Divide la cruz en formas de 5 celdas. Problemas de corte.docx - problemas de corte

1. Un cuadrado contiene 16 celdas. Divida el cuadrado en dos partes iguales para que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de las celdas. (Los métodos para cortar un cuadrado en dos partes se considerarán diferentes si las partes del cuadrado obtenidas con un método de corte no son iguales a las partes obtenidas con otro método). ¿Cuántas soluciones totales tiene el problema?
2. Un rectángulo de 3X4 contiene 12 celdas. Encuentre cinco formas de cortar un rectángulo en dos partes iguales para que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de las celdas (los métodos de corte se consideran diferentes si las partes obtenidas con un método de corte no son iguales a las partes obtenidas con otro método).
3. Un rectángulo de 3X5 contiene 15 celdas y se ha eliminado la celda central. Encuentra cinco formas de cortar la figura restante en dos partes iguales para que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de las celdas.
4. Un cuadrado de 6x6 se divide en 36 cuadrados idénticos. Encuentra cinco formas de cortar un cuadrado en dos partes iguales de modo que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de los cuadrados. Nota: el problema tiene más de 200 soluciones.
5. Divide el cuadrado de 4x4 en cuatro partes iguales, con la línea de corte a lo largo de los lados de los cuadrados. ¿Cuántos métodos de corte diferentes puedes encontrar?
6. Divida la figura (Fig. 5) en tres partes iguales para que la línea de corte corra a lo largo de los lados de los cuadrados.

7. Divida la figura (Fig. 6) en cuatro partes iguales de modo que la línea de corte corra a lo largo de los lados de los cuadrados.

8. Divida la figura (Fig. 7) en cuatro partes iguales para que las líneas de corte vayan a lo largo de los lados de los cuadrados. Encuentre tantas soluciones como sea posible.

9. Divida el cuadrado de 5x5 con el cuadrado central cortado en cuatro partes iguales.

10. Corte las figuras que se muestran en la Fig. 8 en dos partes iguales a lo largo de las líneas de la cuadrícula, y cada parte debe tener un círculo.

11. Las figuras que se muestran en la Fig. 9 deben cortarse a lo largo de las líneas de la cuadrícula en cuatro partes iguales para que cada parte tenga un círculo. ¿Cómo hacerlo?

12. Corte la figura que se muestra en la Fig. 10 a lo largo de las líneas de la cuadrícula en cuatro partes iguales y dóblelas en un cuadrado de modo que los círculos y las estrellas estén ubicados simétricamente con respecto a todos los ejes de simetría del cuadrado.

13. Corte este cuadrado (Fig. 11) a lo largo de los lados de las celdas para que todas las partes tengan el mismo tamaño y forma y para que cada una contenga un círculo y un asterisco.

14. Corte el cuadrado de papel a cuadros de 6 × 6 que se muestra en la Figura 12 en cuatro piezas idénticas para que cada una de ellas contenga tres cuadrados de colores.

10. Una hoja cuadrada de papel cuadriculado se divide en cuadrados más pequeños mediante segmentos que corren a lo largo de los lados de las celdas. Demuestre que la suma de las longitudes de estos segmentos es divisible por 4. (La longitud del lado de la celda es 1).

Solución: Sea Q una hoja de papel cuadrada, L(Q) sea la suma de las longitudes de los lados de las celdas que se encuentran dentro de ella. Entonces L(Q) es divisible por 4, ya que todos los lados considerados se dividen en cuatro lados, obtenidos entre sí mediante rotaciones de 90 0 y 180 0 con respecto al centro del cuadrado.

Si el cuadrado Q se divide en cuadrados Q 1 , …, Q n , entonces la suma de las longitudes de los segmentos de división es igual a

L (Q) - L (Q 1) - … - L (Q n). Está claro que este número es divisible por 4, ya que los números L(Q), L(Q 1), ..., L(Q n) son divisibles por 4.

4. Invariantes

11. Dado un tablero de ajedrez. Se permite volver a pintar de un color diferente todas las celdas de cualquier horizontal o vertical a la vez. ¿Puede esto dar como resultado un tablero con exactamente un cuadrado negro?

Solución: volver a pintar una línea horizontal o vertical que contenga k celdas negras y 8 k blancas dará como resultado 8 k celdas negras y k blancas. Por lo tanto, el número de celdas negras cambiará a (8-k)-k=8-2k, es decir a un número par. Dado que se conserva la paridad del número de celdas negras, no podemos obtener una celda negra de las 32 celdas negras originales.

12. Dado un tablero de ajedrez. Se permite volver a pintar de un color diferente todas las celdas ubicadas dentro de un cuadrado de 2 x 2 a la vez. ¿Puede quedar exactamente una celda negra en el tablero?

Solución: si cambias el color de un cuadrado de 2 x 2 que contiene k celdas negras y 4 k blancas, obtendrás 4 k celdas negras y k blancas. Por lo tanto, el número de celdas negras cambiará a (4-k)-k=4-2k, es decir a un número par. Dado que se conserva la paridad del número de celdas negras, de las 32 celdas negras originales no podemos obtener una celda negra.

13. Demuestre que un polígono convexo no se puede dividir en un número finito de cuadriláteros no convexos.

Solución: Supongamos que un polígono convexo M se corta en cuadrángulos no convexos M 1,..., M n. A cada polígono N le asignamos un número f(N), igual a la diferencia entre la suma de sus ángulos internos menores a 180, y la suma de los ángulos que complementan hasta 360 sus ángulos mayores a 180. Comparemos los números A = f(M) y B = f(M 1)+…+ f(M n). Para ello, considere todos los puntos que son los vértices de los cuadriláteros M 1 ..., M n. Se pueden dividir en cuatro tipos.

1. Vértices del polígono M. Estos puntos hacen contribuciones iguales a A y B.

2. Puntos en los lados del polígono M o M 1. La contribución de cada uno de esos puntos a B en

180 más que en A.

3. Puntos interiores de un polígono en los que se encuentran las esquinas del cuadrilátero,

menos de 180. La contribución de cada uno de esos puntos a B es 360 más que a A.

4. Puntos interiores del polígono M, en los que se encuentran los ángulos de los cuadriláteros, y uno de ellos es mayor que 180. Dichos puntos dan contribuciones cero a A y B.

Como resultado obtenemos A<В. С другой стороны, А>0 y B=0. La desigualdad A >0 es obvia, y para demostrar la igualdad B=0 basta comprobar que si es un cuadrilátero N-no convexo, entonces f(N)=0. Sean los ángulos N iguales a a>b>c>d. Cualquier cuadrilátero no convexo tiene exactamente un ángulo mayor que 180, por lo f(N)=b+c+d-(360-a)=a+b+c+d-360=0.

Se obtiene una contradicción, por lo tanto un polígono convexo no se puede cortar en un número finito de cuadriláteros no convexos.

14. Hay una pieza en el centro de cada casilla del tablero de ajedrez. Las fichas se reorganizaron de modo que las distancias por pares entre ellas no disminuyeran. Demuestre que en realidad las distancias por pares no han cambiado.

Solución: Si al menos una de las distancias entre las fichas aumentara, entonces la suma de todas las distancias por pares entre las fichas aumentaría, pero la suma de todas las distancias por pares entre las fichas no cambia con ninguna permutación.

15. El campo cuadrado está dividido en 100 secciones cuadradas idénticas, 9 de las cuales están cubiertas de malas hierbas. Se sabe que a lo largo de un año las malas hierbas se propagan sólo en aquellas zonas en las que al menos dos zonas vecinas (es decir, que tienen un lado común) ya están cubiertas de malas hierbas. Demuestre que el campo nunca estará completamente cubierto de malezas.

Solución: Es fácil comprobar que la longitud del borde de toda el área (o varias áreas) cubierta de malezas no aumentará. En el momento inicial no supera 4*9=36, por lo que en el momento final no puede ser igual a 40.

En consecuencia, el campo nunca estará completamente cubierto de malezas.

16. Dado un gon convexo de 2m A 1 ...A 2 m. En su interior se toma un punto P que no se encuentra en ninguna de las diagonales. Demuestre que el punto P pertenece a un número par de triángulos con vértices en los puntos A 1,..., A 2 m.

Solución: Las diagonales dividen el polígono en varias partes. llamaremos vecino aquellos que tienen un lado común. Está claro que desde cualquier punto interior del polígono se puede llegar a cualquier otro, moviéndose cada vez sólo de la parte vecina a la vecina. La parte del plano que se encuentra fuera del polígono también puede considerarse una de estas partes. El número de triángulos considerados para los puntos de esta parte es cero, por lo que basta con demostrar que al pasar de una parte adyacente a otra adyacente se conserva la paridad del número de triángulos.

Deje que el lado común de dos partes adyacentes se encuentre en la diagonal (o lado) PQ. Entonces, a todos los triángulos considerados, excepto a los triángulos con lado PQ, ambas partes pertenecen o no al mismo tiempo. Por lo tanto, al pasar de una parte a otra, el número de triángulos cambia en k 1 -k 2, donde k 1 es el número de vértices del polígono que se encuentra en un lado de PQ. Dado que k 1 +k 2 =2m-2, entonces el número k 1 -k 2 es par.

4. Páginas auxiliares para colorear en forma de tablero de ajedrez.

17. En cada celda del tablero de 5 x 5 hay un escarabajo. En algún momento, todos los escarabajos se arrastran hacia celdas adyacentes (horizontales o verticales). ¿Esto necesariamente deja una celda vacía?

Solución: Dado que el número total de celdas en un tablero de ajedrez de 5 x 5 es impar, no puede haber el mismo número de celdas blancas y negras. Deje que haya más celdas negras para estar seguro. Entonces hay menos escarabajos sentados en las células blancas que en las células negras. Por lo tanto, al menos una de las celdas negras permanece vacía, ya que sobre las celdas negras sólo se arrastran los escarabajos que se encuentran sobre las celdas blancas.

19. Demuestre que un tablero de 10 x 10 cuadrados no se puede cortar en figuras en forma de T que consten de cuatro cuadrados.

Solución: Supongamos que un tablero de 10 x 10 celdas se divide en las siguientes figuras. Cada figura contiene 1 o 3 celdas negras, es decir siempre un número impar. Las figuras en sí deben ser 100/4 = 25 piezas. Por lo tanto, contienen un número impar de celdas negras y hay 100/2 = 50 celdas negras en total. Se ha obtenido una contradicción.

5. Problemas con los libros para colorear

20. El avión está pintado en dos colores. Demuestre que hay dos puntos del mismo color cuya distancia es exactamente 1.

Solución: Considere un triángulo regular de lado 1.

Transcripción

1 M. A. Ekimova, G. P. Kukin MCNMO Moscú, 2002

2 UDC BBK E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Problemas de corte. M.: MTsNMO, p.: enfermo. Serie: “Secretos de la enseñanza de las matemáticas”. Este libro es el primero de la serie “Secretos de la enseñanza de las matemáticas”, diseñado para presentar y resumir la experiencia acumulada en el campo de la educación matemática. Esta colección representa una de las partes del curso "Lógica del desarrollo en los grados 5 a 7". Para todos los problemas presentados en el libro, se dan soluciones o instrucciones. El libro se recomienda para trabajos extracurriculares en matemáticas. LBC ISBN c Kukin G. P., Ekimova M. A., c MCNMO, 2002.

3 Introducción Actualmente se está revisando y aclarando la visión tradicional de la composición de las materias estudiadas por los escolares. Se están introduciendo varias materias nuevas en el plan de estudios escolar. Uno de estos temas es la lógica. El estudio de la lógica contribuye a la comprensión de la belleza y la gracia del razonamiento, la capacidad de razonar, el desarrollo creativo de la personalidad y la educación estética de una persona. Toda persona culta debería estar familiarizada con las tareas lógicas, los acertijos y los juegos que se conocen desde hace varios siglos o incluso milenios en muchos países del mundo. El desarrollo de la inteligencia, el ingenio y el pensamiento independiente es necesario para cualquier persona si quiere tener éxito y lograr la armonía en la vida. Nuestra experiencia muestra que el estudio sistemático de la lógica formal o de fragmentos de lógica matemática debería posponerse hasta los últimos grados de la escuela secundaria. Al mismo tiempo, es necesario desarrollar el pensamiento lógico lo antes posible. De hecho, al estudiar materias académicas en la escuela, el razonamiento y la demostración aparecen solo en el séptimo grado (cuando comienza un curso de geometría sistemática). Para muchos estudiantes, la transición abrupta (sin razonamiento se convirtió en mucho razonamiento) es insoportablemente difícil. En un curso de lógica del desarrollo para los grados 5 a 7, es muy posible enseñar a los escolares a razonar, probar y encontrar patrones. Por ejemplo, al resolver acertijos matemáticos, no solo debes adivinar (seleccionar) varias respuestas, sino también demostrar que has obtenido una lista completa de posibles respuestas. Esto es bastante factible para un alumno de quinto grado. Pero en el proceso de enseñanza de la lógica en los grados 5-7 de las escuelas secundarias, los profesores enfrentan ciertas dificultades: la falta de libros de texto, materiales didácticos, manuales y materiales visuales. Todo esto tiene que ser recopilado, escrito y dibujado por el propio profesor. Uno de los objetivos de esta colección es facilitar a los profesores la preparación y dirección de las clases. Daremos algunas recomendaciones para realizar lecciones antes de trabajar con la colección.

4 4 Introducción Es recomendable empezar a enseñar lógica a los escolares en quinto grado, y tal vez antes. La enseñanza de la lógica debe realizarse en un estilo relajado, casi de improvisación. Esta aparente facilidad en realidad requiere mucha preparación seria por parte del maestro. Es inaceptable, por ejemplo, leer un problema interesante y entretenido en un grueso cuaderno escrito a mano, como hacen a veces los profesores. Recomendamos realizar clases en una forma no estándar. Es necesario utilizar la mayor cantidad de material visual posible en las lecciones: varias tarjetas, dibujos, conjuntos de figuras, ilustraciones para resolver problemas, diagramas. No deberías estudiar un tema con estudiantes más jóvenes durante mucho tiempo. Al analizar un tema, se debe intentar resaltar los principales hitos lógicos y lograr la comprensión (y no la memorización) de estos puntos. Es necesario volver constantemente al material cubierto. Esto se puede hacer en trabajo independiente, competiciones en equipo (durante las lecciones), pruebas al final del trimestre, olimpiadas orales y escritas, matboys (fuera del horario de clase). También es necesario utilizar tareas entretenidas y humorísticas en las clases, en ocasiones es útil cambiar el rumbo de la actividad. Esta colección es una de las partes del curso “Lógica del desarrollo en los grados 5-7” “Problemas de corte”. Esta parte se probó en lecciones de lógica en los grados 5 a 7 en el Liceo 74 de Omsk. Muchos científicos se han interesado por los problemas de corte desde la antigüedad. Los antiguos griegos y chinos encontraron soluciones a muchos problemas simples de corte, pero el primer tratado sistemático sobre este tema pertenece a la pluma de Abul-Vef, el famoso astrónomo persa del siglo X, que vivió en Bagdad. Los geómetras comenzaron seriamente a resolver los problemas de cortar figuras en el menor número de partes y luego componer una u otra figura nueva a partir de ellas solo a principios del siglo XX. Uno de los fundadores de esta fascinante rama de la geometría fue el famoso fabricante de rompecabezas Henry

5 Introducción 5 E. Dudeney. Un experto de la Oficina Australiana de Patentes, Harry Lindgren, batió un número especialmente elevado de récords preexistentes en cuanto a figuras de corte. Es un destacado experto en el campo del corte de formas. Hoy en día, los amantes de los rompecabezas están interesados ​​en resolver problemas cortantes principalmente porque no existe un método universal para resolverlos, y cualquiera que los resuelva puede demostrar plenamente su ingenio, intuición y capacidad de pensamiento creativo. Dado que no requiere conocimientos profundos de geometría, los aficionados a veces pueden incluso superar a los matemáticos profesionales. Sin embargo, los problemas de corte no son frívolos ni inútiles, no están tan lejos de ser problemas matemáticos serios. De los problemas de corte surgió el teorema de Bolyai Gerwin de que dos polígonos cualesquiera de igual tamaño son equivalentes (lo contrario es obvio), y luego el tercer problema de Hilbert: ¿es cierta una afirmación similar para los poliedros? Las tareas de corte ayudan a los escolares a formar conceptos geométricos lo antes posible utilizando una variedad de materiales. Al resolver tales problemas, surge un sentimiento de belleza, ley y orden en la naturaleza. La colección “Problemas de corte” se divide en dos secciones. Para resolver los problemas de la primera sección, los estudiantes no necesitarán conocimientos de los conceptos básicos de planimetría, pero sí ingenio, imaginación geométrica e información geométrica bastante simple y conocida por todos. La segunda sección son tareas opcionales. Esto incluyó tareas que requieren conocimiento de información geométrica básica sobre figuras, sus propiedades y características, y conocimiento de algunos teoremas. Cada sección está dividida en párrafos, en los que intentamos combinar tareas sobre un tema, y ​​ellos, a su vez, se dividen en lecciones, cada una de las cuales contiene tareas homogéneas en orden de dificultad creciente. La primera sección contiene ocho párrafos. 1. Problemas sobre papel cuadriculado. Esta sección contiene problemas en los que el corte de formas (principalmente cuadrados y rectángulos) se produce a lo largo de los lados de las celdas. El párrafo contiene 4 lecciones, las recomendamos para que las estudien estudiantes de 5to grado.

6 6 Introducción 2. Pentamino. Este párrafo contiene problemas relacionados con las figuras de pentominó, por lo que para estas lecciones es recomendable distribuir juegos de estas figuras a los niños. Aquí hay dos lecciones, las recomendamos para que las estudien estudiantes de 5.º a 6.º grado. 3. Tareas de corte difíciles. Aquí se recopilan tareas para cortar formas de formas más complejas, por ejemplo, con límites que son arcos, y tareas de corte más complejas. Hay dos lecciones en este párrafo; recomendamos enseñarlas en séptimo grado. 4. Particionar el avión. Aquí se recopilan problemas en los que es necesario encontrar divisiones continuas de rectángulos en baldosas rectangulares, problemas de composición de suelos de parquet, problemas de disposición más densa de figuras en un rectángulo o cuadrado. Recomendamos estudiar este párrafo en los grados 6-7. 5. Tangram. Aquí se recopilan problemas relacionados con el antiguo rompecabezas chino "Tangram". Para realizar esta lección es recomendable disponer de este rompecabezas, al menos de cartón. Recomendamos este párrafo para estudiar en 5to grado. 6. Problemas relacionados con el corte en el espacio. Aquí se introduce a los estudiantes en el desarrollo de un cubo y una pirámide triangular, se trazan paralelos y se muestran las diferencias entre figuras en un plano y cuerpos volumétricos y, por tanto, las diferencias en la resolución de problemas. El párrafo contiene una lección que recomendamos que estudien los estudiantes de sexto grado. 7. Tareas de colorear. Esto muestra cómo colorear la figura ayuda a resolver el problema. No es difícil demostrar que es posible resolver el problema de cortar una figura en pedazos, basta con proporcionar algún método de corte. Pero es más difícil demostrar que cortar es imposible. Colorear la figura nos ayuda a ello. Hay tres lecciones en este párrafo. Los recomendamos para que los estudien estudiantes de séptimo grado. 8. Problemas con la coloración en el estado. Aquí se recopilan tareas en las que necesita colorear una figura de cierta manera, responder la pregunta: cuántos colores se necesitarán para tal coloración (el número más pequeño o más grande), etc. Hay siete lecciones en el párrafo. Los recomendamos para que los estudien estudiantes de séptimo grado. La segunda sección incluye tareas que se pueden resolver en clases adicionales. Contiene tres párrafos.

7 Introducción 7 9. Transformación de figuras. Contiene problemas en los que una figura se corta en partes a partir de las cuales se hace otra figura. Hay tres lecciones en este párrafo, la primera examina la “transformación” de varias figuras (aquí se recopilan tareas bastante sencillas) y la segunda lección examina la geometría de la transformación de un cuadrado. 10. Tareas diversas de corte. Esto incluye varias tareas de corte que se resuelven mediante diferentes métodos. Hay tres lecciones en este párrafo. 11. Área de figuras. Hay dos lecciones en este párrafo. La primera lección examina problemas en los que necesitas cortar figuras en pedazos y luego demostrar que las figuras están compuestas por igual; en la segunda lección, problemas en los que necesitas usar las propiedades de las áreas de las figuras.

8 Sección 1 1. Problemas en papel cuadriculado Lección 1.1 Tema: Problemas de corte en papel cuadriculado. Objetivo: desarrollar habilidades combinatorias (considerar varias formas de construir una línea de corte para figuras, reglas que le permitan no perder soluciones al construir esta línea), desarrollar ideas sobre simetría. Resolvemos problemas en clase, problema 1.5 en casa, un cuadrado contiene 16 celdas. Divida el cuadrado en dos partes iguales para que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de las celdas. (Los métodos para cortar un cuadrado en dos partes se considerarán diferentes si las partes del cuadrado obtenidas con un método de corte no son iguales a las partes obtenidas con otro método). ¿Cuántas soluciones totales tiene el problema? Nota. Encontrar múltiples soluciones a este problema no es tan difícil. En la Fig. 1 se muestran algunos de ellos, y las soluciones b) yc) son las mismas, ya que las figuras obtenidas en ellas se pueden combinar superponiéndolas (si gira el cuadrado c) 90 grados). Arroz. 1 Pero encontrar todas las soluciones y no perder ni una sola solución ya es más difícil. Tenga en cuenta que la línea discontinua que divide el cuadrado en dos partes iguales es simétrica con respecto al centro del cuadrado, esta observación permite que el paso

9 Lección a paso para dibujar una polilínea en ambos extremos. Por ejemplo, si el comienzo de una línea discontinua está en el punto A, entonces su final estará en el punto B (Fig. 2). Asegúrese de que para este problema el principio y el final de la polilínea se puedan dibujar de dos maneras, como se muestra en la Fig. 2. Al construir una polilínea, para no perder ninguna solución, puedes seguir esta regla. Si el siguiente eslabón de una línea discontinua se puede dibujar de dos maneras, primero debe preparar un segundo dibujo similar y realizar este paso en un dibujo de la primera manera y en el otro de la segunda (la Fig. 3 muestra dos continuaciones de la Fig. 2 (a)). Debe hacer lo mismo cuando no hay dos, sino tres métodos (la Fig. 4 muestra tres continuaciones de la Fig. 2 (b)). El procedimiento especificado ayuda a encontrar todas las soluciones. Arroz. 2 figura. 3 Fig. El rectángulo 3 4 contiene 12 celdas. Encuentre cinco formas de cortar un rectángulo en dos partes iguales de modo que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de las celdas (los métodos de corte se consideran diferentes si las partes obtenidas con un método de corte no son iguales a las partes obtenidas con otro método) A 3 5 rectángulo contiene 15 celdas y se ha eliminado una celda central. Encuentra cinco formas de cortar la figura restante.

10 10 1. Problemas en papel cuadriculado cortado en dos partes iguales de modo que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de las celdas. El cuadrado 6 6 se divide en 36 cuadrados idénticos. Encuentra cinco formas de cortar un cuadrado en dos partes iguales de modo que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de los cuadrados. El problema 1.4 tiene más de 200 soluciones. Encuentra al menos 15 de ellos. Lección 1.2 Tema: Problemas de corte en papel cuadriculado. Objetivo: continuar desarrollando ideas sobre simetría, preparación para el tema "Pentamino" (examen de varias figuras que se pueden construir a partir de cinco celdas). Problemas: ¿Es posible cortar un cuadrado de 5 5 celdas en dos partes iguales de modo que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de las celdas? Justifica tu respuesta Divide el cuadrado 4 4 en cuatro partes iguales de modo que la línea de corte corra a lo largo de los lados de las celdas. ¿Cuántos métodos de corte diferentes puedes encontrar? 1.8. Divida la figura (Fig. 5) en tres partes iguales para que la línea de corte corra a lo largo de los lados de los cuadrados. Arroz. 5 figura. 6 Fig. Divida la figura (Fig. 6) en cuatro partes iguales para que la línea de corte vaya por los lados de los cuadrados. Divida la figura (Fig. 7) en cuatro partes iguales para que las líneas de corte vayan por los lados de los cuadrados. los cuadrados. Encuentre tantas soluciones como sea posible.

Lección 11 Divide el cuadrado de 5 5 celdas con la celda central recortada en cuatro partes iguales. Lección 1.3 Tema: Problemas de corte en papel cuadriculado. Meta: Continuar desarrollando ideas sobre simetría (axial, central). Tareas Cortar las formas que se muestran en la Fig. 8, en dos partes iguales a lo largo de las líneas de la cuadrícula, y cada parte debe tener un círculo. Arroz. 8 Fig. Las figuras que se muestran en la Fig. 9, debes cortar a lo largo de las líneas de la cuadrícula en cuatro partes iguales para que haya un círculo en cada parte. ¿Cómo hacerlo? Recorta la figura que se muestra en la Fig. 10, a lo largo de las líneas de la cuadrícula en cuatro partes iguales y dóblelas formando un cuadrado de modo que los círculos y las estrellas queden ubicados simétricamente con respecto a todos los ejes de simetría del cuadrado. Arroz. 10

12 12 1. Problemas en papel a cuadros Corta este cuadrado (Fig. 11) a lo largo de los lados de las celdas para que todas las partes tengan el mismo tamaño y forma y para que cada una contenga un círculo y un asterisco. Corta el cuadrado 6 6 del papel a cuadros papel mostrado en la Fig. 12, en cuatro partes idénticas de modo que cada una de ellas contenga tres celdas sombreadas. Lección 1.4 Fig. 11 figura. 12 Tema: Problemas de corte en papel cuadriculado. Objetivo: aprender a cortar un rectángulo en dos partes iguales, de las cuales puedes doblar un cuadrado y otro rectángulo. Aprenda a determinar qué rectángulos se pueden convertir en cuadrados cortándolos. Problemas Tareas adicionales 1.23, 1.24 (estos problemas se pueden considerar al comienzo de la lección para calentar) Corte un rectángulo de 4 9 celdas en los lados de las celdas en dos partes iguales para que luego se puedan doblar en un cuadrado. ¿Es posible cortar un rectángulo de 4 8 celdas en dos partes a lo largo de los lados de las celdas para poder usarlas para formar un cuadrado? De un rectángulo de 10 7 celdas, se cortó un rectángulo de 1 6 celdas, como se muestra en la Fig. 13. Corte la figura resultante en dos partes para que se puedan doblar en un cuadrado. Las figuras sombreadas se cortaron de un rectángulo de 8 9 celdas, como se muestra en la Fig. 14. Corta la figura resultante en dos partes iguales para poder doblarlas formando un rectángulo de 6 10.

13 Lección Fig. 13 Fig. Se dibuja un cuadrado de 5 5 celdas en papel cuadriculado. Muestre cómo cortarlo a lo largo de los lados de los cuadrados en 7 rectángulos diferentes. Corte el cuadrado en 5 rectángulos a lo largo de los lados de los cuadrados de modo que los diez números que expresan las longitudes de los lados de los rectángulos sean enteros diferentes. Divida las figuras que se muestran en la Fig. 15, en dos partes iguales. (Puede cortar no sólo a lo largo de las líneas de las celdas, sino también a lo largo de sus diagonales). 15

14 14 2. Pentomino Corta las formas que se muestran en la Fig. 16, en cuatro partes iguales. 2. Pentamino Fig. 16 Lección 2.1 Tema: Pentamino. Objetivo: Desarrollo de habilidades combinatorias de los estudiantes. Problemas Las figuras del dominó, trimino, tetrominó (un juego con este tipo de figuras se llama Tetris), pentominó se componen de dos, tres, cuatro, cinco cuadrados de modo que cualquier cuadrado tiene un lado común con al menos un cuadrado. A partir de dos cuadrados idénticos sólo se puede hacer una figura de dominó (ver Fig. 17). Las figuras de Trimino se pueden obtener a partir de una sola figura de dominó añadiéndole otro cuadrado de varias maneras. Obtendrá dos figuras de trimino (Fig. 18). Arroz. 17 Fig Haz todo tipo de figuras de tetromino (de la palabra griega “tetra” cuatro). ¿Cuántos de ellos obtuviste? (Las formas obtenidas por rotación o visualización simétrica de cualesquiera otras no se consideran nuevas).

Lección 15 Haz todas las figuras de pentominó posibles (del griego “penta” cinco). ¿Cuántos de ellos obtuviste? 2.3. Haz las figuras que se muestran en la Fig. 19, de figuras de pentominó. ¿Cuántas soluciones tiene el problema para cada figura? Fig. Dobla un rectángulo de 3 5 usando figuras de pentominó. ¿Cuántas soluciones diferentes se te ocurren? 2.5. Haz las figuras que se muestran en la Fig. 20, de figuras de pentominó. Arroz. 20

16 16 2. Pentamino Lección 2.2 Tema: Pentamino. Objetivo: Desarrollo de ideas sobre simetría. Problemas En el problema 2.2 compusimos todas las figuras de pentominó posibles. Míralos en la Fig. 21. figura. 21 La Figura 1 tiene la siguiente propiedad. Si lo corta de papel y lo dobla en línea recta a (Fig. 22), una parte de la figura coincidirá con la otra. Se dice que la figura es simétrica con respecto al eje de simetría recto. La figura 12 también tiene un eje de simetría, incluso dos son rectas b y c, pero la figura 2 no tiene ejes de simetría. Figura ¿Cuántos ejes de simetría tiene cada figura de pentominó? 2.7. De las 12 figuras de pentominó, doble un rectángulo. Las piezas asimétricas se pueden voltear. Doble doce figuras de pentominó en un rectángulo 6 10, de manera que cada elemento toque algún lado de este rectángulo.

Lección 17 Corta el rectángulo que se muestra en la Fig. 23 (a), a lo largo de las líneas internas en dos de esas partes, a partir de las cuales se puede doblar una figura con tres agujeros cuadrados del tamaño de una celda (Fig. 23 (b)). Fig. De las figuras de pentominó, doble un cuadrado 8 8 con un cuadrado 2 2 cortado en el medio. Encuentre varias soluciones. Se colocan doce pentominós en un rectángulo. Restaura los límites de las figuras (Fig. 24) si cada estrella cae. en exactamente un pentominó. Arroz. 24 Fig. Doce figuras de pentominó se colocan en una caja 12 10, como se muestra en la Fig. 25. Intente colocar otro juego de pentominós en el campo libre restante.

18 18 3. Problemas difíciles de corte 3. Problemas difíciles de corte Lección 3.1 Tema: Problemas para cortar figuras de formas más complejas con límites que son arcos. Objetivo: aprender a cortar formas más complejas con bordes que sean arcos y hacer un cuadrado a partir de las partes resultantes. Tareas en la Fig. 26 muestra 4 figuras. Con un corte, divide cada uno de ellos en dos partes y forma un cuadrado con ellas. El papel cuadriculado te facilitará la resolución del problema. Fig. Corte el cuadrado de 6 6 en pedazos y júntelos en las formas que se muestran en la Fig. 27. figura. 27

Lección 19 En la Fig. 28 muestra parte de la muralla de la fortaleza. Una de las piedras tiene una forma tan extraña que si la sacas de la pared y la colocas de otra manera, la pared quedará nivelada. Dibuja esta piedra. ¿Para qué se usará más pintura: un cuadrado o este anillo inusual (Fig. 29)? Arroz. 28 Fig. Corte el jarrón que se muestra en la Fig. 30, en tres partes, de las cuales puedes doblar un rombo. Arroz. 30 figura. 31 figura. 32 Lección 3.2 Tema: Tareas de corte más complejas. Objetivo: practicar la resolución de problemas de corte más complejos. Resolvemos problemas en clase, tarea 3.12 para casa. Corta la figura (Fig. 31) con dos cortes rectos en pedazos de los que se puede doblar un cuadrado. Corta la figura que se muestra en la Fig. 32 figura en cuatro partes iguales, de las cuales se podría doblar un cuadrado. Corta la letra E que se muestra en la Fig. 33, en cinco partes y dóblalas formando un cuadrado. No gire las piezas al revés.

20 20 4. Se permite la subdivisión del plano. ¿Es posible arreglárselas con cuatro piezas si se permite darles la vuelta? 3.9. Una cruz formada por cinco cuadrados necesita ser cortada en pedazos de los cuales se puede formar un cuadrado igual en tamaño a la cruz (es decir, igual en área). Se dan dos tableros de ajedrez: uno ordinario, con 64 cuadrados, y otro con 36 cuadrados. Es necesario cortar cada uno de ellos en dos partes para que de las cuatro partes resultantes se haga un nuevo tablero de ajedrez de celdas. El ebanista tiene una pieza de tablero de ajedrez de 7 7 celdas de caoba preciosa. Quiere, sin perder material y realizando Fig. 33 cortes solo a lo largo de los bordes de los cuadrados, cortó el tablero en 6 partes para hacer tres nuevos cuadrados, todos de diferentes tamaños. ¿Cómo hacerlo? ¿Es posible resolver el problema 3.11 si el número de partes es 5 y la longitud total de los cortes es 17? 4. Particionar un plano Lección 4.1 Tema: Particiones sólidas de rectángulos. Objetivo: aprender a construir divisiones continuas de rectángulos con mosaicos rectangulares. Responda la pregunta bajo qué condiciones un rectángulo permite tal división del plano. Los problemas (a) se resuelven en clase. Los problemas 4.5 (b), 4.6, 4.7 se pueden dejar en casa. Supongamos que tenemos un suministro ilimitado de losas rectangulares de tamaño 2 1 y queremos diseñar un piso rectangular con ellas, y no deben superponerse dos losas. Coloque 2 1 losas en el piso de una habitación que mida 5 6. Está claro que si el piso de una habitación rectangular p q está cubierto con baldosas 2 1, entonces p q es par (ya que el área es divisible por 2). Y viceversa: si p q es par, entonces el suelo se puede revestir con 2 1 baldosas.

21 Lección De hecho, en este caso uno de los números p o q debe ser par. Si, por ejemplo, p = 2r, entonces el piso se puede disponer como se muestra en la Fig. 34. Pero en estos parquets hay líneas de rotura que cruzan toda la “habitación” de pared a pared, pero no cruzan las baldosas. Pero en la práctica se utilizan parquets sin tales líneas: parquets macizos. Fig Disposición de los azulejos 2 1 parquet continuo de la habitación Intente encontrar una división continua en azulejos 2 1 a) rectángulo 4 6; b) cuadrado Colocar baldosas 2 1 parquet macizo a) habitaciones 5 8; b) habitaciones 6 8. Naturalmente surge la pregunta: ¿para qué p y q el rectángulo p q admite una partición continua en mosaicos 2 1? Ya conocemos las condiciones necesarias: 1) p q es divisible por 2, 2) (p, q)(6, 6) y (p, q)(4, 6). También puedes comprobar una condición más: 3) p 5, q 5. Resulta que estas tres condiciones también son suficientes. Baldosas de otros tamaños Disponga las baldosas 3 2 sin roturas: a) rectángulo 11 18; b) rectángulo Coloque el cuadrado en mosaicos sin roturas, si es posible. ¿Es posible, tomando un cuadrado de papel cuadriculado de 5 5 celdas, recortar 1 celda para que la parte restante se pueda cortar en placas de 1 3 celdas? Lección 4.2 Tema: Parquets.

