de la función u(M) o hacia su disminución. Denote por n la normal de la superficie de nivel orientada en la dirección de la función creciente ti(M), y encuentre la derivada de la función u en la dirección de esta normal (Fig. 5). Tenemos Desde según la condición de la Fig. 5 y por lo tanto ANÁLISIS VECTORIAL Campo escalar Superficies y líneas de nivel Derivada en dirección Derivada Gradiente de un campo escalar Propiedades básicas del gradiente Definición invariante del gradiente Reglas para calcular el gradiente Se deduce que grad y está dirigido en la misma dirección que la normal n elegida por nosotros, es decir, en la dirección de la función creciente u(M). Teorema 3. La longitud del gradiente es igual a la mayor derivada con respecto a la dirección en un punto dado del campo, (aquí, max $ se toma en todas las direcciones posibles en un punto dado M al punto). Tenemos donde es el ángulo entre los vectores 1 y grad n. Dado que el valor más grande es Ejemplo 1. Encuentre la dirección del ionión más grande del campo escalar en el punto y también la magnitud de este cambio más grande en el punto especificado. La dirección del mayor cambio en el campo escalar se indica mediante un vector. Tenemos que Este vector determina la dirección del mayor aumento en el campo a un punto. El valor del mayor cambio en el campo en este punto es 2,2. Definición invariante del gradiente Las cantidades que caracterizan las propiedades del objeto en estudio y que no dependen de la elección del sistema de coordenadas se denominan invariantes del objeto dado. Por ejemplo, la longitud de una curva es una invariante de esta curva, pero el ángulo de la tangente a la curva con el eje x no es una invariante. Con base en las tres propiedades anteriores del gradiente de campo escalar, podemos dar la siguiente definición invariante del gradiente. Definición. El gradiente de campo escalar es un vector dirigido a lo largo de la normal a la superficie de nivel en la dirección de la función de campo creciente y que tiene una longitud igual a la derivada direccional más grande (en un punto dado). Sea un vector unitario normal dirigido en la dirección del campo creciente. Luego el Ejemplo 2. Encuentra el gradiente de distancia - algún punto fijo, y M(x,y,z) - el actual. 4 Tenemos donde es el vector dirección unitario. Reglas para calcular el gradiente donde c es un número constante. Las fórmulas anteriores se obtienen directamente de la definición del gradiente y las propiedades de los derivados. Por la regla de diferenciación del producto La prueba es similar a la prueba de la propiedad Sea F(u) una función escalar diferenciable. Entonces 4 Por la definición del gradiente, tenemos Aplicar a todos los términos del lado derecho la regla de diferenciación de una función compleja. En particular, la Fórmula (6) se deriva de la fórmula Ejemplo 3. Encuentre la derivada en la dirección del radio vector r de la función De acuerdo con la fórmula (3) y de acuerdo con la fórmula Como resultado, obtenemos ese Ejemplo 4. Sea dado un campo escalar plano: la distancia desde algún punto del plano a dos puntos fijos de este plano. Considere una elipse arbitraria con focos Fj y F] y demuestre que cualquier rayo de luz que emerge de un foco de la elipse, después de la reflexión de la elipse, entra en su otro foco. Las líneas de nivel de la función (7) son ANÁLISIS VECTORIAL Campo escalar Superficies y líneas de nivel Derivada direccional Derivada Campo escalar gradiente Propiedades básicas del gradiente Definición invariante del gradiente Reglas de cálculo del gradiente Las ecuaciones (8) describen una familia de elipses con focos en los puntos F) y Fj. De acuerdo con el resultado del ejemplo 2, tenemos y vectores de radio. dibujada al punto P(x, y) desde los focos F| y Fj, y por lo tanto se encuentra en la bisectriz del ángulo entre estos radios vectores (Fig. 6). Según Tooromo 1, el gradiente PQ es perpendicular a la elipse (8) en el punto. Por lo tanto, la Fig.6. la normal a la elipse (8) en cualquier punto biseca el ángulo entre los vectores de radio dibujados en este punto. De aquí y del hecho de que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, obtenemos: un rayo de luz que sale de un foco de la elipse, reflejado por él, caerá ciertamente en el otro foco de esta elipse.