Εξίσωση x2 y2. Επίλυση εξισώσεων με δύο μεταβλητές

1. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με παράμετρο

Τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων με μια παράμετρο επιλύονται με τις ίδιες βασικές μεθόδους με τα συμβατικά συστήματα εξισώσεων: τη μέθοδο αντικατάστασης, τη μέθοδο προσθήκης εξισώσεων και τη γραφική μέθοδο. Η γνώση της γραφικής ερμηνείας των γραμμικών συστημάτων καθιστά εύκολη την απάντηση στην ερώτηση σχετικά με τον αριθμό των ριζών και την ύπαρξή τους.

Παράδειγμα 1

Βρείτε όλες τις τιμές για την παράμετρο a για την οποία το σύστημα εξισώσεων δεν έχει λύσεις.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.

Λύση.

Ας δούμε διάφορους τρόπους επίλυσης αυτού του προβλήματος.

1 τρόπος.Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα: το σύστημα δεν έχει λύσεις εάν η αναλογία των συντελεστών μπροστά από το x είναι ίση με την αναλογία των συντελεστών μπροστά από το y, αλλά όχι ίση με την αναλογία των ελεύθερων όρων (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). Τότε έχουμε:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 ή ένα σύστημα

(και 2 - 3 = 1,
(α ≠ 2.

Από την πρώτη εξίσωση a 2 \u003d 4, επομένως, λαμβάνοντας υπόψη την συνθήκη ότι a ≠ 2, παίρνουμε την απάντηση.

Απάντηση: a = -2.

2 τρόπος.Λύνουμε με τη μέθοδο αντικατάστασης.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Αφού αφαιρέσουμε τον κοινό παράγοντα y από αγκύλες στην πρώτη εξίσωση, παίρνουμε:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Το σύστημα δεν έχει λύσεις αν η πρώτη εξίσωση δεν έχει λύσεις, δηλαδή

(και 2 - 4 = 0,
(α - 2 ≠ 0.

Είναι προφανές ότι a = ±2, αλλά λαμβάνοντας υπόψη τη δεύτερη συνθήκη δίνεται μόνο η απάντηση με μείον.

Απάντηση: a = -2.

Παράδειγμα 2

Βρείτε όλες τις τιμές για την παράμετρο a για την οποία το σύστημα εξισώσεων έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Λύση.

Κατά ιδιότητα, εάν ο λόγος των συντελεστών στα x και y είναι ο ίδιος και είναι ίσος με τον λόγο των ελεύθερων μελών του συστήματος, τότε έχει ένα άπειρο σύνολο λύσεων (δηλ. a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Επομένως 8/a = a/2 = 2/1. Επιλύοντας καθεμία από τις εξισώσεις που ελήφθησαν, διαπιστώνουμε ότι το \u003d 4 είναι η απάντηση σε αυτό το παράδειγμα.

Απάντηση:α = 4.

2. Συστήματα ορθολογικών εξισώσεων με παράμετρο

Παράδειγμα 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = α.

Λύση.

Πολλαπλασιάστε την πρώτη εξίσωση του συστήματος με 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = α.

Αφαιρούμε τη δεύτερη εξίσωση από την πρώτη, παίρνουμε 5|х| = 4 – α. Αυτή η εξίσωση θα έχει μια μοναδική λύση για a = 4. Σε άλλες περιπτώσεις, αυτή η εξίσωση θα έχει δύο λύσεις (για ένα< 4) или ни одного (при а > 4).

Απάντηση: α = 4.

Παράδειγμα 4

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a για τις οποίες το σύστημα εξισώσεων έχει μοναδική λύση.

(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.

Λύση.

Θα λύσουμε αυτό το σύστημα χρησιμοποιώντας τη γραφική μέθοδο. Έτσι, η γραφική παράσταση της δεύτερης εξίσωσης του συστήματος είναι μια παραβολή, ανυψωμένη κατά μήκος του άξονα Oy κατά μία μονάδα τμήματος. Η πρώτη εξίσωση ορίζει το σύνολο των γραμμών παράλληλων στην ευθεία y = -x (εικόνα 1). Το σχήμα δείχνει ξεκάθαρα ότι το σύστημα έχει μια λύση εάν η ευθεία γραμμή y \u003d -x + a εφάπτεται στην παραβολή στο σημείο με συντεταγμένες (-0,5; 1,25). Αντικαθιστώντας αυτές τις συντεταγμένες στην εξίσωση μιας ευθείας αντί των x και y, βρίσκουμε την τιμή της παραμέτρου a:

1,25 = 0,5 + a;

Απάντηση: α = 0,75.

Παράδειγμα 5

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης, μάθετε σε ποια τιμή της παραμέτρου a, το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.

(ax - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Λύση.

Εκφράστε το y από την πρώτη εξίσωση και αντικαταστήστε το με τη δεύτερη:

(y \u003d ah - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) = 2.

Φέρνουμε τη δεύτερη εξίσωση στη μορφή kx = b, η οποία θα έχει μοναδική λύση για k ≠ 0. Έχουμε:

ax + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

Το τετράγωνο τριώνυμο a 2 + 3a + 2 μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο αγκύλων

(a + 2)(a + 1), και στα αριστερά βγάζουμε x από αγκύλες:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Προφανώς, ένα 2 + 3a δεν πρέπει να είναι ίσο με μηδέν, επομένως,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, που σημαίνει a ≠ 0 και ≠ -3.

Απάντηση: a ≠ 0; ≠ -3.

Παράδειγμα 6

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο γραφικής λύσης, καθορίστε σε ποια τιμή της παραμέτρου a, το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = α.

Λύση.

Με βάση την συνθήκη, χτίζουμε έναν κύκλο με κέντρο στην αρχή των συντεταγμένων και ακτίνα 3 μονάδων τμημάτων, αυτός ο κύκλος είναι που θέτει την πρώτη εξίσωση του συστήματος

x 2 + y 2 = 9. Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος (y = |x| + a) είναι μια διακεκομμένη γραμμή. Με τη χρήση Σχήμα 2εξετάζουμε όλες τις πιθανές περιπτώσεις θέσης του σε σχέση με τον κύκλο. Είναι εύκολο να δούμε ότι a = 3.

Απάντηση: α = 3.

Έχετε ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε συστήματα εξισώσεων;
Για να λάβετε τη βοήθεια ενός δασκάλου - εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.

Εντολή

Μέθοδος αντικατάστασης Να εκφράσετε μια μεταβλητή και να την αντικαταστήσετε με μια άλλη εξίσωση. Μπορείτε να εκφράσετε οποιαδήποτε μεταβλητή θέλετε. Για παράδειγμα, εκφράστε το "y" από τη δεύτερη εξίσωση:
x-y=2 => y=x-2 Στη συνέχεια συνδέστε τα πάντα στην πρώτη εξίσωση:
2x+(x-2)=10 Μετακινήστε τα πάντα χωρίς x στη δεξιά πλευρά και μετρήστε:
2x+x=10+2
3x=12 Στη συνέχεια, για το "x, διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 3:
x=4. Άρα, βρήκατε το "x. Βρείτε "στο. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε το "x" στην εξίσωση από την οποία εκφράσατε το "y:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Κάντε έναν έλεγχο. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε τις προκύπτουσες τιμές στις εξισώσεις:
2*4+2=10
4-2=2
Το άγνωστο βρέθηκε σωστά!

Πώς να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε εξισώσεις Ξεφορτωθείτε οποιαδήποτε μεταβλητή ταυτόχρονα. Στην περίπτωσή μας, αυτό είναι πιο εύκολο να γίνει με το "y.
Δεδομένου ότι στην εξίσωση "y έχει πρόσημο" + , και στη δεύτερη "-", τότε μπορείτε να εκτελέσετε μια πράξη πρόσθεσης, δηλ. Προσθέτουμε την αριστερή πλευρά στα αριστερά και τη δεξιά πλευρά στα δεξιά:
2x+y+(x-y)=10+2Μετατροπή:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Αντικαταστήστε το "x" σε οποιαδήποτε εξίσωση και βρείτε το "y:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 Με την 1η μέθοδο, μπορείτε να ελέγξετε ότι οι ρίζες βρίσκονται σωστά.

Εάν δεν υπάρχουν σαφώς καθορισμένες μεταβλητές, τότε είναι απαραίτητο να μετασχηματιστούν ελαφρώς οι εξισώσεις.
Στην πρώτη εξίσωση έχουμε «2x», και στη δεύτερη απλώς «x. Για να μειωθεί το x κατά την πρόσθεση ή την αφαίρεση, πολλαπλασιάστε τη δεύτερη εξίσωση επί 2:
x-y=2
2x-2y=4 Στη συνέχεια αφαιρέστε τη δεύτερη εξίσωση από την πρώτη εξίσωση:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3ε=6
βρείτε y \u003d 2 "x εκφράζοντας από οποιαδήποτε εξίσωση, δηλ.
x=4

Σχετικά βίντεο

Κατά την επίλυση διαφορικών εξισώσεων, το όρισμα x (ή ο χρόνος t σε φυσικά προβλήματα) δεν είναι πάντα ρητά διαθέσιμο. Ωστόσο, αυτή είναι μια απλουστευμένη ειδική περίπτωση ορισμού μιας διαφορικής εξίσωσης, η οποία συχνά βοηθά στην απλοποίηση της αναζήτησης του ολοκληρώματος της.

Εντολή

Εξετάστε ένα πρόβλημα φυσικής που οδηγεί σε μια διαφορική εξίσωση που δεν έχει όρισμα t. Αυτό είναι το πρόβλημα των δονήσεων μάζας m, που αιωρούνται σε ένα νήμα μήκους r, που βρίσκεται σε κατακόρυφο επίπεδο. Η εξίσωση κίνησης του εκκρεμούς απαιτείται αν το αρχικό ήταν ακίνητο και αποκλίνει από την κατάσταση ισορροπίας κατά γωνία α. Οι δυνάμεις πρέπει να παραμεληθούν (βλ. Εικ. 1α).

Λύση. Ένα μαθηματικό εκκρεμές είναι ένα υλικό σημείο που αιωρείται σε ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα στο σημείο Ο. Δύο δυνάμεις ενεργούν στο σημείο: βαρύτητα G = mg και τάση νήματος N. Και οι δύο αυτές δυνάμεις βρίσκονται σε κατακόρυφο επίπεδο. Επομένως, για να λύσετε το πρόβλημα, μπορείτε να εφαρμόσετε την εξίσωση της περιστροφικής κίνησης ενός σημείου γύρω από τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο. Η εξίσωση για την περιστροφική κίνηση ενός σώματος έχει τη μορφή που φαίνεται στο σχ. 1β. Στην περίπτωση αυτή, το I είναι η ροπή αδράνειας του υλικού σημείου. j είναι η γωνία περιστροφής του νήματος μαζί με το σημείο, μετρημένη από τον κατακόρυφο άξονα αριστερόστροφα. M είναι η ροπή των δυνάμεων που ασκούνται στο υλικό σημείο.

Υπολογίστε αυτές τις τιμές. Ι=mr^2, Μ=Μ(G)+Μ(Ν). Αλλά M(N)=0, αφού η γραμμή δράσης της δύναμης διέρχεται από το σημείο O. M(G)=-mgrsinj. Το σύμβολο "-" σημαίνει ότι η ροπή της δύναμης κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από την κίνηση. Αντικαταστήστε τη ροπή αδράνειας και τη ροπή δύναμης στην εξίσωση κίνησης και λάβετε την εξίσωση που φαίνεται στο Σχ. 1s. Μειώνοντας τη μάζα, προκύπτει μια σχέση (βλ. Εικ. 1δ). Δεν υπάρχει κανένα επιχείρημα εδώ.

