Intervalo de confianza. Intervalo de confianza para la expectativa matemática de una distribución normal con varianza conocida

Intervalo de confianza– los valores límite de una cantidad estadística que, con una probabilidad de confianza dada γ, estarán en este intervalo al muestrear un volumen mayor. Se denota como P(θ - ε. En la práctica, la probabilidad de confianza γ se elige entre valores bastante cercanos a la unidad: γ = 0,9, γ = 0,95, γ = 0,99.

Objeto del servicio. Con este servicio, puede determinar:

• intervalo de confianza para la media general, intervalo de confianza para la varianza;
• intervalo de confianza para la desviación estándar, intervalo de confianza para la participación general;

La solución resultante se guarda en un archivo de Word (ver ejemplo). A continuación se muestra una instrucción en video sobre cómo completar los datos iniciales.

Ejemplo No. 1. En una granja colectiva, de un rebaño total de 1.000 ovejas, 100 fueron sometidas a una esquila de control selectiva. Como resultado se estableció un recorte de lana promedio de 4,2 kg por oveja. Determine con una probabilidad de 0,99 el error cuadrático medio de la muestra al determinar el esquileo promedio de lana por oveja y los límites dentro de los cuales se contiene el valor de esquileo si la varianza es 2,5. La muestra no es repetitiva.
Ejemplo No. 2. De un lote de productos importados en el puesto de Aduanas del Norte de Moscú, se tomaron 20 muestras del producto "A" mediante muestreo aleatorio repetido. Como resultado de la prueba se estableció el contenido de humedad promedio del producto “A” en la muestra, el cual resultó ser igual al 6% con una desviación estándar del 1%.
Determine con probabilidad 0.683 los límites del contenido de humedad promedio del producto en todo el lote de productos importados.
Ejemplo No. 3. Una encuesta de 36 estudiantes mostró que el número promedio de libros de texto leídos por ellos durante el año académico era igual a 6. Suponiendo que el número de libros de texto leídos por un estudiante por semestre tiene una ley de distribución normal con una desviación estándar igual a 6, encuentre : A) con una confiabilidad de 0,99 estimación de intervalo para la expectativa matemática de esta variable aleatoria; B) ¿Con qué probabilidad podemos decir que el número promedio de libros de texto leídos por un estudiante por semestre, calculado a partir de esta muestra, se desviará de la expectativa matemática en valor absoluto en no más de 2?

Clasificación de intervalos de confianza.

Por tipo de parámetro a evaluar:

Por tipo de muestra:

1. Intervalo de confianza para una muestra infinita;
2. Intervalo de confianza para la muestra final;

La muestra se llama remuestreo., si el objeto seleccionado se devuelve a la población antes de seleccionar el siguiente. La muestra se llama no repetida., si el objeto seleccionado no se devuelve a la población. En la práctica, normalmente trabajamos con muestras no repetitivas.

Cálculo del error muestral promedio para muestreo aleatorio.

La discrepancia entre los valores de los indicadores obtenidos de la muestra y los parámetros correspondientes de la población general se denomina error de representatividad.
Designaciones de los principales parámetros de la población general y muestral.

Fórmulas de error de muestreo promedio
reselección		repetir la selección
para promedio	para compartir	para promedio	para compartir

La relación entre el límite de error muestral (Δ) garantizado con cierta probabilidad Р(t), y el error de muestreo promedio tiene la forma: o Δ = t·μ, donde t– coeficiente de confianza, determinado en función del nivel de probabilidad P(t) según la tabla de la función integral de Laplace.

Fórmulas para calcular el tamaño de la muestra utilizando un método de muestreo puramente aleatorio.

Supongamos que una variable aleatoria (podemos hablar de una población general) se distribuya según una ley normal, para la cual se conoce la varianza D = 2 (> 0). A partir de la población general (sobre el conjunto de objetos de los que se determina una variable aleatoria), se elabora una muestra de tamaño n. La muestra x 1 , x 2 ,..., x n se considera como un conjunto de n variables aleatorias independientes distribuidas de la misma manera que (el enfoque explicado anteriormente en el texto).

Las siguientes igualdades también fueron discutidas y probadas anteriormente:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

Basta simplemente demostrar (omitimos la prueba) que la variable aleatoria en este caso también se distribuye según la ley normal.

Denotemos la cantidad desconocida M por a y seleccionemos, en función de la confiabilidad dada, el número d > 0 para que se cumpla la condición:

P(- un< d) = (1)

Dado que la variable aleatoria se distribuye según la ley normal con expectativa matemática M = M = a y varianza D = D /n = 2 /n, obtenemos:

P(- un< d) =P(a - d < < a + d) =

Queda por elegir d tal que se cumpla la igualdad

Para cualquiera, puedes usar la tabla para encontrar un número t tal que (t)= / 2. Este número t a veces se llama cuantil.

Ahora desde la igualdad

determinemos el valor de d:

Obtenemos el resultado final presentando la fórmula (1) en la forma:

El significado de la última fórmula es el siguiente: con confiabilidad, el intervalo de confianza

cubre el parámetro desconocido a = M de la población. Podemos decirlo de otra manera: la estimación puntual determina el valor del parámetro M con precisión d= t / y confiabilidad.

Tarea. Sea una población general con una determinada característica distribuida según una ley normal con una varianza igual a 6,25. Se tomó un tamaño de muestra de n = 27 y se obtuvo el valor muestral promedio de la característica = 12. Encuentre un intervalo de confianza que cubra la expectativa matemática desconocida de la característica estudiada de la población general con confiabilidad = 0,99.

Solución. Primero, usando la tabla de la función de Laplace, encontramos el valor de t a partir de la igualdad (t) = / 2 = 0,495. Con base en el valor obtenido t = 2,58, determinamos la precisión de la estimación (o la mitad de la longitud del intervalo de confianza) d: d = 2,52,58 / 1,24. De aquí obtenemos el intervalo de confianza deseado: (10,76; 13,24).

hipótesis estadística variacional general

Intervalo de confianza para la expectativa matemática de una distribución normal con varianza desconocida

Sea una variable aleatoria distribuida según una ley normal con una expectativa matemática desconocida M, que denotamos con la letra a. Hagamos una muestra del volumen n. Determinemos la muestra promedio y la varianza muestral corregida s 2 usando fórmulas conocidas.

Valor aleatorio

distribuido según la ley de Student con n - 1 grados de libertad.

La tarea es encontrar un número t para una confiabilidad dada y el número de grados de libertad n - 1 tal que la igualdad

o igualdad equivalente

Aquí entre paréntesis está escrita la condición de que el valor del parámetro desconocido a pertenezca a un intervalo determinado, que es el intervalo de confianza. Sus límites dependen de la confiabilidad así como de los parámetros de muestreo y s.

Para determinar el valor de t por magnitud, transformamos la igualdad (2) a la forma:

Ahora, usando la tabla para una variable aleatoria t distribuida según la ley de Student, usando la probabilidad 1 - y el número de grados de libertad n - 1, encontramos t. La fórmula (3) da la respuesta al problema planteado.

Tarea. En las pruebas de control de 20 lámparas eléctricas, la duración media de su funcionamiento fue de 2000 horas con una desviación estándar (calculada como la raíz cuadrada de la varianza de la muestra corregida) igual a 11 horas. Se sabe que el tiempo de funcionamiento de una lámpara es una variable aleatoria distribuida normalmente. Determine con una confiabilidad de 0.95 un intervalo de confianza para la expectativa matemática de esta variable aleatoria.

Solución. Valor 1: en este caso equivale a 0,05. Según la tabla de distribución de Student, con el número de grados de libertad igual a 19, encontramos: t = 2,093. Calculemos ahora la precisión de la estimación: 2,093121/ = 56,6. De aquí obtenemos el intervalo de confianza requerido: (1943,4; 2056,6).

Intervalo de confianza para la expectativa matemática - este es un intervalo calculado a partir de datos que, con una probabilidad conocida, contiene la expectativa matemática de la población general. Una estimación natural de la expectativa matemática es la media aritmética de sus valores observados. Por lo tanto, a lo largo de la lección usaremos los términos “promedio” y “valor promedio”. En los problemas de cálculo de un intervalo de confianza, la respuesta que se requiere con más frecuencia es algo así como "El intervalo de confianza del número promedio [valor en un problema particular] es de [valor menor] a [valor mayor]". Utilizando un intervalo de confianza, es posible evaluar no solo los valores promedio, sino también la proporción de una característica particular de la población general. En la lección se analizan los valores medios, la dispersión, la desviación estándar y el error, a través de los cuales llegaremos a nuevas definiciones y fórmulas. Características de la muestra y la población. .

