Ecuaciones diferenciales de órdenes superiores con coeficientes constantes. Ecuaciones diferenciales de segundo orden y órdenes superiores.

A menudo sólo una mención ecuaciones diferenciales hace que los estudiantes se sientan incómodos. ¿Por qué está pasando esto? La mayoría de las veces, porque al estudiar los conceptos básicos del material, surge una brecha en el conocimiento, por lo que un mayor estudio de los difurs se convierte en simplemente una tortura. ¿No está claro qué hacer, cómo decidir, por dónde empezar?

Sin embargo, intentaremos demostrarte que los difurs no son tan difíciles como parece.

Conceptos básicos de la teoría de ecuaciones diferenciales.

De la escuela conocemos las ecuaciones más simples en las que necesitamos encontrar la incógnita x. De hecho ecuaciones diferenciales sólo ligeramente diferente de ellos - en lugar de una variable X necesitas encontrar una función en ellos y(x) , lo que convertirá la ecuación en una identidad.

D ecuaciones diferenciales son de gran importancia práctica. Estas no son matemáticas abstractas que no tienen relación con el mundo que nos rodea. Muchos procesos naturales reales se describen mediante ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, las vibraciones de una cuerda, el movimiento de un oscilador armónico, utilizando ecuaciones diferenciales en problemas de mecánica, encontrar la velocidad y aceleración de un cuerpo. También UE Se utilizan ampliamente en biología, química, economía y muchas otras ciencias.

Ecuación diferencial (UE) es una ecuación que contiene derivadas de la función y(x), la función misma, variables independientes y otros parámetros en varias combinaciones.

Hay muchos tipos de ecuaciones diferenciales: ecuaciones diferenciales ordinarias, lineales y no lineales, homogéneas y no homogéneas, ecuaciones diferenciales de primer y superior orden, ecuaciones diferenciales parciales, etc.

La solución de una ecuación diferencial es una función que la convierte en una identidad. Existen soluciones generales y particulares del mando a distancia.

Una solución general de una ecuación diferencial es un conjunto general de soluciones que transforman la ecuación en una identidad. Una solución parcial de una ecuación diferencial es una solución que satisface condiciones adicionales especificadas inicialmente.

El orden de una ecuación diferencial está determinado por el orden más alto de sus derivadas.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Ecuaciones diferenciales ordinarias son ecuaciones que contienen una variable independiente.

Consideremos la ecuación diferencial ordinaria de primer orden más simple. Parece que:

Esta ecuación se puede resolver simplemente integrando su lado derecho.

Ejemplos de tales ecuaciones:

Ecuaciones separables

En general, este tipo de ecuación se ve así:

He aquí un ejemplo:

Al resolver dicha ecuación, es necesario separar las variables, llevándolas a la forma:

Luego de esto queda integrar ambas partes y obtener una solución.

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Estas ecuaciones se ven así:

Aquí p(x) y q(x) son algunas funciones de la variable independiente, y y=y(x) es la función deseada. Aquí hay un ejemplo de tal ecuación:

Al resolver una ecuación de este tipo, la mayoría de las veces utilizan el método de variar una constante arbitraria o representan la función deseada como un producto de otras dos funciones y(x)=u(x)v(x).

Para resolver tales ecuaciones se requiere cierta preparación y será bastante difícil tomarlas "de un vistazo".

Un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial con variables separables.

Entonces analizamos los tipos más simples de control remoto. Ahora veamos la solución a uno de ellos. Sea esta una ecuación con variables separables.

Primero, reescribamos la derivada en una forma más familiar:

Luego dividimos las variables, es decir, en una parte de la ecuación recogemos todas las “I”, y en la otra, las “X”:

Ahora queda integrar ambas partes:

Integramos y obtenemos una solución general a esta ecuación:

Por supuesto, resolver ecuaciones diferenciales es una especie de arte. Es necesario poder comprender qué tipo de ecuación es y también aprender a ver qué transformaciones se deben realizar con ella para conducir a una forma u otra, sin mencionar solo la capacidad de diferenciar e integrar. Y para tener éxito en la resolución de DE, se necesita práctica (como en todo). Y si actualmente no tienes tiempo para entender cómo se resuelven las ecuaciones diferenciales o el problema de Cauchy se te ha quedado pegado como un hueso en la garganta, o no lo sabes, contacta con nuestros autores. En poco tiempo, le proporcionaremos una solución detallada y lista para usar, cuyos detalles podrá comprender en cualquier momento que le resulte conveniente. Mientras tanto, te sugerimos ver un vídeo sobre el tema “Cómo resolver ecuaciones diferenciales”:

teoría de la computación ecuaciones diferenciales no homogéneas(DU) no se dará en esta publicación; de lecciones anteriores puede encontrar suficiente información para encontrar la respuesta a la pregunta "¿Cómo resolver una ecuación diferencial no homogénea?" El grado de ED no homogéneo no juega un papel importante aquí; no existen muchos métodos que permitan calcular la solución de dichos ED. Para que le resulte más fácil leer las respuestas de los ejemplos, el énfasis principal se pone únicamente en el método de cálculo y en los consejos que facilitarán la derivación de la función final.

Ejemplo 1. Resolver ecuación diferencial
Solución: dada ecuación diferencial homogénea de tercer orden, Además, contiene solo la segunda y tercera derivada y no tiene función ni su primera derivada. En esos casos Aplicar el método de reducción del grado. ecuación diferencial. Para hacer esto, introduzca un parámetro; denotemos la segunda derivada mediante el parámetro p

entonces la tercera derivada de la función es igual a

El DE homogéneo original se simplificará a la forma

Lo escribimos en diferenciales, luego reducir a una ecuación variable separada y encontrar la solución por integración

Recuerda que el parámetro es la segunda derivada de la función.

por lo tanto, para encontrar la fórmula de la función en sí, integramos la dependencia diferencial encontrada dos veces

En la función, los valores C 1 , C 2 , C 3 son iguales a valores arbitrarios.
Así de simple parece el esquema: encontrar la solución general de una ecuación diferencial homogénea introduciendo un parámetro. Los siguientes problemas son más complejos y a partir de ellos aprenderás a resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas de tercer orden. Existe cierta diferencia entre los sistemas de control homogéneos y heterogéneos en términos de cálculos, como verá ahora.

Ejemplo 2. Encontrar
Solución: Tenemos tercer orden. Por lo tanto, su solución debe buscarse en forma de una suma de dos: una solución a una ecuación homogénea y una solución particular a una ecuación no homogénea.

decidamos primero

Como puede ver, contiene solo la segunda y tercera derivada de la función y no contiene la función en sí. Este tipo diferencia. Las ecuaciones se resuelven introduciendo un parámetro, que en a su vez, reduce y simplifica la búsqueda de una solución a la ecuación. En la práctica, se ve así: si la segunda derivada es igual a una determinada función, entonces la tercera derivada tendrá formalmente la notación

La ecuación diferencial homogénea considerada de tercer orden se transforma en la ecuación de primer orden.

de donde, dividiendo las variables, encontramos la integral
x*dp-p*dx=0;

Recomendamos numerar las fórmulas en este tipo de problemas, ya que la solución de una ecuación diferencial de tercer orden tiene 3 constantes, una de cuarto orden tiene 4 constantes, y así sucesivamente por analogía. Ahora volvemos al parámetro introducido: dado que la segunda derivada tiene la forma, entonces integrándola una vez que tenemos una dependencia para la derivada de la función

y por integración repetida encontramos forma general de una función homogénea

Solución parcial de la ecuación. Escribámoslo como una variable multiplicada por un logaritmo. Esto se desprende del hecho de que la parte derecha (no homogénea) del DE es igual a -1/x y para obtener una notación equivalente

la solución debe buscarse en la forma

Encontremos el coeficiente A, para ello calculamos las derivadas de primer y segundo orden.

Sustituyamos las expresiones encontradas en la ecuación diferencial original e igualemos los coeficientes a las mismas potencias de x:

El valor del acero es igual a -1/2 y tiene la forma

Solución general de una ecuación diferencial. anótalo como la suma de lo encontrado

donde C 1, C 2, C 3 son constantes arbitrarias que pueden refinarse mediante el problema de Cauchy.