Η επίλυση εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς είναι ένα από τα παλαιότερα μαθηματικά προβλήματα. Ήδη στις αρχές της 2ης χιλιετίας π.Χ. μι. Οι Βαβυλώνιοι ήξεραν πώς να λύνουν συστήματα τέτοιων εξισώσεων με δύο μεταβλητές. Αυτός ο τομέας των μαθηματικών γνώρισε τη μεγαλύτερη ακμή του στην αρχαία Ελλάδα. Η κύρια πηγή για εμάς είναι η «Αριθμητική» του Διόφαντου, που περιέχει διάφορους τύπους εξισώσεων. Σε αυτό, ο Διόφαντος (μετά το όνομά του και το όνομα των εξισώσεων - Διοφαντικές εξισώσεις) προβλέπει μια σειρά από μεθόδους για τη μελέτη των εξισώσεων του 2ου και του 3ου βαθμού, που αναπτύχθηκαν μόλις τον 19ο αιώνα.

Οι απλούστερες Διοφαντικές εξισώσεις ax + y = 1 (εξίσωση με δύο μεταβλητές, πρώτου βαθμού) x2 + y2 = z2 (εξίσωση με τρεις μεταβλητές, δεύτερος βαθμός)

Οι αλγεβρικές εξισώσεις έχουν μελετηθεί πλήρως· η επίλυσή τους ήταν ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα στην άλγεβρα τον 16ο και 17ο αιώνα.

Στις αρχές του 19ου αιώνα, τα έργα των P. Fermat, L. Euler, K. Gauss ερεύνησαν μια Διοφαντινή εξίσωση της μορφής: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, όπου a, b, c , d, e, f είναι αριθμοί. x, y είναι άγνωστες μεταβλητές.

Αυτή είναι μια εξίσωση 2ου βαθμού με δύο άγνωστους.

Ο Κ. Γκάους έχτισε μια γενική θεωρία των τετραγωνικών μορφών, η οποία είναι η βάση για την επίλυση ορισμένων τύπων εξισώσεων με δύο μεταβλητές (εξισώσεις Διοφαντών). Υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός συγκεκριμένων Διοφαντικών εξισώσεων που μπορούν να λυθούν με στοιχειώδεις μεθόδους. /p>

θεωρητικό υλικό.

Σε αυτό το μέρος της εργασίας θα περιγραφούν οι βασικές μαθηματικές έννοιες, θα δοθούν οι ορισμοί των όρων, θα διατυπωθεί το θεώρημα της αποσύνθεσης με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών, οι οποίοι μελετήθηκαν και ελήφθησαν υπόψη κατά την επίλυση εξισώσεων με δύο μεταβλητές.

Ορισμός 1: Εξίσωση της μορφής ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, όπου a, b, c, d, e, f είναι αριθμοί. x, y άγνωστες μεταβλητές ονομάζεται εξίσωση δεύτερου βαθμού με δύο μεταβλητές.

Στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών, μελετάται η τετραγωνική εξίσωση ax2 + inx + c \u003d 0, όπου τα a, b, c του αριθμού x είναι μια μεταβλητή, με μία μεταβλητή. Υπάρχουν πολλοί τρόποι επίλυσης μιας τέτοιας εξίσωσης:

1. Εύρεση ριζών χρησιμοποιώντας το διακριτικό.

2. Εύρεση ριζών για άρτιο συντελεστή σε (σύμφωνα με D1 =);

3. Εύρεση ριζών από το θεώρημα του Vieta.

4. Εύρεση των ριζών χρησιμοποιώντας την επιλογή του πλήρους τετραγώνου του διωνύμου.

Η επίλυση μιας εξίσωσης σημαίνει να βρεις όλες τις ρίζες της ή να αποδείξεις ότι δεν υπάρχουν.

Ορισμός 2: Η ρίζα μιας εξίσωσης είναι ένας αριθμός που, όταν αντικατασταθεί στην εξίσωση, σχηματίζει μια αληθινή ισότητα.

Ορισμός 3: Η λύση μιας εξίσωσης με δύο μεταβλητές ονομάζεται ζεύγος αριθμών (x, y), κατά την αντικατάστασή τους στην εξίσωση, μετατρέπεται σε αληθινή ισότητα.

Η διαδικασία αναζήτησης λύσεων σε μια εξίσωση πολύ συχνά συνήθως συνίσταται στην αντικατάσταση της εξίσωσης με μια ισοδύναμη εξίσωση, αλλά πιο απλή στη λύση. Τέτοιες εξισώσεις ονομάζονται ισοδύναμες.

Ορισμός 4: Δύο εξισώσεις λέγονται ισοδύναμες εάν κάθε λύση μιας εξίσωσης είναι λύση στην άλλη εξίσωση, και αντίστροφα, και οι δύο εξισώσεις θεωρούνται στην ίδια περιοχή.

Για την επίλυση εξισώσεων με δύο μεταβλητές χρησιμοποιείται το θεώρημα για την επέκταση της εξίσωσης σε άθροισμα τελείων τετραγώνων (με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών).

Για την εξίσωση δεύτερης τάξης ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) υπάρχει αποσύνθεση a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)

Ας διατυπώσουμε τις συνθήκες υπό τις οποίες λαμβάνει χώρα η επέκταση (2) για την εξίσωση (1) δύο μεταβλητών.

Θεώρημα: Αν οι συντελεστές a, c, c της εξίσωσης (1) ικανοποιούν τις συνθήκες a0 και 4av - c20, τότε η επέκταση (2) προσδιορίζεται με μοναδικό τρόπο.

Με άλλα λόγια, η εξίσωση (1) με δύο μεταβλητές μπορεί να αναχθεί στη μορφή (2) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών, εάν πληρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος.

Ας δούμε ένα παράδειγμα για το πώς εφαρμόζεται η μέθοδος των αόριστων συντελεστών.

ΜΕΘΟΔΟΣ #1. Να λύσετε την εξίσωση με τη μέθοδο των απροσδιόριστων συντελεστών

2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

1. Ας ελέγξουμε την εκπλήρωση των συνθηκών του θεωρήματος, a=2, b=1, c=2, άρα a=2,4av - c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Οι προϋποθέσεις του θεωρήματος ικανοποιούνται και μπορούν να επεκταθούν με τον τύπο (2).

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, με βάση τις συνθήκες του θεωρήματος, και τα δύο μέρη της ταυτότητας είναι ισοδύναμα. Απλοποιήστε τη δεξιά πλευρά της ταυτότητας.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2 + p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Εξισώστε τους συντελεστές για τις ίδιες μεταβλητές με τις δυνάμεις τους.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Πάρτε ένα σύστημα εξισώσεων, λύστε το και βρείτε τις τιμές των συντελεστών.

7. Αντικαταστήστε τους συντελεστές στο (2), τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή

2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 \u003d 2 (x + 0,5y + 0,5) 2 + 0,5 (y -1) 2 + 0

Έτσι, η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση

2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων.

Απάντηση: (-1; 1).

Εάν προσέξετε τον τύπο της αποσύνθεσης (3), τότε μπορείτε να δείτε ότι είναι πανομοιότυπο σε μορφή με την επιλογή ενός πλήρους τετραγώνου από μια τετραγωνική εξίσωση με μία μεταβλητή: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Ας εφαρμόσουμε αυτό το κόλπο για να λύσουμε μια εξίσωση με δύο μεταβλητές. Ας λύσουμε με τη βοήθεια επιλογής πλήρους τετραγώνου την τετραγωνική εξίσωση με δύο μεταβλητές ήδη λυμένες χρησιμοποιώντας το θεώρημα.

ΜΕΘΟΔΟΣ #2: Λύστε την εξίσωση 2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Λύση: 1. Αντιπροσωπεύουμε το 2x2 ως άθροισμα δύο όρων x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

2. Ομαδοποιούμε τους όρους με τέτοιο τρόπο ώστε να μπορούμε να συμπτύξουμε σύμφωνα με τον τύπο του πλήρους τετραγώνου.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x + 1) = 0.

3. Επιλέξτε τα πλήρη τετράγωνα από τις εκφράσεις σε αγκύλες.

(x + y) 2 + (x + 1) 2 = 0.

4. Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων.

Απάντηση: (-1;1).

Αν συγκρίνουμε τα αποτελέσματα, μπορούμε να δούμε ότι η εξίσωση που λύθηκε με τη μέθοδο Νο. 1 χρησιμοποιώντας το θεώρημα και τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών και η εξίσωση που λύθηκε με τη μέθοδο Νο. 2 χρησιμοποιώντας την επιλογή πλήρους τετραγώνου έχουν τις ίδιες ρίζες.

Συμπέρασμα: Μια τετραγωνική εξίσωση με δύο μεταβλητές μπορεί να επεκταθεί σε ένα άθροισμα τετραγώνων με δύο τρόπους:

➢ Η πρώτη μέθοδος είναι η μέθοδος των απροσδιόριστων συντελεστών, η οποία βασίζεται στο θεώρημα και την επέκταση (2).

➢ Ο δεύτερος τρόπος είναι με τη βοήθεια πανομοιότυπων μετασχηματισμών, που καθιστούν δυνατή την επιλογή διαδοχικών πλήρων τετραγώνων.

Φυσικά, κατά την επίλυση προβλημάτων, η δεύτερη μέθοδος είναι προτιμότερη, καθώς δεν απαιτεί απομνημόνευση επέκτασης (2) και συνθηκών.

Αυτή η μέθοδος μπορεί επίσης να εφαρμοστεί σε τετραγωνικές εξισώσεις με τρεις μεταβλητές. Η επιλογή του πλήρους τετραγώνου σε τέτοιες εξισώσεις είναι πιο επίπονη. Θα κάνω αυτού του είδους τη μεταμόρφωση του χρόνου.

Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι μια συνάρτηση που έχει τη μορφή f(x, y)= ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση δύο μεταβλητών. Οι τετραγωνικές συναρτήσεις παίζουν σημαντικό ρόλο σε διάφορους κλάδους των μαθηματικών:

Στον μαθηματικό προγραμματισμό (τετραγωνικός προγραμματισμός)

Στη γραμμική άλγεβρα και γεωμετρία (τετραγωνικές μορφές)

Στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων (αναγωγή μιας γραμμικής εξίσωσης δεύτερης τάξης σε κανονική μορφή).

Κατά την επίλυση αυτών των διαφόρων προβλημάτων, πρέπει, στην πραγματικότητα, να εφαρμόσει τη διαδικασία για την εξαγωγή του πλήρους τετραγώνου από μια τετραγωνική εξίσωση (μία, δύο ή περισσότερες μεταβλητές).

Οι γραμμές των οποίων οι εξισώσεις περιγράφονται με μια τετραγωνική εξίσωση δύο μεταβλητών ονομάζονται καμπύλες δεύτερης τάξης.

Αυτός ο κύκλος, έλλειψη, υπερβολή.

Κατά τη χάραξη αυτών των καμπυλών χρησιμοποιείται και η μέθοδος της διαδοχικής επιλογής του πλήρους τετραγώνου.

Ας εξετάσουμε πώς λειτουργεί η μέθοδος διαδοχικής επιλογής πλήρους τετραγώνου σε συγκεκριμένα παραδείγματα.

Πρακτικό μέρος.

Λύστε εξισώσεις χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της διαδοχικής επιλογής του πλήρους τετραγώνου.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x + 1)2 + (x + y)2 = 0;

Απάντηση: (-1; 1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Απάντηση: (0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 - 6xy - 2y +1 = 0;

3x2 + 3y2 - 6xy + y2 -2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Απάντηση: (-1; 1).

Επίλυση εξισώσεων:

1. 2x2 + 3y2 - 4xy + 6y +9 = 0

(φέρτε στη μορφή: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Απάντηση: (-3; -3)

2. - 3x2 - 2y2 - 6xy -2y + 1=0

(φέρτε στη μορφή: -3 (x + y) 2 + (y -1) 2 \u003d 0)

Απάντηση: (-1; 1)

3. x2 + 3y2 + 2xy + 28y +98 = 0

(φέρτε στη μορφή: (x + y) 2 + 2 (y + 7) 2 \u003d 0)

Απάντηση: (7; -7)

Συμπέρασμα.

Σε αυτή την επιστημονική εργασία μελετήθηκαν εξισώσεις με δύο μεταβλητές δεύτερου βαθμού, εξετάστηκαν μέθοδοι επίλυσής τους. Η εργασία ολοκληρώνεται, διατυπώνεται και περιγράφεται μια συντομότερη μέθοδος λύσης, με βάση την επιλογή ενός πλήρους τετραγώνου και την αντικατάσταση της εξίσωσης με ένα ισοδύναμο σύστημα εξισώσεων, ως αποτέλεσμα, η διαδικασία εύρεσης των ριζών μιας εξίσωσης με δύο μεταβλητές απλοποιείται.

Ένα σημαντικό σημείο της εργασίας είναι ότι η τεχνική που εξετάζεται χρησιμοποιείται για την επίλυση διαφόρων μαθηματικών προβλημάτων που σχετίζονται με μια τετραγωνική συνάρτηση, την κατασκευή καμπυλών δεύτερης τάξης και την εύρεση της μεγαλύτερης (μικρότερης) τιμής παραστάσεων.

Έτσι, η τεχνική της επέκτασης μιας εξίσωσης δεύτερης τάξης με δύο μεταβλητές σε ένα άθροισμα τετραγώνων έχει τις πιο πολλές εφαρμογές στα μαθηματικά.

Αόριστες εξισώσεις σε φυσικούς αριθμούς.

Κρατικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα «Επαρχιακό Λύκειο Ρεχίτσας»

Προετοιμάστηκε από: .

Επόπτης: .

Εισαγωγή

1. Επίλυση εξισώσεων με μέθοδο παραγοντοποίησης…………4

2. Επίλυση εξισώσεων με δύο μεταβλητές (μέθοδος διάκρισης)………………………………………………………………………….11

3. Μέθοδος υπολειμμάτων ................................................ ................................13

4. Μέθοδος «άπειρης κάθοδος» .......................................... .... ..............15

5. Μέθοδος δειγματοληψίας……………………………………………………………………16

Συμπέρασμα................................................. ..........................................18

Εισαγωγή

Είμαι ο Σλάβα, σπουδάζω στο Επαρχιακό Λύκειο Ρεχίτσας, μαθήτρια της 10ης τάξης.

Όλα ξεκινούν με μια ιδέα! Μου ζητήθηκε να λύσω μια εξίσωση με τρεις αγνώστους 29x + 30y + 31 z =366. Τώρα θεωρώ αυτή την εξίσωση ως έργο - ένα αστείο, αλλά για πρώτη φορά έσπασα το κεφάλι μου. Για μένα, αυτή η εξίσωση έχει γίνει κάπως απροσδιόριστη, πώς να την λύσω, με ποιον τρόπο.

Κάτω από αόριστες εξισώσειςπρέπει να καταλάβουμε ότι πρόκειται για εξισώσεις που περιέχουν περισσότερους από έναν άγνωστους. Συνήθως, οι άνθρωποι που λύνουν αυτές τις εξισώσεις αναζητούν λύσεις σε ακέραιους αριθμούς.

Η επίλυση αόριστων εξισώσεων είναι μια πολύ συναρπαστική και ενημερωτική δραστηριότητα που συμβάλλει στη διαμόρφωση της εφευρετικότητας, της παρατήρησης, της προσοχής των μαθητών, καθώς και στην ανάπτυξη της μνήμης και του προσανατολισμού, της ικανότητας λογικής σκέψης, ανάλυσης, σύγκρισης και γενίκευσης. Δεν έχω βρει ακόμη μια γενική τεχνική, αλλά τώρα θα σας πω για μερικές μεθόδους για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων σε φυσικούς αριθμούς.

Αυτό το θέμα δεν καλύπτεται πλήρως στα υπάρχοντα εγχειρίδια μαθηματικών και τα προβλήματα προσφέρονται σε ολυμπιάδες και σε κεντρικές δοκιμές. Αυτό με ενδιέφερε και με γοήτευσε τόσο πολύ, που λύνοντας διάφορες εξισώσεις και προβλήματα, συγκέντρωνα μια ολόκληρη συλλογή από δικές μου λύσεις, τις οποίες χωρίσαμε με τον δάσκαλο σύμφωνα με τις μεθόδους και τις μεθόδους επίλυσης. Ποιος είναι λοιπόν ο σκοπός της δουλειάς μου;

Μου στόχοςαναλύουν λύσεις εξισώσεων με πολλές μεταβλητές στο σύνολο των φυσικών αριθμών.

Αρχικά, θα εξετάσουμε πρακτικά προβλήματα και στη συνέχεια θα προχωρήσουμε στην επίλυση εξισώσεων.

Ποιο είναι το μήκος των πλευρών ενός παραλληλογράμμου αν η περίμετρός του είναι αριθμητικά ίση με το εμβαδόν του;

P=2(x+y),

S = xy, x€ N και y€ N

P=S

2x+2y=xy μέγεθος γραμματοσειράς:14.0pt;ύψος γραμμής: 150%;font-family:" times new roman>+font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> +font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> =font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Απάντηση: (4:4); (3:6); (6:3).

Βρείτε τρόπους να πληρώσετε 47 ρούβλια, εάν μόνο λογαριασμοί τριών και πέντε ρούβλια μπορούν να χρησιμοποιηθούν για αυτό.

Λύση

5x+3y=47

x=1, y=14

x=1 – 3K, y= 14+5K, K€Ζ

Οι φυσικές τιμές των x και y αντιστοιχούν σε K= 0, -1, -2.

(1:14) (4:9) (7:4)

Έργο αστείου

Να αποδείξετε ότι υπάρχει λύση στην εξίσωση 29x+30y+31 z=336 σε φυσικούς αριθμούς.

Απόδειξη

Ένα δίσεκτο έτος έχει 366 ημέρες και ένας μήνας έχει 29 ημέρες, τέσσερις μήνες έχουν 30 ημέρες,

7 μήνες - 31 ημέρες.

Η λύση είναι τρεις (1:4:7). Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει λύση στην εξίσωση σε φυσικούς αριθμούς.

1. Επίλυση εξισώσεων με παραγοντοποίηση

1) Να λύσετε την εξίσωση x2-y2=91 σε φυσικούς αριθμούς

Λύση

(x-y)(x+y)=91

Λύση 8 συστήματα

μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-y=1

x+y=91

(46:45)

μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-y=91

x+y=1

(46: -45)

x-y=13

x+y=7

(10: -3)

x-y = 7

x+y=13

(10:3)

x-y = -1

x+y= -91

(-46: 45)

x-y = -91

x+y= -1

(-46: -45)

x-y = -13

x+y= -7

(-10:3)

x-y μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>= -7

x+y= -13

(-10: -3)

Απάντηση: ( 46:45):(10:3).

2) Λύστε την εξίσωση x3 + 91 \u003d y3 σε φυσικούς αριθμούς

Λύση

(y-x)(y2+xy+x2)=91

91=1*91=91*1=13*7=7*13= (-1)*(-91)=(-7)*(-13)

Λύση 8 συστήματα

y-x=1

y2+xy+x2=91

(5:6)(-6: -5)

μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-x= 91

y2+xy+x2= 1

y-x=13

y2+xy+x2=7

δεν έχει λύσεις σε ακέραιους αριθμούς

y-x=7

y2+xy+x2=91

(-3: 4)(-4: 3)

Τα υπόλοιπα 4 συστήματα δεν έχουν λύσεις σε ακέραιους αριθμούς. Η συνθήκη ικανοποιείται με μία λύση.

Απάντηση: (5:6).

3) Να λύσετε την εξίσωση xy=x+y σε φυσικούς αριθμούς

Λύση

xy-x-y+1=1

x(y-1)-(y-1)=1

(y-1) (x-1)=1

1= 1*1=(-1)*(-1)

Λύση 2 συστήματα

μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-1= -1

x-1= -1

(0:0)

μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-1=1

x-1=1

(2:2)

Απάντηση: (2:2).

4) Να λύσετε την εξίσωση 2x2+5xy-12y2=28 σε φυσικούς αριθμούς

Λύση

2x2-3xy+8xy-12y2=28

(2x-3y)(x+4y)=28

x;y - φυσικοί αριθμοί; (x+4y)€Ν

(x+4y)≥5

μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>2x-3y=1

x+4y=28

(8:5)

μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:"times new roman>2x-3y=4

x + 4y = 7

2x-3y=2

x+4y=14

δεν υπάρχουν λύσεις σε φυσικούς αριθμούς

Απάντηση: (8:5).

5) λύσει την εξίσωση 2xy=x2+2y σε φυσικούς αριθμούς

Λύση

x2-2xy+2y=0

(x2-2xy+y2)-y2+2y-1+1=0

(x-y)2-(y-1)2= -1

(x-y-y+1)(x-y+y-1)= -1

(x-2y+1)(x-1)= -1

x-2y+1=-1

x-1= 1

(2:2)

x-2y+1=1

x-1= -1

δεν υπάρχουν λύσεις σε φυσικούς αριθμούς

Απάντηση: (2:2).

6) λύσει την εξίσωση Χστοz-3 xy-2 xz+ yz+6 Χ-3 y-2 z= -4 σε φυσικούς αριθμούς

Λύση

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2 z +4=0

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2 z +6-2=0

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2(z -3)=2

(z-3)(xy-2x+y-2)=2

(z-3)(x(y-2)+(y-2))=2

(z-3)(x+1)(y-2)=2

Λύση 6 συστήματα

z -3= 1

x+1=1

y-2=2

(0 : 4 : 4 )

z-3= -1

x+1=-1

y-2= 2

(- 2: 4 : 2 )

EL-ΗΠΑ" style="font-size: 14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>z-3= 1

x+1=2

y-2=1

(1 : 3 : 4 )

z-3=2

x+1=1

y-2=1

(0 :3: 5 )

z-3= -1

x +1 = 2

y-2=-1

(1:1:2)

z-3=2

x +1= -1

y -2= -1

(-2:1:5)

Απάντηση: (1:3:4).

Σκεφτείτε μια πιο σύνθετη εξίσωση για μένα.

7) Να λύσετε την εξίσωση x2-4xy-5y2=1996 σε φυσικούς αριθμούς

Λύση

(x2-4xy+4y2)-9y2=1996

(x-2y)2-9y2=1996

(x-5y)(x+5y)=1996

1996=1*1996= -1*(-1996)=2*998= (-2)*(-998)=4*499= -4*(-499)

x € N , y € N ; (x+y) € N ; (x+y)>1

x-5y=1

x+y=1996

χωρίς λύσεις

μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-5y=499

x+y=4

χωρίς λύσεις

μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-5y=4

x+y=499

χωρίς λύσεις

x-5y=2

x+y=998

(832:166)

x-5y=988

x+y=2

χωρίς λύσεις

Απάντηση: x=832, y=166.

Ας καταλήξουμε:κατά την επίλυση εξισώσεων με παραγοντοποίηση, χρησιμοποιούνται συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού, μέθοδος ομαδοποίησης, μέθοδος επιλογής πλήρους τετραγώνου .

2. Επίλυση εξισώσεων με δύο μεταβλητές (διακριτική μέθοδος)

1) Λύστε την εξίσωση 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y-2x + 2 \u003d 0 σε φυσικούς αριθμούς

Λύση

5x2+(8y-2)x+5y2+2y+2=0

D \u003d (8y - 2) 2 - 4 * 5 * (5y2 + 2y + 2) \u003d 4 ((4y - 1) 2 -5 * (5y2 + 2y + 2))

x1,2= font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>

D=0, font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>=0

y=-1, x=1

Απάντηση:δεν υπάρχουν λύσεις.

2) Να λύσετε την εξίσωση 3(x2+xy+y2)=x+8y σε φυσικούς αριθμούς

Λύση

3(x2+xy+y2)=x+8y

3x2+3(y-1)x+3y2-8y=0

D \u003d (3y-1) 2-4 * 3 (3y2-8y) \u003d 9y2-6y + 1-36y2 + 96y \u003d -27y2 + 90y + 1

D≥0, -27y2+90y+1≥0

μέγεθος γραμματοσειράς:14.0pt;ύψος γραμμής: 150%;font-family:" times new roman>≤y≤font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>y€Ν , y=1, 2, 3. Διατρέχοντας αυτές τις τιμές, έχουμε (1:1).

Απάντηση: (1:1).

3) Λύστε την εξίσωση x4-y4-20x2+28y2=107 σε φυσικούς αριθμούς

Λύση

Εισάγουμε μια αντικατάσταση: x2=a, y2=a;

a2-a2-20a+28a=107

a2-20a+28a-a2=0

a1,2=-10± +96 font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman color:black>a2-20a+28a-a2-96=11

a1,2=10± font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>= 10±μέγεθος γραμματοσειράς:14.0pt;ύψος γραμμής: 150%;font-family:" times new roman>= 10±(a-14)

a1=a-4, a2=24-a

Η εξίσωση μοιάζει με:

(α-α+4)(α+α-24)=1

μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x2-y2+4=1

x2+y2 – 24=11

δεν υπάρχουν λύσεις σε φυσικούς αριθμούς.

x2 - y2+4=11

x2+y2 – 24=1

(4:3),(-4:-3),(-4:3), (4: -3)

μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x2 - y2+4= -1

x2 + y2 - 24 = -11

(2:3),(-2: -3),(-2:3),(2: -3)

x2 - y2+4= -11

х2+y2 – 24= -1 δεν υπάρχουν λύσεις σε φυσικούς και ακέραιους αριθμούςΑπάντηση: (4:3),(2:3).

3. Υπολειμματική μέθοδος

Κατά την επίλυση εξισώσεων με την υπολειμματική μέθοδο, χρησιμοποιούνται πολύ συχνά οι ακόλουθες εργασίες:

Α) Τι υπόλοιπο μπορεί να δώσει όταν διαιρεθεί με το 3 και το 4;

Είναι πολύ απλό, όταν διαιρούνται με 3 ή 4, τα ακριβή τετράγωνα μπορούν να δώσουν δύο πιθανά υπόλοιπα: 0 ή 1.

Β) Ποια υπόλοιπα μπορούν να δώσουν ακριβείς κύβους όταν διαιρεθούν με το 7 και το 9;

Όταν διαιρεθούν με το 7, μπορούν να δώσουν υπολείμματα: 0, 1, 6; και κατά τη διαίρεση με το 9: 0, 1, 8.

1) Λύστε την εξίσωση x2+y2=4 z-1 σε φυσικούς αριθμούς

Λύση

x2+y2+1=4z

Εξετάστε τι μπορούν να δώσουν τα υπόλοιπα όταν διαιρεθούν με το 4, την αριστερή και τη δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης. Όταν διαιρεθούν με το 4, τα ακριβή τετράγωνα μπορούν να δώσουν μόνο δύο διαφορετικά υπολείμματα 0 και 1. Στη συνέχεια, x2 + y2 + 1 όταν διαιρεθεί με 4, δώστε τα υπόλοιπα 1, 2, 3 και 4 z διαιρείται χωρίς υπόλοιπο.

Επομένως, αυτή η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

2) Λύστε την εξίσωση 1!+2!+3!+ …+x!= y2 σε φυσικούς αριθμούς

Λύση

ένα) X=1, 1!=1, μετά y2=1, y=±1 (1:1)

σι) x=3, 1!+2!+3!= 1+2+6= 9, δηλαδή y2= 9, y=±3 (3:3)

ντο) x=2, 1!+2!= 1+2= 3, y2=3, δηλαδή y=±μέγεθος γραμματοσειράς:14.0pt;ύψος γραμμής:150%; font-family:"times new roman>d)x=4, 1!+2!+3!+4!= 1+2+6+24=33, x=4 (κανένα), y2=33

μι) x≥5, 5!+6!+…+x!, φανταστείτε 10 n , n € Ν

1!+2!+3! +5!+…+x!=33+10n

Ένας αριθμός που τελειώνει σε 3 σημαίνει ότι δεν μπορεί να είναι το τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού. Επομένως, το x≥5 δεν έχει λύσεις σε φυσικούς αριθμούς.

Απάντηση:(3:3) και (1:1).

3) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν λύσεις σε φυσικούς αριθμούς

x2-y3=7

z 2 – 2у2=1

Απόδειξη

Ας υποθέσουμε ότι το σύστημα είναι επιλύσιμο z 2 \u003d 2y2 + 1, z2 - περιττός αριθμός

z=2m+1

y2+2m2+2m , y2είναι ένας ζυγός αριθμός, y = 2 n , n € Ν

x2=8n3 +7 δηλαδή x2είναι περιττός αριθμός και Χπεριττός, x = 2 r +1, n € N

Υποκατάστατο Χ Και στο στην πρώτη εξίσωση,

2(r 2 + r -2n 3 )=3

Δεν είναι δυνατόν, αφού η αριστερή πλευρά της εξίσωσης διαιρείται με δύο και η δεξιά δεν διαιρείται, πράγμα που σημαίνει ότι η υπόθεση μας δεν είναι σωστή, δηλαδή το σύστημα δεν έχει λύσεις σε φυσικούς αριθμούς.

4. Μέθοδος άπειρης κατάβασης

Επιλύουμε σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα:

Ας υποθέσουμε ότι η εξίσωση έχει μια λύση, χτίζουμε μια ορισμένη άπειρη διαδικασία, ενώ, σύμφωνα με την ίδια την έννοια του προβλήματος, αυτή η διαδικασία πρέπει να τελειώνει σε ένα άρτιο βήμα.

1)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 8x4+4y4+2 z4 = t4 δεν έχει λύσεις σε φυσικούς αριθμούς

Απόδειξη

Ας υποθέσουμε ότι η εξίσωση έχει μια λύση σε ακέραιους αριθμούς, τότε προκύπτει ότι

t4 είναι ζυγός αριθμός, τότε το t είναι επίσης άρτιος

t=2t1 , t1 € Z

8x4 + 4y4 + 2 z 4 \u003d 16t14

4x4 + 2y4 + z 4 \u003d 8t14

z 4 \u003d 8t14 - 4x4 - 2y4

z 4 είναι άρτιο, τότε z =2 z 1 , z 1 € Z

Υποκατάστατο

4x4 + 2y4 + 16 z 4 \u003d 8t14

y4 \u003d 4t14 - 2x4 - 8 z 1 4

Το x είναι άρτιο, δηλαδή x=2x, x1€Ζ, λοιπόν

16х14 – 2 t 1 4 – 4 z 1 4 +8 y 1 4 =0

8x14+4y14+2 z 1 4 = t 1 4

Έτσι x, y, z , t – ζυγοί αριθμοί, μετά x1, y1, z1,t1 - ακόμη και. Τότε x, y, z, t και x1, y1, z 1, t 1 διαιρούνται με το 2, δηλαδή, font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>,μέγεθος γραμματοσειράς:14.0pt;ύψος γραμμής: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> καιμέγεθος γραμματοσειράς:14.0pt;ύψος γραμμής: 150%;font-family:"times new roman>,μέγεθος γραμματοσειράς:14.0pt;ύψος γραμμής: 150%;font-family:"times new roman>,μέγεθος γραμματοσειράς:14.0pt;ύψος γραμμής: 150%;font-family:"times new roman>,μέγεθος γραμματοσειράς:14.0pt;ύψος γραμμής: 150%;font-family:"times new roman>.

Έτσι, αποδείχθηκε ότι ο αριθμός ικανοποιεί την εξίσωση. είναι πολλαπλάσια του 2, και όσες φορές και αν τους διαιρέσουμε με το 2, πάντα θα παίρνουμε αριθμούς πολλαπλάσιους του 2. Ο μόνος αριθμός που ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη είναι το μηδέν. Όμως το μηδέν δεν ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών.

5. Μέθοδος δείγματος

1) Βρείτε λύσεις στην εξίσωση μέγεθος γραμματοσειράς:14.0pt;ύψος γραμμής: 150%;font-family:" times new roman>+font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Λύση

font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>p(x+y)=xy

xy=px+py

xy-px-ru=0

xy-px-ru+p2=p2

x(y-r)-p(y-r)=p2

(y-p)(x-p)=p2

p2= ±p= ±1= ±p2

Λύση 6 συστήματα

μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-r=r

x-p = p

y=2p, x=2p

y-r = - r

x-p = - p

y=0, x=0

y-r=1

x-p=1

y=1+p, x=1+p

y-r= -1

x-p = -1

y=p-1, x=p-1

μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-p= p2

x-p = p2

y=p2+p, x= p2+p

μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-p= - p2

x-p = - p2

y=p-p2, x=p-p2

Απάντηση:(2p:2p), ( 1+ρ:1+ρ), (ρ-1:ρ-1), (ρ2+ρ:ρ2+ρ), (ρ-ρ2:ρ-ρ2).

συμπέρασμα

Συνήθως, οι λύσεις αόριστων εξισώσεων αναζητούνται σε ακέραιους αριθμούς. Οι εξισώσεις στις οποίες αναζητούνται μόνο ακέραιες λύσεις ονομάζονται διοφαντικές.

Ανέλυσα τις λύσεις εξισώσεων με περισσότερους από έναν άγνωστους, στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Τέτοιες εξισώσεις είναι τόσο διαφορετικές που δεν υπάρχει σχεδόν κανένας τρόπος, αλγόριθμος για την επίλυσή τους. Η λύση τέτοιων εξισώσεων απαιτεί ευρηματικότητα και συμβάλλει στην απόκτηση δεξιοτήτων ανεξάρτητης εργασίας στα μαθηματικά.

Έλυσα τα παραδείγματα με τις πιο απλές μεθόδους. Η απλούστερη τεχνική για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων είναι να εκφράσουμε μια μεταβλητή ως προς τις υπόλοιπες, και παίρνουμε μια έκφραση που θα ερευνήσουμε για να βρούμε αυτές τις μεταβλητές για τις οποίες είναι φυσική (ακέραιος).

Ταυτόχρονα, οι έννοιες και γεγονότα που σχετίζονται με τη διαιρετότητα, όπως πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί, σημάδια διαιρετότητας, σχετικά πρώτοι αριθμοί κ.λπ.

Χρησιμοποιείται ιδιαίτερα συχνά:

1) Αν ένα γινόμενο διαιρείται με έναν πρώτο αριθμό p, τότε τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες του διαιρείται με τον p.

2) Αν το γινόμενο διαιρείται με κάποιον αριθμό Μεκαι ένας από τους παράγοντες είναι ο συμπρώτης αριθμός με τον αριθμό Με, τότε ο δεύτερος παράγοντας διαιρείται με Με.