Estimaciones puntuales y de intervalo de la media.

Si el valor promedio de la población se estima mediante un número (punto), entonces se toma como estimación del valor promedio desconocido de la población un promedio específico, que se calcula a partir de una muestra de observaciones. En este caso, el valor de la media muestral (una variable aleatoria) no coincide con el valor medio de la población general. Por lo tanto, al indicar la media muestral, se debe indicar simultáneamente el error muestral. La medida del error muestral es el error estándar, que se expresa en las mismas unidades que la media. Por lo tanto, se suele utilizar la siguiente notación: .

Si es necesario asociar la estimación del promedio con una cierta probabilidad, entonces el parámetro de interés en la población debe evaluarse no mediante un número, sino mediante un intervalo. Un intervalo de confianza es un intervalo en el que, con una cierta probabilidad PAG Se encuentra el valor del indicador de población estimada. Intervalo de confianza en el que es probable PAG = 1 - α Se encuentra la variable aleatoria, calculada de la siguiente manera:

,

α = 1 - PAG, que se puede encontrar en el apéndice de casi cualquier libro sobre estadística.

En la práctica, la media poblacional y la varianza no se conocen, por lo que la varianza poblacional se reemplaza por la varianza muestral y la media poblacional por la media muestral. Por tanto, el intervalo de confianza en la mayoría de los casos se calcula de la siguiente manera:

.

La fórmula del intervalo de confianza se puede utilizar para estimar la media poblacional si

• se conoce la desviación estándar de la población;
• o se desconoce la desviación estándar de la población, pero el tamaño de la muestra es mayor que 30.

La media muestral es una estimación insesgada de la media poblacional. A su vez, la varianza muestral no es una estimación insesgada de la varianza poblacional. Para obtener una estimación insesgada de la varianza poblacional en la fórmula de varianza muestral, el tamaño de la muestra norte debe ser reemplazado por norte-1.

Ejemplo 1. Se recopiló información de 100 cafés seleccionados al azar en una determinada ciudad de que el número promedio de empleados en ellos es 10,5 con una desviación estándar de 4,6. Determine el intervalo de confianza del 95% para el número de empleados de una cafetería.

¿Dónde está el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de significancia? α = 0,05 .

Así, el intervalo de confianza del 95% para el número medio de empleados de cafeterías osciló entre 9,6 y 11,4.

Ejemplo 2. Para una muestra aleatoria de una población de 64 observaciones, se calcularon los siguientes valores totales:

suma de valores en observaciones,

suma de desviaciones al cuadrado de valores del promedio .

Calcule el intervalo de confianza del 95% para la expectativa matemática.

Calculemos la desviación estándar:

,

Calculemos el valor medio:

.

Sustituimos los valores en la expresión del intervalo de confianza:

¿Dónde está el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de significancia? α = 0,05 .

Obtenemos:

Así, el intervalo de confianza del 95% para la expectativa matemática de esta muestra osciló entre 7,484 y 11,266.

Ejemplo 3. Para una muestra de población aleatoria de 100 observaciones, la media calculada es 15,2 y la desviación estándar es 3,2. Calcule el intervalo de confianza del 95% para el valor esperado y luego el intervalo de confianza del 99%. Si el poder de la muestra y su variación permanecen sin cambios y el coeficiente de confianza aumenta, ¿se estrechará o ampliará el intervalo de confianza?

Sustituimos estos valores en la expresión del intervalo de confianza:

¿Dónde está el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de significancia? α = 0,05 .

Obtenemos:

.

Así, el intervalo de confianza del 95% para la media de esta muestra osciló entre 14,57 y 15,82.

Nuevamente sustituimos estos valores en la expresión del intervalo de confianza:

¿Dónde está el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de significancia? α = 0,01 .

Obtenemos:

.

Así, el intervalo de confianza del 99% para la media de esta muestra osciló entre 14,37 y 16,02.

Como vemos, a medida que aumenta el coeficiente de confianza, el valor crítico de la distribución normal estándar también aumenta y, en consecuencia, los puntos inicial y final del intervalo se ubican más lejos de la media y, por lo tanto, aumenta el intervalo de confianza para la expectativa matemática. .

Estimaciones puntuales y de intervalo de gravedad específica.

La proporción de algún atributo de la muestra se puede interpretar como una estimación puntual de la proporción. pag de la misma característica en la población general. Si es necesario asociar este valor con la probabilidad, entonces se debe calcular el intervalo de confianza de la gravedad específica. pag característica en la población con probabilidad PAG = 1 - α :

.

Ejemplo 4. En alguna ciudad hay dos candidatos. A Y B se postulan para alcalde. Se encuestó aleatoriamente a 200 vecinos de la ciudad, de los cuales el 46% respondió que votaría por el candidato A, 26% - para el candidato B y el 28% no sabe por quién votará. Determine el intervalo de confianza del 95% para la proporción de residentes de la ciudad que apoyan al candidato. A.

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Intervalos de confianza: lista de soluciones a problemas

Intervalos de confianza: teoría y problemas.

Comprender los intervalos de confianza

Introduzcamos brevemente el concepto de intervalo de confianza, que
1) estima algún parámetro de una muestra numérica directamente a partir de los datos de la propia muestra,
2) cubre el valor de este parámetro con probabilidad γ.

Intervalo de confianza para parámetro X(con probabilidad γ) se llama intervalo de la forma , tal que , y los valores se calculan de alguna manera a partir de la muestra.

Por lo general, en problemas aplicados, la probabilidad de confianza se considera igual a γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Consideremos una muestra de tamaño n, formada a partir de la población general, distribuida presumiblemente según la ley de distribución normal. Muestremos qué fórmulas se utilizan para encontrar intervalos de confianza para los parámetros de distribución- expectativa matemática y dispersión (desviación estándar).

Intervalo de confianza para la expectativa matemática

Caso 1. La varianza de la distribución es conocida y es igual a . Entonces el intervalo de confianza para el parámetro a tiene la forma:
t determinado a partir de la tabla de distribución de Laplace según la relación

Caso 2. Se desconoce la varianza de la distribución; se calcula una estimación puntual de la varianza a partir de la muestra. Entonces el intervalo de confianza para el parámetro a tiene la forma:
, donde se calcula el promedio muestral a partir de la muestra, parámetro t determinado a partir de la tabla de distribución de estudiantes

Ejemplo. Con base en 7 mediciones de una determinada cantidad, se encontró que el promedio de los resultados de la medición era 30 y la varianza de la muestra era 36. Encuentre los límites dentro de los cuales está contenido el verdadero valor de la cantidad medida con una confiabilidad de 0,99.

Solución. Lo encontraremos . Luego, los límites de confianza para el intervalo que contiene el valor verdadero del valor medido se pueden encontrar usando la fórmula:
, donde es la media muestral, es la varianza muestral. Sustituimos todos los valores y obtenemos:

Intervalo de confianza para la varianza

Creemos que, en términos generales, se desconoce la expectativa matemática y sólo se conoce la estimación puntual insesgada de la varianza. Entonces el intervalo de confianza tiene la forma:
, Dónde - cuantiles de distribución determinados a partir de tablas.

Ejemplo. Con base en los datos de 7 pruebas, se encontró el valor de evaluación para la desviación estándar. s=12. Encuentre, con probabilidad 0,9, el ancho del intervalo de confianza construido para estimar la dispersión.

Solución. El intervalo de confianza para la varianza poblacional desconocida se puede encontrar mediante la fórmula:

Sustituimos y obtenemos:


Entonces el ancho del intervalo de confianza es 465,589-71,708=393,881.

Intervalo de confianza para la probabilidad (proporción)

Caso 1. Deje que el tamaño de la muestra y la fracción de la muestra (frecuencia relativa) se conozcan en el problema. Entonces el intervalo de confianza para la participación general (probabilidad verdadera) tiene la forma:
, donde el parámetro t se determina a partir de la tabla de distribución de Laplace utilizando la relación.

Caso 2. Si en el problema se conoce además el tamaño total de la población de la que se tomó la muestra, el intervalo de confianza para la participación general (probabilidad real) se puede encontrar utilizando la fórmula ajustada:
.

Ejemplo. Se sabe que encuentre los límites dentro de los cuales es probable que esté contenida la participación general.

Solución. Usamos la fórmula:

Encontremos el parámetro a partir de la condición. , obtenemos Sustituto en la fórmula:

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