Εξίσωση ευθείας σε τέσσερις μορφές. Γενική εξίσωση ευθείας γραμμής

Οι κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο είναι εξισώσεις που ορίζουν μια ευθεία που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο συγγραμμικά προς ένα διάνυσμα κατεύθυνσης.

Έστω ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης. Ένα αυθαίρετο σημείο βρίσκεται σε μια γραμμή μεγάλομόνο εάν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά, δηλ. ικανοποιούν την συνθήκη:

.

Οι παραπάνω εξισώσεις είναι οι κανονικές εξισώσεις της ευθείας.

Αριθμοί Μ , nκαι Πείναι προβολές του διανύσματος κατεύθυνσης στους άξονες συντεταγμένων. Εφόσον το διάνυσμα είναι μη μηδενικό, τότε όλοι οι αριθμοί Μ , nκαι Πδεν μπορεί να είναι μηδέν ταυτόχρονα. Αλλά ένα ή δύο από αυτά μπορεί να είναι μηδέν. Στην αναλυτική γεωμετρία, για παράδειγμα, επιτρέπεται ο ακόλουθος συμβολισμός:

,

που σημαίνει ότι οι προβολές του διανύσματος στους άξονες Oyκαι Οζείναι ίσα με μηδέν. Επομένως, τόσο το διάνυσμα όσο και η ευθεία που δίνονται από τις κανονικές εξισώσεις είναι κάθετες στους άξονες Oyκαι Οζ, δηλαδή αεροπλάνα yOz .

Παράδειγμα 1Να συνθέσετε εξισώσεις ευθείας σε χώρο κάθετο σε επίπεδο και περνώντας από το σημείο τομής αυτού του επιπέδου με τον άξονα Οζ .

Λύση. Να βρείτε το σημείο τομής του δεδομένου επιπέδου με τον άξονα Οζ. Από οποιοδήποτε σημείο του άξονα Οζ, έχει συντεταγμένες , λοιπόν, υποθέτοντας στη δεδομένη εξίσωση του επιπέδου x=y= 0, παίρνουμε 4 z- 8 = 0 ή z= 2. Επομένως, το σημείο τομής του δεδομένου επιπέδου με τον άξονα Οζέχει συντεταγμένες (0; 0; 2) . Εφόσον η επιθυμητή ευθεία είναι κάθετη στο επίπεδο, είναι παράλληλη με το κανονικό της διάνυσμα. Επομένως, το κανονικό διάνυσμα μπορεί να χρησιμεύσει ως το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας γραμμής δεδομένο αεροπλάνο.

Τώρα γράφουμε τις επιθυμητές εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από το σημείο ΕΝΑ= (0; 0; 2) προς την κατεύθυνση του διανύσματος:

Εξισώσεις ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία

Μια ευθεία γραμμή μπορεί να οριστεί από δύο σημεία που βρίσκονται πάνω της και Στην περίπτωση αυτή, το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας μπορεί να είναι το διάνυσμα . Τότε οι κανονικές εξισώσεις της ευθείας παίρνουν τη μορφή

.

Οι παραπάνω εξισώσεις ορίζουν μια ευθεία που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία.

Παράδειγμα 2Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας στο χώρο που διέρχεται από τα σημεία και .

Λύση. Γράφουμε τις επιθυμητές εξισώσεις της ευθείας με τη μορφή που δίνεται παραπάνω στη θεωρητική αναφορά:

.

Αφού , τότε η επιθυμητή γραμμή είναι κάθετη στον άξονα Oy .

Ευθεία ως γραμμή τομής επιπέδων

Μια ευθεία γραμμή στο χώρο μπορεί να οριστεί ως μια γραμμή τομής δύο μη παράλληλων επιπέδων και, δηλαδή, ως ένα σύνολο σημείων που ικανοποιούν ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων

Οι εξισώσεις του συστήματος ονομάζονται και γενικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο.

Παράδειγμα 3Να συνθέσετε κανονικές εξισώσεις ευθείας στο χώρο που δίνουν οι γενικές εξισώσεις

Λύση. Για να γράψετε τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής ή, που είναι το ίδιο, την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία, πρέπει να βρείτε τις συντεταγμένες οποιωνδήποτε δύο σημείων στην ευθεία. Μπορούν να είναι τα σημεία τομής μιας ευθείας με οποιαδήποτε δύο επίπεδα συντεταγμένων, για παράδειγμα yOzκαι xOz .

Σημείο τομής γραμμής με επίπεδο yOzέχει τετμημένη Χ= 0 . Επομένως, υποθέτοντας σε αυτό το σύστημα εξισώσεων Χ= 0, παίρνουμε ένα σύστημα με δύο μεταβλητές:

Η απόφασή της y = 2 , z= 6 μαζί με Χ= 0 ορίζει ένα σημείο ΕΝΑ(0; 2; 6) της επιθυμητής γραμμής. Υποθέτοντας τότε στο δεδομένο σύστημα εξισώσεων y= 0 , παίρνουμε το σύστημα

Η απόφασή της Χ = -2 , z= 0 μαζί με y= 0 ορίζει ένα σημείο σι(-2; 0; 0) τομή μιας ευθείας με ένα επίπεδο xOz .

Τώρα γράφουμε τις εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία ΕΝΑ(0; 2; 6) και σι (-2; 0; 0) :

,

ή αφού διαιρέσουμε τους παρονομαστές με -2:

,

Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο K(x 0; y 0) και είναι παράλληλη προς την ευθεία y = kx + a βρίσκεται με τον τύπο:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Όπου k είναι η κλίση της ευθείας.

Εναλλακτική φόρμουλα:
Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1 ; y 1) και είναι παράλληλη προς την ευθεία Ax+By+C=0 αντιπροσωπεύεται από την εξίσωση

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)

Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Κ( ;) παράλληλη προς την ευθεία y = x + .

Παράδειγμα #1. Να συνθέσετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ 0 (-2.1) και ταυτόχρονα:
α) παράλληλη προς την ευθεία 2x+3y -7 = 0;
β) κάθετη στην ευθεία 2x+3y -7 = 0.
Λύση . Ας αναπαραστήσουμε την εξίσωση κλίσης ως y = kx + a . Για να γίνει αυτό, θα μεταφέρουμε όλες τις τιμές εκτός από το y στη δεξιά πλευρά: 3y = -2x + 7 . Στη συνέχεια διαιρούμε τη δεξιά πλευρά με τον συντελεστή 3 . Παίρνουμε: y = -2/3x + 7/3
Να βρείτε την εξίσωση ΝΚ που διέρχεται από το σημείο Κ(-2;1) παράλληλο στην ευθεία y = -2 / 3 x + 7 / 3
Αντικαθιστώντας x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 παίρνουμε:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
ή
y = -2 / 3 x - 1 / 3 ή 3y + 2x +1 = 0

Παράδειγμα #2. Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας παράλληλης στην ευθεία 2x + 5y = 0 και σχηματίζοντας μαζί με τους άξονες συντεταγμένων ένα τρίγωνο του οποίου το εμβαδόν είναι 5.
Λύση . Δεδομένου ότι οι ευθείες είναι παράλληλες, η εξίσωση της επιθυμητής ευθείας είναι 2x + 5y + C = 0. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου, όπου a και b είναι τα σκέλη του. Βρείτε τα σημεία τομής της επιθυμητής ευθείας με τους άξονες συντεταγμένων:
;
.
Άρα, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Αντικαταστήστε στον τύπο για την περιοχή: . Παίρνουμε δύο λύσεις: 2x + 5y + 10 = 0 και 2x + 5y - 10 = 0 .

Παράδειγμα #3. Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο (-2; 5) και την παράλληλη ευθεία 5x-7y-4=0 .
Λύση. Αυτή η ευθεία μπορεί να παρασταθεί με την εξίσωση y = 5/7 x – 4/7 (εδώ a = 5/7). Η εξίσωση της επιθυμητής γραμμής είναι y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), δηλ. 7(y-5)=5(x+2) ή 5x-7y+45=0 .

Παράδειγμα #4. Λύνοντας το παράδειγμα 3 (A=5, B=-7) χρησιμοποιώντας τον τύπο (2), βρίσκουμε 5(x+2)-7(y-5)=0.

Παράδειγμα αριθμός 5. Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο (-2;5) και μιας παράλληλης ευθείας 7x+10=0.
Λύση. Εδώ Α=7, Β=0. Ο τύπος (2) δίνει 7(x+2)=0, δηλ. x+2=0. Ο τύπος (1) δεν είναι εφαρμόσιμος, καθώς αυτή η εξίσωση δεν μπορεί να λυθεί ως προς το y (αυτή η ευθεία είναι παράλληλη με τον άξονα y).

Αφήστε την ευθεία να διέλθει από τα σημεία M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2). Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο M 1 έχει τη μορφή y- y 1 \u003d κ (x - x 1), (10,6)

όπου κ - άγνωστος ακόμη συντελεστής.

Εφόσον η ευθεία διέρχεται από το σημείο M 2 (x 2 y 2), τότε οι συντεταγμένες αυτού του σημείου πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση (10.6): y 2 -y 1 \u003d κ (x 2 -x 1).

Από εδώ βρίσκουμε Αντικατάσταση της τιμής που βρέθηκε κ στην εξίσωση (10.6), παίρνουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία M 1 και M 2:

Υποτίθεται ότι σε αυτή την εξίσωση x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Αν x 1 \u003d x 2, τότε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία M 1 (x 1, y I) και M 2 (x 2, y 2) είναι παράλληλη προς τον άξονα y. Η εξίσωσή του είναι x = x 1 .

Εάν y 2 \u003d y I, τότε η εξίσωση της ευθείας μπορεί να γραφτεί ως y \u003d y 1, η ευθεία M 1 M 2 είναι παράλληλη στον άξονα x.

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα

Αφήστε την ευθεία γραμμή να τέμνει τον άξονα Ox στο σημείο M 1 (a; 0) και τον άξονα Oy - στο σημείο M 2 (0; b). Η εξίσωση θα έχει τη μορφή:
εκείνοι.
. Αυτή η εξίσωση ονομάζεται η εξίσωση μιας ευθείας σε τμήματα, γιατί Οι αριθμοί a και b δείχνουν ποια τμήματα αποκόπτει η ευθεία στους άξονες συντεταγμένων.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο διάνυσμα

Ας βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο Mo (x O; y o) κάθετο σε ένα δεδομένο μη μηδενικό διάνυσμα n = (A; B).

Πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο M(x; y) στην ευθεία γραμμή και θεωρήστε το διάνυσμα M 0 M (x - x 0; y - y o) (βλ. Εικ. 1). Εφόσον τα διανύσματα n και M o M είναι κάθετα, το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι ίσο με μηδέν:

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Καλείται η εξίσωση (10.8). εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο διάνυσμα .

Το διάνυσμα n = (A; B) κάθετο στην ευθεία ονομάζεται κανονικό κανονικό διάνυσμα αυτής της γραμμής .

Η εξίσωση (10.8) μπορεί να ξαναγραφτεί ως Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

όπου Α και Β είναι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος, C \u003d -Ax o - Vu o - ελεύθερο μέλος. Εξίσωση (10.9) είναι η γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής(βλ. Εικ. 2).

Εικ.1 Εικ.2

Κανονικές εξισώσεις ευθείας

,

Οπου
είναι οι συντεταγμένες του σημείου από το οποίο διέρχεται η ευθεία, και
- διάνυσμα κατεύθυνσης.

Καμπύλες δεύτερης τάξης Κύκλος

Κύκλος είναι το σύνολο όλων των σημείων ενός επιπέδου σε ίση απόσταση από ένα δεδομένο σημείο, το οποίο ονομάζεται κέντρο.

Κανονική εξίσωση κύκλου ακτίνας R με κέντρο σε ένα σημείο
:

Συγκεκριμένα, εάν το κέντρο του πονταρίσματος συμπίπτει με την αρχή, τότε η εξίσωση θα μοιάζει με:

Ελλειψη

Μια έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων σε ένα επίπεδο, το άθροισμα των αποστάσεων από το καθένα από αυτά σε δύο δεδομένα σημεία και , που ονομάζονται εστίες, είναι σταθερή τιμή
, μεγαλύτερη από την απόσταση μεταξύ των εστιών
.

Η κανονική εξίσωση μιας έλλειψης της οποίας οι εστίες βρίσκονται στον άξονα Ox και της οποίας η αρχή είναι στη μέση μεταξύ των εστιών έχει τη μορφή
σολ deένα το μήκος του κύριου ημιάξονα·σι είναι το μήκος του δευτερεύοντος ημιάξονα (Εικ. 2).

Εξίσωση γραμμής σε επίπεδο.

Όπως είναι γνωστό, οποιοδήποτε σημείο στο επίπεδο καθορίζεται από δύο συντεταγμένες σε κάποιο σύστημα συντεταγμένων. Τα συστήματα συντεταγμένων μπορεί να είναι διαφορετικά ανάλογα με την επιλογή βάσης και προέλευσης.

Ορισμός. Γραμμική εξίσωσηείναι η σχέση y = f(x) μεταξύ των συντεταγμένων των σημείων που απαρτίζουν αυτή την ευθεία.

Σημειώστε ότι η εξίσωση γραμμής μπορεί να εκφραστεί με παραμετρικό τρόπο, δηλαδή, κάθε συντεταγμένη κάθε σημείου εκφράζεται μέσω κάποιας ανεξάρτητης παραμέτρου t.

Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η τροχιά ενός κινούμενου σημείου. Σε αυτή την περίπτωση, ο χρόνος παίζει ρόλο παραμέτρου.

Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο.

Ορισμός. Οποιαδήποτε ευθεία στο επίπεδο μπορεί να δοθεί με μια εξίσωση πρώτης τάξης

Ah + Wu + C = 0,

εξάλλου οι σταθερές Α, Β δεν ισούνται ταυτόχρονα με μηδέν, δηλ. A 2 + B 2  0. Αυτή η εξίσωση πρώτης τάξης ονομάζεται η γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής.

Ανάλογα με τις τιμές των σταθερών A, B και C, είναι δυνατές οι ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις:

C \u003d 0, A  0, B  0 - η γραμμή διέρχεται από την αρχή

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - η γραμμή είναι παράλληλη με τον άξονα Ox

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - η γραμμή είναι παράλληλη με τον άξονα Oy

B \u003d C \u003d 0, A  0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Ox

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μπορεί να παρουσιαστεί με διάφορες μορφές ανάλογα με τις δεδομένες αρχικές συνθήκες.

Εξίσωση ευθείας με σημείο και κανονικό διάνυσμα.

Ορισμός. Σε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ένα διάνυσμα με συνιστώσες (Α, Β) είναι κάθετο στην ευθεία που δίνεται από την εξίσωση Ax + By + C = 0.

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α (1, 2) κάθετο στο διάνυσμα (3, -1).

Ας συνθέσουμε στο A \u003d 3 και B \u003d -1 την εξίσωση της ευθείας: 3x - y + C \u003d 0. Για να βρούμε τον συντελεστή C, αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του δεδομένου σημείου A στην παράσταση που προκύπτει.

Παίρνουμε: 3 - 2 + C \u003d 0, επομένως C \u003d -1.

Σύνολο: η επιθυμητή εξίσωση: 3x - y - 1 \u003d 0.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία.

Έστω δύο σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2) στο διάστημα, τότε η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από αυτά τα σημεία:

Εάν οποιοσδήποτε από τους παρονομαστές είναι ίσος με μηδέν, ο αντίστοιχος αριθμητής πρέπει να ισούται με μηδέν.

Σε ένα επίπεδο, η εξίσωση μιας ευθείας που γράφεται παραπάνω απλοποιείται:

αν x 1  x 2 και x \u003d x 1, εάν x 1 \u003d x 2.

Κλάσμα
=k λέγεται συντελεστής κλίσηςευθεία.

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(1, 2) και Β(3, 4).

Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τύπο, παίρνουμε:

Εξίσωση ευθείας με σημείο και κλίση.

Αν η γενική εξίσωση της ευθείας Ax + Vy + C = 0 οδηγεί στη μορφή:

και ορίζουν
, τότε καλείται η εξίσωση που προκύπτει εξίσωση ευθείας με κλίσηκ.

Η εξίσωση μιας ευθείας σε ένα σημείο και ενός κατευθυντικού διανύσματος.

Κατ' αναλογία με το σημείο που εξετάζει την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μέσω του κανονικού διανύσματος, μπορείτε να εισαγάγετε την εκχώρηση μιας ευθείας γραμμής μέσω ενός σημείου και ενός κατευθυντικού διανύσματος μιας ευθείας γραμμής.

Ορισμός. Κάθε μη μηδενικό διάνυσμα ( 1 ,  2), τα συστατικά του οποίου ικανοποιούν τη συνθήκη A 1 + B 2 = 0 ονομάζεται κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας

Ah + Wu + C = 0.

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση ευθείας με διάνυσμα κατεύθυνσης (1, -1) και περνώντας από το σημείο Α(1, 2).

Θα αναζητήσουμε την εξίσωση της επιθυμητής ευθείας με τη μορφή: Ax + By + C = 0. Σύμφωνα με τον ορισμό, οι συντελεστές πρέπει να πληρούν τις προϋποθέσεις:

1A + (-1)B = 0, δηλ. Α = Β.

Τότε η εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή: Ax + Ay + C = 0, ή x + y + C/A = 0.

στο x = 1, y = 2 παίρνουμε С/A = -3, δηλ. επιθυμητή εξίσωση:

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα.

Αν στη γενική εξίσωση της ευθείας Ah + Wu + C = 0 C 0, τότε, διαιρώντας με –C, παίρνουμε:
ή

, όπου

Η γεωμετρική σημασία των συντελεστών είναι ότι ο συντελεστής έναείναι η συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα x, και σι- η συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα Oy.

Παράδειγμα.Δίνεται η γενική εξίσωση της ευθείας x - y + 1 = 0. Να βρείτε την εξίσωση αυτής της ευθείας στα τμήματα.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Κανονική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης Ax + Wy + C = 0 διαιρούμενο με τον αριθμό
, το οποιο ονομαζεται παράγοντα ομαλοποίησης, τότε παίρνουμε

xcos + ysin - p = 0 –

κανονική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Το πρόσημο  του κανονικοποιητικού παράγοντα πρέπει να επιλέγεται έτσι ώστε С< 0.

p είναι το μήκος της καθέτου που έπεσε από την αρχή στην ευθεία και  είναι η γωνία που σχηματίζει αυτή η κάθετο με τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ox.

Παράδειγμα.Δίνεται η γενική εξίσωση της γραμμής 12x - 5y - 65 = 0. Απαιτείται να γραφούν διάφοροι τύποι εξισώσεων για αυτή τη γραμμή.

η εξίσωση αυτής της ευθείας σε τμήματα:

η εξίσωση αυτής της ευθείας με την κλίση: (διαιρέστε με 5)

κανονική εξίσωση ευθείας:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Πρέπει να σημειωθεί ότι δεν μπορεί να αναπαρασταθεί κάθε ευθεία με μια εξίσωση σε τμήματα, για παράδειγμα, ευθείες παράλληλες προς τους άξονες ή που διέρχονται από την αρχή.

Παράδειγμα.Η ευθεία γραμμή κόβει ίσα θετικά τμήματα στους άξονες συντεταγμένων. Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής εάν το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από αυτά τα τμήματα είναι 8 cm 2.

Η εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή:
, a = b = 1; αβ/2 = 8; a = 4; - τέσσερα.

a = -4 δεν ταιριάζει στην συνθήκη του προβλήματος.

Σύνολο:
ή x + y - 4 = 0.

Παράδειγμα.Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α (-2, -3) και την αρχή.

Η εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή:
, όπου x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Γωνία μεταξύ των γραμμών σε ένα επίπεδο.

Ορισμός. Εάν δοθούν δύο ευθείες y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , τότε η οξεία γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών θα οριστεί ως

.

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν k 1 = k 2 .

Δύο ευθείες είναι κάθετες αν k 1 = -1/k 2 .

Θεώρημα. Ευθείες γραμμές Ax + Vy + C = 0 και A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 είναι παράλληλοι όταν οι συντελεστές Α είναι ανάλογοι 1 =  Α, Β 1 =  Β. Εάν επίσης Γ 1 =  C, τότε οι γραμμές συμπίπτουν.

Οι συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών βρίσκονται ως λύση στο σύστημα εξισώσεων αυτών των ευθειών.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο

κάθετη σε αυτή τη γραμμή.

Ορισμός. Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1) και είναι κάθετη στην ευθεία y \u003d kx + b αντιπροσωπεύεται από την εξίσωση:

Η απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.

Θεώρημα. Αν ένα σημείο M(x 0 , y 0 ), τότε η απόσταση από τη γραμμή Ax + Vy + C = 0 ορίζεται ως

.

Απόδειξη. Έστω το σημείο M 1 (x 1, y 1) η βάση της καθέτου που έπεσε από το σημείο M στη δεδομένη ευθεία. Τότε η απόσταση μεταξύ των σημείων M και M 1:

Οι συντεταγμένες x 1 και y 1 μπορούν να βρεθούν ως λύση στο σύστημα των εξισώσεων:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 0 κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία.

Αν μετατρέψουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος στη μορφή:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

τότε, λύνοντας, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (1), βρίσκουμε:

.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των ευθειών: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Παράδειγμα.Δείξτε ότι οι ευθείες 3x - 5y + 7 = 0 και 10x + 6y - 3 = 0 είναι κάθετες.

Βρίσκουμε: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, επομένως, οι γραμμές είναι κάθετες.

Παράδειγμα.Δίνονται οι κορυφές του τριγώνου A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Βρείτε την εξίσωση για το ύψος που προκύπτει από την κορυφή Γ.

Βρίσκουμε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Η επιθυμητή εξίσωση ύψους είναι: Ax + By + C = 0 ή y = kx + b.

k = . Τότε y =
. Επειδή το ύψος διέρχεται από το σημείο C, τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση:
από όπου b = 17. Σύνολο:
.

Απάντηση: 3x + 2y - 34 = 0.

Αναλυτική γεωμετρία στο χώρο.

Γραμμική εξίσωση στο χώρο.

Η εξίσωση μιας ευθείας στο χώρο κατά ένα σημείο και

διάνυσμα κατεύθυνσης.

Πάρτε μια αυθαίρετη γραμμή και ένα διάνυσμα (m, n, p) παράλληλα με τη δεδομένη ευθεία. Διάνυσμα που ονομάζεται οδηγός διάνυσμαευθεία.

Ας πάρουμε δύο αυθαίρετα σημεία M 0 (x 0 , y 0 , z 0) και M(x, y, z) στην ευθεία.

z

Μ1

Ας υποδηλώσουμε τα διανύσματα ακτίνας αυτών των σημείων ως και , είναι προφανές ότι - =
.

Επειδή φορείς
και είναι συγγραμμικές, τότε η σχέση είναι αληθής
= t, όπου t είναι κάποια παράμετρος.

Συνολικά μπορούμε να γράψουμε: = + t.

Επειδή αυτή η εξίσωση ικανοποιείται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου της ευθείας, τότε η εξίσωση που προκύπτει είναι παραμετρική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Αυτή η διανυσματική εξίσωση μπορεί να αναπαρασταθεί σε μορφή συντεταγμένων:

Μετασχηματίζοντας αυτό το σύστημα και εξισώνοντας τις τιμές της παραμέτρου t, λαμβάνουμε τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής στο χώρο:

.

Ορισμός. Συνημίτονα κατεύθυνσηςάμεσες είναι τα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος , το οποίο μπορεί να υπολογιστεί με τους τύπους:

;

.

Από εδώ παίρνουμε: m: n: p = cos : cos : cos.

Καλούνται οι αριθμοί m, n, p παράγοντες κλίσηςευθεία. Επειδή είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα, τα m, n και p δεν μπορούν να είναι μηδέν ταυτόχρονα, αλλά ένας ή δύο από αυτούς τους αριθμούς μπορεί να είναι μηδέν. Στην περίπτωση αυτή, στην εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, οι αντίστοιχοι αριθμητές θα πρέπει να εξισωθούν με το μηδέν.

Εξίσωση ευθείας σε διαστημική διέλευση

μέσα από δύο σημεία.

Εάν δύο αυθαίρετα σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2) σημειώνονται σε ευθεία γραμμή στο χώρο, τότε οι συντεταγμένες αυτών των σημείων πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση του ευθεία γραμμή που λήφθηκε παραπάνω:

.

Επιπλέον, για το σημείο Μ 1 μπορούμε να γράψουμε:

.

Λύνοντας αυτές τις εξισώσεις μαζί, παίρνουμε:

.

Αυτή είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία του χώρου.

Γενικές εξισώσεις ευθείας στο χώρο.

Η εξίσωση μιας ευθείας μπορεί να θεωρηθεί ως η εξίσωση μιας ευθείας τομής δύο επιπέδων.

Όπως συζητήθηκε παραπάνω, ένα επίπεδο σε διανυσματική μορφή μπορεί να δοθεί από την εξίσωση:

+ D = 0, όπου

- κανονικό αεροπλάνο. - ακτίνα-διάνυσμα αυθαίρετου σημείου του επιπέδου.

Αυτό το άρθρο αποκαλύπτει την εξαγωγή της εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων που βρίσκεται σε ένα επίπεδο. Εξάγουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Θα δείξουμε οπτικά και θα λύσουμε αρκετά παραδείγματα που σχετίζονται με το υλικό που καλύπτεται.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Πριν λάβουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία, είναι απαραίτητο να δώσουμε προσοχή σε ορισμένα γεγονότα. Υπάρχει ένα αξίωμα που λέει ότι μέσω δύο μη συμπίπτων σημείων σε ένα επίπεδο είναι δυνατό να χαράξουμε μια ευθεία γραμμή και μόνο μία. Με άλλα λόγια, δύο δεδομένα σημεία του επιπέδου καθορίζονται από μια ευθεία που διέρχεται από αυτά τα σημεία.

Εάν το επίπεδο δίνεται από το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy, τότε οποιαδήποτε ευθεία που απεικονίζεται σε αυτό θα αντιστοιχεί στην εξίσωση της ευθείας στο επίπεδο. Υπάρχει και σύνδεση με το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας.Τα δεδομένα αυτά είναι επαρκή για να συντάξουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία.

Εξετάστε ένα παράδειγμα επίλυσης παρόμοιου προβλήματος. Είναι απαραίτητο να συνθέσουμε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής a που διέρχεται από δύο αταίριαστα σημεία M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2) που βρίσκονται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Στην κανονική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο, που έχει τη μορφή x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y, ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y καθορίζεται με μια ευθεία γραμμή που τέμνεται μαζί της σε ένα σημείο με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1) με οδηγό διάνυσμα a → = (a x , a y) .

Είναι απαραίτητο να συντεθεί η κανονική εξίσωση της ευθείας α, η οποία θα διέρχεται από δύο σημεία με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2) .

Η ευθεία α έχει κατευθυντικό διάνυσμα M 1 M 2 → με συντεταγμένες (x 2 - x 1, y 2 - y 1), αφού τέμνει τα σημεία M 1 και M 2. Λάβαμε τα απαραίτητα δεδομένα για να μετασχηματίσουμε την κανονική εξίσωση με τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) και τις συντεταγμένες των σημείων M 1 που βρίσκονται πάνω τους (x 1, y 1) και M 2 (x 2 , y 2) . Παίρνουμε μια εξίσωση της μορφής x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ή x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.

Ακολουθώντας τους υπολογισμούς γράφουμε τις παραμετρικές εξισώσεις ευθείας σε επίπεδο που διέρχεται από δύο σημεία με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2) . Παίρνουμε μια εξίσωση της μορφής x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ ή x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από 2 δεδομένα σημεία με συντεταγμένες M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Λύση

Η κανονική εξίσωση για μια ευθεία που τέμνεται σε δύο σημεία με τις συντεταγμένες x 1 , y 1 και x 2 , y 2 παίρνει τη μορφή x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, έχουμε ότι x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τις αριθμητικές τιμές στην εξίσωση x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Από εδώ παίρνουμε ότι η κανονική εξίσωση θα πάρει τη μορφή x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Απάντηση: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Εάν είναι απαραίτητο να λύσετε ένα πρόβλημα με έναν διαφορετικό τύπο εξίσωσης, τότε για αρχή μπορείτε να πάτε στην κανονική, καθώς είναι ευκολότερο να έρθετε σε οποιοδήποτε άλλο από αυτό.

Παράδειγμα 2

Να συνθέσετε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από σημεία με συντεταγμένες M 1 (1, 1) και M 2 (4, 2) στο σύστημα συντεταγμένων O x y.

Λύση

Πρώτα πρέπει να γράψετε την κανονική εξίσωση μιας δεδομένης γραμμής που διέρχεται από τα δεδομένα δύο σημεία. Παίρνουμε μια εξίσωση της μορφής x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Φέρνουμε την κανονική εξίσωση στην επιθυμητή μορφή και, στη συνέχεια, παίρνουμε:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Απάντηση: x - 3 y + 2 = 0 .

Παραδείγματα τέτοιων εργασιών εξετάστηκαν στα σχολικά εγχειρίδια στα μαθήματα άλγεβρας. Οι σχολικές εργασίες διέφεραν στο ότι ήταν γνωστή η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με συντελεστή κλίσης, με τη μορφή y \u003d k x + b. Εάν πρέπει να βρείτε την τιμή της κλίσης k και τον αριθμό b, στον οποίο η εξίσωση y \u003d k x + b ορίζει μια γραμμή στο σύστημα O x y που διέρχεται από τα σημεία M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2), όπου x 1 ≠ x 2 . Όταν x 1 = x 2 , τότε η κλίση παίρνει την τιμή του άπειρου και η ευθεία M 1 M 2 ορίζεται από μια γενική ατελή εξίσωση της μορφής x - x 1 = 0 .

Γιατί οι τελείες Μ 1και Μ 2βρίσκονται σε ευθεία γραμμή, τότε οι συντεταγμένες τους ικανοποιούν την εξίσωση y 1 = k x 1 + b και y 2 = k x 2 + b. Είναι απαραίτητο να λυθεί το σύστημα των εξισώσεων y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b ως προς τα k και b.

Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ή k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Με τέτοιες τιμές των k και b, η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία παίρνει την ακόλουθη μορφή y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ή y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Η απομνημόνευση τόσο μεγάλου αριθμού τύπων ταυτόχρονα δεν θα λειτουργήσει. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να αυξηθεί ο αριθμός των επαναλήψεων στην επίλυση προβλημάτων.

Παράδειγμα 3

Να γράψετε την εξίσωση ευθείας με κλίση που διέρχεται από σημεία με συντεταγμένες M 2 (2, 1) και y = k x + b.

Λύση

Για να λύσουμε το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε έναν τύπο με κλίση που έχει τη μορφή y \u003d k x + b. Οι συντελεστές k και b πρέπει να λάβουν τέτοια τιμή ώστε αυτή η εξίσωση να αντιστοιχεί σε μια ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία με συντεταγμένες M 1 (- 7 , - 5) και M 2 (2 , 1) .

σημεία Μ 1και Μ 2που βρίσκονται σε ευθεία γραμμή, τότε οι συντεταγμένες τους θα πρέπει να αντιστρέψουν την εξίσωση y = k x + b τη σωστή ισότητα. Από εδώ παίρνουμε ότι - 5 = k · (- 7) + b και 1 = k · 2 + b. Ας συνδυάσουμε την εξίσωση στο σύστημα - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b και ας λύσουμε.

Κατά την αντικατάσταση, το παίρνουμε αυτό

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Τώρα οι τιμές k = 2 3 και b = - 1 3 αντικαθίστανται στην εξίσωση y = k x + b. Παίρνουμε ότι η επιθυμητή εξίσωση που διέρχεται από τα δεδομένα σημεία θα είναι μια εξίσωση που έχει τη μορφή y = 2 3 x - 1 3 .

Αυτός ο τρόπος επίλυσης προκαθορίζει τη δαπάνη μεγάλου χρόνου. Υπάρχει ένας τρόπος με τον οποίο η εργασία λύνεται κυριολεκτικά σε δύο βήματα.

Γράφουμε την κανονική εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από M 2 (2, 1) και M 1 (- 7, - 5) , που έχει τη μορφή x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Τώρα ας προχωρήσουμε στην εξίσωση της κλίσης. Παίρνουμε ότι: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Απάντηση: y = 2 3 x - 1 3 .

Εάν στον τρισδιάστατο χώρο υπάρχει ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z με δύο δεδομένα μη συμπίπτοντα σημεία με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2), η ευθεία γραμμή M που διέρχεται από αυτά 1 M 2, είναι απαραίτητο να ληφθεί η εξίσωση αυτής της ευθείας.

Έχουμε ότι κανονικές εξισώσεις της μορφής x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z και παραμετρικές εξισώσεις της μορφής x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ μπορούν να ορίσουν μια γραμμή στο σύστημα συντεταγμένων O x y z που διέρχεται από σημεία που έχουν συντεταγμένες (x 1, y 1, z 1) με ένα κατευθυντικό διάνυσμα a → = (a x, a y, a z) .

Ευθεία Μ 1 Μ 2 έχει διάνυσμα κατεύθυνσης της μορφής M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , όπου η ευθεία διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1 , y 1 , z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2), επομένως η κανονική εξίσωση μπορεί να είναι της μορφής x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ή x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, με τη σειρά της, παραμετρική x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ή x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Θεωρήστε ένα σχήμα που δείχνει 2 δεδομένα σημεία στο χώρο και την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής.

Παράδειγμα 4

Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής που ορίζεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z τρισδιάστατου χώρου, που διέρχεται από τα δεδομένα δύο σημεία με συντεταγμένες M 1 (2, - 3, 0) και M 2 (1, - 3, - 5). ) .

Λύση

Πρέπει να βρούμε την κανονική εξίσωση. Εφόσον μιλάμε για τρισδιάστατο χώρο, σημαίνει ότι όταν μια ευθεία διέρχεται από δεδομένα σημεία, η επιθυμητή κανονική εξίσωση θα πάρει τη μορφή x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Με συνθήκη, έχουμε ότι x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Από αυτό προκύπτει ότι οι απαραίτητες εξισώσεις μπορούν να γραφτούν ως εξής:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Απάντηση: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter