Fórmula para el volumen de una pirámide utilizando un ángulo triédrico. Fórmulas para el volumen de una pirámide triangular regular.
Una de las figuras tridimensionales más simples es la pirámide triangular, ya que consta del menor número de caras a partir de las cuales se puede formar una figura en el espacio. En este artículo veremos fórmulas que se pueden usar para encontrar el volumen de una pirámide triangular regular.
Pirámide triangular
Según la definición general, una pirámide es un polígono, todos cuyos vértices están conectados a un punto que no se encuentra en el plano de este polígono. Si este último es un triángulo, entonces toda la figura se llama pirámide triangular.
La pirámide en cuestión consta de una base (triángulo) y tres caras laterales (triángulos). El punto en el que se conectan las tres caras laterales se llama vértice de la figura. La perpendicular desde este vértice hasta la base es la altura de la pirámide. Si el punto de intersección de la perpendicular con la base coincide con el punto de intersección de las medianas del triángulo en la base, entonces hablamos de una pirámide regular. De lo contrario quedará inclinado.
Como ya hemos dicho, la base de una pirámide triangular puede ser un tipo general de triángulo. Sin embargo, si es equilátero y la pirámide en sí es recta, entonces se habla de una figura tridimensional regular.
Cualquiera tiene 4 caras, 6 aristas y 4 vértices. Si las longitudes de todas las aristas son iguales, entonces dicha figura se llama tetraedro.
tipo general
Antes de escribir una pirámide triangular regular, damos una expresión para esta cantidad física para una pirámide de tipo general. Esta expresión se parece a:
Aquí S o es el área de la base, h es la altura de la figura. Esta igualdad será válida para cualquier tipo de base de polígono piramidal, así como para un cono. Si en la base hay un triángulo con una longitud de lado a y una altura h o bajada sobre él, entonces la fórmula para el volumen se escribirá de la siguiente manera:
Fórmulas para el volumen de una pirámide triangular regular.
Triangular tiene un triángulo equilátero en la base. Se sabe que la altura de este triángulo está relacionada con la longitud de su lado por la igualdad:
Sustituyendo esta expresión en la fórmula del volumen de una pirámide triangular escrita en el párrafo anterior, obtenemos:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
El volumen de una pirámide regular de base triangular es función de la longitud del lado de la base y de la altura de la figura.
Dado que cualquier polígono regular puede inscribirse en un círculo, cuyo radio determinará de forma única la longitud del lado del polígono, entonces esta fórmula se puede escribir en términos del radio correspondiente r:
Esta fórmula se puede obtener fácilmente a partir de la anterior, si tenemos en cuenta que el radio r del círculo circunscrito que pasa por la longitud del lado a del triángulo está determinado por la expresión:
Problema de determinar el volumen de un tetraedro.
Mostraremos cómo utilizar las fórmulas anteriores al resolver problemas de geometría específicos.
Se sabe que un tetraedro tiene una longitud de arista de 7 cm Encuentre el volumen de una pirámide-tetraedro triangular regular.
Recordemos que un tetraedro es una pirámide triangular regular en la que todas las bases son iguales entre sí. Para usar la fórmula para el volumen de una pirámide triangular regular, necesitas calcular dos cantidades:
- longitud del lado del triángulo;
- altura de la figura.
La primera cantidad se conoce a partir del planteamiento del problema:
Para determinar la altura, considere la cifra que se muestra en la figura.
El triángulo marcado ABC es un triángulo rectángulo, donde el ángulo ABC mide 90°. El lado AC es la hipotenusa y su longitud es a. Usando un razonamiento geométrico simple, se puede demostrar que el lado BC tiene la longitud:
Tenga en cuenta que la longitud BC es el radio del círculo circunscrito alrededor del triángulo.
h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).
Ahora puedes sustituir h y a en la fórmula correspondiente para el volumen:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Así, hemos obtenido la fórmula para el volumen de un tetraedro. Se puede ver que el volumen depende únicamente de la longitud del borde. Si sustituimos el valor de las condiciones del problema en la expresión, obtenemos la respuesta:
V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm 3.
Si comparamos este valor con el volumen de un cubo que tiene la misma arista, encontramos que el volumen del tetraedro es 8,5 veces menor. Esto indica que el tetraedro es una figura compacta que se presenta en algunas sustancias naturales. Por ejemplo, la molécula de metano tiene forma tetraédrica y cada átomo de carbono del diamante está conectado a otros cuatro átomos para formar un tetraedro.
Problema de la pirámide homotética
Resolvamos un problema geométrico interesante. Supongamos que hay una pirámide regular triangular con un cierto volumen V 1. ¿Cuántas veces se debe reducir el tamaño de esta figura para obtener una pirámide homotética con un volumen tres veces menor que el original?
Comencemos a resolver el problema escribiendo la fórmula de la pirámide regular original:
V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .
Deje que el volumen de la figura requerido por las condiciones del problema se obtenga multiplicando sus parámetros por el coeficiente k. Tenemos:
V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .
Dado que la relación de los volúmenes de las figuras se conoce por la condición, obtenemos el valor del coeficiente k:
k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.
Tenga en cuenta que obtendríamos un valor similar para el coeficiente k para una pirámide de cualquier tipo, y no sólo para una triangular normal.
Definición. borde lateral- este es un triángulo en el que un ángulo se encuentra en la cima de la pirámide y el lado opuesto coincide con el lado de la base (polígono).
Definición. costillas laterales- estos son los lados comunes de las caras laterales. Una pirámide tiene tantas aristas como ángulos de un polígono.
Definición. altura de la pirámide- Esta es una perpendicular que baja desde la cima hasta la base de la pirámide.
Definición. Apotema- Esta es una perpendicular a la cara lateral de la pirámide, bajada desde la parte superior de la pirámide hasta el lado de la base.
Definición. sección diagonal- esta es una sección de una pirámide por un plano que pasa por la cima de la pirámide y la diagonal de la base.
Definición. Pirámide correcta Es una pirámide en la que la base es un polígono regular y la altura desciende hasta el centro de la base.
Volumen y superficie de la pirámide.
Fórmula. Volumen de la pirámide a través del área de la base y la altura:
Propiedades de la pirámide
Si todos los bordes laterales son iguales, entonces se puede dibujar un círculo alrededor de la base de la pirámide y el centro de la base coincide con el centro del círculo. Además, una perpendicular caída desde arriba pasa por el centro de la base (círculo).
Si todos los bordes laterales son iguales, entonces están inclinados con respecto al plano de la base en los mismos ángulos.
Las aristas laterales son iguales cuando forman ángulos iguales con el plano de la base o si se puede describir un círculo alrededor de la base de la pirámide.
Si las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo, entonces se puede inscribir un círculo en la base de la pirámide y la cima de la pirámide se proyecta en su centro.
Si las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo, entonces las apotemas de las caras laterales son iguales.
Propiedades de una pirámide regular
1. La cima de la pirámide está equidistante de todos los ángulos de la base.
2. Todos los bordes laterales son iguales.
3. Todas las nervaduras laterales están inclinadas en ángulos iguales con respecto a la base.
4. Las apotemas de todas las caras laterales son iguales.
5. Las áreas de todas las caras laterales son iguales.
6. Todas las caras tienen los mismos ángulos diédricos (planos).
7. Se puede describir una esfera alrededor de la pirámide. El centro de la esfera circunscrita será el punto de intersección de las perpendiculares que pasan por el medio de las aristas.
8. Puedes encajar una esfera en una pirámide. El centro de la esfera inscrita será el punto de intersección de las bisectrices que emanan del ángulo entre el borde y la base.
9. Si el centro de la esfera inscrita coincide con el centro de la esfera circunscrita, entonces la suma de los ángulos planos en el vértice es igual a π o viceversa, un ángulo es igual a π/n, donde n es el número de ángulos en la base de la pirámide.
La conexión entre la pirámide y la esfera.
Se puede describir una esfera alrededor de una pirámide cuando en la base de la pirámide hay un poliedro alrededor del cual se puede describir un círculo (condición necesaria y suficiente). El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan perpendicularmente por los puntos medios de los bordes laterales de la pirámide.
Siempre es posible describir una esfera alrededor de cualquier pirámide triangular o regular.
Una esfera puede inscribirse en una pirámide si los planos bisectores de los ángulos diédricos internos de la pirámide se cruzan en un punto (condición necesaria y suficiente). Este punto será el centro de la esfera.
Conexión de una pirámide con un cono.
Se dice que un cono está inscrito en una pirámide si sus vértices coinciden y la base del cono está inscrita en la base de la pirámide.
Un cono puede estar inscrito en una pirámide si las apotemas de la pirámide son iguales entre sí.
Se dice que un cono está circunscrito a una pirámide si sus vértices coinciden y la base del cono está circunscrita a la base de la pirámide.
Se puede describir un cono alrededor de una pirámide si todos los bordes laterales de la pirámide son iguales entre sí.
Relación entre una pirámide y un cilindro.
Una pirámide se dice inscrita en un cilindro si la cima de la pirámide se encuentra en una base del cilindro y la base de la pirámide está inscrita en otra base del cilindro.
Se puede describir un cilindro alrededor de una pirámide si se puede describir un círculo alrededor de la base de la pirámide.
Un tetraedro tiene cuatro caras, cuatro vértices y seis aristas, donde dos aristas cualesquiera no tienen vértices comunes pero no se tocan.
Cada vértice consta de tres caras y aristas que forman ángulo triangular.
El segmento que une el vértice de un tetraedro con el centro de la cara opuesta se llama mediana del tetraedro(GM).
bimediana llamado segmento que conecta los puntos medios de bordes opuestos que no se tocan (KL).
Todas las bimedianas y medianas de un tetraedro se cruzan en un punto (S). En este caso, las bimedianas se dividen por la mitad y las medianas se dividen en una proporción de 3:1 comenzando desde arriba.
Definición. Pirámide de ángulo agudo- una pirámide en la que la apotema mide más de la mitad de la longitud del lado de la base.
Definición. pirámide obtusa- una pirámide en la que la apotema mide menos de la mitad de la longitud del lado de la base.
Definición. tetraedro regular- un tetraedro en el que las cuatro caras son triángulos equiláteros. Es uno de los cinco polígonos regulares. En un tetraedro regular, todos los ángulos diédricos (entre caras) y triédricos (en el vértice) son iguales.
Definición. tetraedro rectangular Se llama tetraedro en el que hay un ángulo recto entre tres aristas en el vértice (las aristas son perpendiculares). Se forman tres caras ángulo triangular rectangular y las caras son triángulos rectángulos y la base es un triángulo arbitrario. La apotema de cualquier cara es igual a la mitad del lado de la base sobre el que cae la apotema.
Definición. tetraedro isoédrico Se llama tetraedro cuyas caras laterales son iguales entre sí y la base es un triángulo regular. Tal tetraedro tiene caras que son triángulos isósceles.
Definición. tetraedro ortocéntrico Se llama tetraedro en el que todas las alturas (perpendiculares) que descienden desde la cima hasta la cara opuesta se cruzan en un punto.
Definición. pirámide estelar llamado poliedro cuya base es una estrella.
Para encontrar el volumen de una pirámide, necesitas conocer varias fórmulas. Mirémoslos.
Cómo encontrar el volumen de una pirámide - 1er método
El volumen de una pirámide se puede encontrar utilizando la altura y el área de su base. V = 1/3*S*h. Entonces, por ejemplo, si la altura de la pirámide es de 10 cm y el área de su base es de 25 cm 2, entonces el volumen será igual a V = 1/3*25*10 = 1/3*250 = 83,3cm3
Cómo encontrar el volumen de una pirámide - 2do método
Si un polígono regular se encuentra en la base de la pirámide, entonces su volumen se puede encontrar usando la siguiente fórmula: V = na 2 h/12*tg(180/n), donde a es el lado del polígono que se encuentra en la base , y n es el número de sus lados. Por ejemplo: La base es un hexágono regular, es decir, n = 6. Como es regular, todos sus lados son iguales, es decir, todos a son iguales. Digamos a = 10 y h - 15. Insertamos los números en la fórmula y obtenemos una respuesta aproximada: 1299 cm 3
Cómo encontrar el volumen de una pirámide - 3er método
Si un triángulo equilátero se encuentra en la base de la pirámide, entonces su volumen se puede encontrar usando la siguiente fórmula: V = ha 2 /4√3, donde a es el lado del triángulo equilátero. Por ejemplo: la altura de la pirámide es de 10 cm, el lado de la base es de 5 cm, el volumen será igual a V = 10*25/4√ 3 = 250/4√ 3. Normalmente, lo que está en el denominador no se calcula y se deja en la misma forma. También puedes multiplicar tanto el numerador como el denominador por 4√ 3. Obtenemos 1000√ 3/48. Reduciendo obtenemos 125√ 3/6 cm 3.
Cómo encontrar el volumen de una pirámide - 4to método
Si hay un cuadrado en la base de la pirámide, entonces su volumen se puede encontrar usando la siguiente fórmula: V = 1/3*h*a 2, donde a son los lados del cuadrado. Por ejemplo: altura – 5 cm, lado cuadrado – 3 cm V = 1/3*5*9 = 15 cm 3
Cómo encontrar el volumen de una pirámide - 5to método
Si la pirámide es un tetraedro, es decir, todas sus caras son triángulos equiláteros, puedes encontrar el volumen de la pirámide usando la siguiente fórmula: V = a 3 √2/12, donde a es la arista del tetraedro. Por ejemplo: arista del tetraedro = 7. V = 7*7*7√2/12 = 343 cm 3
La palabra "pirámide" se asocia involuntariamente con los majestuosos gigantes de Egipto, que guardan fielmente la paz de los faraones. Quizás por eso todos, incluso los niños, reconocen la pirámide sin lugar a dudas.
Sin embargo, intentemos darle una definición geométrica. Imaginemos varios puntos del plano (A1, A2,..., An) y uno más (E) que no pertenece al mismo. Entonces, si el punto E (vértice) está conectado a los vértices del polígono formado por los puntos A1, A2,..., An (base), se obtiene un poliedro, que se llama pirámide. Obviamente, el polígono en la base de la pirámide puede tener cualquier número de vértices, y dependiendo de su número, la pirámide puede llamarse triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.
Si observa de cerca la pirámide, quedará claro por qué también se define de otra manera: como una figura geométrica con un polígono en su base y triángulos unidos por un vértice común como sus caras laterales.
Dado que la pirámide es una figura espacial, también tiene la siguiente característica cuantitativa, calculada a partir del conocido tercio igual del producto de la base de la pirámide por su altura:
Al derivar la fórmula, el volumen de una pirámide se calcula inicialmente para una triangular, tomando como base una relación constante que conecta este valor con el volumen de un prisma triangular que tiene la misma base y altura, que, como resultado, es tres veces este volumen.
Y dado que cualquier pirámide se divide en triangulares y su volumen no depende de las construcciones realizadas durante la prueba, la validez de la fórmula del volumen dada es obvia.
Destacando entre todas las pirámides están las correctas, que tienen en su base que debe “terminar” en el centro de la base.
En el caso de un polígono irregular en la base, para calcular el área de la base necesitarás:
- divídelo en triángulos y cuadrados;
- calcular el área de cada uno de ellos;
- sumar los datos recibidos.
En el caso de un polígono regular en la base de una pirámide, su área se calcula utilizando fórmulas ya preparadas, por lo que el volumen de una pirámide regular se calcula de manera bastante simple.
Por ejemplo, para calcular el volumen de una pirámide cuadrangular, si es regular, se eleva al cuadrado la longitud del lado de un cuadrilátero regular (cuadrado) en la base y, multiplicado por la altura de la pirámide, se divide el producto resultante por tres.
El volumen de la pirámide se puede calcular utilizando otros parámetros:
- como un tercio del producto del radio de una bola inscrita en una pirámide por su superficie total;
- como dos tercios del producto de la distancia entre dos aristas que se cruzan elegidas arbitrariamente y el área del paralelogramo que forma los puntos medios de las cuatro aristas restantes.
El volumen de una pirámide se calcula simplemente en el caso de que su altura coincida con uno de los bordes laterales, es decir, en el caso de una pirámide rectangular.
Hablando de pirámides, no podemos pasar por alto las pirámides truncadas, que se obtienen cortando la pirámide con un plano paralelo a la base. Su volumen es casi igual a la diferencia entre el volumen de toda la pirámide y el de la cima cortada.
Demócrito fue el primero en encontrar el volumen de la pirámide, aunque no exactamente en su forma moderna, pero igual a 1/3 del volumen del prisma que conocemos. Arquímedes llamó a su método de cálculo "sin pruebas", ya que Demócrito se acercó a la pirámide como una figura compuesta de placas similares infinitamente delgadas.
El álgebra vectorial también "abordó" la cuestión de encontrar el volumen de una pirámide, utilizando las coordenadas de sus vértices. Una pirámide construida sobre un triple de vectores a, b, c es igual a una sexta parte del módulo del producto mixto de vectores dados.
Aquí veremos ejemplos relacionados con el concepto de volumen. Para resolver este tipo de problemas, debes conocer la fórmula para calcular el volumen de una pirámide:
S
h – altura de la pirámide
La base puede ser cualquier polígono. Pero en la mayoría de los problemas del Examen Estatal Unificado, la condición suele ser sobre pirámides regulares. Déjame recordarte una de sus propiedades:
La cima de una pirámide regular se proyecta hacia el centro de su base.
Mire la proyección de las pirámides regulares triangulares, cuadrangulares y hexagonales (VISTA SUPERIOR):
Puedes hacerlo en el blog, donde se discutieron los problemas relacionados con encontrar el volumen de una pirámide.Consideremos las tareas:
27087. Calcula el volumen de una pirámide triangular regular cuyos lados de base son iguales a 1 y cuya altura es igual a la raíz de tres.
S– área de la base de la pirámide
h– altura de la pirámide
Encontremos el área de la base de la pirámide, este es un triángulo regular. Usemos la fórmula: el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de los lados adyacentes por el seno del ángulo entre ellos, lo que significa:
Respuesta: 0,25
27088. Calcula la altura de una pirámide triangular regular cuyos lados de la base son iguales a 2 y cuyo volumen es igual a la raíz de tres.
Conceptos como la altura de una pirámide y las características de su base están relacionados mediante la fórmula del volumen:
S– área de la base de la pirámide
h– altura de la pirámide
Conocemos el volumen en sí, podemos encontrar el área de la base, ya que conocemos los lados del triángulo, que es la base. Conociendo los valores indicados, podemos encontrar fácilmente la altura.
Para encontrar el área de la base, usamos la fórmula: el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de los lados adyacentes y el seno del ángulo entre ellos, lo que significa:
Así, sustituyendo estos valores en la fórmula del volumen, podemos calcular la altura de la pirámide:
La altura es tres.
Respuesta: 3
27109. En una pirámide cuadrangular regular, la altura es 6 y el borde lateral es 10. Encuentra su volumen.
El volumen de la pirámide se calcula mediante la fórmula:
S– área de la base de la pirámide
h– altura de la pirámide
Sabemos la altura. Necesitas encontrar el área de la base. Permítanme recordarles que la cima de una pirámide regular se proyecta hacia el centro de su base. La base de una pirámide cuadrangular regular es un cuadrado. Podemos encontrar su diagonal. Considere un triángulo rectángulo (resaltado en azul):
El segmento que conecta el centro del cuadrado con el punto B es un cateto que es igual a la mitad de la diagonal del cuadrado. Podemos calcular este cateto usando el teorema de Pitágoras:
Esto significa BD = 16. Calculemos el área del cuadrado usando la fórmula para el área de un cuadrilátero:
Por eso:
Por tanto, el volumen de la pirámide es:
Respuesta: 256
27178. En una pirámide cuadrangular regular, la altura es 12 y el volumen es 200. Encuentra el borde lateral de esta pirámide.
Se conoce la altura de la pirámide y su volumen, lo que significa que podemos encontrar el área del cuadrado, que es la base. Conociendo el área de un cuadrado podemos encontrar su diagonal. A continuación, considerando un triángulo rectángulo usando el teorema de Pitágoras, calculamos la arista lateral:
Encontremos el área del cuadrado (base de la pirámide):
Calculemos la diagonal del cuadrado. Como su área es 50, el lado será igual a la raíz de cincuenta y según el teorema de Pitágoras:
El punto O divide la diagonal BD por la mitad, lo que significa que el cateto del triángulo rectángulo OB = 5.
Así, podemos calcular a qué es igual el borde lateral de la pirámide:
Respuesta: 13
245353. Encuentra el volumen de la pirámide que se muestra en la figura. Su base es un polígono cuyos lados adyacentes son perpendiculares y uno de los bordes laterales es perpendicular al plano de la base e igual a 3.
Como se ha dicho muchas veces, el volumen de la pirámide se calcula mediante la fórmula:
S– área de la base de la pirámide
h– altura de la pirámide
El borde lateral perpendicular a la base es igual a tres, lo que significa que la altura de la pirámide es tres. La base de la pirámide es un polígono cuya área es igual a:
De este modo:
Respuesta: 27
27086. La base de la pirámide es un rectángulo con lados 3 y 4. Su volumen es 16. Calcula la altura de esta pirámide.
