La variable aleatoria está especificada por la distribución. Variables aleatorias discretas

A diferencia de una variable aleatoria discreta, las variables aleatorias continuas no se pueden especificar en forma de tabla de su ley de distribución, ya que es imposible enumerar y escribir todos sus valores en una secuencia determinada. Una forma posible de especificar una variable aleatoria continua es utilizar una función de distribución.

DEFINICIÓN. La función de distribución es una función que determina la probabilidad de que una variable aleatoria tome el valor representado en el eje numérico por un punto que se encuentra a la izquierda del punto x, es decir

A veces, en lugar del término "función de distribución", se utiliza el término "función integral".

Propiedades de la función de distribución:

1. Los valores de la función de distribución pertenecen al segmento: 0F(x)1
2. F(x) es una función no decreciente, es decir F(x 2)F(x 1), si x 2 >x 1

Corolario 1. La probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor contenido en el intervalo (a,b) es igual al incremento de la función de distribución en este intervalo:

Paz

Ejemplo 9. La variable aleatoria X viene dada por la función de distribución:

Encuentre la probabilidad de que como resultado de la prueba X tome un valor perteneciente al intervalo (0;2): P(0

Solución: Dado que en el intervalo (0;2) por condición, F(x)=x/4+1/4, entonces F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Entonces P(0

Corolario 2. La probabilidad de que una variable aleatoria continua X tome un valor específico es cero.

Corolario 3. Si los valores posibles de una variable aleatoria pertenecen al intervalo (a;b), entonces: 1) F(x)=0 para xa; 2) F(x)=1 en xb.
Son válidas las siguientes relaciones límite:

La gráfica de la función de distribución se ubica en la banda limitada por las rectas y=0, y=1 (primera propiedad). A medida que x aumenta en el intervalo (a;b), que contiene todos los valores posibles de la variable aleatoria, la gráfica "se eleva". En xa, las ordenadas de la gráfica son iguales a cero; en xb las ordenadas de la gráfica son iguales a uno:

Foto 1

Ejemplo 10. Una variable aleatoria discreta X viene dada por una tabla de distribución:

X	1	4	8
PAG	0.3	0.1	0.6

Encuentra la función de distribución y gráficala.
Solución: La función de distribución se puede escribir analíticamente de la siguiente manera:

Figura 2

DEFINICIÓN: La densidad de distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X es la función f(x) - la primera derivada de la función de distribución F(x): f(x)=F"(x)

De esta definición se deduce que la función de distribución es una antiderivada de la densidad de distribución.

Teorema. La probabilidad de que una variable aleatoria continua X tome un valor perteneciente al intervalo (a;b) es igual a una determinada integral de la densidad de distribución, tomada en el rango de a a b:

(8)

Propiedades de la distribución de densidad de probabilidad:

1. La densidad de probabilidad es una función no negativa: f(x)0.
2. La integral definida de -∞ a +∞ de la densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua es igual a 1: f(x)dx=1.
3. La integral definida de -∞ a x de la densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua es igual a la función de distribución de esta variable: f(x)dx=F(x)

Ejemplo 11. Se da la densidad de distribución de probabilidad de una variable aleatoria X

Encuentre la probabilidad de que como resultado de la prueba X tome un valor perteneciente al intervalo (0,5;1).

Solución: Probabilidad requerida:

Extendamos la definición de características numéricas de cantidades discretas a cantidades continuas. Sea una variable aleatoria continua X especificada por la densidad de distribución f(x).

DEFINICIÓN. La expectativa matemática de una variable aleatoria continua X, cuyos posibles valores pertenecen al segmento , se llama integral definida:

M(x)=xf(x)dx (9)

Si los valores posibles pertenecen a todo el eje Ox, entonces:

M(x)=xf(x)dx (10)

La moda M 0 (X) de una variable aleatoria continua X es su posible valor al que corresponde el máximo local de la densidad de distribución.

La mediana M e (X) de una variable aleatoria continua X es su valor posible, que está determinado por la igualdad:

P(X e (X))=P(X>M e (X))

DEFINICIÓN. La varianza de una variable aleatoria continua es la expectativa matemática del cuadrado de su desviación. Si los posibles valores de X pertenecen al segmento, entonces:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
o
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Si los valores posibles pertenecen a todo el eje x, entonces.

Variable aleatoria Se denomina variable a aquella variable que, como resultado de cada prueba, toma un valor previamente desconocido, dependiendo de razones aleatorias. Las variables aleatorias se indican con letras latinas mayúsculas: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Según su tipo, las variables aleatorias pueden ser discreto Y continuo.

Variable aleatoria discreta- se trata de una variable aleatoria cuyos valores no pueden ser más que contables, es decir, finitos o contables. Por contabilidad queremos decir que los valores de una variable aleatoria se pueden numerar.

Ejemplo 1 . A continuación se muestran ejemplos de variables aleatorias discretas:

a) el número de impactos en el objetivo con $n$ disparos, aquí los valores posibles son $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) la cantidad de emblemas que se caen al lanzar una moneda, aquí los valores posibles son $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) el número de barcos que llegan a bordo (un conjunto contable de valores).

d) el número de llamadas que llegan a la centralita (conjunto contable de valores).

1. Ley de distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

Una variable aleatoria discreta $X$ puede tomar valores $x_1,\dots ,\ x_n$ con probabilidades $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. La correspondencia entre estos valores y sus probabilidades se llama ley de distribución de una variable aleatoria discreta. Como regla general, esta correspondencia se especifica mediante una tabla, cuya primera línea indica los valores $x_1,\dots ,\ x_n$, y la segunda línea contiene las probabilidades $p_1,\dots ,\ p_n$ correspondientes a estos valores.

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
X_i y x_1 y x_2 ​​y \puntos y x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \puntos & p_n \\
\hline
\end(matriz)$

Ejemplo 2 . Sea la variable aleatoria $X$ el número de puntos obtenidos al lanzar un dado. Tal variable aleatoria $X$ puede tomar los siguientes valores: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Las probabilidades de todos estos valores son iguales a $1/6$. Entonces la ley de distribución de probabilidad de la variable aleatoria $X$:

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(matriz)$

Comentario. Dado que en la ley de distribución de una variable aleatoria discreta $X$ los eventos $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ forman un grupo completo de eventos, entonces la suma de las probabilidades debe ser igual a uno, es decir, $ \suma(p_i)=1$.

2. Expectativa matemática de una variable aleatoria discreta.

Expectativa de una variable aleatoria establece su significado “central”. Para una variable aleatoria discreta, la expectativa matemática se calcula como la suma de los productos de los valores $x_1,\dots,\ x_n$ y las probabilidades $p_1,\dots,\ p_n$ correspondientes a estos valores, es decir : $M\izquierda(X\derecha)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. En la literatura en inglés, se utiliza otra notación $E\left(X\right)$.

Propiedades de la expectativa matemática$M\izquierda(X\derecha)$:

1. $M\left(X\right)$ se encuentra entre los valores más pequeño y más grande de la variable aleatoria $X$.
2. La expectativa matemática de una constante es igual a la constante misma, es decir $M\izquierda(C\derecha)=C$.
3. El factor constante se puede sacar del signo de la expectativa matemática: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. La expectativa matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. La expectativa matemática del producto de variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Ejemplo 3 . Encontremos la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ del ejemplo $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\sobre (6))+4\cdot ((1)\sobre (6))+5\cdot ((1)\sobre (6))+6\cdot ((1 )\sobre (6))=3.5.$$

Podemos notar que $M\left(X\right)$ se encuentra entre los valores más pequeño ($1$) y más grande ($6$) de la variable aleatoria $X$.

Ejemplo 4 . Se sabe que la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ es igual a $M\left(X\right)=2$. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria $3X+5$.

Usando las propiedades anteriores, obtenemos $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.

Ejemplo 5 . Se sabe que la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ es igual a $M\left(X\right)=4$. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria $2X-9$.

Usando las propiedades anteriores, obtenemos $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ punto 4 -9=-1$.

3. Dispersión de una variable aleatoria discreta.

Los valores posibles de variables aleatorias con expectativas matemáticas iguales pueden dispersarse de manera diferente alrededor de sus valores promedio. Por ejemplo, en dos grupos de estudiantes la puntuación promedio en el examen de teoría de la probabilidad resultó ser 4, pero en un grupo todos resultaron ser buenos estudiantes, y en el otro grupo solo hubo estudiantes C y estudiantes excelentes. Por lo tanto, existe la necesidad de una característica numérica de una variable aleatoria que muestre la dispersión de los valores de la variable aleatoria alrededor de su expectativa matemática. Esta característica es la dispersión.

Varianza de una variable aleatoria discreta$X$ es igual a:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

En la literatura inglesa se utiliza la notación $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Muy a menudo la varianza $D\left(X\right)$ se calcula usando la fórmula $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ izquierda(X \derecha)\derecha))^2$.

Propiedades de dispersión$D\izquierda(X\derecha)$:

1. La varianza es siempre mayor o igual a cero, es decir $D\izquierda(X\derecha)\ge 0$.
2. La varianza de la constante es cero, es decir $D\izquierda(C\derecha)=0$.
3. El factor constante se puede sacar del signo de la dispersión siempre que esté al cuadrado, es decir $D\izquierda(CX\derecha)=C^2D\izquierda(X\derecha)$.
4. La varianza de la suma de variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas, es decir $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. La varianza de la diferencia entre variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas, es decir $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Ejemplo 6 . Calculemos la varianza de la variable aleatoria $X$ del ejemplo $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\sobre (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\sobre (12))\aproximadamente 2,92.$$

Ejemplo 7 . Se sabe que la varianza de la variable aleatoria $X$ es igual a $D\left(X\right)=2$. Encuentra la varianza de la variable aleatoria $4X+1$.

Usando las propiedades anteriores, encontramos $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ izquierda(X\derecha)=16\cdot 2=32$.

Ejemplo 8 . Se sabe que la varianza de la variable aleatoria $X$ es igual a $D\left(X\right)=3$. Encuentre la varianza de la variable aleatoria $3-2X$.

Usando las propiedades anteriores, encontramos $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ izquierda(X\derecha)=4\cdot 3=12$.

4. Función de distribución de una variable aleatoria discreta.

El método de representar una variable aleatoria discreta en forma de una serie de distribución no es el único y, lo más importante, no es universal, ya que una variable aleatoria continua no se puede especificar mediante una serie de distribución. Hay otra forma de representar una variable aleatoria: la función de distribución.

Función de distribución La variable aleatoria $X$ se llama función $F\left(x\right)$, que determina la probabilidad de que la variable aleatoria $X$ tome un valor menor que algún valor fijo $x$, es decir, $F\ izquierda(x\derecha)=P\izquierda(X< x\right)$

Propiedades de la función de distribución.:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. La probabilidad de que la variable aleatoria $X$ tome valores del intervalo $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ es igual a la diferencia entre los valores de la función de distribución en los extremos de este intervalo: $P\izquierda(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - no decreciente.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \derecha)=1\ )$.

Ejemplo 9 . Encontremos la función de distribución $F\left(x\right)$ para la ley de distribución de la variable aleatoria discreta $X$ del ejemplo $2$.

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(matriz)$

Si $x\le 1$, entonces, obviamente, $F\left(x\right)=0$ (incluso para $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Si $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Si $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Si $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Si $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Si $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Si $x > 6$, entonces $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Entonces $F(x)=\left\(\begin(matriz)
0,\ en\ x\le 1,\\
1/6, en\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ en\ 2< x\le 3,\\
1/2,en\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ en\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ en\ 4< x\le 5,\\
1,\ para\ x > 6.
\end(matriz)\right.$

4. Densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua

Una variable aleatoria continua se puede especificar usando la función de distribución. F(X) . Este método de asignación no es el único. Una variable aleatoria continua también se puede especificar usando otra función llamada densidad de distribución o densidad de probabilidad (a veces llamada función diferencial).

Definición 4.1: Densidad de distribución de una variable aleatoria continua. X llamar a la función F (X) - la primera derivada de la función de distribución F(X) :

F ( X ) = F "( X ) .

De esta definición se deduce que la función de distribución es una antiderivada de la densidad de distribución. Tenga en cuenta que la densidad de distribución no es aplicable para describir la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

Probabilidad de que una variable aleatoria continua caiga en un intervalo dado

Conociendo la densidad de distribución, se puede calcular la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor perteneciente a un intervalo determinado.

Teorema: La probabilidad de que una variable aleatoria continua X tome valores pertenecientes al intervalo (a, b), es igual a una cierta integral de la densidad de distribución, tomada en el rango deaantesb :

Prueba: Usamos la proporción

PAG(a ≤ Xb) = F(b) – F(a).

Según la fórmula de Newton-Leibniz,

De este modo,

.

Porque PAG(a ≤ X b)= PAG(a X b) , entonces finalmente llegamos

.

Geométricamente, el resultado obtenido se puede interpretar de la siguiente manera: la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor perteneciente al intervalo (a, b), igual al área de un trapecio curvilíneo delimitado por el ejeBuey, curva de distribuciónF(X) y rectoX = aYX = b.

Comentario: En particular, si F(X) – la función es par y los extremos del intervalo son simétricos con respecto al origen, entonces

.

Ejemplo. La densidad de probabilidad de una variable aleatoria está dada. X

Encuentre la probabilidad de que como resultado de la prueba X tomará valores pertenecientes al intervalo (0.5, 1).

Solución: Probabilidad requerida

.

Encontrar la función de distribución a partir de una densidad de distribución conocida

Conociendo la densidad de distribución F(X) , podemos encontrar la función de distribución F(X) según la fórmula

.

En realidad, F(X) = PAG(X X) = PAG(-∞ X X) .

Por eso,

.

De este modo, Conociendo la densidad de distribución, puedes encontrar la función de distribución. Por supuesto, a partir de una función de distribución conocida se puede encontrar la densidad de distribución, a saber:

F(X) = F"(X).

Ejemplo. Encuentre la función de distribución para la densidad de distribución dada:

Solución: Usemos la fórmula

Si X ≤ a, Eso F(X) = 0 , por eso, F(X) = 0 . Si un, entonces f(x) = 1/(ba),

por eso,

.

Si X > b, Eso

.

Entonces, la función de distribución requerida

Comentario: Obtuvimos la función de distribución de una variable aleatoria distribuida uniformemente (ver distribución uniforme).

Propiedades de la densidad de distribución.

Propiedad 1: La densidad de distribución es una función no negativa:

F ( X ) ≥ 0 .

Propiedad 2: La integral impropia de la densidad de distribución en el rango de -∞ a ∞ es igual a la unidad:

.

Comentario: El gráfico de densidad de distribución se llama curva de distribución.

Comentario: La densidad de distribución de una variable aleatoria continua también se llama ley de distribución.

Ejemplo. La densidad de distribución de la variable aleatoria tiene la siguiente forma:

Encuentra un parámetro constante a.

Solución: La densidad de distribución debe satisfacer la condición, por lo que exigiremos que se cumpla la igualdad.

.

De aquí
. Encontremos la integral indefinida:

.

Calculemos la integral impropia:

Por lo tanto, el parámetro requerido

.

Significado probable de la densidad de distribución.

Dejar F(X) – función de distribución de una variable aleatoria continua X. Por definición de densidad de distribución, F(X) = F"(X) , o

Diferencia F(X+∆x) -F(X) determina la probabilidad de que X tomará un valor perteneciente al intervalo (X, X+∆x). Por tanto, el límite de la razón de probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor perteneciente al intervalo (X, X+∆x), a la longitud de este intervalo (en ∆x→0) es igual al valor de la densidad de distribución en el punto X.

Entonces la función F(X) determina la densidad de distribución de probabilidad para cada punto X. Del cálculo diferencial se sabe que el incremento de una función es aproximadamente igual al diferencial de la función, es decir

Porque F"(X) = F(X) Y dx = ∆ X, Eso F(X+∆ X) - F(X) ≈ F(X)∆ X.

El significado probabilístico de esta igualdad es: la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor perteneciente al intervalo (X, X+∆ X) es aproximadamente igual al producto de la densidad de probabilidad en el punto x y la longitud del intervalo ∆x.

Geométricamente, este resultado se puede interpretar de la siguiente manera: la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor perteneciente al intervalo (X, X+∆ X) es aproximadamente igual al área de un rectángulo con base ∆х y alturaF(X).

5. Distribuciones típicas de variables aleatorias discretas.

5.1. Distribución de Bernoulli

Definición 5.1: Valor aleatorio X, tomando dos valores 1 Y 0 con probabilidades (“éxito”) pag y (“fracaso”) q, llamado Bernoulliévskaya:

, Dónde k=0,1.

5.2. Distribución binomial

Que se produzca norte ensayos independientes, en cada uno de los cuales el evento A puede aparecer o no. La probabilidad de que ocurra un evento en todos los ensayos es constante e igual. pag(de ahí la probabilidad de que no ocurra q = 1 - pag).

Considere la variable aleatoria X– número de ocurrencias del evento A en estas pruebas. Valor aleatorio X toma valores 0,1,2,… norte con probabilidades calculadas mediante la fórmula de Bernoulli: , Dónde k = 0,1,2,… norte.

Definición 5.2: Binomio se llama distribución de probabilidad determinada por la fórmula de Bernoulli.

Ejemplo. Se disparan tres tiros al objetivo y la probabilidad de acertar cada tiro es 0,8. Considere una variable aleatoria X– número de impactos en el objetivo. Encuentra su serie de distribución.

Solución: Valor aleatorio X toma valores 0,1,2,3 con probabilidades calculadas utilizando la fórmula de Bernoulli, donde norte = 3, pag = 0,8 (probabilidad de acierto), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (probabilidad de faltar).

Así, la serie de distribución tiene la siguiente forma:

Utilice la fórmula de Bernoulli para valores grandes norte bastante difícil, por lo tanto, para calcular las probabilidades correspondientes, use el teorema local de Laplace, que le permite encontrar aproximadamente la probabilidad de que ocurra un evento exactamente k una vez cada norte pruebas, si el número de pruebas es lo suficientemente grande.

Teorema local de Laplace: Si la probabilidad pag ocurrencia de un evento A
que el evento A aparecerá en norte pruebas exactamente k veces, aproximadamente iguales (cuanto más preciso, más norte) valor de la función
, Dónde
, .

Nota 1: Tablas que contienen valores de funciones.
, se dan en el Apéndice 1, y
. Función es la densidad de la distribución normal estándar (ver distribución normal).

Ejemplo: Encuentre la probabilidad de que el evento A vendrá exactamente 80 una vez cada 400 ensayos si la probabilidad de que ocurra este evento en cada ensayo es igual a 0,2.

Solución: Por condición norte = 400, k = 80, pag = 0,2 , q = 0,8 . Calculemos el valor determinado por los datos de la tarea. X:
. De la tabla en el Apéndice 1 encontramos
. Entonces la probabilidad requerida será:

Si necesita calcular la probabilidad de que un evento A aparecerá en norte pruebas nada menos k 1 una vez y no más k 2 veces, entonces necesitas usar el teorema integral de Laplace:

Teorema integral de Laplace: Si la probabilidad pag ocurrencia de un evento A en cada ensayo es constante y diferente de cero y uno, entonces la probabilidad que el evento A aparecerá en norte pruebas de k 1 antes k 2 veces, aproximadamente igual a una cierta integral

, Dónde
Y
.

En otras palabras, la probabilidad de que un evento A aparecerá en norte pruebas de k 1 antes k 2 veces, aproximadamente iguales

Dónde
, Y .

Nota 2: Función
llamada función de Laplace (ver distribución normal). Tablas que contienen valores de funciones. , se dan en el Apéndice 2, y
.

Ejemplo: Encuentre la probabilidad de que entre 400 Las piezas seleccionadas al azar resultarán no probadas de 70 a 100 piezas, si la probabilidad de que la pieza no haya pasado la inspección de control de calidad es igual a 0,2.

Solución: Por condición norte = 400, pag = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Calculemos los límites superior e inferior de integración:

;
.

Así tenemos:

De la tabla del Apéndice 2 encontramos que
Y
. Entonces la probabilidad requerida es:

Nota 3: En una serie de ensayos independientes (cuando n es grande, p es pequeño), se utiliza la fórmula de Poisson para calcular la probabilidad de que un evento ocurra exactamente k veces (ver distribución de Poisson).

5.3. distribución de veneno

Definición 5.3: Una variable aleatoria discreta se llama veneno, si su ley de distribución tiene la siguiente forma:

, Dónde
Y
(valor constante).

Ejemplos de variables aleatorias de Poisson:

Número de llamadas a una estación automática durante un período de tiempo t.

El número de partículas de desintegración de alguna sustancia radiactiva durante un período de tiempo. t.

Número de televisores que llegan al taller en un periodo de tiempo t en la gran ciudad .

Número de automóviles que llegarán a la línea de parada de una intersección en una gran ciudad .

Nota 1: En el Apéndice 3 se proporcionan tablas especiales para calcular estas probabilidades.

Nota 2: En una serie de pruebas independientes (cuando norte excelente, pag no es suficiente) para calcular la probabilidad de que un evento ocurra exactamente k veces usando la fórmula de Poisson:
, Dónde
, es decir, el número promedio de ocurrencias de eventos permanece constante.

Nota 3: Si hay una variable aleatoria que se distribuye según la ley de Poisson, entonces necesariamente hay una variable aleatoria que se distribuye según la ley exponencial y viceversa (ver Distribución exponencial).

Ejemplo. La planta enviada a la base. 5000 Productos de buena calidad. La probabilidad de que el producto se dañe durante el transporte es igual a 0,0002 . Calcula la probabilidad de que lleguen a la base exactamente tres productos inutilizables.

Solución: Por condición norte = 5000, pag = 0,0002, k = 3. Lo encontraremos λ: λ = notario público.= 5000·0,0002 = 1.

Según la fórmula de Poisson, la probabilidad deseada es igual a:

, donde esta la variable aleatoria X– número de productos inutilizables.

5.4. Distribución geométrica

Realicemos pruebas independientes, en cada una de las cuales la probabilidad de que ocurra el evento es A igual a pag(0p

q = 1 - pag. Los desafíos terminan tan pronto como aparece el evento. A. Así, si un evento A apareció en k-ésima prueba, luego en la anterior k – 1 no apareció en las pruebas.

Denotemos por X Variable aleatoria discreta: el número de ensayos que deben realizarse antes de que ocurra por primera vez el evento. A. Obviamente, los valores posibles X son números naturales x 1 = 1, x 2 = 2, ...

deja primero k-1 evento de prueba A no vino, pero en k Apareció la -ésima prueba. La probabilidad de este “evento complejo”, según el teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes, PAG (X = k) = q k -1 pag.

Definición 5.4: Una variable aleatoria discreta tiene distribución geométrica, si su ley de distribución tiene la siguiente forma:

PAG ( X = k ) = q k -1 pag , Dónde
.

Nota 1: Creyendo k = 1,2,… , obtenemos una progresión geométrica con el primer término pag y denominador q (0q. Por este motivo, la distribución se llama geométrica.

Nota 2: Fila
converge y su suma es igual a uno. De hecho, la suma de la serie es igual a
.

Ejemplo. El arma se dispara al objetivo hasta que se da el primer impacto. Probabilidad de dar en el blanco pag = 0,6 . Encuentre la probabilidad de que se produzca un impacto en el tercer disparo.

Solución: Por condición pag = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. La probabilidad requerida es:

PAG (X = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Distribución hipergeométrica

Consideremos el siguiente problema. Deja salir la fiesta norte productos disponibles METRO estándar (METROnorte). Tomado al azar del lote. norte productos (cada producto se puede extraer con la misma probabilidad), y el producto seleccionado no se devuelve al lote antes de seleccionar el siguiente (por lo tanto, la fórmula de Bernoulli no es aplicable aquí).

Denotemos por X variable aleatoria - número metro productos estándar entre norte seleccionado. Entonces los valores posibles X será 0, 1, 2,…, mínimo; Etiquetémoslos y... Por valores de la variable independiente (Fonds) utilice el botón ( capítulo ...

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Complejo educativo y metodológico de la disciplina de la física (título)

Complejo de formación y metodología.

... secciones en los libros de texto. resolución de problemas Por cada tema. Elaboración metodológico instrucciones para trabajos de laboratorio Por ... aleatorio y error de medición instrumental 1.8 Sujetos de pruebas y metodológico instrucciones Por...Partícula en unidimensional agujero potencial. ...

Pautas para el trabajo de laboratorio en la disciplina de informática.

Pautas

... Metódico instrucciones para TRABAJOS DE LABORATORIO Por ... tamaño, y la mayor cantidad cantidades... matriz aleatorio números... 3,0 4,0 3,0 -2,5 14,3 16,2 18,0 1,0 a) unidimensional matriz b) matriz bidimensional Fig. 2– Los archivos... se describen en sección implementación después...

9. Variable aleatoria continua, sus características numéricas.

Una variable aleatoria continua se puede especificar mediante dos funciones. Función de distribución de probabilidad integral de la variable aleatoria X se llama función definida por la igualdad
.

La función integral proporciona una forma general de especificar variables aleatorias tanto discretas como continuas. En el caso de una variable aleatoria continua. Todos los eventos: tienen la misma probabilidad, igual al incremento de la función integral en este intervalo, es decir. Por ejemplo, para la variable aleatoria discreta especificada en el ejemplo 26, tenemos:

Así, la gráfica de la función integral de la función considerada es la unión de dos rayos y tres segmentos paralelos al eje Ox.

Ejemplo 27. La variable aleatoria continua X está especificada por la función de distribución de probabilidad integral

.

Construya una gráfica de la función integral y encuentre la probabilidad de que, como resultado de la prueba, la variable aleatoria X tome un valor en el intervalo (0,5;1,5).

Solución. en el intervalo
la gráfica es la recta y = 0. En el intervalo de 0 a 2 hay una parábola dada por la ecuación
. en el intervalo
La gráfica es la recta y = 1.

La probabilidad de que la variable aleatoria X como resultado de la prueba tome un valor en el intervalo (0,5;1,5) se calcula mediante la fórmula.

De este modo, .

Propiedades de la función de distribución de probabilidad integral:

Es conveniente especificar la ley de distribución de una variable aleatoria continua utilizando otra función, a saber, funciones de densidad de probabilidad
.

La probabilidad de que el valor asumido por la variable aleatoria X caiga dentro del intervalo
, está determinada por la igualdad
.

La gráfica de la función se llama curva de distribución. Geométricamente, la probabilidad de que una variable aleatoria X caiga en el intervalo es igual al área del trapecio curvilíneo correspondiente delimitado por la curva de distribución, el eje Ox y las líneas rectas.
.

Propiedades de la función de densidad de probabilidad:

9.1. Características numéricas de variables aleatorias continuas.

Valor esperado(valor promedio) de una variable aleatoria continua X está determinado por la igualdad
.

