Cómo calcular el área de un paralelepípedo. Superficie lateral de diferentes pirámides

Al prepararse para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas, los estudiantes deben sistematizar sus conocimientos de álgebra y geometría. Me gustaría combinar toda la información conocida, por ejemplo, sobre cómo calcular el área de una pirámide. Además, desde la base y los bordes laterales hasta toda la superficie. Si la situación con las caras laterales es clara, ya que son triángulos, entonces la base siempre es diferente.

¿Cómo encontrar el área de la base de la pirámide?

Puede ser absolutamente cualquier figura: desde un triángulo arbitrario hasta un n-gón. Y esta base, además de la diferencia en el número de ángulos, puede ser una figura regular o irregular. En las tareas del Examen Estatal Unificado que interesan a los escolares, solo hay tareas con cifras correctas en la base. Por tanto, hablaremos sólo de ellos.

Triángulo regular

Es decir, equilátero. Aquel en el que todos los lados son iguales y se designan con la letra “a”. En este caso, el área de la base de la pirámide se calcula mediante la fórmula:

S = (a 2 * √3) / 4.

Cuadrado

La fórmula para calcular su área es la más sencilla, aquí “a” es nuevamente el lado:

N-gon regular arbitrario

El lado de un polígono tiene la misma notación. Para el número de ángulos se utiliza la letra latina n.

S = (n*a 2) / (4*tg(180º/n)).

¿Qué hacer al calcular la superficie lateral y total?

Como la base es una figura regular, todas las caras de la pirámide son iguales. Además, cada uno de ellos es un triángulo isósceles, ya que los bordes laterales son iguales. Luego, para calcular el área lateral de la pirámide, necesitarás una fórmula que consista en la suma de monomios idénticos. El número de términos está determinado por el número de lados de la base.

El área de un triángulo isósceles se calcula mediante la fórmula en la que se multiplica la mitad del producto de la base por la altura. Esta altura en la pirámide se llama apotema. Su designación es “A”. La fórmula general para el área de la superficie lateral es:

S = ½ P*A, donde P es el perímetro de la base de la pirámide.

Hay situaciones en las que no se conocen los lados de la base, pero se dan los bordes laterales (c) y el ángulo plano en su vértice (α). Luego necesitas usar la siguiente fórmula para calcular el área lateral de la pirámide:

S = n/2 * en 2 sen α .

Tarea número 1

Condición. Encuentra el área total de la pirámide si su base tiene un lado de 4 cm y la apotema tiene un valor de √3 cm.

Solución. Debes comenzar calculando el perímetro de la base. Como se trata de un triángulo regular, entonces P = 3*4 = 12 cm. Como se conoce la apotema, podemos calcular inmediatamente el área de toda la superficie lateral: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Para el triángulo en la base, obtienes el siguiente valor de área: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Para determinar el área completa, necesitarás sumar los dos valores resultantes: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Respuesta. 10√3cm2.

Problema número 2

Condición. Hay una pirámide cuadrangular regular. La longitud del lado de la base es de 7 mm, el borde lateral es de 16 mm. Es necesario conocer su superficie.

Solución. Como el poliedro es cuadrangular y regular, su base es un cuadrado. Una vez que conozcas el área de la base y las caras laterales, podrás calcular el área de la pirámide. La fórmula para el cuadrado se da arriba. Y para las caras laterales, se conocen todos los lados del triángulo. Por lo tanto, puedes utilizar la fórmula de Heron para calcular sus áreas.

Los primeros cálculos son sencillos y conducen a la siguiente cifra: 49 mm 2. Para el segundo valor, necesitarás calcular el semiperímetro: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Ahora puedes calcular el área de un triángulo isósceles: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Solo hay cuatro de estos triángulos, por lo que al calcular el número final deberás multiplicarlo por 4.

Resulta: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Respuesta. El valor deseado es 267,576 mm 2.

Problema número 3

Condición. Para una pirámide cuadrangular regular, necesitas calcular el área. Se sabe que el lado del cuadrado mide 6 cm y la altura es 4 cm.

Solución. La forma más sencilla es utilizar la fórmula con el producto del perímetro y la apotema. El primer valor es fácil de encontrar. El segundo es un poco más complicado.

Tendremos que recordar el teorema de Pitágoras y considerar que está formado por la altura de la pirámide y la apotema, que es la hipotenusa. El segundo cateto es igual a la mitad del lado del cuadrado, ya que la altura del poliedro cae en el medio.

La apotema requerida (hipotenusa de un triángulo rectángulo) es igual a √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Ahora puedes calcular el valor requerido: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Respuesta. 96cm2.

Problema número 4

Condición. Se da el lado correcto. Los lados de su base son de 22 mm, los bordes laterales son de 61 mm. ¿Cuál es el área de la superficie lateral de este poliedro?

Solución. El razonamiento que contiene es el mismo que el descrito en la tarea número 2. Sólo que allí se le dio una pirámide con un cuadrado en la base, y ahora es un hexágono.

En primer lugar, el área de la base se calcula usando la fórmula anterior: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Ahora necesitas encontrar el semiperímetro de un triángulo isósceles, que es la cara lateral. (22+61*2):2 = 72 cm. Todo lo que queda es usar la fórmula de Heron para calcular el área de cada uno de esos triángulos, luego multiplicarlo por seis y sumarlo al obtenido para la base.

Cálculos usando la fórmula de Heron: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Cálculos que darán la superficie lateral: 660 * 6 = 3960 cm 2. Queda por sumarlos para saber la superficie completa: 5217,47≈5217 cm 2.

Respuesta. La base mide 726√3 cm2, la superficie lateral es 3960 cm2 y el área total es 5217 cm2.

Un cilindro es una figura formada por una superficie cilíndrica y dos círculos ubicados en paralelo. Calcular el área de un cilindro es un problema de la rama geométrica de las matemáticas, que se puede resolver de forma bastante sencilla. Existen varios métodos para solucionarlo, que al final siempre se reducen a una fórmula.

Cómo encontrar el área de un cilindro - reglas de cálculo

• Para saber el área del cilindro, es necesario sumar las dos áreas de la base con el área de la superficie lateral: S = Slado + 2Sbase. En una versión más detallada, esta fórmula se ve así: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• El área de la superficie lateral de un cuerpo geométrico dado se puede calcular si se conocen su altura y el radio del círculo que se encuentra en su base. En este caso, puedes expresar el radio a partir de la circunferencia, si se da. La altura se puede encontrar si el valor del generador se especifica en la condición. En este caso, la generatriz será igual a la altura. La fórmula para la superficie lateral de este cuerpo se ve así: S= 2 π rh.
• El área de la base se calcula usando la fórmula para encontrar el área de un círculo: S osn= π r 2 . En algunos problemas, es posible que no se dé el radio, pero sí la circunferencia. Con esta fórmula, el radio se expresa con bastante facilidad. С=2π r, r= С/2π. También debes recordar que el radio es la mitad del diámetro.
• Al realizar todos estos cálculos, el número π generalmente no se traduce a 3,14159... Simplemente debe sumarse al lado del valor numérico que se obtuvo como resultado de los cálculos.
• A continuación, solo necesita multiplicar el área encontrada de la base por 2 y agregar al número resultante el área calculada de la superficie lateral de la figura.
• Si el problema indica que el cilindro tiene una sección axial y que es un rectángulo, entonces la solución será ligeramente diferente. En este caso, el ancho del rectángulo será el diámetro del círculo que se encuentra en la base del cuerpo. El largo de la figura será igual a la generatriz o altura del cilindro. Es necesario calcular los valores requeridos y sustituirlos en la fórmula ya conocida. En este caso, se debe dividir el ancho del rectángulo por dos para encontrar el área de la base. Para encontrar la superficie lateral, la longitud se multiplica por dos radios y el número π.
• Puedes calcular el área de un cuerpo geométrico determinado a través de su volumen. Para hacer esto, necesita derivar el valor faltante de la fórmula V=π r 2 h.
• No hay nada complicado en calcular el área de un cilindro. Sólo necesitas conocer las fórmulas y poder derivar de ellas las cantidades necesarias para realizar los cálculos.

Área de superficie de la pirámide. En este artículo veremos los problemas con las pirámides regulares. Permítanme recordarles que una pirámide regular es una pirámide cuya base es un polígono regular, la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de este polígono.

La cara lateral de dicha pirámide es un triángulo isósceles.La altura de este triángulo dibujado desde el vértice de una pirámide regular se llama apotema, SF - apotema:

En el tipo de problema que se presenta a continuación, necesitas encontrar el área de la superficie de toda la pirámide o el área de su superficie lateral. El blog ya ha discutido varios problemas con pirámides regulares, donde la pregunta era cómo encontrar los elementos (altura, borde de la base, borde lateral).

Las tareas del Examen Estatal Unificado generalmente examinan pirámides regulares triangulares, cuadrangulares y hexagonales. No he visto ningún problema con las pirámides pentagonales y heptagonales regulares.

La fórmula para el área de toda la superficie es simple: debes encontrar la suma del área de la base de la pirámide y el área de su superficie lateral:

Consideremos las tareas:

Los lados de la base de una pirámide cuadrangular regular son 72, los bordes laterales son 164. Encuentra el área de superficie de esta pirámide.

El área superficial de la pirámide es igual a la suma de las áreas de la superficie lateral y la base:

*La superficie lateral consta de cuatro triángulos de igual área. La base de la pirámide es un cuadrado.

Podemos calcular el área del lado de la pirámide usando:

Así, el área de superficie de la pirámide es:

Respuesta: 28224

Los lados de la base de una pirámide hexagonal regular son iguales a 22, los bordes laterales son iguales a 61. Encuentra el área de la superficie lateral de esta pirámide.

La base de una pirámide hexagonal regular es un hexágono regular.

El área de la superficie lateral de esta pirámide consta de seis áreas de triángulos iguales de lados 61,61 y 22:

Encontremos el área del triángulo usando la fórmula de Heron:

Por tanto, el área de la superficie lateral es:

Respuesta: 3240

*En los problemas presentados anteriormente, el área de la cara lateral se podría encontrar usando otra fórmula de triángulo, pero para ello es necesario calcular la apotema.

27155. Calcula el área de superficie de una pirámide cuadrangular regular cuyos lados de base son 6 y cuya altura es 4.

Para encontrar el área de la superficie de la pirámide, necesitamos saber el área de la base y el área de la superficie lateral:

El área de la base es 36 ya que es un cuadrado de lado 6.

La superficie lateral consta de cuatro caras, que son triángulos iguales. Para encontrar el área de dicho triángulo, necesitas saber su base y altura (apotema):

*El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base por la altura trazada a esta base.

La base es conocida, es igual a seis. Encontremos la altura. Considere un triángulo rectángulo (resaltado en amarillo):

Un cateto es igual a 4, ya que esta es la altura de la pirámide, el otro es igual a 3, ya que es igual a la mitad del borde de la base. Podemos encontrar la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras:

Esto significa que el área de la superficie lateral de la pirámide es:

Así, la superficie de toda la pirámide es:

Respuesta: 96

27069. Los lados de la base de una pirámide cuadrangular regular son iguales a 10, los bordes laterales son iguales a 13. Encuentra el área de la superficie de esta pirámide.

27070. Los lados de la base de una pirámide hexagonal regular son iguales a 10, los bordes laterales son iguales a 13. Encuentra el área de la superficie lateral de esta pirámide.

También existen fórmulas para el área de la superficie lateral de una pirámide regular. En una pirámide regular, la base es una proyección ortogonal de la superficie lateral, por tanto:

PAG- perímetro de la base, yo- apotema de la pirámide

*Esta fórmula se basa en la fórmula del área de un triángulo.

Si quieres conocer más sobre cómo se derivan estas fórmulas, no te lo pierdas, sigue la publicación de artículos.Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!

Atentamente, Alexander Krutitskikh.

P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.

Un cilindro es un cuerpo geométrico delimitado por dos planos paralelos y una superficie cilíndrica. En el artículo hablaremos de cómo encontrar el área de un cilindro y, utilizando la fórmula, resolveremos varios problemas a modo de ejemplo.

Un cilindro tiene tres superficies: una superior, una base y una superficie lateral.

La parte superior y la base de un cilindro son círculos y son fáciles de identificar.

Se sabe que el área de un círculo es igual a πr 2. Por tanto, la fórmula para el área de dos círculos (la parte superior y la base del cilindro) será πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

La tercera superficie lateral del cilindro es la pared curva del cilindro. Para imaginar mejor esta superficie, intentemos transformarla para obtener una forma reconocible. Imagine que el cilindro es una lata común y corriente que no tiene tapa superior ni inferior. Hagamos un corte vertical en la pared lateral de arriba a abajo de la lata (Paso 1 en la figura) e intentemos abrir (enderezar) la figura resultante tanto como sea posible (Paso 2).

Una vez que el frasco resultante esté completamente abierto, veremos una figura familiar (Paso 3), este es un rectángulo. El área de un rectángulo es fácil de calcular. Pero antes de eso, volvamos por un momento al cilindro original. El vértice del cilindro original es un círculo, y sabemos que la circunferencia se calcula mediante la fórmula: L = 2πr. Está marcado en rojo en la figura.

Cuando la pared lateral del cilindro está completamente abierta, vemos que la circunferencia se convierte en la longitud del rectángulo resultante. Los lados de este rectángulo serán la circunferencia (L = 2πr) y la altura del cilindro (h). El área de un rectángulo es igual al producto de sus lados - S = largo x ancho = L x h = 2πr x h = 2πrh. Como resultado, obtuvimos una fórmula para calcular el área de la superficie lateral del cilindro.

Fórmula para el área de la superficie lateral de un cilindro.
lado S = 2πrh

Superficie total de un cilindro

Finalmente, si sumamos el área de las tres superficies, obtenemos la fórmula para el área de superficie total de un cilindro. El área de superficie de un cilindro es igual al área de la parte superior del cilindro + el área de la base del cilindro + el área de la superficie lateral del cilindro o S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. A veces esta expresión se escribe idéntica a la fórmula 2πr (r + h).

Fórmula para la superficie total de un cilindro
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – radio del cilindro, h – altura del cilindro

Ejemplos de cálculo de la superficie de un cilindro.

Para comprender las fórmulas anteriores, intentemos calcular el área de superficie de un cilindro usando ejemplos.

1. El radio de la base del cilindro es 2, la altura es 3. Determine el área de la superficie lateral del cilindro.

La superficie total se calcula mediante la fórmula: Lado S. = 2πrh

lado S = 2*3,14*2*3

lado S = 6,28 * 6

lado S = 37,68

La superficie lateral del cilindro es 37,68.

2. ¿Cómo encontrar el área de superficie de un cilindro si la altura es 4 y el radio es 6?

La superficie total se calcula mediante la fórmula: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2*3,14*6 2 + 2*3,14*6*4

S = 2*3,14*36 + 2*3,14*24

Es una figura multifacética, cuya base es un polígono, y el resto de caras están representadas por triángulos con un vértice común.

Si la base es un cuadrado, entonces la pirámide se llama cuadrangular, si es un triángulo – entonces triangular. La altura de la pirámide se dibuja desde su cima perpendicular a la base. También se utiliza para calcular el área. apotema– la altura de la cara lateral, bajada desde su parte superior.
La fórmula del área de la superficie lateral de una pirámide es la suma de las áreas de sus caras laterales, que son iguales entre sí. Sin embargo, este método de cálculo se utiliza muy raramente. Básicamente, el área de la pirámide se calcula a través del perímetro de la base y la apotema:

Consideremos un ejemplo de cálculo del área de la superficie lateral de una pirámide.

Sea una pirámide dada con base ABCDE y cima F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apotema a = 5 cm Calcula el área de la superficie lateral de la pirámide.
Encontremos el perímetro. Como todas las aristas de la base son iguales, el perímetro del pentágono será igual a:
Ahora puedes encontrar el área lateral de la pirámide:

Área de una pirámide triangular regular

Una pirámide triangular regular consta de una base en la que se encuentra un triángulo regular y tres caras laterales de igual área.
La fórmula para el área de la superficie lateral de una pirámide triangular regular se puede calcular de diferentes formas. Puedes aplicar la fórmula de cálculo habitual usando el perímetro y la apotema, o puedes encontrar el área de una cara y multiplicarla por tres. Como la cara de una pirámide es un triángulo, aplicamos la fórmula del área de un triángulo. Necesitará una apotema y la longitud de la base. Consideremos un ejemplo de cálculo del área de la superficie lateral de una pirámide triangular regular.

Dada una pirámide con apotema a = 4 cm y cara base b = 2 cm, encuentra el área de la superficie lateral de la pirámide.
Primero, encuentra el área de una de las caras laterales. En este caso será:
Sustituye los valores en la fórmula:
Como en una pirámide regular todos los lados son iguales, el área de la superficie lateral de la pirámide será igual a la suma de las áreas de las tres caras. Respectivamente:

Área de una pirámide truncada

Truncado Una pirámide es un poliedro que está formado por una pirámide y su sección transversal paralela a la base.
La fórmula para calcular el área de la superficie lateral de una pirámide truncada es muy sencilla. El área es igual al producto de la mitad de la suma de los perímetros de las bases y la apotema: