Fórmulas de integración por partes con ejemplos. Integrales complejas

Una función F(x) derivable en un intervalo dado X se llama antiderivada de la función f(x), o la integral de f(x), si para todo x ∈X se cumple la siguiente igualdad:

F " (x) = f(x). (8.1)

Encontrar todas las primitivas de una función dada se llama integración. Función integral indefinida f(x) en un intervalo dado X es el conjunto de todas las funciones antiderivadas para la función f(x); designación -

Si F(x) es alguna primitiva de la función f(x), entonces ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

donde C es una constante arbitraria.

Tabla de integrales

Directamente de la definición obtenemos las principales propiedades de la integral indefinida y una lista de integrales tabulares:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Lista de integrales tabulares

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (metro ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sen x + C

7. = arctan x + C

8. = arcosen x + C

10. = - ctg x + C

Reemplazo de variables

Para integrar muchas funciones, utilice el método de reemplazo de variables o sustituciones, permitiéndole reducir integrales a forma tabular.

Si la función f(z) es continua en [α,β], la función z =g(x) tiene una derivada continua y α ≤ g(x) ≤ β, entonces

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Además, después de la integración en el lado derecho, se debe realizar la sustitución z=g(x).

Para demostrarlo basta escribir la integral original en la forma:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Por ejemplo:

Método de integración por partes.

Sean u = f(x) y v = g(x) funciones que tienen continuidad. Entonces, según el trabajo,

d(uv))= udv + vdu o udv = d(uv) - vdu.

Para la expresión d(uv), la antiderivada obviamente será uv, por lo que la fórmula es válida:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Esta fórmula expresa la regla. integración por partes. Lleva la integración de la expresión udv=uv"dx a la integración de la expresión vdu=vu"dx.

Supongamos, por ejemplo, que desea encontrar ∫xcosx dx. Pongamos u = x, dv = cosxdx, entonces du=dx, v=senx. Entonces

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

La regla de integración por partes tiene un alcance más limitado que la sustitución de variables. Pero hay clases enteras de integrales, por ejemplo,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax y otros, que se calculan precisamente mediante integración por partes.

Integral definida

El concepto de integral definida se presenta a continuación. Definamos una función f(x) en un intervalo. Dividamos el segmento [a,b] en norte partes por puntos a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x yo =x yo - x yo-1. Una suma de la forma f(ξ i)Δ x i se llama suma integral, y su límite en λ = maxΔx i → 0, si existe y es finito, se llama integral definida funciones f(x) de a antes b y se designa:

F(ξ i)Δx i (8.5).

La función f(x) en este caso se llama integrable en el intervalo, los números a y b se llaman límites inferior y superior de la integral.

Las siguientes propiedades son verdaderas para una integral definida:

4), (k = constante, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

La última propiedad se llama teorema del valor medio.

Sea f(x) continua en . Entonces en este segmento hay una integral indefinida.

∫f(x)dx = F(x) + C

y tiene lugar Fórmula de Newton-Leibniz, conectando la integral definida con la integral indefinida:

F(b) - F(a). (8.6)

Interpretación geométrica: la integral definida es el área de un trapezoide curvilíneo delimitado desde arriba por la curva y=f(x), las rectas x = a y x = b y un segmento del eje Buey.

Integrales impropias

Las integrales con límites infinitos y las integrales de funciones discontinuas (ilimitadas) se denominan no el tuyo. Integrales impropias del primer tipo - Estas son integrales en un intervalo infinito, definido de la siguiente manera:

(8.7)

Si este límite existe y es finito, entonces se llama integral impropia convergente de f(x) en el intervalo [a,+ ∞), y la función f(x) se llama integrable en un intervalo infinito[a,+ ∞). En caso contrario, se dice que la integral es no existe o diverge.

Las integrales impropias en los intervalos (-∞,b] y (-∞, + ∞) se definen de manera similar:

Definamos el concepto de integral de una función ilimitada. Si f(x) es continua para todos los valores X segmento, excepto por el punto c, en el cual f(x) tiene una discontinuidad infinita, entonces Integral impropia del segundo tipo de f(x) que van de a a b la cantidad se llama:

si estos límites existen y son finitos. Designación:

Ejemplos de cálculos integrales

Ejemplo 3.30. Calcular ∫dx/(x+2).

Solución. Denotemos t = x+2, entonces dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Ejemplo 3.31. Encuentre ∫ tgxdx.

Solución.∫ tgxdx = ∫senx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Sea t=cosx, entonces ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Ejemplo3.32 . Encuentra ∫dx/sinx

Solución.

Ejemplo3.33. Encontrar .

Solución. = .

Ejemplo3.34 . Encuentre ∫arctgxdx.

Solución. Integramos por partes. Denotemos u=arctgx, dv=dx. Entonces du = dx/(x 2 +1), v=x, de donde ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; porque
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Ejemplo3.35 . Calcula ∫lnxdx.

Solución. Aplicando la fórmula de integración por partes obtenemos:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Entonces ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Ejemplo3.36 . Calcula ∫e x senxdx.

Solución. Denotemos u = e x, dv = sinxdx, luego du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. También integramos la integral ∫e x cosxdx por partes: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Tenemos:
∫ e x cosxdx = e x senx - ∫ e x senxdx. Obtuvimos la relación ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, de la cual 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Ejemplo 3.37. Calcular J = ∫cos(lnx)dx/x.

Solución. Dado que dx/x = dlnx, entonces J= ∫cos(lnx)d(lnx). Reemplazando lnx por t, llegamos a la integral de tabla J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Ejemplo 3.38 . Calcule J = .

Solución. Considerando que = d(lnx), sustituimos lnx = t. Entonces J = .

Ejemplo 3.39 . Calcular la integral J = .

Solución. Tenemos: . Por lo tanto =
=
=. ingresado así: sqrt(tan(x/2)).

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Posibilidades

• Soporta todas las funciones matemáticas posibles: seno, coseno, exponente, tangente, cotangente, raíces cuadradas y cúbicas, potencias, exponenciales y otras.
• Hay ejemplos de entrada, tanto para integrales indefinidas como para impropias y definidas.
• Corrige errores en las expresiones que ingresa y ofrece sus propias opciones de entrada.
• Solución numérica para integrales definidas e impropias (incluidas integrales dobles y triples).
• Soporte para números complejos, así como varios parámetros (puede especificar no solo la variable de integración, sino también otras variables de parámetros en la expresión del integrando)

Integración por partes- un método utilizado para resolver integrales definidas e indefinidas, cuando uno de los integrandos es fácilmente integrable y el otro es diferenciable. Un método bastante común para encontrar integrales, tanto indefinidas como definidas. El signo principal cuando es necesario utilizarlo es una determinada función que consta del producto de dos funciones que no se pueden integrar a quemarropa.

Fórmula

Para utilizar este método con éxito, es necesario comprender y aprender las fórmulas.

Fórmula de integración por partes en la integral indefinida:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

Fórmula de integración por partes en una integral definida:

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

Ejemplos de soluciones

Consideremos en la práctica ejemplos de soluciones a la integración por partes, que los profesores suelen proponer durante las pruebas. Tenga en cuenta que bajo el símbolo integral hay un producto de dos funciones. Esta es una señal de que este método es adecuado para la solución.

Ejemplo 1

Encuentra la integral $ \int xe^xdx $

Solución

Vemos que el integrando consta de dos funciones, una de las cuales, al diferenciarse, se convierte instantáneamente en unidad y la otra se integra fácilmente. Para resolver la integral utilizamos el método de integración por partes. Supongamos que $ u = x \rightarrow du=dx $ y $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $ Sustituimos los valores encontrados en la primera fórmula de integración y obtenemos: $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C $$ Si no puede resolver su problema, envíenoslo. Proporcionaremos una solución detallada. Podrás ver el progreso del cálculo y obtener información. ¡Esto te ayudará a obtener tu calificación de tu maestro de manera oportuna!

Respuesta

$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$

Ejemplo 4

Calcula la integral $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $

Solución

Por analogía con los ejemplos resueltos anteriores, descubriremos qué función integrar sin problemas y cuál diferenciar. Tenga en cuenta que si derivamos $ (x+5) $, esta expresión se convertirá automáticamente a la unidad, lo que será ventajoso para nosotros. Entonces hacemos esto: $$ u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac(3^x)(ln3) $$ Ahora se han encontrado todas las funciones desconocidas y se pueden poner en la segunda fórmula de integración por partes para una integral definida. $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac(3^x)(\ln 3) \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac (3^x dx)(\ln 3) = $$ $$ = \frac(18)(\ln 3) - \frac(5)(\ln 3) - \frac(3^x)(\ln^2 3)\bigg| _0 ^1 = \frac(13)(\ln 3) - \frac(3)(\ln^2 3)+\frac(1)(\ln^2 3) = \frac(13)(\ln 3 )-\frac(4)(\ln^2 3) $$

Respuesta

$$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac(13)(\ln 3)-\frac(4)(\ln^2 3) $$

Por una integral definida de una función continua F(X) en el segmento final [ a, b] (donde ) es el incremento de algunas de sus antiderivadas en este segmento. (En general, la comprensión será notablemente más fácil si repites el tema de la integral indefinida) En este caso, se utiliza la notación

Como se puede ver en los gráficos siguientes (el incremento de la función antiderivada se indica con ), una integral definida puede ser un número positivo o negativo(Se calcula como la diferencia entre el valor de la antiderivada en el límite superior y su valor en el límite inferior, es decir, como F(b) - F(a)).

Números a Y b se denominan límites de integración inferior y superior, respectivamente, y el segmento [ a, b] – segmento de integración.

Así, si F(X) – alguna función antiderivada para F(X), entonces, según la definición,

(38)

La igualdad (38) se llama Fórmula de Newton-Leibniz . Diferencia F(b) – F(a) se escribe brevemente de la siguiente manera:

Por tanto, escribiremos la fórmula de Newton-Leibniz así:

(39)

Demostremos que la integral definida no depende de qué antiderivada del integrando se tome al calcularla. Dejar F(X) y F( X) son antiderivadas arbitrarias del integrando. Como son antiderivadas de la misma función, se diferencian por un término constante: Ф( X) = F(X) + C. Es por eso

Esto establece que en el segmento [ a, b] incrementos de todas las antiderivadas de la función F(X) emparejar.

Por tanto, para calcular una integral definida, es necesario encontrar cualquier antiderivada del integrando, es decir Primero necesitas encontrar la integral indefinida. Constante CON excluidos de los cálculos posteriores. Luego se aplica la fórmula de Newton-Leibniz: el valor del límite superior se sustituye en la función antiderivada b , además - el valor del límite inferior a y se calcula la diferencia F(b) - F(a) . El número resultante será una integral definida..

En a = b por definición aceptado

Ejemplo 1.

Solución. Primero, encontremos la integral indefinida:

Aplicando la fórmula de Newton-Leibniz a la antiderivada

(en CON= 0), obtenemos

Sin embargo, al calcular una integral definida, es mejor no encontrar la primitiva por separado, sino escribir inmediatamente la integral en la forma (39).

Ejemplo 2. Calcular integral definida

Solución. Usando fórmula

Propiedades de la integral definida

Teorema 2.El valor de la integral definida no depende de la designación de la variable de integración., es decir.

(40)

Dejar F(X) – antiderivada para F(X). Para F(t) la antiderivada es la misma función F(t), en el que la variable independiente sólo se designa de forma diferente. Por eso,

Según la fórmula (39), la última igualdad significa la igualdad de las integrales.

Teorema 3.El factor constante se puede sacar del signo de la integral definida., es decir.

(41)

Teorema 4.La integral definida de una suma algebraica de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica de integrales definidas de estas funciones, es decir.

(42)

Teorema 5.Si un segmento de integración se divide en partes, entonces la integral definida sobre todo el segmento es igual a la suma de integrales definidas sobre sus partes, es decir. Si

(43)

Teorema 6.Al reorganizar los límites de integración, el valor absoluto de la integral definida no cambia, solo cambia su signo., es decir.

(44)

Teorema 7(teorema del valor medio). Una integral definida es igual al producto de la longitud del segmento de integración por el valor del integrando en algún punto dentro de él., es decir.

(45)

Teorema 8.Si el límite superior de integración es mayor que el inferior y el integrando no es negativo (positivo), entonces la integral definida también es no negativa (positiva), es decir Si

Teorema 9.Si el límite superior de integración es mayor que el inferior y las funciones y son continuas, entonces la desigualdad

se puede integrar término por término, es decir.

(46)

Las propiedades de la integral definida permiten simplificar el cálculo directo de integrales.

Ejemplo 5. Calcular integral definida

Usando los teoremas 4 y 3, y al encontrar antiderivadas - integrales de tabla (7) y (6), obtenemos

Integral definida con límite superior variable

Dejar F(X) – continua en el segmento [ a, b] función, y F(X) es su antiderivada. Considere la integral definida

(47)

y mediante t la variable de integración se designa para no confundirla con el límite superior. cuando cambia X la integral definida (47) también cambia, es decir es una función del límite superior de integración X, que denotamos por F(X), es decir.

(48)

Demostremos que la función F(X) es una antiderivada de F(X) = F(t). En efecto, diferenciando F(X), obtenemos

porque F(X) – antiderivada para F(X), A F(a) es un valor constante.

Función F(X) – una del número infinito de antiderivadas para F(X), es decir, el que X = a va a cero. Esta afirmación se obtiene si en igualdad (48) ponemos X = a y utilice el Teorema 1 del párrafo anterior.

Cálculo de integrales definidas por el método de integración por partes y el método de cambio de variable

donde, por definición, F(X) – antiderivada para F(X). Si cambiamos la variable en el integrando

entonces, de acuerdo con la fórmula (16), podemos escribir

en esta expresión

función antiderivada para

De hecho, su derivada, según regla de diferenciación de funciones complejas, es igual

Sean α y β los valores de la variable t, para lo cual la función

toma valores en consecuencia a Y b, es decir.

Pero, según la fórmula de Newton-Leibniz, la diferencia F(b) – F(a) Hay

Resolver integrales es una tarea fácil, pero sólo para unos pocos elegidos. Este artículo es para aquellos que quieren aprender a entender las integrales, pero no saben nada o casi nada sobre ellas. Integral... ¿Por qué es necesario? ¿Cómo calcularlo? ¿Qué son las integrales definidas e indefinidas? Si el único uso que conoces de una integral es utilizar un ganchillo con forma de icono de integral para sacar algo útil de lugares difíciles de alcanzar, ¡bienvenido! Descubra cómo resolver integrales y por qué no puede prescindir de ello.

Estudiamos el concepto de "integral".

La integración ya era conocida en el Antiguo Egipto. Por supuesto, no en su forma moderna, pero aún así. Desde entonces, los matemáticos han escrito muchos libros sobre este tema. Se distinguieron especialmente Newton Y Leibniz , pero la esencia de las cosas no ha cambiado. ¿Cómo entender integrales desde cero? ¡De ninguna manera! Para comprender este tema, aún necesitará un conocimiento básico de los conceptos básicos del análisis matemático. Ya tenemos información sobre , necesaria para comprender las integrales, en nuestro blog.

Integral indefinida

Tengamos alguna función f(x) .

Función integral indefinida f(x) esta función se llama F(x) , cuya derivada es igual a la función f(x) .

En otras palabras, una integral es una derivada a la inversa o una primitiva. Por cierto, lea sobre cómo hacerlo en nuestro artículo.

Existe una primitiva para todas las funciones continuas. Además, a menudo se agrega un signo constante a la antiderivada, ya que las derivadas de funciones que difieren en una constante coinciden. El proceso de encontrar la integral se llama integración.

Ejemplo sencillo:

Para no calcular constantemente las primitivas de funciones elementales, es conveniente ponerlas en una tabla y utilizar valores ya preparados:

Integral definida

Cuando trabajamos con el concepto de integral, estamos tratando con cantidades infinitesimales. La integral ayudará a calcular el área de una figura, la masa de un cuerpo no uniforme, la distancia recorrida durante un movimiento desigual y mucho más. Cabe recordar que una integral es la suma de un número infinitamente grande de términos infinitesimales.

Como ejemplo, imagine la gráfica de alguna función. ¿Cómo encontrar el área de una figura acotada por la gráfica de una función?

Usando una integral! Dividamos el trapezoide curvilíneo, limitado por los ejes de coordenadas y la gráfica de la función, en segmentos infinitesimales. De esta forma la figura quedará dividida en finas columnas. La suma de las áreas de las columnas será el área del trapezoide. Pero recuerde que dicho cálculo dará un resultado aproximado. Sin embargo, cuanto más pequeños y estrechos sean los segmentos, más preciso será el cálculo. Si los reducimos hasta tal punto que la longitud tienda a cero, entonces la suma de las áreas de los segmentos tenderá al área de la figura. Esta es una integral definida, que se escribe así:

Los puntos a y b se llaman límites de integración.

Bari Alibasov y el grupo "Integral"

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Propiedades de la integral indefinida

¿Cómo resolver una integral indefinida? Aquí veremos las propiedades de la integral indefinida, que serán útiles a la hora de resolver ejemplos.

• La derivada de la integral es igual al integrando:

• La constante se puede sacar del signo integral:

• La integral de la suma es igual a la suma de las integrales. Esto también es válido para la diferencia:

Propiedades de una integral definida

• Linealidad:

• El signo de la integral cambia si se intercambian los límites de integración:

• En cualquier puntos a, b Y Con:

Ya hemos descubierto que una integral definida es el límite de una suma. ¿Pero cómo obtener un valor específico al resolver un ejemplo? Para ello existe la fórmula de Newton-Leibniz:

Ejemplos de resolución de integrales

A continuación consideraremos varios ejemplos de cómo encontrar integrales indefinidas. Le sugerimos que descubra usted mismo las complejidades de la solución y, si algo no está claro, haga preguntas en los comentarios.

Para reforzar el material, mira un vídeo sobre cómo se resuelven las integrales en la práctica. No desesperes si no te dan la integral de inmediato. Contacta con un servicio profesional para estudiantes, cualquier integral triple o curva sobre una superficie cerrada estará a tu alcance.