M(X) se denota por A. La expectativa matemática de una variable aleatoria continua tiene propiedades similares a las de una variable aleatoria discreta:

Diferencia La variable aleatoria discreta X es la expectativa matemática de la desviación al cuadrado de la variable aleatoria de su expectativa matemática, es decir . Para una variable aleatoria continua, la varianza viene dada por la fórmula
.

La dispersión tiene las siguientes propiedades:

La última propiedad es muy conveniente de utilizar para encontrar la varianza de una variable aleatoria continua.

El concepto de desviación estándar se introduce de manera similar. La desviación estándar de la continua La variable aleatoria X se llama raíz cuadrada de la varianza, es decir
.

Ejemplo 28. Una variable aleatoria continua X está especificada por una función de densidad de probabilidad
en el intervalo (10;12), fuera de este intervalo el valor de la función es 0. Encuentre 1) el valor del parámetro A, 2) expectativa matemática M(X), varianza
, desviación estándar, 3) función integral
y construir gráficas de funciones integrales y diferenciales.

1). Para encontrar el parámetro A usa la fórmula
. Lo conseguiremos. De este modo,
.

2). Para encontrar la expectativa matemática, usamos la fórmula: , de donde se deduce que
.

Encontraremos la varianza usando la fórmula:
, es decir. .

Encontremos la desviación estándar usando la fórmula: , de donde obtenemos que
.

3). La función integral se expresa mediante la función de densidad de probabilidad de la siguiente manera:
. Por eso,
en
, = 0 en
tu = 1 en
.

Las gráficas de estas funciones se presentan en la Fig. 4. y fig. 5.

Fig.4 Fig.5.

9.2. Distribución de probabilidad uniforme de una variable aleatoria continua

Distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X igualmente en el intervalo si su densidad de probabilidad es constante en este intervalo e igual a cero fuera de este intervalo, es decir, . Es fácil demostrar que en este caso
.

Si el intervalo
está contenido en el intervalo, entonces
.

Ejemplo 29. Un evento de señal instantáneo debe ocurrir entre la una y las cinco de la mañana. El tiempo de espera de la señal es una variable aleatoria X. Encuentre la probabilidad de que la señal sea detectada entre las dos y las tres de la tarde.

Solución. La variable aleatoria X tiene una distribución uniforme, y usando la fórmula encontramos que la probabilidad de que la señal sea entre las 2 y las 3 de la tarde es igual a
.

En la literatura educativa y de otro tipo, a menudo se denota en la literatura mediante
.

9.3. Distribución de probabilidad normal de una variable aleatoria continua

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua se llama normal si su ley de distribución de probabilidad está determinada por la densidad de probabilidad.
. Para tales cantidades A- valor esperado,
- Desviación Estándar.

Teorema. Probabilidad de que una variable aleatoria continua distribuida normalmente caiga en un intervalo dado
determinado por la fórmula
, Dónde
- Función de Laplace.

Una consecuencia de este teorema es la regla de las tres sigma, es decir Es casi seguro que una variable aleatoria continua X, normalmente distribuida, toma sus valores en el intervalo
. Esta regla se puede derivar de la fórmula
, que es un caso especial del teorema formulado.

Ejemplo 30. La vida útil del televisor es una variable aleatoria X, sujeta a la ley de distribución normal, con un período de garantía de 15 años y una desviación estándar de 3 años. Encuentre la probabilidad de que el televisor dure de 10 a 20 años.

Solución. Según las condiciones del problema, la expectativa matemática A= 15, desviación estándar.

Encontremos . Por tanto, la probabilidad de que el televisor funcione entre 10 y 20 años es superior a 0,9.

9.4 La desigualdad de Chebyshev

Ocurre El lema de Chebyshev. Si una variable aleatoria X toma solo valores no negativos y tiene una expectativa matemática, entonces para cualquier positivo V
.

Considerando que , como suma de las probabilidades de eventos opuestos, obtenemos que
.

El teorema de Chebyshev. Si la variable aleatoria X tiene varianza finita
y expectativa matemática M(X), entonces para cualquier positivo la desigualdad es cierta
.

De donde se sigue que
.

Ejemplo 31. Se ha producido un lote de piezas. La longitud promedio de las piezas es de 100 cm y la desviación estándar es de 0,4 cm. Calcule a continuación la probabilidad de que la longitud de una pieza tomada al azar sea de al menos 99 cm. y no más de 101 cm.

Solución. Diferencia. La expectativa matemática es 100. Por lo tanto, para estimar desde abajo la probabilidad del evento en cuestión
apliquemos la desigualdad de Chebyshev, en la que
, Entonces
.

10. Elementos de la estadística matemática.

Agregado estadístico nombrar un conjunto de objetos o fenómenos homogéneos. Número PAG elementos de este conjunto se denomina volumen de la colección. Valores observados El rasgo X se llama opciones. Si las opciones se ordenan en secuencia creciente, entonces obtenemos serie de variación discreta. En el caso de agrupar, la opción por intervalos resulta ser serie de variación de intervalo. Bajo frecuencia t Los valores característicos comprenden el número de miembros de la población con una variante determinada.

La relación entre la frecuencia y el volumen de una población estadística se llama Frecuencia relativa firmar:
.

La relación entre las variantes de una serie de variación y sus frecuencias se llama distribución estadística de la muestra. Se puede obtener una representación gráfica de la distribución estadística. polígono frecuencia

Ejemplo 32. Al encuestar a 25 estudiantes de primer año se obtuvieron los siguientes datos sobre su edad:
. Compile una distribución estadística de los estudiantes por edad, encuentre el rango de variación, construya un polígono de frecuencias y compile una serie de distribuciones de frecuencias relativas.

Solución. Utilizando los datos obtenidos de la encuesta, crearemos una distribución estadística de la muestra.

El rango de la muestra de variación es 23 – 17 = 6. Para construir un polígono de frecuencia, construya puntos con coordenadas
y conectarlos en serie.

La serie de distribución de frecuencia relativa tiene la forma:

10.1.Características numéricas de la serie de variación.

Sea la muestra dada por una serie de distribuciones de frecuencia de la característica X:

La suma de todas las frecuencias es igual. PAG.

Media aritmética de la muestra. nombra la cantidad
.

Diferencia o la medida de dispersión de los valores de una característica X con relación a su media aritmética se llama valor
. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, es decir .

La relación entre la desviación estándar y la media aritmética de la muestra, expresada como porcentaje, se llama coeficiente de variación:
.

Función empírica de distribución de frecuencia relativa. llamar a una función que determina para cada valor la frecuencia relativa del evento
, es decir.
, Dónde - número de opciones, más pequeño X, A PAG- tamaño de la muestra.

Ejemplo 33. En las condiciones del ejemplo 32, encuentre las características numéricas.
.

Solución. Encontremos la media aritmética de la muestra usando la fórmula, entonces.

La varianza del rasgo X se encuentra mediante la fórmula: , es decir . La desviación estándar de la muestra es
. El coeficiente de variación es
.

10.2. Estimación de probabilidad por frecuencia relativa. Intervalo de confianza

Que se lleve a cabo PAG ensayos independientes, en cada uno de los cuales la probabilidad de ocurrencia del evento A es constante e igual a R. En este caso, la probabilidad de que la frecuencia relativa difiera de la probabilidad de que ocurra el evento A en cada prueba en valor absoluto no sea mayor que en , es aproximadamente igual al doble del valor de la función integral de Laplace:
.

Estimación de intervalo Llame a una estimación de este tipo, que está determinada por dos números que son los extremos del intervalo que cubre el parámetro estimado de la población estadística.

Intervalo de confianzaes un intervalo que, con una probabilidad de confianza dada cubre el parámetro estimado de la población estadística. Considerando la fórmula en la que reemplazamos la cantidad desconocida. R a su valor aproximado obtenidos de los datos de la muestra, obtenemos:
. Esta fórmula se utiliza para estimar la probabilidad por frecuencia relativa. Números
Y
llamado inferior y, respectivamente, superior límites de confianza, - el error máximo para una probabilidad de confianza dada
.

Ejemplo 34. El taller de la fábrica produce bombillas. Al revisar 625 lámparas, se encontró que 40 estaban defectuosas. Encuentre, con una probabilidad de confianza de 0,95, los límites dentro de los cuales se encuentra el porcentaje de bombillas defectuosas producidas por el taller de la fábrica.

Solución. Según las condiciones de la tarea. Usamos la fórmula
. Utilizando la Tabla 2 del apéndice, encontramos el valor del argumento, en el que el valor de la función integral de Laplace es igual a 0,475. lo entendemos
. De este modo, . Por tanto, podemos decir con una probabilidad de 0,95 que la proporción de defectos producidos por el taller es alta, es decir, varía del 6,2% al 6,6%.

10.3. Estimación de parámetros en estadística.

Sea la característica cuantitativa X de toda la población objeto de estudio (población general) una distribución normal.

Si se conoce la desviación estándar, entonces el intervalo de confianza que cubre la expectativa matemática A

, Dónde PAG- tamaño de la muestra, - media aritmética de muestra, t es el argumento de la función integral de Laplace, en la que
. En este caso el número
llamado exactitud de la estimación.

Si se desconoce la desviación estándar, entonces a partir de los datos de la muestra es posible construir una variable aleatoria que tenga una distribución de Student con PAG– 1 grado de libertad, que está determinado por un solo parámetro PAG y no depende de incógnitas A Y . Distribución t de Student incluso para muestras pequeñas
da valoraciones bastante satisfactorias. Entonces el intervalo de confianza que cubre la expectativa matemática A de esta característica con una probabilidad de confianza dada se encuentra a partir de la condición

, donde S es el cuadrado medio corregido, - Coeficiente de Student, encontrado a partir de los datos.
del cuadro 3 del apéndice.

El intervalo de confianza que cubre la desviación estándar de esta característica con una probabilidad de confianza se encuentra mediante las fórmulas: y , donde
encontrado en la tabla de valores q de acuerdo a .

10.4. Métodos estadísticos para estudiar dependencias entre variables aleatorias.

La dependencia de correlación de Y con X es la dependencia funcional del promedio condicional de X. La ecuacion
representa la ecuación de regresión de Y sobre X, y
- ecuación de regresión de X sobre Y.

La dependencia de la correlación puede ser lineal o curvilínea. En el caso de una dependencia de correlación lineal, la ecuación de la recta de regresión recta tiene la forma:
, donde la pendiente A La línea recta de regresión Y sobre X se denomina coeficiente de regresión muestral Y sobre X y se denota
.

Para muestras pequeñas, los datos no están agrupados, los parámetros
se encuentran usando el método de mínimos cuadrados del sistema de ecuaciones normales:

, Dónde PAG– número de observaciones de valores de pares de cantidades interrelacionadas.

Coeficiente de correlación lineal de muestra muestra la estrecha relación entre Y y X. El coeficiente de correlación se encuentra usando la fórmula
, y
, a saber:

La ecuación de muestra de la recta de regresión Y sobre X tiene la forma:

.

Con una gran cantidad de observaciones de las características X e Y, se compila una tabla de correlación con dos entradas, con el mismo valor. X observado veces, mismo significado en observado veces, mismo par
observado una vez.

Ejemplo 35. Se proporciona una tabla de observaciones de los signos X e Y.

Encuentre la ecuación de muestra de la recta de regresión Y sobre X.

Solución. La relación entre las características estudiadas se puede expresar mediante la ecuación de una línea recta de regresión de Y sobre X: . Para calcular los coeficientes de la ecuación, creemos una tabla de cálculo:

Observación no.

Capítulo 6. Variables aleatorias continuas.

§ 1. Función de densidad y distribución de una variable aleatoria continua.

El conjunto de valores de una variable aleatoria continua es incontable y suele representar algún intervalo finito o infinito.

Una variable aleatoria x(w) definida en un espacio de probabilidad (W, S, P) se llama continuo(absolutamente continua) W, si existe una función no negativa tal que para cualquier x la función de distribución Fx(x) se pueda representar como una integral

La función se llama función. densidades de distribución de probabilidad.

La definición implica las propiedades de la función de densidad de distribución:

1..gif" ancho="97" alto="51">

3. En puntos de continuidad, la densidad de distribución es igual a la derivada de la función de distribución: .

4. La densidad de distribución determina la ley de distribución de una variable aleatoria, ya que determina la probabilidad de que una variable aleatoria caiga en el intervalo:

5. La probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor específico es cero: . Por tanto, son válidas las siguientes igualdades:

La gráfica de la función de densidad de distribución se llama curva de distribución, y el área delimitada por la curva de distribución y el eje x es igual a la unidad. Entonces, geométricamente, el valor de la función de distribución Fx(x) en el punto x0 es el área limitada por la curva de distribución y el eje x y que se encuentra a la izquierda del punto x0.

Tarea 1. La función de densidad de una variable aleatoria continua tiene la forma:

Determine la constante C, construya la función de distribución Fx(x) y calcule la probabilidad.

Solución. La constante C se encuentra a partir de la condición Tenemos:

de donde C=3/8.

Para construir la función de distribución Fx(x), tenga en cuenta que el intervalo divide el rango de valores del argumento x (eje numérico) en tres partes: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" ancho="264 " alto="49">

ya que la densidad x en el semieje es cero. En el segundo caso

Finalmente, en el último caso, cuando x>2,

Dado que la densidad desaparece en el semieje. Entonces, se obtiene la función de distribución.

Probabilidad Calculemos usando la fórmula. De este modo,

§ 2. Características numéricas de una variable aleatoria continua

Valor esperado para variables aleatorias distribuidas continuamente está determinada por la fórmula https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

si la integral de la derecha converge absolutamente.

Dispersión x se puede calcular usando la fórmula , y también, como en el caso discreto, según la fórmula https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Todas las propiedades de expectativa matemática y dispersión dadas en el Capítulo 5 para variables aleatorias discretas también son válidas para variables aleatorias continuas.

Problema 2. Para la variable aleatoria x del problema 1, calcule la expectativa matemática y la varianza .

Solución.

Y eso significa

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Para ver un gráfico de densidad de distribución uniforme, consulte la Fig. .

Fig.6.2. Función de distribución y densidad de distribución. ley uniforme

La función de distribución Fx(x) de una variable aleatoria distribuida uniformemente es igual a

Fx(x)=

Expectativa y variación; .

Distribución exponencial (exponencial). Una variable aleatoria continua x que toma valores no negativos tiene una distribución exponencial con parámetro l>0 si la distribución de densidad de probabilidad de la variable aleatoria es igual a

ðx(x)=

Arroz. 6.3. Función de distribución y densidad de distribución de la ley exponencial.

La función de distribución de la distribución exponencial tiene la forma.

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" ancho="17" alto="41">.gif" ancho="13" alto="15"> y si su densidad de distribución es igual a

.

A través de denota el conjunto de todas las variables aleatorias distribuidas según una ley normal con parámetros parámetros y .

La función de distribución de una variable aleatoria normalmente distribuida es igual a

.

Arroz. 6.4. Función de distribución y densidad de distribución normal.

Los parámetros de la distribución normal son la expectativa matemática https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

En el caso especial cuando https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> se llama distribución normal estándar, y la clase de dichas distribuciones se indica con https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

y la función de distribución

Una integral de este tipo no se puede calcular analíticamente (no se toma en "cuadraturas") y, por lo tanto, se han compilado tablas para la función. La función está relacionada con la función de Laplace introducida en el Capítulo 4.

,

por la siguiente relación . En el caso de valores de parámetros arbitrarios https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> la función de distribución de una variable aleatoria se relaciona con la función de Laplace mediante la relación:

.

Por lo tanto, la probabilidad de que una variable aleatoria distribuida normalmente caiga en un intervalo se puede calcular mediante la fórmula

.

Una variable aleatoria no negativa x se llama distribución lognormal si su logaritmo h=lnx obedece la ley normal. El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria distribuida lognormalmente son Mx= y Dx=.

Tarea 3. Dejemos que se proporcione una variable aleatoria https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Solución. Aquí https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Distribución de Laplace viene dada por la función fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> y la curtosis es gx=3.

Fig.6.5. Función de densidad de distribución de Laplace.

La variable aleatoria x se distribuye sobre ley de weibull, si tiene una función de densidad de distribución igual a https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

La distribución Weibull regula los tiempos de funcionamiento sin fallos de muchos dispositivos técnicos. En problemas de este perfil, una característica importante es la tasa de fracaso (tasa de mortalidad) l(t) de los elementos estudiados de edad t, determinada por la relación l(t)=. Si a=1, entonces la distribución de Weibull se convierte en una distribución exponencial, y si a=2 - en la llamada distribución Rayleigh.

Expectativa matemática de la distribución de Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, donde Г(а) es Euler función. .

En diversos problemas de estadística aplicada, a menudo se encuentran las llamadas distribuciones "truncadas". Por ejemplo, las autoridades tributarias están interesadas en la distribución del ingreso de aquellas personas cuyos ingresos anuales exceden un cierto umbral c0 establecido por las leyes tributarias. Estas distribuciones resultan coincidir aproximadamente con la distribución de Pareto. distribución de Pareto dado por funciones

Fx(x)=P(x) .gif" width="44" height="25"> de una variable aleatoria x y una función monotónica diferenciable ..gif" width="200" height="51">

Aquí https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Tarea 4. La variable aleatoria se distribuye uniformemente en el segmento. Encuentra la densidad de una variable aleatoria.

Solución. De las condiciones del problema se deduce que

A continuación, la función es una función monótona y diferenciable en un intervalo y tiene una función inversa , cuya derivada es igual a Por lo tanto,

§ 5. Par de variables aleatorias continuas

Sean dadas dos variables aleatorias continuas x y h. Entonces el par (x, h) define un punto "aleatorio" en el plano. El par (x, h) se llama vector aleatorio o variable aleatoria bidimensional.

Función de distribución conjunta variables aleatorias x y h y la función se llama F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. densidad articular La distribución de probabilidad de las variables aleatorias x y h se llama función tal que .

El significado de esta definición de densidad de distribución conjunta es el siguiente. La probabilidad de que un "punto aleatorio" (x, h) caiga en una región de un plano se calcula como el volumen de una figura tridimensional: un cilindro "curvilíneo" delimitado por la superficie https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3.gif" width="211" height="39 src=">

El ejemplo más simple de una distribución conjunta de dos variables aleatorias es la distribución bidimensional. distribución uniforme en el setA. Sea un conjunto acotado M con área, definido como la distribución del par (x, h), definida por la siguiente densidad conjunta:

Tarea 5. Sea un vector aleatorio bidimensional (x, h) distribuido uniformemente dentro del triángulo. Calcula la probabilidad de la desigualdad x>h.

Solución. El área del triángulo indicado es igual a (ver Fig. No.?). En virtud de la definición de una distribución uniforme bidimensional, la densidad conjunta de variables aleatorias x, h es igual a

Un evento corresponde a un conjunto en un plano, es decir, en un semiplano. Entonces la probabilidad

En el semiplano B, la densidad de la junta es cero fuera del conjunto https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Por lo tanto, el el semiplano B se divide en dos conjuntos y https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> y , y la segunda integral es igual a cero, ya que la densidad conjunta allí es igual a cero. Es por eso

Si se da la densidad de distribución conjunta para un par (x, h), entonces las densidades de ambos componentes x y h se llaman densidades privadas y se calculan mediante las fórmulas:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Para variables aleatorias distribuidas continuamente con densidades рx(х), рh(у), la independencia significa que

Tarea 6. En las condiciones del problema anterior, determine si las componentes del vector aleatorio x y h son independientes.

Solución. Calculemos las densidades parciales y . Tenemos:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Obviamente, en nuestro caso https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> es la densidad conjunta de las cantidades x, h, y j( x, y) es una función de dos argumentos, entonces

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Tarea 7. En las condiciones del problema anterior, calcula .

Solución. Según la fórmula anterior tenemos:

.

Representando el triángulo como

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" ancho="479" alto="59">

§ 5. Densidad de la suma de dos variables aleatorias continuas

Sean x y h variables aleatorias independientes con densidades https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. La densidad de la variable aleatoria x + h se calcula mediante la fórmula circunvolución

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Calcula la densidad de la suma.

Solución. Dado que x y h se distribuyen según la ley exponencial con el parámetro , sus densidades son iguales

Por eso,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" ancho="339 altura=51" altura="51">

si x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">es negativo y por lo tanto . Por lo tanto, si https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Así obtuvimos la respuesta:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> se distribuye normalmente con los parámetros 0 y 1. Las variables aleatorias x1 y x2 son independientes y tienen valores normales. distribuciones con parámetros a1 y a2, respectivamente. Demuestre que x1 + x2 tiene una distribución normal. Las variables aleatorias x1, x2, ... xn están distribuidas y son independientes y tienen la misma función de densidad

.

Encuentre la función de distribución y la densidad de distribución de valores:

a) h1 = mín (x1, x2, ...xn); b) h(2) = máx (x1,x2, ... xn)

Las variables aleatorias x1, x2, ... xn son independientes y están distribuidas uniformemente en el intervalo [a, b]. Encuentre funciones de distribución y funciones de densidad de distribuciones de cantidades.

x(1) = mín (x1,x2, ... xn) y x(2)= máx(x1, x2, ...xn).

Demuestre que Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

La variable aleatoria se distribuye según la ley de Cauchy Encuentre: a) coeficiente a; b) función de distribución; c) la probabilidad de caer en el intervalo (-1, 1). Demuestre que la expectativa matemática de x no existe. La variable aleatoria está sujeta a la ley de Laplace con el parámetro l (l>0): Encuentre el coeficiente a; construir gráficos de densidad de distribución y funciones de distribución; encontrar Mx y Dx; encuentre las probabilidades de eventos (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Escriba una fórmula para la densidad de distribución, encuentre Mx y Dx.

Tareas computacionales.

Un punto aleatorio A tiene una distribución uniforme en un círculo de radio R. Encuentre la expectativa matemática y la varianza de la distancia r del punto al centro del círculo. Demuestre que el valor r2 está distribuido uniformemente en el segmento.

La densidad de distribución de una variable aleatoria tiene la forma:

Calcule la constante C, la función de distribución F(x) y la probabilidad. La densidad de distribución de una variable aleatoria tiene la forma:

Calcule la constante C, la función de distribución F(x) y la probabilidad. La densidad de distribución de una variable aleatoria tiene la forma:
Calcule la constante C, la función de distribución F(x), la varianza y la probabilidad. Una variable aleatoria tiene una función de distribución.

Calcular la densidad de una variable aleatoria, expectativa matemática, varianza y probabilidad. Comprobar que la función =
puede ser una función de distribución de una variable aleatoria. Encuentra las características numéricas de esta cantidad: Mx y Dx. La variable aleatoria se distribuye uniformemente en el segmento. Anota la densidad de distribución. Encuentra la función de distribución. Encuentre la probabilidad de que una variable aleatoria caiga en el segmento y en el segmento. La densidad de distribución x es igual a

.

Encuentre la constante c, la densidad de distribución h = y la probabilidad

p (0,25

El tiempo de funcionamiento sin fallos de una computadora se distribuye según una ley exponencial con el parámetro l = 0,05 (fallos por hora), es decir, tiene una función de densidad.

pag(x) = .

Resolver un determinado problema requiere un funcionamiento sin problemas de la máquina durante 15 minutos. Si se produce una falla al resolver un problema, el error se detecta solo después de que se completa la solución y el problema se resuelve nuevamente. Encuentre: a) la probabilidad de que durante la solución del problema no ocurra ni una sola falla; b) el tiempo promedio en que se resolverá el problema.

Una varilla de 24 cm de largo se parte en dos partes; Supondremos que el punto de rotura se distribuye uniformemente a lo largo de toda la varilla. ¿Cuál es la longitud promedio de la mayor parte de la varilla? Un trozo de 12 cm de largo se corta al azar en dos partes. El punto de corte se distribuye uniformemente a lo largo de todo el segmento. ¿Cuál es la longitud promedio de la pequeña parte del segmento? La variable aleatoria se distribuye uniformemente en el segmento. Encuentre la densidad de distribución de la variable aleatoria a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = .

Demuestre que si x tiene una función de distribución continua

F(x) = P(x

Encuentre la función de densidad y la función de distribución de la suma de dos cantidades independientes x y h con leyes de distribución uniforme en los segmentos y, respectivamente. Las variables aleatorias x y h son independientes y están distribuidas uniformemente en los segmentos y, respectivamente. Calcula la densidad de la suma x+h. Las variables aleatorias x y h son independientes y están distribuidas uniformemente en los segmentos y, respectivamente. Calcula la densidad de la suma x+h. Las variables aleatorias x y h son independientes y están distribuidas uniformemente en los segmentos y, respectivamente. Calcula la densidad de la suma x+h. Las variables aleatorias son independientes y tienen una distribución exponencial con densidad. . Encuentre la densidad de distribución de su suma. Encuentre la distribución de la suma de las variables aleatorias independientes x y h, donde x tiene una distribución uniforme en el intervalo y h tiene una distribución exponencial con parámetro l. Encuentra P , si x tiene: a) distribución normal con parámetros a y s2; b) distribución exponencial con parámetro l; c) distribución uniforme en el segmento [-1;1]. La distribución conjunta de x, h es uniforme al cuadrado.
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). encontrar probabilidad . ¿Son x y h independientes? Un par de variables aleatorias x y h están distribuidas uniformemente dentro del triángulo K=. Calcule las densidades x y h. ¿Son independientes estas variables aleatorias? Encuentra la probabilidad. Las variables aleatorias x y h son independientes y están distribuidas uniformemente en los segmentos y [-1,1]. Encuentra la probabilidad. Una variable aleatoria bidimensional (x, h) está distribuida uniformemente en un cuadrado con vértices (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Encuentre el valor de la función de distribución conjunta en el punto (1, -1). Un vector aleatorio (x, h) está distribuido uniformemente dentro de un círculo de radio 3 con centro en el origen. Escribe una expresión para la densidad de distribución conjunta. Determine si estas variables aleatorias son dependientes. Calcular la probabilidad. Un par de variables aleatorias x y h están distribuidas uniformemente dentro de un trapezoide con vértices en los puntos (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Encuentre la densidad de distribución conjunta para este par de variables aleatorias y la densidad de los componentes. ¿Son x y h dependientes? Un par aleatorio (x, h) está distribuido uniformemente dentro de un semicírculo. Encuentre las densidades x y h, investigue la cuestión de su dependencia. La densidad conjunta de dos variables aleatorias x y h es igual a .
Encuentre las densidades x, h. Investigue la cuestión de la dependencia de x y h. Un par aleatorio (x, h) está distribuido uniformemente en el conjunto. Encuentre las densidades x y h, investigue la cuestión de su dependencia. Encuentre M(xh). Las variables aleatorias x y h son independientes y se distribuyen según la ley exponencial con el parámetro Encontrar