Ejemplo 3. Encuentra la integral de tercer orden DE
Solución: Buscamos la integral general de una ecuación diferencial no homogénea de tercer orden en forma de suma de soluciones de una ecuación homogénea y parcialmente no homogénea. Primero, para cualquier tipo de ecuación comenzamos analizar ecuaciones diferenciales homogéneas

Contiene sólo la segunda y tercera derivadas de la función actualmente desconocida. Introducimos un cambio de variables (parámetro): lo denotamos por la segunda derivada

Entonces la tercera derivada es igual a

Se realizaron las mismas transformaciones en la tarea anterior. Esto permite reducir una ecuación diferencial de tercer orden a una ecuación de primer orden de la forma

Por integración encontramos

Recordamos que, de acuerdo con el cambio de variables, esta es solo la segunda derivada

y para encontrar una solución a una ecuación diferencial homogénea de tercer orden, es necesario integrarla dos veces

Según el tipo del lado derecho (parte no uniforme =x+1), Buscamos una solución parcial a la ecuación en la forma

Cómo saber en qué forma buscar una solución parcial Deberías haberte enseñado en la parte teórica del curso sobre ecuaciones diferenciales. De lo contrario, entonces sólo podemos sugerir que se elija una expresión para la función tal que, al sustituir en la ecuación, el término que contiene la derivada más alta o menor sea del mismo orden (similar) a la parte no homogénea de la ecuación.

Creo que ahora te queda más claro de dónde viene el tipo de solución privada. Encontremos los coeficientes A, B, para ello calculamos la segunda y tercera derivada de la función.

y sustituirlo en la ecuación diferencial. Después de agrupar términos similares, obtenemos la ecuación lineal

de donde, para las mismas potencias de la variable componer un sistema de ecuaciones

y encontrar aceros desconocidos. Después de su sustitución, se expresa por la dependencia.

Solución general de una ecuación diferencial. es igual a la suma de homogéneo y parcial y tiene la forma

donde C 1, C 2, C 3 son constantes arbitrarias.

Ejemplo 4. P resolver ecuación diferencial
Solución: Tenemos una solución que encontraremos mediante la suma. Ya conoces el esquema de cálculo, así que pasemos a considerarlo. ecuación diferencial homogénea

Según el método estándar ingrese el parámetro
La ecuación diferencial original tomará la forma, de donde, dividiendo las variables, encontramos

Recuerda que el parámetro es igual a la segunda derivada.
Integrando la DE obtenemos la primera derivada de la función

Por integración repetida encontrar la integral general de una ecuación diferencial homogénea

Buscamos una solución parcial a la ecuación en la forma, ya que el lado derecho es igual
Encontremos el coeficiente A. Para hacer esto, sustituimos y* en la ecuación diferencial e igualamos el coeficiente a las mismas potencias de la variable.

Después de sustituir y agrupar términos obtenemos la dependencia

del cual el acero es igual a A=8/3.
Así, podemos escribir solución parcial del DE

Solución general de una ecuación diferencial. igual a la suma de los encontrados

donde C 1, C 2, C 3 son constantes arbitrarias. Si se da la condición de Cauchy, entonces podemos definirlos muy fácilmente.

Creo que el material te será útil a la hora de prepararte para clases prácticas, módulos o exámenes. El problema de Cauchy no se analizó aquí, pero por lecciones anteriores generalmente sabes cómo hacerlo.

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Terminología básica de ecuaciones diferenciales de orden superior (DEHE).

Una ecuación de la forma , donde norte >1 (2)

se llama ecuación diferencial de orden superior, es decir norte-ésimo orden.

área de definición de DU, norte del orden hay una región.

En este curso, se considerarán los siguientes tipos de sistemas de control:

Problema de Cauchy DU VP:

Que se le dé el mando a distancia,
y condiciones iniciales n/a: números.

Necesitas encontrar una función continua y n veces diferenciable.
:

1)
es una solución al DE dado en , es decir
;

2) satisface las condiciones iniciales dadas: .

Para un DE de segundo orden, la interpretación geométrica de la solución del problema es la siguiente: se busca una curva integral que pase por el punto (X 0 , y 0 ) y tangente a una recta de coeficiente angular k = y 0 ́ .

Teorema de existencia y unicidad(soluciones al problema de Cauchy para DE (2)):

Si 1)
continuo (en total (norte+1) argumentos) en el área
; 2)
continuo (sobre la totalidad de los argumentos
) en , entonces ! solución del problema de Cauchy para el DE, satisfaciendo las condiciones iniciales dadas n/a: .

La región se llama región de unicidad del DE.

Solución general de control remoto VP. (2) – norte -paramétrico función,
, Dónde
– constantes arbitrarias que satisfacen los siguientes requisitos:

1)

– solución de DE (2) en ;

2) n/a del área de singularidad!
:
satisface las condiciones iniciales dadas.

Comentario.

Ver relación
, que implícitamente determina la solución general de DE (2) se llama integral general DU.

solución privada DE (2) se obtiene de su solución general para un valor específico .

Integración del control remoto VP.

Las ecuaciones diferenciales de orden superior, por regla general, no pueden resolverse mediante métodos analíticos exactos.

Identifiquemos un cierto tipo de DUVP que permite reducciones en orden y puede reducirse a cuadraturas. Tabulemos este tipo de ecuaciones y métodos para reducir su orden.

VP DU que permiten reducciones de pedidos

		Método de reducción de pedidos
	El sistema de control está incompleto, no contiene . Por ejemplo,	Etc. Después norte La integración múltiple produce una solución general al DE.
	La ecuación está incompleta; claramente no contiene la función requerida y ella primeras derivadas. Por ejemplo,	Sustitución reduce el orden de la ecuación en k unidades.
	Ecuación incompleta; claramente no contiene ningún argumento la función deseada. Por ejemplo,	Sustitución el orden de la ecuación se reduce en uno.
	La ecuación está en derivadas exactas; puede ser completa o incompleta. Dicha ecuación se puede transformar a la forma (*) ́= (*)́, donde los lados derecho e izquierdo de la ecuación son derivadas exactas de algunas funciones.	Integrar los lados derecho e izquierdo de la ecuación sobre el argumento reduce el orden de la ecuación en uno.
		Sustitución reduce el orden de la ecuación en uno.

Definición de función homogénea:

Función
llamado homogéneo en variables
, Si


en cualquier punto del dominio de definición de la función
;

– orden de homogeneidad.

Por ejemplo, es una función homogénea de segundo orden con respecto a
, es decir. .

Ejemplo 1:

Encuentre la solución general del control remoto.
.

DE de 3er orden, incompleto, no contiene explícitamente
. Integramos secuencialmente la ecuación tres veces.

,

– solución general del mando a distancia.

Ejemplo 2:

Resuelve el problema de Cauchy para el control remoto
en

.

DE de segundo orden, incompleto, no contiene explícitamente .

Sustitución
y su derivada
reducirá el orden del control remoto en uno.

. Obtuvimos una DE de primer orden: la ecuación de Bernoulli. Para resolver esta ecuación usamos la sustitución de Bernoulli:

,

y conéctelo a la ecuación.

En esta etapa, resolvemos el problema de Cauchy para la ecuación
:
.

– ecuación de primer orden con variables separables.

Sustituimos las condiciones iniciales en la última igualdad:

Respuesta:
es una solución al problema de Cauchy que satisface las condiciones iniciales.

Ejemplo 3:

Resuelve DE.

– DE de 2º orden, incompleto, no contiene explícitamente la variable , y por tanto permite reducir el orden en uno mediante sustitución o
.

Obtenemos la ecuación
(dejar
).

– DE de 1er orden con variables separadoras. Separémoslos.

– integral general del DE.

Ejemplo 4:

Resuelve DE.

La ecuacion
hay una ecuación en derivadas exactas. En realidad,
.

Integremos los lados izquierdo y derecho con respecto a , es decir
o . Obtuvimos un DE de primer orden con variables separables, es decir
– integral general del DE.

Ejemplo5:

Resuelva el problema de Cauchy para
en .

DE de 4º orden, incompleto, no contiene explícitamente
. Al notar que esta ecuación tiene derivadas exactas, obtenemos
o
,
. Sustituyamos las condiciones iniciales en esta ecuación:
. Consigamos un control remoto
3er orden del primer tipo (ver tabla). Integrémoslo tres veces, y después de cada integración sustituiremos las condiciones iniciales en la ecuación:

Respuesta:
- solución del problema de Cauchy del DE original.

Ejemplo 6:

Resuelve la ecuación.

– DE de 2º orden, completo, contiene homogeneidad respecto a
. Sustitución
reducirá el orden de la ecuación. Para hacer esto, reduzcamos la ecuación a la forma
, dividiendo ambos lados de la ecuación original por . Y diferenciar la función pag:

.

sustituyamos
Y
en control remoto:
. Esta es una ecuación de primer orden con variables separables.

Teniendo en cuenta que
, obtenemos control remoto o
– solución general del DE original.

Teoría de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.

Terminología básica.

– NLDU ésimo orden, donde son funciones continuas en un intervalo determinado.

Se llama intervalo de continuidad del mando a distancia (3).

Introduzcamos un operador diferencial (condicional) de orden ésimo.

Cuando actúa sobre la función, obtenemos

Es decir, el lado izquierdo de una ecuación diferencial lineal de décimo orden.

Como resultado, el LDE se puede escribir

Propiedades lineales del operador.
:

1) – propiedad de la aditividad

2)
– número – propiedad de homogeneidad

Las propiedades se verifican fácilmente, ya que las derivadas de estas funciones tienen propiedades similares (una suma finita de derivadas es igual a la suma de un número finito de derivadas; el factor constante se puede quitar del signo de la derivada).

Eso.
– operador lineal.

Consideremos la cuestión de la existencia y unicidad de una solución al problema de Cauchy para LDE.
.

Resolvamos el LDE con respecto a
: ,
, – intervalo de continuidad.

Función continua en el dominio, derivadas.
continuo en la región

En consecuencia, la región de unicidad en la que el problema LDE de Cauchy (3) tiene una solución única y depende únicamente de la elección del punto
, todos los demás valores de argumento
funciones
puede tomarse arbitraria.

Teoría general de OLDE.

– intervalo de continuidad.

Principales propiedades de las soluciones OLDE:

1. Propiedad de aditividad

(
– solución de OLDE (4) en )
(
– solución de OLDE (4) en ).

Prueba:

– solución de OLDE (4) en

– solución de OLDE (4) en

Entonces

2. Propiedad de homogeneidad

( – solución de OLDE (4) en ) (
(– campo numérico))

– solución a OLDE (4) en .

La prueba es similar.

Las propiedades de aditividad y homogeneidad se denominan propiedades lineales de OLDE (4).

Consecuencia:

(
– solución a OLDE (4) en )(

– solución de OLDE (4) en ).

3. ( – solución de valores complejos de OLDE (4) en )(
son soluciones de valor real de OLDE (4) en ).

Prueba:

Si es una solución de OLDE (4) en , entonces cuando se sustituye en la ecuación la convierte en una identidad, es decir
.

Debido a la linealidad del operador, el lado izquierdo de la última igualdad se puede escribir de la siguiente manera:
.

Esto significa que , es decir, son soluciones con valor real de OLDE (4) en .

Las propiedades posteriores de las soluciones a los OLDE están relacionadas con el concepto " dependencia lineal”.

Determinación de la dependencia lineal de un sistema finito de funciones.

Se dice que un sistema de funciones depende linealmente de si hay no trivial conjunto de números
tal que la combinación lineal
funciones
con estos números es idénticamente igual a cero en , es decir
.n lo cual es incorrecto. El teorema está demostrado.diferencial ecuacionesmás altoórdenes de magnitud(4 horas...

Ecuaciones diferenciales de segundo orden y órdenes superiores.
Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes.
Ejemplos de soluciones.

Pasemos a considerar ecuaciones diferenciales de segundo orden y ecuaciones diferenciales de orden superior. Si tiene una idea vaga de qué es una ecuación diferencial (o no comprende en absoluto qué es), le recomiendo comenzar con la lección. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Ejemplos de soluciones. Muchos principios de solución y conceptos básicos de difusos de primer orden se extienden automáticamente a ecuaciones diferenciales de orden superior, por lo tanto Es muy importante entender primero las ecuaciones de primer orden..

Muchos lectores pueden tener el prejuicio de que el control remoto del segundo, tercer y otros órdenes es algo muy difícil e inaccesible de dominar. Esto está mal . Aprender a resolver difusos de orden superior no es más difícil que los DE de primer orden “ordinarios”. Y en algunos lugares es incluso más sencillo, ya que las soluciones utilizan activamente material del plan de estudios escolar.

Más popular ecuaciones diferenciales de segundo orden. A una ecuación diferencial de segundo orden Necesariamente incluye la segunda derivada y no incluido

Cabe señalar que algunos de los bebés (e incluso todos a la vez) pueden faltar en la ecuación, es importante que el padre esté en casa. La ecuación diferencial de segundo orden más primitiva se ve así:

Las ecuaciones diferenciales de tercer orden en tareas prácticas son mucho menos comunes; según mis observaciones subjetivas, obtendrían alrededor del 3-4% de los votos en la Duma estatal.

A una ecuación diferencial de tercer orden Necesariamente incluye la tercera derivada y no incluido derivados de órdenes superiores:

La ecuación diferencial de tercer orden más simple es la siguiente: – papá está en casa, todos los niños salieron a caminar.

De manera similar, puede definir ecuaciones diferenciales de cuarto, quinto y superiores órdenes. En problemas prácticos, estos sistemas de control rara vez fallan; sin embargo, intentaré dar ejemplos relevantes.

Las ecuaciones diferenciales de orden superior, que se proponen en problemas prácticos, se pueden dividir en dos grupos principales.

1) El primer grupo, el llamado ecuaciones que se pueden reducir en orden. ¡Vamos!

2) Segundo grupo – ecuaciones lineales de órdenes superiores con coeficientes constantes. Lo cual comenzaremos a analizar ahora mismo.

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.
con coeficientes constantes

En teoría y práctica, se distinguen dos tipos de ecuaciones de este tipo: ecuación homogénea Y ecuación no homogénea.

DE homogénea de segundo orden con coeficientes constantes tiene la siguiente forma:
, donde y son constantes (números), y en el lado derecho – estrictamente cero.

Como puede ver, no hay dificultades especiales con ecuaciones homogéneas, lo principal es resolver ecuaciones cuadráticas correctamente.

A veces hay ecuaciones homogéneas no estándar, por ejemplo una ecuación en la forma , donde en la segunda derivada hay alguna constante diferente de la unidad (y, naturalmente, diferente de cero). El algoritmo de solución no cambia en absoluto, debes componer tranquilamente una ecuación característica y encontrar sus raíces. Si la ecuación característica tendrá dos raíces reales diferentes, por ejemplo: , entonces la solución general se escribirá según el esquema habitual: .

En algunos casos, debido a un error tipográfico en la condición, pueden resultar raíces "malas", algo así como . Qué hacer, la respuesta deberá escribirse así:

Con raíces complejas conjugadas “malas” como tampoco hay problema, solución general:

Eso es, hay una solución general de todos modos. Porque cualquier ecuación cuadrática tiene dos raíces.

En el último párrafo, como prometí, consideraremos brevemente:

Ecuaciones lineales homogéneas de órdenes superiores.

Todo es muy, muy parecido.

Una ecuación lineal homogénea de tercer orden tiene la siguiente forma:
, donde están las constantes.
Para esta ecuación, también necesitas crear una ecuación característica y encontrar sus raíces. La ecuación característica, como muchos han adivinado, se ve así:
, y eso De todos modos Tiene exactamente tres raíz

Sean, por ejemplo, todas las raíces reales y distintas: , entonces la solución general se escribirá de la siguiente manera:

Si una raíz es real y las otras dos son complejas conjugadas, entonces escribimos la solución general de la siguiente manera:

Un caso especial cuando las tres raíces son múltiplos (iguales). Consideremos el DE homogéneo más simple de tercer orden con un padre solitario: . La ecuación característica tiene tres raíces cero coincidentes. Escribimos la solución general de la siguiente manera:

Si la ecuación característica tiene, por ejemplo, tres raíces múltiples, entonces la solución general, en consecuencia, es la siguiente:

Ejemplo 9

Resolver una ecuación diferencial homogénea de tercer orden.

Solución: Compongamos y resolvamos la ecuación característica:

, – se obtienen una raíz real y dos raíces complejas conjugadas.

Respuesta: decisión común

De manera similar, podemos considerar una ecuación lineal homogénea de cuarto orden con coeficientes constantes: , donde son constantes.