22 22 4. Dividir el plano Objetivo: Aprender a cubrir el plano con varias figuras (y los suelos de parquet pueden ser con líneas quebradas o macizos), o demostrar que esto es imposible. Problemas Una de las preguntas más importantes en la teoría de la partición de planos es: "¿Qué forma debe tener una losa para que sus copias puedan cubrir el plano sin espacios ni dobles coberturas?" Inmediatamente me vienen a la mente bastantes formas obvias. Se puede demostrar que sólo existen tres polígonos regulares que pueden cubrir un plano. Se trata de un triángulo equilátero, un cuadrado y un hexágono (ver Fig. 35). Existe una infinidad de polígonos irregulares que se pueden utilizar para cubrir un plano. Fig. Divide un triángulo obtuso arbitrario en cuatro triángulos iguales y semejantes. En el problema 4.8 dividimos el triángulo en cuatro triángulos iguales y semejantes. Cada uno de los cuatro triángulos resultantes se puede dividir a su vez en cuatro triángulos iguales y similares, etc. Si te mueves en la dirección opuesta, es decir, sumas cuatro triángulos obtusos iguales para obtener un triángulo similar a ellos, pero cuatro veces más grande. en área, etc., entonces el plano se puede revestir con tales triángulos. El plano se puede cubrir con otras figuras, por ejemplo, trapecios, paralelogramos. Cubra el avión con las mismas figuras que se muestran en la Fig. 36.

23 Lección Coloca el plano en mosaico con los mismos “soportes” que se muestran en la Fig. 37. figura. 36 Fig. Hay cuatro cuadrados con lado 1, ocho con lado 2, doce con lado 3. ¿Es posible doblarlos en un cuadrado grande? ¿Es posible hacer un cuadrado de cualquier tamaño con las losas de madera que se muestran en la Fig. ¿38 tipos usando ambos tipos de mosaicos? Lección 4.3 Tema: Problemas sobre el empaquetamiento más denso. Arroz. 38 Objetivo: Formar un concepto de solución óptima. Problemas ¿Cuál es el mayor número de tiras de 1 5 celdas que se pueden cortar de un cuadrado de papel cuadriculado de 8 8 celdas? El artesano tiene una hoja de hojalata del tamaño de un cuadrado. dm. El maestro quiere cortar tantos espacios en blanco rectangulares como sea posible de 3 a 5 metros cuadrados. dm. Ayúdalo. ¿Es posible cortar un rectángulo de celda sin dejar residuos en rectángulos de 5 7? Si es posible, ¿cómo? ¿Si no, porque no? En una hoja de papel cuadriculado con las dimensiones de las celdas, marque los cortes, con la ayuda de los cuales podrá obtener tantas figuras enteras como sea posible, como se muestra en la Fig. 39. Las figuras que se muestran en la Fig. 39 (b, d), se puede dar la vuelta.

24 24 5. Tangram Fig Tangram Lección 5.1 Tema: Tangram. Objetivo: Introducir a los estudiantes en el rompecabezas chino “Tangram”. Practicar la investigación y el diseño geométrico. Desarrollar habilidades combinatorias. Tareas Hablando de tareas de corte, no se puede dejar de mencionar el antiguo rompecabezas chino "Tangram", que se originó en China hace 4 mil años. En China se le llama chi tao tu, o rompecabezas mental de siete piezas. Pautas. Para llevar a cabo esta lección, es recomendable tener folletos: un rompecabezas (que los escolares pueden hacer ellos mismos), dibujos de las figuras que deberán doblar. Fig. Haga el rompecabezas usted mismo: transfiera un cuadrado dividido en siete partes (Fig. 40) a un papel grueso y córtelo. Usando las siete partes del rompecabezas, haga las figuras que se muestran en la Fig. 41.

25 Lección Fig. 41 figura. 42 Recomendaciones metodológicas. A los niños se les pueden dar dibujos a tamaño natural de las figuras a), b) Y por lo tanto, el estudiante puede resolver el problema superponiendo las piezas del rompecabezas sobre el dibujo de la figura y seleccionando así las piezas necesarias, lo que simplifica la tarea. Y dibujos de figuras.

26 26 6. Los problemas de corte en el espacio c), d) se pueden dar a menor escala; por lo tanto, estos problemas serán más difíciles de resolver. En la Fig. Se te dan 42 figuras más para que las compongas tú mismo. Intenta crear tu propia figura usando las siete partes del tangram. En el tangram, entre sus siete partes ya hay triángulos de diferentes tamaños. Pero a partir de sus partes aún puedes agregar varios triángulos. Doblar un triángulo usando las cuatro partes de un tangram: a) un triángulo grande, dos triángulos pequeños y un cuadrado; b) un triángulo grande, dos triángulos pequeños y un paralelogramo; c) un triángulo grande, un triángulo mediano y dos triángulos pequeños ¿Es posible hacer un triángulo usando solo dos partes de tangram? ¿Tres partes? ¿Cinco partes? ¿Seis partes? ¿Las siete partes del tangram? 5.6. Obviamente, las siete partes del tangram forman un cuadrado. ¿Es posible o no hacer un cuadrado a partir de dos partes? ¿De los tres? ¿De cuatro? 5.7. ¿Cuáles son las diferentes partes de un tangram que se pueden usar para hacer un rectángulo? ¿Qué otros polígonos convexos se pueden formar? 6. Problemas de corte en el espacio Lección 6.1 Tema: Problemas de corte en el espacio. Objetivo: Desarrollar la imaginación espacial. Aprenda a construir desarrollos de una pirámide triangular, un cubo y determine qué desarrollos son incorrectos. Practique la resolución de problemas de corte de cuerpos en el espacio (resolver estos problemas difiere de resolver problemas de cortar figuras en un plano). Problemas Buratino tenía papel recubierto de polietileno por una cara. Hizo el espacio en blanco que se muestra en la Fig. 43 para pegarle bolsas de leche (pirámides triangulares). Y Alicia, la zorra, puede hacer otra preparación. ¿Cuál?

27 Lección Arroz El gato Basilio también consiguió un papel como este, pero quiere pegar cubitos (bolsas de kéfir). Hizo los espacios en blanco que se muestran en la Fig. 44. Y Alicia, la zorra, dice que algunas se pueden tirar enseguida, porque no sirven. ¿Tiene razón? Fig. La pirámide de Keops tiene un cuadrado en su base y sus caras laterales son triángulos isósceles iguales. Pinocho subió y midió el ángulo de la cara en la parte superior (AMD, en Fig. 45). Resultó ser 100. Y Alicia la zorra dice que se sobrecalentó al sol, porque esto no puede ser. ¿Tiene razón? 6.4. ¿Cuál es el número mínimo de cortes planos necesarios para dividir el cubo en 64 cubos pequeños? Después de cada corte, se le permite reorganizar las partes del cubo como desee. El cubo de madera se pintó por fuera con pintura blanca, luego cada uno de sus bordes Fig. 45 se dividieron en 5 partes iguales, después de lo cual se cortaron para obtener pequeños cubos, cuyo borde era 5 veces más pequeño que el del cubo original. ¿Cuántos cubos pequeños obtuviste? ¿Cuántos cubos tienen tres lados coloreados? ¿Dos lados? ¿Un borde? ¿Cuántos cubos sin colorear quedan? 6.6. La sandía se cortó en 4 partes y se comió. Resultó 5 costras. ¿Podría ser esto posible?

28 28 7. Tareas de colorear 6.7. ¿Cuál es el número máximo de trozos que se puede cortar un panqueque con tres cortes rectos? ¿Cuántas piezas se pueden obtener de tres cortes de una barra de pan? 7. Problemas de colorear Lección 7.1 Tema: Colorear ayuda a resolver problemas. Propósito: Aprender a demostrar que algunos problemas de corte no tienen solución utilizando un color bien elegido (por ejemplo, colorear en un patrón de tablero de ajedrez), mejorando así la cultura lógica de los estudiantes. Problemas No es difícil demostrar que la solución al problema de cortar una figura en partes es posible: basta con proporcionar algún método de corte. Encontrar todas las soluciones, es decir, todos los métodos de corte, ya resulta más complicado. Y demostrar que cortar es imposible también es bastante difícil. En algunos casos, el color de la figura nos ayuda a ello: tomamos un cuadrado de papel cuadriculado de 8 8 y le cortamos dos celdas (abajo a la izquierda y arriba a la derecha). ¿Es posible cubrir completamente la figura resultante con rectángulos de "dominó" 1 2? 7.2. En el tablero de ajedrez hay una figura de “camello”, que con cada movimiento mueve tres casillas verticalmente y una horizontalmente, o tres horizontalmente y una vertical. ¿Puede un "camello" después de realizar varios movimientos entrar en una celda adyacente a su lado original? 7.3. Un escarabajo se encuentra en cada celda de un cuadrado de 5 5. Cuando se le ordenaba, cada escarabajo se arrastraba hasta una de las celdas adyacentes al costado. ¿Puede entonces resultar que exactamente un escarabajo vuelva a sentarse en cada celda? ¿Qué pasaría si el cuadrado original tuviera dimensiones 6 6? 7.4. ¿Es posible cortar un cuadrado de papel a cuadros de 4x4 en un pedestal, un cuadrado, una columna y un zigzag (Fig. 46)?

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1. Dibuja una figura en papel cuadriculado. Dividirlo en 4 iguales
partes a lo largo de las líneas de papel a cuadros. Encuentre todas las figuras posibles para las cuales
Puedes recortar esta figura según las condiciones del problema.
Solución.
2. Se cortó una celda central de un cuadrado de 5 5. Cortar el resultado
formar dos partes iguales de dos maneras.
Solución.

3. Divide el rectángulo de 3×4 en dos partes iguales. Encuentra cómo puedes
más maneras. Sólo puedes cortar a lo largo del lado de un cuadrado de 1 × 1, y los métodos
Se consideran diferentes si las cifras resultantes no son iguales para cada una.
forma.
Solución.
4. Corta la figura que se muestra en la figura en 2 partes iguales.
Solución.
5. Corta la figura que se muestra en la figura en 2 partes iguales.

Solución.
6. Corta la figura que se muestra en la figura en dos partes iguales a lo largo
líneas de cuadrícula, y debe haber un círculo en cada parte.
Solución.
7. Corta la figura que se muestra en la figura en cuatro partes iguales.

Solución.

8. Corta la figura que se muestra en la figura en cuatro partes iguales.
a lo largo de las líneas de la cuadrícula, y debe haber un círculo en cada parte.
Solución.
9. Corta este cuadrado a lo largo de los lados de las celdas para que todas las partes
ser del mismo tamaño y forma y cada uno de ellos contener uno
taza y cruz.
Solución.

10. Corte la figura que se muestra en la figura a lo largo de las líneas de la cuadrícula en
cuatro partes iguales y dóblalas formando un cuadrado para que los círculos y las cruces
ubicado simétricamente con respecto a todos los ejes de simetría del cuadrado.
Solución.
11. Corta el cuadrado de 6 6 que se muestra en la figura en cuatro
partes idénticas de modo que cada una de ellas contenga tres celdas sombreadas.

Solución.
12. ¿Es posible cortar un cuadrado en cuatro partes para que cada parte
estaba en contacto con los otros tres (las partes están en contacto si tienen un punto común)
zona fronteriza)?
Solución.
13. ¿Es posible cortar un rectángulo de 9 4 celdas en dos partes iguales a lo largo

entonces como hacerlo?
Solución El área de dicho cuadrado es 36 celdas, es decir, su lado es 6
células. El método de corte se muestra en la figura.

14. ¿Es posible cortar un rectángulo de 5 10 celdas en dos partes iguales a lo largo
¿Los lados de las celdas para que pudieran formar un cuadrado? En caso afirmativo,
entonces como hacerlo?
Solución El área de dicho cuadrado es 50 celdas, es decir, su lado es
más de 7, pero menos de 8 células enteras. Entonces, corta tal rectángulo.
de la forma requerida en los lados de las celdas es imposible.
15. Había 9 hojas de papel. Algunos de ellos fueron cortados en tres partes. Total
se convirtieron en 15 hojas. ¿Cuántas hojas de papel cortaste?
Solución: Cortamos 3 hojas: 3 ∙ 3 + 6 = 15.